【精品】高中数学 1.1.1正弦定理优秀学生寒假必做作业练习一 新人教A版必修5

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1正弦定理一、选择题:1. 在ABC △中，45 60 10A B a =︒=︒=，，，则b =（ ） A．．． 【答案】D【解析】根据正弦定理sin sin a bA B=得10sin sin 2a Bb A ===，故选D.2。

在△ABC 中,若2,a b ==, 030A = ， 则B 等于（ ） A ．60 B ．60或 120 C ．30 D ．30或150 【答案】B【解析】由正弦定理sin sin a bA B =得22sin sin 30B B ===60或 120 3。

在ABC △中,角 A B C，，的对边分别是 a b c ，，，若 2a AB ==，，则cos B =（ )ABC D【答案】B【解析】由已知2a =,根据正弦定理变形有sin sin 2A B =，又因为2A B =，所以sin sin 2A B =，则sin 22B B =，即2sin cos 2B B B =，因为sin 0B ≠，所以cos 4B =，故选B.4．在ABC ∆中，已知22tan tan a B b A =，则该ABC ∆的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．正三角形 D ．等腰或直角三角形 【答案】D【解析】由正弦定理得22sin sin sin sin cos cos B AA B B A⋅=⋅，化简得sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22,2A B A B ππ+=+=，故选D.5. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则以下结论错误的为（ )A ．若sin cos cos A B Ca b c ==，则90A =︒ B ．sin sin sin a b c A B C+=+ C ．若sin sin A B >，则A B >；反之，若A B >，则sin sin A B > D ．若sin 2sin 2A B =，则a b = 【答案】D【解析】∵sin cos cos A B Ca b c==，∴由正弦定理B B cos sin =,C C cos sin =，又∵B ,C 为ABC ∆的内角，∴ 45==C B ,故90A =︒，A 正确；∵由正弦定理可得R CcB b A a 2sin sin sin ===，∴()AaR C B C B R C B c b sin 2sin sin sin sin 2sin sin ==++=++，故B 正确;在ABC ∆，设外接圆的半径为R ,若sin sin A B >,则B R A R sin 2sin 2>,由正弦定理可得b a >，即A B >;若A B >，即有b a >，即B R A R sin 2sin 2>，即b a >．则在ABC ∆中，B A B A >⇔>sin sin ，故C 正确;∵sin 2sin 2A B =,∴()()0sin cos 2sin 2sin =-+=-B A B A B A ，∴()0cos =+B A 或()0sin =-B A ,∴2π=+B A 或B A =，∴三角形为直角三角形或等腰三角形，故D 错误．故选:D ．6. 在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,所对的边，若3=a ，3π=A ，则c b +的最大值为（ )A ．4B ．33 C.32 D ．2 【答案】C【解析】由正弦定理可得:23b c sinB sinC sin π===，∴2222()23b c sinB sinC sinB sin B π+=+=+-()12222sinB sinB =++3()6sinB B π==+≤，当且仅当3B π=时取等号．∴b c +的最大值为32．故选:C. 二、填空题：7. 在ABC ∆中,则 a =【解析】根据正弦定理32522315sin sin sin sin =⨯==⇔=BA b aB b A a ,8。

1．1．1正弦定理练习一选择题1.在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于( )A.75°B.120°C.135°D.150°2.在△ABC中，若acosA=bcosB,则△ABC是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角3.在钝角三角形ABC中，三边长是连续自然数，则这样的三角形( )A.不存在B.有无数多个C.仅有一个D.仅有两个4．在△ABC中，已知：：＝4：5：6，则：：等于（）A．6：5：4 B．7：5：3C．3：5：7 D．4：5：65．在△ABC中，已知，则等于（）A．B．C．D．6．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形7．在△ABC中，已知，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰或等边三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形8．已知△ABC中，，则等于（）A．4 B．C．D．9．在△ABC中，已知a、b、A，且A为锐角，求B．(1)当a≥b时，有________解．(2)当a = bsinA时，有________解．(3)当bsinA＜a＜b时，有________解．(4)当a＜bsinA时，________填空题10. 在△ABC中，A=120°,B=30°,a=8,则c= .11．在△ABC中，已知a、b、A，且A为锐角，求B．(1)当a≥b时，有________解．(2)当a = bsinA时，有________解．(3)当bsinA＜a＜b时，有________解．(4)当a＜bsinA时，________12．在△ABC中，，则＝______________．13．在△ABC中，已知，则＝__________．解答题14．已知平行四边形ABCD中，∠B = 52°，∠CAD = 40°，AB = 18，求对角线AC及边BC．15．如图，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB = DC，C = 60°，BC = 18．(2)在△ABD中，若∠ABD = 32°，求BD、AB．(3)若AD = 10，求此梯形的面积．16．若△ABC的三边是连续的正整数，最大角是钝角，求三边的长．17．在△ABC中，A = 120°，a = 7，b＋c = 8，求b和c及B．答案：1、B ；2、D ；3、C ；4、B ；5、C ；6、B ；7、B ；8、B ;9、 C 10、11、(1)一解 (2)一解 (3)两解 (4)无解12、13、14、AC≈22.1 BC≈28.015、(2)BD≈15.67 AB≈8.47 (3)S梯≈62.35．16、a = 2，b = 3，c = 4．17、b = 3，c = 5时，B≈21°47′b = 5，c = 3时，B≈38°13′。

课时作业1 正弦定理时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，A ＝45°，C ＝75°，则b ＝( D )A.6－22 B.3 C.62D. 6 解析：因为A ＝45°，C ＝75°，所以B ＝60°，所以由正弦定理得b ＝a ·sin Bsin A＝2×3222＝ 6. 2．已知△ABC 外接圆的半径R ＝5，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则bsin B ＝( C )A ．2.5B ．5C ．10D ．不确定 解析：根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，得b sin B＝10. 3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝2，b ＝2，A ＝π4，则B＝( A )A.π6B.π6或5π6C.π3D.5π6解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin Aa ＝2×222＝12，又a >b ，所以A >B ，所以B ＝π6.4．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：由已知，得a sin A ＝b ＝bsin B ，所以sin B ＝1，所以B ＝90°，故△ABC 一定是直角三角形．5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( D )A ．－223 B.223C ．－63D.63解析：根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b ·sin A a ＝33，又a >b ，所以角B 为锐角，所以cos B ＝63. 6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b ＝30，c ＝15，C ＝26°，则此三角形解的情况是( B )A ．一解B ．两解C ．无解D ．无法确定解析：∵b ＝30，c ＝15，C ＝26°，∴c ＝30×12＝b sin30°>b sin C ，又b >c ，∴此三角形有两解(如图所示)．二、填空题7．在△ABC 中，sin A sin B ＝32，则a ＋b b 的值为52.解析：由正弦定理，得a ＋b b ＝a b ＋1＝sin A sin B ＋1＝32＋1＝52.8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝45°，a ＝5，则a ＋b －csin A ＋sin B －sin C＝10.解析：由比例性质和正弦定理可知，a ＋b －csin A ＋sin B －sin C ＝a sin A ＝5sin45°＝10.9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为π6.解析：由sin B ＋cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝2，知B ＝π4，由正弦定理易求得sin A ＝12.又a <b ，所以A 为锐角，从而A ＝π6.三、解答题10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32c ＝b . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，b ＝3，求c 的值． 解：(1)由a cos C ＋32c ＝b 和正弦定理， 得sin A cos C ＋32sin C ＝sin B . ∵sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴32sin C ＝cos A sin C .∵sin C ≠0，∴cos A ＝32. ∵0<A <π，∴A ＝π6.(2)由正弦定理，得sin B ＝b sin Aa ＝3sin π61＝32. ∵b >a ，∴B ＝π3或2π3.①当B ＝π3时，由A ＝π6，得C ＝π2，∴c ＝2.②当B ＝2π3时，由A ＝π6，得C ＝π6，∴c ＝a ＝1.综上可得，c ＝1或c ＝2.11．在△ABC 中，已知2a ＝b ＋c ，sin 2A ＝sin B sin C ，试判断△ABC 的形状．解：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，得sin A ＝a2R ，sin B＝b 2R ，sin C ＝c2R ，所以由sin 2A ＝sin B sin C 可得⎝⎛⎭⎫a 2R 2＝b 2R ·c 2R ，得a 2＝bc . 又2a ＝b ＋c ，所以4a 2＝(b ＋c )2， 所以4bc ＝(b ＋c )2，即(b －c )2＝0，所以b ＝c ，所以由2a ＝b ＋c ，得 2a ＝b ＋b ＝2b ，所以a ＝b ，所以a ＝b ＝c ， 故△ABC 为等边三角形．——能力提升类——12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )，若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( C )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3解析：因为m ⊥n ，所以3cos A －sin A ＝0， 所以tan A ＝3，则A ＝π3.由正弦定理得原式＝sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ， 所以sin(A ＋B )＝sin 2C ，所以sin C ＝sin 2C . 因为0<C <π，sin C ≠0，所以sin C ＝1， 所以C ＝π2，A ＝π3，B ＝π6.13．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝60°，b ＝43，若此三角形有且只有一个，则a 的取值X 围是( C )A ．0<a <43B ．a ＝6C ．a ≥43或a ＝6D ．0<a ≤4 3 解析：当a ＝b sin A ＝43×32＝6时，△ABC 为直角三角形，有且只有一解；当a ≥b ＝43时，此三角形只有一解，此时B ≤A ＝60°.综上，a ≥43或a ＝6.故选C.14．在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，角A 的平分线交BC 于D ，AD ＝3，则AC ＝ 6. 解析：如图所示，∵B ＝120°，AB ＝2，AD ＝3，∴由正弦定理得sin ∠ADB ＝AB ·sin B AD ＝22，∴∠ADB ＝45°，∴∠BAD ＝15°，∠BAC ＝30°，∴在△ABC 中，C ＝30°，由正弦定理得AC ＝AB ·sin Bsin C＝2×3212＝ 6.15．在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫A －π6的值． 解：(1)因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35.由正弦定理，得AC sin B ＝ABsin C， 所以AB ＝AC ·sin Csin B＝6×2235＝5 2.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝－cos B cos π4＋sin B sin π4，又cos B ＝45，sin B ＝35， 故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210. 因此，cos ⎝⎛⎭⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6 ＝－210×32＋7210×12＝72－620.。

第一章解三角形1.1 正弦正理和余弦定理1.1.1 正弦定理【选题明细表】基础巩固1.在三角形ABC中,A=120°,AB=5,BC=7,则错误!未找到引用源。

的值为( A )(A)错误!未找到引用源。

(B)错误!未找到引用源。

(C)错误!未找到引用源。

(D)错误!未找到引用源。

解析:由正弦定理得错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

, 得sin C=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

,且C为锐角,所以cos C=错误!未找到引用源。

.因为A+B+C=π,所以sin B=sin (A+C)=sin Acos C+cos Asin C=错误!未找到引用源。

×错误!未找到引用源。

-错误!未找到引用源。

×错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

,即错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

,故选A.2.在△ABC中,若A=错误!未找到引用源。

,sin B=错误!未找到引用源。

cos C,则△ABC为( D )(A)直角非等腰三角形(B)等腰非直角三角形(C)非等腰且非直角三角形(D)等腰直角三角形解析:由A=错误!未找到引用源。

,sin B=错误!未找到引用源。

cos C ⇒错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

⇒错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

tan C=错误!未找到引用源。

⇒tan C=1,又C∈(0,π),则C=错误!未找到引用源。

,所以B=错误!未找到引用源。

,△ABC为等腰直角三角形.故选D.3.在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3错误!未找到引用源。

,则AC等于( B )(A)4错误!未找到引用源。

(B)2错误!未找到引用源。

(C)错误!未找到引用源。

(D)错误!未找到引用源。

解析:由正弦定理得错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。