《圆》中尺规作图专题培优训练
1、（1）在图①中，已知点A 、B 和直线l 1，在直线l 1上作点P ，使得∠APB=90°；
（2）在图②中，已知点C 、D 和直线l 2，在直线l 2上作点Q ，使得∠CQD=45°．
（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）
2.如图，O 是ABC △的外接圆，AB AC =，P 是O 上一点.
（1）请你只用无刻度的直尺．．．．．．
，分别画出图①和图②中P ∠的平分线； （2）结合图②，说明你这样画的理由.
3.按要求尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）
（1）如图，已知点A 和点B 和直线l,在直线l 上作点P ，使∠APB=90°；
(2) 如图，已知点A 和点B 和直线m,在直线m 上作点C ，使∠ACB=45°；
①
②
4．下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图1，⊙O 及⊙O 上一点P ．
求作：过点P 的⊙O 的切线．
作法：如图2， ①作射线OP ；
②在直线OP 外任取一点A ，以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，与射线OP 交于另一点B ；
③连接并延长BA 与⊙A 交于点C ；
④作直线PC ；
则直线PC 即为所求．
根据小元设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵BC 是⊙A 的直径，
∴∠BPC ＝90°（ ）（填推理的依据）．
∴OP ⊥PC ．
又∵OP 是⊙O 的半径，
∴PC 是⊙O 的切线（ ）（填推理的依据）．
5．已知：AB 为⊙O 的直径，P 为AB 延长线上的一个动点，过点P 作⊙O 的切线，设切点为C 。
（1）当点P 在AB 延长线上的位置如图①所示时，连结AC ，作∠APC 的平分线，交AC 于点D ，
请你测量出∠CDP 的度数；
（2）当点P 在AB 延长线上的位置如图②和图③所示时，连结AC ，请你分别在这两个图中用尺规作∠APC 的平分
线（不写作法，保留作图痕迹），设此角平分线交AC 于点D ，然后在这两个图中分别测量出∠CDP 的度数； 猜想：∠CDP 的度数是否随点P 在AB 延长线上的位置的变化而变化？请对你的猜想加以证明。
O A B P C D O A B P C O A B P C
6.在一次数学兴趣小组活动中，小明利用同弧所对的圆周角及圆心角的性质探索了一些问题，下面请你和小明一起进入探索之旅.
问题情境：
（1）如图1，ABC △中，30A ∠=?，2BC =，则ABC △的外接圆的半径为________.
操作实践：（2）如图2，在矩形ABCD 中，请利用以上操作所获得的经验，在矩形ABCD 内部用直尺与圆规作出一
点P ，点P 满足：BPC BEC ∠=∠，且PB PC =.（要求：用直尺与圆规作出点P ，保留作图痕迹.）
迁移应用：
（3）如图3，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B ，坐标为()2,m ，过点B 作AB y ⊥轴，BC x ⊥轴，垂足分别为A 、C ，若点P 在线段AB 上滑动（点P 可以与点A 、B 重合），发现使得45OPC ∠=?的位置有两个，则m 的取值范围为________.
7.如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A 、B 、C ．
（1）请完成如下操作：①以点O 为原点、竖直和水平方向为轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D ，并连接AD 、CD ．
图2E D C
B A 图1
C B A
（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：
①写出点的坐标：C ▲、D ▲；
②⊙D的半径= ▲（结果保留根号）；
③∠ADC的度数为▲；
④网格图中是否存在过点B的直线BE是⊙D的切线，如果没有，请说明理由；
如果有，请直接写出直线BE的函数解析式。
第六讲 垂直与平行 知识要点 1、认识垂直与平行，理解“点到直线的距离” 2、会画平行线和垂线，能正确画出长方形。 、“平行线之间的距离”； 例题精讲 互相平行: 互相垂直: 例2、分别指出下面图形中的互相平行的线段和互相垂直的线段。 左上图中互相平行的线段是: 右上图中互相垂直的线段是: 例3、如图：小刚说："因为直线a和直线b没有相交，所以直线a和直线b互相平行。”小红说："因为直线c和直线d没有相交，所以直线c和直线d互相平行。”他们两人的说法对吗？为什么？ 例4、( 1)过直线上一点A作已知直线的垂线。 (2)过直线外一点B做已知直线的垂线。 例1、下面的各组直线，哪一组互相平行？哪一组互相垂直?
例5、画一画。 (1)画出已知直线的垂线。 ⑵画出已知直线的平行线。 例6、过三角形内的一点分别向三条线段作垂线。 例7、画一个长3厘米，宽2厘米的长方形。 例8、一只小羊在河边吃草，口渴了想喝水，请你设计一条从草地到小河边最近的线路, 并在图上画出来。 例9、画一条与下面直线距离为1厘米的平行线。
例10、在平行线之间画一个最大的正方形。 例11、两个大小相等的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是和面积。36厘米，求原来一个正方形的周长例12、( 1)数出图中有多少个长方形。 (2)数出图中有多少个正方形。 练习巩固
一、填空： 1平行：在 _________________ 内 __________ 的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线 _____________________ 。 2、 垂直：两条直线相交成 __________________ 时，这两条直线就 _________________ 。其中一条直线叫做另一条直线的 ________ ，他们的交点叫做 _____________ 。 3、 两点之间的距离：两点之间， ____________ 最短。 4、 点到直线的距离：点到直线， ________________________ 最短。 5、 平行线之间的距离：平行线之间，距离 _____________________ 。 、判断题: 1不相交的两条直线叫做平行线。 2、 两条直线相交的交点叫做垂足。 3、 两条线段平行，它们一定相等。 4、 平行线之间的垂线只有一条。 5、 两条直线互相垂直，它们相交而成的四个角一定都是直角。 三、选择题： 1在同一平面内，不重合的两条直线一定是( ) A 、相交的 B 、平行的 C 、垂直的 D 、不相交就平行 2、 两条直线相交，如果其中一个角是直角，那么这两条直线( A 、互相垂直 B 、互相平行 C 、相交 D 、不能确定 3、 在同一个平面内有两条直线都与同一条直线平行，那么这两条直线( ) A 、互相垂直 B 、互相平行 C 、相交 D 、可能互相平行也可能垂直 4、 过直线外一点，画已知直线的垂线，这样的垂线可以画出 ()条。 A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、无数 5、 已知直线a 与直线c 互相平行，直线b 与直线c 互相平行。那么，直线 a 与直线b () A 、互相平行 B 、互相垂直 C 、无法确定 3、过直线外一点画出与已知直线平行的直线( ( ( ( ( ) ) ) ) ) 四、操作题： 1过点A 画已知直线的平行线和垂线。 2、过点分别画出五条边的垂线和平行线。
例谈梯形中的常用辅助线 最重要;平移两腰作出高,延长两腰也是关键;记着平移对角线,上下底和差就出现;如果出现腰中点,就把中位线细心连;上述方法不奏效,过中点旋转成全等;灵活添加辅助线,帮你度过梯形难关;想要易解梯形题,还得注意特题特解;注意梯形割与补,巧变成为□和△.基本图形如下: 一、平移 1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。［例1］如图，梯形ABCD的上底AD=3，下底BC=8 ，腰 CD=4，求另一腰AB的取值范围。 A B C D E
【变式1】已知：如图,在梯形ABCD中,.求证：. 【变式2】已知：如图,在梯形中, .求证：梯形是等腰梯形. 2、平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。 ［例2］如图，在梯形ABCD中，AB//CD，∠D＋∠C=90°，BC=1，AD=3，E、F分别是AB、CD的中点，连接EF，求EF的长。 【变式】如图，在梯形中，，，、为、的中点。求 证：EF=1 2 (CD-AB) 3、平移对角线：一般是过上底的一个端点作一条对角线的平行线,与另一底的延长线相交,得到一 个平行四边形和三角形,把梯形问题转化为平行四边形和三角形问题解决． 【例3】.如图,等腰梯形中, , ,且 ,是高,是中位线,求证：．
【变式1】在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=2 5，求证：AC⊥BD。 【变式2】（平移对角线）已知梯形ABCD的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为_____________ ［例4］在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面积。 二、延长：即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。 ［例5］在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。 【变式1】.如图,在梯形中, , ,梯形的面积与梯形的面积相等．求证： . 【变式2】所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC. 判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论. 三、作对角线：即通过作对角线，使梯形转化为三角形。 ［例6］在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于点E，求证：AD=DE。 A B C D
初一作图练习 班别：学号：姓名：一、尺规作图例题 题目一：作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段a . 求作：线段AB，使AB = a . 作法： （1）作射线AP； （2）在射线AP上截取AB=a . 则线段AB就是所求作的图形。 题目二：作已知线段的中点。 已知：如图，线段MN. 求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）. 作法：（１）分别以M、N为圆心，大于1 2 MN 的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q； （２）连接PQ交MN于O． 则点O就是所求作的ＭＮ的中点。 （试问：PQ与ＭＮ有何关系？） （怎样作线段的垂直平分线？） 题目三：作已知角的角平分线。 已知：如图，∠AOB， 求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。作法： （1）以O为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交OA，OB于M，N； （2）分别以M、Ｎ为圆心，大于1 2 MN 的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；作射线OP。 则射线OP就是∠AOB的角平分线。 题目四：作一个角等于已知角。
二、作图练习 1、如图，已知线段a，b，c，用圆规和直尺画一条线段，使它等于a+b（保留作图痕 迹，不要求写作法） 2、如图，已知线段a，b，c，用圆规和直尺画一条线段，使它等于a+c-2b（保留作图 痕迹，不要求写作法）
3、如图，已知∠α， （1）画一个∠AOB=∠α （2）画∠AOB的补角 （3）画∠AOB的角平分线OC （4）若∠AOC=60°35′，求∠AOB的度数 α 4、如图，一只蚂蚁从O点出发，沿北偏东45°的方向爬行2.5cm，碰到障碍物（记做B）后，折向北偏西60°的方向爬行3cm（此时的位置记作C）。 （1）画出蚂蚁爬行路线； （2）用量角器量出∠OBC的度数。（保留整数）
培优专题和梯形 菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的性质外，各自都有相应的特性，如菱形四边相等、对角线互相垂直，且平分对角；矩形四个角都是直角且对角线相等；正方形是最特殊的平行四边形，它具有菱形和矩形的所有特性，可以说是菱形、矩形的完美结合体，也是最基本的正多边形之一．梯形是现实生活中比较常见的图形之一，也是考查平行四边形和直角三角形非常好的载体，因此在中考数学测试和初中数学竞赛中这些特殊的四边形都是考查的重要内容． 例1 如果将长方形纸片ABCD，沿EF折叠，如图，延长C′E交AD于H，连结GH，那么EF与GH互相垂直平分吗？ 分析要说明EF与GH互相垂直平分，只须说明四边形FGEH是菱形即可． 解：∵FH`∥GE，FG∥EH， ∴四边形FGEH为平行四边形，由题意知： △GEF≌△HFE． ∴FG=FH，EG=EH． ∴四边形GEHF为菱形． ∴EF、GH互相垂直平分． 练习1 1．如图1，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，?∠BAE=18°，则∠CEF=________． (1) (2) (3) 2．如图2，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O，四边形BEFD是菱形，若正方形的边长为6，则菱形的面积为________． 3．如图3，ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AFEC?恰是一个菱形，?则∠EAB=________．
例2 矩形一边长为5，另一边长小于4，将矩形折起来，使两对角顶点重合，?如图， 若折痕EF 长为6，求另一边长． 分析关键弄清“折痕”特点，即在对角线的中垂线上．此问题转化为就矩形ABCD中，已知AD=5，过对角线AC的中点O作AC的垂线EF，分别交AD于F，BC于E，若EF=6，求AB的长的问题． 解：设AB=x，BE=y，连结AE．则AE=CE=5-y． 在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即x2+y2=（5-y）2． 得y= 2 25 10 x - ，AE=5-y= 2 25 10 x + ． 又在Rt△AOE中，AO=1 2 AC= 2 25 2 x + ，EO= 1 2 EF= 6 2 ． 代入AE2=AO2+OE2得， （ 2 25 10 x + ）2=（ 2 25 2 x + ）2+（ 6 2 ）2． 即x4+25x2-150=0．解之得，x2=5，x2=-30（舍去） ∴x=5． 练习2 1．如图4，矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将A、C重合，使纸片折叠压平，?设折痕为EF，试确定重叠部分的△AEF的面积是__________． (4) (5) 2．如图5所示，把一张长方形的纸条ABCD沿对角线BD将△BCD折成△BDF，DF?交AB于E，若已知AE=2cm，∠BDC=30°，求纸条的长和宽各是________．
梯形专题培优训练 一．选择题 1．如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，AD=DC=4，BC=8，点N在BC上，CN=2，E是AB中点，在AC上找一点M使EM+MN的值最小，此时其最小值一定等于（） A．6B．8C．4D．4 2．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC，BE⊥CD，AD=3，AB=5，则BC的长为（） A．6B．7C．8D．9 3．如图，菱形ABCD由6个腰长为2，且全等的等腰梯形镶嵌而成，则线段AC的长为（） A．3B．6C．D． 4．直角梯形的中位线为a，一腰长为b，这个腰与底边所成的角为30°，则它的面积为（） A．a b B． ab C． ab D． ab 5．如图．梯形ABCD中，AD∥BC、AB=CD，AC丄BD于点O，∠BAC=60°，若BC=，则此梯形的面积为（） A．2B．1+C．D．2+ 6．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD于点O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，设AD=a，BC=b，则四边形AEFD的周长是（） A．3a+b B．2（a+b）C．2b+a D．4a+b 7．活动课上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450cm2，则两条对角线所用的竹条至少需要（） A．30cm B．60cm C．45cm D．90cm 8．已知一个梯形的4条边的长分别为1、2、3、4，则此梯形的面积等于（） A．4B．6C．8D． 二．填空题 9．等腰梯形的对角线所夹锐角为60°，如图所示，若梯形上下底之和为2，则该梯形的高为_________．
10．如图把直角梯形ABCD沿射线AD方向平移到梯形EFGH，DC=10，WG=2，CW=3，则阴影部分面积为 _________． 11．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠BAC=90°，AB=2，CD=，E是BC的中点，则DE的长为_________． 12．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，CD=5，AB=11，点M、N分别为AB、CD的中点，则线段MN=_________． 13．如图，∠AOB=45°，过OA上到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11，的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为S1，S2，S3，S4，…，观察图中的规律，求出第10个黑色梯形的面积S10= _________． 14．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=1，∠B=60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一动点，那么PC+PD的最小值为_________． 15．①如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，对角线AC⊥BD，垂足为O．若CD=3，AB=5，则AC的长为_________． ②如图2，在等腰梯形ABCD中，AC⊥BD，AC=6cm，则等腰梯形ABCD的面积为_________cm2． ③如图3，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD于点O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，AD=4，BC=8，则AE+EF等于_________． 16．如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是_________． 三．解答题 17．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=65°，∠C=25°，AD=2，BC=8，AB=3，求梯形ABCD的面积．
梯形辅助线专题训练 口诀：梯形问题巧转换，变为△和□。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。 通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基本思路。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。常见的几种辅助线的作法如下： 作法 图形 平移腰，转化为三角形、平行四边形。 A B C D E 平移对角线。转化为三角形、平行四边形。 A B C D E 延长两腰，转化为三角形。 A B C D E 作高，转化为直角三角形和矩形。 A B C D E F 中位线与腰中点连线。 A B C D E F
（一）、平移 1、平移一腰： 例1. 如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ∥DC ，AD ＝15，AB ＝16，BC ＝17. 求CD 的长. 解：过点D 作DE ∥BC 交AB 于点E. 又AB ∥CD ，所以四边形BCDE 是平行四边形. 所以DE ＝BC ＝17，CD ＝BE. 在R t △DAE 中，由勾股定理，得 AE 2＝DE 2－AD 2，即AE 2＝172－152＝64. 所以AE ＝8. 所以BE ＝AB －AE ＝16－8＝8. 即CD ＝8. 例2如图，梯形ABCD 的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC 的取值范围。 解：过点B 作BM//AD 交CD 于点M ， 在△BCM 中，BM=AD=4， CM=CD －DM=CD －AB=8－3=5， 所以BC 的取值范围是： 5－4 初中数学尺规作图专题训练 一、选择题 1.已知的三边长分别为4、4、6,在所在平面内画一条直线,将△ABC △ABC △ABC 分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画( )条． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2.如图,在中,,,,以点C 为圆心,CB 长为半径作弧, △ABC BC =4交AB 于点D ；再分别以点B 和点D 为圆心,大于的长为半径作弧,两弧相交于 12BD 点E ,作射线CE 交AB 于点F ,则AF 的长为( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3.已知,作图．∠AOB 步骤1：在OB 上任取一点M ,以点M 为圆心,MO 长为半径画半圆,分别交OA 、OB 于点P 、Q ； 步骤2：过点M 作PQ 的垂线交于点C ；^P Q 步骤3：画射线OC ． 则下列判断：；；；平分,其中正确①P C =C Q ②MC ∥OA ③OP =PQ ④OC ∠AOB 的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 44.如图,中,,为的外角,观察图中尺规作图的痕迹,则下列 △ABC AB >AC ∠CAD △ABC 结论错误的是( ) A. ∠DAE =∠B B. ∠EAC =∠C C. AE ∥BC D. ∠DAE =∠EAC 5.尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线,下列作图中正确的是( ) A. B. C. D. 6.如图,已知线段AB ,分别以A 、B 为圆心,大于为半径作弧,连接弧的交点得到直 12AB 线l ,在直线l 上取一点C ,使得,延长AC 至M ,求的度数为( )∠BCM A. B. C. D. 7.如图,在中,分别以点A 和点C 为圆心,大于长为半径画弧,两弧相交于点 △ABC 12AC M ,N ,作直线MN 分别交BC ,AC 于点D ,若,的周长为13cm ,则E .AE =3cm △ABD △的周长为( ) ABC A. 16cm B. 19cm C. 22cm D. 25cm 平行线分线段成比例专题训练 平行线分线段成比例定理及其推论 1. 平行线分线段成比例定理 如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB AC DE DF = . 2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果 DE BC ∥，则 AD AE DE AB AC BC == 3. 平行的判定定理：如上图，如果有BC DE AC AE AB AD = =，那么DE ∥BC 。 专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用 【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。 【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求 证：111 c a b =+. 【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和 BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明： 111 AB CD EF += . 【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，， 过对角线交点O 作 EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。 O F E D C B A 【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥， AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求 l 3 l 2l 1F E D C B A A B C D E E D C B A E D C B A F E D C B A F E D C B A 梯形 等腰梯形的证明 【基础练习】 1.下列命题中真命题的个数是（） ①等腰梯形的对角线和各边组成的三角形中，面积相等的有三对.②等腰梯形的对角线相等. ③相邻两角相等的梯形是等腰梯形.④等腰梯形中有可能有直角. A.4 B.3 C.2 D.1 2.下列命题中： （1）有两个角相等的梯形是等腰梯形；（2）有两条边相等的梯形是等腰梯形；（3）两条对角线相等的梯形是等腰梯形；（4）等腰梯形上、下两底中点连线把梯形分成面积相等的两部分，其中正确的命题有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.下列命题错误的是( ) A.矩形是平行四边形; B.相似三角形一定是全等三角形 C.等腰梯形的对角线相等 D.两直线平行,同位角相等 4.下列四边形中，两条对角线一定不相等的是（） A．正方形B．矩形C．等腰梯形D．直角梯形 5.下列图形中：平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形， 是轴对称图形的有（） A．6个B．5个C．4个D．2个 6.四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C：∠D=2：2：1：3，则这个四边形是（） A．梯形B．等腰梯形C．直角梯形D．任意四边形 7.有两个角相等的梯形是（） A ．等腰梯形B．直角梯形C．一般梯形D．等腰梯形或直角梯形； 8. 一个等腰梯形的高恰好等于这个梯形的中位线，若分别以这个梯形的上底和下底为直径 作圆，则这个圆的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相交 C ．外切 D ．内切 9. 下列说法：（1）等腰梯形是轴对称图形（2）梯形的对角线相等（3）等腰梯形的底角相 等（4）等腰梯形的两组对角互补．其中正确的个数为（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 10. 顺次连结等腰梯形各边中点得到的四边形是（ ） A ．矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 11. 如图,锐角三角形ABC 中(AB>AC),AH ⊥BC,垂足为H,E 、D 、F 分别是各边的中点,则四 边形EDHF 是( ) A.梯形 B.等腰梯形 C.直角梯形 D.矩形 12. 等腰梯形的下底是上底的3倍,高与上底相等,这个梯形的腰与下底所夹角的度数为 ( ) A.30° B.45° C.60° D.135° 13. 有下列说法：①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形的对角线相等；③等腰 梯形是轴对称图形，且只有一条对称轴；④有两个内角相等的梯形是等腰梯形．其中正确的有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 14. 如右图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，则∠A ：∠B ：∠C ：∠D 可以是（ ） A. 1：2：3：4 B.3：2：2：3 C. 3：3：2：2 D. 2：2：3：2 _ C _ B _ A _ D 梯形辅助线专题练习 1、等腰梯形上、下底差等于一腰的长，那么腰长与下底的夹角是（ ）.A.5° B.60° .45° D.30° 2、腰梯形两底之差的一半等于它的高，那么此梯形的一个底角是（ ）A .30° B .45° C .60° D .75° 3、直角梯形两底之差等于高，则其最大角等于_______. 4、梯形两底长分别为14cm 和24cm ，下底与腰的夹角分别是60°和30°，求较短腰长。 5、梯形ABCD 的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC 的取值范围。 6、已知梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=DC ，对角线AC 、BD 互相垂直，梯形的两底之和为8。求梯形的高与面积。 7、在等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，AD=3，BC=7，BD=25，求证：AC ⊥BD 。 8、在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC=15cm ，BD=20cm ，高BH=12cm ，求梯形ABCD 的面积。 9、如图，梯形ABCD 中，AB//CD ，E 为腰AD 的中点，且AB+CD=BC 。求证：BE ⊥CE 。 C D 10、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =50°，∠C =80°，AD =8，BC =11，则CD =_______． 11、等腰梯形的腰长为5cm ，上、下底的长分别为6cm 和12cm ，则它的面积为_______． 12、如图，在梯形A B C D 中，A D B C ∥，对角线A C B D ⊥，且8A C =cm ，6B D =cm ，则此梯形的高为 _______________cm ． 13、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝8，DC ＝6，∠B ＝45°，BC ＝10，求梯形上底AD 的长. 14、如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B ＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接EF ，求EF 的长。 F B A 15、如图所示，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝60°，AD ＝2，BC ＝8，求等腰梯形的周长。 A B C D 16、. 在等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=CD ，∠ABC=60°，AD=3cm ，BC=5cm ，求：（1）腰AB 的长；（2）梯形ABCD 的面积． 320国道 ． 5 题 ． 学习必备 欢迎下载 一、尺规基本作图归纳 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作角的平分线； 4、作线段的中垂线； 5、已知三边,两边和其夹角或两角和其夹边作三角形; 6、已知底边和底边上的高作等腰三角形； 7、过直线上一点作直线的垂线； 8、过直线外一点作直线的垂线. 题 1、如图,有一破残的轮片,现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件,请你根据所学的有关知识,设计一种方案,确定 这个圆形零件的半径. 2、 如图:107 国道 OA 和 320 国道 OB 在某市相交于点 O,在∠AOB 的内部有工厂 C 和 D,现要修建一个货站 P ,使 P 到 OA 、OB 的距离相等且 PC=PD ,用尺规作出货站 P 的位置(不写作法,保留作图痕迹,写出结论) A D A 107国道 C C B O B 3、 三条公路两两相交，交点分别为 A ，B ，C ，现计划建一个加油站，要求到三条公路的距离相等，问满足要求的加 油站地址有几种情况？ B A A O A C B C 4、 过点 C 作一条线平行于 AB ； 5、过不在同一直线上的三点 A 、B 、C 作圆 O ； 6、过直线外一点 A 作圆 O 的切线。 二、几何画图：1 只利用一把有刻度的直尺,用度量的方法,按下列要求画图: 1）画等腰三角形 ABC 的对称轴: 2)画∠AOB 的对称轴 2 有一个未知圆心的圆形工件.现只允许用一块三角板（注：不允许用三角板上的刻度）画出该工件表面上的一条直径 并定出圆心.要求在图上保留画图痕迹，写出画法. 3 某校有一个正方形的花坛，现要将它分成形状和面积都相同的四块种上不同颜色的花卉，请你帮助设计至少三种不同 的方案，分别画在下面正方形图形上（用尺规作图或画图均可，但要尽可能准确些、美观些） 4 某村一块若干亩土地的图形是ΔABC ，现决定把这块土地平均分给四位“花农”种植，请你帮他们分一分，提供至少两 种分法。要求：画出图形，并简要说明分法。 5.如图所示，在正方形网格上有一个三角形 ABC.①作△ABC 关于直线 MN 的对称图形(不写作法)； ②若网格上的最小正方形的边长为 △1.求 ABC 的面积. M P A A 甲 乙 丙 丁 C C B D Q B C A B 6 题 7 题 N 6 如图，方格纸中每个小方格都是边长为 1 的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形” 如图（一） 中四边形 ABCD 就是一个“格点四边形”． ①求图中四边形 ABCD 的面积；②在图中方格纸上画一个格点△EFG ，使△EFG 的面积等于四边形 ABCD 的面积且为 培优专题7 菱形、矩形、正方形和梯形 菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的性质外，各自都有相应的特性，如菱形四边相等、对角线互相垂直，且平分对角；矩形四个角都是直角且对角线相等；正方形是最特殊的平行四边形，它具有菱形和矩形的所有特性，可以说是菱形、矩形的完美结合体，也是最基本的正多边形之一．梯形是现实生活中比较常见的图形之一，也是考查平行四边形和直角三角形非常好的载体，因此在中考数学测试和初中数学竞赛中这些特殊的四边形都是考查的重要内容． 例1 如果将长方形纸片ABCD，沿EF折叠，如图，延长C′E交AD于H，连结GH，那么EF与GH互相垂直平分吗？ 分析要说明EF与GH互相垂直平分，只须说明四边形FGEH是菱形即可． 解：∵FH`∥GE，FG∥EH， ∴四边形FGEH为平行四边形，由 题意知： △GEF≌△HFE． ∴FG=FH，EG=EH． ∴四边形GEHF为菱形． ∴EF、GH互相垂直平分． 练习1 1．如图1，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，?∠BAE=18°，则∠CEF=________． (1) (2) (3) 2．如图2，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O，四边形BEFD是菱形，若正方形的边长为6，则菱形的面积为________． 3．如图3，ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AFEC?恰是一个菱形，?则∠EAB=________． 例2 矩形一边长为5，另一边长小于4，将矩形折起来，使两对角顶点重合，?如图，若折痕EF 长为 6，求另一边长． 分析 关键弄清“折痕”特点，即在对角线的中垂线上．此问题转化为就矩形ABCD 中，已知AD=5，过对角线AC 的中点O 作AC 的垂线EF ，分别交AD 于F ，BC 于E ，若EF=6 ， 求AB 的长的问题． 解：设AB=x ，BE=y ，连结AE ．则AE=CE=5-y ． 在Rt △ABE 中，AB 2+BE 2=AE 2，即x 2+y 2=（5-y ）2． 得 y= 2 2510 x -，AE=5-y= 2 2510 x +． 又在Rt △AOE 中，AO=1 2 AC= 225x +，EO=12 EF= 6． 代入AE 2=AO 2+OE 2得， （ 2 2510 x +）2 =（ 225x +）2+（ 6 ）2． 即x 4+25x 2-150=0．解之得，x 2=5，x 2=-30（舍去） ∴x= 5． 练习2 1、在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO． 2、如图，已知，□ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点． 求证：四边形MFNE是平行四边形． 3、在□ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF． 求证：四边形BEDF是平行四边形． 4、已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点．求证：四边形EHFG是平行四边形． 5、已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF． （1）求证：四边形EFCD是平行四边形； （2）若BF=EF，求证：AE=AD． 6、如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F． （1）求证：BE=DF； （2）若 M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形 MENF的形状（不必说明理由）． 7．已知：如图，在?ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四边形．求证：四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形． 8．如图，已知在?ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC 的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG． （1）求证：四边形GEHF是平行四边形； （2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则（1）中 的结论是否成立 9、如图所示．?ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交CB于E．求证：BE=CF． 10．已知平行四边形ABCD的周长为36cm，过D作AB，BC边上的高DE、DF，且cm，，求平行四边形ABCD的面积． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知O为原点，四边形ABCD为平 行四边形，A、B、C的坐标分别是A（﹣3，），B（﹣2，3），C （2，3），点D在第一象限． （1）求D点的坐标； （2）将平行四边形ABCD先向右平移个单位长度，再向下平移 个单位长度所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少 教师姓名学生姓名填写时间 学科数学年级八年级教材版本新人教版 课题名称梯形辅助线专题训练本人课时统计 第（）课时 共（2）课时 上课时间20：05 教学目标 同步教学知识内容梯形问题巧转换，变为△和□ 个性化学习问题解决方法与技巧的运用 教学重点方法与技巧的运用 教学难点法则：平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。 教学过程、课堂设计一、通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基本思路。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。常见的几种辅助线的作法如下： 二、典型例题分析 （一）、平移 作法图形 平移腰，转化为三角形、平行四边形。 A B C D E 平移对角线。转化为三角形、平行四边形。 A B C D E 延长两腰，转化为三角形。 A B C D E 作高，转化为直角三角形和矩形。 A B C D E F 中位线与腰中点连线。 A B C D E F 1、平移一腰： 例1. 如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ∥DC ，AD ＝15，AB ＝16，BC ＝17. 求CD 的长. 练习1、如图，5. 如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15cm 和49cm ，求它的腰长. A B C D 2、平移两腰： 例2如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B ＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接EF ，求EF 的长。 3、平移对角线： 例3、 如图所示，AB ∥CD ，AE ⊥DC ，AE ＝12，BD ＝20，AC ＝15，则梯形ABCD 的面积为（ ） A B C D E 练习2 如图所示，在等腰梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，对角线AC 与BD 互相垂直，且AD ＝30，BC ＝70，求BD 的长和梯形ABCD 的面积. A B C D A B C D 2018中考数学试题分类汇编：考点32 尺规作图一．选择题（共13小题） 1．（2018?襄阳）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（） A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm 【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题． 【解答】解：∵DE垂直平分线段AC， ∴DA=DC，AE=EC=6cm， ∵AB+AD+BD=13cm， ∴AB+BD+DC=13cm， ∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm， 故选：B． 2．（2018?河北）尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线； Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线． 如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图： 则正确的配对是（） A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣ⅢB．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣ⅠC．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣ⅠD．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ【分析】分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点作这条直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案． 【解答】解：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线． 如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图： 则正确的配对是：①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ． 故选：D． 3．（2018?河南）如图，已知?AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交 边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（） A．（﹣1，2）B．（，2）C．（3﹣，2）D．（﹣2，2） 【分析】依据勾股定理即可得到Rt△AOH中，AO=，依据∠AGO=∠AOG，即 可得到AG=AO=，进而得出HG=﹣1，可得G（﹣1，2）． 【解答】解：∵?AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2）， 一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°． （1）OC的长为； （2）D是OA上一点，以BD为直径作⊙M，⊙M交AB于点Q．当⊙M与y轴相切时，sin∠BOQ=； （3）如图2，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点O沿线段OA向点A运动；同时动点D以相同的速度，从点B沿折线B﹣C﹣O向点O运动．当点P到达点A时，两点同时停止运动．过点P作直线PE∥OC，与折线O﹣B﹣A交于点E．设点P运动的时间为t （秒）．求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标． 【答案】（1）4；（2）3 5 ；（3）点E的坐标为（1，2）、（ 5 3 ， 10 3 ）、（4，2）． 【解析】 分析：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），易证四边形OCBH是矩形，从而有OC=BH，只需在△AHB中运用三角函数求出BH即可． （2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2），则有OH=2，BH=4，MN⊥OC．设圆的半径为r，则 MN=MB=MD=r．在Rt△BHD中运用勾股定理可求出r=2，从而得到点D与点H重合．易证△AFG∽△ADB，从而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG．设OR=x，利用BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2可求出x，进而可求出BR．在Rt△ORB中运用三角函数就可解决问题．（3）由于△BDE的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况（①∠BDE=90°， ②∠BED=90°，③∠DBE=90°）讨论，然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立关于t的方程就可解决问题． 详解：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），则有∠BHA=90°=∠COA，∴OC∥BH．∵BC∥OA，∴四边形OCBH是矩形，∴OC=BH，BC=OH． ∵OA=6，BC=2，∴AH=0A﹣OH=OA﹣BC=6﹣2=4． ∵∠BHA=90°，∠BAO=45°， ∴tan∠BAH=BH HA =1，∴BH=HA=4，∴OC=BH=4． 故答案为4． （2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2）． 四边形培优提高训练复习 1．如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC 、BD 相交于点O ，∠ACD ＝600，点S 、P 、Q 分别是OD 、OA 、BC 的中点。 （1）求证：△PQS 是等边三角形； （2）若AB ＝8，CD ＝6，求PQS S ?的值。 （3）若PQS S ?∶AOD S ?＝4∶5，求CD ∶AB 的值。 2 <1> 如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF 。 2 <2> 如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ． 求证：AE ＝AF 。 2 <3> 过正方形ABCD 的顶点B 引对角线AC 的平行线BE ，在BE 上取一点F ，使AF=AC ，若作菱形CAFé，求证：AE 及AF 三等分∠BAC 。 3.如图，ABM ∠为直角，点C 为线段BA 的中点，点D 是射线BM 上的一个动点（不与点B 重合），连结AD ，作BE AD ⊥，垂足为E ，连结CE ，过点E 作EF CE ⊥，交BD 于F ． （1）求证：BF FD =；（2）A ∠在什么范围内变化时，四边形ACFE 是梯形，并说理； （3）A ∠在什么范围内变化时，线段DE 上存在点G ，满足条件 14DG DA =，并说理。 4.如图所示，在△ABC 中，分别以AB 、AC 、BC 为边在BC 的同侧作等边△ABD ，等边△ACE 、等边△BCF 。 （1）求证：四边形DAEF 是平行四边形； (2)探究下列问题：(只填满足的条件，不需证明) ①当△ABC 满足_________________________条件时，四边形DAEF 是矩形； ②当△ABC 满足_________________________条件时，四边形DAEF 是菱形； ③当△ABC 满足_________________________条件时，以D 、A 、E 、F 为顶点的四边形不存在． 5．如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点，且EF ∥AC ，在DA 的延长线上取一点G ，使AG ＝AD ，EG 与DF 相交于点H 。求证：AH ＝AD 。 1图 H G F E D C B A 6．若以直角三角形ABC 的边AB 为边，在三角形ABC 的外部作正方形ABDE ，AF 是BC 边的高，延长FA 使AG=BC ，求证：BG=CD 。 梯形辅助线专题训练题 考号______ 姓名___________ 1 如图，已知在梯形ABCD 中，AB // DC,/ D=60 °，/ C=45 ° , AB= 2 , AD=4，求梯形ABCD 的面积. 2、在梯形ABCD 中，AD//BC , AB=DC=AD=2 , BC=4，求/ B 的度数及AC 的长。 3、如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD // BC,/ B= 60°, AD = 2, BC= 8,求等腰梯形的周长。 A n 4、如图所示, AB // CD , AE 丄DC , AE = 12, BD = 20, AC = 15,求梯形ABCD 的面积。 E 5、如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD // BC,对角线AC与BD互相垂直，且AD =30，BC= 70,求BD 的长. 6、如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60°,它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长? A n 7、如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD // BC, AC丄BD , AD + BC= 10, DE丄BC于E , 求DE的长? 8、已知：如图，梯形ABCD 中，AD// BC, AB=DC，/ BAD / CDA 的平分线AE、DF 分别交直线BC 于点E、F. 求证：CE=BF . A D C D C 9、如图，在梯形 ABCD 中，AD // BC , BD CD , BDC 90 ° AD 3, BC 8 .求 10、如图6,在梯形ABCD 中，AD // BC , A 90 , C 45 , DE=EC , AB=4,AD=2 , 求BE 的长. 11、已知：如图，梯形ABCD 中，DC // AB , AD=BC ，对角线 AC 、BD 交于点 O , / COD=60 若 CD=3， AB=8，求梯形 ABCD 的高. AB 的长. D C初中数学尺规作图专题训练
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