中考数学尺规作图专题复习(含答案)

第27课 尺规作图1．尺规作图是指_______________________________________________________ ． 2．某产品的标志图案如图（1）所示，要在所给的图形中，把A 、B 、C 三个菱形通过一种或几种变换，使之变为与图（1）一样的图案（1）请你在图（二）中作出变换后的图案（最终图案用实线表示）（2）你所用的变换方法是________（在以下变换方法中，选择一种正确的填到横线上，也可以用自己的话表述）①将菱形B 向上平移；②将菱形B 绕O 旋转1200；③将菱形B 绕O 旋转1800．（一） （二）3．已知∆ABC 与∆EFG 是关于点D 的中心对称图形，请将∆EFG 补充完整．4．如图，∆ABC 是一块直角三角形余料，222A B C ∠工人师傅要把它加工成一个正方形零件，使C 为正方形的一个顶点，其余三个顶点分别在AB 、BC 、AC 边上． (1) 试协助工人师傅用尺规画出裁割线（不写作法、保留作图痕迹）；DCB A(2)工人师傅测得AC ＝80cm ，BC=120cm ，请帮助工人师傅算出按（1）题所画裁割线加工成的正方形的零件的边长．5．如图，107国道OA 和320国道OB 在我市相交于O 点，在AOB ∠的内部有工厂C 和D,现要修建一个货站P ，使P 到OA 、OB 的距离相等，且使PC=PD,用尺规作出货站P 的位置（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）．6．如图，已知∆ABC ，(1)以直线l 为对称轴，画出∆ABC 关于直线l 对称的∆111A B C ；(2)将∆ABC 向右平移，得到∆222A B C ，其中2A 是A 的对称点，请画出∆222A B C （不写作法、保留作图痕迹）．BC AA7．某农场有一块三角形土地，准备分成面积相等的4块，分别承包给4位农户，请你设计两种不同的分配方案（在已给的图形中直接画图，不写作法保留作图痕迹）．8．现有一长方形木块的残留部分如图，其中AB 、CD 整齐且平行，BC 、AD 是参差不齐的毛边，请你在毛边附近有尺规画出一条与AB 、CD 都垂直的边（不写作法、保留作图痕迹）．9．如图，已知∆ABC 的三个顶点的坐标分别为A （－7，1）、B （－3，3）、C （－2，6）. (1)求作一个三角形，使它与∆ ABC 关于y 轴对称． (2)写出作出的三角形的三个顶点的坐标．CBA CBADCBA第28课投影与视图1．请写出三种视图都相同的两种几何体是____________、______________ ．2．同一形状的图形在同一灯光下可以得到_________的图形．（填“同”或“不同”）3．两个物体在同一灯光下的影子构成的两个三角形___相似三角形．（填“是”或“不是）4．如图，一几何体的三视图如右：那么这个几何体是____________ ．5．两个物体的主视图都是圆，这两个物体可能是（）A．圆柱体、圆锥体B．圆柱体、正方体C．圆柱体、球D．圆锥体、球6．在同一时刻，两根长度不等的竿子置于阳光之下，但它们的影长相等，那么这根竿子的相对位置是（）A．两根都垂直于地面B．两根平行斜插在地上C．两根竿子不平行D．一根倒在地上7．两个不同长度的的物体在同一时刻同一地点的太阳光下得到的投影是（）A．相等B．长的较长C．短的较长D．不能确定8．同一灯光下两个物体的影子可以是（）A．同一方向B．不同方向C．相反方向D．以上都是可能9．棱长是1㎝的小立方体组成如图所示的几何体，那么这个几何体的表面积是（）A．362cm B．332cm C．302cm D．272cm10．一个人离开灯光的过程中人的影长（）A．不变B．变短C．变长D．不确定11.下列图中是太阳光下形成的影子是（）A B C D12．有一实物如图，那么它的主视图（）俯视图左视图主视图A B C D13．画出下图所示的三视图．（第13题）（第14题）14．楼房,旗杆在路灯下的影子如图所示．试确定路灯灯炮的位置，再作出小树在路灯下的影子．（不写作法，保留作图痕迹）15．已知，如图,AB和DE是直立在地面上的两根立柱.AB=5m,某一时刻AB在太阳光下．．．的投影BC=3m.（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；（2）在测量AB的投影时,同时测量出DE在阳光下的投影长为6m,计算DE的长.16．如图，一个棱长为10㎝的正方形，当你观察此物体时．（1）在什么区域内只能看到一面？（2）在什么区域内只能看到两个面？（3）在什么区域内能看到三个面？EAB C17．小强说：“同一时刻，阳光下影子越长的物体就越高”，你同意他的说法吗？小亮说：“同一时刻，灯光下影子越长的物体就越高”，你同意吗？说说你的理由．18．为解决楼房之间的挡光问题，某地区规定：两幢楼房间的距离至少为40米，中午12时不能挡光.如图，某旧楼的一楼窗台高1米，要在此楼正南方40米处再建一幢新楼.已知该地区冬天中午12时阳光从正南方照射，并且光线与水平线的夹角最小为30°，在不违反规定的情况下，请问新建楼房最高多少米？（结果精确到1米.732.13≈，414.12≈）1第27课尺规作图答案1．尺规作图就是只准有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图。

中考尺规作图专题复习（含答案）尺规作图定义：用无刻度的直尺和圆规画图，中考中常见画的图是线段的垂线，垂直平分线，角平分线、画等长的线段，画等角。

1.直线垂线的画法：【分析】：以点C为圆心，任意长为半径画弧交直线与A，B两点，再分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画圆弧，分别交直线l两侧于点M，N，连接MN，则MN即为所求的垂线2.线段垂直平分线的画法【分析】：作法如下：分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画圆弧，分别交直线AB两侧于点C，D，连接CD，则CD即为所求的线段AB的垂直平分线.3.角平分线的画法【分析】1.选角顶点O为圆心，任意长为半径画圆，分别交角两边A，B点，再分别以A，B为圆心，大于12AB的长为半径画圆弧，交H点，连接OH，并延长，则射线OH即为所求的角平分线.4.等长的线段的画法直接用圆规量取即可。

5.等角的画法【分析】以O为圆心，任意长为半径画圆，交原角的两边为A,B两点，连接AB；画一条射线l，以上面的那个半径为半径，l的顶点K为圆心画圆，交l与L，以L为圆心，AB 为半径画圆，交以K为圆心，KL为半径的圆与M点，连接KM，则角LKM即为所求.备注：1.尺规作图时，直尺主要用作画直线，射线，圆规主要用作截取相等线段和画弧；2.求作一个三角形，其实质是依据三角形全等的基本事实或判定定理来进行的；3.当作图要满足多个要求时，应逐个满足，取公共部分.例题讲解例题1.已知线段a，求作△ABC，使AB=BC=AC=a.解：作法如下:①作线段BC=a；（先作射线BD，BD截取BC=a）.②分别以B、C为圆心，以a半径画弧，两弧交于点A；③连接AB、AC.则△ABC 要求作三角形.例2.已知线段a 和∠α，求作△ABC ，使AB=AC=a ，∠A=∠α.解：作法如下：①作∠MAN=∠α；②以点A 为圆心，a 为半径画弧，分别交射线AM ，AN 于点B ，C. ③连接B ，C.△ABC 即为所求作三角形.例3.(深圳中考)如图，已知△ABC ，AB <BC ，用尺规作图的方法在BC 上取一点P ，使得PA ＋PC ＝BC ，则下列选项中，正确的是(D )【解析】由题意知，做出AB 的垂直平分线和BC 的交点即可。

中考尺规作图专题复习（含答案）尺规作图定义：用无刻度的直尺和圆规画图，中考中常见画的图是线段的垂线，垂直平分线，角平分线、画等长的线段，画等角。

1.直线垂线的画法：【分析】：以点C为圆心，任意长为半径画弧交直线与A，B两点，再分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画圆弧，分别交直线l两侧于点M，N，连接MN，则MN即为所求的垂线2.线段垂直平分线的画法【分析】：作法如下：分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画圆弧，分别交直线AB两侧于点C，D，连接CD，则CD即为所求的线段AB的垂直平分线.3.角平分线的画法【分析】1.选角顶点O为圆心，任意长为半径画圆，分别交角两边A，B点，再分别以A，B为圆心，大于12AB的长为半径画圆弧，交H点，连接OH，并延长，则射线OH即为所求的角平分线.4.等长的线段的画法直接用圆规量取即可。

5.等角的画法【分析】以O为圆心，任意长为半径画圆，交原角的两边为A,B两点，连接AB；画一条射线l，以上面的那个半径为半径，l的顶点K为圆心画圆，交l与L，以L为圆心，AB为半径画圆，交以K为圆心，KL为半径的圆与M点，连接KM，则角LKM即为所求.备注：1.尺规作图时，直尺主要用作画直线，射线，圆规主要用作截取相等线段和画弧；2.求作一个三角形，其实质是依据三角形全等的基本事实或判定定理来进行的；3.当作图要满足多个要求时，应逐个满足，取公共部分.例题讲解例题1.已知线段a，求作△ABC，使AB=BC=AC=a.解：作法如下:①作线段BC=a；（先作射线BD，BD截取BC=a）.②分别以B、C为圆心，以a半径画弧，两弧交于点A；③连接AB、AC.则△ABC要求作三角形.例2.已知线段a和∠α，求作△ABC，使AB=AC=a，∠A=∠α.解：作法如下：①作∠MAN=∠α；②以点A为圆心，a为半径画弧，分别交射线AM，AN于点B，C.③连接B，C.△ABC即为所求作三角形.例3.(深圳中考)如图，已知△ABC，AB<BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA＋PC＝BC，则下列选项中，正确的是(D)【解析】由题意知，做出AB的垂直平分线和BC的交点即可。

2024学年全国中考数学必刷好题（通用版）专项(尺规作图及简单几何证明)练习1．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AD∥BC．（1）在图中，用尺规作线段BD的垂直平分线EF，分别交BD、BC于点E、F．（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接DF，证明四边形ABFD为菱形．2．如图，在矩形ABCD中，AO＝OC．（1）用尺规过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E，F，连接AF，CE．（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、结论）（2）求证：四边形AFCE是菱形．3．如图，已知等边△ABC中边AB＝10，按要求解答下列问题：（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线BP，射线BP交边AC于点P．（不写作法，用2B 铅笔作图并保留痕迹）（2）在（1）作图中，若点D在线段BP上，且使得AD＝5，求BD的长．（结果保留根号）4．在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）尺规作图：作边AB的垂直平分线EF，分别与线段AB、AC，AD交于点E、F，G；（不写作法，保留作图痕迹）（2）连接BG、CG，若AG＝1，∠BAC＝45°，求△BGC的面积．5．求证：等腰三角形两腰上的中线相等．（1）请用尺规作出△ABC两腰上的中线BD、CE（保留痕迹，不写作法）；（2）结合图形，写出已知、求证和证明过程．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝120°．（1）作AB的垂直平分线，交AB于点D，交BC于点E，连接AE，延长CA，交直线DE于点F；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图中，求证：AC＝AF．7．如图，在△ABC中，AB＝8，∠ABC＝30°，∠ACB＝45°．（1）用尺规作图的方法作出AC边的中垂线；（保留作图痕迹，不写作法）（2）求△ABC的面积．8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形．（1）请用直尺和圆规在AB上取一点E，使得EA＝ED；（2）在（1）的条件下，连接CE，若∠A＝60°，AB＝6，AD＝4，求线段CE的长．9．如图，BD是△ABC的角平分线．（1）用直尺和圆规过点D作DF⊥BC，垂足为F（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）若BC＝5，AB＝6，S△ABC＝11，求DF的长．10．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，交BC于点M． （1）尺规作图：作∠BCD的平分线CN，交BD于点F．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，并标明字母）（2）求证：AE＝CF．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，连接AD，E是边CA延长线上一点，射线AF平分∠BAE．（1）过点B作AF的垂线，垂足为G（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）所作的图中，求证：四边形BDAG是矩形．12．如图，在平行四边形ABCD中，CF平分∠BCD交B于点F．（1）尺规作图：过点A作AE平分∠BAD交BD于点E；注意：不写作法，保留作图痕迹，并标明字母．（2）求证：AE＝CF．13．如图，△ABC中，BA⊥AC，∠B＝31°．（1）尺规作图：作线段BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E；（2）在（1）作图的基础上，连接AE、CD，求∠AED的度数．14．如图．菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O．尺规作图：过点A作直线BC的垂线（不写作法和证明，保留作图痕迹）．该垂线与BC交于点E，F为AD边上一点，DF＝AE，连接OF，若OD＝2AO，请猜想CE与OF的数量关系，并证明你的猜想．15．如图，在平行四边形ABCD中，按下列步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交AB于点N，交BC于点M；②再分别以点M和点N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线BG交AD于F；④作FE∥AB交BC于E；⑤连接AE交BF于点P；（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）连接CP，若AB＝8，AD＝12，∠ABC＝60°，求CP的长．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，P是边AD上一点，将△ABP沿着直线PB 折叠，得到△EBP．（1）请在备用图上用没有刻度的直尺和圆规，在边AD上作出一点P，使BE平分∠PBC，并求出此时△BEC的面积；（作图要求：保留作图痕迹，不写作法．）（2）连接CE并延长交线段AD于点Q，则AQ的最大值为．（直接写出答案）17．如图，已知⊙O，请用无刻度的直尺和圆规按要求画图（不写画法，保留作图痕迹）（1）图1中，若点P为⊙O外一点，请过点P作⊙O的一条切线PM（点M为切点）；（2）图2中，若点Q为⊙O外一点，点C为优弧AB上一点，试确定点C，使得CQ平分∠ACB．18．如图，四边形ABCD为正方形．（1）请用直尺（不含刻度）与圆规在正方形内作一点P，使得点P到AB、CD的距离相等，且点P到BC的距离等于P A的长；（不要求写做法，但要保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若正方形的边长为4，求P A的长．19．已知：∠AOB和线段a．求作：⊙P，使它与∠AOB的两边相切，半径等于线段a．20．下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程． 已知：⊙O和圆外一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：①连接OP；②以OP为直径作⊙M，交⊙O于点A，B；③作直线P A，PB；所以直线P A，PB为⊙O的切线．根据小文设计完成作图（保留作图痕迹）及证明．证明：连接OA，OB．∵OP为⊙M的直径，∴∠OAP＝∠OBP＝ °，（）（填推理的依据） ∴OA⊥AP， ⊥BP．∵OA，OB为⊙O的半径，∴直线P A，PB为⊙O的切线．（）（填推理的依据）参考答案1．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AD∥BC．（1）在图中，用尺规作线段BD的垂直平分线EF，分别交BD、BC于点E、F．（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接DF，证明四边形ABFD为菱形．【详细解答】解：（1）如图：（2）证明：如图，连接DF，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠EBF，∵AF垂直平分BD，∴BE＝DE．在△ADE和△FBE中，，∴△ADE≌△FBE（ASA），∴AE＝EF，∴BD与AF互相垂直且平分，∴四边形ABFD为菱形．2．如图，在矩形ABCD中，AO＝OC．（1）用尺规过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E，F，连接AF，CE．（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、结论）（2）求证：四边形AFCE是菱形．【详细解答】解：（1）如图所示，直线EF即为所求；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∵AC的中点是O，∴OA＝OC，在△EOA和△FOC中，，∴△EOA≌△FOC（ASA），∴OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形．3．如图，已知等边△ABC中边AB＝10，按要求详细解答下列问题：（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线BP，射线BP交边AC于点P．（不写作法，用2B铅笔作图并保留痕迹）（2）在（1）作图中，若点D在线段BP上，且使得AD＝5，求BD的长．（结果保留根号）【详细解答】解：（1）如图所示，射线BP即为所求．（2）∵△ABC为等边三角形，∠PBA＝30°，∴BP平分∠ABC，∴BP⊥AC，在Rt△ABP中，BP＝AP＝5，∴AP＝AB＝5＜5，在Rt△ADP中，PD＝＝＝5，∴BD＝BP﹣PD＝5﹣5．4．在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）尺规作图：作边AB的垂直平分线EF，分别与线段AB、AC，AD交于点E、F，G；（不写作法，保留作图痕迹）（2）连接BG、CG，若AG＝1，∠BAC＝45°，求△BGC的面积．【详细解答】解：（1）如图，直线EF即为所求作．（2）∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝22.5°，BD＝CD，∵GB＝GC，∵EF垂直平分线段AB，∴GA＝GB＝GC＝1，∴∠GBA＝∠BAG＝22.5°，∠GCA＝∠GAC＝22.5°，∴∠BGD＝∠GBA+∠GAB＝45°，∠CGD＝∠GCA+∠GAC＝45°，∴∠BGC＝90°，∴S△BGC＝•BG•GC＝．5．求证：等腰三角形两腰上的中线相等．（1）请用尺规作出△ABC两腰上的中线BD、CE（保留痕迹，不写作法）；（2）结合图形，写出已知、求证和证明过程．【详细解答】解：（1）如图所示，中线BD、CE即为所求；（2）已知：△ABC中，AB＝AC，AD＝DC，AE＝EB，求证：BD＝CE．证明：∵AB＝AC，AD＝DC，AE＝EB，∴DC＝BE，∠DCB＝∠EBC．∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB（SAS）．∴BD＝CE．即等腰三角形的两腰上的中线相等．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝120°．（1）作AB的垂直平分线，交AB于点D，交BC于点E，连接AE，延长CA，交直线DE于点F；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图中，求证：AC＝AF．【详细解答】（1）解：如图，EF为所作；（2）证明：连接AE，如图，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝×（180°﹣120°）＝30°，∵DE垂直平分AB，∴∠ADF＝90°，EB＝EA，而∠DAF＝180°﹣∠BAC＝60°，∠EAB＝∠B＝30°，∴∠DF A＝90°﹣60°＝30°，∠EAF＝90°，∴∠EF A＝∠C，∴EF＝EC，而EA⊥CF，∴AC＝AF．7．如图，在△ABC中，AB＝8，∠ABC＝30°，∠ACB＝45°． （1）用尺规作图的方法作出AC边的中垂线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求△ABC的面积．【详细解答】解：（1）如图（1）所示：EF即为所求；（2）如图（2），过A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，∵AB＝8，∠ABC＝30°，∴AD＝AB＝4，∴BD＝＝4，在Rt△ACD中，∵∠ACB＝45°，∴∠CAD＝45°，∴CD＝AD＝4，∴BC＝BD+CD＝4+4，∴S△ABC＝BC•AD＝×（4+4）×4＝8+8，即△ABC的面积为8+8．8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形．（1）请用直尺和圆规在AB上取一点E，使得EA＝ED；（2）在（1）的条件下，连接CE，若∠A＝60°，AB＝6，AD＝4，求线段CE的长．【详细解答】解：（1）如图，线段DE即为所求作．（2）过点E作EH⊥CD于H．∵∠A＝60°，EA＝ED，∴△ADE是等边三角形，∴∠AED＝60°，AEB＝AD＝DE＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠CDE＝∠AED＝60°，∵∠DHE＝∠CHE＝90°，∴DH＝DE•cos60°＝2，EH＝DE•sin60°＝2，∵AB＝CD＝6，∴CH＝CD﹣DH＝4，∴EC＝＝＝2．9．如图，BD是△ABC的角平分线．（1）用直尺和圆规过点D作DF⊥BC，垂足为F（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）若BC＝5，AB＝6，S△ABC＝11，求DF的长．【详细解答】解：（1）如图，DF为所作；（2）作DE⊥AB于E，如图，∴BD是△ABC的角平分线．∴DE＝DF，∵S△ABC＝S△ABD+S△DBC＝AB•DE+BC•DF，∴DF（5+6）＝11，∴DF＝2．10．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，交BC于点M． （1）尺规作图：作∠BCD的平分线CN，交BD于点F．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，并标明字母）（2）求证：AE＝CF．【详细解答】（1）解：如图，CN为所作；（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠BAC＝∠BCD，∵AE平分∠BAD，CN平分∠BCD，∴∠BAE＝∠BAD，∠DCF＝∠BCD，∴∠ABE＝∠DCF，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在Rt△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，连接AD，E是边CA延长线上一点，射线AF平分∠BAE．（1）过点B作AF的垂线，垂足为G（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）所作的图中，求证：四边形BDAG是矩形．【详细解答】（1）解：如图，BG为所作；（2）证明：∵AB＝AC，D是边BC的中点，∴AD⊥BC，∠ABC＝∠ACB，∵射线AF平分∠BAE，∴∠EAF＝∠BAF，∵∠EAB＝∠ABC+∠ACB，即∠EAF+∠BAF＝∠ABC+∠ACB，∴∠EAF＝∠ACB，∴AF∥BC，∴AD⊥AF，∴∠ADB＝∠DAG＝90°，∵BG⊥AF，∴∠BGA＝90°，∴四边形ADBG为矩形．12．如图，在平行四边形ABCD中，CF平分∠BCD交B于点F． （1）尺规作图：过点A作AE平分∠BAD交BD于点E；注意：不写作法，保留作图痕迹，并标明字母．（2）求证：AE＝CF．【详细解答】（1）解：如图，AE为所作；（2）证明：∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，∴∠ABE＝BAD，∠DCF＝∠BCD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF．13．如图，△ABC中，BA⊥AC，∠B＝31°．（1）尺规作图：作线段BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E；（2）在（1）作图的基础上，连接AE、CD，求∠AED的度数．【详细解答】解：（1）如图所示；（2）∵DE垂直平分BC，∴BE＝CE，∠BED＝90°，∵BA⊥AC，∴∠CAB＝90°，∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠B＝31°，∴∠AEB＝180°﹣（∠EAB+∠B）＝118°，∴∠AED＝∠QEB﹣∠BED＝118°﹣90°＝28°．14．如图．菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O．尺规作图：过点A作直线BC的垂线（不写作法和证明，保留作图痕迹）．该垂线与BC交于点E，F为AD边上一点，DF＝AE，连接OF，若OD＝2AO，请猜想CE与OF的数量关系，并证明你的猜想．【详细解答】解：结论：CE＝OF．理由：图形如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，AD∥BC，∵AE⊥BC，OF⊥AD，∴AE⊥AD，∴∠AEC＝∠DAE＝∠AOD＝∠DFO＝90°，∴∠EAC+∠DAO＝90°，∠FDO+∠DAO＝90°，∴∠CAE＝∠ODF，∵OD＝2AO，AC＝2AO，∴AC＝OD，在△AEC和△DFO中，，∴△AEC≌△DFO（AAS），∴CE＝OF．15．如图，在平行四边形ABCD中，按下列步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交AB于点N，交BC于点M；②再分别以点M和点N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线BG交AD于F；④作FE∥AB交BC于E；⑤连接AE交BF于点P；（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）连接CP，若AB＝8，AD＝12，∠ABC＝60°，求CP的长．【详细解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∵EF∥CD，∴EF∥AB，∵AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形，由作法得BF平分∠ABE，即∠ABF＝∠EBF，∵AD∥BC，∴∠AFB＝∠EBF，∴∠ABF＝∠AFB，∴AB＝AF，∴平行四边形ABEF为菱形；（2）解：过P点作PH⊥BC于H，如图，∵四边形ABEF是菱形，∴∠PBH＝∠ABC＝×60°＝30°，BP⊥PE，BE＝BA＝8，在Rt△PBE中，PE＝BE＝4，∴BP＝PE＝4，在Rt△BPH中，PH＝BP＝2，∴BH＝PH＝2×＝6，∴CH＝BC﹣BH＝12﹣6＝6，∴PC＝＝4．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，P是边AD上一点，将△ABP沿着直线PB 折叠，得到△EBP．（1）请在备用图上用没有刻度的直尺和圆规，在边AD上作出一点P，使BE平分∠PBC，并求出此时△BEC的面积；（作图要求：保留作图痕迹，不写作法．）（2）连接CE并延长交线段AD于点Q，则AQ的最大值为1．（直接写出答案）【详细解答】解：（1）如图，点P即为所求作．过点E作EH⊥BC于H，由作图可知，∠EBC＝30°，∴EH＝BE＝，∴S△BCE＝•BC•EH＝×5×＝．（2）如图2中，由题意，BE＝BA，可知点E的运动轨迹是⊙B，当EC与⊙B相切时，AQ的值最大，此时P，Q重合，∵∠BEC＝90°，BC＝5，BE＝AB＝3，∵EC＝＝＝4，∵AD∥BC，∴∠BCE＝∠CPD，∵∠BEC＝∠D＝90°，∴△BCE∽△CPD，∴＝，∴＝，∴PD＝4，∴AQ的最大值＝5﹣4＝1．故答案为：1．17．如图，已知⊙O，请用无刻度的直尺和圆规按要求画图（不写画法，保留作图痕迹）（1）图1中，若点P为⊙O外一点，请过点P作⊙O的一条切线PM（点M为切点）；（2）图2中，若点Q为⊙O外一点，点C为优弧AB上一点，试确定点C，使得CQ平分∠ACB．【详细解答】解：（1）如图，直线PM即为所求作．（2）如图，点C即为所求作．18．如图，四边形ABCD为正方形．（1）请用直尺（不含刻度）与圆规在正方形内作一点P，使得点P到AB、CD的距离相等，且点P到BC的距离等于P A的长；（不要求写做法，但要保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若正方形的边长为4，求P A的长．【详细解答】解：（1）如图，点P为所作；（2）设P A＝x，则PE＝x，∴PF＝4﹣x，在Rt△APF中，AF＝2，∴22+（4﹣x）2＝x2，解得x＝，即AP的长为．19．已知：∠AOB和线段a．求作：⊙P，使它与∠AOB的两边相切，半径等于线段a．【详细解答】解：如图，⊙P为所作．20．下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程．已知：⊙O和圆外一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：①连接OP；②以OP为直径作⊙M，交⊙O于点A，B；③作直线P A，PB；所以直线P A，PB为⊙O的切线．根据小文设计完成作图（保留作图痕迹）及证明．证明：连接OA，OB．∵OP为⊙M的直径，∴∠OAP＝∠OBP＝ 90°，（直径所对的圆周角为直角 ）（填推理的依据） ∴OA⊥AP， OB⊥BP．∵OA，OB为⊙O的半径，∴直线P A，PB为⊙O的切线．（过半径的外端与半径垂直的性质为圆的切线 ）（填推理的依据）【详细解答】解：如图，证明：连接OA，OB，∵OP为⊙M的直径，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，（直径所对的圆周角为直角）∴OA⊥AP，OB⊥BP，∵OA，OB为⊙O的半径，∴直线P A，PB为⊙O的切线．（过半径的外端与半径垂直的性质为圆的切线）故答案为90°，直径所对的圆周角为直角；OB；过半径的外端与半径垂直的性质为圆的切线．。