平面向量及空间向量高考数学专题训练（四）
一、选择题（本大题共12小题，每小题分6，共72分）
1．设1(acos,3), (bsin)3,,且a∥b， 则锐角为（ ）
A. 6 B. 4 C. 3 D. 125
2．已知点)0,2(A、)0,3(B，动点2),(xPBPAyxP满足，则点P的轨迹是（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
3．已知向量值是相互垂直，则与且kbabakba2),2,0,1(),0,1,1(（ ）
A. 1 B. 51 C. 53 D. 57
4．已知ba,是非零向量且满足的夹角是与则babababa,)2(,)2(（ ）
A. 6 B. 3 C. 32 D. 65
5．将函数y=sinx的图像上各点按向量a（2,3）平移，再将所得图像上各点的横坐标变为原来的2倍，则所得图像的解析式可以写成（ ）
A.y=sin(2x+3)+2 B.y=sin(2x－3)－2 C.y=(321x)－2 D.y=sin(321x)+2
6．若A,B两点的坐标是A(3cos,3sin,1),B(2,cos2,sin1),|AB|的取值范围是( )
A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25]
7．从点A(2,－1,7)沿向量)12,9,8(a方向取线段长|AB|=34,则点B的坐标为（ ）
A.(-9,-7,7) B. (-9,-7,7) 或(9,7,-7) C. (18,17,-17) D. (18,17,-17)或(-18,-17,17)
平面向量专题练习
一、选择题（每题4分，共32分）
1、 ABC中，设命题p： ，命题q： ABC为等边三角形，则命题p是命题q的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件
2、在 ABC中，若A:B:C=1:2:3，则a:b:c等于（ ）
A、1:2:3 B、1: :2 C、1:4:9 D、1： :
3、在 ABC中，若sinA:sinB:sinC=2:3:4，则∠ABC等于（ ）
A、
4、已知A（2，1），B（6，7），将向量 向量（2，3）平移后得到一个新向量 ，那么下面各向量中能与 垂直的是（ ）
A、（-3，-2） B、 C、（-4，6） D、（0，-2）
5、 ABC为钝角三角形的充分不必要条件是（ ）
（1）
A、（1）（4） B、（2）（4） C、（3）（4） D、（1）（2）（3）
6、已知 的夹角为锐角，则实数m的取值范围是（ ）
A．
7、已知 ，则在下列各结论中
（1）
（2）m1n1=m2n2
（3） m1n1+m2n2=0 （4）
（5） =
是 的充分不必要的条件为( )
A、（1）（4）（5） B、（1）（2） （4） C、（1）（2）（3） D、（1）（3）（5）
8、若钝角三角形的三个内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的取值范围为（ ）
A、（1，2） B、（2，+∞） C、（3，+∞） D、（4，+∞）
二、填空题（每题5分，共20分）
1、若向量 与 的夹角为30°，且 的夹角的余弦值为
。 2、已知
2022年高考数学之平面向量专题突破专题八平面向量的极化恒等
式
利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量
的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几
何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．对于不共起点和不共终点的问题可通过平
移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决．
1．极化恒等式：a·b＝1
4[(a＋b)2
－(a－b)2]
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方
差的1
4．
2．平行四边形模式：如图(1)，平行四边形ABCD，O是对角线交点．则：(1)AB→
·AD→
＝1
4[|AC|2
－|BD|2]．
3．三角形模式：如图(2)，在△ABC中，设D为BC的中点，则AB→
·AC→
＝|AD|2
－|BD|2
．
三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决．
记忆：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．
考点一平面向量数量积的定值问题
【方法总结】
利用极化恒等式求数量积的定值问题的步骤
(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；
(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；
(3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值．
积化恒等式适用于求对共起点(终点)的两向量的数量积，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移
转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积，从而用极化恒等式解决．在运用极化恒等式求数量
积时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在于求中线及第三边的长
度，通常用平面几何方法或用正余弦定理求解，从而得到数量的值．
【例题选讲】
[例1](1)(2014·全国Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝()
第1页（共31页） 平面向量
【考情上线】
1. 平面向量这部分知识本身很重要，作为工具性知识广泛应用于三角函数、解析几何、立体几何的教学中，以填空题考查本章的基本概念和性质，此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题，向量的基本运算可以为真空题，也可以为中档的解答题，向量与数列、不等式、函数等代数内容的综合问题对学生的能力考查有较高的要求，以解答题考查圆锥曲线中的典型问题，此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主。
平面向量的基本概念及线性运算
【知识回顾】
一、向量的有关概念及表示方法
1. 向量：既有大小又有方向的量。向量一般用cba,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB几何表示法AB，a；坐标表示法),(yxjyixa。
2. 向量的模：向量的大小即向量的模（长度），如,ABa的模分别记作|AB|和||a。
注：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
3. 几类特殊向量
（1） 零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行，
零向量a＝0｜a｜＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别）
（2） 单位向量：模为1个单位长度的向量，向量0a为单位向量0||1a。将一个向量除以它的模即得到单位向量，如a的单位向量为：||aaea
（3） 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，称为平行向量。记作a∥b。
规定：0与任何向量平等，
任意一组平行向量都可以移到同一直线上，由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。
