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《保险精算》之--生命表课件 (一)

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保险精算生命表课件

保险精算生命表课件
12
当x=0时，T(0)=X ，正是新生儿未来余寿随机变量。
x岁余寿的生存函数

考虑x岁的人的剩余寿命时，往往知道这个人已经活到了 x岁 ，tqx实际是一个条件概率
t
qx Pr[x X t x | X x]
F (t x) F ( x) 1 F ( x) s ( x) s ( x t ) s ( x)
第三章 生命表
1
生命表相关定义

生命表：反映在封闭人口的条件下，一批 人从出生后陆续死亡的全部过程的一种统 计表。 封闭人口：指所观察的一批人只有死亡变 动，没有因出生的新增人口和迁入或迁出 人口。
2

生命表基本函数

lx：存活到确切整数年龄x岁的人口数，x=0,1,……ω-1。 d ：在x~x+n岁死亡的人数，当n=1时，简记为dx q ：x岁的人在x~x+n岁死亡的概率，当n=1时，简记为qx
整值平均余寿与中值余寿
由于 故，
T ( x) K ( x) S ( x)
E[T ( x)] E[ K ( x)] E[S ( x)]
在死亡均匀分布假设下，
E[S ( x)] 1 2
故，
e x ex 1 2
23

整值平均余寿与中值余寿
中值余寿是(x)的余寿T(x)的中值，（x）在这一年龄之 前死亡和之后死亡的概率均等于50 %，以m(x)表示x岁 的中值余寿，则
Pr[ T ( x) m( x)] Pr[ T ( x) m( x)] 1 2
即，
s[ x m( x)] 0.5 s ( x)
24
非整数年龄存活函数的估计

死亡均匀分布假设

保险精算 第2章 生命表

保险精算 第2章 生命表

4
寿命的分布函数与概率密度
Pr(x 100)
1 Pr(x 100)
1 F(100)

f (x)dx 100
E(X ) xf (x)dx 0
Pr(x X x 1 X x)
Pr(x X x 1 X x) Pr( X x)
Pr( X x 1) Pr( X x) 1 Pr( X x)
E(I j ) 1 s(x) 0 (1 s(x)) s(x), ( j 1, 2,..., l0 )
l0
l0
lx E(Lx ) E( I j ) E(I j ) l0 s(x)
j 1
j 1
27
死亡人数
n Dx l0个零岁新生婴儿在x岁与x n岁之间死亡的人概数率

x dx
0

2
24
Actuarial Science
2.2 生命表
2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.2.7
死亡率 q x
生存人数 l x
死亡人数 d x
平均余命
0
ex
生命表各函数间的关系
取整平均余命
随机生存群体与确定生存群体
保险精算
25
年龄 x
lxk lxk lxk m lxk lxkm d m xk
k x m xk lx
lxk
lx
lx
31
应用实例
例 根据美国1979～1981年国民生命表计算 30岁的美国人发生以下事件的概率：（1）活 过80岁；（2）在5年之内死亡；（3）在60岁 死亡。
解
x

保险精算 第三章 生命表基础(一)

保险精算 第三章 生命表基础(一)

s ( x) s ( x t ) t qx s ( x)
(3.1.8)
s( x t ) t px s ( x)
(3.1.9)
s( x t ) s( x t u ) t |u qx t px t u px s ( x)
(3.1.10)
9/17
s( x t ) s( x t u ) t |u qx s ( x) s( x t ) s( x t ) s( x t u ) t px u qx t s ( x) s( x t )
t |u
qx 和 t p x 分别表示T(x)的分布函数和(x)的生存函数
qx Pr[t T ( x) t u ] t|u qx t qx t px t|u px
8/17

当u=1时，t | qx 表示 (x)在(x+t)岁与(x+t+1)岁之间死亡的概率。 用生存函数表示死亡率和生存率：
0
14/17

3.1.6 s(x)的解析表达式 x De Moivre模型假设(1729) s ( x) 1

,
0 x

式中，w为人的极限年龄，即假定所有人都在w岁之前死亡。 Gompertze模型假设(1825)

x Bc x
B x s( x) exp{ (c 1)} , B 0,c 1,x 0 ln c
11/17

概率函数
Pr ( K ( x) k ) Pr (k T ( x) k 1)
k 1
qx k qx k px k 1 px
k qx k px qx k

生命表基础课件

生命表基础课件

t
（7） t qx FT (x) (t) 0 s px (x s)ds ；

（8）
qx

lim
t
FT
(
x
)
(t
)

0 t px (x t)dt 1；
（9）
d dt
t
px

d dt
(1
t qx )


d dt
t qx

t
px ( x
t)；
（10） lim xn ( y)dy . n x
上式中，当 u=1 时，则可简记为 t| qx 。 注：由前面的讨论，我们有，
（1）t qx

SX (x) SX (x t) SX (x)
；
（2）t
px

SX (x t) SX (x)
（3）t|u qx t px tu
； px

SX
(x
t) SX (x SX (x)
t
u)
)


S
X '( SX
x (
t x)
)
注：关于T（x）的概率都是已知 X x 时相应的 X 的条件概率。
类似地，我们定义一个x 岁的人在 t 年后活着的概率 ST (x) (t)为： ST (x) (t)=Pr(T(x)>t)=1 FT (x) (t)
=1 SX (x) SX (x t) SX (x)
例1-4. 对于例1-1中的 X ，求 (x) 。
解：黑板演示
第二节 生命表函数
一、生命表的概念 二、 lx 函数 三、d x函数
一、生命表的概念

保险精算学3-生命表

保险精算学3-生命表
1693年，Edmund Halley,《根据Breslau城出生与下葬 统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用了生 命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把 Halley称为生命表的创始人。
1995年，我国编制了第一张寿险行业经验生命表，即“中 国人寿保险业经验生命表（1990-1993）”，实现了从无 到有的飞跃。
1、tLx：x岁的人在x~x+t岁间的生存人年数。
人年数（复合单位）：人群存活时间的复合单位。1 个人存活1年是1人年，2个人每人存活半年也是1人 年。
在死亡均匀分布的假设下，x~x+t岁间死亡的人数
tdx平均存活t/2年，活到lx+t的人则存活t年，故有：
t Lx
t lxt
t 2
t dx
t 2
检选生命表vs终极生命表vs综合生命表
四、各类生命表之间的关系
国民生命表与经验生命表
死亡率经验<死亡率国民
寿险生命表与年金生命表
死亡率年金<死亡率寿险
男性生命表与女性生命表
死亡率女性<死亡率男性
检选生命表与终极生命表
死亡率随承保期的增加而增加 检选生命表基于签单年龄而设计 由于验体效力的作用，在相同的年龄段，死亡
第二节 生命表基本函数
初始年龄为0岁，初始人数l0，极限年龄w=105，lw=0
一、生命表中的各类人数
1、dx：x岁的人在未来一年内（x岁~x+1岁之间）
死亡的人数。
dx lx lx1
2、tdx：x岁的人在x岁~x+t岁间死亡的人数。
t dx lx lxt dx dx1 ... dxt1
0
tm
t m qx y px x ydy

保险精算课件 第2章生命表30页PPT

保险精算课件 第2章生命表30页PPT
3.3.1 生存分布函数 用X表示新生儿的死亡年龄，它是一个连续随机变量
• 生存函数： S(x)PX r (x)
表示新生儿能活到 x 岁的概率。
• 死亡函数： F (x ) PX r x ( ) 1 S (x )
• 概率密度函数： f(x ) F (x ) S (x )
• 新生儿将在x岁至y岁之间死亡的概率：
6. T x : x岁的人群未来累积生存人年数
x1
Tx
Lxt
t 0
7.
o
ex :
x岁的人群的平均余寿，表明未来平均寿命
o
ex
Tx
8.
o
e0
:
lx o
新生儿的平均余寿，即人的平均寿命。 e 0
T0
l0
9. n m qx : x岁的人在x+n～x+n+m岁死亡的概率
nmqx
mdxn lx
lxn lxnm lx
S(x)
0
3.3.3 x岁余寿的分布函数
用(x)表示年龄是x岁的人，(x)的余寿以T(x)表示, 它是一个连续随机变量，其概率分布函数为:
F T (t) P r(T (x ) t), t 0
它正是 x 岁的人在 t 时间内死亡的概率 t q x
tqx Pr[xXtx Xx]
F(tx)F(x)S(x)S(tx)
2. 生命表的定义 – 根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料 编制成的由每个年龄死亡率所构成的汇总表。
3. 生命表的构造原理 – 在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄 人群的死亡概率。（用频率估计概率）
3.2 生命表基本函数
生命表是反映在封闭人口的条件下，一批人从 出生后陆续死亡的全部过程的一种统计。

寿险精算 第二讲 生存分布与生命表讲解


• q x ：x岁的人将在1年内去世的概率 qx 1qx
• t u qx：X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世的概率
t u qx q tu x t qx t px tu px
《寿险精算数学》 --01生存分布与生命表
关系式:
t qx Pr(T ( X ) t) Pr(x X x t | X x)
《寿险精算数学》 --01生存分布与生命表
§1.3死力
• 1.3.1 死力的定义及性质 • 定义： (x) 的瞬时死亡率，简记
x

lim
x0
s(x) s(x x
x)

1 s(x)
= s(x) F(x) ln[s(x)] s(x) 1 F(x)
(1.3.1)
Pr(x X z) s(x) s(z)
《寿险精算数学》 --01生存分布与生命表
• s(x)的性质：
• ① s(0) 1, lim s(x) 0 x
• ② s(x) 是单调递减函数；
• ③ s(x) 是一个连续函数
• 极限年龄：存在一个正数ω ，当x<ω 时，s(x)>0; 当x≥ω 时，s(x)=0。这时称正数ω 为极限年龄。
例如，某一群体人的生存服从生存在函数
s(x)

1
x 96
0
(0 x<96) (x 96)
，其极限年龄是ω =96岁
《寿险精算数学》 --01生存分布与生命表
条件概率
• 新生婴儿在x岁时仍活着的条件下,于年龄x岁与z(x<z)岁之 间死亡的条件概率是:
Pr(x X z | X x) Pr(x X z) Pr(X x)

[经济学]保险精算_OK


1的00人不适用
100 x 100 x 1 1
100 x
100 x
❖26
• 上述假设的解析式中， • 至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。
这四个常用模型的拟合效果不令人满意。 • 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很
大的误差 • 寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是
使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分 布。 • 在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分 布。
T (x) X x • 可见 T的分布就是已知 X 时x 的X条件分布
❖10
三、剩余寿命
• T (x的) 分布函数： FT (t) P r(T t),t 0 P r(x X x t X x) F(x t) F(x) 1 F(x) s(x) s(x t) s(x)
❖11
❖44
例如：
p p p p p 4 [73]3
k 0
k 0
❖19
五、死亡效力
• 定义： (x的) 瞬时死亡率，简记 x
x
s(x) s(x)
f (x) s(x)
ln[s(x)]
❖20
死亡效力与其他函数的关系
• 死亡效力与生存函数的关系
x
s(x) s(x)
[ln s(x)]
x
0 ydy
x
[ln s( y)]dy
ln
s( y)
x
ln
n Lx
n
0 t lxt xtdt nlxn
n
0 t lx t pxxtdt n lxn n lxn
n
lx 0 t (t px )dt n lxn
t lxt
n
0
n
0 lxtdt n lxn

保险精算第3章(1)

• T(x)表示(x)的剩余寿命，也是一个连续型随机变量
且分布函数为t q，x 生存函数为 t，px
t qx
s( x) s( x s( x)
t)
t
px
s( x t) s( x)
20
生命函数总结
• t u qx 表示x岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世的
概率， t u qx q tu x t qx t px tu px t px qu xt
或 FX (30) FX (10) 0.0587
s(25) s(30)
(4) 5|5 q20
s(20)
0.1303
或 Pr5 T(20) 10 FT (10) FT (5)
或 Pr5 T(20) 10
10
5 fT (t )dt
19
生命函数总结
• X表示新生儿未来的寿命，是一个连续型随机变量， 分布函数为F(x)，生存函数为s(x)，密度函数为f(x)；
t px Pr(T( x) t) Pr( X x t X t) s( x t) s( x)
• 特别： x p0 s( x)
8
符号介绍
• px：x岁的人至少能活到x+1岁的概率 px 1 px
• q x：x岁的人将在1年内去世的概率 qx 1qx • t u q：x x岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世的概
0
• 死亡效力表示剩余寿命的密度函数 g(t)
G(t)
1
t
px
s( x) s( x s( x)
t)
g(t)
d G(t) dt
d dt
s(
x)
s(x s( x )

第一章生命表1


说明x岁的人将在 x+t岁至x+t+u 岁之间死亡的概率 等于这个人活过t 年的概率与其活过 t年后在往后u年内 死亡的概率之积。
S ( x + t ) S ( x + t ) − S ( x + t + u) = ⋅ S ( x) S (x + t)
= t p x ⋅u q x +t
1-11
另外一个等式
死亡率
生命表
1-3
第一节
寿命分布
4
一、分布函数（X 表示寿命）

寿命X：一个人从出生到死亡的时间长度。 X 是连续型的随机变量。 分布函数：F ( x) = Pr( X ≤ x) = P ( X ≤ x) 意义：0岁的人在 x 岁之前死亡的概率。 密度函数：f ( x) = F ' ( x)

或
∞ = − ∫ t ⋅ ( t p x )' dt = −t ⋅t p x |0 + ∫ t p x dt = ∫ t p x dt 0 0 0 ∞ ∞ ∞
注： lim t ⋅t p x = 0，这是因为t大于一定年数后t p x 便等于0.
t →∞

剩余寿命的方差
Var (T ( x)) = E (T ( x) 2 ) − E (T ( x)) 2 = 2∫ t ⋅ t px dt − ex
x+k x + k +1 1− − (1 − ) 100 100 = x 1− 100
1 = , k = 0,1,2,3," ,99 − x 100 − x

即x岁的人在未来任何一年内死亡的概率是相同 的。这也与实际情况不大吻合。
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《保险精算》之--生命表课件 (一)
随着社会的发展，人们越来越重视保险的作用。

传统的保险行业一直以来都是以高保费的形式吸引保险人购买保险，但相对保费来说，一些人却不是很清晰地了解保险真正的运作方式，特别是保险精算方面的知识。

保险精算的核心是生命表，也是保险公司的核心竞争力。

下面将会着重讲述一下“《保险精算》之--生命表课件”。

一、什么是生命表？
生命表（Mortality Table）是保险精算中的一种表格，用于衡量人群在不同年龄段内的死亡风险。

由于生命表是一种单独的表格，因此可以根据不同的人群和健康状况进行分类，以便保险公司对人寿保险的风险进行计算。

二、生命表的种类
1、一般生命表：是以全国人民的整体死亡率数据作为依据的生命表，通常用于人寿保险的计算。

2、职业生命表：是以某个特定职业的人群死亡率数据作为依据的生命表，通常用于企业职工的保险计算。

3、后期生命表：是针对某一代人的死亡率加以推算所得到的稳定寿命数据。

后期生命表的意义是为了比较在一定时期内因某些原因死亡概率的变化情况。

三、生命表的重要性
生命表是保险精算核心竞争力之一。

在人生的不同阶段，保险公司需
要根据不同的人口统计学数据来计算保险费的价格。

根据保险人的年龄、健康状况等多个指标来计算风险。

而生命表则是这个计算模型中
最关键的指标之一，也是最容易被人们理解和接受的。

四、生命表课件的相关内容
生命表课件主要分为以下几个内容：
1、生命表的定义：对生命表的基本概念进行了详细的介绍。

2、生命表的种类：详细的介绍了一般生命表、职业生命表以及后期生
命表的含义和使用场景。

3、生命表的基本术语：解释了生命表中的一些专业术语，如x、n、d、qx等。

4、生命表的计算方法：介绍了如何计算年龄、期限和期际的风险率和
死亡率。

5、生命表的运用：以具体的案例为例，阐述了生命表在保险精算中的
应用，进而引出了保险精算以及如何使用生命表计算的知识，这样才
能更好地为企业提供保险解决方案。

在保险行业中，保险精算的重要性不言而喻。

生命表作为保险精算的
核心要素，其重要性是无可替代的。

《保险精算》之--生命表课件的
出现，不仅丰富了保险从业者的知识体系，更是能够为保险人提供更
加全面的保险保障计划和更准确的保险费率计算方案，从而更好的服
务于人们的实际需求。