2017-2018学年福建省三明市高一下学期期末考试数学试题

三明市2017—2018学年第二学期普通高中期末质量检测高一数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线10x -=的倾斜角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．已知圆2260x y ax y +++=的圆心在直线10x y --=上，则a 的值为（ ）A ．4B ．5C ．7D ．83．数列{}n a 为等比数列，若33a =，46a =-，则6a 为（ ）A ．-24B ．12C ．18D ．244．直线240x y ++=与圆()2215x y +-=的位置关系为（ ） A ．相离 B ．相切C ．相交且过圆心D ．相交且不过圆心5．在空间直角坐标系O xyz -中，若点()1,2,1A ，()3,1,4B --，点C 是点A 关于xOy 平面的对称点，则BC =（ ）A B C D ．6．数列{}n a 满足()12n n a a n +-=∈*N ，且340680a a +=，则22a =（ ） A ．338 B ．340 C ．342 D ．3447．已知,m n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列各项中正确的是 （ ）A ．若,m m αβ⊥∥，则αβ⊥B ．若,m n αα∥∥，则m n ∥C ．若,m m n α⊥⊥，则n α∥D ．若,m n α⊂，且,m n ββ∥∥，则αβ∥8．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.现有一块“堑堵”形石材的三视图如图所示，则这块“堑堵”形石材的体积为（ ）A ．576B ．288C ．144D ．969．已知直线1x y a b +=经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中一定正确的是（ ）A ．a b < B>C ．()()0b a b a -+>D ．11a b> 10．如图，为了估测某塔的高度，在塔底D 和,A B （与塔底D 同一水平面）处进行测量，在点,A B 处测得塔顶C 的仰角分别为45°，30°，且,A B 两点相距140m ，由点D 看,A B 的张角为150°，则塔的高度CD =（ ）A． B． C． D ．140m11．已知等差数列{}n a 的公差为-2，前n 项和为n S ，234,,a a a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120°，若n m S S ≤对任意的n ∈*N 恒成立，则实数m =（ ）A ．7B ．6C ．5D ．412．已知,x y 满足约束条件27,0,1,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩且不等式22160ax xy ay -+≥恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．3,25⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．13,1725⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,17⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知m 是2和4的等差中项，则m = ．14．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若::4:5:7a b c =，则最大角的余弦值为 ．15．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AC 与11B D 所成角为 ．16．我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图所示，在空间直角坐标系O xyz -的坐标平面xOy 内，若函数()[)[)2,0,22,0,3x f x x x π∈-=⎨-+∈+∞⎪⎩的图象与x 轴围成一个封闭区域A ，将区域A 沿z 轴的正方向上移4个单位，得到几何体如图一.现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域A 面积相等，则此圆柱的体积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 已知直线1:230l x y +-=与()2:110l mx y m ++=∈R .（1）若12l l ⊥，求1l 与2l 的交点坐标；（2）若12l l ∥，求1l 与2l 的距离.18． 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且sin sin cos a B A C =.（1）若a =2c =，求角A ；（2）若8c =-ABC ∆的面积为，求22a b +的值.19． 已知函数()()2232f x x ax a a =-+∈R .（1）当0a >时，解关于x 的不等式()0f x ≥；（2）若关于x 的不等式()2f x a ≥解集为(][)()1212,,x x x x -∞+∞<U ，且不等式()12121210ax x x x mx x +-+≥恒成立，求实数m 的取值范围.20． 如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA PD =，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒，tan 2PAD ∠=. （1）证明：直线BC ∥平面PAD ；（2）若四棱锥P ABCD -的体积为8，求三棱锥P ACD -的内切球的表面积.21． 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且点()(),n n a S n ∈*N 在直线3220x y --=上.（1）求n a 和n S ；（2）若()3log 1n n b S =+，求数列{}n n b x ⋅的前n 项和n T .22． 已知圆M 过点)P ，且与圆()()()222:120N x y r r -+-=>关于直线0:20l x y +-=对称.（1）求两圆的方程；（2）若直线1l 与直线0l 平行，且截距为7，在1l 上取一横坐标为a 的点A ，过点A 作圆M 的切线，切点为,B C ，设,B C 中点为Q . （ⅰ）若12AQ BC =，求a 的值；（ⅱ）是否存在点A ，使得BC =？若存在，求点A 的坐标；若不存在，请说明理由.三明市2017—2018学年第二学期普通高中期末质量检测高一数学试题参考答案一、选择题1-5DAABD 6-10CABBC 11、12：CA二、填空题13．3 14．15-15．2π 16．16π 三、解答题17．解：（1）因为12l l ⊥，所以20m +=，所以2m =-， 联立230,2110,x y x y +-=⎧⎨-++=⎩得5,1,x y =⎧⎨=-⎩ 所以1l 与2l 的交点为()5,1-.（2）因为12l l ∥，所以120m -=，所以12m =， 所以2:2220l x y ++=，所以12,l l 的距离d ==.18．解：（1）∵sin sin cos a B A C =，∴sin sin sin cos A B B A C =，∴cos C =，∴sin C =，根据正弦定理sin sin a c A C =，得sin A =，即sin A = 因为a c <，所以A C <，所以4A π=.（2）因为1sin 2ABC S ab C ∆===，所以24ab =，因为8c =-2222cos c a b ab C =+-得，(2228224a b -=+-⨯，即2267a b -=+-所以2267a b +=.19．解：（1）不等式化为22320x ax a -+≥，即()()20x a x a --≥， 因为0a >时，所以不等式的解集为(][),2,a a -∞+∞U .（2）不等式()2f x a ≥化为2230x ax a -+≥， 所以123x x a +=，212x x a =，0a ≠， 所以，由题可知22310a a a m a ⋅⋅-⋅+≥恒成立， 所以2213m a a≤+恒成立，根据基本不等式2213a a +≥2a =所以m ≤m 的取值范围为(,-∞. 20．解：（1）∵90BAD ABC ∠=∠=︒，∴BC AD ∥， ∵AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD∴BC ∥平面PAD .（2）取AD 的中点为E ，连接,PE CE ，∵PAD ∆为等腰三角形，PE AD ⊥，又因为平面PAD ⊥平面ABCD 且相交于AD ， 所以PE ⊥平面ABCD ， ∴13P ABCD ABCD V S PE -=⋅⋅四边形 设AB BC x ==，2AD x =， ∵tan 2PE PAD AE∠==，∴2PE x =，∴()3212832P ABCD x x x V x x -+=⋅⋅==， ∴2x =，即2AB BC ==，4AD PE ==， ∴14242ACD S ∆=⨯⨯=，14482PAD S ∆=⨯⨯=， 在PCD ∆中，PC =CD =PD =，∴162PCD S ∆=⨯=，在PAC ∆中，PC =AC ==PA PD ==，∴PAC PDC ∆∆≌，∴6PAC S ∆= 设三棱锥P ACD -内切球半径为r ， ∵111644333P ACD ACD V S PE -∆=⨯⨯=⨯⨯= 根据等体积法()13P ACD ACD PAD PAC PCD V S S S S r -∆∆∆∆=+++⋅， ∴()161486633r =+++，∴23r = 所以，三棱锥P ACD -的内切球表面积为21649r ππ=. 21．解：（1）∵(),n n a S 在直线3220x y --=上， ∴3220n n a S --=，∴113220n n a S ----=（2n ≥，且n ∈*N ），两式相减得： 13n n a a -=（2n ≥，且n ∈*N ），∴{}n a 为等比数列，公比3q =，令1n =得，113220a S --=，∴12a =， ∴()123n n a n -=⋅∈*N ；∴()()2133113n n n S n ⋅-==-∈-*N .（2）∵()()33log 1log 311n n n b S n =+=-+=，∴n n n b x n x ⋅=⋅当0x =时，0n T =，当1x =时，()2112322n n n n n T n ++=++++==L ， 当0x ≠且1x ≠时，2323n n T x x x nx =++++L ，①234123n n xT x x x nx +=++++L ，② ①－②得：()2311n n n x T x x x x nx +-=++++-L ∴()()1111n n n x x x T nx x +--=-=-1111n x n nx x x x ++-⎛⎫- ⎪--⎝⎭ ∴()()122111n n x n nxT x x x ++-=-⋅--.22．解：（1）设点()00,M x y ，因为,M N e e 关于直线0:20l x y +-=对称，且()1,2N ， 根据直线MN 与直线0l 垂直，,M N 中点在直线0l 上， 得000021,11220,22y x x y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪+-=⎪⎩解得000,1,x y =⎧⎨=⎩即()0,1M ，所以3MP ==，3r =， 所以()22:19M x y +-=e ，()()22:129N x y -+-=e ； （2）由题可知1:70l x y +-=，(),7A a a -，（ⅰ）∵12AQ BC =，∴90BAC ∠=︒， 所以四边形ABMC 为正方形，∵3MB MC ==，∴AM ==3a =.（ⅱ）∵BC =，∴BQ = 又∵3BM =，90BQM ∠=︒，∴MQ ==∵BMQ AMB ∆∆:，∴MQ BM BM AM=，∴2BM AM MQ ===，=24521202a a -+=， ∵45144421602∆=-⨯⨯=-<，所以方程无解，所以不存在点A ，使得BC =.。

三明一中2019届高一下数学期末综合练习（一）班级： 姓名： 座号：一、选择题：本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，点P (1，2，3)关于x 轴对称的点P ′的坐标为( )A ．(－1，2，3)B ．(1，－2，－3)C ．(－1，－2，3)D ．(－1，2，－3)2.若集合2*{|70,}A x x x x N =-<∈，则}A y N yy B ∈∈⎩⎨⎧=*,6中元素的个数为（ ）A ．3个B ．4个C ．1个D ．2个 3.下列结论正确的是（ ） A ．当0>x 且1≠x 时，2lg 1lg ≥+x x B ．当20≤<x 时，x x 1-无最大值 C ．当2≥x 时，x x 1+的最小值为2 D ．当0>x 时，21≥+xx 4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（ ） A ．24里 B ．12里 C ．6里 D ．3里5.在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，090ABC ∠=，22AB BC CD ==，则c o s DAC ∠=（ ）A B C D ．6.已知某几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图都是由三角形和半圆组成,俯视图是由圆和内接三角形组成,则该几何体体积为（ ）A 12B 16C ．41+36πD ．21+32π7.已知,x y 满足约束条件224220220x y x y x y ⎧+≤⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则y x Z +=3的最大值为（ )A.102C.2D.8.已知,,m n l 是不同的直线，,αβ是不同的平面，以下命题正确的是（ ）①若m ∥n ，,m n αβ⊂⊂，则α∥β；②若,m n αβ⊂⊂，α∥l m β⊥，，则l n ⊥ ③若,,m n αβα⊥⊥∥β，则m ∥n ；④若αβ⊥，m ∥α，n ∥β，则m n ⊥； A.②③ B.③④ C.②④ D.③9.已知直线l ：50x ky --=与圆O :2210x y +=交于A 、B 两点且0OA OB ⋅=，则k=（ ） A ．2 B ．2± C． D10.设等差数列{}n a 满足：22222244484857sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，公差(1,0)d ∈-．若当且仅当n=9时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是（ ） A ．9,8ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．9,8ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．74,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 11.已知0x >，0y >，21x y +=，若2240x y m <+恒成立，则m 的取值范围是（ ）． A. 1617<m B ．1716m > C ．1617≤m D ．0>m12.在平面直角坐标系中，定义d （P ，Q ）=|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|为两点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）之间的“折线距离”，在这个定义下，给出下列命题： ①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；②到原点的“折线距离”小于等于2的点构成的区域面积为8；③到M （0，﹣2），N （0，2）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是y =0； ④直线y =x +1上的点到N （0，2）的“折线距离”的最小值为1． 其中真命题有（ ）二、填空题（本大题共4小题，每题3分，满分12分）13.如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，∠BAC ＝30°，则此几何体的体积为________．14.一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬得10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行可回到它的出发点，那么x ＝________cm.15.在圆x 2＋y 2＝4上与直线l ：4x ＋3y －12＝0的距离最小的点的坐标是 . 16.已知nn n b n n n a b c a a n ===-,)21(,222求数列}{n c 前n 项的和n S = .三、解答题 （本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且c =2a sinC （1）试确定角A 的大小；（2）若△ABC 为锐角三角形，且2a =，求ABC ∆面积的最大值．18.关于x 的不等式E ：ax 2+ax ﹣2≤0，其中a ∈R ． （1）若a =1时，求不等式E 的解集；（2）若不等式E 在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．19.已知定圆:C 4)3(22=-+y x ,定直线:m 360x y ++=,过)0,1(-A 的一条动直线l 与 直线相 交于N ,与圆C 相交于Q P ,两点,(1)当l 与m 垂直时,求出N 点的坐标，并证明:l 过圆心C ;(2)当PQ =时,求直线l 的方程．20.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4232S S =+，22n n a a =， （1）求等差数列{}n a 的通项公式n a ． （2）令2221(1)n nn b n a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ．证明：对任意*n N ∈，都有31164n T ≤<．21.已知E 是矩形ABCD （如图1）边CD 上的一点，现沿AE 将△DAE 折起至△D 1AE （如图2），并且平面D 1AE ⊥平面ABCE ，图3为四棱锥D 1—ABCE 的主视图与左视图．（1）求证：直线BE ⊥平面D 1AE ； （2）求点A 到平面D 1BC 的距离．22.已知圆C:5)1(22=-+y x ,直线l ：01=-+-m y mx . （1）求证：对,R m ∈直线l 与圆C 总有两个不同交点；（2）设l 与圆C 交于不同两点A 、B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程； （3）若定点)1,1(P 分弦AB 所得向量满足21=，求此时直线l 的方程.。

三明一中2019届高一下数学期末综合练习（七）班级： 姓名： 座号：一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的代号填在答题卷相应的位置上． 1．直线10x y --=的倾斜角是（ ）A.30B.45C. 60D. 1352. 如果0a <，0b >，那么下列不等式中一定正确的是（ ） A. ||||a b ><22a b < D. 11a b< 3．圆x y x y 22++4+6=0的半径是（ ）4．在等差数列{}n a 中，若12121324a a a a +++=，那么7a 等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 5．设,x y 满足的约束条件是⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤,2,2,2y x y x 则2z x y =+的最大值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．86．已知圆的方程2225x y +=，则过点(3,4)P 的圆的切线方程为（ ） A. 3470x y -+= B. 43240x y +-= C. 34250x y +-= D. 430x y -=7．设11111223(1)20122013M n n =+++++⨯⨯+⨯ ，则M 的值为（ ） A.20112012 B.20122013 C. 20132014 D. 201420138．已知,m n 是两条不同的直线，αβγ、、为三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A.若m ∥n ，m ⊄α，则n ∥α；B.若m ∥n ，m ⊄α，n ⊄β，则α∥β；C.若α⊥γ，α⊥β，则β∥γ；D. 若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥β. 9．已知数列{}n a 的前n 项和21nn S =-，则6a 等于（ ） .A.16B.32C.63D.6410．若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是（ ） A.524B.5C.6D.4 11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,线段EF 在棱11A B 上移动，点P 、Q 分别在棱AD 、CD 上移动，若1EF =，PD x =，1A E y =，CQ z =，则三棱锥Q PEF -的体积（ ）A.只与x 有关B. 只与y 有关C.只与,x y 有关D. 只与,y z 有关12．在ABC ∆中，若22sin sin sin sin cos A BA B C C+=-，则ABC ∆的形状为（ ） A ．等腰钝角三角形 B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．各边均不相等的三角形二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．13．已知直线0x y m +-=与直线(32)0x m y +-=互相垂直，则实数m 的值为 .14．若关于x 的不等式220x ax -+>的解集为R ，则实数a 的取值范围是 .15．如左下图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m .16．将2n 个正数排成n 行n 列（如右下表），其中每行数都成等比数列，每列数都成等差数列，且所有公比都相等，已知245a =， 54566,18a a ==，则2634a a += .1112131212223231323334142434n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a第15题图第16题图三、解答题：本大题共6小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分8分）主视图侧视图俯视图18．（本小题满分8分）已知数列{}n a 的通项公式为3n a n =． （Ⅰ）求证：数列{}n a 是等差数列；（Ⅱ）若数列{}n b 是等比数列，且12b a =，24b a =，试求数列{}n b 的通项公式n b 及前n 项和n S ．19．（本小题满分8分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，且3c =，60C =．（Ⅰ）若a =A ；（Ⅱ）若2a b =, 求△ABC 的面积．20．（本小题满分9分）已知方程222422210x y x my m m +-++-+=表示圆C ． （Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）在已知方程表示的所有圆中，能否找到圆1C ，使得圆1C 经过点(2,1)P ，(4,1)Q -两点，且与圆22450x y x +--=相切？说出理由．21．（本小题满分9分）如图①，四边形ABCD 是矩形，22AB AD a ==，E 为AB 的中点，M 为DE 的中点．在四边形ABCD 中，将△AED 沿DE 折起，使A 到A '位置，且A M BC '⊥，得到如图②所示的四棱锥A BCDE '-．（Ⅰ）求证：A M '⊥平面BCDE ； （Ⅱ）求四棱锥A BCDE '-的体积； （Ⅲ）判断直线A D '与BC 位置关系．A '① ②22．（本小题满分10分）已知直线l ：10mx ny +-=(,)m n ∈+R 与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且直线l 与圆224x y +=相交所得弦长为2．（Ⅰ）求出m 与n 的关系式；（Ⅱ）若直线l 与直线250x y ++=平行，求直线l 方程；（Ⅲ）若点P 是可行域280,20,4x y x y x +-≥⎧⎪--≥⎨⎪≤⎩内的一个点，是否存在实数,m n ，使得||||OA OB +的最小值为l 经过点P ？若存在，求出,m n 的值；若不存在，说明理由．三明一中2019届高一下数学期末综合练习（七）参考答案及评分标准一、选择题：1．B 2． D 3． C 4．A 5． C 6．C 7．B 8. D 9． B 10. B 11．A 12．A二、填空题：13． 2 14． (-15． 16． 613三、解答题：17.（Ⅰ）该几何体是三棱柱 (2)分（Ⅱ）直观图 (5)分因为该几何体是底面边长为4的等边三角形，几何体的高为2，所以2=2S +S =24+344S ⨯⨯⨯侧三棱柱底2cm ． …………………8分18．解：（Ⅰ）因为13(1)33n n a a n n +-=+-=，又13a =，所以数列{}n a 是首项为3，公差为3的等差数列． …………………………3分（Ⅱ）由已知得26a =，412a =， 则16b =，212b =， 设数列{}n b 的公比为q ，则212b q b ==， 所以16232n n n b -=⋅=⋅． …………………………6分则数列{}n b 的前n项和6(12)6(21)12n nn S ⋅-==--． …………………………8分19．解：（Ⅰ）由已知a =60C = ，3c =，由正弦定理：sin sin a cA C=，得到sin sin 2a C A c ===……………………………………3分因为a c <，A C <，则45A =． ……………………………………4分（Ⅱ）由余弦定理222-2cos c a b ab C =+，将2a b =代入上式得229(2)22cos60b b b b =+-⋅⋅ ，即23b =，因为0b >，所以b …………………………………6分211sin 2sin 60222ABC S ab C b ∆==⨯=． …………………………………8分20．解：（Ⅰ）方程222422210x y x my m m +-++-+=，可化为222(2)()23x y m m m -++=-++， ………………………2分因为方程表示圆，则2230m m -++>，解得13m -<<． ………………………4分（Ⅱ）若点,P Q 在圆C 上,则22222221422+2210,4(1)4422210,m m m m m m ⎧+-⨯+-+=⎪⎨+--⨯-+-+=⎪⎩ 解得1,1,m m =±⎧⎨=⎩ 此时1m =，得到圆的方程为22(2)(1)4x y -++=， ………………………7分圆心1(2,1)O -,半径12r =．又圆22450x y x +--=的圆心2(2,0)O ，半径23r =，则1221||1OO r r ==-，所以圆22(2)(1)4x y -++=与圆22450x y x +--=相内切， 因此存在圆1C ：22(2)(1)4x y -++=满足条件. ………………………9分 21． 解：（Ⅰ）在△A DE '中，A E A D ''⊥，A E A D ''=，又M 为DE 的中点，所以A M DE '⊥， 由已知A M BC '⊥，又DE 与BC 相交，所以A M '⊥平面BCDE ． ………………………3分（Ⅱ）由（1）知A M '⊥平面BCDE ，则A M '是四棱锥A BCDE '-的高，在△A DE '中，A E A D ''⊥，A E A D a ''==，则2A M a '=． 四边形BCDE 是直角梯形，BE BC a ==，2DC a =， 所以四边形BCDE 的面积2(2)322a a a S a +==， ………………………5分则四棱锥A BCDE '-的体积2311333224V S A M a a a '=⋅=⨯⨯=．…………6分（Ⅲ）直线A D '与BC 是异面直线，理由如下： ………………………7分假设直线A D '与BC 共面，则直线A D '与BC 确定平面α，则点,,,A D B C '都在平面α上，又点,,D B C 确定平面BCDE ，则点A '在平面BCDE 上，这与已知矛盾， 因此直线A D '与BC 是异面直线． ………………………9分22．解：（Ⅰ）直线l 与圆224x y +=相交所得弦长为2.所以圆心到直线ld ===2213m n +=. ………………………3分 （Ⅱ）因为直线l ：10mx ny +-=(,)m n ∈+R 的斜率1m k n=-， 直线250x y ++=的斜率22k =-，由题意知12k k =，得2m n =，……………4分由（Ⅰ）可求得n =，m = 因此所求直线l的方程为20x y +=． ………………………6分 （Ⅲ）直线l ：mx ＋ny －1＝0（m 、n ∈+R ）与x 轴相交于点1(,0)A m，与y 轴相交于点1(0,)B n，则11||||OA OB m n +=+≥2213m n +=，222m n mn +≥， 16mn ≤，所以11||||OA OB m n +=+≥当且仅当m n ==||||OA OB +取得最小值l方程为0x y +=．………8分如图，作出可行域280,20,4,x y x y x +-≥⎧⎪--≥⎨⎪≤⎩它是顶点为104(,)33A ，(4,0)B ，(4,2)C 的三角形及其内部，而△ABC 及其内部都在直线0x y +=的同侧，与直线0x y +=没有公共点，所以不存在满足条件的直线l ，即不存在满足条件的实数,m n ． ………………………10分。

福建省三明市重点名校2017-2018学年高一下学期期末达标测试数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．记动点P 是棱长为1的正方体1111-ABCD A B C D 的对角线1BD 上一点，记11D PD Bλ=．当APC ∠为钝角时，则λ的取值范围为( ) A ．(0,1) B ．1(,1)3C ．1(0,)3D ．(1,3)【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用∠APC 不是平角，可得∠APC 为钝角等价于cos ∠APC ＜0，即 ，从而可求λ的取值范围． 【详解】由题设，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz ，则有A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），1D （0，0，1） ∴ =（1，1，-1），∴ =（λ，λ，-λ），∴=+=（-λ，-λ，λ）+（1，0，-1）=（1-λ，-λ，λ-1） =+ =（-λ，-λ，λ）+（0，1，-1）=（-λ，1-λ，λ-1）显然∠APC 不是平角，所以∠APC 为钝角等价于cos ∠APC ＜0 ∴ 0PA PC ⋅<∴（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）（λ-1）=（λ-1）（3λ-1）＜0，得 ＜λ＜1 因此，λ的取值范围是（ ，1），故选B.点评：本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于中档题． 2．为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点 A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度 C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度【答案】D 【解析】试题分析：由题意，为得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点向右平行移动π6个单位长度，故选D. 【考点】三角函数图象的平移【名师点睛】本题考查三角函数图象的平移，在函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象平移变换中要注意“ω”的影响，变换有两种顺序：一种sin y x =的图象向左平移ϕ个单位得sin()y x ϕ=+的图象，再把横坐标变为原来的1ω倍，纵坐标不变，得sin()y x ωϕ=+的图象，另一种是把sin y x =的图象横坐标变为原来的1ω倍，纵坐标不变，得sin y x ω=的图象，再向左平移ϕω个单位得sin()y x ωϕ=+的图象．3．在△ABC 中，12AN NC =，P 是BN 上的一点，若29AP mAB AC =+，则实数m 的值为A ．3B ．1C ．13D ．19【答案】C 【解析】分析：根据向量的加减运算法则，通过12AN NC =，把AP 用AB 和AN 表示出来，可得m 的值． 详解：如图：∵12AN NC =，1 3AN AC ∴= ， 则2293AP mAB AC mAB AN =++＝ 又B P N ，， 三点共线，213m ∴+＝，故得13m = ．故选C.．点睛：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用． 4．数列{}n a 中，11nn na a a +=+，11a =，则4a =( )．A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】B 【解析】 【分析】通过取倒数的方式可知数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，利用等差数列通项公式求得41a ，进而得到结果. 【详解】 由11n n n a a a +=+得：11111n n n n a a a a ++==+，即1111n na a∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a 为首项，1为公差的等差数列()4114114a ∴=+-⨯= 414a ∴=本题正确选项：B 【点睛】本题考查利用递推关系式求解数列中的项的问题，关键是能够根据递推关系式的形式，确定采用倒数法得到等差数列.5．某市电视台为调查节目收视率，想从全市3个县按人口数用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，已知3个县人口数之比为2:3:5，如果人口最多的一个县抽出60人，那么这个样本的容量等于（ ） A ．96 B ．120C ．180D ．240【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样的性质,直接列式求解即可. 【详解】因为3个县人口数之比为2:3:5,而人口最多的一个县抽出60人, 则根据分层抽样的性质,有605120235n n =⇒=++, 故选:B. 【点睛】本题考查分层抽样,解题关键是明确分层抽样是按比例进行抽样. 6．若02πα<<，02πβ-<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 42πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）A B ．3-C ．9D ．9-【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭与sin 42πβ⎛⎫-⎪⎝⎭，然后利用两角差的余弦公式求出cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦值．【详解】02πα<<，3444πππα∴<+<，则sin 43πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，02πβ-<<，则4422ππβπ<-<，所以，sin 423πβ⎛⎫-==⎪⎝⎭， 因此，cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1cos cos sin sin 4424423ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故选C ． 【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值，解决这类求值问题需要注意以下两点： ①利用同角三角平方关系求值时，要求对象角的范围，确定所求值的正负； ②利用已知角来配凑未知角，然后利用合适的公式求解． 7．给出下面四个命题：①0AB BA += ； ②C AC AB B +=；③AC BC AB =－；④00AB ⋅=.其中正确的个数为( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】①0AB BA +=；②AB BCAC ；③AB AC CB -=；④00AB ⋅=,所以正确的为①②，选B. 8．若()1sin πα3-=，且παπ2<<，则sin2α的值为( )A ．9-B ．9-C ．9D ．9【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式求得sinα的值，再利用同角三角函数的基本关系求得cosα，再利用二倍角公式，求得sin2α的值． 【详解】 解：()1sin παsin α3-==，且παπ2<<，cos α∴==sin2α2sin αcos α==， 故选A ． 【点睛】本题主要考查利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题．9．在ABC ∆中，若30A =︒，4BC =，AC =B 的大小为（ ） A ．30° B ．45°或135°C ．60°D ．135°【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理得到答案. 【详解】 在ABC ∆中正弦定理：4sin 45sin 30B B =⇒=⇒=︒︒或135︒故答案选B 【点睛】本题考查了正弦定理，属于简单题.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“a b =”是“cos cos a B b A =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理分别检验问题的充分性和必要性，可得答案. 【详解】解：充分性：在△ABC 中，由a b =，可得A B ∠=∠,所以cos cos a B b A =,故充分性成立； 必要性：在△ABC 中，由cos cos a B b A =及正弦定理，可得sin cos sin cos A B B A =， 可得in 0()s A B -=,A B ∠=∠,故a b =，必要性成立；故可得：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“a b =”是“cos cos a B b A =”的充分必要条件， 故选C. 【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判断，相对不难，注意正弦定理的灵活运用. 11．函数2log (2)y x =+的定义域是（ ）． A ．(,2)-∞- B ．(],2-∞-C ．(2,)-+∞D ．[)2,-+∞【答案】C 【解析】函数的定义域即让原函数有意义即可；原式中有对数，则20 2.x x +>⇒>- 故得到定义域为()2,-+∞ . 故选C.12．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若a ＝3，b，A ＝4π，则B ＝（ ） A ．6πB ．6π或56πC ．3πD ．3π或23π【答案】A 【解析】 【分析】由已知利用正弦定理可求sin B 的值，利用大边对大角可求B 为锐角，利用特殊角的三角函数值，即可得解． 【详解】由题意知3,,24a b A π===， 由正弦定理sin sin a b A B=，可得sin sin b A B a ⋅=＝223＝12， 又因为b a <，可得B 为锐角，所以6B π=．故选A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题13．已知角α的终边经过点(3,4)P -，则sin α=______． 【答案】45- 【解析】由题意5r ==，则44sin 55α-==-. 14．公比为q 的无穷等比数列{}n a 满足：1q <，()12k k k a k a a ++=++()n N *∈，则实数k 的取值范围为________. 【答案】()(),20,-∞-+∞【解析】 【分析】依据等比数列的定义以及无穷等比数列求和公式，列出方程，即可求出k 的表达式，再利用求值域的方法求出其范围。

福建省三明市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．直线x+y+3=0的倾角是（）A．﹣B．C．D．2．若a＜b＜0，c∈R，则下列不等式中正确的是（）A．＞B．＞C．ac＞bc D．a2＜b23．圆C1：x2+y2=9与圆C2：（x+3）2+（y+4）2=16的位置关系是（）A．内切 B．相交 C．外切 D．外离4．已知等差数列{a n}的公差是1，且a1，a3，a7成等比数列，则a5=（）A．4 B．5 C．6 D．85．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线（）A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，在平面α内C．有两条，不一定都在平面α内D．有无数条，不一定都在平面α内6．若变量x，y满足不等式组，则目标函数z=2x+y 的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．67．在空间直角坐标系中，已知三点A（1，0，0），B（1，1，1），C（0，1，1），则三角形ABC 是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形8．已知直线x+y=1与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2（a＞0，b＞0）相切，则ab的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．（0，3]D．（0，9]9．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则点D到平面ACD1的距离为（）A．B．C．D．10．已知数列{a n}通项公式a n=（）n﹣1（n﹣8）（n∈N+），则数列{a n}的最大项为（）A．a13B．a15C．a10和a11D．a16和a1711．在三棱锥S﹣ABC中，已知SA=BC=2，SB=AC=，SC=AB=，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．2πB．2πC．6πD．12π12．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=0，a n+1=（n∈N+）．则a33=（）A．4（4﹣）B．4（4﹣）C．4（﹣4）D．4（﹣）二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．已知直线x﹣ay+a=0与直线3x+y+2=0垂直，则实数a的值为．14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若a=3，b=4，sinB=，则角A等于．15．已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1，或x＞b}，则实数b的值为．16．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=2，动点P，Q，R分别在边AB、BC、CA上，且满足PQ=QR=PR，则线段PQ的最小值是．三、解答题（共6小题，满分52分）17．已知直线l过点（3，1）且与直线x+y﹣1=0平行．（1）求直线l的方程；（2）若将直线l与x轴、y轴所围成的平面图形绕y轴旋转一周得到一个几何体，求这个几何体的体积．18．已知数列{a n}是等差数列，且a3=5，a6=11，数列{b n}是公比大于1的等比数列，且b1=1，b3=9．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=a n﹣b n，求数列{c n}的前n项和S n．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知∠A=45°，a=6．（1）若∠C=105°，求b；（2）求△ABC面积的最大值．20．已知圆C经过三点O（0，0），M1（1，1），M2（4，2）．（1）求圆C的方程；（2）设直线x﹣y+m=0与圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求实数m的值．21．已知函数f（x）=ax2﹣（a+1）x+2（a∈R）．（I）当a=2时，解不等式f（x）＞1；（Ⅱ）若对任意x∈[﹣1，3]，都有f（x）≥0成立，求实数a的取值范围．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AD=PD=2，PA=2，∠PDC=120°．（1）如图2，设点E为AB的中点，点F在PC的中点，求证：EF∥平面PAD；（2）已知网络纸上小正方形的边长为0.5，请你在网格纸用粗线画图1中四棱锥P﹣ABCD的俯视图（不需要标字母），并说明理由．福建省三明市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．直线x+y+3=0的倾角是（）A．﹣B．C．D．【考点】直线的倾斜角．【分析】把直线方程化为斜截式，求出直线的斜率，由斜率公式求出直线的倾斜角．【解答】解：由x+y+3=0得，y=﹣x﹣3，∴斜率k=﹣1，则tanθ=﹣1，∴直线x+y+3=0的倾斜角为，故选：D．2．若a＜b＜0，c∈R，则下列不等式中正确的是（）A．＞B．＞C．ac＞bc D．a2＜b2【考点】不等式的基本性质．【分析】根据不等式的基本性质，分别判断四个答案中的不等式是否恒成立，可得结论．【解答】解：∵a＜b＜0，∴ab＞0，∴，即＞，故A正确；∵a＜a﹣b＜0，∴＜，故B错误，当c≥0时，ac≤bc，故C错误，a2＞b2，故D错误，故选：A．3．圆C1：x2+y2=9与圆C2：（x+3）2+（y+4）2=16的位置关系是（）A．内切 B．相交 C．外切 D．外离【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】根据两圆圆心之间的距离和半径之间的关系进行判断．【解答】解：圆C1：x2+y2=9的圆心C1（0，0），半径r=3，圆C2：（x+3）2+（y+4）2=16，圆心C2：（﹣3，﹣4），半径R=4，两圆心之间的距离=5满足4﹣3＜5＜4+3，∴两圆相交．故选：B．4．已知等差数列{a n}的公差是1，且a1，a3，a7成等比数列，则a5=（）A．4 B．5 C．6 D．8【考点】等差数列的通项公式．【分析】根据等差数列的通项公式、等比中项的性质列出方程，化简后求出a1，由等差数列的通项公式求出a5．【解答】解：∵差数列{a n}的公差是1，且a1，a3，a7成等比数列，∴，则，化简得，a1=2，∴a5=a1+4=6，故选：C．5．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线（）A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，在平面α内C．有两条，不一定都在平面α内D．有无数条，不一定都在平面α内【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】通过假设过点P且平行于l的直线有两条m与n的出矛盾，由题意得m∥l且n∥l，这与两条直线m与n相交与点P相矛盾，又因为点P在平面内所以点P且平行于l的直线有一条且在平面内．【解答】解：假设过点P且平行于l的直线有两条m与n∴m∥l且n∥l由平行公理4得m∥n这与两条直线m与n相交与点P相矛盾又因为点P在平面内所以点P且平行于l的直线有一条且在平面内所以假设错误．故选B．6．若变量x，y满足不等式组，则目标函数z=2x+y 的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】简单线性规划．【分析】确定不等式表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，即可求得最大值【解答】解：已知不等式组表示的区域如图，由目标函数的几何意义得到，当直线z=2x+y经过图中B时，在y轴的截距最大，即z最大，又B（2，1），所以z是最大值为2×2+1=5；故选：C．7．在空间直角坐标系中，已知三点A（1，0，0），B（1，1，1），C（0，1，1），则三角形ABC 是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【考点】空间两点间的距离公式．【分析】由空间两点间距离公式分别求出三边长，再由勾股定理能判断三角形的形状．【解答】解：∵三点A（1，0，0），B（1，1，1），C（0，1，1），∴|AB|==，|AC|==，|BC|==1，∴AC2=AB2+BC2，∴三角形ABC是直角三角形．故选：A．8．已知直线x +y=1与圆（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=2（a ＞0，b ＞0）相切，则ab 的取值范围是（ ） A ．（0，] B ．（0，] C ．（0，3] D ．（0，9]【考点】直线与圆的位置关系．【分析】直线与圆相切，圆心到直线的距离d=r ，求出a +b 的值，再利用基本不等式求出ab 的取值范围． 【解答】解：直线x +y=1与圆（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=2（a ＞0，b ＞0）相切， 则圆心C （a ，b ）到直线的距离为d=r ， 即=，∴|a +b ﹣1|=2，∴a +b ﹣1=2或a +b ﹣1=﹣2，即a +b=3或a +b=﹣1（不合题意，舍去）； 当a +b=3时，ab ≤=，当且仅当a=b=时取“=”；又ab ＞0，∴ab 的取值范围是（0，]． 故选：B ．9．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 到平面ACD 1的距离为（ ） A ．B ．C ．D ．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】先求得V D1﹣ADC ，进而求得AD 1，AC ，CD 1，进而求得△ACD 1的面积，最后利用等体积法求得答案．【解答】解：依题意知DD 1⊥平面ADC ， 则V D1﹣ADC ==，∵AD 1=AC=CD 1=2∴S △ACD1==2， 设D 到平面ACD 1的距离为d ， 则V D ﹣ACD1=•d •S △ACD1=•d •2=V D1﹣ADC =，∴d=．故选：B ．10．已知数列{a n}通项公式a n=（）n﹣1（n﹣8）（n∈N+），则数列{a n}的最大项为（）A．a13B．a15C．a10和a11D．a16和a17【考点】数列的函数特性．【分析】作差分类讨论，利用数列的单调性即可得出．【解答】解：a n+1﹣a n=﹣（）n﹣1（n﹣8）=×．n≥10时，a n+1﹣a n≤0，即a n+1≤a n（n=10时取等号），数列{a n}单调递减；n≤9时，a n+1﹣a n＞0，即a n+1＞a n，数列{a n}单调递增．又n≤8时，a n≤0；n≥9时，a n＞0．∴n=10或11时，数列{a n}取得最大值，其最大项为a10和a11．故选：C．11．在三棱锥S﹣ABC中，已知SA=BC=2，SB=AC=，SC=AB=，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．2πB．2πC．6πD．12π【考点】球的体积和表面积．【分析】构造长方体，使得面上的对角线长分别为2，，，则长方体的对角线长等于三棱锥S﹣ABC 外接球的直径，即可求出三棱锥S﹣ABC外接球的表面积．【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC中，SA=BC=2，SB=AC=，SC=AB=，∴构造长方体，使得面上的对角线长分别为2，，，则长方体的对角线长等于三棱锥S﹣ABC外接球的直径．设长方体的棱长分别为x，y，z，则x2+y2=4，y2+z2=3，x2+z2=5，∴x2+y2+z2=6∴三棱锥S﹣ABC外接球的直径为，∴三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为=6π．故选：C．12．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=0，a n+1=（n∈N+）．则a33=（）A．4（4﹣）B．4（4﹣）C．4（﹣4）D．4（﹣）【考点】数列递推式．【分析】a n+1=（n∈N+），可得﹣=n，利用“累加求和”方法、等差数列的求和公式及其递推关系即可得出．【解答】解：∵a n+1=（n∈N+），a n+1=S n+1﹣S n，∴﹣=n，∴=﹣++…++=（n﹣1）+（n﹣2）+…+1+0=．∴S n=，∴a33=S33﹣S32=﹣=4，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．已知直线x﹣ay+a=0与直线3x+y+2=0垂直，则实数a的值为3．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用相互垂直的直线与斜率之间的关系即可得出．【解答】解：∵直线x﹣ay+a=0与直线3x+y+2=0垂直，∴3﹣a=0，解得a=3．故答案为：3．14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若a=3，b=4，sinB=，则角A等于．【考点】正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理可求sinA，利用大边对大角可得A为锐角，从而可求A的值．【解答】解：∵a=3，b=4，sinB=，∴由正弦定理可得：sinA===，∵a＜b，∴A为锐角，可得A=．故答案为：．15．已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1，或x＞b}，则实数b的值为2．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】利用一元二次不等式的解集与对应的一元二次方程实数根之间的关系，即可求出答案．【解答】解：关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1，或x＞b}，∴1，b是一元二次方程ax2﹣3x+2=0的两个实数根，且a＞0；∴a﹣3+2=0，解得a=1；由方程x2﹣3x+2=0，解得b=2．故答案为：2．16．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=2，动点P，Q，R分别在边AB、BC、CA上，且满足PQ=QR=PR，则线段PQ的最小值是．【考点】不等式的实际应用．【分析】设∠BPQ=α，PQ=x，用x，α表示出AP，∠ARP，在△APR中，使用正弦定理得出x关于α的函数，利用三角函数的性质得出x的最小值．【解答】解：∵PQ=QR=PR，∴△PQR是等边三角形，∴∠PQR=∠PRQ=∠RPQ=60°，∵矩形ABCD中，AB=2，BC=2，∴∠BAC=30°，∠BCA=60°，设∠BPQ=α（0＜α＜90°），PQ=x，则PR=x，PB=xcosα，∠APR=120°﹣α，∴∠ARP=30°+α，AP=2﹣xcosα．在△APR中，由正弦定理得，即，解得x==．∴当sin（α+φ）=1时，x取得最小值=．故答案为：．三、解答题（共6小题，满分52分）17．已知直线l过点（3，1）且与直线x+y﹣1=0平行．（1）求直线l的方程；（2）若将直线l与x轴、y轴所围成的平面图形绕y轴旋转一周得到一个几何体，求这个几何体的体积．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】（1）设直线方程为x+y+c=0，代入（3，1），求出c，即可求直线l的方程；（2）将直线l与x轴、y轴所围成的平面图形绕y轴旋转一周得到一个几何体为圆锥，底面半径为4，高为4，利用圆锥的体积公式，即可得出结论．【解答】解：（1）设直线方程为x+y+c=0，代入（3，1），可得3+1+c=0，所以c=﹣4，所以直线l的方程为x+y﹣4=0；（2）将直线l与x轴、y轴所围成的平面图形绕y轴旋转一周得到一个几何体为圆锥，底面半径为4，高为4，所以体积为=．18．已知数列{a n}是等差数列，且a3=5，a6=11，数列{b n}是公比大于1的等比数列，且b1=1，b3=9．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=a n﹣b n，求数列{c n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）利用等差数列的通项公式由已知条件求出首项和公比，由此能求出等差数列{a n}的通项公式；由数列{b n}是以b1=3为首项，公比为3的等比数列，能求出{b n}的通项公式．（Ⅱ）由c n=（2n﹣1）﹣3n，利用分组求和法能求出数列{c n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=5，a6=11，∴得，解得a1=1，d=2，∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，∵b1=1，b3=9．∴q2b1=9．即q2=9，∵q＞1，∴q=3，即数列{b n}是以b1=3为首项，公比为3的等比数列，∴．（Ⅱ）∵c n=a n﹣b n，∴c n=（2n﹣1）﹣3n，∴S n=1+3+5+7+…+（2n﹣1）﹣（3+32+33+…+3n）=﹣=n2﹣（3n﹣1）．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知∠A=45°，a=6．（1）若∠C=105°，求b；（2）求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用和差公式与正弦定理即可得出．（2）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bcsinA，利用基本不等式的性质可得：36≥2bc﹣2bc×，进而得出．【解答】解：（1）sin105°=sin75°=sin（30°+45°）=+=．由正弦定理可得：=，∴c==．（2）a2=b2+c2﹣2bcsinA，∴36≥2bc﹣2bc×，解得bc≤′18（2+）．当且仅当b=c=3时取等号．∴S△ABC=sinA≤×=9（1+）．∴△ABC面积的最大值是9（1+）．20．已知圆C经过三点O（0，0），M1（1，1），M2（4，2）．（1）求圆C的方程；（2）设直线x﹣y+m=0与圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求实数m的值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法列出方程组，即可求出圆的方程；（2）设出点A、B以及AB的中点M的坐标，由方程组和中点坐标公式求出点M的坐标，代入圆的方程x2+y2=5中，即可求出m的值．【解答】解：（1）设过点O、M1和M2圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得D=﹣8，E=6，F=0；所求圆的方程为x2+y2﹣8x+6y=0，化为标准方程是：（x﹣4）2+（y+3）2=25；（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x0，y0），由方程组，消去y得2x2+2（m﹣1）x+m2+6m=0，所以x0==，y0=x0+m=，因为点M在圆上，所以+=5，所以+=5，解得m=±3．21．已知函数f（x）=ax2﹣（a+1）x+2（a∈R）．（I）当a=2时，解不等式f（x）＞1；（Ⅱ）若对任意x∈[﹣1，3]，都有f（x）≥0成立，求实数a的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法；二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）a=2时，函数f（x）=2x2﹣3x+2，求不等式f（x）＞1的解集即可；（Ⅱ）讨论a=0与a＞0、a＜0时，函数f（x）在区间[﹣1，3]上的最小值是什么，由此建立不等式求出a的集合即可．【解答】解：（Ⅰ）a=2时，函数f（x）=2x2﹣3x+2，不等式f（x）＞1化为2x2﹣3x+1＞0，解得x＜或x＞1；所以该不等式的解集为{x|x＜或x＞1}；（Ⅱ）由对任意x∈[﹣1，3]，都有f（x）≥0成立；讨论：①当a=0时，f（x）=﹣x+2在区间[﹣1，3]上是单调减函数，且f（3）=﹣3+2=﹣1＜0，不满足题意；②当a＞0时，二次函数f（x）图象的对称轴为x=+＞，若+＜3，则a＞，函数f（x）在区间[﹣1，3]上的最小值为f（+）≥0，即a2﹣6a+1≤0，解得3﹣2≤a≤3+2，取＜a≤3+2；若+≥3，则0＜a≤，函数f（x）在区间[﹣1，3]上的最小值为f（3）≥0，解得a≥，取≤a≤；当a＜0时，二次函数f（x）图象的对称轴为x=+＜，函数f（x）在区间[﹣1，3]上的最小值为f（3）≥0，解得a≥，此时a不存在；综上，实数a的取值范围是≤a≤3+2．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AD=PD=2，PA=2，∠PDC=120°．（1）如图2，设点E为AB的中点，点F在PC的中点，求证：EF∥平面PAD；（2）已知网络纸上小正方形的边长为0.5，请你在网格纸用粗线画图1中四棱锥P﹣ABCD的俯视图（不需要标字母），并说明理由．【考点】简单空间图形的三视图；直线与平面平行的判定．【分析】（1）要证EF∥平面PAD，需要证面GEF∥面PAD，需要证GF∥PD，GE∥AD，易得证明思路．（2）证明AD⊥平面PCD，P在平面ABCD的射影H在CD的延长线上，且DH=1，即可得出四棱锥P﹣ABCD的俯视图．【解答】（1）证明：取DC的中点G，连接EG、FG，∵F是PC的中点，G是DC的中点，∴GF是△PCD的中位线，GF∥PD；∵G是DC的中点，E是AB的中点，∴GE是矩形ABCD的中位线，GE∥AD；GE、GF⊆面GEF，GE与GF相交，∴面GEF∥面PAD，∵EF⊆面GEF，∴EF∥平面PAD．（2）解：∵AD=PD=2，PA=2，∴AD⊥PD，∵底面ABCD是正方形，∴AD⊥DC，∵PD∩DC=D，∴AD⊥平面PCD，∴P在平面ABCD的射影H在CD的延长线上，且DH=1．俯视图如图所示．。

福建省三明市高一下学期数学期末联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一下·宁夏期末) 已知，为锐角，且，，则（）A .B .C .D .2. （2分）已知向量 =（﹣2，1）， =（x，2），若⊥ ，则x的值等于（）A . 1B . ﹣1C . ﹣4D . 43. （2分）关于统计数据的分析，有以下几个结论：①将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化；②绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；③一组数据的方差一定是正数；④如图是随机抽取的200辆汽车通过某一段公路时的时速分布直方图，根据这个直方图，可以得到时速在（50，60）的汽车大约是60辆．则这4种说法中错误的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分） 1001101（2）与下列哪个值相等（）A . 113（8）B . 114（8）C . 115（8）D . 116（8）5. （2分）若干个人站成一排，其中为互斥事件的是（）A . “甲站排头”与“乙站排头”B . “甲站排头”与“乙不站排尾”C . “甲站排头”与“乙站排尾”D . “甲不站排头”与“乙不站排尾”6. （2分）当输入x=﹣4时，如图的程序运行的结果是（）A . 7B . 8C . 9D . 157. （2分）(2016·城中模拟) 若a和b是计算机在区间（0，2）上产生的均匀随机数，则一元二次不等式ax2+4x+4b＞0（a＞0）的解集不是R的概率为（）A .B .C .D .8. （2分）已知函数f(x)是R上的偶函数，且满足，在[0,5]上有且只有f(1)=0，则f(x)在[–2013,2013]上的零点个数为（）A . 808B . 806C . 805D . 8049. （2分）已知，，，则的大小关系是（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高三上·甘肃开学考) 把函数y=sin（x+ ）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高二下·长春期中) 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（）A . 140种B . 120种C . 35种D . 34种12. （2分） (2019高二上·汇川期中) 设向量 ,满足 ,则（）A . 2B .C . 3D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·滨海期末) 从1，2，3，4，5五个数字中任意取出两个不同的数做加法，其和为6的概率是________．14. （1分） (2018高一下·珠海月考) 用更相减损术或辗转相除法求459和357的最大公约数为________.15. （1分）在对两个变量进行回归分析时，甲、乙分别给出两个不同的回归方程，并对回归方程进行检验.对这两个回归方程进行检验时，与实际数据（个数）对比结果如下：与实际相符数据个数与实际不符合数据个数合计甲回归方程32840乙回归方程402060合计7228100则从表中数据分析，________回归方程更好（即与实际数据更贴近）.16. （1分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，|φ|＜）的图象（部分）如图所示，则f （x）的解析式是________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分）若sin(-)=，求cos(-)的值．18. （5分）(2017·成都模拟) 某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．（Ⅰ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元）．求随机变量X的分布列和数学期望．19. （10分） (2016高一下·衡阳期中) 已知，，当k为何值时，（1）与垂直？（2）与平行？平行时它们是同向还是反向？20. （15分） 20件产品中有17件合格品，3件次品，从中任意抽取3件进行检查，问（1）求抽取3件都是合格品的抽法种数．（2）求抽出的3件中恰好有1件是次品的概率．（3）求抽出的3件至少有2件不是次品的概率．21. （15分）已知函数f（x）=ax2﹣2x+1．（1）当a≠0，试讨论函数f（x）的单调性；（2）若≤a≤1，且f（x）在[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=Mx（a）﹣N（a），求g（a）的表达式；（3）在（2）的条件下，求g（a）的最小值．22. （5分） (2017高二下·张家口期末) 某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准如下：85分及以上，记为A等；分数在[70，85）内，记为B等；分数在[60，70）内，记为C等；60分以下，记为D等．同时认定A，B，C为合格，D为不合格．已知某学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了了解该校学生的成绩，抽取了50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出样本频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求图中x的值，并根据样本数据估计该校学生学业水平测试的合格率；（Ⅱ）在选取的样本中，从70分以下的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中成绩为D等级的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、21-3、22-1、第11 页共11 页。

三明一中2019届高一下数学期末综合练习（四）班级： 姓名： 座号：一、选择题：本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ,a b R ∈，若0a b ->，则下列不等式中正确的是（ ）A. 0b a ->B. 330a b +<C. 220a b -< D. 0b a +>2．过点A （1，0）和点B （m ，4）的直线与直线y =2x +1平行，则m 等于（ ）3．圆（x ﹣3）2+y 2=4与圆x 2+（y ﹣4）2=16的位置关系为（ ）4．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO 的面积是（ ）A.B.2C.D. 5．在ABC ∆中，若B A cos cos =，则ABC ∆一定是（ ）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形 6．数列{a n }满足a 1=，a n +1=1﹣na 1，那么a 10=（）7．若不等式组⎩⎪⎨⎪x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k的值是( )A.73B.37C.43D.34 8．已知数列{2n﹣（﹣1）n}的前10项和为（ ）9. 已知一个棱锥的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个棱锥的侧面积是（ ） A. 24cm B. 212cmC.2(8cm + D. 2(4cm +10. 若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为（ ）①若直线m ⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m 平行的直线． ②若直线m ⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m 垂直． ③若直线m ⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m 垂直的直线． ④若直线m ⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m 垂直的直线．A. ①③B.②③C. ②④D. ①④11. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c C =（ ） A ．π12B ．π6C ．π4D ．π312.《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)． 已知弦AB ＝1尺，弓形高CD ＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )⎝ ⎛⎭⎪⎫注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin 22.5°≈513A ．600立方寸B ．610立方寸C ．620立方寸D ．633立方寸二、填空题（本大题共4小题，每题3分，满分12分） 13.已知点A （1，-1，3），B （2，1，3），则|AB|= .14.已知圆柱的底面半径为1，高为2，则这个圆柱的表面积是 . 15.某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶,单位:米/秒)、平均车长l (单位:米)的值有关,其公式为F =lv v v2018760002++错误！未找到引用源。

2017-2018学年福建三明一中高一下学期数学期末复习综合卷一、单选题1．直线x－y＝0 的倾斜角为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】B【解析】分析：根据直线的倾斜角与直线的斜率有关，故可先求出直线斜率再转化为倾斜角即可.详解：直线x－y＝0 的斜率为1，设其倾斜角为α，则0°≤α＜180°，由tanα＝1，得α＝45°，故选B.点睛：考查直线的斜率与倾斜角之间的关系，正确计算斜率为解题关键，属于基础题2．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，若其欧拉线的方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标是()A. (－4,0)B. (0，－4)C. (4,0)D. (4,0)或(－4,0)【答案】A【解析】分析：设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标．详解：设C(m，n)，由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为(，)，代入欧拉线方程，得－＋2＝0，整理，得m－n＋4＝0，①AB的中点为(1,2)，kAB＝＝－2，AB的中垂线方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0.联立解得∴△ABC的外心为(－1,1)．则(m＋1)2＋(n－1)2＝32＋12＝10，整理，得m2＋n2＋2m－2n＝8，②联立①②，得m＝－4，n＝0或m＝0，n＝4.当m＝0，n＝4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是(－4,0)．故选A.点睛：本题考查直线方程的求法，训练了直线方程的点斜式，考查了方程组的解法，是基础的计算题．3．若两个球的表面积之比为1∶4，则这两个球的体积之比为()A. 1∶2B. 1∶4C. 1∶8D. 1∶16【答案】C【解析】分析：设两个球的半径分别为r1、r2，根据球的表面积公式算出它们的表面积之比＝，解得＝，由此结合球的体积公式即可算出这两个球的体积之比．详解：设两个球的半径分别为r1、r2，根据球的表面积公式，可得它们的表面积分别为S1＝4π，S2＝4π，∵两个球的表面积之比为1∶4，∴＝＝＝，解得＝(舍负)，因此，这两个球的体积之比为＝＝＝3＝，即两个球的体积之比为1∶8.故选C.点睛：本题给出两个球的表面积之比，求它们的体积之比．着重考查了球的表面积公式和体积公式等知识，属于基础题．4．经过点A(，－2)和B(0,1)的直线l的倾斜角α为()A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°【答案】C【解析】分析：先由直线的斜率公式求出直线的斜率，再根据倾斜角的范围及倾斜角的正切值等于斜率，求得倾斜角的值．详解：由直线的斜率公式得，经过点A(，－2)和B(0,1)的直线l的斜率为＝－，又倾斜角大于或等于0°小于180°，倾斜角的正切值等于－，故倾斜角等于120°，故选C.点睛：本题考查直线的斜率公式以及倾斜角的范围、倾斜角与斜率的关系．5．若圆(x－1)2＋(y＋1)2＝R2上有且仅有两个点到直线4x＋3y＝11的距离等于1，则半径R的取值范围是()A. R＞1B. R＜3C. 1＜R＜3D. R≠2【答案】C【解析】分析：圆（x-1）2+（y+1）2=R2上有且仅有两个点到直线4x+3y=11的距离等于1，先求圆心到直线的距离，再求半径的范围．详解：依题意可得，直线与圆可能相交，相切或相离．若直线4x＋3y＝11与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝R2相离，则圆上的点到直线的最小距离应小于1，即圆心到直线的距离d∈(R,1＋R)，从而有R＜＜1＋R，解得1＜R＜2.若直线4x＋3y＝11与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝R2相切，则R＝＝2.若直线4x＋3y＝11与圆相交，则圆上的点到直线的最小距离应小于1，即圆心到直线的距离d∈(R－1，R)，从而有R－1＜＜R，解得2＜R＜3.综上可得1＜R＜3，故选C.点睛：本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想，是中档题．6．若点P(2，－2)在圆O′：(x－a)2＋(y－a)2＝16的内部，则实数a的取值范围是() A. －2＜a＜2 B. 0＜a＜2C. a＜－2或a＞2D. a＝±2【答案】A【解析】分析：利用点P（2，-2）到圆心O′（a，a）的距离小于半径4即可得答案．详解：∵点P(2，－2)在圆O′：(x－a)2＋(y－a)2＝16的内部，∴(2－a)2＋(－2－a)2＜16，∴a2＜4，∴－2＜a＜2.故选A.点睛：本题考查点与圆的位置关系，考查理解与运算能力，属于基础题．7．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为平面ABCD和平面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】分析：由直线与平面平行的判定定理即可.详解：由直线与平面平行的判定定理知.EF与平面AB′，平面BC′，平面CD′，平面AD′均平行.故与EF平行的平面有4个.点睛：考查直线与平面平行的判定，对定理的熟悉是解题关键，属于基础题.8．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（）A. x-2y-1=0B. x-2y+1=0C. 2x+y-2=0D. x+2y-1=0【答案】A【解析】试题分析：设与直线平行的直线方程为，将点代入直线方程可得，解得．则所求直线方程为．故A正确．【考点】两直线平行．【方法点睛】本题主要考查两直线的平行问题，属容易题．两直线平行倾斜角相等，所以斜率相等或均不存在．所以与直线平行的直线方程可设为．9．直线2x-3y+6=0与x轴的交点是A,与y轴的交点是B,O是坐标原点，则△AOB的面积是（）A．6 B．3 C．12 D．2【答案】B【解析】试题分析：根据题意，把y＝0代入直线2x－3y＋6＝0可得x＝－3，∴A（－3，0），把x＝0代入直线2x－3y＋6＝0可得y＝2，∴B（0，2），∴△AOB的面积为1⨯⨯=，故选B．3232【考点】考查了直线在坐标轴上的截距．点评：解本题的关键是求出直线在坐标轴上的截距，再求出三角形的面积．10．空间两条互相平行的直线指的是()A. 在空间没有公共点的两条直线B. 分别在两个平面内的两条直线C. 在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线D. 在同一平面内且没有公共点的两条直线【答案】D【解析】本题考查空间两直线位置关系和空间想象能力.空间两直线的位置关系是：相交，平行和异面；其中相交或平行的直线是共面直线；即在同一平面内且有公共点的两直线是相交直线；在同一平面内且没有公共点的两直线是平行直线.异面直线是不在任何一个平面内的两条直线.故选D11．以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是()A. (x－1)2＋(y－2)2＝10B. (x－1)2＋(y－2)2＝100C. (x－1)2＋(y－2)2＝5D. (x－1)2＋(y－2)2＝25【答案】D【解析】分析：由条件求出圆心坐标和半径的值，从而得出结论．详解：圆心坐标为(1,2)，半径r＝＝5，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.故选D.点睛：本题主要考查求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于基础题．12．若圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0关于直线l1：x－y＋4＝0和直线l2：x＋3y＝0都对称，则D＋E的值为()A. －4B. －2C. 2D. 4【答案】D【解析】分析：根据题意，圆心为直线与直线的交点，因此联立与的方程，解方程即可得到圆心的坐标，再由圆的方程算出、之值，即可得出的值．详解：将圆化成标准方程得.∴圆心为，半径为.∵直线与直线都是圆的对称轴∴直线与直线都经过圆的圆心，它们的交点即为圆心.联立，解得，即圆心坐标为.∴，∴，∴故选D.点睛：本题主要考查圆的一般方程化为标准方程，以及由标准方程求圆心坐标.将直线与直线都是圆的对称轴转化为直线与直线都经过圆的圆心是解答本题的关键.二、填空题13．直线4x－my＋2＝0和2mx＋6y－3＝0的交点位于第二象限，则m的取值范围为________．【答案】(-3,4).【解析】分析：两条直线的交点在第二象限，联立方程组解出交点坐标，交点的横坐标小于零，同时纵坐标大于零，解不等式组可求m的范围详解：由解得两条直线的交点坐标为(，)．由交点在第二象限知横坐标为负、纵坐标为正，故<0且>0.解得－3＜m＜4.故答案为(-3,4).点睛：本题考查直线交点的求法，以及点所在象限问题，是基础题目．14．如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为________．【答案】2.【解析】分析：要求小虫爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．详解：由题意知底面圆的直径AB＝2，故底面周长等于2π.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π＝，解得n＝90，所以展开图中∠PSC＝90°，根据勾股定理求得PC＝2，所以小虫爬行的最短距离为2.故答案为2点睛：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．15．已知△ABC的两个顶点A(3,9)，B(－5,4)，若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则顶点C的坐标为________．【答案】(5，－9).【解析】分析：设顶点C（x，y），由AC的中点在x轴上，故A、C纵坐标的平均值等于0，解出y值；由BC的中点在y轴上，得到B、C的横坐标的平均值等于0，解出x 值，从而得到C的坐标．详解：设顶点C(x，y)，∵AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，∴＝0，y＝－9，＝0，x＝5，∴C的坐标是(5，－9)．故答案为：(5，－9)点睛：本题考查线段的中点公式的应用，线段中点的坐标等于端点坐标的平均值，用待定系数法求顶点C的坐标．16．倾斜角为60°且在y轴上截距为2的直线方程是________．【答案】y＝x＋2.【解析】分析：利用斜截式即可得出．详解：∵直线倾斜角是60°， ∴直线的斜率等于，在y 轴上的截距是2，由直线方程的斜截式得y ＝x ＋2. 故答案为：y ＝x ＋2.点睛：本题考查了斜截式方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17．圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点()0,4A -， ()0,2B -，圆C 的方程为 ．【答案】()()22235x y -++=【解析】试题分析：设圆的方程为()()222x a y b r -+-=，所以有()()()()222222270{04 02a b a b r a b r --=-+--=-+--=2{3 a b r =∴=-=，圆的方程为()()22235x y -++= 【考点】圆的方程三、解答题 18．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l 与线段AB 有公共点.(1)求直线l 的斜率k 的取值范围；(2)求直线l 的倾斜角α的取值范围．【答案】（1）1k ≤-或1k ≥；（2）45135α︒≤≤︒【解析】试题分析：（1）由题意画出图形，求出P 与线段AB 端点连线的倾斜角得答案；（2）由斜率是倾斜角的正切值即可得到l 的斜率k 的取值范围.试题解析：如图，由题意可知，直线PA 的斜率40131PA k -==---，直线PB 的斜率20131PB k -==-，(1)要使l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是1k ≤－，或1k ≥.(2)由题意可知直线l 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间，又直线PB 的倾斜角是45︒，直线PA 的倾斜角是135︒，故α的取值范围是45135α︒≤≤︒.点睛：本题考查了直线的倾斜角，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，体现了数形结合的解题思想方法，是基础题；常见题型：（1）已知倾斜角范围求斜率的范围；（2）已知斜率求倾斜角的问题；（3）斜率在数形结合中的应用，关键是临界临界位置的取舍.19．一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个高为x 的内接圆柱．(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S ；(2)当x 为何值时，S 最大？【答案】(1) S ＝－x 2＋4x (0<x <6)．(2) 当x ＝3时，S 最大，最大值为6.【解析】分析：（1）画出圆锥的轴截面，将空间问题转化为平面问题，然后根据相似三角形的性质和比例的性质，得出内接圆柱底面半径r 与x 关系式即可（2）根据二次函数的性质易得到其最大值，及对应的x 的值．详解：画出圆柱和圆锥的轴截面，如图所示，设圆柱的底面半径为r ，则由三角形相似可得＝，解得r ＝2－.(1)圆柱的轴截面面积S ＝2r ·x ＝2·(2－)·x ＝－x 2＋4x (0<x <6)．(2)∵S ＝－x 2＋4x ＝－(x 2－6x ) ＝－(x －3)2＋6，∴当x ＝3时，S 最大，最大值为6.点睛：本题考查的知识点是圆锥的几何特征及圆锥及圆柱的轴截面面积公式，将空间问题转化为平面问题是解答立体几何题最常用的思路．20．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O1是A1C1与B1D1的交点，长方体体对角线A1C 交截面AB1D1于点P.求证：O1，P，A三点在同一条直线上.【答案】见解析【解析】分析：根据公理2，进行判断O1、P、A三点共线；根据公理1可知M，O1、P、A∈平面AB1D1，因此得到答案．详解：证明因为O1∈平面AB1D1，O1∈平面AA1C1C，A∈平面AB1D1，A∈平面AA1C1C，所以平面AB1D1∩平面AA1C1C＝AO1.又因为A1C∩平面AB1D1＝P，所以P∈直线A1C，P∈平面AB1D1，所以P∈平面AA1C1C，所以P∈直线AO1，即O1，P，A三点在同一条直线上．点睛：此题是个基础题．考查空间点、线、面的位置关系以及平面相交和平面的确定公理，考查学生对基础知识的记忆与理解程度．平面的基本性质公理2是证明三点共线的依据之一．21．直线l过点(1,2)和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程.【答案】或.【解析】试题分析：（1）直线在的横截距即当y=0时x的值，直线的纵截距即当x=0时y的值；（2）对于直线经过第一、二、四象限则，经过第一、二、三象限则，经过第一、三、四象限则经过第二、三、四象限则试题解析：设直线l的横截距为a，由题意可得纵截距为6－a．∴直线l的方程为．∵点（1，2）在直线l上，∴，a2－5a＋6＝0，解得a＝2或a＝3．当a＝2时，直线的方程为，直线经过第一、二、四象限．当a＝3时，直线的方程为，直线经过第一、二、四象限．综上所述，所求直线方程为2x＋y－4＝0和x＋y－3＝0．【考点】直线的截距和直线经过的象限与斜率和截距的关系22．从点P(4,5)向圆(x－2)2＋y2＝4引切线，求切线方程．【答案】x=4.【解析】分析：由圆的方程找出圆心坐标与半径r，分两种情况考虑：当过P的切线斜率不存在时，直线x=4满足题意；当过P的切线斜率存在时，设为k，由P坐标表示出切线方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出此时切线方程，综上，得到满足题意圆的切线方程．详解：把点P(4,5)代入(x－2)2＋y2＝4，得(4－2)2＋52＝29＞4，所以点P在圆(x－2)2＋y2＝4外．设切线斜率为k，则切线方程为y－5＝k(x－4)，即kx－y＋5－4k＝0.又圆心坐标为(2,0)，r＝2.因为圆心到切线的距离等于半径，即＝2，k＝.所以切线方程为21x－20y＋16＝0.当直线的斜率不存在时还有一条切线是x＝4.点睛：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，以及直线的点斜式方程，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．。

福建省三明市2017-2018学年高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请把答案填在答题卷相应的位置上.1．（2015春•福建期末）已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜3}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|0＜x＜3} C．{x|x＞﹣1} D．{x|x＜3}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由A与B，求出两集合的并集即可．解答：解：∵A={x|0＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜3}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜3}，故选：A．点评：此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．（2015春•福建期末）在直角坐标系xOy中，点M的坐标是（1，﹣），若以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则点M的极坐标可以为（）A．（2，）B．（2，）C．（2，﹣）D．（2，2kπ+）（k∈Z）考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：利用即可得出．解答：解：=2，tanθ=﹣，，∴．∴点M的极坐标可以为．故选：C．点评：本题考查了直角坐标化为极坐标的方法，属于基础题．3．（2015春•福建期末）因指数函数y=a x（a＞0且a≠1）是增函数（大前提），而y=（）x 是指数函数（小前提），所以y=（）x是增函数（结论），上面推理的错误是（）A．大前提错误导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错误导致结论错D．大前提和小前提都错误导致结论错考点：演绎推理的意义．专题：推理和证明．分析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论及推理形式是否都正确，根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．解答：解：演绎推理：“因指数函数y=a x（a＞0且a≠1）是增函数（大前提），而y=（）x是指数函数（小前提），所以y=（）x是增函数（结论）”，中：大前提：指数函数y=a x（a＞0且a≠1）是增函数，错误，故错误的原因是大前提错误导致结论错，故选：A点评：本题考查演绎推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题4．（2014•贵州校级模拟）“x2＞x”是“x＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：综合题．分析：本题考查的知识点是充要条件的判断，我们可以根据充要条件的定义：法一：若p⇒q为真且q⇒p为假，则p是q的充分不必要条件进行判定．法二：分别求出满足条件p，q的元素的集合P，Q，再判断P，Q的包含关系，最后根据谁小谁充分，谁大谁必要的原则，确定答案．解答：解：法一：x2＞x的解集A为（﹣∞，0）∪（1，+∞）x＞1的解集B为（1，+∞）B⊂A故“x2＞x”是“x＞1”的必要而不充分条件法二：当x2＞x成立时，x＞1不一定成立当x＞1成立时，x2＞x成立故“x2＞x”是“x＞1”的必要而不充分条件故选B点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真且q⇒p为假，则p是q的充分不必要条件；②若p⇒q为假且q⇒p为真，则p是q的必要不充分条件；③若p⇒q为真且q⇒p为真，则p是q的充要条件；④若p⇒q为假且q⇒p为假，则p是q的即不充分也不必要条件．⑤判断p与q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断p与q的关系．5．（2015春•福建期末）已知函数f（x）的图象是连续不断的，现给出x，f（x）的部分对应值如下表：x ﹣2 ﹣1 1 2 3f（x）﹣3 ﹣2 1 2 4则函数f（x）一定有零点的区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣1，1）考点：二分法的定义．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由所给的函数值的表格可以看出，在x=﹣1与x=1这两个数字对应的函数值的符号不同，即f（﹣1）f（1）＜0，根据零点判定定理看出零点的位置．解答：解：由所给的函数值的表格可以看出，在x=﹣1与x=1这两个数字对应的函数值的符号不同，即f（﹣1）f（1）＜0，∴函数的零点在（﹣1，1）上，故选：D．点评：本题考查函数的零点的判定定理，是一个基础题，解题的关键是看清那两个函数值之间符号不同，这里不用运算，只要仔细观察即可．6．（2015春•福建期末）随着移动互联网的深入普及，用手机上网的人数日益增多，某教育部门成立了调查小组，调查“常上网与高度近视的关系”，对某校高中二年级800名学生进行检查，得到如下2×2列联表：不常上网常上网总计不高度近视70 150 220高度近视130 450 580总计200 600 800根据列联表的数据，计算得到K2≈7.524，则（）A．有99.5%的把握认为常上网与高度近视有关B．有99.5%的把握认为常上网与高度近视无关C．有99%的把握认为常上网与高度近视有关D．有99%的把握认为常上网与高度近视无关考点：独立性检验的应用．专题：计算题；概率与统计．分析：根据根据表中数据，得到X2的观测值K2≈7.524＞6.635，即可得到有99%的把握认为常上网与高度近视有关．解答：解：∵根据表中数据，得到X2的观测值K2≈7.524＞6.635，由于P（K2≥36.636）≈0.01，∴有99%的把握认为常上网与高度近视有关．故选：C．点评：本题考查独立性检验的应用，本题解题的关键是正确理解观测值对应的概率的意义．7．（2015春•福建期末）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是27，则输入的数是（）A．﹣3或﹣3B．3或﹣3C．﹣3或3 D．3或3考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：分x2=27和x3=27时两种情况加以讨论，解方程并比较x2与x3的大小，最后综合即可得到本题的答案．解答：解：根据程序框图中的算法，得输出的结果可能是x2或x3，①当输出的27是x2时，x可能等于±∵x2≥x3，∴x≤0，此时x=﹣3；②当输出的27是x3时，x可能等于±3∵x2＜x3，∴x＞0，此时x=3综上所述，得输入的x=3或﹣3．故选：B．点评：本题以程序框图为载体，求方程的解x值，着重考查了算法语句与方程、不等式解法等知识，属于基础题．8．（2015春•福建期末）用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c 都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数考点：反证法与放缩法．专题：常规题型．分析：本题考查反证法的概念，逻辑用语，否与的否定的概念，逻辑词语的否定．根据反证法的步骤，假设是对原结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可．解答：解：根据反证法的步骤，假设是对原结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．点评：一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．9．（2015•山东模拟）函数y=的图象可能是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：当x＞0时，，当x＜0时，，作出函数图象为B．解答：解：函数y=的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称．当x＞0时，，当x＜0时，，此时函数图象与当x＞0时函数的图象关于原点对称．故选B点评：本题考查了函数奇偶性的概念、判断及性质，考查了分段函数的图象及图象变换的能力．10．（2015•南充二模）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0成立，则不等式f（x）＞0的解集是（）A．（1，+∞）B．（﹣1，0）C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）考点：函数奇偶性的性质；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：由函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，则f（﹣1）=f（0）=f（1）=0，则可以将定义域R分为（﹣∞，﹣1），（﹣1，0），（0，1），（1，+∞）四个区间结合单调性进行讨论，可得答案．解答：解：若f（x）在（﹣∞，﹣1）上为减函数，则f（x）＞0，f'（x）＜0则xf′（x）﹣f（x）＞0不成立若f（x）在（﹣∞，﹣1）上为增函数，则f（x）＜0，f'（x）＞0则xf′（x）﹣f（x）＞0成立故：f（x）在（﹣∞，﹣1）上时，则f（x）＜0若f（x）在（﹣1，0）上为增函数，则f（x）＜0，f'（x）＞0则xf′（x）﹣f（x）＞0不成立若f（x）在（﹣∞，﹣1）上为减函数，则f（x）＞0，f'（x）＜0则xf′（x）﹣f（x）＞0成立故：f（x）在（﹣1，0）上时，则f（x）＞0又∵奇函数的图象关于原点对称，则f（x）在（0，1）上时，则f（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上时，则f（x）＞0综合所述，不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，0）∪（1，+∞）故选：C点评：解答本题的关键是根据已知条件，结合奇函数的性质，找出函数的零点，并以零点为端点将定义域分为几个不同的区间，然后在每个区间上结合函数的单调性进行讨论，这是分类讨论思想在解决问题的巨大作用的最好体现，分类讨论思想往往能将一个复杂的问题的简单化，是高中阶段必须要掌握的一种方法．11．（2015春•福建期末）一个边长为6的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒．当无盖方盒的容积V最大时，x的值为（）A． 3 B． 2 C． 1 D．考点：函数最值的应用．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：设无盖方盒的底面边长为a，则a=6﹣2x，则无盖方盒的容积为：V（x）=x（6﹣2x）2．求导得V'（x）=12x2﹣48x+36．再令V'（x）=12x2﹣48x+36=0，得x=1或x=3（舍）．并求得V（1）=16．由V（x）的单调性知，16为V（x）的最大值．由此能求出截去的小正方形的边长x为多少时，无盖方盒的容积最大．解答：解：设无盖方盒的底面边长为a，则a=6﹣2x，则无盖方盒的容积为：V（x）=x（6﹣2x）2．得V′（x）=12x2﹣48x+36．令V′（x）=12x2﹣48x+36＞0，解得x＜1或x＞3；令V′（x）=12x2﹣48x+36＜0，解得1＜x＜3．∵函数V（x）的定义域为x∈（0，3），∴函数V（x）的单调增区间是：（0，1）；函数V（x）的单调减区间是：（1，3）．令V′（x）=12x2﹣48x+36=0，得x=1或x=3（舍）．并求得V（1）=16．由V（x）的单调性知，16为V（x）的最大值．故截去的小正方形的边长x为1m时，无盖方盒的容积最大，其最大容积是16m3．故选C．点评：本题考查函数模型的选择与应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用导数解题．易错点是理不清数量间的相互关系，不能正确地建立方程．12．（2015春•福建期末）对于任意两个自然数m，n，定义某种⊗运算如下：当m，n都为奇数或偶数时，m⊗n=m+n；当m，n中一个为偶数，另一个为奇数时，m⊗n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a⊗b=18，a∈N，b∈N}中的元素个数为（）A．26 B．25 C．24 D． 23考点：进行简单的合情推理．专题：新定义．分析：根据定义，x⊗y=18分两类进行考虑：x和y一奇一偶，则x•y=18；x和y同奇偶，则x+y=18．由x、y∈N*列出满足条件的所有可能情况，再考虑点（x，y）的个数即可．解答：解：x⊗y=18，x、y∈N*，若x和y一奇一偶，则xy=18，满足此条件的有1×18=2×9=3×6，故点（x，y）有6个；若x和y同奇偶，则x+y=18，满足此条件的有1+17=2+16=3+15=4+14=…=17+1，故点（x，y）有17个，∴满足条件的个数为6+17=23个．故选：D．点评：本题为新定义问题，考查对新定义和集合的理解，正确理解新定义的含义是解决本题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题中，每小题5分，共20分.请将答案写在答题卷相应位置上.13．（2015春•福建期末）已知幂函数f（x）的图象过点（8，2），则f（﹣）=．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：设幂函数f（x）=xα（α为常数），把点（8，2）代入解析式求出α的值，再求出f（﹣）的值．解答：解：设幂函数f（x）=xα，α为常数，∵f（x）的图象过点（8，2），∴8=2α，解得α=3，则f（x）=x3，∴f（﹣）==，故答案为：．点评：本题考查幂函数解析式的求法：待定系数法，以及幂函数求值，属于基础题．14．（2015春•福建期末）复数z=（i是虚数单位）的实部为﹣2．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的基本运算进行化简即可．解答：解：z==﹣2=﹣2+i，则复数的实部为﹣2，故答案为：﹣2点评：本题主要考查复数的有关概念，比较基础．15．（2015春•福建期末）观察=；+=；++=；…，由此推算++++++=．考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：根据裂项求和，即可找到规律，问题得以解决．解答：解：==1﹣；+==+=1﹣+﹣=1﹣，++==++=1﹣+﹣+﹣=1﹣，∴++++++=1﹣=，故答案为：．点评：本题考查了归纳推理的问题，关键是采用裂项求和，属于基础题．16．（2015春•福建期末）已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示．若f（x）在区间[m，m+1]上是单调函数，则实数m的取值范围是{m|m=﹣1或0≤m≤1或2≤m≤3或m=4}．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数的单调区间，从而得到区间[m，m+1]所在的范围，求出即可．解答：解：由图象得：函数f（x）在[﹣1，0）递增，在（0，2）递减，在（2，4）递增，在（4，5]递减，∴[m，m+1]⊆[﹣1，0]或[m，m+1]⊆[0，2]，或[m，m+1]⊆[2，4]，或[m，m+1]⊆[4，5]，∴m=﹣1或0≤m≤1或2≤m≤3或m=4，故答案为：{m|m=﹣1或0≤m≤1或2≤m≤3或m=4}．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，数形结合思想，是一道基础题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（2015春•福建期末）设复数z=a+i（i是虚数单位，a∈R，a＞0），且|z|=．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）在复平面内，若复数+（m∈R）对应的点在第四象限，求实数m取值范围．考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：（Ⅰ）根据复数的模长公式进行化简即可．（Ⅱ）根据复数的几何意义进行化简求解．解答：解：（Ⅰ）∵z=a+i，|z|=，∴|z|==，…（2分）即a2=9，解得a=±3，…（4分）又∵a＞0，∴a=3，…（5分）∴z=3+i．…（6分）（Ⅱ）∵z=3+i，则=3+i，…（7分）∴+=3+i+=+i，…（8分）又∵复数+（m∈R）对应的点在第四象限，∴得…（11分）∴﹣5＜m＜1．…（12分）点评：本题主要考查复数的基本运算以及复数的几何意义的应用，考查学生的运算能力．18．（2015春•福建期末）因为受市场经济的宏观调控，某商品每月的单价和销量均会上下波动，某商家对2015年的1月份到4月份的销售量x百件和利润y万元进行统计分析，得到数据的散点图如图所示：（Ⅰ）根据散点图分别求1～4月份的销售量x和利润y的平均数，；（Ⅱ）为使统计更为准确，继续跟踪5，6月份的销售量和利润情况，得到5月份的销售量为14百件、利润为6万元，6月份的销售量为16百件、利润为8万元．由1～6月份的数据，用最小二乘法计算得到线性回归方程=x+中的=，求的值；（Ⅲ）试根据（Ⅱ）中的线性回归方程，预测当销售量为18百件时的利润．考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据散点图中1～4月份各个月的销售量x和利润y，进而求出横标和纵标的平均数，；（Ⅱ）根据（Ⅰ）写出样本中心点，结合已知的线性回归方程，把样本中心点代入求出a的值．（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的线性回归方程，将x=18代入可预测当销售量为18百件时的利润．解答：解：（Ⅰ）=（6+8+10+12）=9，=（2+3+5+6）=4．…（4分）（Ⅱ）1～6月份的平均销售量=（6+8+10+12+14+16）=11，1～6月份的平均利润=（2+3+5+6+6+8）=5，…（6分）∴这组数据的样本中心点是（11，5），∵回归直线方程=x+中的=，把样本中心点代入得a=﹣，…（8分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知线性回归方程为=x﹣，∴当销售量为18百件时，=×18﹣=9，…（11分）∴当销售量为18百件时预测利润为9万元．…（12分）点评：本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．19．（2015春•福建期末）定义：对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0，满足f（﹣x0）=﹣f（x0），则称x0为函数f（x）的“奇对称点”．（Ⅰ）求函数f（x）=x2+2x﹣4的“奇对称点”；（Ⅱ）若函数f（x）=ln（x+m）在[﹣1，1]上存在“奇对称点”，求实数m的取值范围．考点：函数奇偶性的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）若f（x）存在“奇对称点”，则根据定义可得f（﹣x0）=﹣f（x0），代入函数解析，构造关于x0的方程，解得可得答案；（Ⅱ）若f（x）存在“奇对称点”，则根据定义可得f（﹣x0）=﹣f（x0），代入函数解析，构造不等式，解得实数m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）依题意有f（﹣x0）=﹣f（x0），即（﹣x0）2+2（﹣x0）﹣4=﹣（x0）2﹣2（x0）+4，…（2分）化简得（x0）2=4，解得：x0=±2，∴函数f（x）=x2+2x﹣4的“奇对称点”为±2．…（4分）（Ⅱ）依题意函数f（x）=ln（x+m）的定义域为（﹣m，+∞），…（5分）又因为函数f（x）=ln（x+m）在[﹣1，1]上存在“奇对称点”，等价于关于x的方程ln（﹣x+m）=﹣ln（x+m）在[﹣1，1]上有解，…（7分）即m2=x2+1在[﹣1，1]上有解，…（8分）又∵x2+1∈[1，2]，…（10分）∴．解得：m∈（1，]，实数m的取值范围为（1，]．…（12分）点评：本题主要考查与函数奇偶性有关的新定义，根据条件建立方程关系是解决本题的关键，考查学生的计算能力．20．（2015春•福建期末）已知一元二次方程根与系数的关系如下：设x1，x2是关于x方程x2+bx+c=0的根，则x1+x2=﹣b，x1•x2=c．（Ⅰ）若x1，x2，x3是一元三次方程（x﹣1）（x2﹣3x﹣4）=0的根，求x1+x2+x3和x1•x2•x3的值；（Ⅱ）若x1，x2，x3是一元三次方程x3+bx2+cx+d=0的根，类比一元二次方程根与系数的关系，猜想x1+x2+x3和x1•x2•x3与系数的关系，并加以证明．考点：类比推理．专题：综合题；推理和证明．分析：（Ⅰ）求出方程（x﹣1）（x2﹣3x﹣4）=0的根分别为﹣1，1和4，即可求x1+x2+x3和x1•x2•x3的值；（Ⅱ）利用x3+bx2+cx+d=（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3），（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）展开式中二次项为﹣（x1+x2+x3）x2，常数项为﹣x1•x2•x3，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）∵方程x2﹣3x﹣4=0的两个根分别为﹣1和4，…（2分）∴方程（x﹣1）（x2﹣3x﹣4）=0的根分别为﹣1，1和4，…（3分）∴x1+x2+x3=4，x1•x2•x3=﹣4．…（5分）（Ⅱ）x1+x2+x3=﹣b，x1•x2•x3=﹣d．…（7分）证明：∵x1，x2，x3是一元三次方程x3+bx2+cx+d=0的根，∴x3+bx2+cx+d=（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3），…（9分）又∵（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）展开式中二次项为﹣（x1+x2+x3）x2，…（10分）常数项为﹣x1•x2•x3，…（11分）∴x1+x2+x3=﹣b，x1•x2•x3=﹣d．…（12分）点评：本题考查类比推理，考查学生分析解决问题的能力，确定x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）展开式中二次项为﹣（x1+x2+x3）x2，常数项为﹣x1•x2•x3，是关键．21．（2015春•福建期末）已知函数f（x）=（a∈R，其中e≈2.71828…），记f′（x）为函数f（x）的导函数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=0处的切线与直线x+y=0平行，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣2，+∞）上的最大值；（Ⅲ）若a=﹣1，令a n=f′（n），n∈N+，证明：﹣252＜a1+a2+a3+…+a2018＜．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由求导公式和法则求出f′（x），在点（1，f（1））处的切线与x+y=0平行得：f′（1）=﹣1，求出a的值；（Ⅱ）由f′（x）=0求出临界点是x=1﹣a，根据1﹣a与﹣2的大小关系进行分类讨论，分别判断出导数的符号，可求出函数的单调区间；（Ⅲ）把a=﹣1代入f′（x）化简，令g（x）=f′（x）并求出g′（x），求出g（x）的单调区间和最小值，利用单调性求出f′（n）的范围，再由放缩法证明结论成立．解答：解：（Ⅰ）解：由题意得，f′（x）==，…（2分）∵在x=0处的切线与直线x+y=0平行，∴f′（0）=1﹣a=﹣1，解得a=2；…（3分）（Ⅱ）令f′（x）==0，得x=1﹣a，…（4分）①当a≥3时，在x∈[﹣2，+∞）上，f′（x）≤0，∴f（x）在[﹣2，+∞）上单调递减，∴f（x）的最大值是f（﹣2）=e2（a﹣2）；…（5分）②当a＜3时，当x∈[﹣2，1﹣a）时，f′（x）＞0，f（x）在[﹣2，1﹣a）上单调递增；当x∈[1﹣a，+∞）时，f′（x）≤0，f（x）在[1﹣a，+∞）上单调递减，∴f（x）的最大值是f（1﹣a）=e a﹣1；…（7分）证明：（Ⅲ）当a=﹣1时，令g（x）=f′（x）=，则，当x＞3时，g′（x）＞0，∴g（x）在（3，+∞）上单调递增，当0＜x＜3时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，3）上单调递减，…（8分）∴f′（x）的最小值是f′（3）=，∵x＞3时，g（x）=f′（x）=，…（9分）当n＞3时，＜f′（n）＜0，∴＜a1+a2+a3+…+a2018＜0，…（10分）又a1=f′（1）=，a2=f′（2）=0，∴＜a1+a2+a3+…+a2018＜，又∵＞=，，∴﹣252＜a1+a2+a3+…+a2018＜，即成立．…（12分）点评：本题考查导数的几何意义，导数与函数的单调性、极值、最值的关系，利用数列的单调性和放缩法证明不等式，考查分类讨论思想，化简、变形能力，综合性大、难度大．22．（2015春•福建期末）在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标是（0，），直线l的参数方程是（t为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程ρ=2cosθ．（Ⅰ）求点M与圆C的位置关系；（Ⅱ）若直线l与圆C的交点为P，Q，求|MP|•|MQ|的值．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程可得圆心与半径，利用两点之间的距离公式可得圆心与点的距离，即可判断出位置关系．（Ⅱ）由直线l的参数方程代入圆C的普通方程可得=0，即可得出|MP|•|MQ|=|t1t2|．解答：解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ，∴圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1，又∵点M的坐标是（0，），∴|MC|==＞1，∴点M在圆C外．（Ⅱ）∵直线l的参数方程是（t为参数）．代入圆C的普通方程（x﹣1）2+y2=1，得=0，∴t1t2=，∴|MP|•|MQ|=|t1t2|=．点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、两点之间的距离公式、点与圆的位置关系、直线参数及其应用、直线与圆相交弦长问题，属于中档题．。