第1章导数(第2课时)导数的概念(2)

高中苏教选修（2-2）第1章导数及其应用复习导航江苏 林达一、知识串讲（一）导数的概念1．导数的定义：00()()()lim lim x x y f x x f x f x x x∆→∆→∆+∆-'==∆∆， ()f x '，y '是导函数———导数．0()f x '，0|x x y ='是导数值．2． 导数的意义（1）导数的几何意义是曲线()y f x =在点00(())x f x ，处的切线的斜率，即0()k f x '=切．（2）在物理中，位移对时间的导数是瞬时速度，速度对时间的导数是瞬时加速度等．（3）在经济问题中，导数是边际成本．总之，导数是函数的变化率．3．常用的导数公式与法则（1）()0C '=（C 为常数）．（2）1()n n x nx -'=（n 为常数）．（3）(sin )cos x x '=，(cos )sin x x '=-．（4）()ln (01)x x a a a a a '=>≠，且，()x x e e '=．（5）11(log )log (01)ln a a x e a a x x a '==>≠，且，1(ln )x x'=． （6）设()f x ，()g x 是可导的，则①[]()()()()f x g x f x g x '''±=±；②[]()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+ ，[]()()cf x c f x ''= （c 为常数）； ③2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x '''⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦． （7）复合函数()y f u =，()u x ϕ=，则[]()t f x ϕ=，则()()x u x y y u f u x ϕ'''''==．特殊地，若()y f u =，u ax b =+，则x u x y y u '''= ，即x u y y a ''=． （二）导数在研究函数中的应用1．求曲线()y f x =在一点处的切线方程．2．研究函数()y f x =的单调性．设()y f x =是定义在[]a b ，区间上的可导函数，()f x 在该区间上不为常数函数， 则0()y f x '⇔≥在()a b ，上为增函数，0()y f x '⇔≤在()a b ，上为减函数．3．求函数的极值设()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有0()()f x f x <（0()()f x f x >），则说0()f x 是()f x 的一个极大（小）值．记作00()(())y f x y f x ==极大值极小值（极值是一个局部的概念）． 若0()0f x '=（或0()f x '不存在），当x 由小变大经0x 时，若()f x '由正变负0()f x ⇒为极大值；若()f x '由负变正0()f x ⇒为极小值．4．求函数的最值及应用问题（最值是一个整体概念）．（三）定积分的概念１．定积分的定义()b a f x dx ⎰是12()()()()n i n S f x x f x x f x x f x x =∆+∆++∆++∆当x ∆无限趋近于０（亦即n 趋向于+∞）时的极限值．2．定积分的几何意义一般地，定积分的几何意义是，在区间[]a b ，上曲线与x 轴所围图形面积的代数和（即x 轴上方的面积减去x 轴下方的面积）．3．微积分基本定理对于被积函数()f x ，如果()()F x f x '=，则()()()b a f x dx F b F a =-⎰．4．求定积分的方法（1）根据定积分的定义求定积分，其步骤是：分割、以直代曲、作和、逼近．（2）利用微积分基本定理求定积分，其步骤是：①求出()f x 的一个原函数()F x ；②计算()()F b F a -，即得()ba f x dx ⎰的值．利用微积分基本定理求定积分()ba f x dx ⎰的关键是找出被积函数()f x 的一个原函数()F x ，通常我们运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出()F x ．（3）利用定积分的几何意义求定积分，其一般步骤为：①画出图形，将其适当分割成若干个曲边梯形；②对每一个曲边梯形确定被积函数与积分上下限，用定积分表示其面积；③计算各个定积分，求出所求的面积()b a S f x dx =⎰．计算的关键环节是：确定曲边梯形，选定积分变量，确定被积函数与积分上、下限．二、 思想方法回顾（一）数形结合思想在本章，无论是导数概念的建立、利用导数的几何意义求过曲线上的任意一点的切线方程，还是解决函数的单调性、极值、最值问题，利用定积分求平面图形的面积问题，都借助图形来帮助理解或解决．因此本章自始至终都贯穿了数形结合的思想．（二）分类讨论思想分类讨论思想也贯穿于本章的始终，在研究函数的平均变化率、瞬时变化率、在点x0的导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及优化问题中无不蕴含着分类讨论思想．如在解决由已知函数的单调性确定参数范围问题时，一般将问题转化为不等式的恒成立问题，再经过分类讨论求得参数的范围．（三）极限思想导数与定积分的引入源于“局部以直代曲”“由近似到精确”“由有限到无限”的极限思想．在研究导数概念时，先是“局部以直代曲”研究平均变化率，进而“由近似到精确”研究瞬时变化率，从而导出导数的概念；研究实际的物理问题、几何问题都可归结为一个连续函数在某区间的和式的极限，进而引出了定积分的概念．（四）化归与转化思想求函数的极值、最值、单调性、过点x0处的切线方程、求定积分等都是一种程序化的运算过程．在解决相关问题时只需将问题转化到上述问题，就可按程序进行解决．。

1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)[学习目标] 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.掌握求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.3.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导.知识点一 导数运算法则思考 (1)函数g (x )＝c ·f (x )(c 为常数)的导数是什么？(2)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的情况下分母不为0)可导吗？反之如何？(3)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导成立吗？答案 (1)g ′(x )＝cf ′(x ).(2)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的情况下分母不为0)必可导.若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如，设f (x )＝sin x ＋1x ，g (x )＝cos x －1x，则f (x )，g (x )在x ＝0处均不可导，但它们的和f (x)＋g (x )＝sin x ＋cos x 在x ＝0处可导.(3)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导仍然成立.两个函数和(差)的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况，即[f 1(x )±f 2(x )±f 3(x )±…±f n (x )]′＝f ′1(x )±f ′2(x )±f ′3(x )±…±f ′n (x ).知识点二 复合函数的导数思考 设函数y ＝f (u )，u ＝g (v )，v ＝φ(x )，如何求函数y ＝f (g (φ(x )))的导数？ 答案 y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x .题型一 导数运算法则的应用例1 求下列函数的导数：(1)y ＝15x 5＋23x 3；(2)y ＝lg x －e x ；(3)y ＝1x·cos x ；(4)y ＝x －sin x 2·cos x 2. 解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫15x 5＋23x 3′＝⎝⎛⎭⎫15x 5′＋⎝⎛⎭⎫23x 3′ ＝x 4＋2x 2.(2)y ′＝(lg x －e x )′＝(lg x )′－(e x )′＝1x ln 10－e x . (3)方法一 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ·cos x ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′cos x ＋1x (cos x )′ ＝12()x -'cos x －1x sin x ＝－1232x -cos x －1xsin x ＝－cos x 2x 3－1x sin x ＝－cos x 2x x －1xsin x ＝－cos x ＋2x sin x 2x x. 方法二 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ·cos x ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝(cos x )′x －cos x (x )′(x )2＝121sin cos 2x x x x--⋅＝－x sin x ＋cos x2x x ＝－cos x ＋2x sin x 2x x . (4)∵y ＝x －sin x 2·cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫x －12sin x ′＝1－12cos x . 反思与感悟 在对较复杂函数求导时，应利用代数或三角恒等变形对已知函数解析式进行化简变形，如：把乘积的形式展开，分式形式变为和或差的形式，根式化为分数指数幂等，化简后再求导，这样可以减少计算量.跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6；(2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(4)y ＝x －1x ＋1. 解 (1)y ′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－(3x 2)′－(5x )′＋6′＝4x 3－6x －5.(2)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin xcos x ′＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2 x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2 xcos 2 x＝sin x cos x ＋xcos 2 x .(3)方法一 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2＝3x 2＋12x ＋11.方法二 ∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11.(4)方法一 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′ ＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2＝x ＋1－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2. 方法二 ∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋1′ ＝－2′(x ＋1)－2(x ＋1)′(x ＋1)2＝2(x ＋1)2. 题型二 复合函数求导法则的应用例2 求下列函数的导数：(1)y ＝(1＋cos 2x )3；(2)y ＝sin 2 1x； (3)y ＝11－2x2；(4)y ＝(2x 2－3)1＋x 2. 解 (1)y ＝(1＋cos 2x )3＝(2cos 2x )3＝8cos 6xy ′＝48cos 5x ·(cos x )′＝48cos 5x ·(－sin x )，＝－48sin x cos 5x .(2)令y ＝u 2，u ＝sin 1x ，再令u ＝sin v ，v ＝1x， ∴y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝(u 2)′·(sin v )′·⎝⎛⎭⎫1x ′ ＝2u ·cos v ·0－1x 2＝2sin 1x ·cos 1x ·－1x 2＝－1x 2·sin 2x. (3)设y ＝12u -，u ＝1－2x 2，则y ′＝12()u -' (1－2x 2)′＝321()2u --·(－4x )＝3221(12)2x --- (－4x ) ＝3222(12)x x --.(4)令y ＝u v ，u ＝2x 2－3，v ＝1＋x 2， 令v ＝w ，w ＝1＋x 2.v ′x ＝v ′w ·w ′x ＝(w )′(1＋x 2)′＝12122x -⋅w＝2x21＋x 2＝x 1＋x 2，∴y ′＝(u v )′＝u ′v ＋u v ′＝(2x 2－3)′·1＋x 2＋(2x 2－3)·x 1＋x 2 ＝4x 1＋x 2＋2x 3－3x1＋x 2＝6x 3＋x 1＋x 2.反思与感悟 求复合函数的导数的步骤跟踪训练2 求下列函数的导数：(1)y ＝(2x ＋1)5；(2)y ＝1(1－3x )4； (3)y ＝31－3x ；(4)y ＝x ·2x －1；(5)y ＝lg(2x 2＋3x ＋1)；(6)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 解 (1)设u ＝2x ＋1，则y ＝u 5，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u 5)′·(2x ＋1)′＝5u 4·2＝10u 4＝10(2x ＋1)4.(2)设u ＝1－3x ，则y ＝u －4，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u －4)′·(1－3x )′＝－4u －5·(－3)＝12u －5＝12(1－3x )－5＝12(1－3x )5. (3)设u ＝1－3x ，则y ＝13u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝13·23u -·(1－3x )′＝13·13(1－3x )2·(－3)＝－13(1－3x )2. (4)y ′＝x ′·2x －1＋x ·(2x －1)′.设t ＝2x －1，u ＝2x －1，则t ＝12u ，t ′x ＝t ′u ·u ′x ＝12·12u -·(2x －1)′ ＝12×12x －1×2＝12x －1. ∴y ′＝2x －1＋x 2x －1＝3x －12x －1.(5)设u ＝2x 2＋3x ＋1，则y ＝lg u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ln 10×(2x 2＋3x ＋1)′ ＝4x ＋3(2x 2＋3x ＋1)ln 10. (6)设u ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，v ＝2x ＋π3， 则y ＝u 2，u ＝sin v ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·⎝⎛⎭⎫2x ＋π3′ ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·2 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3. 题型三 导数几何意义的应用例3 (1)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程是 .(2)已知函数f (x )＝k ＋ln x e x(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，则k 的值为 .答案 (1)4x －y －3＝0 (2)1解析 (1)利用求导法则与求导公式可得y ′＝(3ln x ＋1)＋x ×3x＝3ln x ＋4. ∴k 切＝y ′|x ＝1＝4，∴切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.(2)由f (x )＝ln x ＋k e x， 得f ′(x )＝1－kx －x ln x x e x，x ∈(0，＋∞). 由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.反思与感悟 涉及导数几何意义的问题，可根据导数公式和运算法则，快速求得函数的导数，代入曲线切点处横坐标即可求得曲线在该点处的切线斜率，这样比利用导数定义要快捷得多. 跟踪训练3 (1)若曲线y ＝x 3＋ax 在(0,0)处的切线方程为2x －y ＝0，则实数a 的值为 .(2)若函数f (x )＝e x x在x ＝a 处的导数值与函数值互为相反数，则a 的值为 . 答案 (1)2 (2)12解析 (1)曲线y ＝x 3＋ax 的切线斜率k ＝y ′＝3x 2＋a ，又曲线在坐标原点处的切线方程为2x －y ＝0，∴3×02＋a ＝2，故a ＝2.(2)∵f (x )＝e x x ，∴f (a )＝e a a. 又∵f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫e x x ′＝e x ·x －e x x 2，∴f ′(a )＝e a ·a －e a a 2.由题意知f (a )＋f ′(a )＝0，∴e a a ＋e a ·a －e a a 2＝0，∴2a －1＝0，∴a ＝12.因对复合函数的层次划分不清导致求导时出现错误例4 求函数y ＝sin n x cos nx 的导数.错解 y ′＝(sin n x )′cos nx ＋sin n x (cos nx )′＝n sin n －1x ·cos nx ＋sin n x ·(－sin nx )＝n sin n －1x ·cos nx －sin n x sin nx .错因分析 在第二步中，忽略了对中间变量sin x 和nx 进行求导.正解 y ′＝(sin n x )′cos nx ＋sin n x (cos nx )′＝n sin n －1x ·(sin x )′·cos nx ＋sin n x ·(－sin nx )·(nx )′＝n sin n －1x ·cos x ·cos nx －sin n x ·(sin nx )·n＝n sin n －1x (cos x cos nx －sin x sin nx )＝n sin n －1 x cos [(n ＋1)x ].防范措施 在求解复合函数的导数时，不能机械地套用公式，应理清层次，逐层正确使用求导法则求解.1.已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值为( )A.193B.103C.133D.163答案 B解析 因f ′(x )＝3ax 2＋6x ，且f ′(－1)＝3a －6＝4，解得a ＝103，故选B. 2.函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( ) A.12(e x －e －x ) B.12(e x ＋e －x ) C.e x －e －x D.e x ＋e －x 答案 A解析 y ′＝⎣⎡⎦⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x )，故选A. 3.f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1＋x ，则f ′(x )等于( )A.11＋xB.－11＋xC.1(1＋x )2D.－1(1＋x )2答案 D解析 由f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1＋x ＝11x＋1，得f (x )＝1x ＋1， 从而f ′(x )＝－1(1＋x )2，故选D. 4.已知函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋4(a ∈R ，b ∈R )，f ′(x )为f (x )的导函数，则f (2 014)＋f (－2 014)＋f ′(2 015)－f ′(－2 015)的值为 .答案 8解析 f ′(x )＝a cos x ＋3bx 2，∴f ′(－x )＝a cos (－x )＋3b (－x )2＝f ′(x ).∴f ′(x )为偶函数.∴f ′(2 015)－f ′(－2 015)＝0.f (2 014)＋f (－2 014)＝a sin 2 014＋b ·2 0143＋4＋a sin(－2 014)＋b ·(－2 014)3＋4＝8. ∴f (2 014)＋f (－2 014)＋f ′(2 015)－f ′(－2 015)＝8.5.已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝ . 答案 8解析 因y ＝x ＋ln x ，故y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2. ∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵直线y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时，曲线变为直线y ＝2x ＋1，与已知直线平行).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y 得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式，对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、选择题1.曲线y ＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于( ) A.2e B.eC.2D.1答案 C 解析 y ′＝e x －1＋x e x －1＝(x ＋1)e x －1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y ′|x ＝1＝2.2.当函数y ＝x 2＋a 2x(a >0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0等于( ) A.aB.±aC.－aD.a 2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2， 由x 20－a 2＝0得x 0＝±a . 3.设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A.2B.12C.－12D.－2 答案 D解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1， ∴y ′＝－2(x －1)2.∴y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2，即a ＝－2.4.已知函数f (x )的导函数f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A.2B.－2C.94D.－94答案 D解析 ∵f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，∴f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x. 令x ＝2，得f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12，即2f ′(2)＝－92，∴f ′(2)＝－94，故选D. 5.已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A.[0，π4) B.[π4，π2) C.(π2，3π4] D.[3π4，π) 答案 D解析 y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1，设t ＝e x ∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t＋2，∵t ＋1t ≥2，∴y ′∈[－1,0)，α∈[3π4，π). 6.设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R 且为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切，则a ＋b 的值为( )A.－1B.1C.0D.2答案 A解析 由y ＝f (x )过点(0,0)得b ＝－1，∴f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax －1， ∴f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ， 又∵曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切，即曲线y ＝f (x )在点(0,0)处切线的斜率为32， ∴f ′(0)＝32，即1＋12＋a ＝32， ∴a ＝0，故a ＋b ＝－1，选A.二、填空题7.下列各函数的导数：①(x )′＝12x －12；②(a x )′＝a x ln x ；③(sin 2x )′＝cos 2x ；④(x x ＋1)′＝1(x ＋1)2.其中正确的有 . 答案 ①④解析 (x )′＝12()x '＝1212x -，①正确；(a x )′＝a x ln a ，②错误；(sin 2x )′＝cos 2x ·(2x )′＝2cos 2x ，③错误；(xx ＋1)′＝x ′·(x ＋1)－x ·(x ＋1)′(x ＋1)2＝x ＋1－x (x ＋1)2＝1(x ＋1)2，④正确. 8.若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是 . 答案 (－ln 2,2)解析 设P (x 0，y 0)，∵y ＝e －x ，∴y ′＝－e －x ，∴点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2，∴－x 0＝ln 2，∴x 0＝－ln 2，∴y 0＝e ln 2＝2，∴点P 的坐标为(－ln 2,2).9.曲线y ＝e －5x ＋2在点(0,3)处的切线方程为 .答案 5x ＋y －3＝0解析 因为y ′＝e －5x (－5x )′＝－5e －5x ，所以y ′|x ＝0＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)，即5x ＋y －3＝0.10.已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝ . 答案 1解析 由于f ′(0)是一常数，所以f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)，令x ＝0，则f ′(0)＝0，∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1.三、解答题11.求下列函数的导数：(1)y ＝(2x －1)4；(2)y ＝11－2x； (3)y ＝sin(－2x ＋π3)；(4)y ＝102x ＋3. 解 (1)原函数可看作y ＝u 4，u ＝2x －1的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 4)′·(2x －1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3.(2)y ＝11－2x ＝12(12)x --可看作y ＝12u-，u ＝1－2x 的复合函数， 则y x ′＝y u ′·u x ′＝(－12)32u -·(－2)＝32(12)x --＝1(1－2x )1－2x. (3)原函数可看作y ＝sin u ，u ＝－2x ＋π3的复合函数， 则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·(－2)＝－2cos(－2x ＋π3) ＝－2cos(2x －π3). (4)原函数可看作y ＝10u ，u ＝2x ＋3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝102x ＋3·ln 10·2＝(ln 100)102x ＋3.12.已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程.解 设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3，∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16，又切点(x 0，y 0)在切线上，∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16，即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16，解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0.13.设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.(1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，① 又f ′(x )＝a ＋b x2，∴f ′(2)＝74，② 由①②得⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3. 故f (x )＝x －3x . (2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知 曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0). 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0).所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。

《导数的概念》教案本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时．教学内容分析1．导数的地位、作用导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后研究微积分的基础．同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具.2．本课内容剖析教材安排导数内容时，学生是没有研究极限概念的．教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上研究．所以，让学生通过研究导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后研究极限提供了认识基础．另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先研究导数方便学生研究和研究函数．基于学生曾经在高一年级的物理课程中研究了瞬时速率，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速率的极限去得出瞬时速率，再由此笼统出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率界说为导数，这是吻合学生认知规律的．进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率，我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想．教学目的1．使学生认识到：其工夫距离越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速率趋向于一个常数，而且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速率；2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念；3．掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤；4．通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来研究极限概念积累研究经验；5．通过导数概念的教学教程，使学生体会到从非凡到普通的过程是发现事物变化规律的重要过程．教学重点通过运动物体在某一时刻的瞬时速率的根究，笼统归纳综合出函数导数的概念．教学难点使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念．教学准备1．查找实际测速中测量瞬时速率的办法；2．为学生每人准备一台Ti－nspire CAS图形计算器，并对学生举行技术培训；3．制作《数学实验记录单》及上课课件．教学流程框图教学流程设计充分尊重学生认知事物的基本规律，使学生在操作感知的基础上形成导数概念的表象，再通过表象抽象出导数概念，并通过运用导数概念解决实际问题使学生进一步体会导数的本质．教学的主要过程设计如下：由物体运动的瞬时速度推理解平均速度与瞬时速度的区别与联系．复准备体会模型感受当△t→时，平均速度逼近于某个常数．提炼模型从形式上完成从平均速度向瞬时速度的过渡．形成概念广到函数瞬时变化率，并由此得出导数的定义．了解导数概念，熟悉求导应用概念的步骤，应用计算结果解释瞬时变化率的意义．通过师生共同小结，使学小结作业生进一步感受极限思想对人类思维的重大影响．教学过程设想预计时教学内容间（分）（1）提问：请说出函数从x1到回覆题目后了解：（1）复过程应教师活动学生活动教学评价x2的平均变化率公式．（2）提问：如果用x1与增量△x透露表现平均变化率的公式是怎样的？（3）高台跳水的例子中，在时间（1）f(x2)f(x1)．使学生明确函数x2x1的平均变化率表（2）f(x1x)f(x1)．x示．（3）学生在教师的讲述中思考用什么量来1．复准备反映运动员的运动状65段[,]里的平均速率是零，而实际49态．上运动员并不是静止的．这说明平均速度不能准确反映他在这段时间里运（2）应使学生明确平均速度与瞬时速率的干系，为下一阶段实验活动作铺垫．（4）让学生体会并明确瞬时速率的感化．（5）学生思考．（6）学生寓目视频并思考．（7）提问：这里所测得的真的是瞬时速度吗？（8）提问：怎样使平均速度更好（7）期望或引导答出设想意图：动状态.让学生理解（4）提问：用一个什么样的量来平均速率与反映物体在某一时刻的运动状态？瞬时速度的（5）提问：我们如何得到物体在5分钟区别与联某一时刻的瞬时速率？比方，要求物系，感受到体在2S的瞬时速度，应该怎么解决？平均速率在（6）我们一起来看物理中测即时工夫距离很速率（瞬时速率）的视频：小时可以近似地透露表现瞬时速度．的表示瞬时速度？“是平均速度”．（9）在学生回答的基础上讲述：（8）学生回答，得出真实的瞬时速率根本没法通过仪器测定，我们将平均速度作为瞬时速度的近似值；为了使平均速率更好的透露表现瞬时速率，应该让工夫距离尽可能小．“时间间隔越小越好！”（9）学生体会教师所讲结论．（1）向学生提出数学实验任务：已知跳水运动员在跳水过程中距离水面的高度与时间的函数h(t)=－4.9t+6.5t+10，请你用计算器完成以下表格中t=2秒附近的平均速率的计2．体会模型设计意图：让学生在0.1信息技0.01术平台0.001上，通0.000115分钟过定量分析感受平均速度在工夫间隔越来越小时向瞬时速度逼近的过程．（3）提问：观察你本人的尝试记录单，你能发现平均速度有什么变化趋势吗？先展示一个同学的实验结果，并让他说说他的发现，再将计算器的结果投影，引导同学们一起观察．（4）将学生分四个组，让他们划分完成0.0.－0.－0.－0.0001－0.001－0.01－0.1算并填充好表格，观察平均速度的变化趋势．数学实验记录单（1）2（1）学生在TI－nspireCAS上完成以下操作：（1）应使学生在技术x＞时，在[2，2+x]x＜时，在[2+x，2]内，vh(2x)h(2)x内，vh(2)h(2x)xXvxv平台上（2）学生操作得出如下通过多成效，完成数学尝试记次实验录单（1）的填写：感受到平均速度在t→时趋近于一个常数，并理解这个常数的意你认为运动员在t=2秒处的瞬时速度为（3）让学生讲他所发现m/s．的规律．（2）提问：x、g(x)的含义各是什么？（4）学生分4个组再次实验，分别完成本组的数学实验记录单（2）的填写，并观察平均速率的变化趋势，回答教师的提问．义．（2）应使学生从感性上获得求瞬时速度的方法．t=1.6、1.7、1.8、1.9时的尝试记录单（2）的填写，说出他们观察的结果，并将4个结果写列在黑板上．t=1.6v→－9.18t=1.7v→－10.16t=1.8v→－11.14t=1.9v→－12.12t=2v→－13.1在学生实验与观察的基础上指出：当t趋近于时，平均速度都趋近于一个确定的常数，这个常数就是瞬时速度．3．提炼模型设想意图：使学生认识到平均速度其工夫10间隔趋向于零时的极限就是瞬时速度，为给出导数概念提炼出一个具（1）提问：你认为通过尝试所得成效（常数）（1）学生思考，也能够就是瞬时速率吗？这个数据到底是精确值还是近似值？（2）让学活泼笔化简t=2对应的平均速度的表达式．（化简结果为 4.9t13.1）（3）引导学生从化简的表达式中发现当△t时， 4.9t13.1－13.1．（4）让学活泼手化简t=1.6对应的平均速率的表达式．（化简结果为 4.9t9.18）开导学生归纳出结论：△t时，平均速率所趋近的这个常数是可以得到的，它不是近似值，是讨论．（2）学生化简t=2处对应的平均速率的表达式，观察当△t时平均速率表达式的变化趋势．（3）学生化简t=1.6处对应的平均速度的表达式，观察当△t时平均速率表达式的变化趋势．（3）学生化简任意时刻应使学生通过动手计算，得到平均速率在t→时趋近于一个常数，而且这个常数就是瞬速t处对应的平均速度的时一个精确值，它与变量△t无关，只与时刻t有关．表达式，观察当△t（5）提问：我们得到了t=1.6、1.7、1.8、1.9时的瞬时速度，但这还不足以代表所有时刻的时平均速率表达式的变化趋向．度．使学生理解极限符号表瞬时速度，能不能用同样的办法，得到t时的瞬时（4）学生根据教师的讲体的极限模速度？解理解平均速度的极限示的意义．启发学生化简平均速度的表达式，并与学生一的意义．起总结出：型．fh(t t)h(t)t t9.8t 4.9t 6.59.8t 6.5(t0)．（6）教师讲解：用limth t t h t透露表现vXXX数，即所趋近的常h t t h t今后把这个常9.8t 6.5．limXXXt数叫做在t t处，当t趋近于时，平均速度v 的极限．比如，－13.1是在t2处，当△t趋近于时h2tXXX2的极限．XXX（1）给出以下图示：（1）在教师的开导下思考函数的平均变化率与瞬时变化率之间应使学生从“平均速度的极限是瞬时速率”这个具体的模型中笼统（2）针对上述图示，教师在启发后提问：4．形成概念设计意图：完成从运动物体的瞬时速率到5函数瞬时变化率的过渡，形成导数（4）教师给出导数的界说：的概念并给出定义．函数f(x)在x x处的瞬时变化率通过前面的研究，我们知道平均速度就是函数h(t)的平均变化率．瞬时速度就是函数h(t)的瞬时变化率．同时，我们已经知道：平均速度在△t→时的极限就是瞬时速度．那么，你能否说说，普通情形下，函数的平均变化率与瞬时变化率是一个什么关系？（3）在学生了解了函数的平均变化率与瞬时变化率的干系后提问：函数f(x)在x=x处的瞬时变化率怎样表示？教师介绍如下的的表示方法：函数f(x)在x=x处的瞬时变化率可表示为f(x x)f(x) f．limx x x xlim的关系．出导数（2）回的概念，并能理解导数f(x x)f(x) flim limx x x x称为y f(x)在x x处的导数，记作f(x)或y limf(x x)f(x)，即x x x x答教师的提问．是一个（3）理解函数导数的概念与导数的极限，明确导数的表示．f(x)limxf(x x)f(x)．XXX透露表现方法．（1）提问：你能说说求函数y=f(x)在x=x处的导数的步骤吗？教师在学生说的基础上要总结出步骤．5．应用概念设想意图：让学生进一步了解导数概5念，体会导数≤x≤8).计算第2（h)和第6（h）时，原油温的应用价值，度的瞬时变化率，并说明它们的意义．熟悉求导数的步骤．夸大：第2小时的瞬时变化率为－3，说明在第2小时附近，原油大约以3C/h的速率降落．．．．．（3）提出操演：计算3h时原油温度的瞬时变化率，表述你所得成效的意义．（1）让学生小结并交流．（2）教师总结：6．小结作业本节课研究了导数的概念，在这个过程中我们看设计意图：让学生通过总结，进一步体会导数的意5义及极限的思想，训练学生的归纳综合能力．通过布置作业，巩固所学内容．到：数学使不可能的事情变成现实；思考本节课所学内容，能够彼此之间交流自己的小结，（1）使学生不但能从知识的角度看所学过的内容，还能体会到寓于常识中的数学思想与办法．（2）分层次提供作业，是为了满足不同层次学生的需求．（1）学生思考并交流求函数在x处的导数的步骤．（1）检查学生是否分明求导数的步骤．（2）检查学生能否准确地求出函数在某点的导。