第二章第十一节导数的概念及其运算

导数的概念、几何意义及其运算常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式 ：+-∈==N n nx x C C n n ,)(;)(01''为常数；;sin )(cos ;cos )(sin ''x x x x -== a a a e e xx x x ln )(;)(''==；e x x x x a a log 1)(log ;1)(ln ''==法则1： )()()]()(['''x v x u x v x u ±=± 法则2： )()()()()]()(['''x v x u x v x u x v x u +=法则3： )0)(()()()()()(])()([2'''≠-=x v x v x v x u x v x u x v x u （一）基础知识回顾：1.导数的定义：函数)(x f y =在0x 处的瞬时变化率xx f x x f x y o x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim 000称为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0/x f 或0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/ 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f 。

称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即)(/x f ＝/y ＝xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim0 导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数)(x f y =在0x 处的导数0/x x y =，就是导函数)(/x f 在0x 处的函数值，即0/x x y =＝)(0/x f 。

导数的概念及其运算一、课程标准1.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵．2.通过函数图象直观地理解导数的几何意义．3.能根据导数定义，求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x的导数．4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 二、基础知识回顾 1. 导数的概念设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，且x 0∈(a ，b)，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f(x)在x ＝x 0处的导数，记作f′(x 0)． 若函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着x 的变化而变化，因而是自变量x 的函数，该函数称作f(x)的导函数，记作f′(x)． 2. 导数的几何意义函数y ＝f(x)在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f′(x 0)(x －x 0)． 3. 基本初等函数的导数公式续表4. 导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）＝f′（x ）g （x ）－f （x ）g′（x ）g 2（x ）(g(x)≠0)．5. 复合函数的求导法则(1)一般地，对于两个函数y ＝f(u)和u ＝g(x)，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f(u)和u ＝g(x)的复合函数，记作y ＝f(g(x))．(2)复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为y′x ＝y′u ·u′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 三、自主热身、归纳总结1、知函数f (x )＝xx ＋2，则函数在x ＝－1处的切线方程是( )A.2x －y ＋1＝0B.x －2y ＋2＝0C.2x －y －1＝0D.x ＋2y －2＝02、 函数f(x)＝2x ＋cos x 在点(π2，f(π2))处的切线方程为( )A . 3x －y －π2＝0B . x －y ＋π2＝0C . 3x －y －3π2＝0D . x －y －π2＝03、 设M 为曲线C ：y ＝2x 2＋3x ＋3上的点，且曲线C 在点M 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎭⎫3π4，π，则点M 横坐标的取值范围为(D )A . [)－1，＋∞B . ⎝⎛⎭⎫－∞，－34C . ⎝⎛⎦⎤－1，－34D . ⎣⎡⎭⎫－1，－34 4、.设f(x)＝x ln x ，若f′(x 0)＝0，则x 0等于(A ) A . 1e B . e C . e 2 D . 1 5、(多选)下列求导数运算正确的有( ) A ．(sin x )′＝cos x B.⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x 2 C ．(log 3x )′＝13ln xD ．(ln x )′＝1x6．(多选)已知函数f (x )及其导函数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( ) A ．f (x )＝x 2 B ．f (x )＝e －x C ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝tan x7、已知曲线f(x)＝x sin x ＋1在点(π2，f(π2))处的切线与直线ax －y ＋1＝0互相垂直，那么实数a 的值为____．8、在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v ＝________ m/s ，加速度a ＝________ m/s 2.9、(2019南通、泰州一调） 若曲线y ＝x ln x 在x ＝1与x ＝t 处的切线互相垂直，则正数t 的值为________． 10、(2019常州期末） 已知函数f(x)＝bx ＋ln x ，其中b ∈R .若过原点且斜率为k 的直线与曲线y ＝f (x )相切，则k －b 的值为________．11、(2019苏州期末） 曲线y ＝x ＋2e x 在x ＝0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为________．四、例题选讲考点一、基本函数的导数 例1、求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos x e x .变式、求下列函数的导数： (1)f (x )＝x 2＋xex ；(2)f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2；(3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2.变式2、已知f(x)＝ln 2x－12x＋1，则f′(x)＝________.方法总结：求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元考点二求导数的切线方程例2、(1)已知曲线S：y＝－23x3＋x2＋4x及点P(0，0)，那么过点P的曲线S的切线方程为____．(2)已知函数f(x)＝x ln x，过点A(－1e2，0)作函数y＝f(x)图像的切线，那么切线的方程为____．变式1、已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)若直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－14x＋3垂直，求切点坐标与切线方程．方法总结：利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：(1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标． (2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．(3)曲线y ＝f(x)“在”点P(x 0，y 0)处的切线与“过”点P(x 0，y 0)的切线的区别：曲线y ＝f(x)在点P(x 0，y 0)处的切线是指点P 为切点，若切线斜率存在，切线斜率为k ＝f′(x 0)，是唯一的一条切线；曲线y ＝f(x)过点P(x 0，y 0)的切线，是指切线经过点P ，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．考点三、与切线有关的参数问题例3、(2019常州期末） 若直线kx －y －k ＝0与曲线y ＝e x (e 是自然对数的底数)相切，则实数k ＝________．变式1、（2017苏州一调）若直线2y x b =+为曲线e x y x =+的一条切线，则实数b 的值是 ．变式2、(2016苏州暑假测试） 已知函数f (x )＝x －1＋1e x ，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )相切，则实数k＝________.变式3、(2018常州期末） 已知函数f(x)＝bx ＋ln x ，其中b ∈R.若过原点且斜率为k 的直线与曲线y ＝f (x )相切，则k －b 的值为________．变式4、若函数32()f x x ax bx =++为奇函数，其图象的一条切线方程为3y x =-b 的值为 ．方法总结：1．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点(1)注意曲线上横坐标的取值范围； (2)谨记切点既在切线上又在曲线上．五、优化提升与真题演练1、（2019·全国Ⅱ高考(文)）曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为(C ) A . x －y －π－1＝0 B . 2x －y －2π－1＝0 C . 2x ＋y －2π＋1＝0 D . x ＋y －π＋1＝02、(2019·全国卷Ⅱ)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( ) A ．a ＝e ，b ＝－1 B ．a ＝e ，b ＝1 C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－13、(2019·全国Ⅱ卷)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0，0)处的切线方程为________.4、(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________.5、(2019苏锡常镇调研（二））已知点P 在曲线C ：212y x =上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为 ．6、(2019年江苏卷).在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.7、(2018南京、盐城、连云港二模） 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线y ＝mx ＋1(m ＞0)在x ＝1处的切线为l ，则点(2，－1) 到直线l 的距离的最大值为________． 参考答案1、知函数f (x )＝xx ＋2，则函数在x ＝－1处的切线方程是( )A.2x －y ＋1＝0B.x －2y ＋2＝0C.2x －y －1＝0D.x ＋2y －2＝0【答案】A【解析】、 由f (x )＝x x ＋2，得f ′(x )＝2（x ＋2）2，又f (－1)＝－1，f ′(－1)＝2.因此函数在x ＝－1处的切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即2x －y ＋1＝0. 2、 函数f(x)＝2x ＋cos x 在点(π2，f(π2))处的切线方程为( )A . 3x －y －π2＝0B . x －y ＋π2＝0C . 3x －y －3π2＝0D . x －y －π2＝0【答案】B .【解析】 f(x)＝2x ＋cos x ，f(π2)＝π，f′(x)＝2－sin x ，f′(π2)＝1，在点(π2，f(π2))处的切线方程为y －π＝x －π2，即为x －y ＋π2＝0.故选B .3、 设M 为曲线C ：y ＝2x 2＋3x ＋3上的点，且曲线C 在点M 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎭⎫3π4，π，则点M 横坐标的取值范围为(D ) A . [)－1，＋∞ B . ⎝⎛⎭⎫－∞，－34 C . ⎝⎛⎦⎤－1，－34 D . ⎣⎡⎭⎫－1，－34 【答案】D【解析】、 由题意y′＝4x ＋3，切线倾斜角的范围是⎣⎡⎭⎫34π，π，则切线的斜率k 的范围是[)－1，0，∴－1≤4x ＋3<0，解得－1≤x<－34. 故选D .4、.设f(x)＝x ln x ，若f′(x 0)＝0，则x 0等于(A ) A . 1e B . e C . e 2 D . 1 【答案】A .【解析】 f′(x)＝ln x ＋1，由f′(x 0)＝0，得ln x 0＋1＝0，∴ln x 0＝－1，即x 0＝1e . 故选A .5、(多选)下列求导数运算正确的有( ) A ．(sin x )′＝cos x B.⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x 2 C ．(log 3x )′＝13ln xD ．(ln x )′＝1x【答案】AD【解析】 因为(sin x )′＝cos x ，⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2，(log 3x )′＝1x ln 3，(ln x )′＝1x，所以A 、D 正确． 6．(多选)已知函数f (x )及其导函数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( ) A ．f (x )＝x 2 B ．f (x )＝e －x C ．f (x )＝ln x D ．f (x )＝tan x【答案】AC【解析】选 若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，令x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，方程显然有解，故A 符合要求；若f (x )＝e －x ；则f ′(x )＝－e －x ，令e －x ＝－e －x ，此方程无解，故B 不符合要求；若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x ，令ln x ＝1x ，在同一直角坐标系内作出函数y ＝ln x 与y ＝1x 的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f (x )＝f ′(x )存在实数解，故C 符合要求；若f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝1cos 2x ，令tan x ＝1cos 2x ，化简得sin x cos x ＝1，变形可得sin 2x ＝2，无解，故D 不符合要求．故选A 、C.7、已知曲线f(x)＝x sin x ＋1在点(π2，f(π2))处的切线与直线ax －y ＋1＝0互相垂直，那么实数a 的值为____．【答案】－1【解析】 f′(x)＝sin x ＋x cos x ，当x ＝π2时， f′(x)＝1，∴a ＝－1.8、在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v ＝________ m/s ，加速度a ＝________ m/s 2. 【答案】－9.8t ＋6.5 －9.8【解析】、v ＝h ′(t )＝－9.8t ＋6.5，a ＝v ′(t )＝－9.8.9、(2019南通、泰州一调） 若曲线y ＝x ln x 在x ＝1与x ＝t 处的切线互相垂直，则正数t 的值为________． 【答案】 e －2【解析】、y′＝ln x ＋1，由题意得(ln 1＋1)·(ln t ＋1)＝－1，所以t ＝e －2.10、(2019常州期末） 已知函数f(x)＝bx ＋ln x ，其中b ∈R .若过原点且斜率为k 的直线与曲线y ＝f (x )相切，则k －b 的值为________． 【答案】 1e【解析】、设直线方程为y ＝kx ，切点为A(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧f （x 0）＝bx 0＋ln x 0＝y 0＝kx 0，f′（x 0）＝b ＋1x 0＝k ，从而有bx 0＋ln x 0＝kx 0＝bx 0＋1，解得x 0＝e ，所以k －b ＝1x 0＝1e.11、(2019苏州期末） 曲线y ＝x ＋2e x 在x ＝0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为________． 【答案】 23【解析】、由y ＝x ＋2e x ，得y′＝1＋2e x ，切点为(0，2)，切线斜率为3，切线方程为y ＝3x ＋2.切线与坐标轴的交点为A ⎝⎛⎭⎫23，0，B(0，2)，所以S △AOB ＝12·23·2＝23.五、例题选讲考点一、基本函数的导数 例1、求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos x ex .【解析】、(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos xe x . 变式、求下列函数的导数： (1)f (x )＝x 2＋x ex ；(2)f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2；(3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2. 【解析】、(1)f ′(x )＝（2x ＋1）e x －（x 2＋x ）e x （e x ）2＝1＋x －x 2e x .(2)由已知f (x )＝x －ln x ＋2x －1x 2.∴f ′(x )＝1－1x －2x 2＋2x 3＝x 3－x 2－2x ＋2x 3.(3)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin 4x ， ∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x ＝－12sin 4x －2x cos 4x .变式2、已知f (x )＝ln 2x －12x ＋1，则f ′(x )＝________.【答案】44x 2－1. 【解析】、f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫ln2x －12x ＋1′＝12x －12x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x ＋1′ ＝2x ＋12x －1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2x －1）′（2x ＋1）－（2x －1）（2x ＋1）′（2x ＋1）2＝44x 2－1.方法总结：求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元 考点二 求导数的切线方程例2、(1)已知曲线S ：y ＝－23x 3＋x 2＋4x 及点P(0，0)，那么过点P 的曲线S 的切线方程为____．(2)已知函数f(x)＝x ln x ，过点A(－1e 2，0)作函数y ＝f(x)图像的切线，那么切线的方程为____．【答案】（1）y ＝4x 或y ＝358x （2）x ＋y ＋1e2＝0【解析】 (1)设过点P 的切线与曲线S 切于点Q(x 0，y 0)，则过点Q 的曲线S 的切线斜率为k ＝ y′|x ＝x 0＝－2x 20＋2x 0＋4，又当x 0≠0时，k PQ ＝y 0x 0， ∴－2x 20＋2x 0＋4＝y 0x 0. ①∵点Q 在曲线S 上，∴y 0＝－23x 30＋x 20＋4x 0.② 将②代入①得－2x 20＋2x 0＋4＝－23x 30＋x 20＋4x 0x 0，化简，得43x 30－x 20＝0，∴x 0＝34或x 0＝0，当x 0＝34时，则k ＝358，过点P 的切线方程为y ＝358x.当x 0＝0时，则k ＝4，过点P 的切线方程为y ＝4x ，故过点P 的曲线S 的切线方程为y ＝4x 或y ＝358x.(2)设切点为T(x 0，y 0)，则k AT ＝f′(x 0)， ∴x 0ln x 0x 0＋1e2＝ln x 0＋1，即e 2x 0＋ln x 0＋1＝0. 设h(x)＝e 2x ＋ln x ＋1，则h′(x)＝e 2＋1x，当x>0时，h′(x)>0，∴h(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，∴h(x)＝0最多只有一个根. 又h ⎝⎛⎭⎫1e 2＝e 2×1e 2＋ln 1e 2＋1＝0， ∴x 0＝1e2.由f′(x 0)＝－1得切线方程是x ＋y ＋1e 2＝0.变式1、已知函数f(x)＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)若直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f(x)的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线方程．【解】 (1)由函数f(x)的解析式可知点(2，－6)在曲线y ＝f(x)上，∴f′(x)＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1， ∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f′(2)＝13， ∴切线的方程为y －(－6)＝13(x －2)， 即y ＝13x －32.(2)(方法1)设切点为(x 0，y 0)， 则直线l 的斜率为f′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16. 又∵直线l 过点(0，0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得x 30＝－8，∴x 0＝－2， ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， f′(－2)＝3×(－2)2＋1＝13，故直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．(方法2)设直线l 的方程为y ＝kx ，切点坐标为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0.又∵k ＝f′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1，解得x 0＝－2， ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13，∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵曲线f(x)的某一切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴该切线的斜率k ＝4.设切点的坐标为(x 0，y 0)， 则f′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18.故切线方程为y －(－14)＝4(x －1)或y －(－18)＝4(x ＋1)，即y ＝4x －18或y ＝4x －14.方法总结：利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：(1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标． (2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．(3)曲线y ＝f(x)“在”点P(x 0，y 0)处的切线与“过”点P(x 0，y 0)的切线的区别：曲线y ＝f(x)在点P(x 0，y 0)处的切线是指点P 为切点，若切线斜率存在，切线斜率为k ＝f′(x 0)，是唯一的一条切线；曲线y ＝f(x)过点P(x 0，y 0)的切线，是指切线经过点P ，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 考点三、与切线有关的参数问题例3、(2019常州期末） 若直线kx －y －k ＝0与曲线y ＝e x (e 是自然对数的底数)相切，则实数k ＝________． 【答案】、 e 2【解析】、设切点A(x 0，e x 0)，由(e x )′＝e x ，得切线方程为y －e x 0＝e x 0(x －x 0)，即y ＝e x 0x ＋(1－x 0)e x 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝e x 0，－k ＝（1－x 0）e x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，k ＝e 2.变式1、（2017苏州一调）若直线2y x b =+为曲线e x y x =+的一条切线，则实数b 的值是 ． 【答案】、1【解析】、 设切点的横坐标为0x ，由曲线x y e x =+，得1x y e '=+，所以依题意切线的斜率为012xk e =+=，得00x =，所以切点为(0,1)，又因为切线2y x b =+过切点(0,1)，故有120b =⨯+，解得1b =.变式2、(2016苏州暑假测试） 已知函数f (x )＝x －1＋1e x ，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )相切，则实数k＝________. 【答案】、 1－e【解析】、：设切点为(x 0，y 0)．因为f ′(x )＝1－1e x ，则f ′(x 0)＝k ，即1－1e x 0＝k 且kx 0－1＝x 0－1＋1e x 0，所以x 0＝－1，所以k ＝1－1e－1＝1－e.变式3、(2018常州期末） 已知函数f(x)＝bx ＋ln x ，其中b ∈R.若过原点且斜率为k 的直线与曲线y ＝f (x )相切，则k －b 的值为________． 【答案】、 1e【解析】、设直线方程为y ＝kx ，切点为A(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧f （x 0）＝bx 0＋ln x 0＝y 0＝kx 0，f′（x 0）＝b ＋1x 0＝k ，从而有bx 0＋ln x 0＝kx 0＝bx 0＋1，解得x 0＝e ，所以k －b ＝1x 0＝1e.解后反思 因为曲线y ＝ln x 与直线y ＝1e x 相切，所以曲线y ＝bx ＋ln x 与直线y ＝⎝⎛⎭⎫b ＋1e x 相切．所以k ＝b ＋1e ，得k －b ＝1e.作为填空题可这样“秒杀”！ 命题背景 一般地，若曲线y ＝f(x)与直线y ＝kx ＋b 相切，则曲线y ＝f(x)＋k 1x ＋b 1与直线y ＝kx ＋b ＋k 1x ＋b 1也相切．变式4、若函数32()f x x ax bx =++为奇函数，其图象的一条切线方程为3y x =-b 的值为 ． 【答案】3-．【解析】因为f (x )是奇函数，所以a =0，f (x )＝x 3+bx ．设f (x )在点(x 0，y 0)处的切线为：3y x =-30002000333y x bx x by x ⎧=+⎪=+⎨⎪=-⎩，解得b ＝－3 方法总结：1．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 (1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．五、优化提升与真题演练1、（2019·全国Ⅱ高考(文)）曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为(C ) A . x －y －π－1＝0 B . 2x －y －2π－1＝0 C . 2x ＋y －2π＋1＝0 D . x ＋y －π＋1＝0 【答案】C【解析】∵y′＝2cos x －sin x ， ∴y′|x ＝π＝2cosπ－sinπ＝－2，则y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为y －(－1)＝－2(x －π)， 即2x ＋y －2π＋1＝0. 故选C .2、(2019·全国卷Ⅱ)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( ) A ．a ＝e ，b ＝－1 B ．a ＝e ，b ＝1 C ．a ＝e －1，b ＝1 D ．a ＝e －1，b ＝－1【答案】D【解析】 (1)y ′＝a e x ＋ln x ＋1，k ＝y ′|x ＝1＝a e ＋1， ∴ 切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)， 即y ＝(a e ＋1)x －1.又∵ 切线方程为y ＝2x ＋b ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，即a ＝e －1，b ＝－1.故选D. 3、(2019·全国Ⅱ卷)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0，0)处的切线方程为________. 【答案】 y ＝3x【解析】 y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝3e x (x 2＋3x ＋1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k ＝e 0×3＝3，所以所求切线方程为y ＝3x .4、(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________. 【答案】(e ，1).【解析】 (1)设A (m ，n )，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为y －n ＝1m(x －m ).又切线过点(－e ，－1)，所以有n ＋1＝1m (m ＋e).再由n ＝ln m ，解得m ＝e ，n ＝1. 故点A 的坐标为(e ，1).5、(2019苏锡常镇调研（二））已知点P 在曲线C ：212y x =上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为 ．【答案】..1设)21,(2t t P【解析】因为x y ='，所以切线l 的斜率t k =，且0≠t ，则直线)(121:2t x tt y PQ --=-，即12112++-=t x t y令⎪⎩⎪⎨⎧=++-=22211211x y t x t y ，消y 得：02232=--+t t x tx ，设),(11y x Q ，则t t x 21-=+，即t t x 21--=，又因为点Q 在曲线C 上，所以2222112221)2(2121t t t t x y ++=--==，故)2221,2(22tt t t Q ++--因为OQ OP ⊥，所以0=⋅，即0)2221(21)2(222=++⨯+--⨯tt t t t t ，化简得44=t ，则22=t ，所以点P 的纵坐标为.16、(2019年江苏卷).在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____. 【答案】4.【解析】当直线0x y +=平移到与曲线4y x x=+相切位置时，切点Q 即为点P 到直线0x y +=的距离最小. 由2411y x'=-=-，得)x =，y =即切点Q ，则切点Q 到直线0x y +=4=，故答案为：4．7、(2018南京、盐城、连云港二模） 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线y ＝mx ＋1(m ＞0)在x ＝1处的切线为l ，则点(2，－1) 到直线l 的距离的最大值为________． 【答案】 2解法1 由题意，切点坐标为⎝⎛⎭⎫1，m2，因为y′＝－m （x ＋1）2，所以切线l 的斜率k ＝－m4，故切线l 的方程为y －m 2＝－m4(x －1)，即l ：mx ＋4y －3m ＝0，则点(2，－1)到直线l 的距离d ＝|2m －3m －4|m 2＋42＝（m ＋4）2m 2＋16＝1＋8m m 2＋16＝1＋8m ＋16m，又因为m>0，所以m ＋16m ≥2m·16m＝8(当且仅当m ＝4时取等号)，则d≤2，故点(2，－1)到直线l 的距离的最大值为 2. 解法2 由题意，切点坐标为⎝⎛⎭⎫1，m2，因为y′＝－m （x ＋1）2，所以切线l 的斜率k ＝－m4，故切线l 的方程为y －m 2＝－m4(x －1)，则直线l ：m(x －3)＋4y ＝0恒过定点(3，0)，故当直线l 与两点(3，0)，(2，－1)的连线垂直时，点(2，－1)到直线l 的距离的最大，且为 2.。

导数的定义和求导规则一、导数的定义1.1 极限的概念：当自变量x趋近于某一数值a时，函数f(x)趋近于某一数值L，即称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作：lim (x→a) f(x) = L1.2 导数的定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记作f’(a)或df/dx|_{x=a}，表示函数在某一点的瞬时变化率。

定义如下：二、求导规则2.1 常数倍法则：如果u(x)是可导函数，c是一个常数，则cu(x)也是可导函数，且(cu(x))’ = c*u’(x)。

2.2 幂函数求导法则：如果u(x) = x^n，其中n为常数，则u’(x) = n*x^(n-1)。

2.3 乘积法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x)v(x))’ = u’(x)v(x) +u(x)v’(x)。

2.4 商法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，且v(x)≠0，则(u(x)/v(x))’ =(u’(x)v(x) - u(x)v’(x))/(v(x))^2。

2.5 和差法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x) + v(x))’ = u’(x) + v’(x)，(u(x) - v(x))’ = u’(x) - v’(x)。

2.6 链式法则：如果y = f(u)，u = g(x)，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (dy/du) * (du/dx)。

2.7 复合函数求导法则：如果y = f(g(x))，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (df/dg) * (dg/dx)。

2.8 高阶导数：如果f’(x)是f(x)的一阶导数，则f’‘(x)是f’(x)的一阶导数，以此类推。

2.9 隐函数求导法则：如果方程F(x,y) = 0表示隐函数，则y关于x的导数可以表示为(dy/dx) = -F_x / F_y，其中F_x和F_y分别是F(x,y)对x和y的偏导数。

三、导数的应用3.1 函数的单调性：如果f’(x) > 0，则f(x)在区间内单调递增；如果f’(x) < 0，则f(x)在区间内单调递减。

导数定义运算知识点总结一、导数的定义在微积分中，导数是描述函数变化率的一个重要概念。

具体来说，如果一个函数在某一点处的导数存在，那么这个导数就描述了函数在该点处的变化速率。

导数的定义可以通过极限的概念来给出，具体来说，对于函数y=f(x)，如果在某一点x处函数f(x)的变化率为：f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x)) / h其中f'(x)表示函数f(x)在x处的导数，lim表示极限运算，h表示自变量x的增加量。

上面的定义是导数的一般形式，通过这个定义可以得到一些常用的导数计算方法。

比如对于幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等一些基本函数，我们可以通过导数的定义来计算它们在某一点处的导数。

另外，还可以通过导数的定义来证明某一函数在某一点处的导数的存在性和计算导数的值。

二、导数的基本运算法则导数的基本运算法则是微积分中的一个重要内容，它包括导数的四则运算法则、复合函数的导数、反函数的导数、隐函数的导数等方面的内容。

1. 导数的四则运算法则对于两个函数y=f(x)和y=g(x)，它们的导数满足一些基本运算法则。

具体来说，如果函数f(x)和函数g(x)分别在某一点x处的导数存在，那么它们的和、差、积、商的导数可以通过以下公式求得：- (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)- (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)- (f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / [g(x)]^2这些公式可以帮助我们在实际计算中求解复合函数的导数、隐函数的导数等问题。

2. 复合函数的导数复合函数是指一个函数中包含了另一个函数。

如果函数y=f(g(x))是一个复合函数，那么它的导数可以通过链式法则来求解。

一、导数的概念1、定义如果函数y ＝f (x )的自变量x 在x 0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，比值Δy Δx 就叫函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，即Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .如果当Δx →0时，Δy Δx有极限，我们就说函数y ＝f (x )在点x 0处可导，并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx. 2、导函数当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)．y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx . 3、用定义求函数y ＝f (x )在点x 0处导数的方法（1）求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；（2）求平均变化率Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx； （3）取极限，得导数f ′(x 0)＝Δy Δx . 二、导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0)．相应的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．三、基本初等函数的导数公式1、c ′＝0 (c 为常数)， (x α)′＝αx α－1 (α∈Q *)．2、(sin x )′＝cos x ， (cos x )′＝－sin x.3、(ln x )′＝1x ， (log a x )′＝1x ln a． 4、(e x )′＝e x ， (a x )′＝a x ln a.四、导数运算法则1、[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x ).2、f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；当g (x )＝c (c 为常数)时，即[cf (x )]′＝cf ′(x ).3、⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2 (g (x )≠0)． 五、复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y ′u ·u ′x ．即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．。

导数的概念、导数公式与应用在我们学习数学的过程中，导数是一个极其重要的概念，它不仅在数学领域有着广泛的应用，还在物理学、工程学、经济学等众多学科中发挥着关键作用。

让我们一起来深入了解一下导数的概念、导数公式以及它的各种应用。

首先，我们来谈谈导数的概念。

导数可以简单地理解为函数在某一点的变化率。

想象一下，你正在开车，车速表显示的就是汽车行驶速度的瞬时变化率，而这个变化率在数学中就可以用导数来表示。

假设我们有一个函数 f(x) ，那么函数在点 x₀处的导数记作 f'（x₀) 。

从几何角度来看，导数就是函数图像在该点处切线的斜率。

比如说，对于一个直线函数 y ＝ mx ＋ b ，它的斜率 m 就是其导数。

但对于更复杂的函数，如二次函数、三角函数等，求导数就没那么直观了。

那么，导数是怎么计算的呢？这就涉及到导数公式。

常见的基本导数公式有：1、常数函数的导数为 0 ，即若 f(x) ＝ C （ C 为常数），则 f'（x) ＝ 0 。

2、幂函数的导数，若 f(x) ＝xⁿ ，则 f'（x) ＝n xⁿ⁻¹。

3、指数函数的导数，若 f(x) ＝eˣ ，则 f'（x) ＝eˣ 。

4、对数函数的导数，若 f(x) ＝ ln x ，则 f'（x) ＝ 1 ／ x 。

这些只是导数公式中的一部分，通过这些基本公式，再结合导数的运算规则，如加法法则、乘法法则、链式法则等，我们就能够求出各种复杂函数的导数。

接下来，让我们看看导数在实际中的应用。

在物理学中，导数有着广泛的应用。

比如，位移对时间的导数就是速度，速度对时间的导数就是加速度。

通过对位移函数求导，我们可以得到物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度，这对于研究物体的运动状态至关重要。

在经济学中，导数可以用来分析成本函数、收益函数等。

边际成本和边际收益就是成本函数和收益函数的导数。

通过研究边际成本和边际收益，企业可以做出更合理的生产和销售决策，以实现利润最大化。

导数的定义与基本运算法则导数是微积分中的重要概念，它描述了函数变化的速度。

在本文中，将介绍导数的定义以及导数的基本运算法则。

一、导数的定义在数学中，导数描述了函数在某一点的变化率。

假设有一个函数f(x)，它在点x处的导数记为f'(x)或dy/dx。

导数的定义如下：f'(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx上述定义表示当Δx趋近于0时，函数f(x)在点x处的变化率。

如果该极限存在，那么函数在该点处是可导的。

二、导数的基本运算法则导数的基本运算法则是对导数进行运算的规则，它包括常数倍法则、和差法则、乘积法则和商法则。

1. 常数倍法则对于函数f(x)和常数k，有以下结果：(f(x)·k)' = f'(x)·k这意味着在函数中乘以一个常数时，导数等于常数倍的导数。

2. 和差法则对于函数f(x)和g(x)，有以下结果：(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)这意味着对于两个函数的和或差，它们的导数等于各自函数的导数之和或差。

3. 乘积法则对于函数f(x)和g(x)，有以下结果：(f(x) · g(x))' = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x)这意味着对于两个函数的乘积，其导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数。

4. 商法则对于函数f(x)和g(x)，有以下结果：(f(x) / g(x))' = (f'(x) · g(x) - f(x) · g'(x)) / g(x)^2这意味着对于两个函数的商，其导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方。

导数的概念与基本运算导数是微积分学中的重要概念，用以描述函数在某一点的变化率。

导数的概念和基本运算是学习微积分的基础，本文将介绍导数的定义、求导法则以及一些常见函数的导数，帮助读者掌握导数的概念与基本运算。

一、导数的定义函数的导数描述了函数在某一点附近的变化率，可以用数学符号表示为f'(x)。

在微积分中，导数的定义是：f'(x) = lim[∆x→0] (f(x+∆x) - f(x))/∆x其中，∆x表示自变量x的一个增量。

这个定义意味着当∆x无限趋近于0时，函数f(x)在点x处的变化率就可用导数f'(x)来表示。

二、求导法则对于常见的函数形式，可以利用求导法则来求导。

以下是一些常见的求导法则：1. 常数法则：如果f(x)是一个常数，那么它的导数f'(x)等于0。

2. 幂函数法则：如果f(x) = x^n (n为实数)，那么它的导数f'(x) =nx^(n-1)。

3. 指数函数法则：如果f(x) = a^x (a>0, a≠1)，那么它的导数f'(x) =a^x ln(a)。

4. 对数函数法则：如果f(x) = ln(x)，那么它的导数f'(x) = 1/x。

5. 三角函数法则：如果f(x) = sin(x)，那么它的导数f'(x) = cos(x)，同样适用于cos(x)和tan(x)等三角函数。

6. 反函数法则：如果g(x)是函数f(x)的反函数，那么g'(x) =1/f'(g(x))。

以上是一些常见的求导法则，通过应用这些法则，可以求得更复杂函数的导数。

三、常见函数的导数除了常见的求导法则，还有一些特殊函数的导数需要记住。

以下列举了一些常见函数及其导数：1. 多项式函数：- f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n，其中a0, a1, ..., an为常数。

- f'(x) = a1 + 2a2x + 3a3x^2 + ... + nanx^(n-1)2. 指数函数：- f(x) = e^x- f'(x) = e^x3. 对数函数：- f(x) = ln(x)- f'(x) = 1/x4. 三角函数：- f(x) = sin(x)- f'(x) = cos(x)- f(x) = cos(x)- f'(x) = -sin(x)- f(x) = tan(x)- f'(x) = sec^2(x)通过记住这些函数的导数公式，可以简化函数的求导过程。

导数综合运算知识点总结一、导数的定义及意义：1. 导数的定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记为f'(a)，定义为极限$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$其中f'(a)表示函数f(x)在点x=a处的导数。

2. 导数的几何意义：函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)表示函数f(x)在点x=a处的切线斜率。

也即在点x=a处，函数f(x)的变化率。

3. 导数的物理意义：如果函数f(x)表示某一物理量y关于另一物理量x的变化规律，那么函数f'(x)表示物理量y关于物理量x的变化率。

4. 导数的符号：函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)的符号表示函数f(x)在点x=a处的增减情况。

当f'(a)>0时，函数f(x)在点x=a处是增加的；当f'(a)<0时，函数f(x)在点x=a处是减小的；当f'(a)=0时，函数f(x)在点x=a处是不变的。

二、导数的运算法则：1. 基本导数法则：(常数函数规则、幂函数规则、指数函数规则、对数函数规则、三角函数规则、反三角函数规则、双曲函数规则)。

2. 复合函数的导数法则：函数f(g(x))的导数等于f'(g(x))g'(x)。

链式法则。

3. 反函数的导数法则：如果函数y=f(x)在区间I上单调、可导，并且在区间I上f'(x)≠0，则有反函数x=f^(-1)(y)在区间J上也可导，并且在区间J上f^(-1)'(y)=1/f'(f^(-1)(y))。

4. 参数方程的导数：如果x=f(t)、y=g(t)是参数方程，且函数f(t)、g(t)在t处可导，则参数方程x=f(t)、y=g(t)的导数dx/dt=f'(t)、dy/dt=g'(t)。

5. 隐函数的导数：若函数F(x，y)=0表示隐函数，且F(x,y)在点P(x0,y0)的邻域内具有连续偏导数，则隐函数y=f(x)的导数dy/dx可用偏导数表示：dy/dx=-∂F/∂x/∂F/∂y。