D12习题课(1)

(2) 2 x ln x d y y ( y 2 ln x 1) d x 0 3x 2 y 2 6 x 3 (3) y 2x y 2 y (4) y 2 ( x 3 y ) d x (1 3 x y 2 ) d y 0
提示: (1) 原方程化为 du u ln u (分离变量方程) 令u=xy,得 dx x (2) 将方程改写为 dy 1 y3 2 y (贝努里方程) 令 z y d x 2 x ln x 2x
xu 1 u 2 xu 1 u 2
dx 化为 2x y 2 , 调换自变量与因变量的地位 , dy 用线性方程通解公式求解 .
y y x 0 时， 1 x 1 (3) y 2 2x y

y x
6x 3 3x y 2 (4) y 2 3x y 2 y 3
b b PO b
0
x x2 y2
,
y x2 y2

y A
h
dx d y 鸭子的实际运动速度为 v , , dt dt
v a b a
由此得微分方程
bx x y
2 2
,
by
2
x y
2

o
P a b v
x
dx vx a x2 y2 x by y dy vy
3x 2 y 2 6 x 3 (3) y 2x y 2 y d y 3 ( x 1) 2 y 2 化方程为 dx 2 y ( x 1)
d y d y dt d y 令t=x–1,则 dx d t dx d t d y 3t 2 y 2 (齐次方程) dt 2ty 令y=ut
e e , 故为分离变量方程: d y e x dx
y3 x
y e
通解
2 y3
1 y3 x e e C 3
x2 y2 y (2) x y
方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分
离变量方程.
y y 1 x

2
y x
2
(9) ( y 4 3x 2 ) d y x yd x 0
提示: 可化为贝努里方程
令 z x2
(10) y x x 2 y
提示: 令 u x 2 y x , 即 y 2 x u u 2 , 则 du du dy 2 u 2 x 2u dx dx dx 原方程化为
可分离变量方程求解
(4) y ( x 3 y ) d x (1 3 x y ) d y 0
2 2
变方程为 y 2 x d x d y 3 y 2 ( yd x xd y ) 0
两边乘积分因子 y
2
x dx y
2
d y 3 ( yd x xd y ) 0
例1. 求下列方程的通解 1 y3 x (2) x y x 2 y 2 y ; 2 e (1) y 0; y 1 6x 3 3x y 2 (3) y ; (4) y 2 . 2 3 2x y 3x y 2 y 提示: (1) 因 e
y3 x
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:
F ( x) 2 F ( x) 4e 2 x
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
F ( x) e
2 d x
e 2 x 4e 4 x d x C
4e
2x
2d x d x C e
e 2 x Ce 2 x 将 F (0) f (0) g (0) 0 代入上式，得 C 1
2 d u e u
2 u du 2e
x

du C
1 2 2 u 2 du C u 故原方程通解
二、解微分方程应用问题
关键问题是正确建立数学模型, 要点: 利用共性建立微分方程 , 利用个性确定定解条件.
例4. 设河边点 O 的正对岸为点 A , 河宽 OA = h, 两岸
用凑微分法得通解: 1 2 1 x y 3 xy C 2
例3. 设F(x)＝f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(－∞,+∞)
内满足以下条件: f ( x) g ( x), g ( x) f ( x), 且 f (0) 0,
f ( x) g ( x) 2e x .
习题课 (一)
一阶微分方程的 解法及应用
一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题
一、一阶微分方程求解
1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤
2. 一阶非标准类型方程求解
(1) 变量代换法 —— 代换自变量 代换因变量 代换某组合式 (2) 积分因子法 —— 选积分因子, 解全微分方程
y 方法 1 这是一个齐次方程 . 令 u x 方法 2 化为微分形式
( 6x 3 3x y 2 ) d x ( 3x 2 y 2 y 3 ) d y 0
P Q 6x y y x
故这是一个全微分方程 .
例2. 求下列方程的通解:
(1) x y y y ( ln x ln y )
于是
F ( x) e 2 x e 2 x
P326 题1，2，3(1), (2), (3), (4), (5), (9), 练习题: (10) P326 题2 求以 为通解的微分方程.
(题3只考虑方法及步骤)
( x C ) 2 y 2 1 消去 C 得 提示: 2 ( x C ) 2 y y 0
即
a dx b dy

x y

2
x ( 齐次方程 ) 1 y
定解条件 x
y h
0 . ( 求解过程参考P273例3 )
练习题: P327 题 5 , 6
P327 题5 . 已知某曲线经过点( 1 , 1 ), 它的切线在纵 轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程 . 提示: 设曲线上的动点为 M (x,y), 此点处切线方程为 令 X = 0, 得截距 由题意知微分方程为
(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;
(2) 求出F(x) 的表达式 . 解: (1) F ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
(03考研)
g 2 ( x) f 2 ( x) [ g ( x) f ( x)]2 2 f ( x) g ( x) (2e x ) 2 2 F ( x)
0.12.06 54 t = 30 时 x 100 k 180 ln 4 250
m 3 新鲜空气 . 因此每分钟应至少输入 250
作业
P269 3 , 7;
P276 *4 (2) ;
P282 9 (2) , (4)
提示: 设每分钟应输入
t 时刻车间空气中含
的改变量为 则在 [ t , t t ]内车间内 0.04 x 两端除以 t , t k t x k 100 5400 并令 t 0 得微分方程
初始条件
解定解问题
dx k k x d t 5400 2500
x
得
t 0
为平行直线, 水流速度大小为 a , 一鸭子从点 A 游向点 y O , 设鸭子(在静水中)的游速大小为b
(b a), 且鸭子游动方向始终朝着点O ,
求鸭子游动的轨迹方程 . 提示: 如图所示建立坐标系. 则
A
h
b
P a
x
a (a , 0)
o
设时刻t 鸭子位于点P (x, y) , 则鸭子游速 b 为
y yx x 1 y y 1 即 x 定解条件为 y x 1 1 .
思考: 能否根据草图列方程?
y
M ( x, y )
x tan x y
o
x
x
P327 题6. 已知某车间的容积 为
的新鲜空气
输入 , 问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空 的含量不超过 0.06 % ? ( 假定输入的新鲜空气 与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出 ) 5400
P327 题3 求下列微分方程的通解: 提示: 令 u = x y , 化成可分离变量方程 : 提示: 这是一阶线性方程 , 其中
dy y (3) d x 2 ( ln y x) 提示: 可化为关于 x 的一阶线性方程 dy (4) x y x3 y 3 0 dx z y 2 提示: 为贝努里方程 , 令 y dy x dy 微分倒推公式 (5) xd x yd y 2 0 x y2 提示: 为全微分方程 , 通解