【名师一号】2014-2015学年人教A版高中数学必修1双基限时练1]

双基限时练(三)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6，或5π6D.π3，或2π3解析 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，又0<B <π，∴B ＝π6.答案 A2．在△ABC 中，AB ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝( ) A ．3－ 3 B. 2 C ．2D ．3＋ 3解析 由正弦定理，知BC sin A ＝AB sin C ，∴BC ＝AB sin Asin C ＝3×226＋24＝3－ 3.答案 A3．在△ABC 中，已知a ＝52，c ＝10，A ＝30°，则B 等于( ) A ．105° B ．60°C ．15°D ．105°，或15°解析 先用正弦定理求角C ，由a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝c sin A a ＝10×1252＝22.又c >a ，∴C ＝45°，或135°，故B ＝105°，或15°. 答案 D4．已知三角形的三边之比为a ：b ：c ＝2：3：4，则此三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析 设三边长为2a,3a,4a (a >0)，它们所对的三角形内角依次为A ，B ，C . 则cos C ＝ 2a 2＋ 3a 2－ 4a 22×2a ×3a ＝－14<0，∴C 为钝角．故该三角形为钝角三角形． 答案 B5．在△ABC 中，下列关系中一定成立的是( )A ．a >b sin AB ．a ＝b sin AC ．a <b sin AD ．a ≥b sin A解析 在△ABC 中，由正弦定理，知a ＝b sin A sin B，∵0<sin B ≤1，∴a ≥b sin A .答案 D6．△ABC 中，已知2A ＝B ＋C ，且a 2＝bc ，则△ABC 的形状是( ) A ．两直角边不等的直角三角形B ．顶角不等于90°，或60°的等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析 解法1：由2A ＝B ＋C ，知A ＝60°.又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴12＝b 2＋c 2－bc2bc∴b 2＋c 2－2bc ＝0.即(b －c )2＝0，∴b ＝c . 故△ABC 为等边三角形． 解法2：验证四个选项知C 成立． 答案 C7．在△ABC 中，AC ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC 的长为____________． 解析 由A ＋B ＋C ＝180°，求得B ＝60°.∴BCsin A ＝AC sin B ⇒BC ＝AC sin A sin B＝3×2232＝ 2.答案 28．△ABC 中，已知a ＝2，c ＝3，B ＝45°，则b ＝________. 解析 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝2＋9－2×2×3×22＝5，∴b ＝ 5. 答案59．在△ABC 中，a ＝23，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝223.又S △ABC ＝12ab sin C ，∴43＝12×23×b ×223，∴b ＝3 2.答案 3 210．在△ABC 中，a ＋b ＝10，而cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根，求△ABC 周长的最小值．解 解方程2x 2－3x －2＝0，得x 1＝－12，x 2＝2，而cos C 为方程2x 2－3x －2＝0的一个根，∴cos C ＝－12.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c 2＝a 2＋b 2＋ab .∴c 2＝(a ＋b )2－ab＝100－ab ＝100－a (10－a )＝a 2－10a ＋100＝(a －5)2＋75≥75，∴当a ＝b ＝5时，c min ＝5 3.从而三角形周长的最小值为10＋5 3.11．在△ABC 中，如果lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2，且B 为锐角，试判断此三角形的形状．解 ∵lgsin B ＝－lg 2，∴sin B ＝22.又∵B 为锐角，∴B ＝45°.∵lg a －lg c ＝－lg 2，∴a c ＝22. 由正弦定理，得sin A sin C ＝22.即2sin(135°－C )＝2sin C .∴2(sin135°cos C －cos135°sin C )＝2sin C . ∴cos C ＝0，∴C ＝90°，∴A ＝B ＝45°. ∴△ABC 是等腰直角三角形．12．a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ，边b 和c 是关于x 的方程x 2－9x ＋25cos A ＝0的两根(b >c )．(1)求角A 的正弦值； (2)求边a ，b ，c ； (3)判断△ABC 的形状．解 (1)∵(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ，由正弦定理，得(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝185bc ，整理，得b 2＋c 2－a 2＝85bc .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝45，∴sin A ＝35.(2)由(1)知方程x 2－9x ＋25cos A ＝0可化为x 2－9x ＋20＝0， 解之得x ＝5或x ＝4，∵b >c ，∴b ＝5，c ＝4.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴a＝3.(3)∵a2＋c2＝b2，∴△ABC为直角三角形．。

双基限时练(二十) 指数函数的定义和性质基 础 强 化1．下列函数中，指数函数的个数为( )①y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x ；④y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －1. A ．0个 B ．1个C ．3个D ．4个解析 由指数函数的定义可判定，只有②正确．答案 B2．集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{－1,1,0}，则下列结论正确的是( )A ．A ∩B ＝{0,1}B ．A ∪B ＝(0，＋∞)C ．B ∩∁R A ＝{－1,0}D ．B ∪∁R A ＝(－∞，0)解析 A ＝{y |y >0}，∴∁R A ＝{y |y ≤0}，∴B ∩∁R A ＝{－1,0}．答案 C3．函数y ＝21x 的值域是( )A ．(0，＋∞)B ．(0,1)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(1，＋∞)解析 令t ＝1x ，(t ≠0)，∴y ＝2t ，∴y >0且y ≠1.答案 C 4.解析 34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－4，考查指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ， ∵0<13<1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上单调递减．答案 A5．函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在上的最大值和最小值的和为3，则a ＝( )A.12B ．2C ．4 D.14解析 指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在定义域上是单调函数，∴a 0＋a ＝3，即1＋a ＝3，∴a ＝2.答案 B6．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x ＋1<4，x ∈Z ，则M ∩N 等于( )A ．{－1,1}B ．{－1}C ．{0}D ．{－1,0}解析 由12<2x ＋1<4，得2－1<2x ＋1<22，∴－1<x ＋1<2，即－2<x <1.∵x ∈Z ，∴x ＝－1,0，∴N ＝{－1,0}，∴M ∩N ＝{－1}．答案 B7．已知指数函数的图象过点M (3,8)，那么f (－4)＝____.解析 设指数函数是y ＝a x (a >0, a ≠1)，则有8＝a 3，∴a ＝2，∴y＝2x .从而f (－4)＝2－4＝116.答案 1168．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |－1 (x ≤1)，2－2x (x >1)，若f (x )＝1，则x ＝________. 解析 ①⎩⎨⎧ x ≤1，|x |－1＝1，∴x ＝－2.②⎩⎨⎧ x >1，2－2x ＝1，∴⎩⎨⎧ x >1，x ＝0.∴x 无解．故x ＝－2.答案 －2 能 力 提 升9．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x 的值域是________． 解析 设y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t ，t ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∵x ∈R ，∴t ≥－1，∴y ∈(0,3]．答案 (0,3]10．比较下列各组数中两个值的大小：(1)0.2－1.5和0.2－1.7；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1413 和⎝ ⎛⎭⎪⎫14 23 ； (3)2－1.5和30.2.解 (1)考查函数y ＝0.2x .因为0<0.2<1，所以函数y ＝0.2x 在实数集R 上是单调减函数．又因为－1.5>－1.7，所以0.2－1.5<0.2－1.7.(2)考查函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x .因为0<14<1，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 在实数集R 上是单调减函数．又因为13<23，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1413 >⎝ ⎛⎭⎪⎫14 23 . (3)2－1.5<20，即2－1.5<1；30<30.2，即1<30.2，所以2－1.5<30.2.11．关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＝4a －3有负根，求实数a 的取值范围． 解 方程⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＝4a －3有负根，即x <0. 由x <0且43>1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ∈(0,1)， ∴0<4a －3<1，∴34<a <1.12．若函数f (x )＝1－2a x －a 2x(a >1)在区间上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7，716，求a 的值．解 令t ＝a x ，∵a >1，且x ∈，∴t ∈．函数f (x )变为y ＝－t 2－2t ＋1，t ∈．∵a >1，∴0<a －2<1.∴对称轴t ＝－1∉．∴y ＝－t 2－2t ＋1在上单调递减．又∵y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7，716， ∴当t ＝a 时y ＝－7，即－a2－2a＋1＝－7，∴a＝－4，或a＝2.∵a>1，∴a＝－4舍去，∴a＝2.品味高考13．已知函数y＝a x＋2－2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A(其坐标与a无关)，则定点A的坐标为________．解析当x＝－2时，无论a取何值，都有y＝－1，即图象恒过定点A(－2，－1)．答案(－2，－1)。

双基限时练(二)1．终边在y 轴的非负半轴上的角的集合是( ) A ．{α|α＝k π，k ∈Z }B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋π2，k ∈Z C ．{α|α＝2k π，k ∈Z }D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π2，k ∈Z 解析 A 选项表示的角的终边在x 轴上；B 选项表示的角的终边在y 轴上；C 选项表示的角的终边在x 轴非负半轴上；D 选项表示的角的终边在y 轴非负半轴上，故选D.答案 D2．在半径为5 cm 的圆中，圆心角为周角的23的角所对的圆弧长为( )A.4π3cm B.20π3cm C.10π3cm D.50π3cm 解析 记r ＝5，圆心角α＝23×2π＝4π3，∴l ＝|α|r ＝203π.答案 B3．将－1485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z )的形式是( ) A ．－π4－8πB.74π－8π C.π4－10π D.7π4－10π 解析 ∵－1485°＝－5×360°＋315°， 又2π＝360°，315°＝74π，∴－1485°＝－5×2π＋74π＝7π4－10π.答案 D4．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ为( )A ．－34πB.π4C.34π D ．－π4解析 ∵－11π4＝－2π－3π4，∴θ＝－34π.又－11π4＝－4π＋5π4，∴θ＝5π4.∴使|θ|最小的θ＝－3π4.答案 A5．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数的绝对值为( )A.π3B.2π3C. 3 D ．2解析 设所在圆的半径为r ，圆内接正三角形的边长为2r sin60°＝3r ，所以弧长3r 的圆心角的弧度数为3rr＝ 3.答案 C6．用集合表示终边在阴影部分的角α的集合为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪π4≤α≤π3 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪π4≤α≤5π3 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π4≤α≤2k π＋π3，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π4≤α≤2k π＋5π3，k ∈Z解析 由图可知在[0,2π)内角的终边落在阴影部分时π4≤α≤5π3， ∴满足条件的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π4≤α≤2k π＋5π3，k ∈Z. 答案 D7．圆的半径变为原来的12，而弧长不变，则该弧所对的圆心角变为原来的________倍．解析 由公式θ＝l r 知，半径r 变为原来的12，而弧长不变，则该弧所对的圆心角变为原来的2倍．答案 28．将下列弧度转化为角度： (1)π12＝________； (2)－7π8＝________；(3)13π6＝________；(4)－512π＝________.答案 (1)15° (2)－157°30′ (3)390° (4)－75°9．将下列角度化为弧度： (1)36°＝________rad ； (2)－105°＝________rad ； (3)37°30′＝________rad ； (4)－75°＝________rad. 解析 利用1°＝π180rad 计算．答案 (1)π5(2)－7π12(3)5π24(4)－5π1210．在直径为20 cm 的圆中，圆心角为150°时所对的弧长为________． 解析 150°＝150×π180＝5π6，∴l ＝5π6×10＝25π3(cm)．答案 25π3cm11．如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合： (1)终边落在射线OM 上； (2)终边落在直线OM 上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断2 012°是不是这个集合的元素．解 ∵150°＝5π6.∴终边在阴影区域内角的集合为S ＝{β|5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z }．∵2012°＝212°＋5×360°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53π45＋10πrad ，又5π6＜53π45＜3π2. ∴2012°＝503π45∈S .12.如图所示，动点P 、Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P 、Q 第一次相遇所用的时间及P 、Q 各自走过的弧长． 解 设P 、Q 第一次相遇时所用的时间为t 秒，则：t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，解得t ＝4，即第一次相遇时所用的时间为4秒．P 点走过的弧长为：43π×4＝163π， Q 点走过的弧长为：8π－16π3＝8π3. 13．扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .解 (1)设扇形的圆心角为θ，扇形所在圆的半径为R ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋R θ＝8，12θ·R 2＝3，解得θ＝23或6.即圆心角的大小为23弧度或6弧度．(2)设扇形所在圆的半径为 x cm ，则扇形的圆心角θ＝8－2xx，于是扇形的面积是S ＝12x 2·8－2x x＝4x －x 2＝－(x －2)2＋4.故当x ＝2 cm 时，S 取到最大值．此时圆心角θ＝8－42＝2弧度，弦长AB ＝2 ·2sin 1＝4sin1 (cm)．即扇形的面积取得最大值时圆心角等于2弧度，弦长AB 等于4sin1 cm.。

双基限时练(三)1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，则sin α的值为( ) A ．－32B ．－12C.32D.12解析 利用三角函数的定义可得sin α＝－12，故选B.答案 B2．若角α的终边经过M (0,2)，则下列各式中，无意义的是( ) A ．sin α B ．cos α C ．tan αD ．sin α＋cos α解析 因为M (0,2)在y 轴上，所以α＝π2＋2k π，k ∈Z ，此时tan α无意义．答案 C3．下列命题正确的是( )A ．若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角B ．若α>β，则cos α<cos βC ．若sin α＝sin β，则α与β是终边相同的角D ．若α是第三象限角，则sin αcos α>0且cos αtan α<0解析 当θ＝π时，cos θ＝－1，此时π既不是第二象限的角，也不是第三象限的角，故A 错误；当α＝390°，β＝30°时，cos α＝cos β，故B 错误；当α＝30°，β＝150°时，sin α＝sin β，但α与β终边并不相同，故C 错误，只有D 正确．答案 D4．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能解析 ∵α，β为三角形的内角，且sin αcos β<0， 又sin α>0，∴cos β<0，∴β为钝角． ∴三角形为钝角三角形． 答案 B5．设角α的终边过点P (3a,4a )(a ≠0)，则下列式子中正确的是( ) A ．sin α＝45B ．cos α＝35C ．tan α＝43D ．tan α＝－43解析 ∵a ≠0，∴tan α＝4a 3a ＝43.答案 C6．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2θ<1，则θ所在的象限为( )A ．第一或第三象限B ．第二或第四象限C ．第二或第三象限D ．第一或第四象限解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2θ<1，且y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上递减，∴sin2θ>0，∴2k π<2θ<π＋2k π，k ∈Z ， ∴k π<θ<π2＋k π，k ∈Z .当k ＝2n ，n ∈Z 时，2n π<θ<π2＋2n π，此时θ在第一象限内．当k ＝2n ＋1，n ∈Z时，π＋2n π<θ<3π2＋2n π，n ∈Z ，此时θ在第三象限内．综上可得θ所在的象限为第一象限或第三象限，故选A. 答案 A7．角α终边上有一点P (x ，x )(x ∈R ，且x ≠0)，则sin α的值为________． 解析 由题意知，角α终边在直线y ＝x 上，当点P 在第一象限时，x >0，r ＝x 2＋x 2＝2x ，∴sin α＝x2x＝22.当点P 在第三象限时，同理，sin α＝－22. 答案 ±228．使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第________象限角．解析 要使原式有意义，必须cos αtan α>0，即需cos α，tan α同号，所以α是第一或第二象限角．答案 一或二9．点P (tan2 012°，cos2 012°)位于第____________象限． 解析 ∵2 012°＝5×360°＋212°，212°是第三象限角， ∴tan2 012°＞0，cos2 012°＜0，故点P 位于第四象限． 答案 四10．若角α的终边经过P (－3，b )，且cos α＝－35，则b ＝________，sin α＝________.解析 ∵cos α＝－39＋b2，∴－39＋b 2＝－35，∴b ＝4或b ＝－4.当b ＝4时，sin α＝b9＋b2＝45，当b ＝－4时，sin α＝b 9＋b2＝－45. 答案 4或－4 45或－4511．计算sin810°＋tan765°＋tan1125°＋cos360°.解 原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋0°)＝sin90°＋tan45°＋tan45°＋cos0° ＝1＋1＋1＋1＝4.12．一只蚂蚁从坐标原点沿北偏西30°方向爬行6 cm 至点P 的位置．试问蚂蚁离x 轴的距离是多少？解 如下图所示，蚂蚁离开x 轴的距离是PA .在△OPA 中，OP ＝6，∠AOP ＝60°， ∴PA ＝OP sin60° ＝6×32＝3 3. 即蚂蚁离x 轴的距离是3 3 cm.13．已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，试求α的三个三角函数值． 解 当角α的终边在第一象限时，在y ＝2x 上任取一点P (1,2)，则有r ＝5，∴sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝2.当角α的终边在第三象限时，同理可求得： sin α＝－255，cos α＝－55，tan α＝2.。

双基限时练(十二) 函数的奇偶性基 础 强 化1．下列说法不正确的是( )A ．图象关于原点成中心对称的函数是奇函数B ．图象关于y 轴成轴对称的函数是偶函数C ．奇函数的图象过原点D ．对定义在R 上的奇函数f (x )，一定有f (0)＝0解析 函数f (x )＝1x 是奇函数，但它不过原点．答案 C2．下列函数中是偶函数的是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝|3－x |C ．y ＝x 2＋2，x ∈(－3,3]D ．y ＝－3x 2解析 D 选项中函数是偶函数．答案 D3．已知定义域为R 的奇函数f (x )满足：f (x )＝f (4－x )，且当x ∈ 答案 C4．函数y ＝f (x )在(0,2)上是增函数，函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52解析 ∵y ＝f (x ＋2)是偶函数，∴y ＝f (x )关于x ＝2对称．∵f (x )在(0,2)上是增函数，∴f (x )在(2,4)上是减函数．∵f (1)＝f (3)，且52<3<72，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (3)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.答案 D5．若函数f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝() A.12B.23C.34D ．1解析 由题意知f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋12(－x －a )＝－x2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(x －a )，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x ＋a )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(x －a )恒成立，所以a ＝12.答案 A6．若奇函数f (x )在区间上是增函数且最小值为5，那么在区间上是()A．增函数且最大值为－5B．增函数且最小值为－5C．减函数且最小值为－5D．减函数且最大值为－5解析根据奇函数的图象关于原点对称，且在y轴两侧单调性相同，∴f(x)在上是增函数，且有最大值－5.答案 A7．已知函数f(x)＝ax3－bx＋2，其中a，b为常数，若f(－2)＝3，则f(2)的值为________．解析令g(x)＝ax3－bx，则g(x)为奇函数，f(x)＝g(x)＋2. f(－2)＝g(－2)＋2＝3，∴g(－2)＝－8a＋2b＝1，∴g(2)＝－1.f(2)＝g(2)＋2＝－1＋2＝1.答案 18.设奇函数f(x)的定义域为，若当x∈时，f(x)的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集是________．答案 (－2,0)∪(2,5]能 力 提 升9．函数f (x )的定义域为R ，且x ≠1，已知f (x ＋1)为奇函数，当x <1时，f (x )＝2x 2－x ＋1，那么当x >1时，f (x )的递减区间是________．解析 ∵y ＝f (x ＋1)为奇函数，∴y ＝f (x )关于点(1,0)对称，如图：当x >1时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞递减．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞ 10．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝3，x ∈R ；(2)f (x )＝5x 4－4x 2＋7，x ∈；(3)f (x )＝|2x －1|－|2x ＋1|；(4)f (x )＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 1－x 2，x >0，0，x ＝0，x 2－1，x <0.)解 (1)f (－x )＝3＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)∵x ∈，f (－x )＝5(－x )4－4(－x )2＋7＝5x 4－4x 2＋7＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(3)∵x ∈R ，f (－x )＝|－2x －1|－|－2x ＋1|＝－(|2x －1|－|2x ＋1|)＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(4)当x >0时，f (x )＝1－x 2，此时－x <0，∴f (－x )＝(－x )2－1＝x 2－1，∴f (－x )＝－f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2－1，此时－x >0，f (－x )＝1－(－x )2＝1－x 2，∴f (－x )＝－f (x )；当x ＝0时，f (－0)＝－f (0)＝0.综上，对x ∈R ，总有f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为R 上的奇函数．11．(1)已知函数f (x )＝ax ＋b x 2＋1是奇函数，且f (1)＝2，求f (x )的解析式；(2)若f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是定义在上的偶函数，求f (x )的解析式． 解 (1)∵f (x )是奇函数，且定义域为R ，∴f (0)＝0，∴b ＝0.∵f (1)＝2，∴a 1＋1＝2，∴a ＝4. ∴f (x )＝4xx 2＋1. (2)∵f (x )是上的偶函数， ∴⎩⎨⎧ a －1＋2a ＝0，b ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝13，b ＝0.∴f (x )＝13x 2＋1. 12．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2，若对任意的x ∈，不等式f (x ＋t )≤f (2x )恒成立，求实数t 的取值范围．解 由题意知f (x )＝⎩⎨⎧ x 2(x ≥0)，－x 2(x <0).所以f (x )在R 上为单调增函数．因为f (x ＋t )≤f (2x )，所以x ＋t ≤2x .所以t ≤(2－1)x .又x ∈，所以(2－1)x 的最小值为(2－1)(－2－2)＝－ 2.所以t ≤－ 2.品 味 高 考13．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析 f (－1)＝－f (1)＝－2.答案 A。

双基限时练(一)1．下列命题中正确的是()A．终边在x轴负半轴上的角是零角B．第二象限角一定是钝角C．第四象限角一定是负角D．若β＝α＋k·360°(k∈Z)，则α与β终边相同解析易知A、B、C均错，D正确．答案 D2．若α为第一象限角，则k·180°＋α(k∈Z)的终边所在的象限是()A．第一象限B．第一、二象限C．第一、三象限D．第一、四象限解析取特殊值验证．当k＝0时，知终边在第一象限；当k＝1，α＝30°时，知终边在第三象限．答案 C3．下列各角中，与角330°的终边相同的是()A．150°B．－390°C．510°D．－150°解析330°＝360°－30°，而－390°＝－360°－30°，∴330°与－390°终边相同．答案 B4．若α是第四象限角，则180°－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析方法一由270°＋k·360°<α<360°＋k·360°，k∈Z得：－90°－k·360°>180°－α>－180°－k·360°，终边在(－180°，－90°)之间，即180°－α角的终边在第三象限，故选C.方法二数形结合，先画出α角的终边，由对称得－α角的终边，再把－α角的终边关于原点对称得180°－α角的终边，如图知180°－α角的终边在第三象限，故选C.答案 C5．把－1125°化成k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是() A．－3×360°＋45°B．－3×360°－315°C．－9×180°－45°D．－4×360°＋315°解析－1125°＝－4×360°＋315°.答案 D6．设集合A＝{x|x＝k·180°＋(－1)k·90°，k∈Z}，B＝{x|x＝k·360°＋90°，k∈Z}，则集合A，B的关系是()A．A B B．A BC．A＝B D．A∩B＝∅解析集合A表示终边在y轴非负半轴上的角，集合B也表示终边在y 轴非负半轴上的角．∴A ＝B .答案 C 7.如图，射线OA 绕顶点O 逆时针旋转45°到OB 位置，并在此基础上顺时针旋转120°到达OC 位置，则∠AOC 的度数为________．解析 解法一 根据角的定义，只看终边相对于始边的位置，顺时针方向，大小为75°，故∠AOC ＝－75°.解法二 由角的定义知，∠AOB ＝45°，∠BOC ＝－120°，所以∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC ＝45°－120°＝－75°.答案 －75°8．在(－720°，720°)内与100°终边相同的角的集合是________． 解析 与100°终边相同的角的集合为 {α|α＝k ·360°＋100°，k ∈Z } 令k ＝－2，－1,0,1，得α＝－620°，－260°，100°，460°. 答案 {－620°，－260°，100°，460°}9．若时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________． 解析 ∵2小时40分＝223小时，∴－360°×223＝－960°. 答案 －960°10．若2α与20°角的终边相同，则所有这样的角α的集合是__________．解析 2α＝k ·360°＋20°，所以α＝k ·180°＋10°，k ∈Z . 答案 {α|k ·180°＋10°，k ∈Z }11．角α满足180°<α<360°，角5α与α的始边相同，且又有相同的终边，求角α.解 由题意得5α＝k ·360°＋α(k ∈Z )， ∴α＝k ·90°(k ∈Z )．∵180°<α<360°，∴180°<k ·90°<360°. ∴2<k <4，又k ∈Z ，∴k ＝3. ∴α＝3×90°＝270°. 12.如图所示，角α的终边在图中阴影部分，试指出角α的范围． 解 ∵与30°角的终边所在直线相同的角的集合为： {β|β＝30°＋k ·180°，k ∈Z }．与180°－65°＝115°角的终边所在直线相同的角的集合为：{β|β＝115°＋k ·180°，k ∈Z }．因此，图中阴影部分的角α的范围为： {α|30°＋k ·180°≤α<115°＋k ·180°，k ∈Z }． 13．在角的集合{α|α＝k ·90°＋45°，k ∈Z }中， (1)有几种终边不同的角？(2)写出区间(－180°，180°)内的角？ (3)写出第二象限的角的一般表示法． 解 (1)在α＝k ·90°＋45°中，令k ＝0,1,2,3知， α＝45°，135°，225°，315°.∴在给定的角的集合中，终边不同的角共有4种． (2)由－180°<k ·90°＋45°<180°，得－52<k <32. 又k ∈Z ，故k ＝－2，－1,0,1.∴在区间(－180°，180°)内的角有－135°，－45°，45°，135°. (3)其中第二象限的角可表示为k ·360°＋135°，k ∈Z .。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作双基限时练(一)1．下列各组对象不能构成集合的是()A．所有直角三角形B．抛物线y＝x2上的所有点C．某中学高一年级开设的所有课程D．充分接近3的所有实数解析A、B、C中的对象具备“三性”，而D中的对象不具备确定性．答案 D2．给出下列关系：①12∈R；②2∉R；③|－3|∈N；④|－3|∈Q.其中正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析①③正确．答案 B3．已知集合A只含一个元素a，则下列各式正确的是() A．0∈A B．a＝AC．a∉A D．a∈A答案 D4．已知集合A中只含1，a2两个元素，则实数a不能取() A．1 B．－1C．－1和1 D.1或－1解析由集合元素的互异性知，a2≠1，即a≠±1.答案 C5．设不等式3－2x<0的解集为M，下列正确的是()A．0∈M,2∈M B．0∉M,2∈MC．0∈M,2∉M D．0∉M,2∉M解析从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x<0的解即可．当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0不属于M，即0∉M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，所以2属于M，即2∈M.答案 B6．已知集合A中含1和a2＋a＋1两个元素，且3∈A，则a3的值为()A．0 B．1C．－8 D．1或－8解析3∈A，∴a2＋a＋1＝3，即a2＋a－2＝0，即(a＋2)(a－1)＝0，解得a＝－2，或a＝1.当a＝1时，a3＝1.当a＝－2时，a3＝－8.∴a3＝1，或a3＝－8.答案 D7．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b 的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．解析 当ab >0时，|a |a ＋|b |b ＝2或－2.当ab <0时，|a |a ＋|b |b ＝0，因此集合中含有－2,0,2三个元素．答案 38．以方程x 2－5x ＋6＝0和x 2－6x ＋9＝0的解为元素的集合中所有元素之和等于________．解析 方程x 2－5x ＋6＝0的解为x ＝2，或x ＝3，方程x 2－6x ＋9＝0的解为x ＝3，∴集合中含有两个元素2和3，∴元素之和为2＋3＝5.答案 59．集合M 中的元素y 满足y ∈N ，且y ＝1－x 2，若a ∈M ，则a 的值为________．解析 由y ＝1－x 2，且y ∈N 知，y ＝0或1，∴集合M 含0和1两个元素，又a ∈M ， ∴a ＝0或1. 答案 0或110．设集合A 中含有三个元素3，x ，x 2－2x . (1)求实数x 应满足的条件； (2)若－2∈A ，求实数x .解(1)由集合中元素的互异性可知，⎩⎪⎨⎪⎧x ≠3，x ≠x 2－2x ，x 2－2x ≠3.解之得x ≠－1且x ≠0，且x ≠3. (2)∵－2∈A ，∴x ＝－2或x 2－2x ＝－2. 由于x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴x ＝－2.11．已知集合A 含有三个元素2，a ，b ，集合B 含有三个元素2,2a ，b 2，若A 与B 表示同一集合，求a ，b 的值．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝a ，b 2＝b ，或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝b ，b 2＝a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.由集合中元素的互异性知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.12．数集M 满足条件：若a ∈M ，则1＋a1－a ∈M (a ≠±1且a ≠0)．若3∈M ，则在M 中还有三个元素是什么？解 ∵3∈M ，∴1＋31－3＝－2∈M ，∴1＋(－2)1－(－2)＝－13∈M ，∴1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－131－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝2343＝12∈M .又∵1＋121－12＝3∈M ，∴在M 中还有三个元素－2，－13，12.。

双基限时练(二十)1．若函数f (x )＝x 3(x ∈R )，则函数y ＝f (－x )在其定义域上( ) A ．单调递减的偶函数 B ．单调递减的奇函数 C ．单调递增的偶函数 D ．单调递增的奇函数解析 ∵f (x )＝x 3为奇函数． ∴y ＝f (－x )＝－f (x )＝－x 3.∴y ＝f (－x )在其定义域上单调递减且为奇函数，故选B. 答案 B2．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 仅有α＝－1时，f (x )＝x －1满足题意，因此选A. 答案 A3．已知幂函数y ＝x m 在第一象限内的图象，如图所示．已知m 取2，－2，12，－12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的m 依次是( )A ．－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12解析 由图象知，相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的幂依次从大到小排列，∴选B.答案 B4．函数y ＝x 53的图象大致是( )解析 由于53>1，故可排除选项A ，D.根据幂函数的性质可知，当a >1时，幂函数的图象在第一象限内下凸，故排除选项C ，只有选项B 正确．答案 B5．函数y ＝log a (2x －3)＋22的图象恒过定点P ，P 在幂函数f (x )的图象上，则f (9)＝( )A.13B. 3 C ．3D ．9解析 由log a 1＝0，对任意a >0且a ≠1都成立知，函数y ＝log a (2x－3)＋22的图象恒过定点⎝⎛⎭⎪⎫2，22，设f (x )＝x α，则22＝2α，故α＝－12，所以f (x )＝x －12，所以f (9)＝9－12＝3－1＝13.答案 A6．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1234，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1534，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <c <aD ．b <a <c解析 构造幂函数y ＝x 34(x ∈R )，则该函数在定义域内单调递增，知a >b ；构造指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，由该函数在定义域内单调递减，所以a <c ，故c >a >b .答案 D7．函数y ＝(m －1)xm 2－m为幂函数，则该函数为________(填序号)．①奇函数；②偶函数；③增函数；④减函数． 解析 由y ＝(m －1)xm 2－m为幂函数，得m －1＝1，即m ＝2，则该函数为y ＝x 2，故该函数为偶函数，在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．答案 ②8．给出以下列结论：①当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线；②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；③若幂函数y ＝a α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大；④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．则正确结论的序号为________．解析 当α＝0时，函数y ＝x α的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，故①不正确；当α<0时，函数y ＝x α的图象不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y ＝x －1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确．④正确．答案 ④9．已知n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n，则n ＝________.解析 ∵－12<－13，且⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n ，∴y ＝x n 在(－∞，0)上为减函数． 又n ∈{－2，－1,0,1,2,3}， ∴n ＝－1，或n ＝2. 答案 －1或2已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，f (x ) (1)是幂函数； (2)是正比例函数； (3)是反比例函数； (4)是二次函数． 解 (1)∵f (x )是幂函数，故m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0， 解得m ＝2或m ＝－1. (2)若f (x )是正比例函数， 则－5m －3＝1，解得m ＝－45. 此时m 2－m －1≠0，故m ＝－45.(3)若f (x )是反比例函数，则－5m －3＝－1，则m ＝－25，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－25. (4)若f (x )是二次函数，则－5m －3＝2， 即m ＝－1，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－1.11．点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，有：①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )．解 设f (x )＝x α，g (x )＝x β. ∵(2)α＝2，(－2)β＝－12， ∴α＝2，β＝－1. ∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； 当x ＝1时，f (x )＝g (x )； 当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．12．已知幂函数y ＝x 3－p (p ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上为增函数，求满足条件(a ＋1) p 2 <(3－2a ) p 2的实数a 的取值范围．解 ∵幂函数y ＝x 3－p (p ∈N *)的图象关于y 轴对称，∴函数y ＝x 3－p是偶函数．又y ＝x 3－p 在(0，＋∞)上为增函数， ∴3－p 是偶数且3－p >0， ∵p ∈N *，∴p ＝1，∴不等式(a ＋1) p 2 <(3－2a ) p2化为：(a ＋1) 12<(3－2a ) 12.∵函数y ＝x 是[0，＋∞)上的增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<3－2a ，a ＋1≥0，3－2a ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <23，a ≥－1，a ≤32⇒－1≤a <23，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23.。

【名师一号】2014-2015学年新课标A版高中数学必修1双基限时练6双基限时练(六)1．下列式子中不能表示函数y ＝f (x )的是( ) A ．x ＝y 2＋1 B ．y ＝2x 2＋1 C ．x －2y ＝6D ．x ＝y解析 A 中一个x 对应的y 值不唯一．答案 A2．下列各组中的两个函数为相等函数的是( ) A ．f (x )＝x ＋1·x －1与g (x )＝(x ＋1)(x －1) B ．f (x )＝(2x －5)2与g (x )＝2x －5 C ．f (x )＝1－x x 2＋1与g (x )＝1＋xx 2＋1D ．f (x )＝(x )4x 与g (t )＝?t t 2 解析 A 中，f (x )＝x ＋1·x －1的定义域为{x |x ≥1}，g (x )＝(x ＋1)(x －1)的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，它们的定义域不相同，不是相等函数；B 中，f (x )＝(2x －5)2的定义域为?x |x ≥52，g (x )＝2x－5的定义域为R ，定义域不同，不是相等函数．C 中，f (x )＝1－xx 2＋1与g (x )＝1＋x x 2＋1的对应关系不同，不是相函数等．D 中，f (x )＝(x )4x ＝x (x >0)与g (x )＝? ??t t 2＝t (t >0)的定义域与对应关系都相同，它们是相等函数．答案 D3．下列函数中，定义域不是R 的是( ) A ．y ＝ax ＋bB ．y ＝kx ＋2(k 为常数)C ．y ＝x 2＋x －1 D ．y ＝1x 2＋x ＋1答案 B4．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝1xC ．y ＝1xD ．y ＝x 2＋1解析 y ＝x 的值域为[0，＋∞)，y ＝1x 的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y ＝x 2＋1的值域为[1，＋∞)．答案 B5．若函数f (x )＝(a 2－2a －3)x 2＋(a －3)x ＋1的定义域和值域都为R ，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－1或a ＝3B ．a ＝－1C ．a ＝3D ．a 不存在解析因为函数f (x )的定义域和值域都为R ，所以函数f (x )是一次函数，所以?a 2－2a －3＝0，a －3≠0，所以a ＝－1.答案 B6．周长为定值a 的矩形，它的面积S 是这个矩形的一边长x 的函数，则这个函数的定义域是( )A ．(a ，＋∞)B ．(a2，＋∞) C ．(a2，a )D.?0，a 2解析根据题意知，矩形的另一边长为a －2x 2＝a2－x ，由x >0，a2－x >0，得0<a<="" p="">2，故这个函数的定义域为?0，a 2.答案 D7．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________．解析由题意3a －1>a ，则a >12.答案 ? ??12，＋∞8．若f (x )＝x 2＋x 的定义域为{－1,0,1}，则函数的值域为________．解析f (－1)＝(－1)2－1＝0，f (0)＝02＋0＝0，f (1)＝12＋1＝2，∴函数的值域为{0,2}．答案 {0,2}9．若f (x )＝5xx 2＋1，且f (a )＝2，则a ＝________.解析由f (a )＝5aa 2＋1＝2，得2a 2－5a ＋2＝0，解得a ＝12，或a ＝2. 答案 12或210．若f (x )＝ax 2－2，且f (f (2))＝－2，求a . 解因为f (2)＝a (2)2－2＝2a －2，所以f (f (2))＝a (2a －2)2－2＝－2，于是a (2a －2)2＝0,2a －2＝0或a ＝0，所以a ＝22或a ＝0.11．若函数f (x )的定义域为[－2,1]，求函数g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域．解由函数f (x )的定义域为－2≤x ≤1知，f (－x )的定义域为－2≤－x ≤1，即－1≤x ≤2.由?－2≤x ≤1，－1≤x ≤2，得－1≤x ≤1. 故g (x )的定义域是[－1,1]． 12．已知函数f (x )＝x 2x 2＋1.(1)求f (2)与f ? ??12，f (3)与f ? ??13；(2)由(1)中求得的结果，你发现f (x )与f ? ??1x 有什么关系？并证明你的发现．(3)求值：f (2)＋f (3)＋…＋f (2014)＋f ? ??12＋f ? ??13＋…＋f ?12014.解(1)∵f (x )＝x 2x 2＋1，∴f (2)＝2222＋1＝45；f ? ????12＝? ??122? ????122＋1＝15. f (3)＝323＋1＝910；f ? ????13＝? ???132? ????132＋1＝110. (2)由(1)可发现f (x )＋f ? ?? 1x ＝1.证明如下：f (x )＋f ? ????1x ＝x 2x 2＋1＋? ??1x 2? ????1x 2＋1＝x 2x 2＋1＋1x 2＋1＝1.(3)由(2)知，f (2)＋f ? ????12＝1，f (3)＋f ? ????13＝1，…， f (2014)＋f ? ??12014＝1，∴原式＝＝2013.。

双基限时练(三)1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴垂直 C ．与x 轴平行 D ．与x 轴平行或重合答案 D2．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为s ＝18t 2，则当t ＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( ) A. 2 B. 1 C.12D.14解析 s ′＝lim Δt →0ΔsΔt＝lim Δt →018t ＋Δt2－18t 2Δt＝lim Δt →014t Δt ＋18Δt 2Δt＝lim Δt →0(14t ＋18Δt )＝14t .∴当t ＝2时，s ′＝12.答案 C3．若曲线y ＝h (x )在点P (a ，h (a ))处切线方程为2x ＋y ＋1＝0，则( ) A ．h ′(a )<0 B ．h ′(a )>0 C ．h ′(a )＝0D ．h ′(a )的符号不定解析 由2x ＋y ＋1＝0，得h ′(a )＝－2<0. ∴h ′(a )<0. 答案 A4．曲线y ＝9x在点(3,3)处的切线方程的倾斜角α等于( )A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°解析 k ＝y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →09x ＋Δx －9x Δx＝lim Δx →0－9x x ＋Δx ＝－9x2.∴当x ＝3时，tan α＝－1.∴α＝135°. 答案 C5．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)解析 y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x2Δx＝lim Δx →02x Δx ＋Δx 2Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .令2x ＝tan π4＝1，∴x ＝12，y ＝14.故所求的点是(12，14)．答案 D6．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则过点A 的切线的斜率为________． 解析 k ＝f ′(2)＝lim Δx →0＋Δx 2－2×22Δx＝lim Δx →08Δx ＋Δx 2Δx＝lim Δx →0(8＋2Δx )＝8.答案 87．若函数f (x )在x 0处的切线的斜率为k ，则极限lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0Δx＝________.解析 lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0Δx＝－lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0－Δx＝－k .答案 －k8．已知函数f (x )在区间[0,3]上图象如图所示，记k 1＝f ′(1)，k 2＝f ′(2)，k 3＝f ′(3)，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为________．(请用“>”连接)解析 由f (x )的图象及导数的几何意义知，k 1>k 2>k 3. 答案 k 1>k 2>k 39．已知曲线y ＝2x 2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程． 解 ∵f ′(1)＝lim Δx →0f＋Δx －fΔx＝4，∴过点(1,2)的切线的斜率为4.设过点(1,2)且与过该点的切线垂直的直线的斜率为k ，则4k ＝－1，k ＝－14.∴所求的直线方程为y －2＝－14(x －1)，即x ＋4y －9＝0. 10．已知曲线y ＝1t －x 上两点P (2，－1)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1，12.求： (1)曲线在点P 处、点Q 处的切线的斜率； (2)曲线在点P ，Q 处的切线方程． 解 将P (2，－1)代入y ＝1t －x 得t ＝1，∴y ＝11－x. ∴y ′＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx＝lim Δx →011－x ＋Δx －11－xΔx＝lim Δx →01[1－x ＋Δx－x＝1－x2.(1)曲线在点P 处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝1－2＝1； 曲线在点Q 处的切线的斜率为y ′|x ＝－1＝1[1－－2＝14. (2)曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0.曲线在点Q 处的切线方程为y －12＝14(x ＋1)，即x －4y ＋3＝0.11．已知点M (0，－1)，F (0,1)，过点M 的直线l 与曲线y ＝13x 3－4x ＋4在x ＝2处的切线平行．(1)求直线l 的方程；(2)求以点F 为焦点，l 为准线的抛物线C 的方程． 解 (1)∵f ′(2)＝lim Δx →013＋Δx3－＋Δx ＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫13×23－4×2＋4Δx＝0，∴直线l 的斜率为0，其直线方程为y ＝－1.(2)∵抛物线以点F (0,1)为焦点，y ＝－1为准线，∴设抛物线的方程为x 2＝2py ，则－p2＝－1，p ＝2.故抛物线C 的方程为x 2＝4y .12．已知曲线y ＝x 2＋1，问是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解 存在． 理由如下： ∵y ＝x 2＋1，∴y ′＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0x ＋Δx2＋1－x 2＋Δx＝lim Δx →02x Δx ＋Δx 2Δx＝2x .设切点坐标为(t ，t 2＋1)，∵y ′＝2x ，∴切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝2t . 于是可得切线方程为y －(t 2＋1)＝2t (x －t )． 将(1，a )代入，得a －(t 2＋1)＝2t (1－t )， 即t 2－2t ＋a －1＝0.∵切线有两条，∴方程有两个不同的解．故Δ＝4－4(a －1)>0.∴a <2.故存在实数a ，使得经过点(1，a )能作出该曲线的两条切线，a 的取值范围是(－∞，2)．。