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高中数学人教A版必修第一册简单的三角恒等变换课件

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人教A版必修第一册5.5.2简单的三角恒等变换课件

人教A版必修第一册5.5.2简单的三角恒等变换课件

1
2
2
−
3
(1
6
− 2) =
1
2
2
3
+ 2
6

3
+ )− .
6
6
−
3
6
1
3
1
3
1
= ( 2 + 2) − = (2
3 2
2
6
3



5
由0 < < ，得 < 2 + < ，
3
6
6
6



1
3
3
所以当2 + = ，即 = 时， = − = .

又
2
<

2

∴
2

<


2
2
8
− ，且
17
1−
2
=−
=

2
=
1+
2

2
15
= −4.
1+17
2
=
3



，求 ， ， 的值；
2
2
2
2
3
15
，∴ = − .
2
17
<<
<<
3
，
4
=
��
8
，且
17
4 17
；
17
15
1 −

1 +

1 −
= ±
， = ±
， = ±
，

人教高中数学A必修一《三角恒等变换》三角函数PPT课件(第1课时两角差的余弦公式)

人教高中数学A必修一《三角恒等变换》三角函数PPT课件(第1课时两角差的余弦公式)

1．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝sin 16°，
＝( )
∴原式＝cos 76°cos 16°＋sin
A．
3 2
C．－
3 2
B．12 D．－12
76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60° ＝12.]
栏目导航
2．cos(－15°)的值是( )
A.
6－ 2
栏目导航
37
2．已知 α 为锐角，β 为第三象限 角，且 cos α＝1123，sin β＝－35，则 cos(α －β)的值为( )
A [∵α为锐角，cos α＝1123， ∴sin α＝ 1－cos2α＝153，
A．－6635
B．－6353
∵β为第三象限角，sin β＝－35，
C.6635
D.6353
12
栏目导航
③12cos
15°＋
3 2 sin
15°
＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°
＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝ 22.
13
栏目导航
14
1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值． (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构 形式，然后逆用公式求值． 2．两角差的余弦公式的结构特点： (1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦． (2)把所得的积相加．
系和公式 C(α－β)求 cos(α－β)． (2)由已知角π3＋α 与所求角 α 的关系即 α＝π3＋α－π3寻找解题思路．
栏目导航
19
(1)D [因为sin α－sin β＝1－ 23，

人教A版高中数学必修第一册5.5三角恒等变换课件

人教A版高中数学必修第一册5.5三角恒等变换课件

二、知识讲授
5.5.2 简单的三角恒等变换
二、知识讲授
二、知识讲授
二、知识讲授
二、知识讲授
？
你能说说这里的变形理 由吗？
二、知识讲授
二、知识讲授
二、知识讲授
Q
D
C
α
OA
BP
图 5.5-2
三角恒等 变换
C(α－β)
三、小结
S(α－β)
S2α
以－β 换 β
S(α＋β) C(α＋β)
以α 换β
二、知识讲授
探究 上面得到了两角和与差的余弦公式．我们知道，利诱导公式五（或六）可 以实现正弦、余弦的互化．你能根据 C(α＋β) ， C(α－β) 及诱导公式五（或六）， 推导出用任意角 α，β 的正弦、余弦表示 sin (α＋β) ，sin (α－β) 的公式吗 ？
二、知识讲授
二、知识讲授
C2α
两项 相除
T(α＋β)
以α 换β
T2α
以－β 换 β
T(α－β)
两项相除
四、练习
四、练习
四、练习
？思考
二、知识讲授
二、知识讲授
二、知识讲授
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 探究
你能利用 S(α±β) ， C(α±β) ， T(α±β) 推导出 sin 2α ，cos 2α，tan 2α 的公式吗？
二、知识讲授
如果要求二倍角的余弦公式（C2α）中仅含 α 的正弦（余弦），那么又 可得到：
AP＝A1P1 ； 根据两点间的距离公式，得
[cos(α-β)-1]2+sin2(α-β) =(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2， 化简得 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ．

5.5.2简单的三角恒等变换课件高一上学期数学人教A版

5.5.2简单的三角恒等变换课件高一上学期数学人教A版
6
解：y sin x cos x

6

3
1
cos x sin x
2
2
1
3
sin x
cos x
2
2


sin x

3

sin x
T 2


2. y cos 2 x 2 sin 2 x
3


2
解：y cos 2 x 2sin x
2
2
a
a b
a b
b
辅助角公式 : a sin x b cos x a b sin( x- ), tan
a
a
2
2
或 a b cos( x + ), tan
b
2
2
辅助角公式化简
b
辅助角公式 : a sin x b cos x a b sin( x ), tan
=
2
=
1-sin 2
2
1
2θ=9,则 sin
=
8
1-(-9)
2
=
8
2θ=-9 .
17
,故选 B.
18
考点三
角的变换
典例突破
π π
π 1
2
跟踪训练：(2) 已知α∈(-3 , 6),sin (2 + 6 )=5, 则 sin α=(
4 -3 3
A. 10
4+3 3
B. 10
2+ 3
C. 5
2- 3
sin x 3
3
2

数学人教A版(2019)必修第一册5.5.2简单的三角恒等变换(共50张ppt)

数学人教A版(2019)必修第一册5.5.2简单的三角恒等变换(共50张ppt)

索引
4.思考辨析 正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.
(1)sin 15°＝±
1－cos 30° 2 .(
×
)
(2)对于∀α∈R，sinα2＝12sin α 都不成立.( × )
(3)存在 x∈R，使得 cos α2＝21cos α.( √ )
(4)若 5π<θ<6π，cosθ2＝a，则 cosθ4＝
题 型
壹
必问 备题 知导 识学 探预 究习
教 材
索内 引容
一纸江南
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必 备知识探究
一、半角公式
1.问题 我们知道在倍角公式中，“倍角是相对的”，对余弦的二倍角公式，
思考下面问题：
解析 ∵π2<α<π，知π4<α2<π2，则 sin α2>0，∵sin2α2＝12(1－源自os α)＝45，∴sin
α2＝2
5 5.
索引
(2)已知 sin α＝ 55，cos α＝255，则 tanα2 ＝__5_－__2___.
解析
tan
α2＝sin
α 2α＝1－sincoαs α＝
5－2.
cos 2
题型一 利用半角公式求值
例 1 已知 sin α＝－54，π<α<32π，求 sin α2，cos α2，tan α2的值.
解 ∵π<α<32π，sin α＝－45，
∴cos α＝－35，且π2<α2<34π，
∴sin α2＝
1－cos 2
α＝2 5
5，

第1课时 简单的三角恒等变换 课件(共13张PPT) 高一数学人教A版(2019)必修第一册

第1课时 简单的三角恒等变换 课件(共13张PPT) 高一数学人教A版(2019)必修第一册

（2）cos α·sin β = [sin(α + β) – sin(α – β)]；
1
2
2
θ+φ
（3）cos α·cos β = [cos(α + β) + cos(α – β)]； （3）cos θ + cos φ = 2cos
1
2
（4）sin α·sin β = – [cos(α + β) – cos(α – β)].
，tan =±
2
2
2
2
1+ cos α
α
2
思考：若 = β，你能表示出 sin β ，cos β ，tan β 的半角公式吗？
学习目标
新课讲授
总结归纳
课堂总结
降幂与升幂公式
降幂公式
半角公式：
sin2β
1− cos 2β
1+ cos 2β
1− cos 2β
2
2
=
，cos β =
，tan β =
2
2
1+ cos 2β
θ+φ θ–φ
cos
.
思考：结合上述证明，你还能发现其他类似的式子吗？
2
2
学习目标
新课讲授
课堂总结
总结归纳
积化和差与和差化积公式
积化和差
和差化积
θ+φ
1
2
（1）sin θ + sin φ = 2sin
1
2
（2）sin θ – sin φ = 2cos
（1）sin α·cos β = [sin(α + β) + sin(α – β)]；
2

简单的三角恒等变换课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册

5.5.2 简单的三角恒等变换
复
两角和与差的正弦、余弦、正切公式： 二倍角公式：
习
cos cos cos sin sin
sin 2 2sin cos
回
cos cos cos sin sin
顾
sin sin cos cos sin
sin sin cos cos sin
思考：下列各式能否化简成比较简单的形式？
（1）sinx cosx; （2）sinx 3cosx; （3） 3sinx cosx;
(1) 原式
2(sin x 2 cos x 2 )
2
2
2(sin x cos cos x sin )
4
4
2 sin(x ) 4
(2) 原式 2(sin x 1 cos x 3 )
应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤
运用和、差、倍角公式化简 ↓
统一化成 f(x)＝asin ωx＋bcos ωx＋k 的形式 ↓
利用辅助角公式化为f（x）＝Asin（ωx＋φ） ＋k的形式，研究其性质
巩固练习 3．已知函数 f(x)＝2 3cos2x＋sin 2x－ 3＋1(x∈R)． (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)的单调递增区间； (3)若 x∈－π4，π4，求 f(x)的值域．
(2)由 2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2(k∈Z)， 得 2kπ－56π≤2x≤2kπ＋π6(k∈Z)， ∴kπ－51π2≤x≤kπ＋1π2(k∈Z)． ∴函数 f(x)的单调递增区间为kπ－51π2，kπ＋1π2(k∈Z)．
巩固练习 3．已知函数 f(x)＝2 3cos2x＋sin 2x－ 3＋1(x∈R)． (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)的单调递增区间； (3)若 x∈－π4，π4，求 f(x)的值域．

高中数学(新人教A版)必修第一册：简单的三角恒等变换【精品课件】


要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表
回答问题。
知识清单
1．半角公式
2.辅助角公式
asin x＋bcos x＝
a2＋b2sin(x＋θ)
b
(其中 tan θ＝a)．
小试牛刀
α
1．已知 180°＜α＜360°，则 cos 的值等于(
2
A．－
1－cos α
2
1＋cos α
2
B．




θ
又 cos2＝a，
θ
∴sin4＝－
答案：D
θ
1－cos
2
2 ＝－
1－a
2 .
解题方法（利用半角公式化简求值）
1．化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等
手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦
解:在 Rt△OBC中, OB=cos, BC=sin
DA
在Rt△OAD中,
tan 60 3
OA
3
3
3
DA
BC
sin
3
3
3
3
AB OB OA cos
sin
3
设矩形ABCD的面积为S,则
OA


3
S AB • BC cos sin sin
将①②两个等式的左右两边分别相除，得2 =
例 7 的结果还可以表示为
1－cos α
α ±
2
sin ＝__________________，

简单的三角恒等变换课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册

2
= 20.
11
1−tan2 θ
1+tan2 θ
. ∴ tanθ = ±2 .
π
6
=
11
20
，
反思感悟
方法总结
积化和差、和差化积公式应用时的注意事项:
(1)关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊
角的三角函数.
(2)根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑：
①运用公式之后，能否出现特殊角；
sin x
= 右边，
=
1+cos x
.
sin x
随堂检测
1
5
1. 已知 cosα = ， α ∈
10
5
A.
3π
, 2π
2
B. −
10
5
α
2
，则 sin 等于(
C.
A ).
2 6
5
D.
2 5
5
2. sin 75∘ − sin 15∘ 的值为( B ).
A.
3.
1
B.
2
1
sin 40∘
cos 80∘
+
2
新知运用
跟踪训练1 求下列各式的值：
π
23 π
θ
(1)sin ；
(2) 已知cos 2θ = − ， < θ < π，求tan 的值.
8
25
【解析】(1)
π
sin
8
(2) 因为 cos 2θ =
cosθ = −
所以
θ
tan
2
π
=
2
23
−
25

人教A版高中数学必修第一册精品课件 第5章 三角函数 5.5.2 简单的三角恒等变换

区间是(
)
A. -,-

B. -


C. - ,
解析:f(x)=2




,-

D. - ,








=2sin - ,
令 2kπ-≤x-≤2kπ+,k∈Z,



得 2kπ-≤x≤2kπ+ ,k∈Z.又 x∈[-π,0],∴x∈ - , .

【例 3】 已知函数 f(x)= sin -
+2sin2

- (x∈R).求:
(1)函数 f(x)的最小正周期;
(2)使函数 f(x)取得最大值的 x 的取值集合.
分析:先利用辅助角公式将f(x)化为一个角的三角函数,再根
据三角函数的性质求解.
解:(1)∵f(x)= sin = sin =2
函数的性质.
【变式训练 3】 已知函数 f(x)=cos



+

·
cos


-
,

g(x)=sin 2x-.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使h(x)取得最大值时x
的取值集合.
解:(1)∵f(x)=


2
2


+
=cos x-sin x=




−


+

(-)





=cos 2x-,
∴f(x)的最小正周期为 T= =π.
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二、知识梳理
思考5：一般地， asin x+bcos x可合成为一个什么形式的三角函数？
a sin x bcos x a2 b2 sin( x ) 其中 tan b
a
高中数学人教A版(必20修19第)必一修册第简一单册的5三. 5角.2恒等简变单换的课三件角恒等变换第2课时 课件
左边是积右边是和差，从左到右积化和差.
高中数学人教A版必修第一册简单的三 角恒等 变换课 件
高中数学人教A版必修第一册简单的三 角恒等 变换课 件
二、知识梳理
思考4 令α+β＝θ， α－β＝φ，并交换等式两边的式子可得什么
结论？
sin
sin
2sin
cos
2
2
sin
sin
2cosΒιβλιοθήκη sin22
思考5：这两个等式左右两边的结构有什么特点？从左到右的变 换功能是什么？
sin(20°+30°)=sin50°
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思考2：
1 sin 20 2
3 cos 20 , 2
1 cos 20 2
3 sin 20 2
可分别合成为哪个三角函数？
sin(20°-60°)
sin(30°-20°)
一、问题提出
sin2α＝2sin αcos α
cos2α＝cos2α－sin2α ＝2cos2α－1 ＝1－2sin2α；
tan 2
2 tan 1 tan2
高中数学人教A版必修第一册简单的三 角恒等 变换课 件
高中数学人教A版必修第一册简单的三 角恒等 变换课 件
一、问题提出
2. 三角函数公式是三角变换的理论依据，基本的三角公式包括 同角关系公式，诱导公式，和差公式和二倍角公式等.有了这些 公式，使得三角变换的内容、思路、方法丰富多彩，奥妙无穷， 并为培养我们的推理、运算能力提供了很好的平台.在实际应用 中，我们不仅要掌握公式的正向和逆向运用，还要了解公式的 变式运用，做到活用公式，用活公式.
简单的三角恒等变换
第2课时
一、问题提出
1. 两角和与差及二倍角的三角函数公式分别是什么？ sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β
tan(
)
tan tan 1 tan tan
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一、问题提出
3. 代数式变换与三角变换的区别在于：代数式变换主要是对代 数式的结构形式进行变换；三角变换一般先寻找三角式包含的 各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公 式进行变换，其中有两个变换原理是需要我们了解的.
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二、知识梳理
思考3：sin x cos x，cos x 3 sin x 可分别合成为哪个三角函数？
sin x cos x 2 sin( x π ) 4
cos x 3 sin x 2sin( x π ) 6
思考4： 3 sin( x π ) cos( x π ) 可合成为哪个三角函数？
3
3
2sin[( x π ) π] 36
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两个角的函数同名
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二、知识梳理
探究（二）：同角和差合成原理
思考1：sin20°cos30°＋cos20°sin30°可合成为哪个三角函数？
高中数学人教A版必修第一册简单的三 角恒等 变换课 件
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二、知识梳理
思考3：由上述分析可知
sin cos 1 sin( ) sin( )
2
cos sin 1 sin( ) sin( )
2
这两个等式左右两边的结构有什么特点？从左到右的变换功能 是什么？
2
2
cos
cos
2sin
sin
2
2
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二、知识梳理
思考8：上述关系表明，两个不同的三角函数的和（差）与积是 可以相互转化的，但转化是有条件的，其中和差化积的转化条 件是什么？
2
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二、知识梳理
思考7：cos θ＋cos φ，cos θ－cos φ分别等于什么？其变换功能 如何？
cos cos 2cos cos
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二、知识梳理
探究（一）：异角和积互化原理
思考1：对于sin αcos β和cos αsin β，二者相加、相减分别等于什 么？
思考2：记sin αcos β＝x，cos αsin β＝y，利用什么数学思想可求 出x、y？
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二、知识梳理
思考6：参照上述分析，cos αcos β，sin αsin β分别等于什么？ 其变换功能如何？
cos cos 1 cos( ) cos( )
2
sin sin 1 cos( ) cos( )