8同心圆

绘就同心圆排比句1. 绘就同心圆，就像蜜蜂共同筑造蜂巢，每一只蜜蜂都尽心尽力，蜂巢才坚固无比。

你看那班级里的同学们，为了共同的荣誉，有人出谋划策，有人奋勇拼搏，这不就是在绘就班级的同心圆吗？2. 绘就同心圆，宛如众星拱月般和谐，每颗星都有自己的光芒，却又都朝着月亮的方向。

就像社区里的居民们，有人擅长文艺表演，有人热衷公益活动，大家各展所长，为的就是让社区这个大家庭更加美好，这就是在绘就社区的同心圆。

3. 绘就同心圆，好似大雁南飞排成行，每只大雁都遵循着群体的秩序。

在公司里，员工们有的负责研发，有的负责销售，各司其职又相互配合，难道这不就是在绘就企业的同心圆吗？4. 绘就同心圆，仿佛树根紧紧相拥于地下，每一条根须都在为大树的茁壮成长努力。

家庭中的成员也是如此，父母辛勤工作，孩子努力学习，大家都朝着家庭幸福的目标前进，这就是家庭的同心圆啊。

5. 绘就同心圆，犹如雨滴汇聚成江河，每一滴雨都不可或缺。

在志愿者团队里，有人负责组织，有人负责执行，大家齐心协力，就像雨滴汇聚一样，这就是在绘就志愿者团队的同心圆。

6. 绘就同心圆，正像沙粒堆积成沙丘，每一粒沙都发挥着作用。

在运动团队里，队员们有的擅长进攻，有的擅长防守，团结起来就能赢得比赛，这难道不是在绘就运动团队的同心圆吗？7. 绘就同心圆，仿若花瓣簇拥成花朵，每一片花瓣都增色添彩。

在艺术团队里，有擅长绘画的，有擅长音乐的，大家相互融合，创造出美妙的艺术作品，这便是在绘就艺术团队的同心圆。

8. 绘就同心圆，就如音符组合成乐章，每个音符都有独特意义。

在学校的社团里，成员们各有各的想法和才华，大家把这些融合起来，就像音符组成乐章一样，这不就是在绘就社团的同心圆吗？9. 绘就同心圆，宛如石子铺就成小路，每一颗石子都站稳脚跟。

在一个兴趣小组里，大家来自不同的背景，但都为了共同的兴趣爱好而努力，这就如同石子铺成小路，是在绘就兴趣小组的同心圆。

10. 绘就同心圆，好似枝叶交织成树冠，每一片枝叶都共享阳光。

8 奇妙的同心圆（教案）2023-2024学年美术一年级上册一、教学内容本课以同心圆为主题，引导学生了解同心圆的概念，观察同心圆在生活中的应用，通过绘制同心圆，培养学生的观察能力、动手能力和创造力。

同时，让学生体验美术创作的乐趣，提高审美情趣。

二、教学目标1. 知识与技能：认识同心圆，了解同心圆的特点和应用；学会用绘画工具绘制同心圆。

2. 过程与方法：通过观察、讨论、实践，培养学生的观察能力、动手能力和创造力。

3. 情感态度价值观：激发学生对美术创作的兴趣，提高审美情趣。

三、教学难点1. 同心圆的概念及特点的讲解。

2. 绘制同心圆的技巧和方法。

3. 学生创新思维和动手能力的培养。

四、教具学具准备1. 教具：PPT课件、视频、实物展示。

2. 学具：彩色铅笔、水彩笔、圆规、纸张。

五、教学过程1. 导入1.1 老师出示一些生活中的同心圆图片，如靶心、音乐CD、自行车轮胎等，引导学生观察并说出它们的共同特点。

1.2 学生分享观察到的同心圆特点，老师总结并引出本课主题——奇妙的同心圆。

2. 新课内容2.1 老师讲解同心圆的概念，展示同心圆的特点和应用实例。

2.2 学生跟随老师一起绘制同心圆，学习绘制技巧和方法。

3. 实践环节3.1 学生分组，每组设计一个同心圆作品。

3.2 学生在规定时间内完成作品，老师巡回指导。

4. 展示与评价4.1 各小组展示作品，其他同学进行评价。

4.2 老师对每组作品进行点评，给予鼓励和建议。

5. 总结与拓展5.1 老师对本节课的内容进行总结，强调同心圆的特点和绘制技巧。

5.2 学生分享在绘制过程中的收获和感悟。

六、板书设计板书设计要突出本节课的重点，包括同心圆的概念、特点、绘制方法和实例展示。

七、作业设计1. 绘制一幅以同心圆为主题的美术作品。

2. 收集生活中的同心圆实例，与同学分享。

八、课后反思本节课通过讲解、实践、展示和评价等环节，让学生掌握了同心圆的概念、特点和应用，培养了学生的观察能力、动手能力和创造力。

圆环知识点总结1. 圆环的定义圆环是由两个同心圆组成的图形，即内圆和外圆。

内圆的半径记为r1，外圆的半径记为r2。

内圆和外圆的圆心是重合的，称为同心圆。

圆环的面积等于外圆的面积减去内圆的面积，即S=π(r2^2-r1^2)。

圆环的周长等于外圆的周长减去内圆的周长，即C=2πr2-2πr1。

2. 圆环的性质（1）同心圆性质：同心圆的内圆和外圆的圆心重合，在同一直线上。

（2）半径性质：同心圆的半径平行且相等。

（3）面积性质：圆环的面积等于外圆的面积减去内圆的面积。

（4）周长性质：圆环的周长等于外圆的周长减去内圆的周长。

3. 圆环的应用（1）工程领域：圆环的设计和制造广泛应用于机械、汽车、航天等领域。

例如，汽车轮胎就是一个典型的圆环结构，起着减震、支撑、传动等作用。

（2）建筑领域：圆环的结构设计在建筑中也有着广泛的应用。

例如，拱形结构的建筑在古代就有着丰富的应用，如悬索桥、穹顶等都是基于圆环原理设计的。

（3）数学模型：圆环在数学中有着重要的地位，它是许多数学问题的基础模型，如椭圆、抛物线等都可以视为特殊的圆环模型。

（4）天文领域：天文学中的轨道运动也可以用圆环来描述，如行星绕着太阳的轨道、卫星绕着行星的轨道都可以近似看作圆环。

4. 圆环的相关定理（1）同心圆定理：如果两个圆是同心圆，那么它们的半径相等。

（2）圆环面积定理：圆环的面积等于外圆的面积减去内圆的面积。

（3）圆环周长定理：圆环的周长等于外圆的周长减去内圆的周长。

（4）圆环切线定理：圆环的切线是两个同心圆之间的切线，切线的长等于两同心圆半径的差。

5. 圆环的计算方法（1）计算面积：圆环的面积等于外圆的面积减去内圆的面积，可以通过公式S=π(r2^2-r1^2)进行计算。

（2）计算周长：圆环的周长等于外圆的周长减去内圆的周长，可以通过公式C=2πr2-2πr1进行计算。

（3）计算内外圆的半径：可以直接给定内外圆的半径，也可以通过已知的面积或周长来求得。

民族团结共画同心圆心得1. 民族团结就像一幅绚丽的拼图，每一块都不可或缺！想想看，我们各族人民不就像拼图的各个板块吗？大家紧密相连，共同构成了美丽的画面。

只有我们齐心协力，才能让这幅拼图更加完整、耀眼。

2. 民族团结是那温暖的阳光，照耀着我们每一个人！就如同家人之间的相互扶持，我们不同民族之间也应如此。

比如在困难时刻，大家相互帮助，这不就是民族团结的最好体现吗？3. 民族团结呀，那可是我们前行的强大动力！可以把它类比成一艘大船，各民族就是船上的水手，只有一起用力划桨，船才能飞速前进。

我们一起为了共同的目标努力，多棒啊！4. 民族团结不就是那坚固的桥梁吗？它连接着我们彼此的心！像不同民族的朋友一起庆祝节日，欢声笑语中，这座桥就更加稳固了。

我们难道不应该好好珍惜和维护吗？5. 民族团结像是一首激昂的乐章，每个民族的特色都是其中美妙的音符！当大家一起奏响时，那是多么震撼人心。

就像我们一起载歌载舞的时候，多么欢乐！6. 民族团结是那片广阔的天空，包容着我们所有人！好比不同民族的文化在这片天空下绽放光彩。

我们相互欣赏、学习，不是能让天空更加多彩吗？7. 民族团结就是我们的根，让我们稳稳地站立！想想如果没有各民族的团结，我们会变成什么样呢？所以我们要像爱护生命一样爱护民族团结呀！8. 民族团结仿佛是那明亮的灯塔，为我们指引方向！就像在迷茫时，不同民族的伙伴互相鼓励。

难道这不是我们前进道路上最宝贵的财富吗？9. 民族团结是那股温暖的春风，吹走阴霾，带来希望！我们不同民族之间的友谊不就像春风一样温暖吗？一起创造美好的未来，不好吗？10. 民族团结就是我们的力量源泉，没有什么可以阻挡我们团结在一起的步伐！看看身边各民族共同奋斗的身影，这不就是最好的证明吗？团结起来，我们能战胜一切！我的观点结论：民族团结至关重要，我们每个人都要积极参与其中，让我们共画同心圆，携手走向更美好的未来！。

八、圆1．如图，已知直线P A交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠P AE，过C作CD⊥P A，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC＋DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长度．2．已知△ABC内接于⊙O，BT与⊙O相切于点B，点P在直线AB上，过点P作BC的平行线交直线BT于点E，交直线AC于点F．（1）如图，当点P在线段AB上时，求证：P A·PB＝PE·PF；（2）当点P在BA延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若AB＝42，cos∠EBA＝13，求⊙O的半径．3．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝7．（1）求sin A和sin C的值；（2）若⊙D的圆心D在边AC上，且⊙D与边AB、BC都相切，求⊙D的半径．4．如图，两个同心圆的圆心为O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径．大圆的弦AB、BE分别与小圆相切于点C、F．AD与BE相交于点G，连接BD．（1）求BD的长；（3）求BGAG的值．C5．梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝8，∠ABC ＝90°，以AB 为直径的⊙O 切CD 于点E ． （1）如图1，设AD ＝x ，BC ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式； （2）如图2，BE 的延长线交AD 的延长线于点F ，求证：AD ＝12AF ； （3）如图3，若AD ＝2，BC ＝8，动点P 以每秒1个单位长的速度，从点B 沿线段BC 向点C 运动；同时动点Q 以相同的速度，从点D 沿折线D －A －B 向点B 运动．当点P 到达点C 时，两点同时停止运动．过点P 作直线PM ⊥BC 与折线B －D －C 的交于点M ．设点P 运动的时间为t （秒）．点P 在线段BC 上运动时，是否可以使得以D 、M 、Q 为顶点的三角形为直角三角形？若可以，请求出t 的值；若不可以，请说明理由．6．已知：在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，⊙A 与⊙B 外切于点D ，并分别与BC 、AC 边交于点E 、F ． （1）设EC ＝x ，FC ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）若以E 、F、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求 ADBD的值； （3）若⊙C 与⊙A 、⊙B 都相切，求ADBD的值．7．如图，已知∠ABC ＝90º，AB ＝BC ，直线l 与以BC 为直径的⊙O 相切于点C ，点F 是⊙O 上异于B 、C 的动点，直线BF 与l 相交于点E ，过点F 作AF 的垂线交直线BC 于点D ．（1）如果BE ＝15，CE ＝9，求EF 的长； （2）证明：①△CDF ∽△BAF ；②CD ＝CE ；BC ＝3（3）探求动点F 在什么位置时，相应的点D 位于线段BC 的延长线上，且使CD ，请说明你的理由．8．如图，第一象限内半径为2的⊙C 与y 轴相切于点A ，作直径AD ，过点D 作⊙C 的切线l 交x 轴于点B ，P 为直线l 上一动点，已知直线P A 的解析式为：y ＝kx ＋3．（1）设点P 的纵坐标为p ，写出p 随k 变化的函数关系式；（2）设⊙C 与P A 交于点M ，与AB 交于点N ，则不论动点P 处于直线l 上（除点B 以外）的什么位置时，都有△AMN ∽△ABP ．请你对于点P 处于图中位置．．．．时的两三角形相似给予证明； （3）是否存在使△AMN 的面积等于3225的k 值？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由．图3 El 图2 图1 A BCD EF9．已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点G ，E 是直线AB 上一动点（不与点A 、B 、O 、G 重合），直线DE 交⊙O 于点F ，直线CF 交直线AB 于点P ．设⊙O 的半径为r ．（1）如图1，当点E 在直径AB 上时，试证明：OE ·OP ＝r2；（2）当点E 在AB （或BA ）的延长线上时，以图2点E 的位置为例，（1）中的结论是否成立？请说明理由．10．已知：△ABC 是边长为4的等边三角形，点O 在边AB 上，⊙O 过点B 且分别与边AB ，BC 相交于点D ，E ，EF ⊥AC ，垂足为F ．（1）求证：直线EF 是⊙O 的切线；（2）当直线DF 与⊙O 相切时，求⊙O 的半径．11．如图，AB 是⊙O 的直径，弦DE 垂直平分半径OA ，C 为垂足，DE ＝3，连接DB ，过点E 作EM ∥BD ，交BA 的延长线于点M ．（1）求⊙O 的半径；（2）求证：EM 是⊙O 的切线；（3）若弦DF 与直径AB 相交于点P ，当∠APD ＝45º时，求图中阴影部分的面积．12．如图，AB 是半圆O 的直径，AB ＝2，射线AM 、BN 为半圆O 的切线．在AM 上取一点D ，连接BD 交半圆于点C ，连接AC ．过O 点作BC 的垂线OE ，垂足为点E ，与BN 相交于点F ．过D 点作半圆O 的切线DP ，切点为P ，与BN 相交于点Q ．（1）求证：△ABC ∽△OFB ；（2）当△ABD 与△BFO 的面枳相等时，求BQ 的长； （3）求证：当D 在AM 上移动时（A 点除外），点Q 始终是线段BF 的中点．（图1）（图2）13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，P 为BC 的中点．动点Q 从点P 出发，沿射线PC 方向以2cm /s 的速度运动，以P 为圆心，PQ 长为半径作圆．设点Q 运动的时间为t s ． （1）当t ＝1.2时，判断直线AB 与⊙P 的位置关系，并说明理由；（2）已知⊙O 为△ABC 的外接圆，若⊙P 与⊙O 相切，求t 的值．14．如图，已知AB 是⊙O 的弦，OB ＝2，∠B ＝30°，C 是弦AB 上的任意一点（不与点A 、B 重合），连接CO 并延长CO 交⊙O 于点D ，连接AD ．（1）弦长AB 等于___________（结果保留根号）； （2）当∠D ＝20°时，求∠BOD 的度数；（3）当AC 的长度为多少时，以A 、C 、D 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似？请写出解答过程．15．如图，四边形ABCD 为正方形，⊙O过正方形的顶点A 和对角线的交点M ，分别交AB 、AD 于点F 、E ． （1）求证：DE ＝AF ；（2）若⊙O 的半径为 32，AB＝2＋1，求AEED的值．16．如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD 的边BC 为大圆的弦，边AD 与小圆相切于点M ，OM 的延长线与BC 相交于点N ．（1）点N 是线段BC 的中点吗？为什么？（2）若圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm ，AB ＝5cm ，BC ＝10cm ，求小圆的半径．A OBCDC D17．如图，AB 是⊙O 的直径，AT 是经过点A 的切线，弦CD 垂直AB 于P 点，Q 为线段CP 的中点，连接BQ 并延长交切线AT 于T 点，连接OT ．（1）求证：BC ∥OT ；（2）若⊙O 直径为10，CD ＝8，求AT 的长；（3）延长TO 交直线CD 于R ，若⊙O 直径为10，CD ＝8，求TR 的长．18．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，D 是AC 的中点，⊙O 经过A 、D 、B 三点，CB 的延长线交⊙O 于点E ，过点E 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点F ．（1）求证：AE ＝CE ；（2）若CF ＝CD ＝2，求⊙O 的半径和sin ∠CAB 的值；（3）若CF ＝k ·CD （k ＞0），直接写出sin ∠CAB 的值（用含k 的代数式表示）．19．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，点P 是AC 上的动点（P 不与A 、C 重合），PQ ⊥AB ，垂足为Q ．设PC ＝x ，PQ ＝y ．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）求△ABC 内切圆I 的半径，并探求x 为何值时，直线PQ 与内切圆I 相切？（3）若0＜x ＜1，试判断以P 为圆心，半径为y 的圆与⊙I 能否相内切，若能，求出相应的x 的值，若不能，请说明理由．20．如图1，⊙O 中AB 是直径，C 是⊙O 上一点，∠ABC ＝45°，等腰直角三角形DCE 中∠DCE 是直角，点D 在线段AC 上．（1）证明：B 、C 、E 三点共线；（2）若M 是线段BE 的中点，N 是线段AD 的中点，证明：MN ＝2OM ； （3）将△DCE 绕点C 逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D 1CE 1（如图2），若M 1是线段BE 1的中点，N 1是线段BEAD 1的中点，M 1N 1＝2OM 1是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．21．如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝4，过点B 作⊙O 的切线，C 是切线上一点，且BC ＝2，P 是线段OA 上一动点，连结PC 交⊙O 于点D ，过点P 作PC 的垂线，交切线BC 于点E ，交⊙O 于点F ，连结DF 交AB 于点G ． （1）当P 是OA 的中点时，求PE 的长；（2）若∠PDF ＝∠E ，求△PDF 的面积．22．如图，△ABC 内接于⊙O ，直径DE ⊥BC ，交AB 于点F ，ED 、CA 的延长线相交于点G ． （1）求证：∠OBF ＝∠G ；（2）若OF ＝1，GF ＝3，求⊙O 的半径；（3）当BEC ︵是什么类型的弧时，△AFG 的外心在△AFG 的外部、内部、一边上？说明理由．23．如图1，已知在⊙O 中，点C 为劣弧AB 的中点，连接AC 并延长至D ，使CD ＝CA ，连接DB 并延长交⊙O 于点E ，连接AE ．（1）求证：AE 是⊙O 的直径；（2）如图2，连接EC ，⊙O 半径为5，AC 的长为4，求阴影部分的面积之和．图21图1A24．已知：如图，锐角△ABC 内接于⊙O ，∠ABC ＝45°；点D 是BC ︵上一点，过点D 的切线DE 交AC 的延长线于点E ，且DE ∥BC ；连结AD 、BD 、BE ，AD 的垂线AF 与DC 的延长线交于点F ． （1）求证：△ABD ∽△ADE ；（2）记△DAF 、△BAE 的面积分别为S △DAF、S △BAE，求证：S △DAF＞S △BAE．25．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为2，大圆的弦AB 与小圆交于点C 、D ，且AB ＝3CD ，且∠COD ＝60°．（1）求大圆的半径；（2）若大圆的弦AE 与小圆切于点F ，求AE 的长．26．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，BE 平分∠ABC 交AD 于点E ， F 是边AB 上一点，以BF 为直径的⊙O 经过点E ．（1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）若BC ＝4，cos C ＝13，求⊙O 的半径．27．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点P 为BA 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，BD ⊥PC ，垂足为D ，交⊙O 于E ，连接AC 、BC 、EC ．（1）求证：BC 2＝BD ·BA ；（2）若AC ＝6，DE ＝4，求PC 的长．FA BB28．如图，⊙P 与y 轴相切于坐标原点O （0，0），与x 轴相交于点A （5，0），过点A 的直线AB 与y 轴的正半轴交于点B ，与⊙P 交于点C ．（1）若AC ＝3，求点B 的坐标；（2）若AC ＝a ，D 是OB 的中点．问：O 、P 、C 、D 四点是否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为O 1，函数y ＝kx的图象经过点O 1，求k 的值（用含a 的代数式表示）．29．己知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CBA 的平分线交AC 于点F ，交⊙O 于点D ，DF ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连结AD ．（1）求证：∠DAC ＝∠DBA ；（2）求证：P 是线段AF 的中点；（3）若⊙O 的半径为5，AF ＝15 2，求tan ∠ABF 的值．30．如图，已知CD 是⊙O 的直径，AC ⊥CD ，垂足为C ，弦DE ∥OA ，直线AE 、CD 相交于点B ． （1）求证：直线AB 是⊙O 的切线；（2）如果AC ＝1，BE ＝2，求tan ∠OAC 的值．31．如图，在锐角△ABC 中，AC 是最短边，以AC 中点O 为圆心，12AC 长为半径作⊙O ，交BC 于E ，过O 作OD∥BC 交⊙O 于D ，连结AE 、AD 、DC ． （1）求证：D 是AE ︵的中点；（2）求证：∠DAO ＝∠B ＋∠BAD ； （3）若 S △CEFS △OCD＝12，且AC ＝4，求CF 的长.B32．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作EF ⊥AC 于点E ，交AB 的延长线于点F ． （1）求证：EF 是⊙O 的切线； （2）如果∠A ＝60º，则DE 与DF 有何数量关系？请说明理由；（3）如果AB ＝5，BC ＝6，求tan ∠BAC 的值．33．已知AB 为⊙O 直径，以OA 为直径作⊙M ，过点B 作⊙M 的切线BC ，切点为C ，交⊙O 于E ．（1）在图中1过点B 作⊙M 的另一条切线BD ，切点为D （用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不用证明）； （2）证明：∠EAC ＝∠OCB ；（3）若AB ＝4，在图2中过O 作OP ⊥AB 交⊙O 于P ，交⊙M 的切线BD 于N ，求BN 的值．34．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，切点为C ．延长AB 交CD 于点E ．连接AC ，作∠DAC ＝∠ACD ，作AF ⊥ED 于点F ，交⊙O 于点G ． （1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）如果⊙O 的半径是6cm ，EC ＝8cm ，求GF 的长．35．如图所示，在以O 为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，AB 与小圆相切于点A ，与大圆相交于点B ，大圆的弦BC ⊥AB 于点B ，过点C 作大圆的切线CD 交AB 的延长线于点D ，连接OC 交小圆于点E ，连接BE 、BO ． （1）求证：△AOB ∽△BDC ；（2）设大圆的半径为x ，CD 的长为y ． ①求y 与x 之间的函数关系式；②当BE 与小圆相切时，求x 的值．36．如图1，∠ABC ＝90°，AB ＝2，点D 为BC 边上的一个动点，连接AD ，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，过点EB图1B图2作EF ⊥BC 于F ． （1）当BD ＝233时，判断直线EF 与以AD 为直径的⊙O 的位置关系，并加以证明； （2）如图2，点D 在BC 上向点B 运动，直线EF 与以AD 为直径的⊙O 交于E 、G 两点，连接AG ，当∠EAG ＝∠DAE 时，求BD 的长．37．如图，在边长为8的正方形ABCD 中，点O 为AD 上一动点（4＜OA ＜8），以O 为圆心，OA 的长为半径的⊙O 交边CD 于点E ，连接OE ，过点E 作⊙O 的切线交边BC 于点F ． （1）求证：△ODE ∽△ECF ；（2）设DE ＝x ，求OA 的长（用含x 的代数式表示）；（3）在点O 运动的过程中，设△CEF 的周长为p ，试用含x 的代数式表示p ，你能发现怎样的结论？38．如图，有一直径MN ＝4的半圆形纸片，其圆心为点P ，从初始位置Ⅰ开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中，位置Ⅰ中的MN 平行于数轴，且半⊙P 与数轴相切于原点O ；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN 垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN 在数轴上；位置Ⅴ中的点N 到数轴的距离为3，且半⊙P 与数轴相切于点A ． 解答下列问题：（1）位置Ⅰ中的MN 与数轴之间的距离为___________；位置Ⅱ中的半⊙P 与数轴的位置关系是___________； （2）求位置Ⅲ中的圆心P 在数轴上表示的数；（3）求半⊙P 从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，点N 所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积； （4）求OA 的长． [（2），（3），（4）中的结果保留π]39．已知点P 在线段AB 上，点O 在线段AB 的延长线上，以点O 为圆心，OP 为半径作⊙O ，点C 是⊙O 上的一点．图2ADBEF C图1（1）如图，如果AP ＝2PB ，PB ＝BO ，求证：△CAO ∽△BCO ；（2）如果AP ＝m （m 是常数且m ＞1），BP ＝1，且OP 2＝OA ·OB ．当点C 在⊙O 上运动时，求AC :BC 的值（结果用含m 的式子表示）；（3）在（2）的条件下，讨论以BC 为半径的⊙B 和以CA 为半径的⊙C 的位置关系，并写出相应的m 取值范围．40．已知，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8，点C 在⊙O 的半径OA 上运动，PC ⊥AB ，垂足为C ，PC ＝5，PT 为⊙O 的切线，切点为T ．（1）如图1，当C 点运动到O 点时，求PT 的长；（2）如图2，当C 点运动到A 点时，连接PO 、BT ，求证：PO ∥BT ；（3）如图3，设PT 2＝y ，AC ＝x ，求y 与x 的函数关系式及y 的最小值．41．已知△ABC ，分别以AC 和BC 为直径作半圆O 1、O 2，P 是AB 的中点．（1）如图1，若△ABC 是等腰三角形，且AC ＝BC ，在AC ︵、BC ︵上分别取点E 、F ，使∠AO 1E ＝∠BO 2F ，则有结论：①△PO 1E ≌△FO 2P ，②四边形PO 1CO 2是菱形．请给出结论②的证明；（2）如图2，若（1）中△ABC 是任意三角形，其它条件不变，则（1）中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明； （3）如图3，若PC 是⊙O 1的切线，求证：AB 2＝BC 2＋3AC 2．42．在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝2，以CD 为直径作⊙O 1，交BC 于点E ，过点E 作EF ⊥AB 于F ，建立如图1所示的平面直角坐标系，已知A ，B 两点的坐标分别为A （0，23），B （－2，0）． （1）求C ，D 两点的坐标；图1B (C 图2 B图3 O 1 A B CP F E O 2 图1 O 1 ABC P F EO 2 图2 O 1ABC PO 2图3（2）求证：EF 为⊙O 1的切线；（3）探究：如图2，线段CD 上是否存在点P ，使得线段PC 的长度与P 点到y 轴的距离相等？如果存在，请找出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由．43．如图，P A 为⊙O 的切线，A 为切点，过A 作OP 的垂线AB ，垂足为点C ，交⊙O 于点B ，延长BO 与⊙O 交于点D ，与P A 的延长线交于点E ．（1）求证：PB 为⊙O 的切线； （2）若tan ∠ABE ＝12，求sin E 的值．44．如图，在圆内接四边形ABCD 中，CD 为∠BCA 的外角的平分线，F 为弧AD ︵上一点，BC ＝AF ，延长DF 与BA的延长线交于E ． （1）求证：△ABD 为等腰三角形；（2）求证：AC ·AF ＝DF ·FE ．45．已知⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，点O 1在⊙O 2上，C 为⊙O 2上一点（不与A ，B ，O 1重合），直线CB 与⊙O 1交于另一点D ．（1）如图1，若AC 是⊙O 2的直径，求证：AC ＝CD ； （2）如图2，若C 是⊙O 1外一点，求证：O 1C 丄AD ；（3）如图3，若C 是⊙O 1内的一点，判断（2）中的结论是否成立．46．如图1，Rt △ABC 两直角边的边长为AC ＝1，BC ＝2．图1 图2 A B CE F DM图1图2图3（1）如图2，⊙O 与Rt △ABC 的边AB 相切于点X ，与边CB 相切于点Y ．请你在图2中作出并标明⊙O 的圆心O ；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）P 是这个Rt △AB C 上和其内部的动点，以P 为圆心的⊙P 与Rt △ABC 的两条边相切．设⊙P 的面积为S ，你认为能否确定S 的最大值？若能，请你求出S 的最大值；若不能，请你说明不能确定S 的最大值的理由．47．如图，AD 是△ABC 的边BC 上的高，AE 是△ABC 外接圆O 的直径，EF ⊥BC 于点F ． （1）求证：BF=CD ；（2）若CD ＝1，AD ＝3，BD ＝6，求⊙O 的直径．48．如图，线段AD ＝5，⊙A 的半径为1，C 为⊙A 上一动点，CD 的垂直平分线分别交CD ，AD 于点E ，B ，连接BC ，AC ，构成△ABC ，设AB ＝x ． （1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，则x ＝____________； （3）设△ABC 的面积的平方为W ，求W 的最大值．49．已知：如图，以矩形ABCD 的对角线AC 的中点O 为圆心、OA 长为半径作⊙O ，⊙O 经过B 、D 两点，过点B 作BK ⊥AC ，垂足为K ，过点D 作DH ∥KB ，DH 分别与AC 、AB 、⊙O 及CB 的延长线相交于点E 、F 、G 、H ． （1）求证：AE ＝CK ；（2）如果AB ＝a ，AD ＝13a （a 为大于零的常数），求BK 的长；（3）若F 是EG 的中点，且DE ＝6，求⊙O 的半径和GH 的长．50．如图（1），在平面直角坐标系中，⊙O ′是以点O ′（2，－2）为圆心，半径为2的圆，⊙O ″是以点O ″（0，4）为圆心，半径为2的圆．（1）将⊙O ′竖直向上平移2个单位，得到⊙O 1，将⊙O ″水平向左平移1个单位，得到⊙O 2（如图2），分别求出⊙O 1和⊙O 2的圆心坐标；（2）两圆平移后，⊙O 2与y 轴交于A 、B 两点，过点A 、B 分别作⊙O 2的切线，交x 轴与C 、D 两点，求△O 2AC 和△O 2BD 的面积．A B C 图1 A B C X Y 图2 E51．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝90︒，以AD 为直径的半圆O 与BC 相切． （1）求证：OB ⊥OC ；（2）若AD ＝12，∠BCD ＝60︒，⊙O 1与半⊙O 外切，并与BC 、CD 相切，求⊙O 1的面积．52．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点A ，AD 是⊙O 的弦，OC ⊥AD 于F ，交⊙O 于E ，连接DE 、BE 、BD 、AE ．（1）∠C ＝∠BED ； （2）如果AB ＝10，tan ∠BAD ＝34，求AC 的长；（3）如果DE ∥AB ，AB ＝10，求四边形AEDB 的面积．53．如图，点P 为等边△ABC 外接圆周劣弧BC 上的一点．（1）求∠BPC 的度数； （2）求证：P A ＝PB ＋PC ；（3）设P A ，BC 交于点M ，若AB ＝4，PC ＝2，求CM 的长度．54．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝60°，AB ＝3，点D 从点A 以每秒1个单位长度的速度向点B 运动（点D 不与B 重合），过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ．以DE 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形ADFE ，设点D 的运动时间为t 秒．（1）用含t 的代数式表示△DEF 的面积S ； （2）当t 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？图（1）图（2）AA B C PM55．已知：在△ABC 中，以AC 边为直径的⊙O 交BC 于点D ，在劣弧AD ⌒上取一点E 使∠EBC ＝∠DEC ，延长BE 依次交AC 于G ，交⊙O 于H ．（1）求证：AC ⊥BH ；（2）若∠ABC ＝45°，⊙O 的直径等于10，BD ＝8，求CE 的长．56．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点B ，连接CO 并延长，交⊙O 于点D 、E ，连接AD 并延长，交BC 于点F ．（1）试判断∠CBD 与∠CEB 是否相等，并证明你的结论； （2）求证：BDBE＝CDBC； （3）若BC ＝32AB ，求tan ∠CDF 的值．57．如图，已知直线P A 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠P AE ，过C 作CD ⊥P A ，垂足为D ．（1）求证：CD 为⊙O 的切线；（2）若DC ＋DA ＝6，⊙O 的直径为10，求AB 的长．58．如图，点P 在y 轴的正半轴上，⊙P 交x 轴于B 、C 两点，以AC 为直角边作等腰Rt △ACD ，BD 分别交y 轴和⊙P 于E 、F 两点，连接AC 、FC ．（1）求证：∠ACF ＝∠ADB ；（2）若点A 到BD 的距离为m ，BF ＋CF ＝n ，求线段CD 的长；（3）当⊙P 的大小发生变化而其他条件不变时，DEAO的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．59．一量角器的直径与含30°的较长直角板的直角边重合，且直角板Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，BC ＝6，量角器半⊙O 从初始位置（点E 与点B 重合，EF 落在BC 上）在线段BC 上沿BC 方向以每秒1个单位的速度平移，半⊙O 分别与AB 相交于点M 、N ．当点F 运动到点C 时，半⊙O 停止运动，此时半⊙O 恰好与AB 相切，设半⊙O 平移的时间为t ．（1）求半⊙O 的半径；（2）用含t 的代数式表示MN 的长；（3）求BN60．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AB ＝4，AD ＝CD ＝5．E为底边BC 上的动点，以点E 为圆心，BE 为半径的⊙E 交线段DE 于点F ．（1）当点F 在线段DE 上时，设BE ＝x ，DF ＝y ，求y 关于x 的函数关系式； （2）当以CD 直径的⊙O 与⊙E 相切时，求x 的值；（3）连接AF 、BF ，当△ABF 为等腰三角形时，求x 的值．61．如图，四边形ABCD 内接于圆，∠D ＝90°，AB ＝BC ，CD ＝4，AC （1）设P 是AB 上的动点，求OP ＋PC 的最小值；（2）设Q 、R 分别是AB 、AD 上的动点，求△CQR 的周长的最小值．62．如图，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，AB ＝CD ，E 是DA 延长线上一点，AB2＝AE ·BC ，BE 和CA 的延长线交于点F ．（1）求证：BE 是⊙O 的切线；A A C（2）若BC ＝18，CD ＝12，AF ＝16，求BE 和AD 的长．63．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 是△ABC 外接圆劣弧AC ︵上一点（不与点A 、C 重合），延长BD 至E ．（1）求证：AD 的延长线平分∠CDE ；（2）若∠BAC ＝30°，△ABC 中BC 边上的高为2＋3，求△ABC 外接圆的半径．64．如图，在△ABC 中，高AE 与CD 相交于点H ，以DE 为直径的圆分别与AB 、AC 交于点F 、G ，连接BH ．已知AC ＝25，CD ＝20，CE ＝7．（1）求DE 的长；（2）求证：BH ⊥FG ．65．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，且AC ＝PC ，∠BOC ＝2∠BCP ． （1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）求∠P 的度数；（3）设M 是AB ︵的中点，若⊙O 的半径为2，求线段BM 、CM 及劣弧BC 所围成的阴影部分的面积．66．已知：如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 在斜边BC 上，BD ＝4DC ，⊙O 过点C 且与AB 相切于AB 的中点E ，与AC 相交于点F ．（1）求证：AD ⊥BF ；（2）若AB ＝4，AC ＝22，求⊙O 的半径．A B CD E A B C E DH FG67．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、F ，连接BD 交OF 于点E ． （1）求证：OF ⊥BD ；（2）若AB ＝5 2 ，DF ＝52，求AD 的长．68．如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，C 是⊙O 2上一点，CA 的延长线交⊙O 1于点D ，CB 交⊙O 1于点E ，DE 的延长线交⊙O 2于点F ，BG ∥DF 交⊙O 2于点G ． （1）求证：CB ＝CG ；（2）若CA ＝4，AD ＝2，求CF 的长．69．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，O 是BC 上一点，以O 为圆心，OC 为半径的⊙O 与AB 切于点D ，与BC 交于点E ，且BD ＝2，BE ＝1．（1）求△ACD 的面积；（2）若F 是线段EC 上一动点，过F 作FG ⊥AB 于G ，设AG ＝x ，OF ＝y ，求y与x 之间的函数关系式．70．如图，点D 在⊙O 的直径AB 上，DE ⊥AB 交⊙O 于点E ，OC ∥AE 交⊙O 的切线BC 于点C ，AC 与DE 相交于点F ．（1）求证：DF ＝EF ；（2）延长CO 交ED 的延长线于点G ，当点G 在⊙O 上时，求sin ∠ACO的值．71．如图，边长为23的等边三角形ABC 内接于⊙O ，点D 在AC ︵上运动（与点A 、C 不重合），AD 的延长线与BC 的延长线相交于点E ． （1）求⊙O 的半径；（2）设AD ＝x ，AE ＝y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）D 点在运动过程中是否存在这样的位置，使得△BDE 成为以BE 为底边的等腰三角形？若存在，求AD 的长；若不存在，请说明理由．72．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点O 为三角形外的一点，以O 为圆心，OC 为半径的⊙O 与边AB 相切于点D ，与边BC 交于点E ，直径DF 与边BC 交于点G ，连结AG ．（1）求证：DE ∥AG ； （2）当AB ＝10，AC ＝6，AD ＝345时，求⊙O 的半径．73．如图，AB 是⊙O 的直径，D 是AC ︵上一点，AC 与BD 相交于点E ，且AB ＝5，sin ∠CAB ＝35．（1）设CE ＝m ，DEBE＝k ，试用含m 的代数式表示k ； （2）当AD ∥OC 时，求CE 的长．74．据气象台预报，一台风中心位于某沿海城市A 东偏南θ（cos θ＝210）方向300km 的海面B 处，正以20km /h 的速度向西偏北45°方向移动（如图所示），台风影响的范围为圆形区域，半径为60km ，并以10km /h 的速度不断增大．求几小时后该市开始受到台风的影响，受影响的时间是多长？B75．如图，点D 为锐角三角形ABC 外接圆的圆心，过A 、B 、D 三点的⊙O 交AC 、BC 于E 、F ，且EF ＝CD ． （1）求证：CD ⊥EF ；（2）求证：AB 是⊙O 的直径．76．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB ＝AC ，直径AD 交BC 于点F ，E 是OF 的中点，且BE ∥DC ． （1）求证：AF ＝5DF ；（2）若BC ＝25，求CD 的长．77．如图，在⊙O 中，直径AB 垂直于弦CD ，E 是OC 的中点，AE 的延长线交⊙O 于点F ，DF 交BC 于点G ．求证：G 是BC 的中点．78．△ABC 的内切圆⊙O 分别切AB 、BC 、CA 三边于D 、E 、F ，G 是DF 上一点，且EG ⊥DF ，求证：EG 平分∠BGC ．79．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切于点A ，且AC ＝AB ＝2，连接OC 交⊙O 于点D ，BD 的延长线交AC 于E ．求AE 的长．80．如图，已知⊙O 的半径为3，点M 为⊙O 内的一个定点，OM ＝5，AB 、CD 是⊙O 的两条相互垂直的弦，垂足为M ．（1）当AB ＝4时，求四边形ADBC 的面积；（2）当AB 变化时，求四边形ADBC 的面积的最大值．81．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，弦CE ⊥AB 于F ，C 是AD ︵的中点，连结BD 并延长交EC 的延长线于点G ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点M 、N ． （1）求证：M 是△ACN 的外心； （2）若⊙O 的半径为253，CE ＝16，求CN 的长．82．如图，AB 是⊙O 的直径，以点A 为圆心作⊙A ，交⊙O 于C 、D 两点，△ACE 内接于⊙O ，AE 交CD 于点F ，连接DE ．（1）求证：AC 2＝AE ·AF（2）若AB ＝15，AC ＝35，CF :DF ＝1 :3，求AE 和DE 的长．83．如图，AB 是⊙O 的直径，点P 是半径OA 上的动点，MP ⊥ABMP ＝22． （1）当PC ＝OA 时，MD ＝2，求⊙O 的半径； （2）设MD 2＝y ，AP ＝x ，求y 与x 之间的函数关系式；（3）△MPD 能否成为以MP 为斜边的等腰直角三角形？若能，请求出△MPD 的面积；若不能，请说明理由．84．在平面直角坐标系中，已知点A （－3，0），B （3，0），点P 在直线y ＝33(x ＋4)＋1上运动，当∠APB 最大时，求P A :PB 的值．D B85．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝12，E 是边CD 上一点，且CE :ED ＝5 :4．设过A 、B 、C 、E 四点的⊙O 1的半径为R 1，过A 、C 、C 三点的⊙O 2的半径为R 2，且边BC 与⊙O 2相切． （1）求边CD 的长；（2）求R 1 :R 2的取值范围．86．如图，BC 是半圆O 的直径，点A 、F 在半圆O 上，AD ⊥BC 于D ，AB ︵＝AF ︵，BF 交AD 于点E ． （1）求证：AE ＝BE ； （2）求证：AF 2＝BE ·BF ；（3）若AD ＝2，BD ＝1，求tan ∠FBC 的值．87．如图，扇形AOB 中，OA ＝1，∠AOB ＝90°，半圆⊙O 1的圆心O 1在OA 上，并与AB ︵内切于点A ，半圆⊙O 2的圆心O 2在OB 上，并与AB ︵内切于点B ，半圆⊙O 1与半圆⊙O 2相切．设两圆半径之和为x ，面积之和为y ． （1）写出y 关于x 的函数解析式；（2）求函数y 的最小值．88．已知：如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ．（1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为3，sin ∠F ＝35，求DE 的长．89．如图，⊙O 中弦AB ⊥CD ，垂足为E ，过E 作AC 的垂线，垂足为F ，交BD 于G ． （1）探究BD 与EG 之间的数量关系，并说明理由；（2）连接OG ，若CE ＝4，DE ＝6，BD ＝10，求OG 的长．90．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AB ⊥CD ，垂足为E ，P 为BC ︵上一点，连接AP 分别交OC 、CD 、BCO 2AFC H P Q于点F 、G 、H ，连接DP 交BC 于点Q ．（1）若P 为BC ︵中点，求证：CG ＝CH ； （2）若F 为OC 中点，求证：BQ ＝CQ ．91．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，过D 作DG ⊥AC 于G ，交AB 的延长线于点F ．（1）求证：FG 是⊙O 的切线；（2）若DF ＝5，DG ＝3，求EC 的长．92．如图，已知AB 是半圆O 的直径，C 在半圆O 上，CD ⊥AB 于D ，E 在CD 上，⊙E 与AB 相切于点C ，与半圆O 相切于点F ，若AB ＝6，CD ＝6，求：（1）⊙E 的半径；（2）阴影部分的面积．93．如图，AB 是⊙O 的直径，直线BC 与⊙O 相切于点B ，OC ∥AD ，DE ⊥AB 于E ，交AC 于点F ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AE ＝2，BE ＝4，求sin ∠DAC 和sin ∠DCA 的值．94．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 为⊙O 的直径，E 为DC 上一点，若AE ∥BC ，AE ＝EC ，BE 交AC 于F ． （1）求证：AB ＝AD ；（2）若AD ＝6，AE ＝7，求BE 的长．BB95．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是⊙O 的直径，点E 在CB 的延长线上，且∠BAE ＝∠ADB ，DF ⊥BC 于点F ，交⊙O 于点G ，DG ＝8． （1）求证：AE 是⊙O 的切线；（2）若BG ︵上有一动点P ，且AD ＝15，sin ∠CPG ＝35，求tan ∠ABD96．如图，在△BCD 中，∠CBD ＝90°，E 是CD 的中点，⊙O 经过B 、D 、E 三点，CB 的延长线交⊙O于点A ，过A 作⊙O 的切线，交DC 的延长线于点F ．（1）求证：AC ＝AD ；（2）若CE ＝CF ＝2，求⊙O 的直径；（3）若CFCE＝n ，求sin ∠CDB 的值．97．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，E 是BC 的中点，连接AE 、OD 、DE ，AE 与OD 相交于点F ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若AB ＝10，OF ＝2，求AD 的长；（3）当四边形AOED 是平行四边形时，求sin ∠CAE 的值．98．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB ︵的中点，点D 在AC ︵E ，CF ⊥BD 于F ．（1）求证：四边形CEDF 是正方形；（2）若AD ＝6－2，BD ＝6＋2，求阴影部分的面积．99．如图，以正方形ABCD 的边CD 为直径作⊙O ，以顶点C E 为BC 延长线的上一点，且CD 、CE 的长是方程x2－2(3＋1)x ＋43＝0的两根，其中CD ＜CE ．连结DE 交⊙O 于点F ． （1）求EF 的长；（2）求图中阴影部分的面积．100．如图，以正方形ABCD 的边BC 为直径，在正方形内作半圆O ，过A 作半圆O 的切线AF ，切点为E ，AF 交BC 的延长线于点F ．（1）求sin ∠F 的值；（2）若AB ＝4，求EC 的长．C E AD E101．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE⊥AB交BC于点D，交⊙O于点E，F在DA的延长线上，且AF＝AD．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若AE＝4，cos∠ABF＝45，求BC的长．102．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点G，∠C的平分线交⊙O于点D，点E在BC上，AE交BD于点F，∠CAD＝∠EAD．求证：DF＝DG．103．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，点O在线段AD上，以O为圆心、OD为半径的⊙O与AB相切于点E，且ED∥AC．（1）求证：△BDE∽△ACD；（2）若ED＝1，tan∠ADE＝22，求AC、BD的长．104．如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O1过A、B两点，交AC、BC于D、E，⊙O2过C、D、E三点，EF⊥AC于F，FE的延长线交⊙O1于G，AG交BC于H．（1）求证：EF过⊙O2的圆心O2；（2）若BH＝6，CD＝245，EC＝4，求AG的长．105．如图，以矩形ABCD 的边AB 为直径的半圆交CD 于E 、F 两点，CP 切半圆于P ，PQ ⊥AB 于Q ．设AQ ＝m ，BQ ＝n ．（1）用含m 、n 的代数式表示PC 的长； （2）求证：直线AC 平分线段PQ ；（3）求证：tg ∠EBC 和tg ∠FBC 是方程 nx2－2mx ＋n ＝0的两个根．106．如图，已知∠AOB ＝30°，C 为OB 上一点，OC ＝3，DC ⊥OB 于C ，交OA 于D ，以D 为圆心，DC 为半径作⊙D 交OA 于E 、F 两点，M 为线段OF 上一点（不与点O 、E 重合），过M 作MN ⊥OA 于M ，交OB 于N ，设OM ＝x ，四边形CEMN 的面积为S ．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）若四边形CEMN 的面积是△EOC 面积的5倍，判断此时△CMN 的形状，并说明理由．107．如图，点A 、B 在半径为5的⊙O 上，∠AOB ＝90º，点C 是AB ︵上的一个动点，AC 与OB 的延长线相交于点D ，设AC ＝x ，BD ＝y ．（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）若⊙O 1与⊙O 相交于点A 、C ，且⊙O 1与⊙O 的圆心距为2，当BD ＝13OB 时，求⊙O 1的半径； （3）是否存在点C ，使得△DCB ∽△DOC ？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．108．如图，点M 在y 轴上，半径为5的⊙M 交x 轴于A 、B 两点，且AB ＝4．连结BM 并延长交⊙M 于点C ，过点C 的直线y ＝2x ＋b 交x 轴于点D ．（1）求点B 、M 、C 的坐标； （2）求证：CD 是⊙M 的切线；次函数的解（3）若二次函数y ＝－x2＋(a ＋1)x ＋6的图象经过点B ，求这个二析式，并写出使二次函数小于值一次函数y ＝2x ＋b 值的x 取值范围．BC DA F PQ E109．如图1，⊙M的直径AB在y轴的正半轴上，且点A与原点O重合，点C是y轴右侧半圆上的一点，AC＝1，BC ＝2．点A由O点开始沿x轴的正半轴滑动，点B随之沿着y轴向原点O滑动（如图2），当点B滑动至与原点O重合时运动结束．（1）在运动过程中，⊙M始终经过原点O，请说明理由；（2）设点C的坐标为（x，y），求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）求点C在整个运动过程中所经过的路径的长．110．如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O2的切线交⊙O1于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点F．（1）求证：DF2CF2＝EFBF（2）当AE与⊙O1相切，且AF＝6，CF＝2，DF＝3时，求AE的长；（3）当⊙O1与⊙O2为等圆，且CF:CD:DF＝3:4:5时，求S△AEF :S△CDF．111．如图，P是射线y＝35x（x＞0）上的一动点，以P为圆心的⊙P与x轴的正半轴交于A、B两点，与y轴相切于C点．（1）若⊙P的半径为5，求点P、A的坐标；（2）在（1）的条件下，求以点P为顶点，且经过A点的抛物线的解析式；并判定该抛物线是否经过点C关于原点的对称点D，说明理由；（3）是否存在直线l，当点P在射线y＝35x（x＞0）上运动过程中，经过A、B、C三点的抛物线的顶点都在直线l。

一年级上册美术教案-第8课奇妙的同心圆丨浙美版（2012）教学内容本课为一年级上册美术课程，主题为“奇妙的同心圆”。

通过本课的学习，学生将掌握同心圆的基本概念，了解其在生活中的应用，并学会运用同心圆进行创意设计。

教学目标1. 知识与技能：使学生了解同心圆的概念，掌握同心圆的制作方法。

2. 过程与方法：通过观察、讨论、实践，培养学生对同心圆的认识和创意设计能力。

3. 情感态度价值观：培养学生对美术的兴趣，提高审美意识，激发创新精神。

教学难点1. 同心圆的概念理解。

2. 同心圆的制作方法。

3. 创意设计的实践应用。

教具学具准备1. 教具：多媒体课件、教材、教鞭、黑板。

2. 学具：彩纸、剪刀、胶水、彩笔、圆规。

教学过程1. 导入：通过PPT展示一组同心圆的图片，引导学生观察并思考同心圆的特点。

2. 新课内容：讲解同心圆的概念、制作方法，并展示一些创意设计案例。

3. 实践操作：学生分组进行同心圆的制作，教师巡回指导。

4. 作品展示：学生展示自己的作品，互相交流学习。

5. 总结评价：教师对学生的作品进行评价，总结本课的学习内容。

板书设计1. 奇妙的同心圆2. 课题：一年级上册美术教案-第8课3. 内容：同心圆的概念、制作方法、创意设计4. 教学目标：掌握同心圆的制作方法，培养学生的创意设计能力5. 教学难点：同心圆的概念理解、制作方法、创意设计的实践应用作业设计1. 制作一个同心圆作品，要求创意独特，色彩搭配和谐。

2. 写一篇关于同心圆的观察日记，记录同心圆在生活中的应用。

课后反思本节课通过讲解、实践、展示、评价等环节，使学生掌握了同心圆的制作方法，并培养了学生的创意设计能力。

在教学过程中，教师应注重激发学生的兴趣，引导学生主动参与，培养学生的创新精神。

在课后作业中，教师可以进一步巩固学生对同心圆的认识，提高学生的实践能力。

总体来说，本节课达到了预期的教学效果。

重点关注的细节是“教学过程”。

教学过程详细补充和说明1. 导入导入环节是激发学生兴趣和引起注意的重要步骤。

第八讲圆的有关概念一、圆的相关概念1、圆的定义（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．（3）圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作”⊙“，读作”圆O“．O（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：注意：同圆或等圆的半径相等．2、弦和弧弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB ，读作弧AB ．等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．二、圆的基本性质（图十四） （图十五） （图十六）1、 圆的对称性：（1）圆是中心对称图形：将圆绕圆心旋转180º能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

（2）圆是轴对称图形：经圆心任意画一条直线，并沿直线将圆对折，直线两旁的部分能够完成重合，所以圆是轴对称图形。

每一条直径所在的的直线都是它的对称轴，所以圆有无数条对称轴。

（圆的对称轴不是直径，而是直径所在的直线）2、垂径定理及其推论（1） 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

如图十四，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦，CD ⊥AB,垂足为E,则AE=EB, ⌒AD = ⌒DB ，⌒AC = ⌒BC 。

（2） 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

8.奇妙的同心圆【教材分析】圆是一个神奇的形。

在大自然中，我们可以在数轮、水波和蜘蛛的晚上找到各种各样的圆形。

它们以一个圆心为中心，一圈一圈地往外绕着美丽的圆圈，组成了漂亮的同心圆。

教材选了“马家窑文化彩陶”这件作品，目的在于让教师引导学生感受圆形纹样的美感。

【教学目标】1.能用线和色来表现圆形。

2.初步学习在规定形状里涂色的方法，运用色彩进行造型表现。

3.通过以圆形的构成游戏来提升对造型活动的兴趣。

【教学重难点】重点：了解同心圆的特征，并能大胆用色彩和线条来绘制同心圆。

难点：画出同心圆的美感。

【教学准备】PPT、方形画纸【教学课时】2课时【教学过程】第一课时一、游戏导入游戏一：叠（圆形彩纸片）——引出同心圆。

师：小朋友，这张彩纸是什么形状？（生：圆形）师：对，这张彩纸是圆形的，老师还剪了一些大小不同的圆形。

（师：出示）师：看！课上，老师想用这些圆形来拼摆一下，你觉得老师会把他们拼摆成什么呢？师：请大家张大眼睛看仔细喽！一层一层叠加上去，变成一个同心圆。

师：你见过它吗？它叫什么？师：对，我们把它叫做同心圆。

（出示板书：同心圆）二、寻找生活中的同心圆1活动一：说一说师：在大自然中和我们的生活中你们有没有看到过这样的同心圆花纹呢？生讨论交流2.介绍“北京人民大会堂万人礼堂”万人大礼堂南北宽76米，东西进深60米，高33米，位于人民大会堂中心区域。

三层座椅，层层提升。

礼堂平面呈扇面形，坐在任何一个位置上均可看到主席台。

一层座位设3693个，二层设3515个，三层2518个，主席台可设座300至500个，总计可容纳1万人。

礼堂顶棚呈窟窿形与墙壁圆曲相接，体现出“水天一色”的设计思想。

3.活动二：画一画出示教具（如：甜甜圈、射箭的靶子、树的年轮……）师：老师给每一位同学准备了一张有同心圆的图片，请你来画一画你找到的同心圆。

.4.活动三：猜一猜师：让我们一起来看看大家找到的同心圆。

树的年轮上有同心圆、射箭的靶子上也出现了奇妙的同心圆、洋葱切面上也有奇妙的同心圆、蜘蛛网上也有……师：我们一起来猜一猜下面哪个是同心圆师：大家觉得今天的同心圆是不是特别（奇妙）呢！（出示课题：奇妙的）感悟出：同心圆的特点：在同一平面上同一个圆心不同半径的圆。