下载文档原格式
2．4 函数的奇偶性【知识网络】1．奇函数、偶函数的定义及其判断方法；2．奇函数、偶函数的图象．3．应用奇函数、偶函数解决问题． 【典型例题】例1．（1）下面四个结论中，正确命题的个数是（A ）①偶函数的图象一定与y 轴相交；②函数()f x 为奇函数的充要条件是(0)0f =；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f （x ）=0（x ∈R ）． A ．1B ．2C ．3D ．4提示：①不对，如函数21()f x x =是偶函数，但其图象与y 轴没有交点；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f （x ）=0〔x ∈（－a ，a ）〕，答案为A ．（2）已知函数2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，且其定义域为［1,2a a -］，则（ ） A ．31=a ，b ＝0 B ．1a =-，b ＝0 C ．1a =，b ＝0 D ．3a =，b ＝0提示：由2()3f x ax bx a b =+++为偶函数，得b ＝0．又定义域为［1,2a a -］，∴ (1)20a a -+=，∴31=a ．故答案为A ．（3）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-，则()f x ）在R 上的 表达式是（ ）A ．(2)y x x =-B ．(||2)y x x =+C ．||(2)y x x =-D ．(||2)y x x =-提示：由0x ≥时，2()2f x x x =-，()f x 是定义在R 上的奇函数得： 当x ＜0时，0x ->，2()()(2)(2)f x f x x x x x =--=-+=-- ∴(2)(0)()(2)(0)x x x f x x x x ≥⎧⎨<⎩-=--，即()(||2)f x x x =-，答案为D ．（4）已知53()8f x x ax bx =++-，且(2)10f -=，那么f （2）等于26- 提示：53()8f x x ax bx +=++为奇函数，(2)818f -+=，∴(2)818f +=-，∴(2)26f =-． （5）已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，若11)()(-=+x x g x f ，则()f x 的解析式为提示：由()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，可得11)()(--=-x x g x f ，联立11)()(-=+x x g x f ，得：21111()()1211f x x x x +==----， ∴11)(2-=x x f例2．判断下列函数的奇偶性：（1）1()(1xf x x x +=--(2)22()11f x x x --；（3）22lg(1)()|2|2x f x x -=--；（4）22(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩．解：（1）由101xx +≥-，得定义域为[1,1)-，关于原点不对称，∴()f x 为非奇非偶函数．(2) 222101110x x x x ⎧-≥⎪⇒=⇒=±⎨-≥⎪⎩，∴ ()0f x = ∴()f x 既是奇函数又是偶函数．（3）由2210|2|20x x ⎧->⎪⎨--≠⎪⎩得定义域为(1,0)(0,1)-，∴22lg(1)()(2)2x f x x -=---22lg(1)x x -=-，∵2222lg[1()]lg(1)()()x x f x x x ----=-=--()f x = ∴()f x 为偶函数 （4）当0x <时，0x ->，则22()()()()f x x x x x f x -=---=-+=-， 当0x >时，0x -<，则22()()()()f x x x x x f x -=--=--+=-，综上所述，对任意的(,)x ∈-∞+∞，都有()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数．例3．若奇函数()f x 是定义在（1-，1）上的增函数，试解关于a 的不等式：2(2)(4)0f a f a -+-<．解：由已知得2(2)(4)f a f a -<-- 因f(x)是奇函数，故 22(4)(4)f a f a --=-，于是2(2)(4)f a f a -<-．又()f x是定义在（-1，1）上的增函数，从而223224121132141aa aa a aa a a⎧⎧-<<-<-⎪⎪-<-<⇒<<⇒<<⎨⎨⎪⎪-<-<<<⎩⎩即不等式的解集是2)．例4．已知定义在R上的函数()f x对任意实数x、y，恒有()()()f x f y f x y+=+，且当0x>时，()0f x<，又2(1)3f=-．（1）求证：()f x为奇函数；（2）求证：()f x在R上是减函数；（3）求()f x在[3-，6]上的最大值与最小值．（1）证明：令x y==，可得(0)(0)(00)(0)f f f f+=+=，从而，f(0) = 0．令y x=-，可得()()()(0)0f x f x f x x f+-=-==，即()()f x f x-=-，故()f x为奇函数．（2）证明：设12,x x∈R，且12x x>，则12x x->，于是12()0f x x-<．从而121222122212()()[()]()()()()()0f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x-=-+-=-+-=-<所以，()f x为减函数．（3）解：由（2）知，所求函数的最大值为(3)f-，最小值为(6)f．(3)(3)[(2)(1)][2(1)(1)]3(1)2f f f f f f f-=-=-+=-+=-=(6)(6)[(3)(3)]4f f f f=--=--+-=-于是，()f x在[-3，6]上的最大值为2，最小值为-4．【课内练习】1．下列命题中，真命题是（C ）A．函数1yx=是奇函数，且在定义域内为减函数B．函数30(1)y x x=-是奇函数，且在定义域内为增函数C．函数2y x=是偶函数，且在（-3，0）上为减函数D．函数2(0)y ax c ac=+≠是偶函数，且在（0，2）上为增函数提示：A中，1yx=在定义域内不具有单调性；B中，函数的定义域不关于原点对称；D中，当0a<时，2(0)y ax c ac=+≠在（0，2）上为减函数，答案为C．2．若)(xϕ，()g x都是奇函数，()()()2f x a x bg xϕ=++在（0，＋∞）上有最大值5，则()f x在（－∞，0）上有（）A．最小值－5B．最大值－5 C．最小值－1D．最大值－3提示：)(xϕ、()g x为奇函数，∴)()(2)(xbgxaxf+=-ϕ为奇函数．又()f x有最大值5，∴－2在（0，＋∞）上有最大值3．∴()f x－2在(,0)-∞上有最小值－3，∴()f x在(,0)-∞上有最小值－1．答案为C．3．定义在R上的奇函数()f x在（0，+∞）上是增函数，又(3)0f-=，则不等式()0xf x<的解集为（A）A．（－3，0）∪（0，3）B．（－∞，－3）∪（3，+∞）C．（－3，0）∪（3，+∞）D．（－∞，－3）∪（0，3）提示：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解．答案为A．4.已知函数()y f x=是偶函数，(2)y f x=-在［0，2］上是单调减函数，则（A）A.(0)(1)(2)f f f<-< B. (1)(0)(2)f f f-<<C. (1)(2)(0)f f f-<< D. (2)(1)(0)f f f<-<提示：由f（x－2）在［0，2］上单调递减，∴()f x在［－2，0］上单调递减.∵()y f x=是偶函数，∴()f x在［0，2］上单调递增. 又(1)(1)f f-=，故应选A.5．已知()f x奇函数，当x∈（0，1）时，()f x=lg x+11，那么当x∈（－1，0）时，()f x的表达式是lg(1)x-．提示：当x∈（－1，0）时，x-∈（0，1），∴1()()lg lg(1)1f x f x xx=--=-=--．6．已知xaxaxf-+-=2log)(3是奇函数，则2007a＋2007a= 2008．提示：32(0)log 0a f a -==，21aa -=，解得：1a =，经检验适合，200720072008a a +=．7．若()f x 是偶函数，当x ∈［0，+∞)时，()1f x x =-，则(1)0f x -<的解集是{|02}x x <<提示：偶函数的图象关于y 轴对称，先作出()f x 的图象，由图可知()0f x <的解集为{|11}x x -<<，∴(1)0f x -<的解集为{|02}x x <<.8．试判断下列函数的奇偶性：（1）()|2||2|f x x x =++-； （2）331)(2-+-=x x x f ；（3）0)1(||)(-=x x x x f ．解：（1）函数的定义域为R ，()|2||2||2||2|()f x x x x x f x -=-++--=-++=， 故()f x 为偶函数．（2）由210|3|30x x ⎧-≥⎨+-≠⎩得：110x x -≤≤≠且，定义域为[1,0)(0,1]-，关于原点对称， 2211()33x x f x x x--==+-，21()()x f x f x x --==--，故()f x 为奇函数．（3）函数的定义域为(-∞，0)∪(0，1)∪(1，+∞)，它不关于原点对称，故函数既非奇函数，又非偶函数． 9．已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，若(3)f a -=，用a 表示(12)f ． 解：显然()f x 的定义域是R ，它关于原点对称．在()()()f x y f x f y +=+中，令y x =-，得(0)()()f f x f x =+-，令0x y ==，得(0)(0)(0)f f f =+，∴(0)0f =， ∴()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-， ∴()f x 是奇函数．∵(3)f a -=， ∴(12)2(6)4(3)4(3)4f f f f a ===--=-．10．已知函数21()(,,)ax f x a b c Z bx c +=∈+是奇函数，又，(1)2f =，(2)3f <，求a 、b 、c 的值.解：由()()f x f x -=-得()bx c bx c -+=-+ ∴c=0. 又(1)2f =，得12a b +=，而(2)3f <，得4131a a +<+，解得12a -<<.又a Z ∈，∴0a =或1a =.若0a =，则b=12Z=∉，应舍去； 若1a =，则b=1∈Z.∴1,1,0a b c ===.。
芯衣州星海市涌泉学校函数的极限教学目的：1、使学生掌握当0x x →时函数的极限；2、理解：A x f x x =→)(lim 0的充分必要条件是Ax f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 0教学重点：掌握当0x x →时函数的极限教学难点：对“0x x ≠时，当0x x →时函数的极限的概念〞的理解。
教学过程：一、复习：〔1〕=∞→nn qlim ＿＿＿＿＿1<q ;〔2〕).(_______1lim *∞→∈=N k x kx 〔3〕?lim 22=→xx 二、新课就问题〔3〕展开讨论：函数2x y =当x 无限趋近于2时的变化趋势当x 从左侧趋近于2时〔-→2x〕当x 从右侧趋近于2时〔+→2x〕函数的极限有概念：当自变量x 无限趋近于0x 〔0x x ≠〕时，假设函数)(x f y =无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是A ，记作A x f x x =→)(lim 0。
特别地，C C x x =→0lim ；0lim x x x x =→三、例题求以下函数在X ＝0处的极限〔1〕121lim 220---→x x x x 〔2〕xx x 0lim→〔3〕=)(x f 0,10,00,22<+=>x x x x x四、小结：函数极限存在的条件；如何求函数的极限。
五、练习及作业： 1、对于函数12+=x y 填写上上下表，并画出函数的图象，观察当x 无限趋近于1时的变化趋势，说出当1→x时函数12+=x y 的极限2、对于函数12-=x y 填写上上下表，并画出函数的图象，观察当x 无限趋近于3时的变化趋势，说出当3→x 时函数12-=x y 的极限3*121lim 221---→x x x x 32302)31()1(lim x x x x x +-+-→)cos (sin 2lim 22x x x x --→π 2321lim4--+→x x x xa x a x -+→20lim 〔0>a 〕x x 1lim 0→。
高中数学函数教案板书
课题：函数
教学目标：
1. 理解函数的概念，掌握函数的基本性质和特点。
2. 掌握函数的表示方法及其图像的特征。
3. 能够灵活运用函数的性质解决实际问题。
教学重点：
1. 函数的概念和特点
2. 函数的表示方法和图像
教学难点：
1. 函数的图像特征和性质的理解
2. 函数的实际应用
教学准备：
1. 教案、黑板、彩色粉笔
2. 教学PPT
3. 实例题及练习题目
4. 学生练习册
教学过程：
一、引入（5分钟）
教师通过引入实际生活中的例子，引起学生对函数概念的兴趣。
二、讲解函数的概念和特点（15分钟）
1. 引导学生了解函数的定义，函数的自变量、因变量和定义域、值域的概念。
2. 讲解函数的性质，如奇偶性、周期性等。
三、函数的表示方法和图像（15分钟）
1. 介绍函数的表示方法，包括表达式、图像、函数图像的特征。
2. 分析函数的图像在坐标系中的位置和特点。
四、实例分析和练习（15分钟）
1. 给学生展示一些函数的实例，并引导学生分析函数的图像特征。
2. 给学生练习相关的题目，巩固所学知识。
五、课堂小结（5分钟）
教师对本节课的要点进行回顾，并巩固学生对函数概念的理解。
六、作业布置（5分钟）
布置相关练习题目，要求学生认真完成并及时复习所学知识。
教学反思：
通过本节课的教学，学生对函数的概念有了更深的理解，能够灵活运用函数的性质解决实际问题。
希望学生能够加强练习，巩固所学内容，提升数学学习能力。
高中数学单元复习教案
主题：函数
目标：通过本次复习，学生能够掌握函数的基本概念、性质和解题方法。
一、函数的基本概念
1. 函数的定义和表示方法
2. 函数的定义域和值域
3. 函数的图像和性质
二、函数的性质
1. 奇函数和偶函数的性质
2. 函数的单调性和最值
3. 函数的周期性和奇偶性
三、函数的解题方法
1. 求函数的导数和导函数
2. 求函数的极值和拐点
3. 求函数的零点和不等式解法
四、综合练习
1. 完成选择题、填空题和解答题
2. 解答实际问题中的函数应用题
五、作业布置
1. 完成课堂上的习题
2. 预习下节课的内容
六、自主学习
1. 利用课外时间复习函数相关知识
2. 尝试解决一些较难的函数题目
备注：本次复习教案主要围绕函数这一重要概念展开，学生需要掌握函数的基本定义和性质，能够熟练运用函数的解题方法。
希望学生能够认真复习，做到知识点全面掌握，能够灵活运用。
第二章函数与导数第6课时二次函数（对应学生用书（文）、（理）１8～１9页）考情分析考点新知１由于二次函数与二次方程、二次不等式之间有着紧密的联系，加上三次函数的导函数是二次函数，因此对二次函数的考查一直是高考的热点问题.２以二次函数为背景的应用题也是高考的常考题型，同时借助二次函数模型考查代数推理问题是一个难点．①掌握二次函数的概念、图象特征.②掌握二次函数的对称性和单调性，会求二次函数在给定区间上的最值.３掌握二次函数、一元二次方程及一元二次不等式这“三个二次”之间的关系，提高解综合问题的能力.,１．（必修１P５４测试7）函数f（x）＝x２＋２x—３，x∈[0，２]的值域为________．答案：[—３，５]解析：由f（x）＝（x＋１）２—４，知f（x）在[0，２]上单调递增，所以f（x）的值域是[—３，５]．２．二次函数y＝—x２＋２mx—m２＋３的图象的对称轴为x＋２＝0，则m＝________，顶点坐标为________，递增区间为________，递减区间为________．答案：—２（—２，３）（—∞，—２] [—２，＋∞）３．（必修１P４５习题8改编）函数f（x）＝（x＋１）（x—a）是偶函数，则f（２）＝________．答案：３解析：由f（—x）＝f（x），得a＝１，∴f（２）＝３．４．（必修１P４４习题３）函数f（x）＝错误!的单调增区间是________．答案：R解析：画出函数f（x）的图象可知．５．设abc>0，二次函数f（x）＝ax２＋bx＋c的图象可能是________．（填序号）答案：４解析：若a>0，则b、c同号，３４两图中c<0，则b<0，所以—错误!>0，４正确；若a<0，则b、c异号，１中c<0，则b>0，—错误!>0，不符合，２中c>0，则b<0，—错误!<0，不符合．１．二次函数的解析式的三种形式（１）一般式：f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0）．（２）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h，k），则其解析式f（x）＝a（x—h）２＋k（a≠0）．（３）零点式（两根式）：若二次函数的图象与x轴的交点为（x１，0），（x２，0），则其解析式f（x）＝a（x—x１）（x—x２）（a≠0）．２．二次函数的图象及性质二次函数f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0）的图象是一条抛物线，对称轴方程为x＝—错误!，顶点坐标是错误!．（１）当a>0，函数图象开口向上，函数在区间（—∞，—错误!]上是单调减函数，在[—错误!，＋∞）上是单调增函数，当x＝—错误!时，y有最小值，y min＝错误!．（２）当a<0，函数图象开口向下，函数在区间[—错误!，＋∞）上是单调减函数，在（—∞，—错误!]上是单调增函数，当x＝—错误!时，y有最大值，y max＝错误!．３．二次函数f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），当Δ＝b２—４ac>0时，图象与x轴有两个交点M１（x，0），M２（x２，0），则M１M２＝错误!．１题型１求二次函数解析式例１已知二次函数f（x）满足f（２）＝—１, f（—１）＝—１，且f（x）的最大值为8，求二次函数f（x）的解析式．解：（解法１：利用一般式）设f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），错误!解得错误!∴所求二次函数为f（x）＝—４x２＋４x＋7．（解法２：利用顶点式）设f（x）＝a（x—m）２＋n，∵f（２）＝f（—１），∴抛物线对称轴为x ＝错误!＝错误!，即m＝错误!；又根据题意，函数最大值y max＝8，∴n＝8，∴f（x）＝a错误!２＋8．∵ f（２）＝—１，∴a错误!错误!＋8＝—１，解得a＝—４．∴f（x）＝—４错误!２＋8＝—４x２＋４x＋7．（解法３：利用两根式）由题意知f（x）＋１＝0的两根为x１＝２，x２＝—１，故可设f（x）＋１＝a（x—２）（x＋１），即f（x）＝ax２—ax—２a—１．又函数有最大值y max＝8，即错误!＝8，解得a ＝—４或a＝0（舍），∴所求函数的解析式为f（x）＝—４x２—（—４）x—２×（—４）—１＝—４x ２＋４x＋7．错误!已知二次函数f（x）＝ax２＋bx＋c图象的顶点为（—１，１0），且方程ax２＋bx＋c＝0的两根的平方和为１２，求二次函数f（x）的表达式．解：由题意可设f（x）＝a（x＋１）２＋１0，即f（x）＝ax２＋２ax＋a＋１0；∴ b＝２a，c＝a＋１0，设方程ax２＋bx＋c＝0的两根为x１、x２，则x错误!＋x错误!＝１２，即（x１＋x２）２—２x１x２＝１２，∴错误!错误!—２×错误!＝１２．又b＝２a，c＝a＋１0，∴错误!错误!—２×错误!＝１２，解得a＝—２，∴f（x）＝—２x２—４x＋8．题型２含参变量二次函数的最值例２函数f（x）＝２x２—２ax＋３在区间[—１，１]上最小值记为g（a）．（１）求g（a）的函数表达式；（２）求g（a）的最大值．解：（１）１当a<—２时，函数f（x）的对称轴x＝错误!<—１，则g（a）＝f（—１）＝２a＋５；２当—２≤a≤２时，函数f（x）的对称轴x＝错误!∈[—１，１]，则g（a）＝f错误!＝３—错误!；３当a>２时，函数f（x）的对称轴x＝错误!>１，则g（a）＝f（１）＝５—２a.综上所述，g（a）＝错误!（２）１当a<—２时，g（a）<１；２当—２≤a≤２时，g（a）∈[１，３]；３当a>２时，g（a）<１．由１２３可得g（a）max＝３．错误!求二次函数f（x）＝x２—４x—１在区间[t，t＋２]上的最小值g（t），其中t∈R.解：函数f（x）＝（x—２）２—５的图象的对称轴方程为x＝２，开口向上．当２∈[t，t＋２]，即t≤２≤t＋２，也就是0≤t≤２时，g（t）＝f（２）＝—５；当２[t，t＋２]时，１当t＞２时，f（x）在[t，t＋２]上为增函数，故g（t）＝f（t）＝t２—４t—１．２当t＋２＜２，即t＜0时，f（x）在[t，t＋２]上为减函数，故g（t）＝f（t＋２）＝（t＋２）２—４（t＋２）—１＝t２—５．故g（t）的解析式为g（t）＝错误!题型３二次函数的综合应用例３已知函数g（x）＝ax２—２ax＋１＋b（a≠0，b<１），在区间[２，３]上有最大值４，最小值１，设函数f（x）＝错误!.（１）求a、b的值及函数f（x）的解析式；（２）若不等式f（２x）—k·２x≥0在x∈[—１，１]时有解，求实数k的取值范围．解：（１）g（x）＝ax２—２ax＋１＋b，由题意得１错误!得错误!２错误!得错误!（舍）．∴a＝１，b＝0，g（x）＝x２—２x＋１，f（x）＝x＋错误!—２．（２）不等式f（２x）—k·２x≥0，即２x＋错误!—２≥k·２x，∴k≤错误!错误!—２·错误!＋１．设t＝错误!，则k≤t２—２t＋１，∵x∈[—１，１]，故t∈错误!.记h（t）＝t２—２t＋１，∵t∈错误!，∴h（t）max＝１，故所求k的取值范围是（—∞，１]．错误!已知函数f（x）＝x２＋mx＋n的图象过点（１，３），且f（—１＋x）＝f（—１—x）对任意实数都成立，函数y＝g（x）与y＝f（x）的图象关于原点对称．（１）求f（x）与g（x）的解析式；（２）若F（x）＝g（x）—λf（x）在（—１，１]上是增函数，求实数λ的取值范围．解：（１）因为函数f（x）满足f（—１＋x）＝f（—１—x）对任意实数都成立，所以图象关于x＝—１对称，即—错误!＝—１，即m＝２．又f（１）＝１＋m＋n＝３，所以n＝0，所以f（x）＝x２＋２x.又y＝g（x）与y＝f（x）的图象关于原点对称，所以—g（x）＝（—x）２＋２（—x），所以g（x）＝—x２＋２x.（２）由（１）知，F（x）＝（—x２＋２x）—λ（x２＋２x）＝—（λ＋１）x２＋（２—２λ）x.当λ＋１≠0时，F（x）的对称轴为x＝错误!＝错误!，因为F（x）在（—１，１]上是增函数，所以错误!或错误!所以λ<—１或—１<λ≤0．当λ＋１＝0，即λ＝—１时，F（x）＝４x显然成立．综上所述，实数λ的取值范围是（—∞，0]．１．若函数f（x）＝ax２—３x＋４在区间（—∞，6）上单调递减，则实数a的取值范围是________．答案：0≤a≤错误!解析：当a＝0时，f（x）＝—３x＋４，符合；当a≠0时，则错误!解得0<a≤错误!.综上，实数a 的取值范围是0≤a≤错误!.２．已知函数f（x）＝x２—３x＋m，g（x）＝２x２—４x，若f（x）≥g（x）恰在x∈[—１，２]上成立，则实数m的值为________．答案：２解析：由题意，x２—３x＋m≥２x２—４x，即x２—x—m≤0的解集是[—１，２]，所以m＝２．３．（２0１３·南通三模）已知函数f（x）＝错误!是偶函数，直线y＝t与函数y＝f（x）的图象自左向右依次交于四个不同点A、B、C、Ｄ．若AB＝BC，则实数t的值为________．答案：—错误!解析：根据偶函数的定义得a＝１，b＝２，c＝—１，f（x）＝错误!错误!所以x C＝错误!，则t＝错误!错误!—２×错误!—１＝—错误!.４．（２0１３·新课标）若函数f（x）＝（１—x２）（x２＋ax＋b）的图象关于直线x＝—２对称，则f（x）的最大值为________．答案：１6解析：因为点（１，0），（—１，0）在f（x）的图象上，且图象关于直线x＝—２对称，所以点（—５，0），（—３，0）必在f（x）的图象上，所以f（—５）＝（１—２５）（２５—５a＋b）＝0，f（—３）＝（１—9）（9—３a＋b）＝0，联立，解得a＝8，b＝１５，所以f（x）＝（１—x２）（x２＋8x＋１５），即f（x）＝—（x＋１）（x—１）（x＋３）（x＋５）＝—（x２＋４x＋３）（x２＋４x—５）．令t ＝x２＋４x＝（x＋２）２—４≥—４，则f（x）＝—（t＋３）（t—５）＝—（t—１）２＋１6，当t＝１时，f（x）max＝１6．１．已知函数f（x）＝e x—１，g（x）＝—x２＋４x—３，若有f（a）＝g（b），则b的取值范围为________．答案：（２—错误!，２＋错误!）解析：易知，f（a）＝e a—１>—１，由f（a）＝g（b），得g（b）＝—b２＋４b—３>—１，解得２—错误!<b<２＋错误!.２．已知函数f（x）＝x２＋ax＋b（a、b∈R）的值域为[0，＋∞），若关于x的不等式f（x）<c的解集为（m，m＋6），则实数c的值为________．答案：9解析：根据函数f（x）＝x２＋ax＋b的值域为[0，＋∞），得到a２—４b＝0．又关于x的不等式f（x）<c，可化为x２＋ax＋b—c<0，它的解集为（m，m＋6），设函数f（x）＝x２＋ax＋b—c的图象与x轴的交点的横坐标分别为x１、x２，则|x２—x１|＝m＋6—m＝6，从而（x２—x１）２＝３6，即（x１＋x２）２—４x１x２＝３6．又x１x２＝b—c，x１＋x２＝—a，代入得到c＝9．３．设函数f（x）＝x２—１，对任意x∈错误!，f错误!—４m２f（x）≤f（x—１）＋４f（m）恒成立，则实数m的取值范围是________．答案：错误!∪错误!解析：由题意知错误!—１—４m２（x２—１）≤（x—１）２—１＋４（m２—１）在x∈错误!上恒成立，错误!—４m２≤—错误!—错误!＋１在x∈错误!上恒成立，当x＝错误!时，函数y＝—错误!—错误!＋１取得最小值—错误!，所以错误!—４m２≤—错误!，即（３m２＋１）（４m２—３）≥0，解得m≤—错误!或m≥错误!.４．已知函数f（x）＝mx＋３，g（x）＝x２＋２x＋m.（１）求证：函数f（x）—g（x）必有零点；（２）设函数G（x）＝f（x）—g（x）—１，若|G（x）|在[—１，0]上是减函数，求实数m的取值范围．（１）证明：f（x）—g（x）＝（mx＋３）—（x２＋２x＋m）＝—x２＋（m—２）x＋（３—m）．由Δ１＝（m—２）２＋４（３—m）＝m２—8m＋１6＝（m—４）２≥0，知函数f（x）—g（x）必有零点．（２）解：|G（x）|＝|—x２＋（m—２）x＋（２—m）|＝|x２—（m—２）x＋（m—２）|，Δ２＝（m—２）２—４（m—２）＝（m—２）（m—6），１当Δ２≤0，即２≤m≤6时，|G（x）|＝x２—（m—２）x＋（m—２），若|G（x）|在[—１，0]上是减函数，则错误!≥0，即m≥２，所以２≤m≤6时，符合条件．２当Δ２＞0，即m＜２或m＞6时，若m＜２，则错误!＜0，要使|G（x）|在[—１，0]上是减函数，则错误!≤—１且G（0）≤0，所以m≤0；若m＞6，则错误!＞２，要使|G（x）|在[—１，0]上是减函数，则G（0）≥0，所以m＞6．综上，m≤0或m≥２．１．二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称轴、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果．２．二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，需要按照“三点一轴”来分类讨论（三点即区间的端点和中点，一轴即对称轴），此类问题是考查的重点．３．二次函数、一元二次方程与一元二次不等式统称为“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．错误![备课札记]。
数学教案高中函数
教学目标：
1. 熟练掌握高中函数的定义和基本性质；
2. 能够灵活运用函数的概念解决实际问题；
3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
教学重点：
1. 函数的定义；
2. 函数的图像和性质；
3. 函数的运算。
教学难点：
1. 函数的复合运算；
2. 函数的图像的绘制。
教学准备：
1. 教师准备教学课件和教学用具；
2. 学生准备笔记本和铅笔。
教学过程：
第一步：引入问题
教师通过一个实际问题引入函数的概念，让学生了解函数的定义和意义。
第二步：讲解函数的定义和性质
教师简要介绍函数的定义和性质，包括定义域、值域、自变量和因变量等概念。
第三步：举例说明函数
教师通过一些例题让学生掌握函数的基本性质和运算规则。
第四步：绘制函数的图像
教师示范如何绘制函数的图像，并要求学生根据函数的公式自行绘制函数的图像。
第五步：巩固练习
教师出一些练习题让学生巩固所学的内容，提高解题能力。
第六步：课堂讨论
教师组织学生互相讨论解题方法和答案，促进学生思维的交流。
第七步：作业布置
教师布置相关作业，巩固所学知识。
教学反思：
通过这节课的教学，学生能够熟练掌握函数的基本概念和运算方法，提高数学解题能力和思维能力。
学生在课后应多做练习，巩固所学内容，提高数学学习的效果。
高三数学复习教案：简单复合函数的导数教学目标：学生能够理解和计算简单复合函数的导数。
教学重点：简单复合函数的导数计算。
教学难点：应用链式法则计算复合函数的导数。
教学准备：教材、黑板、白板笔。
教学步骤：Step 1：复习导数的定义和基本计算法则。
复习导数的定义和基本计算法则，例如常数函数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数等。
Step 2：引入复合函数的概念。
复习函数和映射的概念，并引入复合函数的概念。
举一个简单的例子，如：设函数f(x) = 3x^2 + 2x，函数 g(x) = x^3 - 1，让学生计算 f(g(x)) 和 g(f(x))。
Step 3：简单复合函数的导数计算。
解释简单复合函数的导数计算方法，即通过链式法则计算复合函数的导数。
例如，设函数 f(x) = 3x^2 + 2x，函数 g(x) = x^3 - 1，让学生计算 (f(g(x)))' 和(g(f(x)))'。
讲解计算过程，包括先求出 f'(x) 和 g'(x)，然后代入复合函数的内函数的导数和外函数的导数。
Step 4：课堂练习。
让学生做一些课堂练习题，如计算简单复合函数的导数。
示例题目：1. 设函数 f(x) = 2x^3 + 3x，函数 g(x) = x^2 + 1，计算 (f(g(x)))'。
2. 设函数 f(x) = e^x，函数 g(x) = ln(x)，计算 (g(f(x)))'。
3. 设函数 f(x) = sin(x)，函数 g(x) = x^2，计算 (f(g(x)))'。
Step 5：课堂讨论和总结。
让学生分享自己的解题思路和结果，进行课堂讨论和总结。
总结复合函数的导数计算方法，强调链式法则的应用。
Step 6：作业布置。
布置一些作业题，要求学生练习计算简单复合函数的导数。
参考答案如下：1. (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x) = (6x^2 + 3) * (2x) = 12x^3 + 6x。
高中数学下册函数教案模板教学目标：
1. 理解函数的定义和基本性质。
2. 掌握函数的概念和代数表达式。
3. 熟练运用函数的基本操作和性质解决实际问题。
4. 提高学生的数学思维能力和解题能力。
教学内容：
1. 函数的定义和基本性质
2. 函数的概念和代数表达式
3. 函数的基本操作和性质
4. 函数的图像和应用
教学步骤：
一、复习导入
1. 让学生回顾函数的定义和基本性质。
2. 提出一个函数的实际问题，引导学生思考如何解决。
二、讲解与练习
1. 介绍函数的概念和代数表达式，示范几个例题。
2. 给学生练习一些简单的函数操作题，巩固基本知识。
三、拓展应用
1. 引导学生观察函数的图像特点，分析其变化规律。
2. 提出一些应用题，让学生运用函数解决实际问题。
四、总结反馈
1. 总结本节课学习的内容，强调函数的重要性和应用价值。
2. 收集学生的反馈意见，了解他们的学习情况和问题。
教学资源：
1. PowerPoint课件
2. 作业本和练习题
3. 教学实例和案例
评价标准：
1. 能够准确理解和运用函数的基本概念和性质。
2. 能够正确解答相关的应用题和练习题。
3. 能够发展数学思维，提出合理的解题方法和思路。
教学反思：
教师在教学过程中应注重引导学生主动思考和探索，激发他们学习的兴趣和动力。
同时，要根据学生的实际情况进行差异化教学，关注学生个体发展的需要，帮助他们更好地掌握函数知识。
函数的奇偶性一、知识梳理：（阅读教材必修1第33页—第36页）1、 函数的奇偶性定义：2、 利用定义判断函数奇偶性的步骤（1） 首先确定函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称；（2） 确定与的关系；（3） 作出相应结论3、 奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称；（3）为偶函数（4）若奇函数的定义域包含0，则（5）判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；（6）牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；（7）判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：4、一些重要类型的奇偶函数（1）、f(x)= (a>0,a) 为偶函数;f(x)= (a>0,a) 为奇函数;（2）、f(x)=（3）、f(x)=（4）、f(x)=x+（5）、f(x)=g(|x|)为偶函数;二、题型探究[探究一]：判断函数的奇偶性例1：判断下列函数的奇偶性1. 【15年北京文科】下列函数中为偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =B ．2cos y x x =C ．ln y x =D ．2x y -=【答案】B【解析】试题分析：根据偶函数的定义()()f x f x -=，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0,)+∞不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B.考点：函数的奇偶性.2. 【15年广东文科】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =+B ．2cos y x x =-C ．122x xy =+D ．sin 2y x x =+ 【答案】A 【解析】 试题分析：函数()2sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()11sin1f =+，()1sin1f x -=-，所以函数()2sin f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数()2cos f x x x =-的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()()22cos cos f x x x x x f x -=---=-=，所以函数()2cos f x x x =-是偶函数；函数()122x xf x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()112222x x x x f x f x ---=+=+=，所以函数()122x x f x =+是偶函数；函数()sin 2f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()sin 2sin 2f x x x x x f x -=-+-=--=-，所以函数()sin 2f x x x =+是奇函数．故选A ．考点：函数的奇偶性．3. 【15年福建文科】下列函数为奇函数的是( )A ．y =．x y e = C ．cos y x = D ．x x y e e -=- 【答案】D【解析】试题分析：函数y =x y e =是非奇非偶函数； cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇函数，故选D ．考点：函数的奇偶性．[探究二]：应用函数的奇偶性解题例3、【2014高考湖南卷改编】已知)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且1)()(23++=-x x x g x f ，则=+)1()1(g f ( )A. 3-B. 1-C. 1D. 3例4：已知函数f(x)=- - 若f(a)=b ,则f(-a) =三、方法提升1、 判断函数的奇偶性，首先要检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇偶性的定义经过化、整理、将f(x)与f-(x)比较，得出结论。
一．课题：函数的奇偶性二．教学目标：掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题．三．教学重点：函数的奇偶性的定义及应用．四．教学过程： （一）主要知识：1．函数的奇偶性的定义； 2．奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称；3．()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=．4．若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =． （二）主要方法：1．判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；2．牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性； 3．判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-． 4．设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇． 5．注意数形结合思想的应用． （三）例题分析：例1．判断下列各函数的奇偶性：（1）()(f x x =-2）22lg(1)()|2|2x f x x -=--；（3）22(0)()(0)x xx f x x xx ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩． 解：（1）由101xx+≥-，得定义域为[1,1)-，关于原点不对称，∴()f x 为非奇非偶函数．（2）由2210|2|20x x ⎧->⎪⎨--≠⎪⎩得定义域为(1,0)(0,1)-，∴22lg(1)()(2)2x f x x -=---22lg(1)x x -=-，∵2222lg[1()]lg(1)()()x x f x x x----=-=--()f x = ∴()f x 为偶函数 （3）当0x <时，0x ->，则22()()()()f x x x x x f x -=---=-+=-，当0x >时，0x -<，则22()()()()f x x x x x f x -=--=--+=-，综上所述，对任意的(,)x ∈-∞+∞，都有()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数．例2．已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+， （1）求证：()f x 是奇函数；（2）若(3)f a -=，用a 表示(12)f ． 解：（1）显然()f x 的定义域是R ，它关于原点对称．在()()()f x y f x f y +=+中，令y x =-，得(0)()()f f x f x =+-，令0x y ==，得(0)(0)(0)f f f =+，∴(0)0f =，∴()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-， ∴()f x 是奇函数． （2）由(3)f a -=，()()()f x y f x f y +=+及()f x 是奇函数， 得(12)2(6)4(3)4(3)4f f f f a ===--=-．例3．（1）已知()f x 是R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，()(1f x x =+，则()f x的解析式为(10()(10x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩． （2） （《高考A 计划》考点3“智能训练第4题”）已知()f x 是偶函数，x R ∈，当0x >时，()f x 为增函数，若120,0x x <>，且12||||x x <，则 （ B ）A .12()()f x f x ->-B .12()()f x f x -<-C .12()()f x f x ->-D . 12()()f x f x -<- 例4．设a 为实数，函数2()||1f x x x a =+-+，x R ∈． （1）讨论()f x 的奇偶性； （2）求 ()f x 的最小值．解：（1）当0a =时，2()()||1()f x x x f x -=-+-+=，此时()f x 为偶函数；当0a ≠时，2()1f a a =+，2()2||1f a a a -=++，∴()(),()(),f a f a f a f a -≠-≠-此时函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数．（2）①当x a ≤时，函数2213()1()24f x x x a x a =-++=-++，若12a ≤，则函数()f x 在(,]a -∞上单调递减，∴函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为2()1f a a =+；若12a >，函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为13()24f a =+，且1()()2f f a ≤． ②当x a ≥时，函数2213()1()24f x x x a x a =+-+=+-+，若12a ≤-，则函数()f x 在[,)a +∞上的最小值为13()24f a -=-，且1()()2f f a -≤；若12a >-，则函数()f x 在[,)a +∞上单调递增，∴函数()f x 在[,)a +∞上的最小值2()1f a a =+．综上，当12a ≤-时，函数()f x 的最小值是34a -，当1122a -<≤时，函数()f x 的最小值是21a +，当12a >，函数()f x 的最小值是34a +．例5．（《高考A 计划》考点3“智能训练第15题”）已知()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足(2)()f x f x +=-，且[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，（1）求[2,0]x ∈-时，()f x 的表达式；（2）证明()f x 是R 上的奇函数．（参见《高考A 计划》教师用书57P ）（四）巩固练习：《高考A 计划》考点10智能训练6．五．课后作业：《高考A 计划》考点10，智能训练2，3， 8，9，10，11，13．。
高三复习教案函数（一）函数1．了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域.2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。
3．了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。
4．理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性。
5．理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值.6．会运用函数图像理解和研究函数的性质.（二）指数函数1．了解指数函数模型的实际背景。
2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
3．理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题。
4．知道指数函数是一类重要的函数模型。
（三）对数函数1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。
2．理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题.3．知道对数函数是一类重要的函数模型.4．了解指数函数与对数函数互为反函数（）。
（四）幂函数1．了解幂函数的概念。
2．结合函数的图像，了解它们的变化情况。
（五）函数与方程1．了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。
2．理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。
能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数.（六）函数模型及其应用1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。
知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。
2．了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。
3．能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。
第1课时 函数及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的 元素，在集合B 中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射，那么和A 中的元素a 对应的 叫做到B （2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x+1）-2f （x-1）=2x+17，求f （x ）； （3）已知f （x ）满足2f （x ）+f （x1）=3x ，求f （x ）.解：(1)令x 2+1=t ，则x=12-t ，∴f（t ）=lg12-t ，∴f（x ）=lg12-x ,x∈(1,+∞).（2）设f （x ）=ax+b ，则3f （x+1）-2f （x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17， ∴a=2，b=7，故f （x ）=2x+7.（3）2f （x ）+f （x1）=3x ， ①把①中的x 换成x1，得2f （x1）+f （x ）=x3 ②例于M ，交折线域.解：（1由于（2（3).223(a x a ≤<（1）画出函数的图象；（2）求f(1)，f(-1),f [])1(-f 的值.解：（1）分别作出f(x)在x ＞0,x=0,x ＜0段上的图象，如图所示，作法略.（2）f(1)=12=1,f(-1)=-,111=-f [])1(-f =f(1)=1.1．了解映射的概念，应紧扣定义，抓住任意性和唯一性．2．函数的解析式常用求法有：待定系数法、换元法（或凑配法）、解方程组法．使用换元法时，要注意研究定义域的变化．3．在简单实际问题中建立函数式，首先要选定变量，然后寻找等量关系，求得函数的解析式，还要注意定义域．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用分段函数来表示．第2课时 函数的定义域和值域一、定义域：1．函数的定义域就是使函数式 的集合.2．常见的三种题型确定定义域：① 已知函数的解析式，就是 .② 复合函数f [g(x )]的有关定义域，就要保证内函数g(x )的 域是外函数f (x )的法或变式训练1：求下列函数的定义域： （1）y=212)2lg(x x x -+-+(x-1)0; (2)y=)34lg(2+x x +(5x-4)0; (3)y=225x -+lgcosx;解：（1）由⎪⎩⎪⎨⎧≠->-+>-01,012022x x x x 得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<-<1,432x x x 所以-3＜x ＜2且x≠1.故所求函数的定义域为（-3，1）∪(1,2).（2）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠+>+045,134034x x x 得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-≠->54,2143x x x ∴函数的定义域为).,54()54,21(21,43+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-- （3）由⎩⎨⎧>≥-0cos 0252x x ,得,)(222255⎪⎩⎪⎨⎧∈+<<-≤≤-Z k k x k x ππππ例（1解：（2（3故①当②当］.（ ）A.∅B.［a ，1-a ］C.［-a ，1+a ］D.［0，1］解： B例3. 求下列函数的值域：（1）y=;122+--x x xx (2)y=x-x21-; (3)y=1e 1e+-x x. 解：（1）方法一 （配方法）∵y=1-,112+-x x 而,4343)21(122≥+-=+-x x x ∴0＜,34112≤+-x x ∴.131<≤-y ∴值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,31. 方法二 （判别式法） 由y=,122+--x x xx 得(y-1).0)1(2=+-+y x y x ∵y=1时,≠∴∅∈y x , 1.又∵∈x R ，∴必须∆=(1-y)2-4y(y-1)≥0.∴故令（（方法二 y=|x|²,41)21(122242+--=+-=-x x x x∴0≤y≤,21即函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0.例4．若函数f （x ）=21x 2-x+a 的定义域和值域均为［1，b ］（b ＞1），求a 、b 的值.解：∵f（x ）=21(x-1)2+a-21.∴其对称轴为x=1，即［1，b ］为f （x ）的单调递增区间. ∴f（x ）min =f （1）=a-21=1 ①f （x ）max =f （b ）=21b 2-b+a=b ②=4， .第3课时 函数的单调性一、单调性1．定义：如果函数y ＝f (x )对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、<x 2时，①都有 ，则称f (x )在这个区间上是增函数，而这个区间称函数的一个 ；②都有 ，则称f (x )在这个区间上是减函数，而这个区间称)2)1(+x 2)1(+x )(x f '＞0在（-1，+∞）上恒成立，则f(x)在（-1,+∞）上为增函数.方法三 ∵a ＞1,∴y=a x 为增函数， 又y=13112+-+=+-x x x ，在（-1，+∞）上也是增函数. ∴y=a x +12+-x x 在（-1，+∞）上为增函数.变式训练1：讨论函数f （x ）=x+xa （a ＞0）的单调性.解：方法一 显然f （x ）为奇函数，所以先讨论函数f （x ）在（0，+∞）上的单调性， 设x 1＞x 2＞0,则f(x 1)-f(x 2) =（x 1+1x a ）-（x 2+2x a ）=(x 1-x 2)²（1-21x x a）.∴当0＜x 2＜x 1≤a时，21x x a ＞1,则f 当x 1故f ∴f f （x 当x .同理即f 例解：则∴f∴解：∵又21例3. 求下列函数的最值与值域：（1）y=4-223x x -+; (2)y=x+x4;(3)y=4)2(122+-++x x .解：（1）由3+2x-x 2≥0得函数定义域为［-1，3］，又t=3+2x-x 2=4-(x-1)2.∴t ∈［0，4］，t ∈［0，2］，从而，当x=1时，y min =2，当x=-1或x=3时，y max =4.故值域为［2，4］.(2)方法一 函数y=x+x4是定义域为{x|x ≠0}上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论x ＞0时,即可知x ＜0时的最值. ∴当x ＞0时,y=x+x4≥2xx 4⋅=4，等号当且仅当x=2时取得.当x ＜0时，y ≤-4,等号当且仅当x=-2时取得.综上函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最值. 方法二 任取x 1,x 2,且x 1＜x 2,AB 与x 轴的）.某公司每 (单位：元)，（1（2解：） 例41)-f(x 2)，且当x （1（2）判断f(x ）的单调性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2. 解：（1）令x 1=x 2＞0,代入得f(1)=f(x 1)-f(x 1)=0,故f(1)=0. （2）任取x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1＞x 2,则21x x ＞1,由于当x ＞1时，f(x)＜0,所以f )(21x x ＜0,即f(x 1)-f(x 2)＜0,因此f(x 1)＜f(x 2),所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数. （3）由f(21x x )=f(x 1)-f(x 2)得f()39=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.由于函数f(x)在区间（0,+∞）上是单调递减函数，由f(|x|)＜f(9),得|x|＞9,∴x ＞9或x ＜-9.因此不等式的解集为{x|x ＞9或x ＜-9}.变式训练4：函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1. （1）求证：f(x)是R 上的增函数；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2-m-2)＜3..第4课时 函数的奇偶性1．奇偶性：① 定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有 ，则称f (x )为奇函数；若 ，则称f (x )为偶函数. 如果函数f (x )不具有上述性质，则 f (x )不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质，则f (x ) .∴f(x)为奇函数.（3）由|x-2|＞0，得x ≠2.∴f （x ）的定义域{x|x ≠2}关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数. 变式训练1：判断下列各函数的奇偶性： （1）f （x ）=（x-2）xx -+22；（2）f （x ）=2|2|)1lg(22---x x ；（3）f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-<+.1(2),1|(|0),1(2）x x x x x解：（1）由xx -+22≥0，得定义域为［-2，2），关于原点不对称，故f （x ）为非奇非偶函数.（2⎧>-012x ，这时∵f （3x ＞1-1≤例（1（2（1∵f ∴∴（2∴f ∴∵∴f ∵则∵x 2∴f （-2）为最大值，f （6）为最小值.∵f （1）=-21，∴f （-2）=-f （2）=-2f （1）=1，f （6）=2f （3）=2［f （1）+f （2）］=-3. ∴所求f(x ）在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.变式训练2：已知f(x)是R 上的奇函数，且当x ∈(-∞,0)时，f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式. 解：∵f （x ）是奇函数，可得f(0)=-f(0),∴f(0)=0.当x ＞0时，-x ＜0,由已知f(-x)=xlg(2+x),∴-f （x ）=xlg （2+x ），即f （x ）=-xlg(2+x) （x ＞0）.∴f(x)=⎩⎨⎧≥+-<--).0()2lg(),0()2lg(x x x x x x即f(x)=-xlg(2+|x|) (x ∈R ).例3 已知函数f(x)的定义域为R ，且满足f(x+2)=-f(x) . （1）求证：f(x)是周期函数；（2）若f(x)为奇函数，且当0≤x ≤1时，f(x)=21x,求使f(x)=-21在［0，2 009］上的所有x 的个数.（1∴f ∴f （2设-1∵∴-f 故又设∴又∵∴-f ∴f ∴f 由∵f 令0≤4n-1≤2 009,则41≤n ≤20051,又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤502 （n ∈Z ）,∴在［0，2 009］上共有502个x 使f(x)=-21.变式训练3：已知函数f(x)=x 2+|x-a|+1,a ∈R .（1）试判断f(x)的奇偶性；（2）若-21≤a ≤21，求f(x)的最小值.解：(1)当a=0时，函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),此时,f(x)为偶函数.当a ≠0时，f(a)=a 2+1,f(-a)=a 2+2|a|+1, f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此时，f(x) 为非奇非偶函数.（2）当x ≤a 时,f(x)=x 2-x+a+1=(x-21)2+a+43,. 判（或第5课时 指数函数1．根式：(1) 定义：若a x n=，则x 称为a 的n 次方根① 当n 为奇数时，n a 的次方根记作__________；②(2) ①② ③ 2(1) ① a ② a ③(2) ① ② ③3① ② 1) 过点 ，图象在 ；指数函数以 为渐近线向 无限接近x 轴，当1>a 时，图象向 无限接近x 轴)；3)函数x xa y a y -==与的图象关于对称.③ 函数值的变化特征：例1. 已知a=91,b=9.求： （1）;315383327a aaa⋅÷-- （2）111)(---+ab b a .（ ）解：A变式训练2：已知实数a 、b 满足等式b a)31()21(=，下列五个关系式： ①0＜b ＜a;②a ＜b ＜0;③0＜a ＜b;④b ＜a ＜0;⑤a=b. 其中不可能成立的关系式有 （ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 解：B例3. 求下列函数的定义域、值域及其单调区间：（1）f(x)=3452+-x x ; （2）g(x)=-(5)21(4)41++x x. 解：（1）依题意x 2-5x+4≥0, 解得x ≥4或x ≤1,∴f （x ）的定义域是（-∞，1］∪［4，+∞）. 令u=,49)25(4522--=+-x x x ∵x ∈（-∞，1］∪［4，+∞）， ∴u ≥0，即452+-x x ≥0，而f(x)=3452+-x x ≥30=1,∵u=当x f （x 故f （2∵t 即由∵g 由0∴g 故令在区间［41，+∞）上，u=6+x-2x 2是减函数，又函数y=()21u 是减函数，∴函数y=(226)21x x -+在［41，+∞）上是增函数.故y=(226)21x x -+单调递增区间为［41，+∞）.（2）令u=x 2-x-6,则y=2u ,∵二次函数u=x 2-x-6的对称轴是x=21,在区间［21，+∞）上u=x 2-x-6是增函数.又函数y=2u 为增函数，例4（1（2（1∴（∴a-（2则=e(2x ∵x 1∵x 121e1x x +故142+x x. （1（2（1）解： 当x ∈(-1,0)时，-x ∈(0,1). ∵f （x ）是奇函数，∴f （x ）=-f （-x ）=-.142142+-=+--x xx x 由f(0)=f(-0)=-f(0)，且f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1),得f(0)=f(1)=f(-1)=0.∴在区间［-1，1］上，有 f （x ）={}⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-∈-∈+-∈+1,0,10)0,1(142)1,0(142x x x xx x x(2)证明 当x ∈(0,1)时，f(x)=.142+x x设0＜x 1＜x 2＜1,)形成的第6课时 对数函数(1) 定义：如果N a b =)1,0(≠>a a 且，那么称 为 ，记作 ，其中a 称为对数的底，N 称为真数.① 以10为底的对数称为常用对数，N 10log 记作___________．② (2) ① ④ (3) ①②③④ ⑤ 2① 4) ②1<<a 4) ③ 例1 计算：（1）)32(log 32-+（2）2(lg2)2+lg2²lg5+12lg )2(lg 2+-;（3）21lg 4932-34lg8+lg245.解：（1）方法一 利用对数定义求值 设)32(log32-+=x, 则(2+3)x=2-3=321+=（2+3）-1,∴x=-1.方法二 利用对数的运算性质求解)32(log 32-+=32log +321+=32log+(2+3)-1=-1.（2）原式=lg 2（2lg 2+lg5）+12lg 2)2(lg 2+-=lg 2(lg2+lg5)+|lg2-1|=lg（3=21=25=21（1（2（3（2（3例（（∴2.1log 11.1log 17.07.0<, 即由换底公式可得log 1.10.7＜log 1.20.7. 方法二 作出y=log 1.1x 与y=log 1.2x 的图象.如图所示两图象与x=0.7相交可知log 1.10.7＜log 1.20.7. (3)∵y=x 21log 为减函数，且c a b 212121log log log<<,∴b ＞a ＞c,而y=2x 是增函数，∴2b ＞2a ＞2c .变式训练2：已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则log a bb bba1log ,log ,1的大小关系是 （ ）A.log a bb bb a 1loglog 1<<B.bb b b aa1log 1loglog << C.b b b a ba1log 1loglog << D.b bb a a b log 1log 1log << 解： C例3当∴∵f ∴-f 只要∴1）. .求实数a 的解：则.所以∴⎪⎩>----⎪⎩⎪⎨⎧>-0)31()31(0)31(12a a g 解得2-23≤a ＜2.故a 的取值范围是{a|2-23≤a ＜2}.例4 已知过原点O 的一条直线与函数y=log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过A 、B 作y 轴的平行与函数y=log 2x 的图象交于C 、D 两点. （1）证明:点C 、D 和原点O 在同一直线上；（2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标. （1）证明 设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2,由题设知x 1＞1,x 2＞1,则点A 、B 的纵坐标分别为log 8x 1、log 8x 2. 因为A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log logx x x x =点C 、D 的坐标分别为(x 1,log 2x 1)、(x 2,log 2x 2), 由于log 2x 1=2log log818x =3log 8x 1,log 2x 2=3log 8x 2,（2代入又因（1(1,p).（2=log ①当0＜∴②当∵0＜-(x-),1(24)1()2122-<++-p p p ∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ＜1+log 2(p-1). 综合①②可知：当p ＞3时，f(x)的值域是（-∞,2log 2(p+1)-2］; 当1＜p ≤3时，函数f(x)的值域是(-∞,1+log 2(p-1)).1．处理对数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解. 2．对数函数值的变化特点是解决含对数式问题时使用频繁的关键知识，要达到熟练、运用自如的水平，使用时常常要结合对数的特殊值共同分析.3．含有参数的指对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类.4．含有指数、对数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合.第7课时 函数的图象一、基本函数图象特征（作出草图） 1．一次函数为 ； 2．二次函数为 ； 3．反比例函数为 ；41 y ＝y ＝2① y ② y ③ y ④ y ⑤ y ⑥ y 3①②4．例1（2平移1-x （3）作出y=（21）x 的图象，保留y=（21）x 图象中x ≥0的部分，加上y=（21）x 的图象中x ＞0的部分关于y 轴的对称部分，即得y=（21）|x| 的图象.其图象依次如下：变式训练1：作出下列各个函数的图象：（1）y=2-2x ； （2）y=|log 21（1-x ）|；（3解：可得（21个1-x ）|（32个例函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象如图,则函数）解： A变式训练2：设a ＞1,实数x,y 满足|x|-log a y1=0,则y 关于x 的函数的图象形状大致是 ( )解： B例3设函数f(x)=x2-2|x|-1 (-3≤x≤3).（1）证明：f(x)是偶函数；（2）画出函数的图象；（3）指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数； （4）求函数的值域.（1）证明 f(-x)=(-x)2-2|-x|-1 =x2-2|x|-1=f(x),即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.（2）解：当x≥0时，f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2, 当x＜0即（3）f（x（4）当x＜0故函数1．①②③).2．3．第8课时 幂函数幂函数的概念：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是 常数；注意：幂函数与指数函数的区别． 2.幂函数的性质：（1）幂函数的图象都过点 ；∴此函数为非奇非偶函数．（3）221y x x -==∴此函数的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞ 2211()()()f x f x x x-===-∴此函数为偶函数 （4）22221y x x x x-=+=+∴此函数的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞222211()()()()f x x x f x x x-=-+=+=- ∴此函数为偶函数（5 （6x ⎧∴⎨-⎩（1解：（2在（3（4)+∞（5）定义域(0,)+∞，值域(0,)+∞，非奇非偶函数，在(0,)+∞上单调递减． 例2比较大小：（1）11221.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)-- （3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.530.5,3,log 0.5解：（1）∵12y x =在[0,)+∞上是增函数，1.5 1.7<，∴11221.5 1.7< （2）∵3y x =在R 上是增函数，1.2 1.25->-，∴33( 1.2)( 1.25)->-（35.25∵y ∴（4∴（1（2（3解：（2（3例3已知幂函数223m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m的值．分析：幂函数图象与x 轴、y 轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数．结合m Z ∈，便可逐步确定m 的值．解：∵幂函数223mm y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，∴2230m m --≤，∴13m -≤≤；∵m Z ∈，∴2(23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴223m m --是奇数，∴0m =或2m =．变式训练3：证明幂函数12()f x x =在[0,)+∞上是增函数．第9课时 函数与方程一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标．0，再(,)m p A ．ac b 42> B ．ac b 42≥ C ．ac b 42< D ．ac b 42≤ 解法一：：依题设有 50a b c ⋅-=∴5是实系数一元二次方程02=++c bx ax 的一个实根； ∴△＝ac b 42-≥0 ∴ac b 42≥，答案为B ．解法二：去分母，移项，两边平方得：22252510b a ac c =++≥10ac ＋25a c ⋅⋅＝20ac ． ∴ac b 42≥，答案为B ．（4）关于x 的方程 22(28)160x m x m --+-=的两个实根 1x 、2x 满足 1232x x <<，则实数m 的取值范围解：设22()(28)16f x x m x m =--+-，则239()3(4)160216f m m =--+-<， 即：241270m m --<，解得：1722m -<<．（5）若对于任意[1,1]a ∈-，函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零, 则x 的取值范围是 解：则⎧⎪⎨⎪⎩）|，则例（2）是否存在实数m 、n ()m n <，使()f x 定义域和值域分别为［m ，n ］和［4m ，4n ］，如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，说明理由. 解：（1）∵方程22ax bx x +=有等根，∴2(2)0b ∆=-=，得b=2 ．由(1)(3)f x f x -=-知此函数图象的对称轴方程为12bx a=-=，得1a =-，故2()2f x x x =-+ ．（2）2()(1)11f x x =--+≤，∴4n ≤1，即14n ≤而抛物线22y x x =-+的对称轴为1x = ∴14n ≤时，()f x 在［m ，n ］上为增函数.若满足题设条件的m ，n 存在，则⎩⎨⎧==n n f mm f 4)(4)(，⎨⎧-==-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-2020424222n n m m n n n m m m 或或即又m （1（2（3解：1(f x ∵1x ∴f （2∴令g 要使故a （3∴(),()m f m n f n ==，即2110m m a -+=，2110n n a-+=故方程2110x x a -+=有两个不相等的正根m ，n ，注意到1m n ⋅=，10m n a+=> 故只需要(21()40a ∆=->,由于0a >，则102a << ．例4．若函数|1|()2x f x m --=-的图象与x 轴有交点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．01m <≤B ．01m ≤≤C ．10m m ≥<或D ．10m m ><或解：令()0f x =，得：|1|1()2x m -=，∵ |1|0x -≥，∴ |1|10()12x -<≤，即01m <≤．变式训练4：对于函数()f x ，若存在0x ∈R,使00()f x x ＝成立，则称0x 为()f x 的不动点. 已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠（1）当1,2a b ==-时，求()f x 的不动点；（2）若对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；第10课时函数模型及其应用1．x、y分别表示问题中的变量；2．建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；3．求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求.S（x）在（0,b］上是增函数，此时当x=b时，S有最大值为-2(b-4ba+)2+8)(2ba+=ab-b2,综上可知，当a≤3b时，x=4ba+时，四边形面积S max =8)(2b a +,当a ＞3b 时，x=b 时，四边形面积S max =ab-b 2.变式训练1：某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值. 解：设每个提价为x 元（x ≥0），利润为y 元，每天销售总额为（10+x ）（100-10x ）元， 进货总额为8（100-10x ）元， 显然则 当例 v （）.（1（2（3城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将 当∴s=（2当当³2(t-20)=-t 2+70t-550.(3)t ∴当t ∈（20，35］时，令-t 2+70t-550=650. 解得t 1=30,t 2=40,∵20＜t ≤35,∴t=30，所以沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城.变式训练2：某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台， 需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R （x ）=5x-22x （万元）(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量（单位：百台）.（1）把利润表示为年产量的函数；（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？（3）年产量是多少时，工厂才不亏本？解：（1）当x ≤5时，产品能售出x 百台；当x ＞5时，只能售出5百台，故利润函数为L （x ）=R （x ）-C （x ） =⎪⎧≤≤--⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+--),50(5.075.45()50()25.05.0()25(22x x x x x x x 当当x 此时（3得x 例超过（1（2 解：y=（即y=4即所以⎪⎪⎪⎩>-)34(6.924x x (2)由于y=f(x)在各段区间上均为单调递增，当x ∈［0，54］时,y ≤f （54）＜26.4; 当x ∈（54，34］时，y ≤f （34）＜26.4;4,+∞）时，令24x-9.6=26.4,解得x=1.5,当x∈（3所以甲户用水量为5x=7.5吨，=4³1.8+3.5³3=17.70（元);付费S1乙户用水量为3x=4.5吨，=4³1.8+0.5³3=8.70（元).付费S2变式训练3：1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.(小)4．还原评价：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科又要符合实际背景，因于解出的结果要代入原问题进行检验、评判最后作出结论，作出回答.。
