高三数学第二轮复习教案

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第10讲 参数取值问题的题型与方法

（4课时）

求参数的取值范围的问题，在中学数学里比比皆是，这一讲，我们分四个方面来探讨。 一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。

例1．已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx+45-a 恒成立，求实数a 的取值范围。

分析：在不等式中含有两个变量a 及x ，其中x 的范围已知（x ∈R ），另一变量a 的范围即为所求，故可考虑将a 及x 分离。

解：原不等式即：4sinx+cos2x<45-a -a+5

要使上式恒成立，只需45-a -a+5大于4sinx+cos2x 的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。

f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin 2x+4sinx+1=-2(sinx -1)2+3≤3,

∴45-a -a+5>3即45-a >a+2

上式等价于⎪⎩

⎪

⎨⎧->-≥-≥-2)2(450450

2a a a a 或⎩⎨⎧≥-<-0

4502a a ，解得≤54a<8.

说明：注意到题目中出现了sinx 及cos2x ，而cos2x=1-2sin 2x,故若把sinx 换元成t,则

可把原不等式转化成关于t 的二次函数类型。

另解：a+cos2x<5-4sinx+45-a 即

a+1-2sin 2x<5-4sinx+45-a ,令sinx=t,则t ∈[-1,1], 整理得2t 2-4t+4-a+45-a >0,( t ∈[-1,1])恒成立。 设f(t)= 2t 2-4t+4-a+45-a 则二次函数的对称轴为t=1,

∴ f(x)在[-1，1]内单调递减。

∴ 只需f(1)>0,即45-a >a -2.(下同)

例2．已知函数f(x)在定义域（-∞，1]上是减函数，问是否存在实数k ，使不等式f(k -sinx)≥f(k 2-sin 2x)对一切实数x 恒成立？并说明理由。

分析：由单调性与定义域，原不等式等价于k -sinx ≤k 2-sin 2x ≤1对于任意x ∈R 恒成立，这又等价于

⎪⎩

⎪

⎨⎧----≥+-----+≤)

2()21(sin 41)1(sin 12

222x k k x k 对于任意x ∈R 恒成立。 不等式（1）对任意x ∈R 恒成立的充要条件是k 2≤(1+sin 2x)min =1,即-1≤k ≤1----------(3) 不等式（2）对任意x ∈R 恒成立的充要条件是k 2-k+

41≥[(sinx -21)2]max =4

9

, 即k ≤-1或k ≥2,-----------(4)

由（3）、（4）求交集，得k=-1,故存在k=-1适合题设条件。

说明：抽象函数与不等式的综合题常需要利用单调性脱掉函数记号。

例3．设直线l 过点P （0，3），和椭圆x y 22941+=顺次交于A 、B 两点，试求

AP

PB

的取值范围.

分析：本题中，绝大多数同学不难得到：AP PB =B

A x x

-，但从此后却一筹莫展, 问题的

根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所

求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.

思路1: 从第一条想法入手，

AP PB =B

A x x

-已经是一个关系式，但由于有两个变量B A x x ,，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB 的斜

率k . 问题就转化为如何将B A x x ,转化为关于k 的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y 得出关于x 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.

解1：当直线l 垂直于x 轴时，可求得

5

1

-=PB AP ； 当l 与x 轴不垂直时，设())(,,2211y x B y x A ，，直线l 的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y 得(

)

04554492

2

=+++kx x k ，

解之得 .4

95

9627222

,1+-±-=k k k x

因为椭圆关于y 轴对称，点P 在y 轴上，所以只需考虑0>k 的情形.

当0>k 时，4

95

96272

21+-+-=k k k x ，4959627222+---=k k k x ，

所以 21x x PB AP -==5929592922-+-+-k k k k =59291812-+-k k k =2

5

929181k -+-.

由 (

)

049180)54(2

2

≥+--=∆k k , 解得 9

52

≥

k ， 所以 5

15

92918112

-<-+-

≤-k ，

综上 5

1

1-≤≤-PB AP .

思路2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定k 的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k 联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于

2

1x x PB AP

-=不是关于21,x x 的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于21,x x 的对称关系式.

解2：设直线l 的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y 得

()

045544922

=+++kx x k

（*）

则

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

+=+-=+.4945,4954221221k x x k k x x 令λ=21

x x ，则，.2045324212

2+=++k k λλ 在（*）中，由判别式,0≥∆可得 9

5

2

≥

k ，