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第五章 梁弯曲时的位移 - 材料力学精品课

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材料力学第5章弯曲变形ppt课件

材料力学第5章弯曲变形ppt课件

qL
4.22kNm
4.22kNm
M
max
32 M
max
76.4MPa
WZ
d 3
例题
20kN m
A
4m
FA
20kN m
A
MA
4m
试求图示梁的支反力
40kN
B
D
2m
2m
B
B1 FB
FB 40kN
B
D
B2
2m
2m
在小变形条件下,B点轴向力较小可忽略不
计,所以为一次超静定.
C
B1 B2
FBBBMF12AA2383qFEqELBqqLI84LI2LLZZ32F35BFF4FEFB83PBPLIEL7Z3L12IZ.218352.k75N5kFkN2PNmEL2IZ2
x
边界条件
A
L2
B
L2
C
y
连续条件
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
全梁仅一个挠曲线方程
C
q
EA
共有两个积分常数 边界条件
L1
A
x
B
EI Z
L
y
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁 的挠曲线近似微分方程时应分几段;将分别出现几个 积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
q
a
B C LBC
B
2a
FN
B
q2a4
8EIZ
FN 2a3
3EIZ
C
FN
a
D

材料力学第五章梁弯曲时的位移

材料力学第五章梁弯曲时的位移
第五章 梁弯曲时的位移
工程实例
7-1
工程实例
工程实例
5-1 梁的位移——挠度及转角
建立坐标系，oxy为梁对称面，外力作用在对 称面内。所以，挠曲线为o xy面内的平面曲线。
挠度
y 向下为正。
y
x
y
转角
x
挠曲线
挠曲线方程：
7-2
w= f (x)
挠度
略去剪力的影响，则平面假设成立，发
y
5.2 积分法求梁的挠度和转角
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度， 梁的EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
2）写出x截面的弯矩方程
FAx 0, FAy F (), M A Fl (
)
A
x
l
yB
F B
B
x
M ( x ) F (l x ) F ( x l )
A
FAx 0, FAy
Fb Fa , FBy l l
2）弯矩方程
FAy x1
ymax
x2
FBy
AC 段：
M x1 FAy x1 Fb x1 ,0 x1 a l
y
a
b
CB 段：
Fb M x2 FAy x2 F ( x2 a ) x2 F ( x2 a ), l
目录
a x2 l
5.2 积分法求梁的挠度和转角
A d 2 w1 Fb EI M ( x1 ) x1 2 dx1 l FAy x1 dw1 Fb 2 EI EI ( x1 ) x1 C1 x2 dx1 2l Fb 3 a EIw1 x C1 x1 D1 6l a x2 l CB 段： y d 2 w2 Fb EI M ( x2 ) x2 F ( x2 a) 2 dx2 l dw Fb 2 F EI 2 EI ( x2 ) x 2 ( x2 a ) 2 C 2 dx2 2l 2 Fb 3 F EIw2 x 2 ( x2 a)3 C2 x2 D2 6l 6

材料力学(土木类)第五章梁弯曲时的位移

材料力学(土木类)第五章梁弯曲时的位移

2
2
2
例5-7 由叠加原理求图示弯曲刚度为EI的外伸梁C截 面的挠度和转角以及D截面的挠度。
A
a EI F=qa D a B a C
解：可将外伸梁看成是图 a和b所示的简支梁和悬臂 梁的叠加。
F=qa A qa B
EI
D (a)
qa2/2 B (b) C
（1）对图a，其又可看成为图c和d所示荷载的组合。
2 2Fl B2 D1 EI
（顺时针）
将相应的位移进行叠加，即得：
4 Fl14 Fl 6 Fl w w w （向下） B B 1 B 2 3 EI 3 EI EI
3
3
3
Fl 2 Fl 5 Fl （顺时针） B B 1 B 2 2 EI EI 2 EI
§5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
由于：1）小变形，轴向位移可忽略；
2）线弹性范围工作。
因此，梁的挠度和转角与载荷成线性关系，可 用叠加原理求复杂载荷作用下梁的挠度和转角。 简单载荷下梁的挠度和转角见附录IV。
例 5-5 利用叠加原理求图 a 所示弯曲刚度为 EI 的简 支梁的跨中挠度wC和两端截面的转角A，B。
F=qa
(c)
(d)
A + qa2/2
图c中D截面的挠度和B截面的转角为：
qa 2a w D 1 48 EI
3
qa 2a B1 16 EI
B2
qa 3 EI
3
2
图d中D截面的挠度和B截面的转角为：
2qa4 wD2 16EI
将相应的位移进行叠加，即得：
4 4 4 qa qa qa w w w （向下） D D 1 D 2 6 EI 8 EI24 EI

第五章 梁弯曲时的位移

第五章 梁弯曲时的位移
利用边界条件确定上面二式中的积分常数C 利用边界条件确定上面二式中的积分常数 1,C2,即可得 梁的挠度方程和转角方程
李田军材料力学课件 10 第五章 梁弯曲时的位移
积分法求解梁位移的思路: 积分法求解梁位移的思路: 建立合适的坐标系; ① 建立合适的坐标系; 求弯矩方程M(x) ; ② 求弯矩方程 ③ 建立近似微分方程: EIw′′ = M ( x ) 建立近似微分方程: 根据本书的规定坐标系,取负号进行分析. 根据本书的规定坐标系,取负号进行分析. ④ 积分求
李田军材料力学课件 9 第五章 梁弯曲时的位移
积分法求梁的变形 对于等刚度梁, 对于等刚度梁,梁挠曲线的二阶微分方程可写为
Ely'' = M(x)
对此方程连续积分两次,可得 对此方程连续积分两次,
Ely' (x) = ∫ M(x)dx + c1 Ely(x) = ∫ M(x)dxdx + c1x + c2
最大转角,显然在支座处
Pab θA =θ (0) = (L + b) 6EIz Pab θB =θ (L) = (L + a) 6EI 6EIz
P a L y
C
b B x
a >b a <b
θmax =θB θmax =θA
A
从A→B, θ + → 中间必经过0
李田军材料力学课件
19
第五章
梁弯曲时的位移
第五章 梁弯曲时的位移
梁的位移——挠度及转角 §5.1 梁的位移 挠度及转角 §5.2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §5.3 按叠加原理计算梁的挠度和转角 *§5.4 梁挠曲线的初参数方程 § §5.5 梁的刚度校核.提高梁的刚度的措施 §5.6 梁内的弯曲应变能

材料力学上册第五章梁弯曲时的位移

材料力学上册第五章梁弯曲时的位移
6EIl
Mechanics of Materials
wmax 在AC段
wmax
=
Fb( l 2 − b2 )3 2 9 3EIl
Mechanics of Materials
例题：已知梁的刚度EI，用奇异函数法求梁的位移
θA、θD、wB、wD。
qa
q
A
B
C Dx
FA a
y
aa
FC
解：建立图示坐标系
1、求约束反力
( ) M(x) = − EI
w′′ 1+ w′2
32
Mechanics of Materials
若挠曲线是较平坦的光滑连续曲线， w′ << 1，
可忽略不计。
则
M (x) = −w′′
EI
即
EIw′′ = − M (x)
——挠曲线近似微分方程
适用条件： 线弹性小变形； 对称弯曲的细长梁。
2、积分法确定梁的位移
一、挠曲线近似微分方程
材力 数学
1 = M(x)
ρ EI
( ) 1 = w′′
ρ 1 + w′2 3 2
x y M > 0 w′′ < 0
( ) M(x) = ± EI
w′′ 1+ w′2
32
x
( ) M(x) = − EI
w′′ 1+ w′2
32
y M < 0 w′′ > 0
☻挠曲线微分方程的正负号与选取的坐标系有关
2
Mechanics of Materials
弯矩的通用方程
∑ ∑ ∑ ∑ ( ) M x =
i
Mi < x −ai >0 +

材料力学课件5第五章梁弯曲时的位移5-1

材料力学课件5第五章梁弯曲时的位移5-1

F A
x
θmax
l
wmax
y
B o
F A
o
B
l
y
x
请大家将坐标原点取在固定端，练习完 整解题过程。
例题5-2 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方 程，并确定其最大挠度wmax和最大转角max。
解：该梁的弯矩方程为
ql 1 2 q M x x qx lx x 2 2 2 2
Fb x2 =EI w1 +C1 (1) l 2 Fb x3 EI w1 = +C1 x D1 (2) l 6
Fb x2 F(x-a) 2 EI w + +C 2 (3) 2 = l 2 2 Fb x3 F(x-a) 3 EI w 2 = + +C 2 x D2 (4) l 6 6
截面x的位移—挠度、转角 转角 θ C 1 θ w C
1
挠度
A
x y
B
x
挠曲线
梁变形前后横截面形心位置的变化称 为位移，位移包括线位移和角位移。在小 变形和忽略剪力影响（l >> h）的条件下， 略去x 方向的线位移，y 方向的线位移是截 面形心沿垂直于梁轴线方向的位移，称为 挠度，用 w 表示，单位m、mm；角位移 是横截面变形前后的夹角，称为转角，用 θ 表示，单位弧度。而变形后的轴线是一 条光滑连续平坦的曲线称为挠曲线（弹性 曲线） 。
w'(l )=0 代入（1）: Fl 2 / 2+C1 = 0 得：C1=－ Fl 2 / 2
w(l ) =0 代入（2）： Fl 3/ 6+C1l+C2 = 0
C2= -Fl 3/ 6 -C1l = -Fl 3/ 6 + Fl 3 / 2 = Fl 3/ 3

材料力学土木类第五章 梁弯曲时的位移.ppt

材料力学土木类第五章 梁弯曲时的位移.ppt

M x F b x
则：
EIw1

M
x

F
b l
x
l
积分可得：
EIw1

F
b l
x2 2
C1
EIw1

F
b l

x3 6
C1x

D1
DB段： a x l M x F b x Fx a
l
F x
A
D
B
x
a
b
l
y
则：
EIw2

M
x
由此可得：1 6
Fa3

C1a

D1

1 6
Fa3

1 2
Fa3

2 3
Fa3
1 2
Fa2

C1

1 2
Fa2

Fa2
即：
C1 Fa2；
D1

7 6
Fa3
最后可得：
wA

w1
x0

D1

7 Fa 3 6EI
（向下）
A

w1 '
x0

C1


Fa 2 EI
（逆时针）
小结： (1) 两段：四个常数，每增加一段，就增加 两个积分常数；
则： D1 D2
C1 C2
（2）约束条件：a) x 0 时， w1 0 由此可得：D1 0 D2
b) x l 处， w2 0
由此可得：
C2

Fb 6l
l2
b2
C1
则梁的挠曲线和转角方程为：

材料力学第五章梁弯曲时的位移课件

材料力学第五章梁弯曲时的位移课件
qw q0 (l39lx 28x3)
4E 8I
w(0)0 q (0) q0l3
48EI
固定铰支座 活动铰支座
w(l)0 q(l) 0
固定端 活动铰支座
材料力学第五章梁弯曲时的位移
22
M (x)Ew Iq0(3lx 4x2) 抛物线 8
FS(x)ddM xq 80(3l8x)
直线
q(x)dFS dx
材料力学第五章梁弯曲时的位移
12
x
FA
x
FA
Fb l
FB
FB
Fa l
AD段（ 0≤ x ≤ a ）：
M1(x)
Fbx l
DB段（ a ≤ x ≤ l ）：
M2(x)F l b xF(xa)
材料力学第五章梁弯曲时的位移
13
x a AD段（ 0≤ ≤ ）：
M1(x)
Fbx l
EIw1
Fbx l
Ew I1 EqI1F l bx22C1
q0
M(0)0
FS(0)
3 8
q0l
M(l) 81q0l2
FS(l) 85q0l
材料力学第五章梁弯曲时的位移
23
q0
1 8
q0l
材料力学第五章梁弯曲时的位移
7
挠曲线上某些点的已知位移（挠度和 转角）条件 —— 边界条件
wA ＝ 0 wB ＝ 0
wA ＝ 0 qA ＝ 0
边界条件 —— 支座处的约束条件
材料力学第五章梁弯曲时的位移
8
挠曲线的任意点上，有唯一确定的挠 度和转角 —— 连续条件
错！
错！
当弯矩方程需要分段建立时，在相邻梁 段的交接处，应具有相同的挠度和转角。

材料力学 第五章 梁弯曲时的位移 A

材料力学 第五章 梁弯曲时的位移 A

材料力学
第五章梁弯曲时的位移
主讲：韩玉林教授
东南大学工程力学系
§5-1 梁的位移
一.工程实例
在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作，如摇臂钻床。

约束对位移的影响
没有约束无法确定位移
连续光滑曲线；铰支座对位移的限制。

边界条件：
A B w w ==约束对位移的影响
连续光滑曲线；固定端对位移的限制。

边界条件：
0,0
B B w θ==约束对位移的影响
注意：
1.分段连续弯矩方程必须从原点沿x 的正向依次写出；
2.对含（x-a）项可不展开，把它视为新变量积分，更为方便；
试绘制图示梁挠曲轴的大致形状
绘制原则
•挠曲轴是一条连续而光滑的曲线（中间铰链除外
，该处只连续而不光滑）,为此必须满足连续光滑
条件。

•挠曲轴必须符合梁的边界条件
•弯矩为正的梁段是一条凹曲线；弯矩为负的梁段是一条凸曲线；弯矩为零的梁段不变形，为一条直线
•弯矩图由正变负或由负变正处，弯矩为零处，
挠曲轴出现拐点
下列图示梁的Q、M图和挠曲轴大致形状先用虚线标出，请读者自行检查是否正确，如有错，请在原图上改正
图示梁有一中间铰链，试勾画出挠曲轴大致形状,并求C处的挠度。

图示梁，左右端各作用一力偶矩m 1和m 2，要使挠曲轴的拐点位于距左端为L/3处，问m 1和m 2应保持何种比例？
作业
•5-8，5-11，5-13，5-17，5-25
谢谢大家!。

材料力学I-第5章%20梁弯曲时的位移[1]

材料力学I-第5章%20梁弯曲时的位移[1]


T$
T%
$
Z'
Z&
'
D
)$ )%
TD[ T[ d [ d D TD [ D T[ 0 [ TD[ D d [ d D , Z c (,Zc 0 [ TD[ T[ d [ d D c (,Z TD[ T[ & (,Z TD[ T[ & [ ' Z c (,Zc 0 [ TD[ TD [ D T[ D d [ d D c (,Z TD[ TD [ D T[ & (,Z TD[ TD [ D T[ & [ ' 0 [


0H
O
0H
G Z )O )[ G[ (, GZ )O[ )[ & G[ (, Z )O[ )[ &[ ' (, T & Z '


0
)O )[
T$ T%
T O

ZPD[
)$
[ TO 0 [ )$ [ T [ [ T O[ [ O [ T O[ O
(,Zcc (,Zc (,Z
& '
O T O O
)$
$ O
%
T O
Z

[
(,Z
&
[ D

&
TD ' T Z

材料力学I第五章 ppt课件

材料力学I第五章 ppt课件

材料力学(Ⅰ)电子教案
梁弯曲时的位移
14
例题 5-1
试求图示悬臂梁的挠曲线方程和转角方程，
并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。梁的EI
为常量。
材料力学(Ⅰ)电子教案
梁弯曲时的位移
15
例题 5-1
解: 1. 列挠曲线近似微分方程，并积分。该梁的弯矩方 程为
M x F l x ( 1 )
挠曲线近似微分方程为
(b)
E w M I x F l x ( 2 )
通过两次积分得 Ew IFlx x 22C 1 (3) EI F w l2 x 2x 6 3 C 1xC 2 (4)
材料力学(Ⅰ)电子教案
梁弯曲时的位移
16
例题 5-1
2. 确定积分常数，并求转角方程和挠曲线方程
相比可略去，于是得挠曲线近似微分方程
w Mx
EI
材料力学(Ⅰ)电子教案
梁弯曲时的位移
10
II. 挠曲线近似微分方程的积分及边界条件
w Mx
EI 求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为
E w I M x
后进行积分，再利用边界条件(boundary condition) 确定积分常数。
材料力学(Ⅰ)电子教案
该梁的边界条件为：在 x =0 处 w'=0 ，w =0
由(3)、(4)两式得 C 10 ， C 20
将C1和C2代入(3)、(4)两式，得
转角方程
qwFxF l 2x(5)
EI2EI
挠曲线方程
F2lx F3x w
(6)
2EI6EI
材料力学(Ⅰ)电子教案
梁弯曲时的位移
17
例题 5-1
转角方程

第五章 弯曲位移

第五章 弯曲位移

yCP2
则C处 的 总 挠 度 为 yC yCP1 yCP2 : 40.6 10 4 5.06 10 4 35.5 10 4 cm B处 的 总 转 角 为 B BP1 BP2 : 13.54 10 5 2.53 10 5 11.01 10 5 rad
1 2
1 2
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
挠曲线方程应分两段AB,BC.
F A
a
q
B
L
共有四个积分常数
EI z
C
x
边界条件
xa
x aL
连续条件
B 0
C 0
FA FB FC 2qL 0
叠加法求挠度
FC qL
5q2 L 48EI Z 384 EI z
4
C Cq C k
k FC
FCy 2 L
3
qL4 24 EI Z
FC C k
C

24 EI Z L3
例题 5.12
悬臂梁受力如图示.关于梁的挠曲线,由四种答案,请分析判断,哪一 个是正确的?
L1
q
C EA
边界条件
x
A
x0 xL
A 0
B
EIZ
L
y
qLL1 B LBC 2 EA
§3
按叠加原理计算梁的挠度和转角
叠加法计算位移的条件：
1、梁在荷载作用下产生的变形是微小的；
2、材料在线弹性范围内工作，梁的位移与荷载呈线
性关系；

材料力学：梁弯曲时的位移

材料力学：梁弯曲时的位移
Flx 2 Fx3 EIw C1 x C2 2 6
C1=0 C2=0
(3)
(4)
梁的转角方程和挠曲线方程分别为
Flx Fx 2 w' EI 2 EI
Flx 2 Fx3 w 2 EI 6 EI
24
F
A B x
w
max
l
θ max
y
max 及 wmax都发生在自由端截面处
M ( x) EI
12
(1 w' )
2
3
2
M
M
在规定的坐标系中，x 轴水平向右 为正，y 轴竖直向下为正。 曲线向下凸 时 ： w’’< 0 , M > 0 曲线向上凸 时 : w’’ > 0 , M < 0
y
M>0
w" 0
o
M
x
M
M<0
因此, M 与 w’’ 的正负号相反 y
w" 0
挠曲线方程为
w w( x)
式中 ，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ，w 为该点的挠度。
A
C
B
x
w挠度
挠曲线
y
C'
转角

5
三、挠度与转角的关系：
A
C
B
x
w挠度
挠曲线
y
C'
转角

tg w' w' ( x)
6
四、挠度和转角符号的规定
挠度：向下为正，向上为负。
转角：自 x 转至 切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。
A
C
B
x
w 挠度

材料力学课件第5章 弯曲位移

材料力学课件第5章 弯曲位移
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程（differential equation of the deflection curve） 近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项; （3） tan w w( x )
§5-3 用积分法求弯曲变形 （Beam deflection by integration )
一、微分方程的积分 （Integrating the differential equation )
d 2ω M(x) 2 dx EI Z
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成
EIw M(x)
1.积分一次得转角方程 （The first integration gives the equation for the slope）
A C B x
C'
挠曲线
w挠度（

B
转角
4.挠度与转角的关系 （Relationship between deflection and slope）：
tan w ' w '( x )
A
C C'
挠曲线
B
x
w挠度
转角

B
5.弯曲位移计算的小变形假定
a.梁轴线在变形前后不产生伸缩，即长度不变
Fab( l b ) A 1 | x 0 6lEI Fab( l a ) B 2 | x l 6lEI
转角方程
b x F ( x a) C2 EIw 2 F l 2 2
2
2
挠度方程
b x3 F ( x a) C 2x D 2 EIw 2 F l 6 6

材料力学第五章 梁弯曲时的位移 PPT

材料力学第五章 梁弯曲时的位移 PPT

M(x) E Iz
高等数学：
1
r (x)
=±（1＋ww2）3/2
± w w （1＋ 2）3/2
=
M(x) E Iz
M ＜ 0，w ＞ 0
M ＞ 0，w ＜ 0
取负号!
－ w w （1＋ 2）3/2
=
M(x) E Iz
w w （1＋ 2）3/2
=－
M(x) E Iz
挠曲线微分方程
小 变 形
w
=－
DB段（a≤x≤l）： M2(x)F l b xF(xa) Ew I2 Fl b xF(xa)
q E w 2 IE2I F l b x 2 2 F (x 2 a )2 C 2
E2 I w F l b x 6 3F(x 6 a )3 C 2xD 2
确定积分常数 连续条件
x = a 时：
w1 w2 w1 w2
边界条件
x = 0 时： w1 0 x = l 时： w2 0
D1D20 C1C2F 6lb(l2b2)
AD段（ 0≤ x ≤ a ）：
w 1 q1F(6 b lE 2b I2)l2F Eb Ix2l
w1F(6 b lE 2b I2l)x6F EbIx3 l
DB段（ a ≤ x ≤ l ）：
q w 2 2 F ( 6 lE 2 b b 2 I ) l2 F Ex b 2 I l 2 F E (x I a )2
对于受任意荷载的简支梁，若挠曲线上无拐点， 则可用梁中点的挠度代替最大挠度。
例3：悬臂梁如图，已知F、a，M＝0.5 Fa，
梁的弯曲刚度 EI 为常数，试画出挠曲线的大致形 状。
FM
A
B
C
D
a
a

材料力学第五章梁弯曲时的位移分析

材料力学第五章梁弯曲时的位移分析

a)2
C2 x2 D2
C2
B B x
FBy
目录
5.2 积分法求梁的挠度和转角
4）由边界条件确定积分常数
位移边界条件
x1 0, w1(0) 0 x2 l, w2 (l) 0
光滑连续条件
x1 x2 a, 1(a) 2 (a)
x1 x2 a, w1(a) y2 (a) 代入求解，得
x1 ,0
x1
a
y
CB 段：
M x2
FAy
x2
F ( x2
a)
Fb l
x2
F ( x2
a),
a x2 l
目录
5.2 积分法求梁的挠度和转角
3）列挠曲线近似微分方程并积分
F
AC 段： 0 x1 a
EI
d 2w1 dx12
M (x1)
Fb l
x1
EI
dw1 dx1
EI (x1)
Fb 2l
x2 1
EI dw EI 1 F (l x)2 C
dx
2
EIw 1 F (l x)3 Cx D 6
代入求解
C 1 Fl2, D 1 Fl3
2
6
5）确定转角方程和挠度方程
EI 1 F (l x)2 1 Fl2
2
2
Ax
y
yB
l
F Bx
B
EIw 1 F (l x)3 1 Fl2x 1 Fl3
目录
5.2 积分法求梁的挠度和转角
例2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，
梁的EI已知，l=a+b，a>b。
F
解 1）由梁整体平衡分析得：

材料力学I第五章ppt课件

材料力学I第五章ppt课件
而对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积 分常数。要确定这些积分常数，除利用支座处的约束条件 (constraint condition)外，还需利用相邻两段梁在交界处的 连续条件(continuity condition)。这两类条件统称为边界条 件。
11
第五章 梁弯曲时的位移
例题5-1 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，
6
第五章 梁弯曲时的位移
从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作
1
x
1
w w2
3/ 2
1/为非负值的量，而w“是q = w' 沿
x方向的变化率，是有正负的。
w
1 w2
3/ 2
M x
EI
由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w2与1相比可略
去，于是得挠曲线近似微分方程 w M x
7
EI
第五章 梁弯曲时的位移
第五章 梁弯曲时的位移
§5-1 梁的位移——挠度和转角
梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直于x轴方向的 线位移w称为挠度(deflection)，横截面对其原来位置的角
位移q 称为横截面的转角(angle of rotation)。
1
第五章 梁弯曲时的位移
挠曲线(deflection curve)为一平坦而光滑的曲线，它 可以表达为: w=f(x)，此式称为挠曲线方程。
由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面 的转角θ也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角， 从而有转角方程：
q tanq w f x
2
第五章 梁弯曲时的位移
(a)
(b)
直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲
变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件
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写出微分方程并积分。 EIw M ( x) Fl Fx
1 2 Fx C1 ， 2 1 1 EIw Flx 2 Fx 3 C1 x C 2 2 6 EI w Flx
应用位移边界条件求积分常数 由 w x 0 0

x 0
0
得 C1=0，C2=0
A
例题7-6试按叠加原理,求图示弯曲刚度为EI的外伸梁截面B的
转角以及A端和BC段中点D的挠度wA和wD。 2q
q
A 2q A w2 B 2qa
B
D
C
a
qa2
a
2a
2qa
q
w1
qa2
B
D
C
q
B θBq D
wDq
wDM
C
解：将梁沿B截面截开，如图所示， 看成一悬臂梁和简支梁。
qa2
B θBM
D
C
ql3 q(2a)3 qa3 Bq 24EI 48EI 3EI M Bl 2qa3 BM 3EI 3EI
样的钢材制成，材料的弹性模量为E，梁的横截面惯性矩为I， 拉杆的横截面面积为A，其余尺寸见图。试求钢杆AD的拉力FN。 D l 2q
q
A
B
C
a
2a
D 2q
FN A A1 FN wA 2q B
q q
解：、建立基本静定系。 、几何方程——变 形协调方程 C
wA l
wA wAq wAF l
Me A
q
C
B
解：此梁上的荷载可以分为 两项简单荷载，如图所示。
l
q
wC wCq wCM
B
M el 2 5ql 4 384EI 16EI
A
Me A
A Aq AM
B Bq BM
M el ql3 24EI 3EI
M el ql3 24EI 6 EI
C
wAq FN wAF
B
B
C
D 2q
FN A A1 FN wA 2q B
q q
、物理方程——变形与力 的关系
7 qa4 wAq 12EI C FN a 3 wAF EI
C
wAq FN wAF
B
FN l l EA
B
C
、补充方程 求得：
7qa4 FN a 3 FN l ＝ 12EI EI EA
二、提高梁刚度的措施 1.增大梁的弯曲刚度 2.调整跨长和改变结构
§7－ 6
一、概念
简单超静定梁的求解
1. 静定梁：支座反力和内力仅用静力平衡条件 就可全部确定的梁。 2. 超静定梁：支座反力和内力仅靠静力平衡条 件不能全部确定的梁。 3. 超静定次数：多余约束的数目。 二、超静定梁的求解－变形比较法。 1、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方 程相结合，求全部未知力。
应用位移边界条件求积分常数 支座约束条件：
w x 0 0
位移连续条件：
w xl 0
(a) w2 (a) w1 (a) w2 (a), w1
得： C C Fb (l 2 b 2 ), 1 2 6l
D1 D2 0
④ 写出转角方程及挠曲线方程。
AC段:
A
l
B
x
y
解：查得工字钢的惯性矩为:
I 0.237 104 m 4
梁的最大挠度为：
wmax ql 4 3 103 34 3 6 . 4 10 m 9 4 8EI 8 20010 0.23710
wmax 6.4103 1 1 l 3 468 400 满足刚度要求。
④ 写出转角方程及挠曲线方程。
w
w
1 1 2 Flx Fx EI 2
1 1 1 3 2 Flx Fx EI 2 6
⑤ 求最大挠度和最大转角。在自由端处，有
max
Fl 2 Fl 2 Fl 2 EI 2 EI 2 EI
wmax
2、举例
q
A B
解：、建立基本静定系 确定超静定次数，用反力代替多余
l
q A
q A A
约束所得到的结构——基本静定系。
B FB
B
、几何方程——变形协调方程
wB wBq wBF 0
w物理方程——变形与 力的关系 B
wBq
B
q
A q A A
ql 4 8EI
(0 x a )
Fb 1 2 2 2 1 (l b ) x 2 EIl 3
：
Fbx 2 w1 (l b 2 x 2 ) 6 EIl
BC段:
(a x l )
：
1 Fb 2 2 F 2 2 2 ( l b 3 x ) ( x a ) EI 2 6l
EIw( x) M ( x)
二、求挠曲线方程（弹性曲线） 1、微分方程的积分
EIw( x) M ( x)
积分一次， EIw M ( x)dx C1 积分两次，
EIw 〔 M ( x)dx〕dx C1 x C 2
2、位移边界条件 、支座约束条件：
B
例题7-4 一弯曲刚度为EI的简支梁受荷载如图所示。试 按叠加原理求梁跨中点的挠度和支座处横截面的转角。
Me A
q
C
B
解：此梁上的荷载可以分为 两项简单荷载，如图所示。
l
q
wC wCq wCM
B
M el 2 5ql 4 384EI 16EI
A
Me A
A Aq AM
wA w1 w2 B a w2
qa3 qa4 7qa4 wA a 3EI 4 EI 12EI
§7－5
梁的刚度校核 提高梁的刚度的措施
一、梁的刚度条件
wmax w l l
max
例题5-8 图示悬臂梁AB，承受均布荷载 q 的作用。已知： l=3m，q=3kN/m，，梁采用20a号工字钢，其弹性模量 E=200GPa，试校核梁的刚度。 q
Fb M2 x F ( x a) BC段弯矩方程为： l
Fb x l
(0 x a)
(a x l )
写出微分方程并积分。
AC段:
M 1 F EI w1 b x ( 0 l Fb 2 EI w1 x C1 2l Fb 3 EIw 1 x C1 x D1 6l
一、挠曲线近似微分方程
x
M M>0
w 0
x x
M
M<0<0 M
M
M
w 0
w
w
1 M ( x) 由曲率与挠度的关系： ( x) EI
而曲率可写作：
由上两式可得：
1 w ( x) (1 w 2 ) 3 2
M ( x) w EI (1 w 2 ) 3 2
k
θ（转角） x
w（挠度）
y
二、转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用 表示，顺时针转动为正，反之为负。
三、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该 曲线称为挠曲线。 其方程为：
w =f（x）
四、转角与挠曲线的关系：
dw tan f ( x) dx
§7－2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
x a)
（a） （b）
BC段:
EI w2
Fb x F ( x a) l
(a x l )
Fb 2 F （c） x ( x a) 2 C 2 2l 2 Fb 3 F （d） EIw 2 x ( x a ) 3 C 2 x D2 6l 6 EI w2
在图示坐标系中，M ( x)与 w 总是符号相反，故
w M ( x) (1 w2 )3 2 EI
（5-1）
在小变形情况下， 所以，有：
w w 2 32 (1 w )
w M ( x) EI
式（ 5-2 ）就是挠曲线近似微分方程。
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下 形式：
1 Fbx 2 F 2 2 3 y2 (l b x ) ( x a) EI 6l 6
⑤ 求指定截面的位移。
C点的挠度：
wC
xa
Fab 2 2 2 (l b a ) 6 EIl
A截面的转角：
Fb 2 2 A （l b ) 6 EIl
§7－3
7qa4 A FN＝ 12( Il Aa3 )
wBF
FB l 3 3EI
、补充方程
ql 4 FB l 3 0 8EI 3EI
FB B
wBq wBF
求得：
3 FB ql 8
、求解其它问题（反力、 应力、变形等）
B RB
例题7-7 一外伸梁承受如图所示的荷载，A端用一钢杆AD与梁
连接。在梁承受荷载前，杆AD内没有内力。已知梁与拉杆用同
按叠加原理计算梁的挠度和转角
一、叠加原理：
多个载荷同时作用于结构而引起的效应等于每个
载荷单独作用于结构而引起的效应的代数和。 二、用叠加法作内力图 步骤： ①分别求出各项荷载单独作用下梁的位移； ②将其相应的位移叠加即可。
例题7-4 一弯曲刚度为EI的简支梁受荷载如图所示。试
按叠加原理求梁跨中点的挠度和支座处横截面的转角。
A B
A
wA=0
wB=0
wA=0 θA=0
B
②、变形连续条件： A
P
C θC左=θ C右 wC左= wC右，