第五章 弯曲位移习题_3

5-1 把直径1d mm =的钢丝绕在直径为2m 的卷筒上，试计算该钢丝中产生的最大应力。

设200E GPa =解：钢丝绕在直径为D 的卷筒上后产生弯曲变形，其中性层的曲率半径为22D d Dρ+=≈（因D d >>） 该钢丝中产生的最大应力为39maxmax/211020010100/22y d d E E E Pa MPa D D σρ-⨯====⨯⨯=5.4 矩形截面悬臂梁如图所示。

已知4l m =，23b h =，10/q kN m =，[]10MPa σ=，试确定此梁横截面的尺寸。

解：作梁的弯矩图如图所示。

梁的最大弯矩发生在固定端截面上。

22max 111048022M ql kN m ==⨯⨯=⋅ 由强度条件，有max maxmax 26[]z M M W bhσσ==≤ 将23b h =代入上式，得0.416416h m mm ≥=== 22773b h mm =≥ 5.5 20a 工字钢梁的支承和受力情况如图所示。

若[]160MPa σ=，试求许可载荷F 。

解：（1）求支座反力。

选整个梁为研究对象，受力分析如图所示。

列平衡方程，有0yF =∑，0A B F F F F ++-=()0AM=∑F ，6240B F F F ⨯-⨯+⨯=解得：13A F F =，13B F F =-M O212qlM O（2）作梁的弯矩图如图所示。

由图可知该梁的最大弯矩为max 23C M M F ==查表得No.20a 工字钢的抗弯截面系数为3237z W cm =，由强度条件，有max max 2/3[]z zM F W W σσ==≤ 解得663[]3237101601056.922z W F kN σ-⨯⨯⨯⨯≤==所以许可载荷56.9F kN =。

5.8 压板的尺寸和载荷情况如图所示。

材料为45钢，380s MPa σ=，取安全因数1.5n =。

试校核压板的强度。

解：由受力分析可知最大弯矩发生在m m -截面处，且其值为3max 10.0215.4100.02308M P N m =⨯=⨯⨯=⋅m m -截面的抗弯截面系数z W 为333max11302030121212156810zz I W mm y ⨯⨯-⨯⨯=== 压板的最大应力为max max 9308197156810z M MPa W σ-===⨯ 而许用应力为380[]2531.5sMPa nσσ===截面m-m因最大应力小于许用应力，所以压板的强度足够。

弯曲位移习题与试题集一选择题1 dx dx C x++1．用积分法求图示梁的挠曲线方程时，确定积分常数的四个条件，除 0A ω=，0A θ= 外，另外两个条件是 。

A ．C C C C ωωθθ==左右左右，； B. 0B C C ωωω==左右，； C ． 00C B ωω==，； D ． D. 00B C ωθ==，；答案：B2．图示圆截面梁，若直径d 增大一倍（其他条件不变），则梁的最大正应力、最大挠度分别降至原来的 。

A ．12 14B ．14 18C ．18 18D ．18 116答案：D3．梁变形前的轴线为x 轴，若取图（a ）图（b ）两个坐标系，则其挠曲线近似微分方程分别为 。

A ． ''''a b EI M EI M ωω==-和B ． ''''a bEI M EI M ωω==和 C ． ''''a b EI M EI M ωω=-=-和D ． ''''a bEI M EI M ωω=-=和 答案：D4．设图示悬臂梁的挠曲线方程为()EI M x dxdx Cx D ω=++⎰⎰，则积分常A ．C=0 D ≠0 B.C=0 D=0 C ．C ≠0 D ≠0 D.C ≠0 D=0答案：B5．对于图示（a ）（b ）（c ）（d ）4种坐标系，挠曲线近似微分方程()EI M x ω''=-适用的坐标系是 。

A.（a ） （c ）B.（b ） （c ）C.（a ） （d ）D.（b ） （d ）()a ()b答案：D6．梁的受力如图，挠曲线正确的是。

答案：B7．图示两根梁的材料相同，截面惯性矩分别为I1 和I2 ，梁长分别为i1=l2，若I1=2I2，l1=2l2，两根梁在中点处接触，在无处载时两梁刚好接触，在F作用下，上下梁分别承担的荷载之比为A．14B. 4C．18D. 8 答案：A二判断题1、小挠度微分方程的使用条件是线弹性范围内的直梁。

+-++(a)(b)(c)(d)M M M MeMeMeFa图图图M 图挠曲线挠曲线挠曲线挠曲线第五章梁弯曲时的位移5-1试画出图示梁挠曲线的大致形状。

根据梁的弯矩图确定梁挠曲线的大致形状，M >0，挠曲线向下凸；M <0，挠曲线向上凸。

5-2图示各梁EI=常数。

试写出各梁的位移边界条件，并画出梁挠曲线的大致形状。

F(c)题 5 - 1 图(a)(b)(d)++-M 图M 图FL/2m/32m/3FL挠曲线挠曲线(a)(b)设梁的最左端断点为坐标原点，x 轴正方向向右。

则各梁边界条件、弯矩图及梁的挠曲线大致形状如下： (a)(0)0ω=(b)(0)()0L ωω== (c)(0)()0L ωω== (d)(0)(2)0a ωω==(e)()(3)0a a ωω==(f)(0)0ω=(a)(b)qL/4F(d)(c)L(f)(e)题 5 - 2 图+--M 图M 图+qL2/64qL2/8FaFa挠曲线挠曲线(c)(d)+-M 图M 图-2mmFL挠曲线挠曲线(e)(f)5-3试画出图示梁挠曲线的大致形状。

2(a)(b)(c)题 5 - 3 图（3）++--qa2qa/423qa/42qa2/2qa2/2(a)(b)+-m(c)5-4如要使图示结构B端的挠度为零，则长度x应为多少？试画出此时AB梁的挠曲线大致形状。

答：Lx32=解:固定端约束反力如图所示。

则AB梁上距离A端l处的横截面上的弯矩为M（l）=Fl-F（L-x）由挠曲线微分方程得：EIω”=-M（l）=F（L-x）-Fl积分得：EIω’=F（L-x）l-2Fl2+C1;再积分得：EIω=2F（L-x）l2-6Fl3+C1l+C2；由边界条件l=0 ，ω’=0得C1=0；由ω=0得C2=0L题 5 - 4 图题 5 - 5 图刚性杆qBB∴EI ω=2F （L -x ）l 2-6F l 3；由题意知l =L 时，ω=0得x =32L AB 梁挠曲线大致形状：M （l ）=Fl -3F L ；0<l <3L 时，M （l ）<0;3L<l <L 时，M （l ）>05-5图示刚架在端点C 处受集中力F 作用，试求当B 点的铅垂位移为零时La的比值。

第五章 梁弯曲时的位移 习题解[习题5-1] 试用积分法验算附录IV 中第1至第8项各梁的挠曲线方程及最大挠度、梁端转角的表达式。

解：序号1（1）写弯矩方程（2）写挠曲线近似微分方程，并积分 把边界条件：当0=x 时，0'=w，0=w 代入以上方程得：01=C，02=C。

故：转角方程为：x M EI EIw e ==θ'，EIxM e =θ 挠曲线方程：221x M EIw e =， EI x M w e 22=（3）求梁端的转角和挠度 解：序号2（1）写弯矩方程（2）写挠曲线近似微分方程，并积分 把边界条件：当0=x 时，0'=w，0=w 代入以上方程得：01=C，02=C。

故：转角方程为：2'21Fx Flx EI EIw -==θ，)2(22x lx EIF-=θ 挠曲线方程：326121Fx Flx EIw -=，)3(62x l EIFx w -=（3）求梁端的转角和挠度解：序号3（1）写弯矩方程当a x ≤≤0时， Fx Fa x a F x M +-=--=)()( 当l x a ≤≤时， 0)(=x M（2）写挠曲线近似微分方程，并积分当a x ≤≤0时，把边界条件：当0=x 时，0'=w，0=w 代入以上方程得：01=C，02=C。

故：转角方程为：2'21Fx Fax EI EIw -==θ，)2(22x ax EIF-=θ 挠曲线方程：326121Fx Fax EIw -=，)3(62x a EIFx w -=（3）求梁端的转角和挠度设集中力的作用点为C ，则：EI Fa a a a EI F a C 2)2(2)(22=-⋅==θθ EIFa a a EI Fa a w w C 3)3(6)(32=-== 由于CB 段没有外力作用，故该段没有变形，所以：EIFa B 22=θ)233(62)(3tan )(223a a x EIFa EI Fa a x EI Fa a x w w C C B +-=-+≈-+=θ )3(62a x EIFa w B -= 解：序号4（1）写弯矩方程 2)(21)(x l q x M --= （2）写挠曲线近似微分方程，并积分)("x M EIw -= 2")(21x l q EIw -=1322'6)()()(2)(2C x l q x l d x l q dx x l q EIw +--=---=-=⎰⎰ 当0=x 时，0'=w ，即：136)0(0C l q +--=，631ql C =66)(33'ql x l q EIw +--= 23433624)(6)()(6C x ql x l q x ql x l d x l q EIw ++-=+--=⎰ 当0=x 时，0=w 代入以上方程得：24240C ql +=，2442ql C -=24624)(434ql x ql x l q EIw -+-=故：转角方程为：66)(33'ql x l q EIw +--= 挠曲线方程：24624)(434ql x ql x l q EIw -+-=]4)[(24434l x l x l qEIw -+-=)4464(2443432234l x l x lx x l x l l q -++-+-= )46(244322x lx x l q +-= )46(24222x lx l qx +-= （3）求梁端的转角和挠度66)()(33'ql l l q EI l EIw B +--=θEIql B 63=θEIql l l l l ql EIw l EIw B 8)46(24)(4222=+⋅-==解：序号5（1）写弯矩方程l xl q x q -=0)(，lx l q x q )()(0-= lx l q x l l x l q x l x M 6)(3])()(21[)(300--=-⋅-⋅-⋅-=（2）写挠曲线近似微分方程，并积分)("x M EIw -= 30")(6x l lq EIw -=1403030'24)()()(6)(6C lx l q x l d x l l q dx x l l q EIw +--=---=-=⎰⎰ 当0=x 时，0'=w ，即：14024)0(0C l l q +--=，24301l q C =2424)(3040'l q l x l q EIw +--=23050304024120)(24)()(24C x l q l x l q x l q x l d x l l q EIw ++-=+--=⎰ 当0=x 时，0=w 代入以上方程得：250120)0(0C l l q +-=，120402l q C -=12024120)(403050l q x l q l x l q EIw -+-=故：转角方程为：2424)(3040'l q l x l q EIw +--=挠曲线方程：12024120)(403050l q x l q l x l q EIw -+-=)51010(120322320x lx x l l lx q EIw -+-=（3）求梁端的转角和挠度24)(30'l q EI l EIw B ==θ，EIl q B 2430=θ12024120)()(403050l q l l q l l l q EIw l EIw B -⋅+--==， EIl q w B 3040=解：序号6（1）写弯矩方程 l M R A B =（↑），lM R AA = （↓） x lM M x R M x M AA A A -=-=)( （2）写挠曲线近似微分方程，并积分)("x M EIw -= A AM x lM EIw -=" 12'2C x M x lM EIw A A +-=2123216C x C x M x l M EIw A A ++-=把边界条件：当0=x 时，0=w 代入以上方程得：02=C 。

材料力学习题 第五章 弯曲应力 P166，5-3已知：如图。

AB 段直径D =0.06m ，BE 段外径D =0.06m ，内径d =0.045m 求：σmax 。

解：1. 内力：危险截面C 、B2. 应力：截面C MP a38.63m 10121.232m,.kN 344.1353==⨯===-W M D W M CC σπ截面B MP a09.62m 10450.1)1(32m,.kN 9.03543==⨯=-==-W M D W M BB σαπP168，5-11已知：内力及截面如图。

材料4[σt ]= [σc ]。

求：合理的b 。

解：1. 根据强度条件：最佳的截面设计可以使122121t 4,][][][],[y y y y y I My I Mt t c zc t z ======即σσσσσσ2. 根据截面高可得：32080,4002121===+y y y y ，3. 按照z 轴为形心轴的要求：)(5100506010203016032030021mm b b S S ==⨯+⨯⨯+-⨯⨯=+）（P168，5-12已知：受力及截面如图。

材料 [σt ] =40MPa ，[σc ] =160MPa 。

I z =1.018×10-4m 4，h 1=0.0964m ，h 2=0.1536m 。

求：[F ]。

解：1. 内力：危险截面A 、C ，M A =0.8F ，M B =0.6F2. 应力：截面A 2221116.1328.0][],[80.528.0][],[F kN h I F h I M F kN h I F h I M c z c z A c t z t z A t ==≤≤===≤≤=σσσσσσ截面C 4113226.2816.0][],[18.446.0][],[F kN h I F h I M F kN h I F h I M c z c z C c t z t z C t ==≤≤===≤≤=σσσσσσ3. 结论：34321},,,m in{][F F F F F F ==P168，5-13已知：内力及截面如图。

第5章 弯 曲 应 力 习题(1) 如图5.18所示吊车梁，吊车的每个轮子对梁的作用力都是F ，试问： ① 吊车在什么位置时，梁内的弯矩最大？最大弯矩等于多少？② 吊车在什么位置时，梁的支座反力最大？最大支反力和最大剪力各等于多少？(2) 如图5.19所示一由16号工字钢制成的简支梁承受集中荷载F ，在梁的截面C —C 处下边缘上，用标距s =20mm 的应变仪量得纵向伸长s ∆=0.008mm 。

已知梁的跨长l =1.5m ，a =1m ，弹性模量E =210GPa 。

试求F 力的大小。

图5.18 习题(1)图图5.19 习题(2)图(3) 由两根28a 号槽钢组成的简支梁受三个集中力作用，如图5.20所示。

已知该梁材料为Q235钢，其许用弯曲正应力[]σ=170MPa 。

试求梁的许可荷载[F ]。

图5.20 习题(3)图(4) 简支梁的荷载情况及尺寸如图5.21所示，试求梁的下边缘的总伸长。

图5.21 习题(4)图(5) 一简支木梁受力如图5.22所示，荷载F =5kN ，距离a =0.7m ，材料的许用弯曲正应力[]σ=10MPa ，横截面为bh =3的矩形。

试按正应力强度条件确定梁横截面的尺寸。

图5.22 习题(5)图(6) 如图5.23所示，一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。

已知F =5kN ， 1.5a =m ，[]σ=10MPa 。

试确定弯曲截面系数为最大时矩形截面的高宽比bh ，以及梁所需木料的最小直径d 。

图5.23 习题(6)图(7) 一正方形截面悬臂木梁的尺寸及所受荷载如图5.24所示。

木料的许用弯曲正应力[]σ=10MPa 。

现需在梁的截面C 上中性轴处钻一直径为d 的圆孔，试问在保证梁强度的条件下，圆孔的最大直径d (不考虑圆孔处应力集中的影响)可达多大？图5.24 习题(7)图(8) 当荷载F 直接作用在跨长为l =6m 的简支梁AB 之中点时，梁内最大正应力超过许可值30%。

材料力学
第五章梁弯曲时的位移
主讲：韩玉林教授
东南大学工程力学系
§5-1 梁的位移
一.工程实例
在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作，如摇臂钻床。

约束对位移的影响
没有约束无法确定位移
连续光滑曲线；铰支座对位移的限制。

边界条件：
A B w w ==约束对位移的影响
连续光滑曲线；固定端对位移的限制。

边界条件：
0,0
B B w θ==约束对位移的影响
注意：
1.分段连续弯矩方程必须从原点沿x 的正向依次写出；
2.对含（x-a）项可不展开，把它视为新变量积分，更为方便；
试绘制图示梁挠曲轴的大致形状
绘制原则
•挠曲轴是一条连续而光滑的曲线（中间铰链除外
，该处只连续而不光滑）,为此必须满足连续光滑
条件。

•挠曲轴必须符合梁的边界条件
•弯矩为正的梁段是一条凹曲线；弯矩为负的梁段是一条凸曲线；弯矩为零的梁段不变形，为一条直线
•弯矩图由正变负或由负变正处，弯矩为零处，
挠曲轴出现拐点
下列图示梁的Q、M图和挠曲轴大致形状先用虚线标出，请读者自行检查是否正确，如有错，请在原图上改正
图示梁有一中间铰链，试勾画出挠曲轴大致形状,并求C处的挠度。

图示梁，左右端各作用一力偶矩m 1和m 2，要使挠曲轴的拐点位于距左端为L/3处，问m 1和m 2应保持何种比例？
作业
•5-8，5-11，5-13，5-17，5-25
谢谢大家!。

中性轴上的正应力为；矩形截面梁横截面上剪应力沿高度是按分布的。

04． 矩形截面梁若m ax
Q 、m ax M 和截面宽度b 不变，而将高度增加一倍，则最大弯曲正应力为原来的 倍，最大弯曲剪应力为原来的 倍。

05．图示正方形截面简支梁，若载荷不变，而将边长增加一
变应
][τ，，
力
截
T字4。

材。

试
应力助梁
3mm，
3
的强
圆截
.，
mm
15
横截
取水
力的分布规律如何？该截面上总的水平剪力有多大？它由什
么来平衡。

试校核
mm，木
MPa
5。

矩形，
面梁的
正确答案是
点
字形
[P。

] CD，
，F2 = 1.6
( 1 ) 截面为矩形，h = 2 b；
( 2 ) 截面为圆形。

28．图示结构，拉杆EB的直径mm
D100
=，
=，梁AF的直径mm
d8
两者材料相同，[σ] = 160 MPa ，l = 6 m。

求：
a
=
?
1、2与梁的许用应力均为[σ]，杆1和杆2的横截面面积分别为A和2A，梁的抗弯截面模量为W = l A /3，试确定该结构的许可载荷[ P ]。

向伸长为mm
∆。

求载荷q的值与梁AB的安全直径。

CB5.0
=
11 /
11。