空间曲线曲率挠率和Frenet公式

空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式前言空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式是空间曲线基本理论的一部分,它是以空间曲线的密切平面和基本三棱形的知识作为基础的.空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式在空间曲线的基本理论中占有重要位置,是空间曲线的一些基本性质和基本公式.曲线的曲率和挠率完全决定了曲线的形状.当曲线的曲率和挠率之间满足多种不同的关系时,就会得到不同类型的曲线.例如:0k >时为直线,0τ=时为平面曲线.本文将从定义、公式推导和具体举例三方面逐步解析空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式.本文第一部分讲述曲率和挠率的定义,第二部分讲述Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示的推导,第三部分具体举例有关曲率、挠率的计算和证明.1. 空间曲线的曲率和挠率的定义1.1准备知识—空间曲线的伏雷内标架给出2c 类空间曲线()c 和()c 上一点p .设曲线()c 的自然参数表示是(),r r s =其中s 是自然参数，得drdsr ==α是一单位向量.α 称为曲线()c 上p 点的单位切向量.由于1=α，则⊥αα，即r r ⊥.在α上取单位向量==αr βαr， (1)β称为曲线()c 上p 点的主法向量.再作单位向量=?γαβ，γ称为曲线()c 上p 点的副法向量.我们把两两正交的单位向量,,αβγ称为曲线上p 点的伏雷内(Frenet)标架. 1.2 空间曲线的曲率我们首先研究空间曲线的曲率的概念.在不同的曲线或者同一条曲线的不同点处，曲线弯曲的程度可能不同.例如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲程度较大.为了准确的刻画曲线的弯曲程度，我们引进曲率的概念.要从直观的基础上引出曲率的确切定义，我们首先注意到，曲线弯曲的程度越大，则从点到点变动时，其切向量的方向改变的越快.所以作为曲线在已知一曲线段PQ 的平均弯曲程度可取为曲线在P 、Q 间切向量关于弧长的平均旋转角.设空间中3c 类曲线()c 的方程为().r r s =曲线()c 上一点p ，其自然参数为s ，另一邻近点1p ，其自然参数为s s +?.在p 、1p 两点各作曲线()c 的单位切向量()s α和()s s +?α.两个切向量的夹角是??，也就是把点1p 的切向量()s s +?α平移到点p 后，两个向量()s α和()s s +?α的夹角为??.我们把空间曲线在p 处的切向量对弧长的旋转速度来定义曲线在点p 的曲率.定义[]1空间曲线()c 在p 点的曲率为()lims k s s→?=?，其中s ?为p 点及其邻近点1p 间的弧长，??为曲线在点p 和1p 的切向量的夹角.再利用命题“一个单位变向量()t r （即()1t =r ）的微商的模,()r t 的几何意义是()t r 对于t 的旋转速度”.把这个结果应用到曲线()c 的切向量α上去，则有()k s =α.由于r =α，所以曲率也可表示为()k s r =.由上述空间曲线的曲率的定义可以看出，它的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的弯曲程度越大，切向量对于弧长的旋转速度就越大，因此曲率刻画了曲线的弯曲程度.对于空间曲线，曲线不仅弯曲而且还要扭转（离开密切平面），所以研究空间曲线只有曲率的概念是不够的，还要有刻画曲线扭转的程度的量—挠率. 1.3 空间曲线的挠率当曲线扭转时，副法向量（或密切平面）位置随着改变（如图一），所以我们用副法向量（或密切平面）的转动速度来刻画曲线的扭转程度（在一点离开密切平面的程度）.现在设曲线()c 上一点p 的自然参数为s ，另一邻近点1p 的参数为s s +?，在p 、1p 两点各作曲线()c 的副法向量()s γ和()s s +?γ.此两个副法向量的夹角是??(如图一).(γ（图一）再利用命题“一个单位变向量()t r （即()1t =r ）的微商的模,()r t 的几何意义是()t r 对于t 的旋转速度” .把这个结果应用到曲线()c 的副法向量向量γ上去，得到lims s→?=?γ，此式的几何意义是它的数值为曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的扭曲程度越大（离开所讨论点的密切平面的程度越大），副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度就越大.因此，我们可以用它来刻画曲线的扭转程度.根据（1）和曲率的定义，我们有()k s ===r ααβrα，即()k s =αβ. (2) 对=?γαβ求微商，有()()k s =?=?+?=?+?=?αβαβαβββαβαβγ，因而⊥αγ.又因为γ是单位向量，所以⊥γγ.由以上两个关系可以推出//γβ. (3) 现在我们给出挠率的定义如下：定义[]1 曲线()c 在p 点的挠率为：().s τ?+??=??-??γγβγγβ，当和异向，，当和同向挠率的绝对值是曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度. 介绍了曲率、挠率的定义之后，为了更好的应用曲率和挠率,下面我们来看Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导过程.2. Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导2.1 Frenet 公式的推导根据（3）及挠率的定义有τ=-γβ（s) （4）另外，对=?βγα求微商，并利用（4）和（2），可以推导出()()()()()s k s k s s ττ=?=?+?=-?+?=-+βγαγαγαβαγβαγ（5）公式（2），（5），（4）称为空间曲线的伏雷内（Frenet ）公式，即()()()()k s k s s s ττ?=??=-+??=-??αββαγγβ，这组公式是空间曲线的基本公式.它的特点是基本向量α、β、γ关于弧长s 的微商可以用α、β、γ的线性组合来表示.它的系数组成反称的方阵()0()0()0()0k s k s s s ττ?? ?- ? ?-??2.2 曲率的一般参数表示式的推导若给出3c 类的空间曲线()c().r r s =，则有,dr ds ds r r ds dt dt== ，22,222,,222ds d s d r ds d s ds d s r r r r r r dt dt ds dt dt dt dt =+=+=+ ? ? ?，所以232,,,2ds ds d s ds r r r r r r r dt dt dt dt=?+=??? ? ?????????，由上式得3,,,sin ds r r r r dt θ??=.注意上式中,1,,dsr r r r dt=⊥=，因而有3,,,,r r k r ?=.由此得到曲率的一般参数表示式,,,3,r r k r=.2.3挠率的一般参数表示式的推导再由伏雷内公式的（4）式τ=-γβ（s)，两边点乘β得r τ=-βββ，因而()()26,2,,,1111111,,,,k k k k k k k k r r r τ??=-==? ?=?+ ? ? ? ?????????????=?+ ? ? ? ???????=?? ???=γβγβαβαααααγγγγγγγγγγ再把,dsr rdt=22,,2ds d s r r r dt dt ??=+323,,,233ds ds d s d s r dt dt dt dt ??=++ γγγ代入(),,,,,,r r r ??中得()66,,,,,,,,,,,ds r r r r dt== ? ? ??γγγγγγ ，所以得到()(),,,,,,2,,,r r r r r τ??=. 这是一般参数表示的挠率计算公式.另外说一下密切圆，曲率中心，曲率半径的定义.空间曲线()c 在一点的密切圆（曲率圆）是过曲线()c 上一点()P s 的主法线的正侧取线段PC ，使PC 的长为1k ，以C 为圆心，以1k为半径在密切平面上确定一个圆，这个圆称为曲线()c 在()P s 点的密切圆（曲率圆），曲率圆的中心称为曲率中心，曲率圆的半径称为曲率半径（如图二）.（图二）3. 有关曲率、挠率的计算和证明例 1[]1 求圆柱螺线{}cos ,sin ,a a b θθθ=r ()θ-∞<<+∞的曲率和挠率. 解由圆柱螺线方程{}cos ,sin ,a a b θθθ=r ，先计算{},sin ,cos ,a a b θθ=-r ,{},,cos ,sin ,0a a θθ=--r ,{},,,sin ,cos ,0a a θθ=-r ,于是有,=r{},,,2sin cos sin ,cos ,,cos sin 0a ab ab ab a a a θθθθθθ=-=---123e e e r r,,,?=r r代入曲率和挠率的公式得,,,322,,ak a b ?===+r r r()(),,,,,,2222422,,,,,.,ba ba b aa b τ===++r r r r r 由以上可以看出，圆柱螺线的曲率和挠率都是常数.例 2[]1 证明曲率恒等于零的曲线是直线. 证明已知0,k =≡r因而,=r 0由此得到 =r a（常向量）. 再积分即得 ,s =+r a b 其中b 也是常向量.这是一条直线的参数方程.例 3[]1 证明挠率恒等于零的曲线是平面曲线. 证明若0,τ≡则γ是固定向量，但是我们已知0,=αγ因而有0,=r γ积分后得a =r γ （常数），所以曲线在一个平面上，即曲线是平面曲线.以上即为有关曲率、挠率的计算和证明，充分说明了研究空间曲线的曲率、挠率对空间曲线的研究有重要意义.结语:空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式是空间曲线基本理论的重要部分.其中Frenet 公式是微分几何空间曲线论的基本公式，是研究空间曲线论的基础，在经典微分几何中占有重要地位，可以由它导出曲线的诸多重要性质和定理.参考文献：[1] 梅向明，黄敬之.微分几何（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2008.。

弗雷内公式(Frenet formula)，亦称弗勒内-塞雷公式，是向量微积分中，用来描述欧几里得空间R3中的粒子在连续可微曲线上的运动的数学公式。

描述了曲线的切向，法向，副法方向之间的关系。

单位切向量T，单位法向量N，单位副法向量B，被称作弗勒内标架，他们的具体定
义如下：
•T是单位切向量，方向指向粒子运动的方向。

•N是切向量T对弧长参数的微分单位化得到的向量。

•B是T和N的外积。

弗勒内公式如下：
其中d/ds是对弧长的微分，κ 为曲线的曲率，τ 为曲线的挠率。

弗勒内公式描述了
空间曲线曲率挠率的变化规律。

空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式摘要：本文研究了刻画空间曲线在某点邻近的弯曲程度和离开平面程度的量—曲率和挠率以及空间曲线论的基本公式--Frenet公式,并且举例有关曲率、挠率的计算和证明.关键词：空间曲线；曲率；挠率；Frenet公式Spatial curvature,torsion and Frenet formulas Abstract:This paper studies space curves depict a point near the bend in the degree and extend of the amount of leave plane-the curvature and torsion and the basic formula of space curves-Frenet formulas,and for example the curvature and torsion of the calculation and proof.Key Words: space curves; curvature; torsion; Frenet formulas前言空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式是空间曲线基本理论的一部分,它是以空间曲线的密切平面和基本三棱形的知识作为基础的.空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式在空间曲线的基本理论中占有重要位置,是空间曲线的一些基本性质和基本公式.曲线的曲率和挠率完全决定了曲线的形状.当曲线的曲率和挠率之间满足多种不同的关系时,就会得到不同类型的曲线.例如:0k>时为直τ=时为平面曲线.线,0本文将从定义、公式推导和具体举例三方面逐步解析空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式.本文第一部分讲述曲率和挠率的定义,第二部分讲述Frenet公式和曲率、挠率的一般参数表示的推导,第三部分具体举例有关曲率、挠率的计算和证明.1.空间曲线的曲率和挠率的定义1.1准备知识—空间曲线的伏雷内标架给出2c 类空间曲线()c 和()c 上一点p .设曲线()c 的自然参数表示是(),r r s =其中s 是自然参数，得dr dsr ==α 是一单位向量.α 称为曲线()c 上p 点的单位切向量.由于1=α，则⊥αα，即r r ⊥.在α上取单位向量==αr βαr， (1)β称为曲线()c 上p 点的主法向量.再作单位向量=⨯γαβ，γ称为曲线()c 上p 点的副法向量.我们把两两正交的单位向量,,αβγ称为曲线上p 点的伏雷内(Frenet)标架. 1.2 空间曲线的曲率我们首先研究空间曲线的曲率的概念.在不同的曲线或者同一条曲线的不同 点处，曲线弯曲的程度可能不同.例如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲程度较大.为了准确的刻画曲线的弯曲程度，我们引进曲率的概念.要从直观的基础上引出曲率的确切定义，我们首先注意到，曲线弯曲的程度越大，则从点到点变动时，其切向量的方向改变的越快.所以作为曲线在已知一曲线段PQ 的平均弯曲程度可取为曲线在P 、Q 间切向量关于弧长的平均旋转角.设空间中3c 类曲线()c 的方程为().r r s =曲线()c 上一点p ，其自然参数为s ，另一邻近点1p ，其自然参数为s s +∆.在p 、1p 两点各作曲线()c 的单位切向量()s α和()s s +∆α.两个切向量的夹角是ϕ∆，也就是把点1p 的切向量()s s +∆α平移到点p 后，两个向量()s α和()s s +∆α的夹角为ϕ∆.我们把空间曲线在p 处的切向量对弧长的旋转速度来定义曲线在点p 的曲率.定义[]1 空间曲线()c 在p 点的曲率为()lims k s sϕ∆→∆=∆， 其中s ∆为p 点及其邻近点1p 间的弧长，ϕ∆为曲线在点p 和1p 的切向量的夹角.再利用命题“一个单位变向量()t r （即()1t =r ）的微商的模,()r t 的几何意义是()t r 对于t 的旋转速度”.把这个结果应用到曲线()c 的切向量α上去，则有()k s =α.由于r =α，所以曲率也可表示为()k s r =.由上述空间曲线的曲率的定义可以看出，它的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的弯曲程度越大，切向量对于弧长的旋转速度就越大，因此曲率刻画了曲线的弯曲程度.对于空间曲线，曲线不仅弯曲而且还要扭转（离开密切平面），所以研究空间曲线只有曲率的概念是不够的，还要有刻画曲线扭转的程度的量—挠率. 1.3 空间曲线的挠率当曲线扭转时，副法向量（或密切平面）位置随着改变（如图一），所以我 们用副法向量（或密切平面）的转动速度来刻画曲线的扭转程度（在一点离开密切平面的程度）.现在设曲线()c 上一点p 的自然参数为s ，另一邻近点1p 的参数为s s +∆，在p 、1p 两点各作曲线()c 的副法向量()s γ和()s s +∆γ.此两个副法向量的夹角是ϕ∆(如图一).（图一）再利用命题“一个单位变向量()t r （即()1t =r ）的微商的模,()r t 的几何意义是()t r 对于t 的旋转速度” .把这个结果应用到曲线()c 的副法向量向量γ上去， 得到lims sϕ∆→∆=∆γ， 此式的几何意义是它的数值为曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的扭曲程度越大（离开所讨论点的密切平面的程度越大），副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度就越大.因此，我们可以用它来刻画曲线的扭转程度.根据（1）和曲率的定义，我们有()k s ===r ααβr α， 即()s s γ+∆()k s =αβ. (2) 对=⨯γαβ求微商，有()()k s =⨯=⨯+⨯=⨯+⨯=⨯αβαβαβββαβαβγ，因而⊥αγ.又因为γ是单位向量，所以⊥γγ.由以上两个关系可以推出//γβ. (3) 现在我们给出挠率的定义如下： 定义[]1 曲线()c 在p 点的挠率为：().s τ⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩γγβγγβ，当和异向，，当和同向 挠率的绝对值是曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度. 介绍了曲率、挠率的定义之后，为了更好的应用曲率和挠率,下面我们来看Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导过程.2. Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导2.1 Frenet 公式的推导 根据（3）及挠率的定义有τ=-γβ（s) （4） 另外，对=⨯βγα求微商，并利用（4）和（2），可以推导出()()()()()s k s k s s ττ=⨯=⨯+⨯=-⨯+⨯=-+βγαγαγαβαγβαγ（5）公式（2），（5），（4）称为空间曲线的伏雷内（Frenet ）公式，即()()()()k s k s s s ττ⎧=⎪⎪=-+⎨⎪=-⎪⎩αββαγγβ， 这组公式是空间曲线的基本公式.它的特点是基本向量α、β、γ关于弧长s 的微商可以用α、β、γ的线性组合来表示.它的系数组成反称的方阵()0()0()0()0k s k s s s ττ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭2.2 曲率的一般参数表示式的推导 若给出3c 类的空间曲线()c().r r s =，则有,dr ds dsr r ds dt dt==，22,222,,222ds d s d r ds d s ds d s r r r r r r dt dt ds dt dt dt dt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以232,,,2ds ds d s ds r r r r r r r dt dt dt dt ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯=⨯+=⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由上式得3,,,sin ds r r r r dt θ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.注意上式中,1,,dsr r r r dt=⊥=， 因而有3,,,,r r k r ⨯=.由此得到曲率的一般参数表示式,,,3,r r k r⨯=.2.3挠率的一般参数表示式的推导 再由伏雷内公式的（4）式τ=-γβ（s)，两边点乘β得r τ=-βββ，因而()()26,2,,,1111111,,,,kk k k k k k k r r r τ⎛⎫=-==⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭=⨯γβγβαβαααααγγγγγγγγγγ 再把,ds r rdt= 22,,2ds d s r r r dt dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭323,,,233ds ds d s d s r dt dt dt dt ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭γγγ 代入(),,,,,,r r r ⨯⨯中得()66,,,,,,,,,,,ds r r r r dt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭γγγγγγ，所以得到()(),,,,,,2,,,r r r r r τ⨯⨯=⨯. 这是一般参数表示的挠率计算公式.另外说一下密切圆，曲率中心，曲率半径的定义.空间曲线()c 在一点的密切圆（曲率圆）是过曲线()c 上一点()P s 的主法线的正侧取线段PC ，使PC 的长为1k ，以C 为圆心，以1k为半径在密切平面上确定一个圆，这个圆称为曲线()c 在()P s 点的密切圆（曲率圆），曲率圆的中心称为曲率中心，曲率圆的半径称为曲率半径（如图二）.（图二）3. 有关曲率、挠率的计算和证明例 1[]1求圆柱螺线{}cos ,sin ,a a b θθθ=r ()θ-∞<<+∞的曲率和挠率.解 由圆柱螺线方程{}cos ,sin ,a a b θθθ=r ，先计算{},sin ,cos ,a a b θθ=-r ,{},,cos ,sin ,0a a θθ=--r ,{},,,sin ,cos ,0a a θθ=-r ,β于是有,=r{},,,2sin cos sin ,cos ,,cos sin 0a ab ab ab a a a θθθθθθ⨯=-=---123e e e r r,,,⨯=r r代入曲率和挠率的公式得(),,,3322,,ak a b⨯===+r r r ()(),,,,,,2222422,,,,,.,ba ba b aa b τ===++r r r r r 由以上可以看出，圆柱螺线的曲率和挠率都是常数.例 2[]1 证明曲率恒等于零的曲线是直线. 证明 已知0,k =≡r 因而,=r 0由此得到 =r a （常向量）. 再积分即得 ,s =+r a b 其中b 也是常向量.这是一条直线的参数方程.例 3[]1 证明挠率恒等于零的曲线是平面曲线. 证明 若0,τ≡则γ是固定向量，但是我们已知0,=αγ因而有0,=r γ积分后得a =r γ（常数），所以曲线在一个平面上，即曲线是平面曲线.以上即为有关曲率、挠率的计算和证明，充分说明了研究空间曲线的曲率、挠率对空间曲线的研究有重要意义.结语:空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式是空间曲线基本理论的重要部分.其中Frenet公式是微分几何空间曲线论的基本公式，是研究空间曲线论的基础，在经典微分几何中占有重要地位，可以由它导出曲线的诸多重要性质和定理.参考文献：[1] 梅向明，黄敬之.微分几何（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2008.精品文档精品文档。

空间曲线的曲率与挠率理解空间曲线的曲率与挠率的计算方法空间曲线的曲率与挠率是数学中关于曲线性质的重要概念，它们可以帮助我们理解曲线在不同点上的弯曲程度以及曲线的扭转情况。

本文将介绍空间曲线的曲率与挠率的概念，并讨论它们的计算方法。

一、空间曲线的曲率空间曲线的曲率描述了曲线在某一点的弯曲程度。

具体而言，曲率可以用曲率圆的半径来表示，即在曲线上某一点处，与曲线相切且与曲线处处相切的所有圆中，半径最小的那个圆的半径就是曲率。

曲率的计算方法如下：设空间曲线为C，参数方程为r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中t表示参数。

为了计算曲线在某一点的曲率，我们需要求得曲率向量k(t)，该向量与切线方向相同，其模长为曲率。

曲率向量的计算公式为：k(t) = | r''(t) | / | r'(t) |其中，r'(t)表示曲线的切向量，r''(t)表示曲线的二阶导数。

通过加减法、乘除法等运算，我们可以得到曲率向量的具体数值。

曲率越大，曲线的弯曲程度就越大；反之，曲率较小则曲线的趋势更为直线。

二、空间曲线的挠率空间曲线的挠率描述了曲线在某一点的扭转情况。

具体而言，挠率是指曲线在某一点的切线方向与曲线法平面法向量的夹角的大小。

挠率的计算方法如下：设空间曲线为C，参数方程为r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中t表示参数。

为了计算曲线在某一点的挠率，我们需要求得挠率向量v(t)，该向量与法平面法向量相同，其模长为挠率。

挠率向量的计算公式为：v(t) = ( r'(t) × r''(t) ) / | r'(t) |^3其中，×表示叉乘运算，r'(t)表示曲线的切向量，r''(t)表示曲线的二阶导数。

通过叉乘、模长计算等方法，我们可以得到挠率向量的具体数值。

挠率的大小与曲线的扭转程度成正比，挠率越大，曲线的扭转程度就越大。