空间曲线的主法线曲面的几何性质
目录
第一章绪论 (1)
第二章空间曲线的主法线曲面的曲率 (1)
2.1 第一基本形式 (1)
2.2 第二基本形式 (2)
2.3 法曲率 (2)
2.4 主曲率 (2)
2.5 高斯曲率 (3)
2.6 平均曲率 (3)
第三章空间曲线的主法线曲面上的特殊曲线族 (3)
3.1 渐近线 (3)
3.1.1 空间曲线的主法线曲面的渐近线方程 (3)
3.1.2 空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件 (4)
3.2 曲率线 (5)
3.2.1空间曲线的主法线曲面的曲率线方程 (5)
3.2．2空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件 (5)
3.3 测地线 (6)
3.3.1空间曲线的主法线曲面的测地线方程 (6)
3.3.2空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是半测地网的充要条件 (7)
3.3.3空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是测地网的充要条件 (7)
第四章主法线曲面是常曲率或极小曲面的充要条件 (8)
4.1 空间曲线的主法线曲面是常曲率曲面的充要条件 (8)
4.2 空间曲线的主法线曲面是极小曲面的充要条件 (8)
第五章特殊曲线的主法线曲面的性质 (9)
5.1 曲率和挠率均为常数的特殊曲线的主法线曲面的几何性质 (9)
5.2正螺面的几何性质 (10)
致谢： (11)
参考文献： (12)
附录：.......................................................................................... 错误！未定义书签。
第一章 绪论
本文主要是对空间曲线的主法线曲面的几何性质进行系统化、全面化、深入化的研究。通过类比一般空间曲线、曲面的研究方法，将向量、微积分的思想融入到空间曲线的主法线曲面几何性质的研究中，从而更全面的分析和了解空间曲线的主法线曲面的几何性质。因此，对于主法线曲面的几何性质的研究首先就是要了解其度量性质如：曲面上曲线的长度、面积等等这些内蕴性质。了解了曲面的内蕴性质就是要研究其几何性质包括曲面的弯曲程度。所以我们首先就是要给出它们的第一基本形式和第二基本形式，进而给出它们的法曲率、主曲率、Gauss 曲率、平均曲率等来刻画曲面的弯曲程度。再通过研究曲面上的特殊曲线：渐近线、曲率线、测地线并给出参数网是渐近线网、曲率线网、测地线网的充要条件等等来说明主法线曲面的特殊性质。最后通过研究特殊曲线的主法线曲面来深化以上的性质，使我们对于主法线曲面有更形象更深刻的认识。
第二章 空间曲线的主法线曲面的曲率
2.1 第一基本形式
第一基本形式描述了曲面的度量性质，它可以使我们计算出曲面上曲线的长度与区域的面积。
设任意空间曲线的自然参数表示为()r s ，α
βα??=为曲线上任意一点P 的主法
向量，则曲线()r s 的主法曲面为(,)()()x s t r s t
s β=+。根据空间曲线的伏雷内（Frenet ）公式，即 ()()()()k s k s s s αβ
βτγγτβ?
???=??=-+??=-??
，则有
()[()()()()](1())()()()s x s t k s s s s tk s s t s s αατγατγ=+-+=-+，()t x s β=， 则曲面的第一基本量22()()(1())(())E r s r s tk s t s τ=?=-+，0F =，1G =。 因此，空间曲线的主法线曲面的第一基本形式是：
Ⅰ=2222222[(1())(())]Eds Fdsdt Gdt tk s t s ds dt τ++=-++。
2.2 第二基本形式
正如在研究空间曲线的时候我们不仅仅研究了弧长，还研究了曲线的曲率与挠率。对于曲面我们也不仅仅要研究该曲面的内蕴性质，即曲面的第一基本形式所确定的几何性质还应该研究刻画曲面离开切平面的弯曲程度的量。因此，我们引入第二基本形式来表示空间曲线的主法线曲面的弯曲性。
曲面的单位法向量s t s t x x n x x ?=
==?， 22(())()(()(())(()))()()()
ss x t k s s k s t k s t s s t s s ατβτγ??=-+--+，
()()()()st x k s s s s ατγ=-+，
0tt x = 则有第二基本量分别为：
22ss L r n ???=?=
st M r n =?=，
0tt N r n =?=
因此，空间曲线的主法线曲面的第二基本形式是：
Ⅱ
222???+。
2.3 法曲率
由第二基本形式可以知道曲面在已知点处的弯曲性仍与方向相关，即沿着不同的方向曲面以不同的速度离开切平面。所以，我们用法曲率n k 刻画曲面上一点在方向ds dt
上的弯曲性，则空间曲线的主法线曲面的法曲率为：
2222
2222n Lds Mdsdt Ndt k Eds Fdsdt Gdt ???
++==++2.4 主曲率
曲面上已知点（非脐点）的法曲率是一个随着方向不断变化的变量，在这些变化的值中存在的最大值和最小值，即曲面在已知点的主曲率1k 、2k 。
根据主曲率的计算公式222()(2)()0N N EG F k LG MF NE k LN M ---++-=。即有空间曲线的主法线曲面的主曲率计算公式为：
22222222()[(1())(())]0
(1())(())N N s tk s t s k k tk s t s τττ???-+--=-+解之得：
1k = ，
2k = 2.5 高斯曲率
1k 、2k 是空间曲线的主法线曲面上的主法曲率，则高斯曲率是
22
12222()[(1())(())]
M s K k k E tk s t s ττ--===-+， 它描述了空间曲线的主法线曲面在一点处的总的弯曲程度。当曲面的高斯曲率是常数时，我们就称此曲面是常曲率曲面。
不难发现，曲面上任意一点都有0K ≤，则空间曲线的主法线曲面上的点不可能是椭圆点。同时，我们也可以知道空间曲线的主法线曲面是一类直纹面。 特别地，当且仅当对于曲面上任意一点0K ≡时，有挠率()0s τ≡，即空间曲线()r s 为平面曲线时，空间曲线的主法线曲面是可展曲面。
2.6 平均曲率
1k 、2k 是空间曲线的主法线曲面上的主法曲率，则平均曲率是：
2212223/2()()()()()222[(1())(())]k k L t s k s t s t k s s H E tk s t s ττττ???
++-===-+。 它描述了空间曲线的主法线曲面在一点处的平均的弯曲程度。
第三章 空间曲线的主法线曲面上的特殊曲线族
3.1 渐近线
3.1.1 空间曲线的主法线曲面的渐近线方程
空间曲面上渐近曲线的微分方程是2220Lds Mdsdt Ndt ++=。由空间曲线的
主法线曲面的第二基本量可知，此类空间曲面上的渐近曲线的微分方程是
220Lds Mdsdt +=，
即
2220???+=
所得渐近线的微分方程为0ds =以及
22[()()()()()]2()0t s k s t s t k s s ds s dt ττττ???
+-+= （3.1）
。 整理（3.1）可得：2[()()()()]11()02()2()s k s k s s ds s ds dt s t s t τττττ???-++=。 令1u t =，则有()()()()()2()2()du s s k s s k s u ds s s τττττ???
-=--，可以发现上式是一次线性非齐次方程。因此，根据常微分方程的常数变易法可得到（3.1）的通解为：
1t u ??
==。 综上所述，空间曲面上的渐近曲线的方程为1s c =（其中1c 为常数），
t ??
=。 特别地，空间曲线()r s 在它的主法线曲面上是渐进曲线。因为空间曲线的主
法线曲面的法向量是s t s t x x n x x ?===?，而曲线()r s 的主法向量是()s β，故n 与()s β的夹角是2
π，则曲线上任意一点处沿切方向的法曲率0n k =，即空间曲线()r s 在它的主法线曲面上是渐进曲线。
3.1.2 空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件 由3.1.1可知空间曲线的主法线曲面的渐近网的方程是220Lds Mdsdt +=，而曲纹坐标网的方程是0dsdt =，即0ds =或0dt =。因此，若该曲面的曲纹坐标网是渐近网，则必可推出0L =。同样的，若0L =，则曲纹坐标网的方程与渐近网的方程相同，即该曲面的曲纹坐标网就是渐近网。由此，我们可以知道空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是0L =，即
220???=， 则可以得到[()()()()]()0t s k s k s s s τττ???-+=，由t 的任意性可知：
()0()()()()0
s s k s k s s τττ?
???=???-=?，由微分知识可知()s τ和()k s 均为常数。 我们知道常见曲线——一般螺线的一个等价定义为：曲率和挠率之比是一个定比，即
2
()()k s c s τ=（其中2c 为常数）的空间曲线称为一般螺线。故我们有以下结论：
定理1 空间曲线()r s 的主法线曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是()r s 为空间的一般螺线。 3.2 曲率线
3.2.1空间曲线的主法线曲面的曲率线方程
空间曲面上曲率线的微分方程是
22()()()0EM LF ds EN LG dsdt FN MG dt -+-+-=。
由空间曲线的主法线曲面的第一、二基本量可知，此类曲面上的曲率线的微分方程是220EMds Ldsdt Mdt --=，即
222222[(1())(())]()[()()()()()]()0tk s t s s ds t s k s t s t k s s dsdt s dt ττττττ???
-+-+--= 特别地，由球面的第一、二基本量22cos E R θ=，0F = ，2G R = ，2cos L R θ=-，0M =，N R =-可知1E G L M
==-，且L 、M 、N 不同时为零，故球面上的每一点都是圆点。同时，平面上每一点处都有0L M N ===，故平面上每一点都是平点。因此，我们可以知道平面上和球面上任意曲线都是曲率线。
3.2．2空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件 由3.2.1可知空间曲线的主法线曲面的曲率线网的方程是：
220EMds Ldsdt Mdt --=，
而曲纹坐标网的方程是0dsdt =，即0ds =或0dt =。因此，若该曲面的曲纹坐标网是曲率线网，则必可推出0EM =，0M =。同样的，若0M =，则曲纹坐标网的方程与曲率线网的方程相同，即该曲面 `的曲纹坐标网就是曲率线网。由此，我们可以知道空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是 0M =
0=，解得()0s τ=。我们知道()0s τ=的曲线是
平面曲线。故此充要条件可以表述为：空间曲线()r s 的主法线曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是曲线()r s 为平面曲线。
3.3 测地线
3.3.1空间曲线的主法线曲面的测地线方程
因为空间曲线的主法线曲面(,)x s t 的第一基本量中0F =，所以(,)x s t 上的曲纹坐标网是正交网,则根据刘维尔（liouville ）公式可以得到该曲面上测地线（C ）11()()
s s s t t s =??=?（其中1s 为（C ）的自然参数）的一阶微分方程为：
11
1
d ds ds ds dt ds ?=???=???=??θθθθθ。将2.1和2.2中的第一、二基本量带入可得
2211
1
1ln((1())(()))cos 2
sin d tk s t s ds t ds ds dt ds ??-+=?????=????=??θτθθθ， 特别地，我们可以知道空间曲线()r s 不可能为其主法线曲面(,)x s t 上的测地线。由于空间曲面上的曲线是测地线的充分必要条件是曲线主法向量β与曲面的
法向量n 共线。所以，如果空间曲线()r s 是其主法线曲面(,)x s t 上的测地线，则
必有0s n x ?=，0t n x ?=，并且有00
s t x x ββ?=???=?。而对于空间曲线的主法线曲面而
言， 0s x β?≡，10t x β?≡≠，故空间曲线()r s 不可能为其主法线曲面(,)x s t 上的测地线。
3.3.2空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是半测地网的充要条件 半测地坐标网的定义为：曲面上的坐标网，其中一族是测地线，另一族是这族测地线的正交轨线。因为空间曲线的主法线曲面上0F =，即曲纹坐标网是正交网，那么只要有s -曲线是测地线，则t -曲线必是其正交轨线，此时空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是半测地坐标网。
当s -曲线是测地线时，有s -曲线的方程是0dt =。由1
sin 0dt ds θ==得到，0θ=。并且由刘维尔公式可知22ln((1())(()))0tk s t s t
τ?-+=?，即E 与t 无关，则有1E =。而反过来，如果1E =时，那么s -曲线0dt =使得1
sin 0dt ds θ==，即0θ=。代入刘维尔公式可知其测地曲率为零，即s -曲线是测地线。由此，我们可以知道：
定理2 空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是半测地坐标网的充要条件是1E =。
3.3.3空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是测地网的充要条件 如果空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是测地网，那么就是说s -曲线和t -曲线都是测地线。又因为0F =可以知道该曲纹坐标网是测地网同时也必是半测地坐标网，即该曲面的第一基本形式是Ⅰ=22ds dt +。s -曲线的方程为0dt =，由 1
sin 0dt ds θ==得到0θ=。代入刘维尔公式可知其测地曲率为零，即s -曲线是测地线。同样的，t -曲线的方程为0ds =，由1cos 0ds ds θ==得到2
πθ=，则代入刘维尔方程可得0g k =，即t -曲线使测地线。由此可知：
定理3 对于空间曲线的主法线曲面而言，若其曲纹坐标网是测地线网的充要条件与是半测地坐标网的充要条件一致，即1E =。
第四章 主法线曲面是常曲率或极小曲面的充要条件
4.1 空间曲线的主法线曲面是常曲率曲面的充要条件
若空间曲线的主法线曲面是常曲率曲面，即高斯曲率K 是常数，则得方程式 00K t K s
??=??????=???，解之得()0s τ=。在学习空间曲线的相关性质时，我们知道挠率恒等于零的空间曲线是平面曲线。相反地，对于()0s τ≡的空间曲线()r s 而言，其所对应的主法线曲面(,)x s t 的高斯曲率是恒等于零的，即(,)x s t 是常曲率曲面。即
定理4 空间曲线()r s 的主法线曲面是常曲率曲面的充要条件是()r s 为空间的平面曲线，即()0s τ≡。
4.2 空间曲线的主法线曲面是极小曲面的充要条件
定义1 当曲面的平均曲率是零时，我们就称此曲面是极小曲面。
极小曲面刻画的是过空间光滑闭曲线（C ）的曲面S ，使得（C ）包围的曲面区域面积最小。如果空间曲线的主法线曲面(,)x s t 是极小曲面，那么必有
22223/2()()()()()02[(1())(())]
t s k s t s t k s s H tk s t s ττττ???
+-==-+，即[()()()()]()0t s k s k s s s τττ???-+≡。 故()()()()0()0s k s k s s s τττ????-=???=?，则()s τ和()k s 均为常数。在3.1.2中我们也提到一般螺线的一个等价定义为：曲率和挠率之比是一个定比，即
2
()()k s c s τ=（其中2c 为常数）的空间曲线称为一般螺线。因此有以下结论： 定理5 空间曲线()r s 的主法线曲面是极小曲面的充要条件是()r s 为空间的一般螺线。
第五章 特殊曲线的主法线曲面的性质
通过以上四章的研究，我们知道了一般曲线的主法线曲面的许多重要的几何性质。下面我们将通过讨论特殊曲线的主法线曲面的几何性质来深化对主法线曲面的几何性质的理解。
5.1 曲率和挠率均为常数的特殊曲线的主法线曲面的几何性质
因为曲率()k s 和挠率()s τ均为常数，则不妨设3()k s c =，4()s c τ=（其中3c 、4c 为常数），那么此特殊曲线必定是一般螺线，并有()0k s ?=和()0s τ?
=。同时，可以计算得第一基本量是：2234(1)()E tc tc =-+，0F =，1G =，第二基本量是：
0,0L M N ===，故有第一、二基本形式分别为：
Ⅰ=222222342[(1)()]Eds Fdsdt Gdt tc tc ds dt ++=-++，Ⅱ
= 。
为了研究该类曲面的弯曲性，我们将进一步研究它们的法曲率、主曲率、高斯曲
率以及平均曲率。根据空间曲线的主法线曲面的主曲率计算公式可得：
422341(1)()
c k tc tc ==-+
，4222342(1)()
c L k E tc tc ==--+。 则高斯曲率是2422234[(1)()]
c K tc tc =--+，平均曲率是0H =。由此可知这一类的曲面都是极小曲面，并且当且仅当4()0s c τ==时，即该曲线是平面曲线时，该曲面才是可展曲面。
下面我们将通过讨论这类主法曲面上的特殊曲线渐近线、曲率线以及测地线来研究其几何性质。根据空间曲面上的渐近曲线的方程可得s m =，t n =（其中
,m n 为常数）
，即曲面上的s -曲线和t -曲线都是渐近线，由此也可以推出其曲纹坐标网一定是渐进网。同样的，根据空间曲面上的曲率线的方程可得：
22223444[(1)()]0tc tc c ds c dt -+-=
，解得：ds dt =或()0s τ≡。则由此结果可以知道平面曲线生成的主法线曲面上的所有曲线都是曲率线。如果此类曲面上的测地网是曲纹坐标网，那么就有2234(1)()1E tc tc =-+=，由t 的任意性可知必有34,c c 均为零，即()r s 为直线的时候此类主法线曲面上的曲纹坐标网才是测地线网。
5.2正螺面的几何性质
正螺面是微分几何曲面论中重要研究对象，其本身具有很多重要的几何性质。我们下面就通过考察正螺面上某些特殊曲线的性质，使得正螺面的一些特征更加形象生动。
正螺面的方程为：{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =，则可以计算得第一、二基本量是1E =，0F =，22G u b =+
，0,0L M N ===，故有第一、二基本形
式分别为：Ⅰ=2222222()Edu Fdudv Gdv du u b dv ++=++，Ⅱ
。从
第二章的研究中可以知道，高斯曲率和平均曲率可以体现曲面的总体曲率，因此为了进一步探究正螺面的曲率，我们首先求得主曲
率1k =
和
2k =2
22b K u b -=+，平均曲率0H =。由此可以说明正螺面是一个特殊的直纹面，而Ⅱ
0= ，即0du =或0dv =是沿着直纹
面的直母线。因为0L N ==，由主法线曲面上曲纹坐标网是渐近网的充要条件可知，正螺面的曲纹坐标网是渐近网，则一族渐近线是{}00cos ,sin ,r u v u v bv =，而另一族渐近线是{}000cos ,sin ,r u v u v bv =，所以正螺面上一族渐近线是直线，另一族是圆柱螺线。并且由平均曲率0H =可知正螺面是极小曲面。
致谢：
本文是在杨明升老师的亲切关怀和精心指导下，在周围同学的热情帮助以及自己的不懈努力下完成的。
首先我要感谢数学科学学院四年来对我的培养，感谢学院老师和领导，是他们的谆谆教诲让我在南京师范大学这样好的学习实践的平台成长，使我在这四年中源源不断的汲取新的知识，不断进步。
然后我要感谢我的论文指导老师杨明升老师，他严谨的治学态度、渊博的知识、刻苦的钻研精神，开阔了我的眼界，并且鞭策我不断前进使我受益匪浅。
最后我要感谢我的家人，他们一直在我的背后默默的支持和鼓励着我，让我有了前进的动力。
参考文献：
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解析几何中的基本公式 1、 两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-= 特别地：x //AB 轴， 则=AB 。 y //AB 轴， 则=AB 。 2、 平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++ 则：2 221B A C C d +-= 注意点：x ，y 对应项系数应相等。 3、 点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为：2 2 B A C By Ax d +++= 4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：?? ?=+=0 )y ,x (F b kx y 消y ：02 =++c bx ax ，务必注意.0>? 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则：2122))(1(x x k AB -+= 5、 若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比 为λ， 则??? ????λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且??????? +=+=222 121y y y x x x 变形后：y y y y x x x x --= λ--= λ21 21或 6、 若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα 适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 2 11 21tan k k k k +-= α 若l 1与l 2的夹角为θ，则= θtan 21211k k k k +-，]2 ,0(π ∈θ 注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。 （2）l 1⊥l 2时，夹角、到角= 2 π 。 （3）当l 1与l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。
百度文库- 让每个人平等地提升自我！ 1 双曲线的几何性质 学习目标：理解并掌握双曲线的几何性质，能根据性质解决一些基本问题，进一步体会数形结合的思想. 学习重点：双曲线的几何性质及其运用. 一、学习情境 类比椭圆几何性质和研究方法，我们应该如何去研究双曲线的几何性质？ 二、学习任务（理P56—P58例3完；文P49—P51例3完） 问题1: 画出 1 3 42 2 2 2 = - y x 与 1 3 42 2 2 2 = - x y 的图形，观察图形你能得出双曲线的哪些性质？ 问题2: 请分别从图形和方程两个角度解释这些性质. 标准方程 图象 范围 对称轴 对称中心 实虚轴 顶点 渐近线 离心率 a,b,c关系 A级理P61 (文P53) 1、2、3、4 B级习题理2.3 (文2.2) 3、4 选做题 1、已知椭圆方程 1 9 16 2 2 = + y x 和双曲线方程 1 9 16 2 2 = - x y 有下列说法： ①椭圆和双曲线的实轴长都是4，但椭圆和双曲线的实轴分别在x轴和y轴上; ②椭圆的长半轴长是4，双曲线的实轴长是3 ③它们的焦距都是10 其中说法正确的个数是（） A、0 B、1 C、2 D、3个 2、根据下列条件，求双曲线方程 ①与双曲线1 4 16 2 2 = - y x 有公共焦点，且过点（2 3，2） ②与双曲线1 9 16 2 2 = - y x 有共同的渐近线，且过点（3 2，-3） 三、归纳反思 椭圆和双曲线几何性质的比较： 椭圆双曲线定义 标准方程 图形 (顶点坐 标) (焦点坐 标) 范围 轴 对称轴 (对称中 心) 离心率 及其范围 a,b,c关系 渐近线
2.3.2 双曲线的简单几何性质 一、基础过关 1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是 ( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2 2．双曲线3x 2－y 2＝3的渐近线方程是 ( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±13x C ．y ＝±3x D ．y ＝±33 x 3．双曲线x 24－y 2 12 ＝1的焦点到渐近线的距离为 ( ) A ．2 3 B ．2 C. 3 D ．1 4．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于 ( ) A ．－14 B ．－4 C ．4 D.14 5．双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线，交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为 ( ) A. 6 B. 3 C. 2 D.33 6．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为 ( ) A.x 25－y 2 4 ＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 2 6＝1 D.x 26－y 2 3＝1 7．已知双曲线C ：x 24－y 2 m ＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m 的取值范围是________． 二、能力提升 8．已知圆C 过双曲线x 29－y 2 16 ＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是__________． 9．如图所示，ABCDEF 为正六边形，则以F 、C 为焦点，且经过A 、 E 、D 、B 四点的双曲线的离心率为____________________． 10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
双曲线的简单几何性质 一．基本概念 1 双曲线定义： ①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹 （21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． ②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线 这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线 2、双曲线图像中线段的几何特征： ⑴实轴长122A A a =，虚轴长2b,焦距122F F c = ⑵顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+ ⑶顶点到准线的距离：21122 a A K A K a c ==-；21221 a A K A K a c ==+ ⑷焦点到准线的距离：22 11221221 a a F K F K c F K F K c c c ==-==+或 ⑸两准线间的距离: 2 122a K K c = ⑹21F PF ?中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠，将 有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来，122 12 cot 2 PF F F PF S b ?∠= ⑺离心率： 121122121122PF PF A F A F c e PM PM A K A K a ======∈（1，+∞） ⑻焦点到渐近线的距离：虚半轴长b ⑼通径的长是a b 22，焦准距2b c ，焦参数2b a （通径长的一半）其中2 22b a c +=a PF PF 221=- 3 双曲线标准方程的两种形式： ①22 a x －22 b y =1， c =22b a +，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0） ②22a y －22 b x =1， c =22b a +，焦点是F 1（0，－c ）、F 2（0，c ） 4、双曲线的性质：22 a x －22b y =1（a ＞0，b ＞0） ⑴范围：|x |≥a ，y ∈R ⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线： ①若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程?=-02222b y a x x a b y ±= ②若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x ③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上） ④特别地当?=时b a 离心率2=e ?两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，
解析几何中的基本公式 解析几何学（analytic geometry ）是借助坐标系，用代数方法研究几何对象之间的关系和性质的一门几何学分支，亦叫坐标几何。由法国数学家笛卡儿和费马等人创建，其思想来源可上溯到公元前两千年。 两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则2 12212)()(y y x x AB -+-= 平行线间距离：若0C By Ax :l , 0C By Ax :l 2211=++=++ 则：2221B A C C d +-= 注意点：x ，y 对应项系数应相等。 点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++οο 则P 到l 的距离为： 2 2B A C By Ax d +++= οο 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：? ? ?=+=0)y ,x (F b kx y 消y ：02 =++c bx ax ，务必注意.0>? 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则： 2 122))(1(x x k AB -+= 若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为λ， 则??? ????λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且??????? +=+=222121y y y x x x 变形后： y y y y x x x x --=λ--= λ21 21或
若直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，则l1到l2的角为),0(,π∈αα 适用范围：k1，k2都存在且k1k2≠－1 ， 21121tan k k k k +-= α 若l1与l2的夹角为θ，则=θtan 2 12 11k k k k +-，]2,0(π∈θ 注意：（1）l1到l2的角，指从l1按逆时针方向旋转到l2所成的角，范围),0(π l1到l2的夹角：指 l1、l2相交所成的锐角或直角。 （2）l1⊥l2时，夹角、到角=2π 。 （3）当l1与l2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。 （1）倾斜角α，),0(π∈α； （2）]0[,π∈θθ→ →，，夹角b a ； （3）直线l 与平面 ] 20[π ∈ββα，，的夹角； （4）l1与l2的夹角为θ，∈ θ] 20[π ，，其中l1//l2时夹角θ=0； （5）二面角,θ],0(π∈α； （6）l1到l2的角)0(π∈θθ，， 直线的倾斜角α与斜率k 的关系 每一条直线都有倾斜角α，但不一定有斜率。 若直线存在斜率k ，而倾斜角为α，则k=tan α。 直线l1与直线l2的的平行与垂直
双曲线的简单几何性质 山丹一中周相年 教学目标: (1 知识目标 能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程等,熟练掌握双曲线的几何性质 . (2能力目标 通过类比椭圆的简单几何性质的方法来研究双曲线的简单几何性质, 在老师的指导下让学生积极讨论、归纳,培养学生的观察、研究能力,增强学生的自信心 . (3 情感目标 通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动,培养学生自尊、自强、自信、自主等良好的心理潜能和主人翁意识、集体主义精神 . 教学重点:双曲线的几何性质 . 教学难点:双曲线的渐近线 . 教学方法:启发诱导、练讲结合 教学用具 :多媒体 教学过程: 一、复习回顾,问题引入: 问题 1:双曲线的定义及其标准方程?
问题 2:椭圆的简单几何性质有哪些?我们是如何研究的?双曲线是否也有类似性质?又该怎样研究? 二、合作交流,探究性质: 类比椭圆的几何性质的研究方法,我们根据双曲线的标准方程 0, 0(122 22>>=-b a b y a x 研究它的几何性质 1. 范围: 双曲线在不等式x ≥ a 与x ≤-a 所表示的区域内 . 2. 对称性: 双曲线关于每个坐标轴和原点都对称, 这时, 坐标轴是 双曲线的对称轴, 原点是双曲线的对称中心, 双曲线的对称 中心叫双曲线中心 . 3.顶点: (1 双曲线和它的对称轴有两个交点 A1(-a,0 、 A2(a,0, 它们叫做双曲线的顶点 . (2 线段 A1A2叫双曲线的实轴, 它的长等于 2a,a 叫做双曲线的实半轴长; 线段B1B2叫双曲线的虚轴,它的长等于 2b, b叫做双曲线的虚半轴长 .
平行线间距离：若l i : Ax By C i 0, 12 : Ax By C20 则：d C i C2I J A2B2 注意点：x, y对应项系数应相等。 点到直线的距离：P(x , y ),I:Ax By C 0 则P到1的距离为: |Ax d By C 解析几何中的基本公式 .A2B2 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：y kx b F(x,y) 0 2 消y：ax bx c 0，务必注意0. 若I与曲线交于A(x1, y1), B(x2, y2) 则：AB v'(1 k2)(X2 X i)2 若A(x i, y i), B(X2, y2)，P（x，y）。P在直线AB上，且P分有向线段AB所成的比为 i y i y2 i ，特别 地: x =1时，P为AB中点且 y x-i x2 2 y i y2 2 变形后：—i或」 X2 x y2 y 若直线l i的斜率为k i，直线|2的斜率为k2,则l i到|2的角为， （0, ） 适用范围：k i，k2都存在且k i k2 —i , tan k2 k i i k i k2
I i 到I 2的夹角：指 11、 12相交所成的锐角或直角。 (2) l 1 I 2时，夹角、到角=—。 2 (3) 当11与I 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。 直线的倾斜角 与斜率k 的关系 每一条直线都有倾斜角 ，但不一定有斜率。 若直线存在斜率k ,而倾斜角为 ，则k=tan 。 直线I 1与直线I 2的的平行与垂直 (1)若I 1， I 2均存在斜率且不重合：①I 1//I 2 k 1=k 2 ② I 1 I 2 k 1k 2=— 1 (2)若 I 1 : A 1x B 1 y C 1 0, I 2 : A 2X B 2y C 2 若A 1、A 2、B 1、B 2都不为零 I 1//I 2 △邑 C !； A 2 B 2 C 2 若i i 与12的夹角为，则tan 注意：(1 ) I i 到12的角，指从 k i k 2 1 kk 11按逆时针方向旋转到 I 2所成的 角, (0,) (1) 倾斜角 ， (0,)； (2) a, b 夹角, [0, ］； (3) 直线I 与平面 的夹角 ,[0，,] (4) I 1与I 2的夹角为 ［0,—］，其 中 2 (5) 二面角， (0,]； (6) I 1到I 2的角, (0, ) I 1//I 2时夹角 =0； I 1 I 2 A 1A 2+B 1B 2=0；
课时作业(十一) [学业水平层次] 一、选择题 1．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则它的标准方程是( ) －x 2 18＝1 －y 2 18＝1 －y 2 8＝1 －x 2 8＝1 【解析】 设等轴双曲线方程为x 2a 2－y 2 a 2＝1(a ＞0)， ∴a 2＋a 2＝62，∴a 2＝18，故双曲线方程为x 218－y 218＝1. 【答案】 B 2．(2014·天水高二考试)已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1,0) 的直线l 与双曲线只有一个公共点，则共有l ( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条 【解析】 因为双曲线方程为x 2－y 2 4＝1，所以P (1,0)是双曲线的 右顶点，所以过P (1,0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过P (1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B. 【答案】 B 3．(2014·大纲全国卷)双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于( )
A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．42 【解析】 由已知得e ＝c a ＝2，所以a ＝12c ，故b ＝c 2－a 2 ＝32c ，从而双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x ，由焦点到渐近线的距离为3，得3 2c ＝3，解得c ＝2，故2c ＝4，故选C. 【答案】 C 4．(2014·广东高考)若实数k 满足0
北安一中高二数学导学案 主备人：陈叔彤 审阅人：高二数学组 备课日期 ：2012-10-17 课题：§双曲线简单几何性质知识点总结 课时： 课时 班级： 姓名： 【学习目标】 知识与技能：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等 几何性质 2．掌握双曲线的另一种定义及准线的概念3．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念 过程与方法：进一步对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育情感态度与价值观：辨证唯物主义世界观。【学习重点】双曲线的几何性质及其应用。【学习难点】双曲线的知识结构的归纳总结。 【学法指导】 1.课前依据参考资料，自主完成，有疑问的地方做好标记. 2.课前互相讨论交流，课上积极展示学习成果. 【知识链接】双曲线的定义：_________________________________________________【学习过程】 1．范围： 由标准方程，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图 122 22=-b y a x 象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大。 X 的取值范围________ y 的取值范围______2. 对称性： 对称轴________ 对称中心________3．顶点：(如图) 顶点：____________特殊点：____________实轴：长为2a, a 叫做半实轴长21A A 虚轴：长为2b ，b 叫做虚半轴长 21B B 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点， 这是两者的又一差异4．离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 a c a c e == 22范围：___________________ 双曲线形状与e 的关系：，e 越大，即渐112 222 2-=-=-= =e a c a a c a b k 近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔
解析几何中的基本公式 1、 两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-= 2、 平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++ 则：2 2 21B A C C d +-= 注意点：x ，y 对应项系数应相等。 3、 点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为：2 2 B A C By Ax d +++= 4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：? ? ?=+=0)y ,x (F b kx y 消y ：02 =++c bx ax ，务必注意.0>? 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则：2122))(1(x x k AB -+= 5、 若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为λ， 则??? ????λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且??????? +=+=2221 21y y y x x x 变形后：y y y y x x x x --=λ--= λ21 21或 6、 若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα 适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 2 11 21tan k k k k +-= α 若l 1与l 2的夹角为θ，则= θtan 2 1211k k k k +-，]2,0(π ∈θ 注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。 （2）l 1⊥l 2时，夹角、到角= 2 π 。
双曲线的几何性质(一) 教学目标 1.掌握双曲线的几何性质 2?能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程? 教学重点 双曲线的几何性质 教学难点 双曲线的渐近线 教学过程 I.复习回顾： 双曲线的标准方程、研究椭圆的几何性质的方法与步骤 II.讲授新课： 1?范围: 双曲线在不等式x>a与x<- a所表示的区域内. 2对称性： 双曲线关于每个坐标轴和原点都对称, 这时， 坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中 心，双曲线的对称中心叫双曲线的中心。 3.顶点: 双曲线和它的对称轴有两个交点A i(— a,0)、A2(a,0),它们叫做双曲线的顶点. 线段A i A2叫双曲线的实轴,它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长;
线段B1B2叫双曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长 4.渐近线 ①我们把两条直线y= ± -x叫做双曲线的渐近线; a 2 2 ②从图可以看出，双曲线笃爲1的各支向 a b 外延伸时，与直线y= ± - x逐渐接近. a ③“渐近”的证明：略 ④等轴双曲线： 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. ⑤利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图.具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线. 2 2 注意：⑴求渐近线方程的简便方法：令方程左边等于零即务 / 0 a b ⑵等轴双曲线一般可设为x2 y2 k 等轴双曲线的性质：①离心率为 2 ②等轴双曲线的相伴矩形是正方形 ③渐近线方程为y=±x且互相垂直 ④两条渐近线平分双曲线实轴和虚轴所成的角 5.离心率:
《双曲线的简单几何性质》教学设计 首都师范大学附属丽泽中学宛宇红靳卫红 一、教材分析 1.教材中的地位及作用 本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。 2.教学目标的确定及依据 平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质。教学参考书中明确要求：学生要掌握圆锥曲线的性质，初步掌握根据曲线的方程，研究曲线的几何性质的方法和步骤。根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课的教学目标。 （1）知识目标：①使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、 顶点、离心率、渐近线等几何性质； ②掌握双曲线标准方程中c ,的几何意义，理解双曲线的渐近 a, b 线的概念及证明； ③能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。 （2）能力目标：①在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，培养学生的观察 能力，想象能力，数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推 理能力，以及类比的学习方法； ②使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对 直角坐标系中曲线与方程的概念的理解。
（3）德育目标：培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的，变化的观点分析理解事物。 3.重点、难点的确定及依据 对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中我把渐近线的发现作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地应用极限思想导出了双曲线的渐近线方程。这样处理将数学思想渗透于其中，学生也易接受。因此，我把渐近线的证明作为本节课的难点，根据本节的教学内容和教学大纲以及高考的要求，结合学生现有的实际水平和认知能力，我把渐近线和离心率这两个性质作为本节课的重点。 4.教学方法 这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，让学生自己进行探究，得到类似的结论。在教学中，学生自己能得到的结论应该让学生自己得到，凡是难度不大，经过学习学生自己能解决的问题，应该让学生自己解决，这样有利于调动学生学习的积极性，激发他们的学习积极性，同时也有利于学习建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。 渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中着重培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，从已有知识出发，层层设（释）疑，激活已知，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念（或图形）特征，培养思维的深刻性。 例题的选备，可将此题作一题多变（变条件，变结论），训练学生一题多解，开拓其解题思路，使他们在做题中总结规律、发展思维、提高知识的应用能力和发现问题、解决问题能力。
课题：8．4双曲线的简单几何性质（二）教学目的： 1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等 2 3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的 4．通过教学使同学们运用坐标法解决问题的能力得到进一步巩固和提高， 教学重点：双曲线的渐近线、离心率 教学难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程：
一、复习引入： 1．范围、对称性 由标准方程122 22=-b y a x ，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间 没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大， 双曲线 2．顶点 顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异 3．渐近线 过双曲线122 22=-b y a x 的两顶点21,A A ，作Y 轴的平行线a x ±=，经
过21,B B 作X 轴的平行线b y ±=，四条直线围成一个矩形 矩形的两 条对角线所在直线方程是x a b y ±=（0=±b y a x ） ，这两条直线就是双 4．等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂 直；（3）离心率=e 等轴双曲线可以设为：)0(22≠=-λλy x ，当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上 5．共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为x a b y ± =)0(>±=k x ka kb ，那么此双曲线方程就一定是： )0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-22 22b y a x 6．双曲线的草图
课 题：8．4双曲线的简单几何性质 （二） 教学目的： 1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质 2．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念 3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题 4．通过教学使同学们运用坐标法解决问题的能力得到进一步巩固和提高，“应用数学”的意识等到进一步锻炼的培养 教学重点：双曲线的渐近线、离心率 教学难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．范围、对称性 由标准方程122 22=-b y a x ，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方 向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭 圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 2．顶点 顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异 3．渐近线 过双曲线122 22=-b y a x 的两顶点21,A A ，作Y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作X 轴的 平行线b y ±=，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是x a b y ± =（ 0=±b y a x ），这两条直线就是双曲线的渐近线 4．等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2=e x y Q B 1 B 2A 1A 2N M O
解析几何中的基本公 式 1、两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-= 2、平行线间距离：若0C By Ax :l , 0C By Ax :l 2211=++=++ 则：2 2 21B A C C d +-= 注意点：x ，y 对应项系数应相等。 3、点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++οο 则P 到l 的距离为：2 2 B A C By Ax d +++= οο 4、直线与圆锥曲线相交的弦长公式：???=+=0 )y ,x (F b kx y 消y ：02=++c bx ax ，务必注意.0>? 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则：2122))(1(x x k AB -+= 5、若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为λ， 则??? ????λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且??????? +=+=2221 21y y y x x x
变形后：y y y y x x x x --=λ--= λ21 21或 6、若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα 适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 2 11 21tan k k k k +-= α 若l 1与l 2的夹角为θ，则= θtan 2 1211k k k k +-，]2,0(π ∈θ 注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。 （2）l 1⊥l 2时，夹角、到角= 2 π 。 （3）当l 1与l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。 7、（1）倾斜角α，),0(π∈α； （2）]0[,π∈θθ→ →，，夹角b a ； （3）直线l 与平面]2 0[π ∈ββα，，的夹角； （4）l 1与l 2的夹角为θ，∈θ]2 0[π ，，其中l 1//l 2时夹角θ=0； （5）二面角,θ],0(π∈α； （6）l 1到l 2的角)0(π∈θθ，， 8、直线的倾斜角α与斜率k 的关系
四、双曲线 一、双曲线及其简单几何性质 （一）双曲线的定义：平面内到两个定点F 1，F 2的距离差的绝对值等于常数2a （0＜2a ＜|F 1F 2|）的点的轨 迹叫做双曲线。 定点叫做双曲线的焦点；|F 1F 2|=2c ，叫做焦距。 ● 备注：① 当|PF 1|-|PF 2|=2a 时，曲线仅表示右焦点F 2所对应的双曲线的一支（即右支）； 当|PF 2|-|PF 1|=2a 时，曲线仅表示左焦点F 1所对应的双曲线的一支（即左支）； ② 当2a=|F 1F 2|时，轨迹为以F 1，F 2为端点的2条射线； ③ 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。 双曲线12222=-b y a x 与122 22=-b x a y （a>0,b>0）的区别和联系
（二）双曲线的简单性质 1．范围： 由标准方程122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0），从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的 方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大。 x 的取值范围________ ,y 的取值范围______ 2. 对称性： 对称轴________ 对称中心________ 3．顶点：(如图) 顶点：____________ 特殊点：____________ 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做半虚轴长 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点 4．离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比 a c a c e = = 22，叫做双曲线的离心率 范围：___________________ 双曲线形状与e 的关系：1122 222-=-=-==e a c a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越 大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 5．双曲线的第二定义： 到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数 )0(>>= a c a c e 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双 曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率． 准线方程： 对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 2 1:-=， 相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线 c a x l 2 2:= ； 6．渐近线 过双曲线122 2 2=-b y a x 的两顶点21,A A ，作x 轴的垂线a x ±=，经过21,B B 作y 轴的垂线b y ±=，四条直线 围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是____________或（0 =±b y a x ），这两条直线就是双曲线 的渐近线 双曲线无限接近渐近线，但永不相交。
双曲线的几何性质 年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____ 一、选择题(共34题，题分合计170分) 1.双曲线9y 2 －x 2 －2x －10＝0的渐近线方程是 ＝±3(x ＋1) ＝±3(x －1) ＝±31(x ＋1) ＝±31 (x －1) 2.若双曲线x 2－y 2 =1右支上一点P (a ,b )到直线y =x 的距离为2，则a ＋b 的值是 A.－21 B.21 C.－21或21 或－2 3.过(0,3)作直线L ,若L 与双曲线 342 2y x =1,只有一个公共点,则L 共有 条 条 条 条 4.双曲线2mx 2 -my 2 =2,有一条准线方程是y =1,则m 应等于 是 21 34
5.双曲线15)1(422=--y x ，经过第一象限内的点) 217 , (m P ，则P 点到双曲线右焦点的距离是__________. 6.双曲线11692 2=-y x 的一个焦点到一条渐近线的距离等于 A.3 7.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 )0,7(F ，直线y =x -1与其相交于M ?N 两点,MN 中点的横坐标为, 32 -则此双曲线的方程是 A.14322=-y x B.13422=-y x C.12522=-y x D.1522 2=-y x 8.双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点为F,F ,∠FMF =120°则双曲线的离心率为 A.3 B.26 C.36 D.33 9.双曲线的渐近线方程为y =±2(x -1),一焦点坐标为(1+25,0),则该双曲线的方程是 A.116)1(422=--y x B.1164)1(22=--y x C.1416)1(22=--y x D.116)1(42 2=--y x 10.过双曲线1 22 2 =-y x 的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ?B 两点,若|AB |=4,则这样的直线l 有 条 条 条 条 11.以椭圆114416922=+y x 的右焦点为圆心，且与双曲线116922=-y x 的渐近线相切的圆的方程是 A. 91022=+-+x y x B. 91022=--+x y x C. 091022=-++x y x D. 09102 2=+++x y x 12.双曲线1222 2=-b y a x (a >0,b >0)的渐近线与x 轴的夹角为α(0<α<2π ),则过双曲线的焦点且垂直于x 轴的弦的 长度为 tan α tan α tan α tan α 13.若x y x x a a a 31 ,,++(a >0且a ≠1)成等比数列,则点(x ,y )在平面直角坐标系内的轨迹是
1. AB →，A 为AB →的起点，B 为AB →的终点。线段AB 的长度称作AB →的长度，记作|AB → |.数轴上同向且 相等的向量叫做相等的向量．．．．．。零向量的方向任意。．．．．．．．．．．在数轴上任意三点A 、B 、C ，向量AB →、BC → 、AC →的坐标都具有关系：AC ＝AB ＋BC . .． AC →＝AB →＋ 2.设 AB → 是数轴上的任一个向量，则AB ＝OB －OA ＝x 2－x 1，d (A ，B )＝|AB |＝|x 2－x 1|. 4.． A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则两点A 、B 的距离公式d (A ，B )＝?x 2－x 1?2＋?y 2－y 1?2 若B 点为原点，则d (A ，B )＝d (O ，A )＝x 21＋y 21； 5. A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M( x 1＋x 22， y 1＋y 2 2 ). A (x ，y )关于M (a ，b )的对称点B(2x 0－x ，2y 0－y )． 6. 直线倾斜角：:x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定，与x 轴 平行或重合的直线的倾斜角为0°. 7.直线的位置与斜率、倾斜角的关系 ①k ＝0时，倾斜角为0°，直线平行于x 轴或与x 轴重合． ②k >0时，直线的倾斜角为锐角，k 值增大，直线的倾斜角也增大，此时直线过第一、三象限． ③k <0时，直线的倾斜角为钝角，k 值增大，直线的倾斜角也增大，此时直线过第二、四象限． ④垂直于x 轴的直线的斜率不存在，它的倾斜角为90°. 8. 若直线l 上任意两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)且x 1≠x 2，则直线l 的斜率k ＝y 2－y 1 x 2－x 1 . 9.直线方程的五种形式 （1）点斜式:经过点P 0(x 0，y 0)的直线有无数条，可分为两类：斜率存在时，直线方程为 y －y 0＝k (x －x 0)；斜率不存在时，直线方程为x ＝x 0. (2)斜截式：已知点（0，b ）,斜率为k 的直线y ＝kx ＋b 中，截距b 可为正数、零、负数． （3）两点式： y －y 1y 2－y 1＝x －x 1 x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2 ) (4) 截距式:当直线过(a,0)和(0，b )(a ≠0，b ≠0)时，直线方程可以写为x a ＋y b ＝1，当直线斜率 不 存在(a ＝0)或斜率为0(b ＝0)时或直线过原点时，不能用截距式方程表示直线. (5)一般式:Ax ＋By ＋C ＝0的形式．(220A B +≠)
高中解析几何秒杀公式及解题套路 高中解析几何秒杀公式是什幺，解析几何解题套路有哪些，怎幺能 用一套完整的思路做所有类似的题目？把所有类型题都搞定？下面是高中解 析几何秒杀公式及解题套路，希望你看完能上岸。 1高考解析几何的统一解题套路以高考解析几何为例1、问题都是以平 面上的点、直线、曲线如圆、椭圆、抛物线、双曲线这三大类几何元素为基础构成的图形的问题2、演绎规则就是代数的演绎规则，或者说就是列方 程、解方程的规则。当然，能用代数规则处理的问题必须是代数形式的，比如，平面上的点、直线、曲线构成的图形能用代数方法来处理，前提是构成 这些图形的点、直线、曲线必须是代数形式的。有了以上两点认识，我们可 以毫不犹豫地下这幺一个结论，那就是解决高考解析几何问题无外乎做两项 工作1、几何问题代数化。2、用代数规则对代数化后的问题进行处理。至此，我们可以发掘出一套规整的高考解析几何的统一解题套路步骤1：把题目中 的点、直线、曲线这三大类基础几何元素用代数形式表示出来（一化）步骤 2：把题目中的点与直线、曲线的从属关系用代数形式表示出来（二代）说明：这里的“从属关系”指的是什幺？实际上，在解析几何中，“点”是比直线、曲线 更基础的几何元素——任何几何图形，包括直线和曲线，都被视为是由一个 个的“点”构成的（用数学语言来表达：任何几何图形，包括直线和曲线，都 是由点构成的集合）。但为了使我们的解题套路各步骤之间条例更分明。 我们把点、直线、曲线视为构成任何其它几何图形的基础。所以，这里的“从属关系”是点与直线、曲线的属于关系问题——如果某个点在某条直线或 曲线上，那幺这个点的坐标就可代入这条直线或曲线的方程。步骤3：图形