第三节第三节格林公式及其应用

另一种记法 :
x
DP
Green 公式
y Q
dxdy
ÑL Pdx
Qdy.
分析：
待证表达式
D
(
Q x
P )dxdy y
L Pdx
Qdy
等价于证明
D
Q x
dxdy
L
Qdy
D
P y
dxdy
LPdx
Y型区域
X 型区域
证明依赖于区域的形状
既 X又 Y型
单连通 一般区域
复连通
证明:
y
1. 若区域 D既是 X 型
1r 2 dxdy xdy xdy xdy xdy
4
D
L
OA
AB
BO
xdy dxdy 1 r2.
AB D
4
例 2 计算抛物线( x y)2 ax(a 0)与 x轴所
围成的面积.
解 ONA为直线 y 0.
曲线 AMO:
y ax x, x从a变到0.
M
L2
L3
L1
L Pdx Qdy
格林公式
D
Q x
P y
dxd
y
L
Pd
x
Qd
y
1.它建立了二重积分与曲线积分的一种等式关系; 2.它揭示了函数在区域内部与边界之间的内在联系.
格林公式
D
Q x
P y
dxd
y
L
Pd
x
Qd
y
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
A 1 xdy y dx A xdy, A ydx.
r2
d
2π
Ñ 例4 计算 L
xdy 4x2
ydx y2
,
其中L是以点(1，0)为中心,
R为半径的圆周(R 1), 取逆时针方向.
解
P y
y2 4x2 (4x2 y2 )2
Q x
,
( x, y) (0,0).
在L内取一小椭圆l : 4x2 y2 a2 ,
并取l方向为逆时针方向.
由Green公式知 :
规定: 平面区域 D的边界曲线L的正方向? (负方向)
当观察者沿边界行走时, 区域D总在他的左侧.
(右侧)
D
D
定理1 设闭区域 D由分段光滑的曲线L 围成,函数
P( x, y)及Q( x, y)在D上具有一阶连续偏导数,则有
D
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
其中 L是 D的取正方向的边界曲线.
又是Y 型区域,
d
x 1( y)
A
即平行于坐标轴的直
线和 L至多交于两点.
c oa
E y 2(x)
DB
x 2( y) C y 1(x)
bx
D {( x, y)1( x) y 2( x),a x b} D {( x, y)1( y) x 2( y),c y d }
y
D
Q dxdy x
d
dy
2 ( y) Qdx
c
1( y) x
d
E
x 1( y) D B
d
d
c Q( 2 ( y), y)dy c Q( 1( y), y)dy c A
x 2( y)
C
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
CBE
CAE
o
x
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
2L
L
L
例如,
椭圆
L
:
x
y
a cos b sin
(0 2π) 所围面积
1 2π
2 0
(abcos2
absin2 ) d
π ab
例 1 计算 xdy,其中曲线 AB是半径为r 的圆
AB
在第一象限部分.
y
A
解 引入辅助曲线 L,
L OA AB BO 应用格林公式有：
D
o
L
Bx
Ox
当(0,0) D时, 在D 内作圆周 l : x2 y2 r 2, 取逆时
针方向, 记 L 和 l ¯所围的区域为 D1 , 对区域 D1 应用格
林公式 , 得
y
xdy ydx l x2 y2
xdy ydx Ll x2 y2
0d xdy 0
D1
lL
O
x
D1
2π 0
r 2 cos2 r 2 sin2
直接用; 挖掉再用;
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
1. 定义
设D是一个区域, P( x, y)和Q( x, y)在D内
有一阶连续偏导数, 如果对D内任意给定的两点
A和B, 以及D内从A到B的任意两条曲线L1, L2 ,
都有 :
y
Pdx Qdy Pdx Qdy
N
A(a,0)
A
1 2
L
xdy
ydx
1
2 ONA
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ydx
1 xdy ydx a 0 xdx 1 a2 .
2 AMO
4a
6
例3. 计算
其中L为一无重点且不过原点
的分段光滑正向闭曲线. 解: 令
则当x2 y2 0时,
设 L 所围区域为D, 当(0,0) D时,由格林公式知 y L
I
L
xdy ydx 4x2 y2
l
xdy ydx 4x2 y2
1
a2
l
xdy
ydx
1
a2
2dxdy
4 x2 y2a2
.
Green公式应用技巧: 不闭则补，出奇则挖
1. 如L是非封闭曲线, 先补再用.
2. 如L是封闭曲线, 所围区域为D,则
(i) D内无奇点, (ii) D内有奇点,
添加直线段 AB, CE .
则D的边界线由AB, L2 , BA, AFC,CE, L3 , EC及CGA 构成.
G L2 B
由 2 知,
D
(
Q x
P y
)dxdy
L1
L3
E C
F A
{ } (Pdx Qdy) AB L2 BA AFC CE L3 EC CGA
( )(Pdx Qdy)
第三节
第十一章
格林公式及其应用
一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的
等价条件 *三、全微分方程
一、 格林公式
区域连通性的分类
设 D 为平面区域, 如果 D内任一闭曲线 所围成的部分都属于D, 则称 D 为平面单连 通区域; 否则称为复连通区域.
D
D
单连通区域
复连通区域
( 无“洞”(包含点洞)区域 ) ( 有“洞”(包含点洞)区域 )
( )dxdy
D x y
x D1 D2 D3 y
L3
D3
L2
D2
D1
L1
D
L
Q P
Q P
Q P
(
D1
x
y
)dxdy
(
D2 x
y
)dxdy
(
D3
x
y
)dxdy
L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy L3 Pdx Qdy
L Pdx Qdy
3. 若区域不止由一条闭曲线所围成.
CBE
EAC
Q( x, y)dy
L
P(
x,
y)dx
两式相加得
D
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
2. 若区域 D由一条按段光滑的闭曲线围成.
D3
D2
D
D1
L
用光滑曲线将D分成三个既是X 型又是Y 型 的区域 D1 , D2 , D3 .
Q P
Q P
( )dxdy