人教版高中数学必修二知识讲解,巩固练习(教学资料,补习资料)：专题1.2.3 空间几何体的直观图

高中数学必修2知识点一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0<k ； 当 90=α时，k 不存在。

②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--= 注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。

②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x④截矩式：1x ya b+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。

⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）注意：○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）； （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数）（二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ；（ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。

知识一、直线与平面垂直的判定1．直线与平面垂直定义如果直线l与平面α内的_______________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的_______________，平面α叫做直线l的_______________．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做_______________．图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直（1）定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语．（2）直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式．（3）由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线．2．直线与平面垂直的判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条_______________直线都垂直，则该直线与此平面垂直图形语言符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，_______________⇒l⊥α作用判断直线与平面_______________（1）直线与平面垂直的判定定理告诉我们：可以通过直线间的垂直来证明直线与平面垂直．通常我们将其记为“线线垂直，则线面垂直”．因此，处理线面垂直转化为处理线线垂直来解决．也就是说，以后证明一条直线和一个平面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即可．（2）在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交直线垂直，而不是任意的两条直线．3．直线和平面所成的角（1）定义：一条直线和一个平面_______________，但不和这个平面_______________，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的_______________叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引_______________，过_______________和_______________的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_______________，叫做这条直线和这个平面所成的角．（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于_______________；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于_______________．因此，直线与平面所成的角α的范围是_______________．二、平面与平面垂直的判定1．二面角概念平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为_______________．从一条直线出发的两个_______________所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的_______________，这两个半平面叫做二面角的_______________图示二面角的平面角文字在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于_______________的射线，则这两条射线构成的_______________叫做这个二面角的平面角图示符号OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角范围[0，π]二面角的大小及记规定二面角的大小可以用它的_______________来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是_______________的二面角叫做直二面角记法棱为l，面分别为α，β的二面角记为_______________．如图所示，也可在α，β内（棱以外的半平面部分）分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角_______________．法【温馨提示】二面角是从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形；平面角可以把角理解为一个旋转量，二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成，二面角的大小反映了两个相交平面的位置关系．知识剖析（1）二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置唯一确定的，与选择棱上的点的位置无关．（2）平面角的两边分别在二面角的两个面内，且两边都与二面角的棱垂直，这个角所确定的平面与棱垂直．2．平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是_______________，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作_______________．（2）画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的_______________垂直．如图所示．3．平面与平面垂直的判定定理文字语言一个平面过另一个平面的_______________，则这两个平面垂直图形语言符号语言 l ⊥α，_______________⇒α⊥β作用 判断两平面_______________【温馨提示】平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．通常我们将其记为：线面垂直，则面面垂直．因此处理面面垂直问题（即空间问题）转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题（即平面问题）来解决． 三、直线与平面垂直的性质定理文字语言 垂直于同一个平面的两条直线_______________符号语言a b αα⊥⎫⎬⊥⎭⇒_______________ 图形语言作用（1）证明两直线_______________； （2）构造平行线【温馨提示】直线与平面垂直的性质定理给出了判断两条直线平行的另一种方法，即“线面垂直，则线线平行”，它揭示了“平行”与“垂直”的内在联系．直线与平面垂直的性质（1）l l b b αα⎫⇒⊥⎬⊂⎭⊥；（2） a a b b αα⎫⇒⎬⎭⊥∥⊥；（3） a b b a αα⎫⇒⎬⎭∥⊥⊥；（4）a a αββα⎫⇒⎬⎭∥⊥⊥；（5） a a ααββ⎫⇒⎬⎭⊥∥⊥．四、平面与平面垂直的性质定理文字 语言两个平面垂直，则_______________垂直于_______________的直线与另一个平面_______________符号 语言=____________l a αβαββ⎫⎪⎪⇒⎬⎪⎪⎭⊥⊥ 图形 语言作用证明直线与平面_______________【温馨提示】平面与平面垂直的性质定理给出了判断直线与平面垂直的另一种方法，即“面面垂直，则线面垂直”，揭示了线面垂直与面面垂直的内在联系．垂直关系之间的相互转化知识参考答案：一、1． 任意一条 垂线 垂面 垂足2． 相交 a b P= 垂直 3．（1）相交 垂直 交点 垂线 垂足 斜足 锐角 （2）90 0 090α<≤ 二、1． 半平面 半平面 棱 面 棱 角 平面角 直角 l αβ-- P l Q --2．（1）直二面角 αβ⊥ （2）横边 3． 垂线 l β⊂ 垂直 三、平行 a b ∥ 平行四、 一个平面内 交线 垂直 ,a a l α⊂⊥ 垂直重点重点1．直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定； 2．直线与平面垂直的性质定理，平面与平面垂直的性质定理． 难点1．灵活应用直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的判定定理解决问题，求二面角；2．直线与平面垂直的性质定理的应用，平面与平面垂直的性质定理的应用．易错1．使用判定定理时忽略条件致误； 2．面面垂直的条件把握不准确致误．1．线面垂直判定定理的应用证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直．三角形全等、等腰三角形底边的角平分线、中线、高；菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法．【例1】如图，在ABC △中，∠ABC ＝90°，D 是AC 的中点，S 是ABC △所在平面外一点，且SA ＝SB ＝SC ．（1）求证：SD ⊥平面ABC ；（2）若AB ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC ．【答案】证明详见解析．2．面面垂直判定定理的应用证明平面与平面垂直的方法：【例2】如图，四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD为菱形，SD＝SB．（1）求证：平面SAC⊥平面SBD；（2）求证：平面SAC⊥平面ABCD．【答案】证明详见解析．【名师点睛】根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要证明线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．3．直线与平面所成的角求直线与平面所成的角的方法：（1）求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．（2）求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等．【例3】在三棱锥中，平面，如图所示．（1）证明：；（2）求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明详见解析．（2）77．（2）由（1）知AB 、AC 、AP 两两垂直，如图，取BC 的中点E ，连接AE 、PE ，过A 作PE 的垂线，F 为垂足，由1AB AC ==得BC AE ⊥，又由PA ⊥平面ABC ，得BC PA ⊥，则BC ⊥平面PAE ， 于是AF BC ⊥，故AF ⊥平面PBC ， 则APE ∠就是直线AP 与平面PBC 所成的角． 在△PAE 中，1222AE BC ==，22142PE AP AE =+=， 则7sin 7AE APE PE ∠==． 即与平面所成角的正弦值为77． 4．二面角求二面角大小的步骤：简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择．【例4】已知ABCD 是正方形，E 是AB 的中点，将DAE △和CBE △分别沿DE 、CE 折起，使AE 与BE 重合，A 、B 两点重合后记为点P ，那么二面角P －CD －E 的大小为_______________． 【答案】30【解析】如图，取CD 中点F ，连接PF 、EF ．【名师点睛】（1）二面角的平面角的顶点是二面角棱上任意一点．为了解题方便，可以把其放在某一特殊位置，这要具体问题具体分析．（2）求二面角的关键是找出（或作出）平面角，再把平面角放到三角形中求解．一般采取垂线法来作平面角，即过二面角的一个半平面内且不在棱上的一点作另一个半平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角． 5．垂直的综合应用【例5】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，45,1,ADC AD AC O ∠===为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，2,PO M =为PD 的中点．（1）证明：AD ⊥平面PAC ；（2）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．【答案】证明详见解析．【例6】如图，已知三棱锥P －ABC ，∠ACB ＝90°，CB ＝4，AB ＝20，D 为AB 的中点，且PDB △是正三角形，P A ⊥PC ．（1）求证：平面P AC ⊥平面ABC ； （2）求二面角D －AP －C 的正弦值；（3）若M 为PB 的中点，求三棱锥M －BCD 的体积．【答案】证明详见解析．（2）∵P A ⊥PC ，且P A ⊥PB ，∴∠BPC 是二面角D －AP －C 的平面角． 由（1）知BC ⊥平面P AC ，则BC ⊥PC ， ∴sin 25BC BPC PB ∠==． 则二面角D －AP －C 的正弦值为25． （3）∵D 为AB 的中点，M 为PB 的中点，∴DM //=12PA ，且53DM =， 由（1）知P A ⊥平面PBC ，∴DM ⊥平面PBC ． ∵12212BCM PBC S S ==△△， ∴1532211073M BCDD BCM V V --==⨯⨯=．【名师点睛】本题的题设条件有三个：①ABC △是直角三角形，BC AC ⊥；②PDB △是正三角形；③D 是AB 的中点，PD ＝DB ＝10．解答本题（1），只需证线面垂直，进而由线面垂直证明面面垂直；对于（2），首先应找出二面角的平面角，然后求其正弦值；解答第（3）小题的关键是用等体积法求解． 6．直线与平面垂直的性质定理的应用线面垂直的性质定理、公理4及线面平行的性质定理都是证明线线平行的依据，至于线面平行、面面平行，归结到最后还是要先证明线线平行．【例7】如图，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1．【答案】证明详见解析．【名师点睛】当题中垂直条件很多，但又需证两直线平行关系时，就要考虑直线和平面垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化．7．平面与平面垂直的性质定理的应用在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直．【例8】已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l．求证：l⊥γ．【答案】证明详见解析．【解析】证法1：在γ内取一点P，作P A垂直α与γ的交线于A，作PB垂直β与γ的交线于B，∵α⊥γ，β⊥γ，则P A⊥α，PB⊥β，∵l＝α∩β，∴l⊥P A，l⊥PB，∵P A与PB相交，又P A⊂γ，PB⊂γ，∴l⊥γ．证法2：在α内作直线m垂直于α与γ的交线，在β内作直线n垂直于β与γ的交线，∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ，∴m∥n，又n⊂β，∴m∥β，又m⊂α，α∩β＝l，∴m∥l，∴l⊥γ．【名师点睛】证法一、证法二都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”的这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线．这是证法一、证法二的关键．证法三是利用“如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内”这一性质，添加了l′这条辅助线，这是证法三的关键．通过此例，应仔细体会两平面垂直时，添加辅助线的方法．8．平面与平面垂直的性质定理的应用【例9】如图，a b ∥，点P 在,a b 所确定的平面γ外，PA a ⊥于点A ，AB b ⊥于点B ． 求证：PB b ⊥．【错解】因为PA a ⊥，a b ∥，所以PA b ⊥．所以PA γ⊥，所以PB b ⊥．【错因分析】本题错解的原因在于没有正确使用线面垂直的判定定理，由,,PA a PA b ⊥⊥ 得PA γ⊥，而忽略了“垂直于平面内两条相交直线”这一条件，即a b ≠∅．【正解】因为,PA a a b ⊥∥，所以PA b ⊥． 又,AB b PAAB A ⊥=，所以b ⊥平面PAB ．因为PB PAB ⊂平面， 所以PB b ⊥．【易错点睛】应用直线与平面垂直的判定定理时，要熟记定理的应用条件，不能忽略“两条相交直线”这一关键点．9．不能正确找出二面角的平面角【例10】如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，P A ⊥平面ABCD ，且=3PA ，=1=2=3AB BC AC ，，，求二面角P CD B －－的大小．【错解】如图，过A 在底面ABCD 内作AE ⊥CD 于E ，连接PE ． ∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥CD ． 又∵P A ∩AE ＝A ，∴CD ⊥平面P AE ． 又∵PE ⊂平面P AE ，∴CD ⊥PE ， ∴∠PEA 为二面角P －CD －B 的平面角．（以下略）【错因分析】点E 的位置应首先由已知的数量关系确定，而不是盲目地按三垂线法直接作出．在找二面角的平面角时，一般按照先找后作的原则，避免盲目地按三垂线法作二面角的平面角． 【正解】∵=1=2=3AB BC AC ，，，2229==0BC AB AC BAC ∴∴∠︒+，， ∴∠ACD ＝90°，即AC ⊥CD ．又∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥CD ． 又∵P A ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面P AC ． 又∵PC ⊂平面P AC ，∴PC ⊥CD ， ∴∠PCA 是二面角P －CD －B 的平面角．∵在Rt PAC △中，,=3,=3PA AC PA AC ⊥，∴∠PCA ＝45°． 故二面角P －CD －B 的大小为45°． 10．定理的条件不全导致判断不准确【例11】已知两个平面垂直，下列命题：①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线． ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线． ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面． 其中正确命题的个数是 A ．3B ．2C ．1D ．0【错解】由面面垂直的性质可知，②④正确，故选B ．【错因分析】④中过一个平面内任意一点作交线的垂线，并没有说明这一垂线一定在平面内． 【正解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，对于①，111AD AA D D ⊂平面，BD ABCD ⊂平面，1AD 与BD 是异面直线，且夹角为60°，故①错误；②正确；对于③，111AD AA D D ⊂平面，但1AD 不垂直于平面ABCD ，故③错误； 对于④，过平面11AA D D 内的点1D ，作1D C ， 因为AD ⊥平面11D DCC ，111D C D DCC ⊂平面，所以1AD D C ⊥，但1D C 不垂直于平面ABCD ，故④错误． 所以正确命题的个数是1．故选C ．【易错点睛】对于④，很容易认为是正确的，其实与面面垂直的性质定理是不同的，“两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直”与“两个平面垂直，则过一个平面内任意一点作交线的垂线，此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过点作的直线不一定在平面内．基础训练1．如图，已知四棱锥P –ABCD 中，已知PA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，则下列结论中错误的是A ．平面PAB ⊥平面PAD B ．平面PAB ⊥平面PBC C ．平面PBC ⊥平面PCDD ．平面PCD ⊥平面PAD2．如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，沿BD 将△ABD 折起到A ′BD ，使面A ′BD ⊥面BCD ，连接A ′C ，则在四面体A ′BCD 的四个面中，互相垂直的平面有①面ABD ⊥面BCD ；②面A ′CD ⊥面ABD ；③面A ′BC ⊥面BCD ；④面ACD ⊥面ABC ．A．1个B．2个C．3个D．4个3．设平面α∩平面β=l，点A，B∈α，点C∈β，且A，B，C均不在直线l上，给出四个命题：①l ABl AC⊥⎫⎬⊥⎭⇒α⊥β；②l ACl BC⊥⎫⎬⊥⎭⇒α⊥平面ABC；③AB BCαβ⊥⎫⎬⊥⎭⇒l⊥平面ABC；④AB∥l⇒l∥平面ABC．其中正确的命题是A．①与②B．②与③C．①与③D．②与④4．设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是A．若l⊥m，m=α∩β，则l⊥αB．若l∥m，m=α∩β，则l∥αC．若α∥β，l与α所成的角相等，则l∥mD．若l∥m，l⊥α，α∥β，则m⊥β5．如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的线段有A．1条B．2条C．3条D．4条6．如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的直线有__________条．7．已知△ABC中∠ACB=90°，SA⊥面ABC，AD⊥SC，求证：面ADB⊥面SBC．8．如图ABCD是正方形，PD⊥面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．求证：DE⊥面PBC．9．如图，在三棱锥A–BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．求证：CD⊥平面ABD．能力提升10．已知两条直线a，b与三个平面α，β，γ，下列条件中能推出α∥β的是A．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥βB．α⊥γ，且β⊥γC．a⊂α，b⊂α，a∥b D．a⊥α，且a⊥β11．在三棱锥P–ABC中，不能推出平面PAC⊥平面PBC的条件是A．BC⊥PA，BC⊥PC B．AC⊥PB，AC⊥PCC．AC⊥BC，PA⊥PB D．平面PAC⊥平面ABC，BC⊥AC12．如图所示，已知PA垂直于△ABC所在平面，且∠ACB=90°，连结PB、PC，则图形中互相垂直的平面有A．一对B．两对C．三对D．四对13．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ABE为等腰三角形，AE=BE，平面ABCD⊥平面ABE，点F在CE上，且BF⊥平面ACE．（1）证明：平面ADE⊥平面BCE；（2）求点D到平面ACE的距离．14．如图，四棱锥P–ABCD的底面ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点，且PA⊥AB，PA ⊥PC．证明：平面PAD⊥平面PDC．15．如图，空间四边形PABC中，PB⊥底面ABC，∠BAC=90°；过点B作BE，BF分别垂直于AP，CP于点E，F．（1）求证：AC⊥面PAB；（2）求证：PC⊥EF．真题练习16．（2018•新课标全国）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥17．（2019•浙江模拟）如图，已知正四面体–D ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P 的平面角为α，β，γ，则A ．γαβ<<B ．αγβ<<C ．αβγ<<D ．βγα<<18．（2019•江苏模拟）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．求证：111ABB A A BC ⊥平面平面．19．（2018•北京文）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA =PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．（1）求证：PE ⊥BC ；（2）求证：平面PAB ⊥平面PCD ； （3）求证：EF ∥平面PC D ．20．（2018•新课标Ⅰ文节选）如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =︒∠，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥． 证明：平面ACD ⊥平面ABC ；21．（2018•新课标Ⅱ文节选）如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．证明：PO ⊥平面ABC ．-中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点22．（2019•云南模拟）如图，在三棱锥A BCD⊥．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）E，F（E与A，D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF AD⊥．AD AC23．（2019•重庆模拟）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=B D．证明：平面ACD⊥平面AB C．24．（2019•山东模拟）由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1- B1CD1后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD．A O∥平面B1CD1；（2）设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1．（1）证明：125．（2018•北京模拟）如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：PA ⊥BD ；（2）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（3）当PA ∥平面BDE 时，求三棱锥E –BCD 的体积．26．（2019•天津模拟）如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD BC ∥，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =．（1）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值； （2）求证：PD ⊥平面PBC ；（3）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．27．（2019•天津模拟）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒．（1）证明：直线BC ∥平面PAD ；（2）若△PCD 的面积为27，求四棱锥P ABCD -的体积．参考答案1 2 3 4 5 10 11 12 16 17 CCDDDDCCCB1．【答案】C2．【答案】C【解析】由题意直线AB⊥平面BCD，直线CD⊥平面ABD，所以面ABD⊥面BCD，面ABC⊥面BCD，面ABD⊥面ACD，共有3对，故选C．3．【答案】D【解析】①不正确，∵l⊥AB，l⊥AC时，平面α与平面β的夹角不一定为90°；②正确，∵l⊥AC，l⊥BC，AC∩BC=C，∴α⊥平面ABC；③不正确，∵AB∥l时，明显不会l⊥平面ABC；④正确，∵AB∥l，且A，B，C均不在直线l上，故l∥平面ABC．故选D．4．【答案】D【解析】对于A，l可能在平面α内，所以A错误；对于B，l可能在平面α内，所以B错误；对于C，l，m可能平行、相交、异面，所以C错误；对于D，因为l∥m，l⊥α，所以m⊥α，又因为α∥β，所以m⊥β，正确．故选D．5．【答案】D【解析】∵PO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴PO⊥AC，又∵AC⊥BO，PO∩BO=O，∴AC⊥平面PBD，因此，平面PBD中的4条线段PB、PD、PO、BD都与AC垂直．故选D．6．【答案】4【解析】∵PO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴AC⊥PO，∵BO⊥AC，BO∩PO=O，∴AC⊥平面PBD，∴AC⊥PB，AC⊥BD，AC⊥PD，AC⊥PO，∴在图中与AC垂直的直线有4条．故答案为：4．7．【答案】证明详见解析．【解析】∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，又∵SA⊥面ABC，∴SA⊥BC，∴BC⊥面SAC，∴BC⊥AD，又∵SC⊥AD，SC∩BC=C，∴AD⊥面SBC．AD⊂平面ADB，则平面ADB⊥平面SBC．8．【答案】证明详见解析．9．【答案】证明详见解析．【解析】三棱锥A–BCD中，AB⊥平面BCD，且CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD；又CD⊥BD，AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，且AB∩BD=B，∴CD⊥平面ABD．10．【答案】D【解析】对于选项A，由于平面α内的两条直线a和b不一定是两条相交直线，尽管有a∥β，b∥β，也不能推出α∥β．对于选项B，由于垂直于同一个平面的两个平面α和β可能平行、也可能相交，不能推出α∥β．对于选项C，根据平面α内有两条平行线，不能推出α∥β．对于选项D，由于两个平面α、β垂直于同一条直线，故有α∥β，故选D．11．【答案】C【解析】对于选项A，由线面垂直的判定，容易得到BC⊥平面PAC；再根据面面垂直的判定得到平面PAC⊥平面PBC；对于选项B，由线面垂直的判定，容易得到AC⊥平面PAC；再根据面面垂直的判定得到平面PAC⊥平面PBC；对于选项D，由平面PAC⊥平面ABC，BC⊥AC得到BC⊥平面PAC，由面面垂直的判定得到平面PAC⊥平面PBC；所以选项C不能判定平面PAC⊥平面PBC．故选C．12．【答案】C【解析】∵PA 垂直于△ABC 所在平面，连结PB 、PC ，∵PA ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABC ，又∵PA ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面ABC ，∵PA 垂直于△ABC 所在平面，∴PA ⊥BC ，又∠ACB =90°，∴BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面PAC ，∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PAC ．∴图形中互相垂直的平面有3对．故选C ．13．【答案】证明详见解析．（2）如图，连接BD 交AC 于点M ，则点M 是BD 的中点，所以点D 与点B 到平面ACE 的距离相等．因为BF ⊥平面ACE ，所以BF 为点B 到平面ACE 的距离． 因为AE ⊥平面BCE ，所以AE ⊥BE ．又因为AE =BE 所以△AEB 是等腰直角三角形， 因为AB =2，所以BE =2sin45°=2，又在Rt △CBE 中，CE =226BC BE +=，所以BF=233 BC BECE⨯=．故点D到平面ACE的距离是233．14．【答案】证明详见解析．15．【答案】证明详见解析．【解析】（1）∵PB⊥底面ABC，AC⊂平面ABC，∴PB⊥AC，又∵∠BAC=90°，∴AC⊥AB，又PB∩AB=B，∴AC⊥面PAB；（2）由（1）的结论，由BE⊂平面PAB，∴AC⊥BE，又由BE⊥AP，AC∩AP=A，∴BE⊥平面PAC，∴BE⊥PC．∵BF⊥PC，BF∩BE=B，∴PC⊥平面BEF，∴PC⊥EF．16．【答案】C【解析】由正方体的性质，得A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1，故选C．17．【答案】B【解析】设O为三角形ABC的中心，则O到PQ距离最小，O到PR距离最大，O到RQ距离居中，而高相等，因此αγβ<<，所以选B．18．【答案】证明详见解析．【解析】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥B C．又因为A1B∩BC=B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1B C．因为AB 1⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1B C ．19．【答案】证明详见解析．（3）如图，取PC 中点G ，连接,FG GD ．∵,F G 分别为PB 和PC 的中点，∴FG BC ∥，且12FG BC =． ∵四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点， ∴1,2ED BC DE BC =∥，∴ED FG ∥，且ED FG =， ∴四边形EFGD 为平行四边形，∴EF GD ∥．又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ，∴EF ∥平面PCD ． 20．【答案】证明详见解析．【解析】由已知可得，BAC ∠=90°，BA AC ⊥． 又BA ⊥AD ，所以AB ⊥平面ACD ．又AB ⊂平面ABC ，所以平面ACD ⊥平面AB C ． 21．【答案】证明详见解析．22．【答案】证明详见解析．【解析】（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB ∥． 又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ． （2）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD =BD ，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD ．因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥AD ． 又AB ⊥AD ，BCAB B =，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面ABC ，又因为AC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥AC ．【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直． 23．【答案】证明详见解析．24．【答案】（1）证明详见解析．（2）证明详见解析．【解析】（1）如图，取11B D 的中点1O ，连接111,CO AO ， 由于1111ABCD A B C D -是四棱柱，所以1111,AO OC AO OC =∥， 因此四边形11AOCO 为平行四边形，所以11A O O C ∥，又1O C ⊂平面11B CD ，1AO ⊄平面11B CD ，所以1A O ∥平面11B CD ．（2）因为AC BD ⊥，E ，M 分别为AD 和OD 的中点，所以EM BD ⊥， 又1A E ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1,A E BD ⊥因为11//,B D BD 所以11111,,EM B D A E B D ⊥⊥又1,A E EM ⊂平面1A EM ，1A E EM E =，所以11B D ⊥平面1,A EM又11B D ⊂平面11B CD ，所以平面1A EM ⊥平面11B CD ． 25．【答案】（1）证明详见解析．（2）证明详见解析．（3）13．【名师点睛】线线、线面的位置关系以及证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判定定理可转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，也可根据性质定理转化为证明面面垂直．26．【答案】（1）55；（2）证明详见解析；（3）55．【解析】（1）如图，由已知AD//BC，故DAP∠或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．在Rt△PDA中，由已知，得225AP AD PD=+=，故5 cos5ADDAPAP∠==．所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为55．（2）因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD．又因为BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．【名师点睛】线线、线面的位置关系以及证明是高考的重点考查内容，而证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判断定理转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可，而线线垂直又可通过线面垂直得到，用几何法求线面角，关键是找到斜线的射影，斜线与其射影所成的角就是线面角．27．【答案】证明详见解析．【解析】（1）在平面ABCD 内，因为∠BAD =∠ABC =90°，所以BC ∥AD ． 又BC PAD ⊄平面，AD PAD ⊂平面，故BC ∥平面PAD ． （2）取AD 的中点M ，连结PM ，CM ， 由12AB BC AD ==及BC ∥AD ，∠ABC =90°， 得四边形ABCM 为正方形，则CM ⊥AD ．【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行．（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直．（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．。

人教版高中数学必修二知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习直线、平面垂直的性质【学习目标】1．掌握直线与平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；2．掌握两个平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；3．能综合运用直线与平面、平面与平面的垂直、平行的判定和性质定理解决有关问题．【要点梳理】要点一、直线与平面垂直的性质1.基本性质文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.符号语言：,l m l m αα⊥⊂⇒⊥图形语言：2.性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：,//l m l m αα⊥⊥⇒图形语言：3．直线与平面垂直的其他性质（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．（2）若l α⊥于A ，AP l ⊥，则AP α⊂．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．要点诠释：线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化．要点二、平面与平面垂直的性质1．性质定理文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：,,,m l l m l αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥图形语言：要点诠释：面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法．2．平面与平面垂直性质定理的推论如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内． 要点三、垂直关系的综合转化线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条件与结论的桥梁．垂直间的关系可按下面的口诀记忆：线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清．平面之内两直线，两线交于一个点，面外还有一条线，垂直两线是条件．面面垂直要证好，原有图中去寻找，若是这样还不好，辅助线面是个宝．先作交线的垂线，面面转为线和面，再证一步线和线，面面垂直即可见．借助辅助线和面，加的时候不能乱，以某性质为基础，不能主观凭臆断，判断线和面垂直，线垂面中两交线．两线垂直同一面，相互平行共伸展，两面垂直同一线，一面平行另一面．要让面和面垂直，面过另面一垂线，面面垂直成直角，线面垂直记心间．【典型例题】类型一：直线与平面垂直的性质例1．设a ，b 为异面直线，AB 是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线）．（1）若a ，b 都平行于平面α，求证：AB ⊥α；αβ=，求证：AB∥c．（2）若a，b分别垂直于平面α，β，且c【思路点拨】（1）依据直线和平面垂直的判定定理证明AB⊥α，可先证明线与线的平行．（2）由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明AB∥c．证明：（1）如图（1），在α内任取一点P，设直线a与点P确定的平面与平面α的交线为a＇，设直线b与点P确定的平面与平面α的交线为b＇．∵a∥α，b∥α，∴a∥a＇，b∥b＇．又∵AB⊥α，AB⊥b，∴AB⊥a＇，AB⊥b＇，∴AB⊥α．（2）如图，过B作BB＇⊥α，则AB⊥BB＇．又∵AB⊥b，∴AB垂直于由b和BB＇确定的平面．∵b⊥β，∴b⊥c，∵BB＇⊥α，∴BB＇⊥c．∴c也垂直于由BB＇和b确定的平面．故c∥AB．【总结升华】由第（2）问的证明可以看出，利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造平面，使所证线皆与该平面垂直．如题中，通过作出辅助线BB＇，构造出平面，即由相交直线b与BB＇确定的平面，然后借助于题目中的其他垂直关系证明．举一反三：【变式1】设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【答案】B【解析】两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．：空间的线面垂直398999 例3例2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明：AE⊥CD；（2）证明：PD⊥平面ABE．【思路点拨】（1）由PA⊥底面ABCD，可得 CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，从而证得CD⊥AE；（2）由等腰三角形的底边中线的性质可得AE⊥PC，由（Ⅰ）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再由 AB⊥PD 可得 PD⊥面ABE。

人教版高中数学必修二知识点汇总第一章 空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''E D C B A ABCDE -或用对角线的端点字母，如五棱柱'AD几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥'''''E D C B A P -几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台'''''E D C B A P -几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ①侧面是梯形 ①侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆；①母线与轴平行；①轴与底面圆的半径垂直；①侧面展开图是一个矩形。

（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；①母线交于圆锥的顶点；①侧面展开图是一个扇形。

（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；①侧面母线交于原圆锥的顶点；①侧面展开图是一个弓形。

人教版(2023版)高中数学必修二知识归纳
1. 平面向量
- 平面向量的定义及表示方法
- 平面向量的加法、减法及数量乘法
- 平面向量的数量积及其性质
- 平面向量的共线、垂直判定方法
2. 立体向量
- 立体向量的定义及表示方法
- 立体向量的加法、减法及数量乘法
- 立体向量的数量积及其性质
- 立体向量的共面、垂直判定方法
3. 参数方程与平面方程
- 平面的一般方程及参数方程的互相转化
- 用点和法向量确定平面方程
- 平面与平面的位置关系及其判定方法
4. 球面坐标系
- 球坐标系的定义及坐标变换
- 用球面坐标求空间直线的距离及与圆柱面的交线
5. 平面上直线与曲线的方程
- 直线斜率的概念及求解
- 通过已知条件写出直线的方程
- 平面上曲线的一般方程及常见曲线的特征
6. 空间曲线的方程
- 三维空间曲线的参数方程及三视图的投影
- 通过已知条件写出曲线的方程
- 特殊曲线如圆、椭圆、抛物线、双曲线的性质和方程形式
7. 空间中的直线与平面
- 两直线的位置关系及条件判定
- 直线与平面的位置关系及条件判定
- 平面与平面的位置关系及条件判定
8. 空间解析几何推导与证明
- 利用解析几何方法推导及证明相关定理
- 运用解析几何解决实际问题
以上是人教版(2023版)高中数学必修二的知识归纳，其中包括了平面向量、立体向量、参数方程与平面方程、球面坐标系、平面上直线与曲线的方程、空间曲线的方程、空间中的直线与平面以及空间解析几何推导与证明等内容。

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人教版高中数学必修二知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习平面【学习目标】1.利用生活中的实物对平面进行描述；理解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．2．重点掌握平面的基本性质．3.能利用平面的性质解决有关问题．【要点梳理】【空间点线面之间的位置关系知识讲解】要点一、平面的基本概念1.平面的概念：“平面”是一个只描述而不定义的原始概念，常见的桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的形象.几何里的平面就是从这些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的．要点诠释：(1)“平面”是平的（这是区别“平面”与“曲面”的依据）；(2) “平面”无厚薄之分；(3)“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据．2.平面的画法：通常画平行四边形表示平面．要点诠释：(1)表示平面的平行四边形，通常把它的锐角画成45，横边长是其邻边的两倍；(2)两个相交平面的画法：当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，把被遮住的部分的线段画为虚线或者不画；3.平面的表示法：(1)用一个希腊字母表示一个平面，如平面α、平面β、平面γ等；(2)用表示平面的平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD；(3)用表示平面的平行四边形的相对两个顶点的两个字母表示，如平面AC或者平面BD；4.点、直线、平面的位置关系：(1)点A 在直线a 上，记作A a ∈；点A 在直线a 外，记作A a ∉；(2)点A 在平面α上，记作A α∈；点A 在平面α外，记作A α∉；(3)直线l 在平面α内，记作l α⊂；直线l 不在平面α内，记作l α⊄．要点二、平面的基本性质平面的基本性质即书中的三个公理，它们是研究立体几何的基本理论基础.1.公理1：(1)文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内；(2)符号语言表述：A l ∈，B l ∈，A α∈，B l αα∈⇒⊂；(3)图形语言表述：要点诠释：公理1是判断直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内，只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内．“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”．2.公理2：(1)文字语言表述：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；(2)符号语言表述：A 、B 、C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使得A α∈，B α∈，C α∈；(3)图形语言表述：要点诠释：公理2的作用是确定平面，是把空间问题化归成平面问题的重要依据．它还可用来证明“两个平面重合”．特别要注意公理2中“不在一条直线上的三点”这一条件．“有且只有一个”的含义可以分开来理解．“有”是说明“存在”，“只有一个”说明“唯一”，所以“有且只有一个”也可以说成“存在”并且“唯一”，与确定同义．(4)公理2的推论：①过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；②过两条相交直线，有且只有一个平面；③过两条平行直线，有且只有一个平面.(5)作用：确定一个平面的依据.3.公理3：(1)文字语言表述：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；(2)符号语言表述：P l αβαβ∈⇒=且P l ∈；(3)图形语言表述：要点诠释：公理3的作用是判定两个平面相交及证明点在直线上的依据.要点三、证明点线共面所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题．1．证明点线共面的主要依据：（1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（公理1）；②经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2及其推论）．2．证明点线共面的常用方法：（1）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；（2）辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面a、β重合；（3）反证法．3．具体操作方法：（1）证明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内；（2）证明空间几条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内．要点四、证明三点共线问题所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同—条直线上．1．证明三点共线的依据是公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．也就说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上．对于这个公理应进一步理解下面三点：①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；③如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上．2．证明三点共线的常用方法方法1：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点．根据公理3知，这些点都在交线上．方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上．要点五、证明三线共点问题所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点．1．证明三线共点的依据是公理3．2．证明三线共点的思路：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．【经典例题】类型一、平面的概念及其表示例1．下面的说法中正确的是（）．A ．平行四边形是一个平面B ．任何一个平面图形都是一个平面C ．平静的太平洋面就是一个平面D ．圆和平行四边形都可以表示平面【答案】D【解析】 利用平面的基本特征以及平面与平面图形的区别进行判断．A 不正确．我们用平行四边形来表示平面，但不能说平行四边形是一个平面．平行四边形仅是平面上四条线段构成的图形，它是不能无限延展的．B 不正确，平面图形和平面是完全不同的两个概念，平面图形是有大小的，它是不可以无限延展的．C 不正确，太平洋再大也会有边际，也不可能是绝对平面．D 正确．在需要时，除用平行四边形表示平面外，还能用三角形、梯形、圆等来表示平面．【总结升华】 平面与平面图形既有区别又有联系．平面没有角度、绝对平展、无边界，是一种理想的图形．平面可以用三角形、正方形、梯形、圆等平面图形来表示．但平面图形如三角形、正方形、梯形等，它们是有大小之分的，不能说三角形、正方形、梯形等是平面．举一反三：【变式1】下列命题：（1）书桌面是平面；（2）8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；（3）有一个平面的长是50 m ，宽是20 m ；（4）平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A例2．平面α内的直线a 、b 相交于点P ，用符号语言概述为“a b P =，且P ∈α ”，是否正确？【答案】不正确【解析】不正确．应表示为：a α⊂，b α⊂，且a ∩b=P ．相交于点P 的直线a 、b 都在平面α内，也可以说，平面α经过相交于点P 的直线a 、b ．题中的符号语言只描述了直线a 、b 交于点P ，点P 在平面α内，而没有描述直线a 、b 也都在平面内，下图也是题中的符号语言所表示的情形．【总结升华】用符号语言来叙述时，必须交代清楚所有元素的位置关系，不能有半点遗漏．立体几何中的三种语言（文字语言、符号语言、图形语言组成立体几何语言，我们强须准确地把握它们．其中文字语言比较自然、生动，能将问题研究的对象的含义更明确地叙述出来．图形语言给人以清晰的视觉形象，有助于空间想象力的培养；而符号语言更精练、简洁．三种语言的互译有助于我们在更广阔的思维领域里寻找解决问题的途径，有利于对思维广阔性的培养．举一反三：【变式1】指出图中的图形画法是否正确，如不正确，请改正．（1）如图1，直线a 在平面α内．（2）如图2，直线a 和平面α相交．（3）如图3，直线a和平面α平行．【答案】详见解析【解析】（1）（2）（3）的图形画法都不正确．正确画法如下图：（1）直线a在平面α内：（2）直线a与平面α相交：（3）直线a与平面α平行：类型二、平面的确定例3．判断下列说法是否正确，并说明理由：（1）一点和一条直线确定一个平面；（2）经过一点的两条直线确定一个平面：（3）两两相交的三条直线确定一个平面；（4）首尾依次相接的4条线段在同一平面内．【答案】不正确正确不正确不正确【解析】（1）不正确．如果点在直线上，可以确定无数个平面；如果点不在直线上，在已知直线上任取两个不同的点，由公理2知，有且只有一个平面，或直接由公理2的推论1知，有且只有一个平面．（2）正确．经过同一点的两条直线是相交直线，由公理2的推论2知，有且只有一个平面．（3）不正确．3条直线可能交于同一点，也可能有三个不同交点，如下图（1）、（2）所示．前者，由公理2的推论2知．可以确定1个或3个平面；后者，由公理2的推论2及公理1知，能确定一个平面．（4）不正确．四边形中三点可确定一个平面，而第4点不一定在此平面内，如上图（3），因此这4条线段不一定在同一平面内．【总结升华】公理2及其3个推论都是确定平面的依据，对涉及这方面的应用问题，务必分清它们的条件．立体几何研究的对象是空间点、线、面的位置关系问题，要有一定的空间想象能力．对于问题中的点、线，要注意它们各种不同的位置关系，以及由此产生的不同结果．举一反三：【变式1】正方体的八个顶点一共可以确定个平面．【答案】20例4．三个互不重合的平面，能把空间分成n部分，则n的所有可能值为______________．【思路点拨】将互不重合的三个平面的位置关系分为：三个平面互相平行；三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交；三个平面交于一线；三个平面两两相交且三条交线平行；三个平面两两相交且三条交线交于一点；五种情况并分别讨论，即可得到答案．【答案】4，6，7，8【解析】若三个平面互相平行，则可将空间分为4部分；若三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，则可将空间分为6部分；若三个平面交于一线，则可将空间分为6部分；若三个平面两两相交且三条交线平行（联想三棱柱三个侧面的关系），则可将空间分为7部分； 若三个平面两两相交且三条交线交于一点（联想墙角三个墙面的关系），则可将空间分为8部分； 故n 等于4，6，7或8类型三、平面的基本性质的应用例5．如右图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，判断下列命题是否正确，并说明理由．（1）直线AC 1在平面CC 1B 1B 内；（2）设正方形ABCD 与正方形A 1B 1C 1D 1的中心分别为O 、O 1，则平面AA 1C 1C与平面BB 1D 1D 的交线为OO 1；（3）由点A 、D 、C 可以确定一个平面；（4）由点A 、C 1、B 1确定的平面为ADC 1B 1；（5）由点A 、C 1、B 1确定的平面与由点A 、C 1、D 确定的平面是同一个平面．【解析】（1）错误．因为点A ∉平面CC 1B 1B ，所以AC 1不在平面CC 1B 1B 内．（2）正确．因为点O ∈直线AC ，直线AC ⊂平面AA 1C 1C ，所以点O ∈平面AA 1C 1C ．同理，点O 1∈平面AA 1C 1C ，所以直线OO 1⊂平面AA 1C 1C ．同理，直线OO 1⊂平面BB 1D 1D ．故OO 1为平面AA 1C 1C 与平面BB 1D 1D 的交线．（3）错误．因为点A 、O 、C 在同一直线上，故不能确定—个平面（4）正确．因为点A 、C 1、B 1不共线，故可确定一个平面，又AD ∥B 1C 1，所以点D ∈平面AB 1C 1，故由点A 、C 1、B 1确定的平面为ADC 1B 1．（5）正确．因为点A 、C 1、B 1确定的平面为平面ADC 1B 1，而由点A 、C 1、D 确定的平面也是平面ADC 1B 1，故它们确定的是同一个平面．【总结升华】正确地运用三个公理和有关概念的推理是解决此类题目的依据．例6．已知直线a ∥b ，直线l 与a ，b 都相交，求证：过a ，b ，l 有且只有一个平面．证明 证法一：如下图所示．由已知a ∥b ，所以过a ，b 有且只有一个平面α．设l A α=，b l B =，∴A ∈α，B ∈α，且A ∈l ，B ∈l ，∴l α⊂．即过a ，b ，l 有且只有一个平面．证法二：由已知可设la A =，lb B =． ∵l a A =，过l 与a 有且只有一个平面β．∵a ∥b ，∴过a ，b 有且只有一个平面α，∴B ∈α，B ∈β，a α⊂，a β⊂．又B∉a，∴平面α与β重合．=⇒过a，b，l有且只有一个平面．即a∥b，．a l A=，b l B【总结升华】在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：（1）纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．确定一个平面的方法：①直线和直线外一点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面；③两条相交直线确定一个平面．（2）重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合．举一反三：【空间点线面之间的位置关系例2】【变式】（1）空间两两相交的四条直线能确定几个平面？（2）证明空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内．【答案】（1）1或6；（2）略【解析】（1）略（2）分两种情形，有三条交于一个点，没有三条交于一个点．已知：直线AB、BC、CD、DA两两相交，且不过同一点．求证：直线AB、BC、CD、DA共面．证明：如图（左），AB、BC、CD、DA两两相交，且无三条直线相交于一点．设AD、BC交于点M，AB、CD交于点N．∴AB、CD确定一个平面α．又∵C∈CD，B∈AB，D∈CD，A∈AB．∴A、B、C、D∈α．由公理1，知AD、BC∈α．故AB、BC、CD、DA四条直线共面．如图（右），AB、BC、CD、DA两两相交，且有三直线交于一点D．∵AB∩CD=C．∴AB、CD确定一个平面β．又∵A∈AB，D∈CD，∴A、D∈β，B∈AB，D∈CD，∴B、D∈β．∴AD⊂β，BD⊂β（公理1）．∴AB、BC、CD、DA四直线共面．例7．如下图，已知△ABC的三个顶点都不在平面α内，它的三边AB、BC、AC延长后分别交平面α于点P、Q、R．求证：P、Q、R在同一条直线上．证明由已知AB的延长线交平面α于点P，根据公理3，平面ABC与平面α必相交于一条直线，设为L．∵P∈直线AB，∴P∈平面ABC．又AB∩α=P，∴P∈平面α，∴P是平面ABC与平面α的公共点．∵平面ABC∩α=l，∴P∈l，同理，Q∈l，R∈l．∴点P、Q、R在同一条直线l上．【总结升华】多点共线中的这条线一定是两个平面的交线，因此这类问题实际为两平面的相交问题．举一反三：【空间点线面之间的位置关系 例3】【变式1】已知E,F,G,H 分别是空间四边形各边AB ，AD ，BC ，CD 上的点，且直线EF 与GH 交于点P ．求证：B ，D ，P 在同一直线上．【解析】P EF P ABD P EF GH P GH P BCD ∈⇒∈⎧⎫∈⇒⎨⎬∈⇒∈⎩⎭平面平面P ABD BCD BD P BD ⇒∈=⇒∈平面平面例8.（2016 甘肃天水月考）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，F 为1AA 的中点，求证：CE ，1D F ，DA 三线共点．【思路点拨】延长1D F 、DA 交于P ，连结EP ，由已知条件得△P AE ≌△P AF ，从而得到∠PEA +∠AEC =180°，由此能证明CE 、1D F 、DA 三线共点于P ．【答案】略【解析】延长1D F 、DA 交于P ，连结EP∵AE =AF ，P A =P A ，∠P AE =∠P AF =90°，∴△P AE ≌△P AF ，∴∠PF A =∠PEA ，∵∠PEA =1PD D ∠，1PD D ∠=∠DCE （11A D F ∠=∠BCE ），∴∠PEA =∠DCE ，又∵∠DCE +∠AEC =180°，∴∠PEA +∠AEC =180°，即点P 、E 、C 共线，∴CE ，1D F ，DA 三线共点于P ．【总结升华】本题考查三线共点的证明，题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．举一反三：【变式1】 如下图，已知空间四边形ABCD （即四个点不在同一平面内的四边形）中，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且23CF CG CB CD ==．求证：直线EF、GH、AC相交于一点．证明：∵E、H分别是边AB、AD的中点，∴EH∥BD且12EH BD=．∵F、G分别是边BC、CD上的点，且23 CF CGCB CD==，∴FG∥BD且23FG BD=．故知EH∥FGE且EH≠FG，即四边形EFGH为梯形，从而EF与GH必相交，设交点为P．∵P∈EF，EF⊂平面ABC，∴P∈平面ABC．同理P∈平面ADC．∵平面ADC∩平面ABC=AC，∴P∈AC．即EF、GH、AC交于一点P。

知识一、中心投影与平行投影1．投影的概念由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做.其中，我们把光线叫做，把留下物体影子的屏幕叫做.2．中心投影（1）概念光由一点向外散射形成的投影，叫做,如图所示.现实生活中见到的很多投影都是中心投影，如在电灯泡、蜡烛等点光源照射下物体的影子.（2）性质①中心投影的投影线相交于 .②平行于投影面放置的物体，点光源离物体越近，投影形成的影子越.例如，在电灯泡的照射下，物体后面的屏幕上会形成影子，而且随物体距离灯泡（或屏幕）的远近，形成的影子大小会有所不同.3．平行投影（1）概念在一束平行光线照射下形成的投影，叫做．在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做，否则叫做斜投影．如图所示. 在日常生活中，常常把太阳光线看作平行光线.（2）性质①平行投影的投影线互相.②在平行投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小是完全的.③当图形中的直线或线段不平行于投影线时：(ⅰ)直线或线段的平行投影仍是；(ⅱ)平行直线的平行投影是的直线；(ⅲ)平行于投影面的线段，它的投影与这条线段；(ⅳ)与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形；(ⅴ)在同一直线或平行直线上的两条线段的平行投影的长度比这两条线段的长度比.二、空间几何体的三视图1．三视图的概念(1)光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的;(2)光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的;(3)光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的.几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.如图.2．三视图的画法规则（1）排列规则：一般地，侧视图在正视图的，俯视图在正视图的.如下图：正侧俯（2）画法规则①正视图与俯视图的长度一致，即“”；②侧视图和正视图的高度一致，即“”；③俯视图与侧视图的宽度一致，即“”.（3）线条的规则①能看见的轮廓线用表示；②不能看见的轮廓线用表示.3．常见几何体的三视图常见几何体正视图侧视图俯视图长方体矩形矩形矩形正方体正方形正方形正方形圆柱矩形矩形圆圆锥等腰三角形等腰三角形圆圆台等腰梯形等腰梯形两个同心的圆球圆圆圆三、简单组合体的三视图常见的组合体的生成方式：（1）将基本几何体拼接成的组合体；（2）从基本几何体中切掉或挖掉部分构成组合体.所以，在画组合体的三视图时，一定要认真观察，先认识它的基本结构，然后再画它的三视图.如图.知识参考答案：二、1．正视图侧视图俯视图2．（1）右边下边（2）长对正高平齐宽相等（3）实线虚线重点重点：空间几何体的三视图.难点：简单组合体的三视图、由三视图还原几何体.易错：不能准确画出三视图或由三视图还原几何体.1．K重点——空间几何体的三视图正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度;侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度;俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是A．①②B．①③C．①④D．②④【答案】D【解析】②中正视图和侧视图相同，④中正视图和侧视图相同，可得②④正确，故选D.【名师点睛】在确定几何体的三视图时可以按照下面的步骤进行：确定投影角度→按照三视图的画法规则作图→完成后检验.2．K难点——简单组合体的三视图对于简单组合体要分清楚是由哪些简单几何体组成的，并注意它们的组合方式，特别是它们的交线位置，画出分解后的简单几何体的三视图后，将其拼合即得组合体的三视图．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为【答案】D【思路点拨】画三视图时，要想象在几何体的后面、右面、下面各有一个屏幕，一组平行光线分别从前面、左面、上面垂直照射，先画出影子的轮廓，再验证几何体的轮廓线，能够看到的画成实线，不能看到的画成虚线．3．K难点——由三视图还原几何体由三视图还原立体图形时，根据三视图的特征，先判断是简单几何体还是由它们组成的组合体.若是简单几何体，结合柱、锥、台、球的三视图逆推；若是组合体，结合柱、锥、台、球的三视图，判断是由哪几种简单几何体组合而成，根据它们的相对位置关系，想象出组合体的构成情况，再加以验证.如图所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视图，则甲、乙、丙对应的几何体分别为①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱．A．④③②B．①③②C．①②③D．④②③【答案】A【技巧点拨】由三视图判断几何体时，首先，确定正视、侧视、俯视的方向；其次，判断几何体的组合方式，特别是它们的交线位置，交线的实虚情况等.要注意不能看见的轮廓线的画法，应画成虚线，切不可略去不画.4．K易错——不能准确由三视图还原几何体当已知三视图去还原成几何体时，要充分关注图形中关键点的投影，先从俯视图来确定是多面体还是旋转体，再从正视图和侧视图想象出几何体的大致形状，然后通过已知的三视图验证几何体的正确性，最后检查轮廓线的实虚．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是【错解】A或B或C【错因分析】选A，俯视图判断出错，从俯视图看，几何体的上、下部分都是旋转体；选B，下部分几何体判断出错，误把旋转体当多面体；选C，上部分几何体判断出错，误把旋转体当多面体.【正解】由三视图可知该几何体上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.基础训练1．下列各项中，不属于三视图的是A．正视图B．侧视图C．后视图D．俯视图2．下列光线所形成的投影，不是中心投影的是A．太阳光线B．台灯的光线C．手电筒的光线D．路灯的光线3．两条相交直线的平行投影是A．两条相交直线B．一条直线C．两条平行直线D．两条相交直线或一条直线4．下列几何体中，正视图、侧视图和俯视图都相同的是A．圆柱B．圆锥C．球D．三棱锥5．若一个几何体的三视图如下图所示，则这个几何体是A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．四棱柱6．沿圆柱体上底面直径截去一部分后的物体如图所示，它的俯视图是A．B．C．D．7．如下图为长方体木块堆成的几何体的三视图，则组成此几何体的长方体木块块数共有A．3块B．4块C．5块D．6块8．如图所示，画出四面体AB1CD1三视图中的正视图，以面AA1D1D为投影面，则得到的正视图可以为A．B．C．D．9．给出以下结论，其中正确的结论的序号是________.①一个点光源把一个平面图形照射到一个平面上，它的投影与这个图形全等；②平行于投射面的平面图形，在平行投影下，它的投影与原图形全等；③垂直于投射面的平面图形，在平行投影下，它的投影与原图形相似；④在平行投影下，不平行、也不垂直于投射面的线段的投影仍是线段，但与原线段不等长．10．桌子上放着一个长方体和一个圆柱(如图所示)，则下列三幅图分别是什么图(填“正视图、俯视图、侧视图”).①________、②________、③________.11．如图所示，是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图和它的主视图、左视图(单位：cm)．请在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图．能力提升12．当图形中的直线或线段不平行于投影线时，关于平行投影的性质，下列说法不正确的是A．直线或线段的平行投影仍是直线或线段B．平行直线的平行投影仍是平行的直线C．与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等D．在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比13．已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为A．B．C．D．14．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)，其直观图如下图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时,它的俯视图可能是15．如图为某组合体的三视图，则俯视图中的长和宽分别为A．10,4B．10,8C．8,4D．10,516．在棱长为1的正方体中，若分别为的中点，则空间四边形在正方体下底面上的射影面积为A．1 B．C．D．17．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为2的正三角形，俯视图是正方形，那么该几何体的侧视图的面积是________．真题练习18．(2018年高考新课标I卷)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为A．1722B．5C．3 D．219．(2018年高考新课标Ⅲ卷文)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是20．(2018年高考北京卷文)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A．1 B．2C．3 D．421．(2019山东模拟)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12C．14 D．1622．（2019年高考北京模拟）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为A．32B．23C．22D．223．（2019年高考天津模拟）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为A B C D参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 12 13 14 15 16 18 19 20 21 22 23C AD C B D B A B B B A B B A C B B B 1．【答案】C【解析】根据三视图的规定可知，后视图不属于三视图.2．【答案】A【解析】太阳光线形成的投影是平行投影．3．【答案】D4．【答案】C【解析】由题意得，球的三视图都是圆，所以正视图、侧视图和俯视图都相同的是球，故选C．5．【答案】B【解析】由俯视图可知底面为四边形，由正视图和侧视图知侧面为三角形，故几何体为四棱锥．本题选择B选项.【名师点睛】空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图．因此在分析空间几何体的三视图问题时，就要抓住正投影，结合具体问题和空间几何体的结构特征进行解答．6．【答案】D【解析】从上面看依然可得到两个半圆的组合图形，注意看得到的棱画实线．7．【答案】B【解析】由三视图可知组成此几何体的长方体木块共摆放两层，下层三块，上层一块，如图，设四边形A B C处各放一块，上层的一块在A的正上方，共4块，故选B.ABCD是长方形的直观图，在下层的,,8．【答案】A【解析】显然AB1、AC、B1D1、CD1分别投影得到正视图的外轮廓，B1C为可见实线，AD1为不可见虚线．本题选择A选项.【名师点睛】三视图画法：(1)实、虚线的画法：分界线和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线； (2)理解“长对正、高平齐、宽相等”． 9．【答案】②④【解析】由定义知，②④正确． 10．【答案】俯视图 正视图 侧视图【解析】由三视图的定义可知，①是俯视图，②是正视图，③是侧视图． 11．【答案】俯视图见解析.【解析】依据三视图的绘图原则，可作出该几何体的俯视图如图．12．【答案】B13．【答案】B【解析】由正视图和俯视图还原几何体如图所示，由正视图和俯视图对应线段可得2AB BD AD ===，当点C 在面ABD 上的射影是B 时，2BC =，ABD △的边AB 上的高为3，只有B 选项符合，当点C 在面ABD 上的射影不是B 时，没有符合条件的选项，故选B.【名师点睛】（1）解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． （2）三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据. 14．【答案】B15．【答案】A【解析】由三视图可知，俯视图的长可由主视图得到，即26210++=，俯视图的宽可由左视图得到，即1214++=，故选A.16．【答案】B【解析】设边DC的中点为H，由题意可得，点E,F,B,G在底面上的射影分别为点H,A,B,B，因此空间四边形EFBG在正方体下底面ABCD上的射影为HAB△，其面积为111122S=⨯⨯=．选B．17．【答案】3【解析】由三视图复原的几何体的底面为正方形（边长为2），正视图是正三角形，所以几何体是正四棱锥，侧视图与正视图图形相同，侧视图是边长为2的正三角形，所以侧视图的面积为1233 2⨯⨯=，故答案为3．18．【答案】B【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为224225+=，故选B.【名师点睛】该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.解本题时，首先根据题中所给的三视图，得到点M和点N 在圆柱上所处的位置，点M在上底面上，点N在下底面上，并且将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N 在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果. 19．【答案】A【解析】观察图形图可知，俯视图为，故答案为A.【名师点睛】本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题.20．【答案】C21．【答案】B【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为12(24)2122⨯+⨯⨯=，故选B.【名师点睛】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图. 22．【答案】B【解析】几何体是四棱锥P ABCD -，如图.【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:或者也可根据三视图的形状，将几何体的顶点放在正方体或长方体里面，便于分析问题.23．【答案】B【解析】由题意得截去的是长方体前右上方顶点处的一个棱锥，故选B.【名师点睛】（1）解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．（2）三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何体中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．。

必修二第一章 空间几何体 知识点：1、空间几何体的结构⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。

⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。

2、长方体的对角线长2222c b a l ++=；正方体的对角线长a l 3=3、球的体积公式：334　R V π=，球的表面积公式：24　R S π= 4、柱体h s V ⋅=，锥体h s V ⋅=31，锥体截面积比：222121h h S S =5、空间几何体的表面积与体积⑴圆柱侧面积；lr S ⋅⋅=π2侧面⑵圆锥侧面积：lr S ⋅⋅=π侧面典型例题：★例1：下列命题正确的是( ) Ａ.棱柱的底面一定是平行四边形 Ｂ.棱锥的底面一定是三角形Ｃ.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱 Ｄ.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥★★例2：若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ）A 21倍 B 42倍 C 2倍 D 2倍★例3：已知一个几何体是由上、下两部分构成的一个组合体，其三视图如下图所示，则这个组合体的上、下两部分分别是（ ） Ａ．上部是一个圆锥，下部是一个圆柱 Ｂ．上部是一个圆锥，下部是一个四棱柱Ｃ．上部是一个三棱锥，下部是一个四棱柱★★例4：一个体积为38cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是A ．28cm πB 212cm π. C 216cm π． D ．220cm π二、填空题★例1：若圆锥的表面积为a 平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为_______________．★例2：球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍. 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 知识点：1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

(完整版)高中数学人教版必修二知识点总
结
高中数学人教版必修二知识点总结
本文档总结了高中数学人教版必修二的知识点，帮助学生进行复和总结。

以下是各个章节的重点内容：
第一章函数与导数
- 函数的概念和性质
- 函数的图像与奇偶性
- 导数的定义和性质
- 函数的单调性与极值
第二章三角函数
- 正弦、余弦、正切函数的定义和性质
- 三角函数的基本关系式
- 三角函数的图像和性质
- 三角恒等式的运用
第三章数列与数学归纳法- 数列的定义和性质
- 数列的通项公式和通项求和- 数学归纳法的原理和应用
第四章二次函数与其应用- 二次函数的定义和性质
- 二次函数的图像和性质
- 二次函数的最值问题
- 二次函数在实际问题中的应用
第五章平面向量
- 向量的定义和运算
- 向量共线与共面的判定
- 向量的数量积和性质
- 向量的应用
第六章概率
- 概率的基本概念和性质
- 随机事件与概率
- 条件概率和乘法定理
- 排列与组合的应用和概率计算
第七章统计与回归分析
- 统计的基本概念和性质
- 数据的收集和整理
- 统计图表的制作和分析
- 回归分析的原理和应用
以上是高中数学人教版必修二的主要知识点总结，希望对学生的复有所帮助。

详细内容以教材为准。

高中数学必修2知识点总结归纳(人教版最全)高中数学必修二知识点汇总第一章：立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征1) 棱柱：是由两个平行的多边形底面和若干个侧面组成的几何体。

根据底面多边形的边数不同，可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

棱柱的侧面和对角面都是平行四边形，侧棱平行且相等，平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

2) 棱锥：是由一个多边形底面和若干个三角形侧面组成的几何体。

根据底面多边形的边数不同，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。

棱锥的侧面和对角面都是三角形，平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

3) 棱台：是由一个平行于棱锥底面的平面截取棱锥，截面和底面之间的部分组成的几何体。

根据底面多边形的边数不同，可以分为三棱台、四棱台、五棱台等。

棱台的上下底面是相似的平行多边形，侧面是梯形，侧棱交于原棱锥的顶点。

4) 圆柱：是由一个圆形底面和一个平行于底面的圆柱面组成的几何体。

底面是全等的圆，母线与轴平行，轴与底面圆的半径垂直，侧面展开图是一个矩形。

5) 圆锥：是由一个圆形底面和一个以底面圆心为顶点的锥面组成的几何体。

底面是一个圆，母线交于圆锥的顶点，侧面展开图是一个扇形。

6) 圆台：是由一个圆形底面和一个平行于底面的圆台面组成的几何体。

上下底面是两个圆，侧面母线交于原圆锥的顶点，侧面展开图是一个弓形。

7) 球体：是由一个半圆面绕其直径旋转一周所形成的几何体。

球的截面是圆，球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2、空间几何体的三视图三视图是指正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）、侧视图（从左向右）和俯视图（从上向下）组成的视图。

正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度。

俯视图和侧视图是用来反映物体在不同方向上的位置关系的，前者反映长度和宽度，后者反映高度和宽度。

斜二测画法是一种直观的图示方法，它的特点是原来与x轴平行的线段仍然与x轴平行且长度不变，原来与y轴平行的线段仍然与y轴平行，但长度为原来的一半。

必修二数学资料人教版# 必修二数学资料人教版## 第一章：几何基础几何学是研究空间形状、大小和相互关系的数学分支。

在高中数学必修二中，我们将深入探讨几何的基本概念和性质。

### 1.1 点、线、面- 点：几何中最基本的元素，无大小、无形状。

- 线：由无数点组成，具有长度，无宽度。

- 面：由无数线组成，具有长度和宽度，无厚度。

### 1.2 平面几何- 直线：无限延伸的线段。

- 平面：无限延伸的平面图形。

- 角度：两条射线的夹角，用度或弧度表示。

### 1.3 空间几何- 空间直线：在三维空间中无限延伸的线。

- 平面与平面的相交：形成线。

- 空间角：两个平面之间的角度。

## 第二章：解析几何解析几何是利用代数方法研究几何问题，通过坐标系将几何图形与代数方程联系起来。

### 2.1 坐标系- 直角坐标系：以两条互相垂直的数轴构成，可以表示平面上的点。

- 极坐标系：以原点为中心，以半径和角度来表示点。

### 2.2 直线的方程- 斜率：直线的倾斜程度。

- 点斜式：通过一点和斜率确定直线方程。

- 两点式：通过两点确定直线方程。

### 2.3 圆的方程- 圆的标准方程：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)是圆心，r 是半径。

## 第三章：代数基础代数是数学的一个分支，主要研究数的运算和方程的求解。

### 3.1 多项式- 多项式：由变量和系数组成的代数表达式。

- 多项式的运算：加、减、乘、除。

### 3.2 函数- 函数：将一个集合中的元素映射到另一个集合的规则。

- 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性。

### 3.3 函数的图像- 图像：函数在坐标系中的表示。

- 图像的平移：函数图像的移动。

## 第四章：概率与统计概率论是研究随机事件的数学理论，统计学则是收集、分析、解释数据的方法。

### 4.1 概率- 随机事件：可能发生也可能不发生的事件。

- 概率：事件发生的可能性大小。

新人教版高中数学（必修二）重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习空间几何体的结构【学习目标】1．利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球的结构特征；2．认识由柱、锥、台、球组成的几何组合体的结构特征；3．能用上述结构特征描绘现实生活中简单物体的结构．【要点梳理】【空间几何体的结构394899 棱柱的结构特征】要点一：棱柱的结构特征1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面．2、棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……3、棱柱的表示方法：①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为1111ABCD A B C D -、11111ABCDE A B C D E -、111111ABCDEF A B C D E F -；②用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱1A C 或棱柱1D B 等；五棱柱可表示为棱柱1AC 、棱柱1AD 等；六棱柱可表示为棱柱1AC 、棱柱1AD 、棱柱1AE 等．4、棱柱的性质：棱柱的侧棱相互平行.要点诠释：有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱．如下图所示的几何体满足“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这一条件，但它不是棱柱．判定一个几何体是否是棱柱时，除了看它是否满足：“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这两个条件外，还要看其余平行四边形中“每两个相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件，不具备这一条件的几何体不是棱柱．【空间几何体的结构394899 棱锥的结构特征】要点二：棱锥的结构特征1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面．有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 ……；3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥S ABCD ．要点诠释：棱锥有两个本质特征：（1）有一个面是多边形；（2）其余各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可．【空间几何体的结构394899 旋转体的结构特征】要点三：圆柱的结构特征1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面．平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线．2、圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱/OO ．要点诠释：（1）用一个平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个与底面全等的圆面．（2）经过圆柱的轴的截面是一个矩形，其两条邻边分别是圆柱的母线和底面直径，经过圆柱的轴的截面通常叫做轴截面．（3）圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴．要点四：圆锥的结构特征1、定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线．2、圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥SO ．要点诠释：（1）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面是一个比底面小的圆面．（2）经过圆锥的轴的截面是一个等腰三角形，其底边是圆锥底面的直径，两腰是圆锥侧面的两条母线．（3）圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线．【空间几何体的结构394899 棱台的结构特征】要点五：棱台和圆台的结构特征１、定义：用一个平行于棱锥(圆锥)底面的平面去截棱锥(圆锥)，底面和截面之间的部分叫做棱台(圆台)；原棱锥(圆锥)的底面和截面分别叫做棱台(圆台)的下底面和上底面；原棱锥(圆锥)的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台(圆台)的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点；圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成，因此旋转的轴叫做圆台的轴.2、棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台1111ABCD A B C D -；3、圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台OO '；要点诠释：（1）棱台必须是由棱锥用平行于底面的平面截得的几何体．所以，棱台可还原为棱锥，即延长棱台的所有侧棱，它们必相交于同一点．（2）棱台的上、下底面是相似的多边形，它们的面积之比等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高之比的平方．（3）圆台可以看做由圆锥截得，也可以看做是由直角梯形绕其直角边旋转而成.（4）圆台的上、下底面的面积比等于截去的小圆锥的高与原圆锥的高之比的平方．要点六：球的结构特征1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球.半圆的半径叫做球的半径.半圆的圆心叫做球心.半圆的直径叫做球的直径.2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O.要点诠释：（1）用一个平面去截一个球，截面是一个圆面．如果截面经过球心，则截面圆的半径等于球的半径；如果截面不经过球心，则截面圆的半径小于球的半径．（2）若半径为R 的球的一个截面圆半径为r ，球心与截面圆的圆心的距离为d ，则有d =要点七：特殊的棱柱、棱锥、棱台特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱；垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体；特殊的棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体；特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台；注：简单几何体的分类如下表：要点八：简单组合体的结构特征1、组合体的基本形式：①由简单几何体拼接而成的简单组合体；②由简单几何体截去或挖去一部分而成的几何体；2、常见的组合体有三种：①多面体与多面体的组合；②多面体与旋转体的组合；③旋转体与旋转体的组合.①多面体与多面体的组合体由两个或两个以上的多面体组成的几何体称为多面体与多面体的组合体．如下图（1）是一个四棱柱与一个三棱柱的组合体；如图（2）是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体；如图（3）是一个三棱柱与一个三棱台的组合体．②多面体与旋转体的组合体由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体称为多面体与旋转体的组合体如图（1）是一个三棱柱与一个圆柱组合而成的；如图（2）是一个圆锥与一个四棱柱组合而成的；而图（3）是一个球与一个三棱锥组合而成的．③旋转体与旋转体的组合体由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体称为旋转体与旋转体的组合体．如图（1）是由一个球体和一个圆柱体组合而成的；如图（2）是由一个圆台和两个圆柱组合而成的；如图（3）是由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成的．要点九：几何体中的计算问题几何体的有关计算中要注意下列方法与技巧：(1)在正棱锥中，要掌握正棱锥的高、侧面、等腰三角形中的斜高及高与侧棱所构成的两个直角三角形，有关证明及运算往往与两者相关．(2)正四棱台中要掌握其对角面与侧面两个等腰梯形中关于上、下底及梯形高的计算，有关问题往往要转化到这两个等腰梯形中．另外要能够将正四棱台、正三棱台中的高与其斜高、侧棱在合适的平面图形中联系起来．(3)研究圆柱、圆锥、圆台等问题的主要方法是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中，易找到所需有关元素之间的位置、数量关系．(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段之一．(5)圆台问题有时需要还原为圆锥问题来解决．(6)关于球的问题中的计算，常作球的一个大圆，化“球”为“圆”，应用平面几何的有关知识解决；关于球与多面体的切接问题，要恰当地选取截面，化“空间”为平面．【经典例题】类型一：简单几何体的结构特征例1．判断下列说法是否正确．（1）棱柱的各个侧面都是平行四边形；（2）一个n（n≥3）棱柱共有2n个顶点；（3）棱柱的两个底面是全等的多边形；（4）如果棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形．【答案】（1）（2）（3）正确，（4）不正确．【解析】（1）由棱柱的定义可知，棱柱的各侧棱互相平行，同一个侧面内两条底边也互相平行，所以各侧面都是平行四边形．（2）一个n棱柱的底面是一个n边形，因此每个底面都有n个项点，两个底面的顶点数之和即为棱柱的顶点数，即2n个．（3）因为棱柱同一个侧面内的两条底边平行且相等，所以棱柱的两个底面的对应边平行且相等，故棱柱的两个底面全等．（4）如果棱柱有一个侧面是矩形，只能保证侧棱垂直于该侧面的底边，但其余侧面的侧棱与相应底边不一定垂直，因此其余侧面不一定是矩形．故（1）（2）（3）正确，（4）不正确．【总结升华】解决这类与棱柱、棱锥、棱台有关的命题真假判定的问题，其关键在于准确把握它们的结构特征，也就是要以棱柱、棱锥、棱台概念的本质内涵为依据，以具体实物和图形为模型来进行判定．举一反三：【变式1】如下图中所示几何体中是棱柱有（）A．1 B．2个C．3个D．4个【答案】C【空间几何体的结构394899 同步练习】【变式2】有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱吗？【答案】不一定例2．有下面五个命题：（1）侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；（2）侧棱都相等的棱锥是正棱锥；（3）底面是正方形的棱锥是正四棱锥；（4）正四面体就是正四棱锥；（5）顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是底面多边形的外心的棱锥必是正棱锥．其中正确命题的个数是（）．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】 A【解析】本题主要考查正棱锥的概念，关键看是否满足定义中的两个条件．命题（1）中的“各侧面都是全等的等腰三角形”并不能保证底面是正多边形，也不能保证顶点在底面上的射影是底面的中心，故不是正棱锥，如下图（1）中的三棱锥S-ABC，可令SA=SB=BC=Ac=3，SC=AB=1，则此三棱锥的各侧面都是全等的等腰三角形，但它不是正三棱锥；命题（2）中的“侧棱都相等”并不能保证底面==EF=1，三条侧棱都相等，是正多边形，如下图（2）中的三棱锥P-DEF，可令PD=PE=PF=1，DE DF但它不是正三棱锥；命题（3）中的“底面是正方形的棱锥”，其顶点在底面上的射影不一定是底面的中心，如下图（3），从正方体中截取一个四棱锥D1-ABCD，底面是正方形，但它不是正四棱锥；命题（4）中的“正四面体”是正三棱锥．三棱锥中共有4个面，所以三棱锥也叫四面体．四个面都是全等的正三角形的正三棱锥也叫正四面体；命题（5）中的“顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是外心”，说明了底面是一个正多边形，符合正棱锥的定义．【变式1】如果一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥．这种说法是否正确？如果正确说明理由；如果不正确，举出反例．【答案】不正确．【解析】如图所示的几何体由两个底面相等的四棱锥组合而成，它有一个面是四边形，其余各面都是三角形，但是该几何体不是棱锥．例3．判断下图所示的几何体是不是台体？为什么？【解析】三个图都不是台体．（1）AA 1，DD 1交于一点，而BB 1，CC 1交于另一点，此图不能还原成锥体，故不是台体：（2）中面ABCD 与面A 1B 1C 1D 1不平行，故也不是台体；（3）中应⊙O 与⊙O 1不平行，故也不是台体．【总结升华】判断一个几何体是否为台体，必须紧扣台体的两个本质特征：（1）由锥体截得的；（2）截面平行于锥体的底面．即棱台的两底面平行，且侧棱必须相交于同一点；圆台的两底面平行，且两底面圆心的连线与两底面垂直．举一反三：【变式1】判断如下图所示的几何体是不是台体？为什么？【答案】 ①②③都不是台体．【解析】因为①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是台体；虽然②是由棱锥所截，但截面不和底面平行，故不是台体．只有用平行于锥体底面的平面去截锥体，底面与截面之间的部分才是台体．④是一个台体，因为它是用平行于圆锥SO 底面的平面截圆锥SO 而得的．类型二：几何体中的基本计算例4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm 2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．【答案】14 cm ，，7 cm 和21 cm ．【解析】圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm和3x cm ，延长1AA 交1OO 的延长线于点S ．在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，则∠SAO ＝45°． ∴SO ＝AO ＝3x cm ，12OO x cm =．∴ 1(62)2392x x x +⋅=，解得x ＝7，∴圆台的高114OO cm =，母线长1l cm ==，底面半径分别为7 cm 和21 cm ． 【总结升华】对于这类旋转体的有关计算问题，其关键在于作出它们的轴截面（即过旋转铀的截面），再把它们转化为平面几何问题即可．【变式1】已知圆台的上、下底面积之比为1：9，圆台的高为10，求截得圆台的圆锥的高．【解析】设圆锥的高为h，上、下底半径为,r R．则1013r hR h-==，解得15h=．类型三、简单几何体的组合体例5．指出下图中的图形是由哪些简单几何体构成的．【解析】分割原图，使它们的每一部分构成简单几何体．（1）是一个三棱柱和一个四棱柱组合而成的；（2）是一个圆锥和一个四棱柱组合而成的．【总结升华】判定实物图是由哪些简单几何体所组成的图形问题，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征，其次要善于将复杂的组合体“分割”成几个简单的几何体．会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，因此我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力．举一反三：【变式1】如下图，观察下列几何体，分析它们是由哪些基本几何体组成的，并说出它们的主要结构特征．【答案】图（1）是由一个四棱柱在它的上、下底面上向内挖去一个三棱柱组成的几何体，它有9个面，14个顶点，21条棱，具有四棱柱和三棱柱的结构特征．图（2）是一个四棱柱和一个底面与该四棱柱上底面重合的四棱锥组成的几何体，它有9个面，9个顶点，16条棱，具有四棱柱和四棱锥的结构特征．图（3）是由一个三棱柱和一个底面与该三棱柱的上底面重合的三棱台组成的几何体，它有9个顶点，8个面，15条棱，具有三棱柱和三棱台的结构特征．【变式2】如下图（1）是由图（2）中的平面图形（）旋转得到的．【答案】A【总结升华】要作出一个平面图形绕某一条直线旋转一周所形成的几何体，一般是先作出这个平面图形的各顶点（如果是半圆形，则取垂直于这条直线的半径的端点）关于这条直线的对称点，再把这些相互对称的两点用圆弧连接起来，也就得出相应的几何体，进而便可判定其是由哪些简单的几何体所组成的几何体．类型四、简单几何体的表面展开与折叠问题例6．请画出下图所示的几何体的表面展开图．【解析】将立体图形沿着某些棱剪开，然后伸展到平面上．表面展开图如下图所示．【总结升华】要画一个多面体的表面展开图，可以先用硬纸做一个相应的多面体的实物模型，然后沿着某些棱把它剪开，并铺成平面图形，进而画出相应的平面图形．将多面体的表面展开成平面图形，有利于我们解决与多面体表面有关的计算问题．例7．根据下图所给的平面图形，画出立体图形．【解析】将各平面图形折起后形成的空间图形如下图所示．【总结升华】平面图形的折叠问题实质上是多面体的表面展开问题的逆向问题（即逆向过程）．这两类问题都是立体几何中的基本问题，我们必须熟练掌握折叠与展开这两个基本功，并能准确地画出折叠和展开前后的平面图形和立体图形，找到这两个图形之间的构成关系．举一反三：【变式1】（2016 广东雷州市月考）如图，正方形ABCD中，E、F分别为CD、BC的中点，沿AE、AF、EF将其折成一个多面体，则此多面体是________．【思路点拨】根据折叠前、后的图形情况，结合线面垂直的判定定理，得出该多面体是直三棱锥．【答案】直三棱锥【解析】在正方形ABCD中，AB⊥BF，AD⊥DE，折叠后的图形B，C，D三点重合，∴三棱锥A—CEF中，AC⊥CE，AC⊥CF，CF∩CF=C，∴AC⊥平面CEF，三棱锥A—CEF是直三棱锥．故答案为：直三棱锥．【巩固练习】1．一个正方形沿不平行于正方形所在平面的方向平移一段距离一定可以形成（）．A．棱锥B．四棱柱C．正四棱柱D．长方体E F G（不与顶点重合），过此三点作长方体的截面，那么2．从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点,,这个截面的形状是（）．A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上都有可能3．下列说法正确的是()A．直线绕定直线旋转形成柱面B．半圆绕定直线旋转形成球体C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的4.下列图形不是正方体表面展开图的是（）．5．下列命题：①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；②用任意一个平面去截球体得到的截嘶一定是一个圆面；③用任意一个平面去截圆锥得到的截断一定是一个圆面．其中正确的个数是（）．A．0 B．1 C．2 D．36．一个直角梯形以较长底为轴进行旋转，得到的几何体是（）A．一个圆台B．一个圆锥C．由两个圆锥组成的组合体D．由一个圆锥一个圆柱组成的组合体7．（2016春河北石家庄期末）一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的度数是（）A．45°B．30°C．60°D．90°8．由若干个平面图形围成的几何体称为多面体，多面体最少有________个面．9．,A B 为球面上相异两点，则通过,A B 两点可作的球大圆有 个．10．（2016春 安徽宿松县月考）一个长、宽、高分别为a 、b 、c 长方体的体积是8 cm 2，它的全面积是32 cm 2，且满足2b ac =，求这个长方体所有棱长之和．11．已知三棱锥的底面是边长为a 的正三角形，求过各侧棱中点的截面面积．12．一个四棱台的上、下底面均为正方形，且面积分别为1S 、2S ，侧面是全等的等腰梯形，棱台的高为h ，求此棱台的侧棱长和斜高(侧面等腰梯形的高).【答案与解析】1．【答案】B【解析】由棱柱定义可知，选B ．2．【答案】A【解析】 连结,,E F G 三点，用余弦定理证明知，这个三角形是锐角三角形．3．【答案】D【解析】两直线平行时，直线绕定直线旋转才形成柱面，故A 错误．半圆以直径所在直线为轴旋转形成球体，故B 不正确，C 不符合棱台的定义，所以应选D ．4．【答案】C【解析】 由展开图折回去形不成正方体可知选C ．5．【答案】C【解析】 ①②正确，③中截面也可以是一个三角形或椭圆等．6．【答案】D【解析】由圆柱和圆锥的定义可知，该图形是一个圆锥和圆柱．7．【答案】C【解析】一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示，A 、B 、C 是展开图上的三点，组成立体图形后，可得△ABC 的各边均为正方形的对角线长，△ABC 为等边三角形，∴∠ABC 的度数为60°．故选C ．8．【答案】49．【答案】一个或无穷多个10．【答案】32cm【解析】∵长、宽、高分别为a 、b 、c 长方体的体积是8 cm 2，∴abc =8，∵它的全面得32 cm 2，∴2(ab +bc +ca )=32，∵2b ac =，∴b =2，ac =4，a +c =6，∴这个长方体所有棱长之和为4(a +b +c )=32（cm ）．11．2【解析】如右图，△A ＇B ＇C ＇为所求的截面图形，由三角形中位线性质定理，得△A ＇B ＇C ＇∽△ABC ，且对应边长之比为1∶2．【答案】 ∴2''1124A B C ABC S S ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭．又∵2ABC S a ∆=，∴22'''14A B C S a ∆==．12．，此棱台对角面、过两相对斜高的截面都是等腰梯形，则侧棱长为l ==斜高为h ==空间几何体的三视图和直观图【学习目标】1.了解平行投影与中心投影，了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点，了解空间图形的不同表现形式；2. 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱的简易组合体）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．【要点梳理】【空间几何体的三视图与直观图 395059中心投影与平行投影】要点一、中心投影与平行投影1．投影、投影线和投影面由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中的光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面．2．中心投影我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影．中心投影的投影线交于一点，它的实质是一个点光源把一个物体射到一个平面上，这个物体的影子就是它在这个平面上的中心投影．3．中心投影的性质（1）中心投影的投影线交于一点；（2）点光源距离物体越近，投影形成的影子越大．4．平行投影我们把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影．投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影．5．平行投影的性质（1）平行投影的投影线互相平行．（2）在平行投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子与这个平面图形的形状和大小完全相同．6．中心投影与平行投影的区别与联系（1）平行投影包括斜二测画法和三视图．中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体．（2）画实际效果图时，一般用中心投影法，画立体几何中的图形时，一般用平行投影法．要点二、空间几何体的三视图【空间几何体的三视图与直观图395059 三视图】1．三视图的概念把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形，但是只有一个平面图形很难把握几何体的全貌，因此我们需要从多个角度进行投影，这样才能较好地把握几何体的形状和大小．通常，我们总是选择三种投影．（1）光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图；（2）光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图；（3）光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图．几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图．2．三视图的画法规则画三视图时，以正视图为准，俯视图在正视图的正下方，侧视图在正视图的正右方，正、俯、侧三个视图之间必须互相对齐，不能错位．正视图反映物体的长度和高度，俯视图反映物体的长度和宽度，侧视图反映物体的宽度和高度，由此，每两个视图之间有一定的对应关系，根据这种对应关系得到三视图的画法规则：（1）正、俯视图都反映物体的长度——“长对正”；（2）正、侧视图都反映物体的高度——“高平齐”；（3）俯、侧视图都反映物体的宽度——“宽相等”．【空间几何体的三视图与直观图395059 斜二测画法及典型例题1】要点三、斜二测画法在立体几何中，空间几何体的直观图通常是在平行投影下画出的空间图形．要画空间几何体的直观图，首先要学会水平放置的平面图形的直观图画法．对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图，斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．斜二测画法的步骤：（1）在已知图形中取互相垂直的z轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x＇轴与y＇轴，两轴交于点O＇，且使∠x＇O＇y＇=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面．（2）已知图形中，平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x＇轴、y＇轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．（3）已知图形中，平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了平面图形的直观图．要点诠释：用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出．一般情况下，这些点的位置都要通过其所在的平行于x、y轴的线段来确定，当原图中无需线段时，需要作辅助线段．要点四、立体图形的直观图（1）用斜二测画法画空间几何体的步骤①在已知图形中，取互相垂直的x轴和y轴，再取z轴，使∠xOz=90°，且∠yOz=90°；②画直观图时，把它们画成对应的轴x′，y′，z′，使∠x′O′y′=45°（或135°），∠x′O′z′=90°，x′O′y′所确定的。