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清华 抽象代数学I(2010秋)_809906713_50650715

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抽象代数基础丘维声答案

抽象代数基础丘维声答案

抽象代数基础丘维声答案【篇一：index】t>------关于模n剩余类环的子环和理想的一般规律[文章摘要]通过对模n剩余类的一点思考，总结出模n剩余类环的子环和理想的规律：所有理想为主理想，可以由n的所有因子作为生成元生成，且这些主理想的个数为n的欧拉数。

使我们得以迅速求解其子环和理想。

[关键字]模n剩余类环循环群子环主理想[正文]模n剩余类是近世代数里研究比较透彻的一种代数结构。

一，定义：在一个集合a里，固定n（n可以是任何形式），规定a元间的一个关系r，arb，当而且只当n|a-b的时候这里，符号n|a-b表示n能整除a-b。

这显然是一个等价关系。

这个等价关系普通叫做模n的同余关系，并且用a?b(n)来表示（读成a同余b模n）。

这个等价关系决定了a的一个分类。

这样得来的类叫做模n的剩余类。

二，我们规定a的一个代数运算，叫做加法，并用普通表示加法的符号来表示。

我们用[a]来表示a所在的剩余类。

规定：[a]+[b]=[a+b];[0]+[a]=[a];[-a]+[a]=[0];根据群的定义我们知道，对于这个加法来说，a作成一个群。

叫做模n剩余类加群。

这样得到的剩余类加群是循环群，并且[1]是其生成元，[0]是其单位元。

三，我们再规定a的另一个代数运算，叫做乘法，并且规定：[a][b]=[ab]；根据环的定义我们知道，对于加法和乘法来说，a作成一个环。

叫做模n剩余类环。

四，关于理想的定义：环a的一个非空子集a叫做一个理想子环，简称为理想，假如：(i) a,b?a?a-b?a；(ii)a?a,b?a?ba,ab?a；所以如果一个模n剩余类环a的子环a要作为一个理想，需要满足： (i) [a],[b]?a?[a-b]?a；(ii)[a]?a,[b]?a?[ba],[ab]?a；由以上四点可得到对一个模n剩余类环，求其所有子环和理想的一个方法。

思路：第一，模n剩余类环对加法构成加群，根据群的定义，找出所有子群；第三，对所有子群，根据环的定义，对乘法封闭，从所有子群里找出所有环；第四，对所有子环，根据理想的定义，找出所有理想。

抽象代数一习题答案

抽象代数一习题答案

抽象代数一习题答案在抽象代数中，习题通常涉及群、环、域等代数结构的定义、性质和例子。

以下是一些抽象代数习题的答案示例。

习题1：证明如果一个群G是阿贝尔群，那么它的每个子群也是阿贝尔群。

答案：设H是群G的一个子群。

由于G是阿贝尔群，对于任意的a, b属于G，我们有ab = ba。

现在考虑任意的h1, h2属于H。

由于H是G的子群，h1和h2也属于G。

因此，我们有h1h2 = h2h1（因为h1h2和h2h1都是G中的元素，并且G是阿贝尔的）。

这表明H中的元素满足交换律，所以H也是阿贝尔群。

习题2：证明如果一个环R有单位元，那么它的每个理想都是主理想。

答案：设I是环R的一个理想，我们需要证明I是一个主理想，即存在一个元素r∈R使得I = (r)，其中(r)表示由r生成的理想。

由于R有单位元1，考虑元素1 - r。

由于I是理想，1 - r也属于I。

因此，我们有1 - r = a(r) + b，其中a, b属于R。

将等式两边乘以r，我们得到1 = ar + rb。

这意味着r(1 - ar) = rb。

由于1 - ar属于I（因为I是理想），我们有r属于I。

现在，对于I中的任意元素x，我们可以写x = (1 - ar)x + arx。

由于ar属于I，(1 - ar)x也属于I。

因此，x = r(1 - ar)x，表明x可以由r生成。

所以I = (r)，证明完成。

习题3：证明如果一个域F的元素a不是单位元，那么a的阶是有限数。

答案：设a是域F中的一个非单位元。

我们需要证明存在一个正整数n使得a^n = 1。

考虑集合{1, a, a^2, a^3, ...}。

由于F是域，它没有零除数，因此a^n ≠ 1对于所有n。

这意味着集合中的元素都是不同的。

然而，域F是有限的，因此不可能有无限多不同的元素。

因此，必须存在最小的正整数n > 1，使得a^n = a^1。

这意味着a^(n-1) = 1，所以a的阶是有限的。

抽象代数名词解释

抽象代数名词解释

1，抽象1-1映上的映射（30 ）当映射 f 是单射又是满射，称之为双射或 f 是1-1 映上的。

2，二元运算（50）设S上个非空集合，把S×S到S的映射称之为S上的二元运算，简称为S上运算。

3，二元多项式（329）设R是个有1的交换表达式f(x,y)=a0.0+a1.0x+a0.1y+a2.0x2 +a0.2y2+a1.1xy+…+a n.0x n+a n-1. 1x n-1y+…+a0.n y n, a ij∈R,称为R上关于x,y的二元多项式。

4，子环（222）设（R，+，·）上个环，S是R的一个非空子集，如果+和·也是S的运算，且（S，+，·）也是个环，则说（S，+，·）是（R，+，·）的一个子环。

5，子域（334）设（F，+，·）是个域，F上的子集S称为（F，+，·）的子域。

如果（1）（S，+，·）是（F，+，·）的子环，（2）（S，+，·）本身是个域。

6，子集合（3）设A，B都是集合，说集合A是集合B的子集合。

7，子集族（6）设J是一共非空集合（可以有无限多个元素），每个j ∈J对应集合S的一个字集A j，则通常说｛A j︱A j⊆S，j ∈J｝是S的一个以J标号的字集族，J称为指标集。

8，子集生成的子群（80）设G是个群，S为其一非空字集合，℘为G的所有包含S的子群的族，则称子群℘∈HH为S在G中生成的子群，记为〈S〉。

9，子集生成的理想（236）设R是个环，T⊆R，ΦΦT非空，作R的理想族B={I是R的理想，T ⊆I}得到的理想BII∈称之为R的由子集T生（T）。

10.子群（75）设（G，·）是个群，如果G的子集H对于·也构成群，则说（H，·）是（G，·）的子群。

10.么元（59）单位元，恒等元，中性元设·是集合A上的一个运算，如果元素e∈A对任何a∈A都有a*e=e*a=a，则说e是A对于运算·的一个单位元或恒等元，或么元、中性元。

清华高等代数讲义(上)

清华高等代数讲义(上)
f (β i ) = g(β i ) (i = 1,2,......, l + 1) ， 则 f (x) = g(x) 。
1.2.2 韦达定理与实系数代数方程的根的特性
设 f (x) = a0 xn + a1xn−1 +L + an ， 其 中 ai ∈ K , a0 ≠ 0 。 设 f (x) = 0 的 复 根 为 α1,α2 ,L,αn （可能有重复），则
C 内必有一个根。
命题 n 次代数方程在复数域 C 内有且恰有 n 个根（可以重复）。
命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定 C 上两个 n 次、m 次多项式
f (x) = a0 + a1x + ...... + an x n (an ≠ 0) ， g(x) = b0 + b1 x + ...... + bm x m (bm ≠ 0) ， 如果存在整整数 l , l ≥ m, l ≥ n ,及 l + 1个不同的复数 β1 , β 2 ,......, β l , β l+1 ，使得
数 a1, a2 ,......, an ，使
f (x) = a0 (x − α1 )(x − α 2 )......(x − α n )
证明 利用高等代数基本定理和命题 1.3，对 n 作数学归纳法。
2．高等代数基本定理的另一种表述方式
定义 设 K 是一个数域， x 是一个未知量，则等式
a0 x n + a1 x n−1 + ...... + an−1 x + an = 0
第一学期第一次课
1.1.1 代数系统的概念
第一章 代数学的经典课题
§1 若干准备知识

清华大学高等代数经典课件01

清华大学高等代数经典课件01

张贤科，许甫华 编著， 清华大学出版社(主教材)
2.《高等代数解题方法》，许甫华、张贤科编著， 清华大学出版社(辅导教材) 3.《Theory and Problems of Linear Algebra》， S. Lipschutz著， McGraw-Hill出版. 4.《Linear Algebra》，S.Berberian著， Oxford Univ. 出版 5. 《Advanced Linear Algebra》， S. Roman著， Springer出版社。 (以上3本为参考书)
8.1 二次型与对称方阵 (第12大节上课)
8.2 对称方阵的相合
8.3 正定实对称方阵
(第13大节上课)
(第14大节上课) (第15大节上课)
8.4 交错方阵的相合及例题
8.5 线性函数与对偶空间
8.6 双线性函数 8.7 对称双线性型与二次型
(第16大节上课)
(第18大节上课) (讨论课 3次)
第11章 Hilbert空间
11.1 内积与度量空间 11.2 内积空间与完备 11.3 逼近与正交直和 11.4 Fourier展开
11.5 等距同构于
11.6 有界函数与Riesz表示
习题11
18
第12章 张量积与外积
12.1 引言与概述 12.2 张量积 12.3 线性变换及对偶 12.4 张量及其分量 12.5 外积 12.6 交错张量 习题12
8
(第14大节上课)
第4章 矩阵的运算与相抵
4.1 矩阵的运算 4.2 矩阵的分块运算 4.3 矩阵的相抵 (第16大节上课) (第15大节上课)
4.4 矩阵运算举例
4.5 矩阵与映射 *4.6 矩阵的广义逆 *4.7 最小二乘法

抽象代数复习题

抽象代数复习题

抽象代数复习题 判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”, 错的打“×”；每小题2分, 共20分）1.一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。

（ ）2.有限群 中每个元素 的阶都整除群 的阶。

（ ）3.如果循环群 中生成元 的阶是无穷大, 则 与整数加群同构。

（ ）4.循环群的子群也是循环群。

（ ）5.群 的子群 是正规子群的充要条件为 。

（ ）6.若环 有单位元, 则其子环也一定有单位元。

（ ）7、除环中的每一个元都有乘法逆元。

（ ）8、)(x F 中满足条件()0f α=的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。

（） 9、主理想整环一定是唯一分解整环。

（ ）10.域是交换的除环。

（ ）二、填空题(本大题共5小题, 每小题4分, 共20分)1.设 模8的剩余类环, 则 中的零因子是______。

2.模p (素数)的剩余类环Z p 的特征为________。

3.高斯整数环[]Z i 的单位是_______。

4.模6的剩余类加群6Z 有________个生成元。

5.剩余类环Z 6的子环S={［0］,［3］},则S 的单位元是____________。

三. 计算与证明题（共60分）1(10分).在5次对称群 中, 令, , 计算 。

2（10分）.求出9Z 中所有可逆元并求其逆元3（20分）.设 是群 到 的同态, 是 的子群, 证明 是 的子群。

4（20分）.设.是环.到.的满同态, 是的理想, 证明.是.的理想。

抽象代数-

抽象代数-

抽象代数抽象代数是一种研究代数结构的数学分支。

它主要研究抽象结构的性质和关系，这些结构在代数学中经常出现。

代数结构通常由一组对象以及代数运算所组成。

例如，向量空间就是一个代数结构，由向量组成，并在其上定义了称为加法和数乘的运算。

另一个例子是环，由一组元素和两个二元运算组成，称为加法和乘法。

抽象代数中的基本概念是群、环和域等代数结构。

一个群就是一个集合，其中包含一些元素以及定义在这些元素上的二元运算。

这个运算必须满足一些条件，例如结合律和单位元素的存在性。

另一个重要的性质是每个元素都有一个逆元素。

群的一些典型例子包括对称群和整数群。

环是一种代数结构，其中包含一个集合，以及定义在这个集合上的两个二元运算（加法和乘法）。

这些运算必须满足一些条件，例如分配律和乘法单位元素的存在性。

整数环和矩阵环都是一些典型例子。

域是一种代数结构，它包含一个集合，以及定义在这个集合上的加法、乘法和求逆元素运算。

域的一个重要性质是它的乘法和加法都满足分配律。

实数域和复数域都是典型的域。

在抽象代数中，还有一些与上述代数结构相关的概念，例如同态和同构。

同态是指两个代数结构之间的一种映射，它保留了结构中的一些性质。

同构是指一种同态，其中映射还是一一映射。

抽象代数中的一个重要原理是结构定理，它给出了任何有限生成的交换群的结构。

换言之，任何有限生成的交换群都可以写成一些有限阶循环群的直和形式。

这个原理是代数几何和代数数论中的许多结论的基础。

总的来说，抽象代数是研究代数结构的重要分支，它涵盖了群、环、域等许多概念，并具有广泛的应用，包括密码学、编码理论、代数几何和代数数论等。

抽象代数——精选推荐

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抽象代数⼀、课程⽬的与教学基本要求本课程是在学⽣已学习⼤学⼀年级“⼏何与代数”必修课的基础上，进⼀步学习群、环、域三个基本的抽象的代数结构。

要求学⽣牢固掌握关于这三种抽象的代数结构的基本事实、结果、例⼦。

对这三种代数结构在别的相关学科，如数论、物理学等的应⽤有⼀般了解。

⼆、课程内容第1章准备知识（Things Familiar and Less Familiar）10课时复习集合论、集合间映射及数学归纳法知识，通过学习集合间映射为继续学习群论打基础。

1、⼏个注记(A Few Preliminary Remarks)2、集论(Set Theory)3、映射(Mappings)4、A（S）(The Set of 1-1 Mappings of S onto Itself)5、整数(The Integers)6、数学归纳法(Mathematical Induction)7、复数(Complex Numbers)第2章群(Groups) 22课时建⽴关于群、⼦群、商群及直积的基本概念及基本性质；通过实例帮助建⽴抽象概念，掌握群同态定理及其应⽤；了解有限阿贝尔群的结构。

1、群的定义和例⼦(Definitions and Examples of Groups)2、⼀些简单注记(Some Simple Remarks)3、⼦群(Subgroups)4、拉格朗⽇定理(Lagrange’s Theorem)5、同态与正规⼦群(Homomorphisms and Normal Subgroups)6、商群(Factor Groups)7、同态定理(The Homomorphism Theorems)8、柯西定理(Cauchy’s Theorem)9、直积(Direct Products)10、有限阿贝尔群(Finite Abelian Groups) （选讲）11、共轭与西罗定理(Conjugacy and Sylow’s Theorem)(选讲)第3章对称群(The Symmetric Group) 8课时掌握对称群的结构定理，了解单群的概念及例⼦。

抽象代数1

抽象代数1
理解群和交换群的定义，群的一些简单的性质以及逆元和单位元在群中的作用。了解同群有密切关系但比群更广泛的代数系统半群。掌握群中元素的阶的概念和表示方法。会求一些简单群中的指定元素的阶。理解子群的概念和群的分类：平凡子群及真子群。知道给定群的子群的单位元和逆元与该群的关系。掌握非空子集做成子群的充要条件。知道中心元素的概念，会找一些简单群的中心。
通过以上知识的学习和习题的训练，培养学生的抽象思维能力和严密的逻辑推理能力，使学生们将受到良好的代数训练，并为进一步学习数学得到一个扎实的代数基础。
rse Description
Abstract Algebra Iis one of the important basic mathematics courses,whichintroducessome basic theories and such concepts asgroups, rings, fields (and modules).It aims at enabling students to: (1)understand the concept of “transformation”,and differentiate it from “mapping”; (2) know about algebra operations,determine whether a givenoperation isanalgebraone, and verify whether a given algebra operation satisfiesassociative, commutative and distributive laws;(3)determinewhethertwo different algebraic systems areisomorphic with the state; (4)understandthe relationship betweenequivalence relationsand collection classification, know how to identify a collection classification with a given equivalence relation, oridentify an equivalence relation with agiven collection classification; (5) understand the definitions of “group”and“exchange group”,some simple properties of a group,andthe roles that an inverse element and an identity played in a group respectively;(6) learn asemi-groupin analgebra systemwhich is closely related with a group but is more widely used;(7) grasp the concept and representation of “order” of elements in a group, andknow how toget the order of a given element insome simple groups; (8)understand the concept of “subgroup” and group classification: trivial subgroup and real subgroup, know the relation of an inverse element and an identity of a subgroup to the whole group, remember the necessary and sufficient conditions for being a nonempty subgroup; (9) know what is a central element and how tofindthe center of some simple groups; (10) understand thegeneration of a cyclic group and the relationship between a cyclic group and itssubgroup, and determine whether an element in a cyclic group withnorders can generate the cyclic group; (11) know what is a transformation group, and understand the linkage betweenpopulation and population changes; (12) understand the definitions of “permutation group”, “circulation”, and “change of circulation”, and know how to indicate the replacement cycle by using circulation and product; (13) understand the conceptsof“odd replacement”and“even replacement”andtheir relation, and mastersimple arithmeticoperations involved:multiplication in replacement, inversereplacement, and order of replacement; (14) understand the definitions of“coset”, “index”, andLagrange Theorem, and know about the relation of a coset and an index to the order of a group according toLagrange Theorem; (15) grasp the definition of “normal subgroup”, its simple properties, the conditions for being a normal subgroup, normal subgroups inhomomorphism, and the multiplication of normal subgroups; (16) understand what is a factor group and know about one of its applications; (17) know what is a ring, a commutative ring, and a non- commutative ring respectively, and identify whether an algebraic systemon agivencollection constitutes a ring; (18) understand the concept of “cyclic ring”.

走下神坛的抽象代数

走下神坛的抽象代数
Kerf=f-1(1)=2pZ. R/2pZ≌R (群同构)
05
案例4. 单位根群
单位根: 1的 n 次方根. xn =1的根.
1
f(a)n =1 na = 2kp a=2kp/n
2
1,w,w2,…,wn-1 ,
3
w = cos(2p/n) +isin(2p/n)
4
n阶循环群 〈 w 〉={1,w,w2,…,wn-1}
3
同阶d=1,3,5,15复因子相乘得Fd(x)
4
F1(x)=x-1.
5
F3(x)=(x3-1)/(x-1)=x2+x+1.
6
F5(x)=(x5-1)/(x-1)=x4+x3+x2+x+1
7
F15(x)=(x15-1)/(F1(x)F3(x)F5(x))
8
分圆多项式 Fd(x)
9
有限域: 5最 PK 3最
案例10. 极限与微分
案例11.分数化小数-- 循环节长度
混循环: (10d-1)10kq≡0(mod p).
当 p是素数(≠2,5), 10d≡1(mod p)
q/p=a的循环节 D=(10d-1)q/p=整数.
a=1/7=0.142857…
D是 10在乘法群 Zp*中的阶,整除 p-1
5
f:Z 〈 w 〉, k wk , f(k+r) = f(k)f(r)
6
Ker f = nZ
7
Zn=Z/nZ ≌ 〈 w 〉
8
案例5. xn -1 的因式分解
复数范围: xn -1=(x-1)(x-w)…(x-wn-1)
1
有理数范围: 以x15 -1为例

清华电子教材-高等代数1

清华电子教材-高等代数1

记为 (G; ∗ )
( 4 )中的 b称为 a的逆 , 记为 a −1 ( 3)中恒元也称为单位元 .
如果还有 a ∗ b = b ∗ a , 对任 a , b ∈ G , 则称 G 为 Abel 群或交换群 . Group
4
例1： ;+ ), (Q;+ ), ( R;+ ), (C ;+ ) 均为 Abel群. (Z
10
例如乘法结合律 ∞
i i=0 ∞
( ∑ a i X )( ∑ b j X )( ∑ c l X )
j l j=0
∞
∞
= (∑ (
=
m =0
∑(∑
∞
k =0 ∞
i+ j= k
∑
a ib j ) X
i+ j=k
k
)(∑ cl X )
l l=0
l∞ 0 =
(
i
k +l=m
∑ab
i
j
)cl ) X
m
m
例4： ＋, ⋅)是环, 称为整数环。有单位元 , 无逆元） (Z; ( 例5：n阶方阵的全体，按通常 矩阵的加法和 乘法是环.M n (F) 加法零元是 0方阵， Ring 乘法恒元为单位阵。 6
域：设 F是有两个二元运算（ + ）和（ ⋅）的集合， 且满足： Field （1）（ F;＋)是Abel群。 （2）（ F∗ ; ⋅)是Abel群. F∗指F的非 0元全体。 （3）分配律。
§1- 1基本概念与运算
定义1：（ i）设 F为一个域， X是不属于 F的 任一个符号，则形如 an X n + a n −1 X n −1 + L + a1 X + a0 , ai ∈ F 的表达式称为域 F上的一个多项式形式 . n称为其次数，ai (i = 0,1,L, n)称为其i次系数,

抽象代数

抽象代数

基本内容
抽象代数学对于全部现代数学和一些其它科学领域都有重要的影响。抽象代数学随着数学中各分支理论的发 展和应用需要而得到不断的发展。经过伯克霍夫、冯·诺伊曼、坎托罗维奇和斯通等人在1933~1938年所做的工 作，格论确定了在代数学的地位。而自20世纪40年代中叶起，作为线性代数的推广的模论得到进一步的发展并产 生深刻的影响。泛代数、同调代数、范畴等新领域也被建立和发展起来。
抽象代数包含群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数 几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数也是现代计算机理论基础之一。
定义
抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量 （vector）、矩阵（matrix）、变换（transformation）等，这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定， 而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。抽 象代数，包含有群（group）、环（ring）、Galois理论、格论等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代 数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。
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1927~1935年，诺特研究非交换代数与「非交换算术」。后又引进交叉积的概念并用决定有限维枷罗瓦扩张 的布饶尔群。
诺特的思想通过她的学生范·德·瓦尔登的名著《近世代数学》得到广泛的传播。她的主要论文收在《诺特 全集》（1982）中。
1930年，毕尔霍夫建立格论，它源于1847年的布尔代数；第二次世界大战后，出现了各种代数系统的理论和 布尔巴基学派；1955年，嘉当、格洛辛狄克和爱伦伯克建立了同调代数理论。

2010清华大学自主招生数学试题

2010清华大学自主招生数学试题

2010 年清华大学自主招生数学试题一、选择题：本大题共 10小题，每题3 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．a i21.，此中 a 为实数 .若 w 的实部为 2，则 w 的虚部为（）设复数 wi1A 、3B 、1C、1D、322222.设向量 a， b 知足 a b 1， a b m ，则a tb （t R ）的最小值为（）A 、2B 、 1 m2C、1D、 1 m23. 假如平面，，直线 m， n，点 A， B 知足：， m， n， A， B，且 AB与所成的角为4， m AB ，n与AB所成的角为，那么 m 与 n 所成角的大小为（）3A 、B 、C、D、34684.在四棱锥 V-ABCD 中， B1， D1分别为侧棱 VB，VD 的中点，则四周体 AB1CD1的体积与四棱锥 V-ABCD的体积之比为（）A 、1:6B、1:5C、1: 4D、1:35.在△ABC 中，三边长a，b，c知足 a c3b ，则tan AtanC的值为（）22A 、1B 、1C、1D、2 54236.如图，△ ABC 的两条高线AD，BE交于H，其外接圆圆心为O，A过 O 作 OF 垂直 BC 于 F，OH 与 AF 订交于 G．则△OFG与△GAH面积之比为（）EA、1:4B、1:3C、2:5D、1:2OH GB D F C7. 设 f x e ax（a0 ）.过点P a,0且平行于 y 轴的直线与曲线C： y f x 的交点为 Q，曲线 C 过点Q 的切线交 x 轴于点 R，则△PQR 的面积的最小值是（）A 、1B 、2e C、eD、 e22242 22 28.设双曲线 C 1 ：x2y k （ a2 ， k0 ），椭圆 C 2 ：x2y 1 .若 C 2 的短轴长与 C 1 的实轴长的比a4a4值等于 C 2 的离心率，则 C 1 在 C 2 的一条准线上截得线段的长为（）A 、 2 2 kB 、 2C 、 4 4 kD 、 49.欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一，使得以正六边形的任何 3 个极点作为极点的 三角形有 3 种不一样颜色的边，而且不一样的三角形使用不一样的 3 色组合，则 n 的最小值为（ ）A 、6B 、 7C 、8D 、 910. 设定点 A 、B 、C 、D 是以 O 点为中心的正四周体的极点， 用 表示空间以直线 OA 为轴知足条件(B) C的旋转，用 表示空间对于 OCD 所在平面的镜面反射，设 l 为过 AB 中点与 CD 中点的直线，用表示空间以 l 为轴的 180°旋转．设表示变换的复合，先作，再作 ．则能够表示为（）A 、B 、C 、D 、二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．11. （此题满分 14 分）在 △ABC 中，已知2A Bcos2C 1 ，外接圆半径 R 2 ．2sin2（ 1）求角 C 的大小；（ 2）求 △ ABC 面积的最大值．12. （本小题满分 14 分）设 A ， B ，C ， D 为抛物线 x 24 y 上不一样的四点， A ， D 对于该抛物线的对称轴对称，BC 平行于该抛 物线在点 D 处的切线 l ．设 D 到直线 AB ，直线 AC 的距离分别为 d 1 ， d 2 ，已知 d 1d 22 AD ．（ 1）判断 △ABC 是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形，并说明原因： （ 2）若 △ ABC 的面积为 240，求点 A 的坐标及直线 BC 的方程．13. （本小题满分 14 分）（ 1）正四棱锥的体积 V2，求正四棱锥的表面积的最小值；3（ 2）一般地，设正 n 棱锥的体积 V 为定值，试给出不依靠于 n 的一个充足必需条件，使得正n 棱锥的表面积获得最小值．14. （本小题满分 14 分）假订婚本整体中三种基因型式：AA ，Aa ，aa 的比率为 u : 2v : w （ u 0 ， v 0， w 0 ， u 2v w 1）且数目充足多，参加交配的亲本是该整体中随机的两个．（ 1）求子一代中，三种基因型式的比率；（ 2）子二代的三种基因型式的比率与子一代的三种基因型式的比率同样吗？并说明原因．15. （本小题满分 14 分）函数f( )x m ，且存在函数s ( t)at b （1， a0），足2t12s 1xx1 f ()．2t s （ 1）明：存在函数t( s) cs d （s0 ），足 f (2s1)2t 1 ；s t（ 2） x1 3 ， x n 1 f ( x n ) ， n1,2, ⋯ .明： x n21．n 13。

抽象代数期末考试题及答案

抽象代数期末考试题及答案

抽象代数期末考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 群的运算满足以下哪个条件？A. 交换律B. 结合律C. 存在单位元D. 所有选项答案：D2. 以下哪个不是环的性质？A. 封闭性B. 结合律C. 分配律D. 交换律答案：D3. 向量空间中的线性无关性意味着什么？A. 向量可以表示为其他向量的线性组合B. 向量之间存在非平凡的线性组合等于零向量C. 向量之间不存在非平凡的线性组合等于零向量D. 向量空间的维数等于向量的数量答案：C4. 以下哪个是有限域的特征？A. 域中元素的数量是有限的B. 域中元素的数量是无限的C. 域中存在乘法单位元D. 域中存在加法单位元答案：A5. 以下哪个是理想的定义？A. 环中的一个子集，对加法封闭B. 环中的一个子集，对乘法封闭C. 环中的一个子集，对加法和乘法封闭D. 环中的一个子集，对减法封闭答案：C二、填空题（每题3分，共15分）1. 如果一个群G中存在元素a，使得对于所有g∈G，有gag^{-1}=g，则称a是G的一个________。

答案：单位元2. 一个环R中，如果对于任意的a, b∈R，都有ab=ba，则称R是一个________。

答案：交换环3. 向量空间V的一组基是V中的一组向量，它们________。

答案：线性无关且张成V4. 一个域F的特征是指最小的正整数n，使得n⋅1_F=0，其中1_F是F的乘法单位元。

如果不存在这样的n，则称F的特征为________。

答案：05. 一个环R的理想I，如果对于任意的r∈R和i∈I，都有ri∈I和ir∈I，则称I是R的一个________。

答案：主理想三、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是群的同构，并给出一个例子。

答案：群的同构是指两个群之间存在一个双射同态映射，这个映射保持群的运算结构。

例如，整数加法群（ℤ，+）和模n整数加法群（ℤ_n，+）是同构的，因为它们之间存在一个保持加法运算的双射映射。

抽象代数

抽象代数

第一章古典代数以研究代数方程求解为中心，其历史源远流长。

19世纪初，年轻数学家伽罗华（Galois）应用群的概念对高次代数方程是否可用根式求解问题进行了透彻研究并给出了明确回答，他成为抽象代数新思想的启蒙者。

随后，这种把代数变成集合论的、公理化的科学的改造不断强化，产生了很多新的方法、新的观点、新的结果。

到了20世纪20年代，数学最古老的分支之一的代数学完成了一次根本性的革命，完成了初等代数到近世代数的“飞跃”，即从研究数的运算到研究抽象代数系统的结构之“飞跃”。

他的标志是范德瓦尔登的《近世代数学》一书的出版。

时至今日抽象代数已经成为很多数学分支中最常用的工具，空前普及。

以至近年来，人们不再把这门学问冠以“近世”“抽象”等高贵头衔，而朴素地称它为“一般代数学”“基础代数学”甚至“代数学”。

本书仍称为《抽象代数》只是想把它与仅仅讨论以数为对象的那种经典代数加以区别。

抽象代数是数学中最适合于自学的学科之一，本课程只假定读者学过中学代数并知道一点矩阵运算规则，此外不要求任何高等数学内容作为准备知识。

学好本课程的关键在于对“公理化方法”实质和一些重要抽象概念的理解。

切忌把抽象代数单纯作为“知识”来学，平均使用力量，每个定义都能背下来，但没有一个能“悟出真谛”。

学习抽象代数的一个重要目的就是要提高“抽象思维”能力。

本书共7章，本人将着重介绍二、三、四、五、六章，第一张过于基础，都是些普通的概念，第七章的内容已在《Galois Theory》中详细介绍。

大致内容包括：群，环，域，三个方面，三、四章主要介绍群的定义，及几类特殊群；第四章介绍了群同态——仅仅是保运算的一种n对1的对应关系，n取决于ker中元素个数。

同样第四章完成的是环的这方面的介绍。

第五章主要是对域的一些定义性的介绍，以及如何构造域，当然也对多项式环做了一点介绍，主要是为第六章研究多项式分解做一点铺垫。

学完抽象代数印象最深的就是代数系统的定义方式，仅仅是满足几条公理的体系，以至于学拓扑感觉很代数，很亲切！再一个就是同态的那种对应关系，看似复杂的定理形式实际的内涵确实如此的简单，明了！第一章集合映射和关系这一章是抽象代数的基础，也差不多是所有现代数学分支的基础。

清华大学高等代数讲义-1

清华大学高等代数讲义-1
二元运算的性质： 设 和 ◦ 是 A 上的二元运算，∀a, b ∈ A， (1) 若 a b ∈ A，则称 A 在 下封闭； (2) 若 a b = b a，则称 A 满足交换律； (3) 若 a (b c) = (a b) c，则称 A 满足结合律； (4) 若 a (b ◦ c) = (a b) ◦ (a c)，则称 A 满足左分配律； (b ◦ c) a = (b a) ◦ (c a)，则称 A 满足右分配律; (5)∀a ∈ A，若 ∃el ∈ A，s.t. el a = a，则称 el 为左单位元； 若 ∃e ∈ A，s.t. e a = a e = a，则称 e 为单位元 (unit element). (6)∀a ∈ A，若 ∃b ∈ A，s.t. b a = e，则称 a 有左逆元，b 是 a 的左逆元； 若 ∃c ∈ A，s.t. c a = a c = e，则称 a 有逆元，记 c = a−1.
f : Mn(R) −→ R A −→ detA
f : GLn(R) −→ GLn(R) A −→ A−1
Example 11 设 [a, b] 上全体可微函数的集合为 A，[a, b] 上全体函数的集合 为 B, 令
D : A −→ B
f −→ f
即 ∀f ∈ A, 有 D(f ) = f .
Lesson 1
A=
10 01
,B =
10 00
,C =
00 00
则 SM2(R)/ ∼= = {[A], [B], [C]}
Lesson 1
4
若按相似关系 (∼) 进行分类，其代表元记作：
D=
λ1 0 0 λ2
, λ1 ≥ λ2, λ1, λ2 ∈ R
则 SM2(R)/ ∼ = {[D]}

抽象代数高等数学教材推荐

抽象代数高等数学教材推荐

抽象代数高等数学教材推荐抽象代数，作为高等数学中的一门重要学科，是数学中研究代数结构的一门学问。

在学习抽象代数时，选择一本合适的教材对于学生来说至关重要。

一个好的教材应该能够系统全面地介绍抽象代数的基本概念、定理和方法，并能够帮助学生建立起对抽象代数的深刻理解和应用能力。

以下是几本值得推荐的抽象代数高等数学教材。

1. 《抽象代数导论》（Abstract Algebra: An Introduction）本书由美国数学学会主持编写，是国际上广泛使用的经典教材之一。

全书以清晰简洁的语言，系统地介绍了群论、环论和域论等抽象代数的基本概念和理论。

书中提供了大量的例题和习题，并给出了详细的解答和提示，可供学生练习和巩固所学知识。

2. 《现代代数导论》（Introduction to Modern Algebra）这本教材由美国数学学会出版，是一本介绍现代抽象代数的优秀教材。

该书内容覆盖群、环、域、向量空间、线性变换等多个方面，并融入了一些应用领域的案例和实例，使得学习抽象代数的过程更加有趣和实用。

此外，书中还提供了大量的练习题和习题答案，方便学生巩固知识、培养解题能力。

3. 《抽象代数导论与应用》（Introduction to Abstract Algebra with Applications）这本教材是由张贵仁教授编写的，是我国抽象代数领域的一本经典教材。

全书结构严谨，体系完整，内容涵盖了群论、环论、域论、线性代数等多个主题。

此外，书中还引入了一些抽象代数在密码学、编码理论和组合数学等领域的应用，为学生提供了一些拓展和应用的视角。

4. 《高等代数学教程》（Higher Algebra）这本教材由李开复教授主编，是我国抽象代数研究的一本重要参考书。

全书通俗易懂，内容丰富全面，既传达了抽象代数的基本概念和理论，又介绍了一些高级话题和发展方向。

书中融入了国内外的最新研究成果，并提供了一些典型的例题和习题，有利于学生全面理解和应用所学内容。

清华大学离散数学ppt课件

清华大学离散数学ppt课件
对于有穷集，极小元和极大元必存在，可能存在多个. 最小元和最大元不一定存在，如果存在一定惟一. 最小元一定是极小元；最大元一定是极大元. 孤立结点既是极小元，也是极大元.
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偏序集的特定元素(续)
定义4.29 设<A, ≼>为偏序集, BA, yA.
（1） 若x (x∈B→x≼y) 成立, 则称 y 为B 的上界.
实例：数集上的小于或等于关系是全序关系 整除关系不是正整数集合上的全序关系 {1, 2, 4, 6}集合上的整除关系, 2覆盖1, 4 和 6 覆盖2. 但4不覆盖1.
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偏序集与哈斯图
定义4.27 集合A和A上的偏序关系≼一起叫做偏序集, 记 作<A,≼>. 实例：整数集和数的小于等于关系构成偏序集<Z,≤>
定义4.28 设<A,≼>为偏序集, BA, y∈B. (1) 若x(x∈B→y≼x)成立, 则称 y 为 B 的最小元. (2) 若x(x∈B→x≼y)成立, 则称 y 为 B 的最大元. (3) 若x(x∈B∧x≼y→x=y)成立, 则称 y 为B的极小元. (4) 若x(x∈B∧y≼x→x=y)成立, 则称 y 为B的极大元.
Being kind is more important than being right. 善良比真理更重要.
You should never say no to a gift from a child. 永远不要拒绝孩子送给你的礼物.
Sometimes all a person needs is a hand to hold and a heart to understand. 有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.
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七、教学日历（授课内容详细至二级标题，实验课、讨论课写出题目或主题）
学时(或周次)
教学内容（包括课堂讲授、实验、讨论、考试等）
备注
第一章群论
第一周：群，子群，陪集；正规子群，商群
第二周：同态，同态基本定理；循环群
第三周：置换群，
第四周：国庆假
第五周:群作用,,Sylow定理
第六周：群构造
第七周：有限生成abel群的结构
第八周:复习（其中测验）
第二章环论
第九周:环的基本概念，子环，理想与商环
第十周：环同态，分式域
第十一周：唯一分解环，主理想环，欧氏环
第十二周：多项式环
第三章：域论
第十三周：域的扩张
第十四周：分裂域，可分，正规扩张
第十五周Galois对应
第十六周根式求解
第十七---十八周，期末考试
（1）群论.作为描述与研究几何对象的对称性的概念---群由Galois第一次引入，并由此开创了现代代数学的研究。我们将系统介绍群及其基本性质等，及其相关的概念如:子群，商群,同态,同态基本定理;初步介绍群的结构方面的一些基本知识:直积;正规群，可解群等，最后介绍有限生成abel群的结构.
（2）环论:介绍环及其子环，商环，同态等基本概念，介绍一些特殊环：唯一分解环，主理想整环等
五、教材或讲义
姚慕生编著抽象代数学，复旦大学出版社
六、参考书目
刘绍学：近世代数基础，高等教育出版社.
石生明：近世代数初步，高等教育出版社.
N. Jacobson, Basic Algebra I, W. H. Freeman and Company,YaleUniversity, 1976.
M.Artin, Algebra,机械工业出版社
中文
英文课程名称
Abstract Algebra I
任课教师1
朱彬
职称
教授
工作证号
E-mail：
bzhu@
联系电话
62772862
任课教师2
职称
工作证号
E-mail：
联系电话

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考核方式
闭卷考试
二、课程内容简介
（300~600字）
作为数学系本科基础课程，本课程面向数学系的全体本科学生以及选修数学二学位的外系部分高年级本科生.主要目的是为学习数学的学生奠定坚实的现代代数学基础，使之熟练掌握代数学思想和方法。我们这学期的主要内容将分如下几个部分：
联系电话讲课64讨论习题课学分数考核方式闭卷考试二课程内容简介300600作为数学系本科基础课程本课程面向数学系的全体本科学生以及选修数学二学位的外系部分高年级本科生
清华大学数学系本科课程教学大纲
——抽象代数学（I）
一、基本情况
课程编号
开课（院）系
数学系
开课学期
秋季学期
中文课程名称
抽象代数（I）
授课语言
（3）域论:重点介绍域的有限扩张，正规扩张和Galois理论.
三、预备知识或先修课程要求
1.线性空间,线性变换,矩阵等基本概念及性质,
2．多项式理论
四、教学目的与要求
（300~500字）
以下概念的定义,含义,主要性质,若干重要实例和应用:群,子群，正规子群，商群，群同态，Sylow定理；环,子环，理想，商环，交换环，唯一分解整环，主理想整环；域，子域,扩域,域的复合,单代数扩张,单超越扩张.域的特征,素域，分裂。