高等代数课程教学大纲.总结

《高等代数》课程教学大纲一、教学大纲说明（一）课程的性质、地位、作用和任务《高等代数》是数学专业本科学生的三门主要基础课程之一。

它不仅是代数学的基础，也是其它数学课程必要的前提。

该课程是为大学一年级的学生开设的，总课时144学时，开设时间为一年。

通过本课程的教学，使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法。

本课程的任务是使学生系统地掌握基本的、系统的代数知识和抽象的严格的代数方法，为后继课程如近世代数、常微分方程、概率论与数理统计、泛函分析、计算方法等提供必须具备的代数知识，也为进一步学习数学与应用数学专业的各门课程所需要的抽象思维能力提供一定的训练。

（二）教学目的和要求通过本课程的学习，使学生掌握高等代数的基本概念、基本理论与基本方法，熟悉代数的语言、工具、方法，具有一定理解问题、分析问题、解决问题的能力。

为今后的学习打下扎实的基础。

１．熟练掌握：集合、映射、单射、满射、双射的概念，第一、第二数学归纳法，带余除法，不可约多项式，线性方程组的消元法，矩阵的行（列）初等变换，矩阵的秩，初等矩阵的性质，可逆矩阵，向量空间的基、维数，线性相关与线性无关，齐次线性方程组的基础解系，线性变换，矩阵特征值、特征向量的概念与求法，内积的定义，正交变换与正交矩阵，二次型的概念及与其矩阵的对应关系。

２．掌握：整数的整除性、素数的性质，集合的表示与运算，辗转相除法，综合除法，多项式的互素，根与系数的关系，重因式及其判定，行列式的性质，行列式的展开，矩阵的乘法，矩阵的行列式，子空间的交与和，坐标，过渡矩阵，线性方程组的特解与通解，线性变换的运算及其形成的向量空间，线性变换的向量空间与矩阵的向量空间的同构，矩阵的相似，几类向量空间的内积，Cauchy不等式，正交基与正交化，三维空间中的几种正交变换，正交变换与正交矩阵的关系，二次型的矩阵的合同及其求法，对称矩阵合同于对角矩阵，复数域上的二次型的规范形、实数域上二次型的惯性定理、规范形、分类，正定二次型的判定。

《高等代数》课程教学大纲一．课程教学目的与任务本课程是我院数学系数学教育专业的一门重要基础课程。

其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型等方面的系统知识。

它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛函分析）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的抽象思维、辑推理及运算能力，开发学生智能，加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）和培养学生创造性能力等起到重要作用。

二．与各课程的联系本课程是数学专业的后继课程：如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛函分析等的先导课程和基础课程。

三．教学时数及分配总学时198,其中课堂讲授 151学时,习题课（包括复习课）47学时。

各学期教学时数安排情况：第二学期：108学时，自第一章至第五章，周学时6第三学期：90学时，自第五章至第九章，周学时5四．讲授内容与要求：第一章基本概念（12学时）一．教学目的和要求：1. 正确理解集合的概念，明确集合的相等、子集、空集、交集、卡氏集等概念及他们之间的关系。

2．掌握映射、满射、单射、双射、映射的合成、可逆映射的概念和映射可逆的充要条件。

3．理解和掌握数学归纳法原理，能熟练运用数学归纳法。

4．理解和掌握整数的性质及带余除法、最大公因数与互素、素数的一些简单性质。

5．掌握数环，数域的概念，能够判别一些数集是否为数环、数域，懂得任意数域都包含有理数域。

二．教学内容：1.1 集合（2学时）1.2 映射（3学时）1.3 数学归纳法（2学时）1.4 整数的一些整除性质（3学时）1.5 数环，数域（2学时）第二章多项式（37学时）一．教学目的和要求：1．掌握数域上一元多项式的概念、运算以及多项式的和与积的次数。

2．正确理解多项式的整除概念和性质。

理解和掌握带余除法。

3．掌握最大公因式的概念、性质、求法以及多项式互素的概念和性质4．理解不可约多项式的概念，掌握多项式唯一因式分解定理。

《高等代数》课程教学大纲一、大纲说明课程名称: 高等代数课程名称（英文）：Advanced Algebra适用专业：数学与应用数学课程性质：学科教育必修课程总学时： 192其中理论课学时: 192 实践（实验）课学时:0学分：12先修课程：二、本课程的地位、性质和任务《高等代数》是数学与应用数学专业最重要的基础课程之一，是数学各专业报考硕士研究生的必考课程之一。

通过本课程的学习，使学生掌握多项式和线性代数的系统知识和理论，提高学生抽象思维、逻辑推理和运算能力，培养学生运用抽象的、严格的代数思想方法分析问题、解决问题的能力，为常微分方程、近世代数、计算方法、泛函分析等后续课程的学习打下坚实的基础。

三、教学内容、教学要求第一章基本概念教学内容本章主要介绍了集合、映射、数环、数域等基本概念，这些概念是学习本课程及其它数学分支的基础知识。

1、集合子集集合的相等集合的交与并及其运算律笛卡儿积2、映射映射满射单射双射映射的相等映射的合成可逆映射映射可逆的充要条件3、数学归纳法自然数的最小数原理第一数学归纳法第二数学归纳法4、整数的一些整除性质5、数环和数域教学要求了解：整数的一些整除性质理解：集合掌握：映射；数学归纳法；数环和数域重点与难点映射；可逆映射；数域。

第二章多项式本章主要介绍数域上一元多项式的概念及其运算、整除性、因式分解和有理系数多项式有理根的求法，简单介绍了多元多项式及对称多项式。

多项式理论是高等代数的重要内容，是中学数学有关知识的加深和扩充，是学习其它数学分支的必要基础。

教学内容1、一元多项式的定义和运算2、多项式的整除性整除的基本性质带余除法定理3、多项式的最大公因式最大公因式概念、性质辗转相除法多项式互素概念、性质4、多项式的唯一因式分解定理不可约多项式概念唯一因式分解定理典型分解式5、多项式的重因式多项式的重因式概念多项式有重因式的充要条件6、多项式函数与多项式的根多项式函数的概念余式定理综合除法多项式的根的概念根与一次因式的关系多项式根的个数7、复数域和实数域上多项式的因式分解（代数基本定理不证明）8、有理数域上多项式的可约性及有理根本原多项式的定义Gauss引理整系数多项式在有理数域上的可约性问题Eisenstein判别法有理数域上多顶式的有理根※9、多元多项式多元多项式的概念字典排列法多元多项式的和与积的次数※10、对称多项式对称多项式的概念初等对称多项式对称多项式基本定理教学要求了解：多元多项式对称多项式理解: 一元多项式的定义和运算；多项式的整除性；多项式函数与多项式的根；复数域和实数域上多项式的因式分解掌握: 多项式的重因式；多项式的最大公因式；复数域和实数域上多项式的因式分解；有理数域上多项式的可约性及有理根重点与难点整除概念、带余除法及整除的性质、最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质、因式分解及唯一性定理、因式分解定理的应用、k重因式与k 重根的关系、复（实）系数多项式分解定理、本原多项式、Eisenstein判别法。

《高等代数》课程教学大纲(Higher Algebra)学时数: 72 学分: 4 适用专业: 小学教育(数学与科学方向)一课程的性质、目的和任务1. 课程性质：高等代数是小学教育本科专业的一门重要的专业基础课程。

它不仅是应用学科的重要工具课，而且在近代数学理论中也是一门很重要的理论基础课。

2. 教学目的：通过本课程的学习使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法，以加深对初等数学内容的理解，并为进一步学习其它课程打下良好的基础。

同时培养学生独立思考、科学抽象思维、正确的逻辑推理和迅速准确的运算能力，以及树立辩证唯物论观点。

从而为培养合格的中小学数学教师和各种高级专门人才奠定基础。

3. 教学任务：通过本课程的教学与实践，使学生初步系统掌握高等代数的基本内容和利用代数手段处理问题的基本方法；进一步提高学生的抽象思维能力和严格的逻辑推理能力；促进学生对具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系的理解；培养和提高学生独立提出问题、分析问题和解决问题的能力及运用所学理论指导中小学教学实践和其它工作的能力。

同时注意加强对学生的数学基本素养的培养，为今后做一名合格的中小学数学教师和继续学习深造奠定基础。

二课程教学的基本要求1. 通过本课程教学的主要环节, 使学生了解多项式、行列式、矩阵、线性方程组理论、向量空间、线性变换和欧氏空间等高等代数中的基本概念和基本原理.2. 使学生在了解基本概念和基本原理的基础上, 理解高等代数中各种概念和原理的深刻内涵和它们之间的相互联系.3. 要突出传授数学思想和数学方法，使学生初步掌握运用高等代数的概念和原理分析问题和解决问题的方法.三课程教学的内容和要求第一章多项式理论【教学内容】§1.1 数环与数域§1.2 一元多项式§1.3 多项式的整除性§1.4 最大公因式§1.5 多项式的因式分解§1.6 重因式和重根§1.7 特殊域上的多项式【教学要求】（1）了解数环和数域的概念和判别方法，理解数域的最小性；（2）理解一元多项式的定义、运算、运算律、次数和次数定理；（3）掌握带余除法定理及其应用；理解多项式整除概念和性质，了解其与带余除法的区别（4）理解最大公因式的存在性，掌握最大公因式的求法和表示法；（5）掌握多项式互素的概念和性质；（6）掌握不可约多项式的概念、性质和唯一分解定理；（7）理解并掌握重因式的概念和多项式有无重因式的判别法；（8）掌握多项式函数的概念，理解多项式相等和多项式函数相等的区别与联系；（9）掌握复数和实数域上的多项式的因式分解定理以及不可约多项式的类型。

高等代数教学大纲一、课程基本信息课程名称：高等代数课程类别：数学专业基础课课程学分：具体学分课程总学时：具体学时授课对象：具体专业、年级二、课程目标高等代数是数学专业的一门重要基础课程，通过本课程的学习，学生应达到以下目标：1、掌握代数的基本概念、定理和方法，包括多项式、行列式、矩阵、线性方程组、向量空间、线性变换、特征值与特征向量、二次型等。

2、培养学生的逻辑推理能力、抽象思维能力和运算能力，能够熟练运用代数方法解决数学问题。

3、使学生了解代数的发展历程和应用领域，激发学生对数学的兴趣和探索精神。

三、课程内容与教学要求（一）多项式1、数域理解数域的概念。

掌握常见数域的性质。

2、多项式掌握多项式的定义、次数、系数等基本概念。

了解多项式的运算规则。

掌握多项式的整除、最大公因式、互素等概念和求法。

熟练掌握因式分解定理。

（二）行列式1、行列式的定义理解行列式的定义。

掌握二阶、三阶行列式的计算方法。

2、行列式的性质熟练掌握行列式的性质。

能够利用行列式的性质计算行列式的值。

3、行列式的展开掌握行列式按行（列）展开定理。

能够用展开定理计算行列式。

（三）矩阵1、矩阵的概念理解矩阵的定义。

掌握矩阵的加法、数乘、乘法运算。

2、矩阵的秩理解矩阵秩的概念。

掌握求矩阵秩的方法。

3、逆矩阵掌握逆矩阵的概念和性质。

熟练掌握求逆矩阵的方法。

（四）线性方程组1、线性方程组的解掌握线性方程组的解的存在性和唯一性定理。

能够用消元法求解线性方程组。

2、线性方程组解的结构理解齐次线性方程组解的结构。

掌握非齐次线性方程组解的结构。

（五）向量空间1、向量空间的定义理解向量空间的概念。

掌握向量空间的基本性质。

2、向量的线性相关性掌握向量线性相关和线性无关的概念和判定方法。

了解向量组的秩的概念和求法。

（六）线性变换1、线性变换的定义理解线性变换的定义。

掌握线性变换的运算。

2、线性变换的矩阵掌握线性变换在给定基下的矩阵表示。

了解相似矩阵的概念和性质。

高等代数教学大纲一、课程简介本课程主要介绍高等代数的基本概念、定义和定理，包括线性空间、线性变换、矩阵、行列式、特征值、特征向量等内容。

通过本课程的学习，学生应该能够掌握高等代数的基本理论和方法，进一步培养其分析问题的能力和解决问题的能力。

二、教学目标1.掌握高等代数的基本概念、定义和定理。

2.熟练掌握线性空间、线性变换、矩阵、行列式、特征值、特征向量等内容。

3.培养学生分析问题、解决问题的能力。

4.培养学生数学建模的能力。

三、教学内容和教学方法1. 教学内容1.线性空间的定义与基本性质。

2.线性变换的定义与基本性质。

3.矩阵的基本运算和性质。

4.行列式的概念和性质。

5.特征值、特征向量和对角化。

6.线性方程组和矩阵消元算法。

7.正定矩阵、二次型和极值问题。

8.线性代数应用：最小二乘法、主成分分析、特征值应用等。

2. 教学方法1.讲授理论，强调概念的起源和本质。

2.给出典型例题，讲解例题的解法和思路，以帮助学生理解和掌握知识。

3.组织学生进行课上小组讨论和课后思考题目，促使学生主动思考问题、独立思考问题。

4.给学生提供大量题目，帮助学生掌握基本概念和技能。

5.激发学生兴趣，带领学生开展独立或团队研究性学习，鼓励学生探索和创新。

四、教学进度和考核方式1. 教学进度本课程可设置为2个学期，共36周，每周2-3次课程。

章节教学内容学时数第1章线性空间4周第2章线性变换4周第3章矩阵与行列式5周第4章特征值与特征向量3周第5章线性方程组与消元法4周章节教学内容学时数第6章正定矩阵与二次型3周第7章应用3周综合总复习2周2. 考核方式1.平时表现：包括出勤、作业、小测、小论文等，占总成绩的30%。

2.期中考试：占总成绩的30%。

3.期末考试：占总成绩的40%。

五、参考资料1.《线性代数及其应用》（美）Gilbert Strang 著，机械工业出版社。

2.《线性代数基础教程》（美）Bernard Kolman 著，高等教育出版社。

《高等代数》课程教学大纲一、课程基本信息1、课程代码：MA1092、课程名称（中文）：高等代数课程名称（英文）：Higher Algebra3、学时/学分：72学时+ 18学时（习题课）/4学分4、先修课程：解析几何5、面向对象：联读班。

6、开课院（系）、教研室：理学院数学系，代数和组合数学教研室7、推荐教学参考书：《大学代数》，陆少华、沈灏编著，上海交大出版社，2002。

《高等代数》，北京大学数学力学系。

二、课程的性质和任务高等代数是一门重要的数学基础课。

代数的理论、方法和思想已渗透到数学与科学的各个领域。

随着通信与计算机科学的迅速发展，高等代数作为描述离散对象的各学科的重要基础，其地位与作用越来越重要。

同时，代数课程还承担着提高学生数学素养，训练与培养思维能力、计算能力与建立数学模型能力的任务。

通过《高等代数》课程的学习，应使学生能较好地熟悉与掌握多项式理论及线性代数的基本概念、理论与方法，并能运用到所学专业中去。

三、教学内容和要求《高等代数》高等代数的教学内容分为八部分，对不同的内容提出不同的教学要求。

(数字表示供参考的相应的学时数)第一章数与多项式（10）1数环与数域（2）2一元多项式、最大公因式（2）3 多项式的因式分解理论（4）4 习题课（2）要求：熟悉数环与数域的基本概念与运算法则；理解因子分解唯一性定理；熟练掌握求最大公因式的辗转相除法。

第二章行列式（10）1 行列式的定义与基本性质（4）2 行列式的按行展开，Laplace定理（2）3 行列式的计算（2）4 习题课（2）要求：熟悉行列式的基本性质、掌握行列式的常用计算方法。

第三章矩阵(12)1 矩阵的概念与矩阵运算（2）2 矩阵的初等变换与相抵标准形、矩阵的秩（4）3 习题课（2）4 逆矩阵与矩阵的求逆（2）5 分块矩阵，例（2）要求：熟练掌握矩阵的加、乘与求逆运算；熟练掌握求矩阵相抵标准形的初等变换方法。

第四章线性方程组（12）1 解线性方程组的矩阵消元法（2）2 Cramer法则，例（2）3 n维向量组的线性关系、向量组的等价与向量组的秩（4）4 线性方程组的矩阵形式、向量形式；线性方程组解的结构（2）5 习题课（2）要求：掌握线性方程组的求解理论与解线性方程组的矩阵消元法；理解线性方程组解的几何意义。

高等代数课程教学大纲《高等代数》课程教学大纲课程编号：总学时数：160（理论160）总学分数：10课程性质：学科基础课程适用于专业：数学与应用领域数学、信息与排序科学一、课程的任务和基本要求：本课程就是本科院校数学与应用领域数学、信息与排序科学专业的一门必修课程的关键基础课。

课程的主要任务就是系统了解多项式理论、行列式、线性方程组和矩阵、二次型和双线性函数、线性空间和线性变换，λ-矩阵和欧氏空间等内容，通过课程自学，建议学生系统地掌控这些内容的基本概念和基本理论以及代数学研究问题的基本方法，培育学生的抽象思维、逻辑推理和运算能力，为学生后继课程的自学奠定稳固的基础。

二、基本内容和要求：（一）多项式1、数域及一元多项式的概念和运算2、多项式的整除性、带余除法、最大公因式3、多项式的因式分解、轻因式、多项式函数及多项式的木4、复数域，实数域和有理数域上多项式的因式分解5、多元多项式及等距多项式要求：理解一元多项式的有关概念，掌握多项式的运算，最大公因式和有理根的求法，互素，有无重因式的判别方法，能够熟练运用一元多项式的基本概念、基本理论和基本方法证明多项式中的一些问题。

了解多元多项式。

（二）行列式1、n阶行列式的定义和性质2、行列式按行（列于）进行的公式3、拉普拉斯定理4、克兰姆法则建议：认知行列式的概念，行列式的性质，掌控行列式的计算方法，克兰姆法则的运用。

（三）线性方程组1、线性方程组的消元法2、n佩向量的概念、运算、性质3、向量组的线性相关性4、矩阵的秩，线性方程组有解的判别法5、线性方程组的解结构建议：能够娴熟运用窭元法求解线性方程组，掌控矩阵的秩、向量组的秩及很大线性毫无关系组的带发修行，掌控向量组的线性相关性的基本概念和结论，矩阵秩的有关概念和方法。

能娴熟利用向量组的有关科学知识分析探讨关于线性方程组的一些问题并能够恰当采用存有求解辨别法。

（四）矩阵1、矩阵的运算、性质2、可逆矩阵的概念、性质，逆矩阵的求法3、矩阵的分块运算、应用4、初等矩阵与初等变换的关系，用初等变换arise矩阵的方法要求：能熟练地进行矩阵的运算，熟悉矩阵乘积的行列式及秩的定理，掌握可逆矩阵的概念、性质、初等变换和初等矩阵的关系。

高等代数课程设计总结一、课程目标知识目标：1. 理解并掌握高等代数的基本概念，如向量空间、线性变换、特征值与特征向量等；2. 掌握矩阵运算的基本法则，并能应用于解决实际问题；3. 了解线性方程组的求解方法及其在现实生活中的应用。

技能目标：1. 能够运用矩阵运算解决实际问题，如物理运动方程的求解、经济平衡问题的分析等；2. 能够运用线性变换理论分析并解决几何问题，培养学生的空间想象能力；3. 能够运用所学的理论知识对现实生活中的线性问题进行建模和求解。

情感态度价值观目标：1. 培养学生对高等代数的兴趣，激发学生的学习热情，使其形成积极向上的学习态度；2. 培养学生的团队合作精神，使其在讨论和交流中不断提高自己；3. 通过解决实际问题，让学生认识到高等代数在现实生活中的广泛应用，增强学生的学科责任感。

课程性质：本课程为大学本科一年级高等代数课程，旨在帮助学生建立代数思维，提高解决问题的能力。

学生特点：一年级学生具备一定的数学基础，但高等代数的概念和理论尚未接触，需要从基本概念入手，逐步引导学生掌握学科知识。

教学要求：注重理论知识与实际应用的结合，采用启发式教学，鼓励学生主动思考、积极参与，提高学生的动手能力和创新能力。

通过分解课程目标为具体的学习成果，为后续的教学设计和评估提供依据。

二、教学内容根据课程目标，教学内容主要包括以下几部分：1. 高等代数基本概念- 向量空间及其性质- 矩阵及其运算- 线性变换及其性质2. 线性方程组- 高斯消元法- 克莱姆法则- 线性方程组的求解方法3. 特征值与特征向量- 特征值、特征向量的概念- 矩阵的对角化- 特征值与特征向量的应用4. 实践应用- 矩阵运算在物理、经济等领域的应用- 线性变换在几何问题中的应用- 线性方程组在实际问题中的建模与求解教学大纲安排如下：第一周：向量空间及其性质第二周：矩阵及其运算第三周：线性变换及其性质第四周：线性方程组求解方法第五周：特征值与特征向量第六周：实践应用与拓展教学内容与教材章节关联如下：1. 教材第一章：向量空间与矩阵2. 教材第二章：线性方程组3. 教材第三章：特征值与特征向量4. 教材第四章：线性变换及其应用在教学过程中，将按照教学大纲逐步展开教学内容，注重理论与实践相结合，提高学生的实际应用能力。