哈工大近世代数讲义定理与定义全部_图文(精)

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定理12.8.1
• 设(G , 。)和(G ,•)是两个群，φ是从G到G
的同态，则∀a∈G 有 φ(a-1) = [φ(a)]-1 φ(e) = e
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定理12.8.3
• 设φ是从群(G,。)到(G,•)的满同态，则G的
单位元e的完全原象φ-1(e)= {x|x∈G, φ(x) = e}是G的一个正规子群。
• 设H是群的子群，如果对G的任一自同构φ
有φ(H) ⊆ H，则称H为G的特征子群
7
定理 12.7.5
• 设H是G的正规子群，H的所有左陪集构成
的集族Sl对群子集乘法形成一个群。
8
定义12.7.3
• 群G的正规子群H的所有的左陪集构成的集
族，对群子集乘法构成的群称为G对H的商 群，记为G/H
9
定义12.7.4
则这个乘法是ς 上的二元代数运算当且仅当由划 ≅
分ς 所确定的G的等价 关系是上G的同余关系。 这时，G的单位元所在的类[e]是G的正规子群，
ς中的其他类均是[e]的陪集
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定义12.8.1
• 设(G ,。)与(G ,•)是两个群，如果存在一个
从到G的G映射φ ，使得∀a,b∈M 有 φ (a。b) = φ(a) • φ(b) 则称φ为G到G的一个同态，简称G与G同态。 如果同态是满射，则称φ是从G到G的一个 满同态，如果同态φ是单射，则称为单同 态
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定理12.8.5
• 设N是G的正规子群，则G~G/N.如果φ是G
到G/N的同态，则Kerφ = N.
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定理12.8.6
• 设φ是群G到群G的满同态，E=Kerφ则
G/E ≅ G
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定理12.8.7

近世代数的重要性
近世代数是数学领域中的基础学科之 一，是学习其它数学分支的重要基础 。
它对于理解数学的抽象本质和掌握数 学的基本思想方法具有重要意义，有 助于培养学生的逻辑思维和抽象思维 能力。
课程大纲简介
本课程将介绍近世代数的基本概念和性质，包括集合、群、环、域等代数系统的 定义、性质和关系。
1.1 答案
对。因为$a^2$的定义是两个整数相乘，结果仍为整数。
第1章习题及解答
1.2 答案：（略）
1.3 答案：群的基本性质包括封闭性、结合律和存在单位元。
第2章习题及解答
2.1 判断题：若$a$是整数，则$a^3$也是整数。 2.2 选择题：下列哪个是环？
第2章习题及解答
要点一
2.3 简答题
编码理论中的应用
线性码
线性码是一类重要的纠错码，其生成矩阵和校验矩阵都是线性方程组的解。这 些矩阵的构造和性质都与代数理论紧密相关。
高斯-若尔当消元法
在编码理论中，经常使用高斯-若尔当消元法来求解线性方程组，这种方法在代 数中也有广泛的应用。
物理学中的应用
量子力学中的态空间
在量子力学中，态空间是一个复的向量空间，其基底对应于可观测物理量。这与代数学中的向量空间 概念非常相似。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个多项式，那么E在F上形成一个 子域。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个不可约多项式，那么E在F上形 成一个有限子域。
有限域
有限域的性质
有限域中的元素个数一定是某个素数的幂。
理想与商环
理想的定义与性质
介绍理想的定义，包括左理想、右理想、双边理想等 ，并讨论理想的封闭性、运算性质等。

第十二章 子群，生成子 群
姜维
定义12.3.1
l
设S是群G的非空子集，如果G的乘法在S中封 闭且S对此乘法也构成一个群，则称S是G的 一个子群
例12.3.1
l
任何一个至少含有两个元素的群G,至少有 两个不同的子群，一个群本身，它是最大子群， 同时还有一个单位元组成的子群，是最小的子 群
例12.3.2
定理12.3.6
l
群G的中心C是G的可交换群
定义12.3.3
l
设M是群G的子集 ，G的包含M的所有子群的 交称为由M生成的子群，记为(M)
定义12.3.4
l
设G是一个群，a和b是的两个任意元素，aba1b-1称为a与b的换位子。G的所有换位子的集 合是G的子群，称为G的换位子群。
定义12.4.1
定理12.4.1
l
任何一个群都同构于某个变换群
定义12.4.3
l
设(G, •)是一个群，如果存在一个从G到G的 一一对应φ使得∀a,b∈G φ (a•b) = φ (a) •φ (b) 则φ称是G的一个自同构源自定理12.4.2l
设G是一个群，G的所有自同构之集A(G)对映 射的合成运算构成一个群，则称为G的自同构 群
l
设(G1, •), (G2, •)是群，如果存在一个一一对应φ: G1 有 φ (a•b) = φ (a)* φ (b) 则称G1群G2与同构，记为G1 ≅ G2 而φ称G1为G2到上 的一个同构。
à G2 ，使得∀a,b∈G1
定义12.4.2
l
Sym(S)的任一子群称为S上的一个变换群。Sn 的任一子群称为置换群
l
整数集Z的加法群是有理数集Q的加法群的子 群。
定理12.3.1

{ a,b,c,d,e }是L1的子格，同构于钻石格
{ a,b,c,e,f }是L2的子格，同构于五角格；
{ a,c,b,e,f } 是L3的子格，同构于钻石格.
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近世 代数
分配格的性质
性质1 设(L,∧,∨)是格，若a, b, c∈L，有
a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c)
a∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨c).
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近世 代数
解答
(1) L1中 a 与 c 互为补元, 其中 a 为最小元素, c为最 大元素, b 没有补元.
(2) L2中 a 与 d 互为补元, 其中 a 为最小元素, d 为最 大元素, b与 c 也互为补元.
(3) L3中a 与 e 互为补元, 其中 a 为最小元素, e 为最 大元素, b 的补元是 c 和 d ; c 的补元是 b 和 d ; d 的补元是 b 和 c ; b, c, d 每个元素都有两个补元.
b) a≤b b≤a a≤b a∧b =a (a∧b)= a= b∨a b≤a
c) a∧b=0 a∨b=1
a∧b=0 (a∨b)=0=1= a∨b
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近世 代数
布尔代数的性质
性质3 设(B,∧,∨,, 0, 1)是任一布尔代数，则有 (1) a,b,c∈B, 有
a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c), a∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨c). (2) a,b,c∈L, 如果 a∧b = a∧c且 a∨b = a∨c，则b=c. (3) a,b,c∈B, 有 (a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a) = (a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a).
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近世 代数
布尔代数的性质

例 4 设 K4 {e, a, b, c} ,我们可以利用 下表来定义 K4 上的乘法“ ”:
· eabc e eabc aaecb bb c e a c cba e

11
CHENLI
§1 代数运算
定义 1.2 设“ ”是非空集合 A 上的一个代数 运算.
意一个二元运算,并将其称为乘法.当 ab c
时, c 称为 a 与 b 的乘积;甚至还将等式 ab c
简写成 ab c .

6
CHENLI
§1 代数运算
例 1 设 R 是实数集.于是,平常的加法“”,减 法“-”和乘法“”都是 R 上的二元运算;除法“”是 R , R \{0}到 R 的代数运算,不是 R 上的二元运算.
明:在不改变元素顺序的前提下,无论怎样在其中添
加括号其中添加括号,这 n 个元素的乘积总等于
n
ai ，
i 1
从而与加括号的方式无关.

23
CHENLI
§1 代数运算
事实上,当 n 1或 n 2 时,无需加括号,我们的结论
自然成立.当 n 3时,由于“ ”适合结合律,我们的结论成

17
CHENLI
§1 代数运算
但是,当“ ”适合结合律时,我们可以定义 A 中任意有限 n ( n 3 )个元素 a1, a2 , , an 的乘积 a1a2 an .这是因为,容易证明,对于 A 中任意 n 个元素 a1, a2 , , an ,只要不改变它们的次序,运 算结果与加括号的方式无关(见习题 2).这样一 来,我们便可定义 a1, a2 , , an 的乘积 a1a2 an 就 是按任意一种方式添加括号后的算出的结果.

2
CHENLI

注：X上的一元和二元代数运算均满足 运算的封闭性。
定义4 结合律：设“”是X上的一个
二元代数运算。如果a,b, c X
有：(a b) c a (b c)
则称此二元代数运算适合结合律。
交换律：若对a,b X 有： ab ba
则称此二元代数运算适合交换律。
定义5 设“”是非空集合S上的一个
近世代数 课件
教材：离散数学引论 王义和，哈工大出版社
参考教材： 1）近世代数， 熊全淹，武大
2）近世代数基础习题指导，北师大
3）离散数学及其在计算机中的应用
4）代数结构与组合数学
引言
一、近世代数的研究对象
代数最初主要研究的是数，以及由数所衍 生出来的对象，如代数方程的求根。数的 基本特征是可以进行加法、乘法等运算， 其共同点是对任两个数，通过相应法则可 唯一求得第三个数。而对于很多抽象的对 象也都具有类似数的这一特征，因此对于 它们的结构和性质的研究就导致了近世代 数的产生和发展。
同理：A为 M , , e 的非空子集，则
包含A的所有子幺半群的交成为由A生 成的子幺半群。
注：根据集合交的性质知道 由A生成的子（幺）半群 (A) 是包含A的所有子（幺）半群 中最小的，即对任意包含A的
子（幺）半群 A 有：A A
定义4 左（右）理想：半群 S ,
的一个非空子集A为S的一个左（右）
定义乘法“”：N N N
a b a b 1, a,b N,
其中*为普通乘法
定义6 设(S,,) 是具有两个二元
代数运算“”和“+”的代数系。
如果a,b, c S 有：
a (b＋c) (a b) (a c)
则称“”对“＋”满足左分配律。
如果a,b, c S 有：

aa1 eaa1 a'a1 aa1 a' a1a a1 a'ea1 a'a1 e
2019/12/12
二、群的性质及等价判定方法 定理1 群中
1.左逆元也是右逆元（逆元）； 2.左单位元也是右单位元（单位元）；
aa1 a1a e ae aa1a ea a
做成交换群，称为正有理数乘群.
例3 G {全体整数}，对于运算 a b ab
2
1Leabharlann 22124

2
1
2 212 2
结合律不成立,不做成群.
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注意：
（1）对于考察集合是否作成群： 既要考虑元素，又要考虑代数运算；
（2）将群的代数运算叫做乘法，简记
a b a b ab
近世代数 第二章 群论 §1 群的定义
2019/12/12
一、群的定义与例子
定义1设 G 是一个具有代数运算 的非空集合，
并且满足:
Ⅰ. 结合律: a,b,c G, 有
(a b) c a (b c)
Ⅱ. G 中有左单位元 e ：a G, e a a Ⅲ. 对 G 中每一个元素 a , 有左逆元
左单位元1， a 1 无逆元,不能做成群；
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（3）对于运算 a b a b 4
a b c a b 4 c a b 4 c 4 a b c 8
a b c a b c 4 a b c 4 4 a b c 8
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定义4
设 G 是一个具有代数运算 的非空集合 ，并且满足结合律，则称 G 关于代数运算

定理1.5.1 假设一个集合A的代数运算 同时适合结合
律与交换律,那么在 a1a2 an中，元素的次序 可以调换.
例 判定下列有理数集Q上的代数运算 是否适合结合律，
交换律？
(1) a b a b ab (适合结合律和交换律 )
(2) ab(ab)2 (适合交换律，但不适合结合律)
(3) aba (适合结合律，但不适合交换律 )
定义1.9.2 设 是集合 A的代数运算. 若 是 A到 A的 一个同构映射(同态映射)，则称 是 A的一个自 同构 (自同态).
小结
同态是把代数运算考虑在内的映射，即是用来
比较两个代数结构的工具.
返回
在代数学中,两个同构的代数结构一般认为是相同的. 22
§1.10 等价关系与集合的分类
定义1.10.1 A设 是集合，D对，.错 一个 AA 到 D 的映射
注: 变换 是 A到A自身的一个映射.
小结
为了比较两个集合，我们引入了单射，满射，一
一映射和变换的概念.
返回
19
§1.8 同态
定义1.8.1 设 , 分别是集合的代数运算， : A A 是一个映
射,若 a,bA，有 (ab ) (a ) (b ),
则称 是 A到 A 的一个同态.
例1 A=Z (整数集)， 是普通加法； A ={1,-1}， 是普通乘法.
定义1.2.2 设 1 , 2是A到B的两个映射，若对 aA，
有 1(a)2(a), 则称 1 与 2 是相等的,记作 1 2.
注: 映射相等 构成映射的三要素（值域、定义域、对
应法则）全相同．
例5 设 AB 为正整数集 ．
定义 1 : ; a1 1 ( a ) ， a ,

两个集的并与交的概念可以推广到任意n个集合上去， 设 是给定的集合 .由 A1 , A2 ,, A n
A1 , A2 ,, 的一切元素 An
所成的集合叫做
A1 , A2 ,, 的并； An
由 A1 , A2 ,, An的一切公共元素所成的集合叫做
A1 , A2 ,, An 的交. A1 , A2 ,, An 的并和交分别记为：
诺特, 1882年3月23日生于德国埃尔朗根，1900年入埃朗 根大学，1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位。1916年 后，她开始由古典代数学向抽象代数学过渡。1920年，她已 引入「左模」、「右模」的概念。1921年写出的<<整环的理 想理论>>是交换代数发展的里程碑。建立了交换诺特环理论， 证明了准素分解定理。1926年发表<<代数数域及代数函数域 的理想理论的抽象构造>>，给戴德金环一个公理刻画，指出 素理想因子唯一分解定理的充分必要条件。诺特的这套理论也 就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论，一般认为抽 象代数形式的时间就是1926年，从此代数学研究对象从研究代 数方程根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素 的代数运算规律和各种代数结构，完成了古典代数到抽象代数 的本质的转变。诺特当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人 之一。
近世代数是在19世纪末至20世纪初发展起来的 数学分支。 1930年荷兰数学家范德瓦尔登（B.Lvan der Wearden 1930-1996） 根据该学科领域几位创始 人的演讲报告,综合了当时近世代数的研究成果, 编 著了《近世代数学》(Moderne Algebra）一书,这 是该学科领域第一本学术专著，也是第一本近世代 数的教科书。
近世代数理论的三个来源

域是近世代数中的一个基本概念，它是一个加法群和 一个乘法半群的组合，具有一些重要的性质。
详细描述
域是一个非空集合，其中定义了两种运算：加法和乘法 ，满足一定的性质。在域中，加法和乘法都是可逆的， 即每个元素都有唯一的加法逆元和乘法逆元。此外，域 中的乘法满足结合律，且每个元素都有乘法单位元。
子域与扩域
环论在几何学中的应用
环论也是近世代数的一个重要分支，它在几何学中也有着广泛的应用。例如，在代数几 何中，环论被用于描述多项式环的结构；在解析几何中，环论也被用于描述函数的性质。
数论中的应用
域论在数论中的应用
域论是近世代数中一个重要的分支，它在数论中有着广泛的应用。例如，在代数数论中，域论被用于描述代数数 的性质；在数论中，域论也被用于研究整数的性质和结构。
分式域与函数域
总结词
分式域和函数域是两种特殊的域，它们在数学和物理 中有广泛的应用。分式域是由其整环的分式组成的域 ，而函数域则是基于函数的定义域和值域形成的域。
详细描述
分式域是由一个整环的分式组成的域。整环是一个只含 有限除数的环，也就是说，如果一个元素在整环中不能 被其他元素整除，则该元素被称为不可约元素。分式环 是由整环中所有分式组成的集合，它构成一个域。函数 域是基于函数的定义域和值域形成的域。具体来说，给 定一个函数f和一个集合D，函数域是由集合D中所有可 能的函数值组成的集合，它也构成一个域。
交叉学科的研究
近世代数与其他学科的交叉研究也是未来的一个重要方向，如 代数几何、代数数论、计算机科学等学科的交叉研究，可以促
进近世代数的发展和应用。
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环论
环的定义和性质
要点一
总结词
环是具有加法和乘法两种运算的代数系统，满足一定的性 质。

近 世 代 数 课 堂 讲 义 整 理 V 1.2
但是 A ∪ B 不一定。 【定义】由包含 A 的所有子半群的交集 Q 称作由 A 生成的子半群，记作 ( A) 。
∩ (A) =
P 即 ( A) 为所有包含 A 的子半群的交。
P⊇A P为S的子半群
理想：
设 (S, ) 为半群， A ⊆ S, A ≠ ∅ ，若 SA ⊆ A ，则 A 为 S 的左理想；若 AS ⊆ A ，则 A 为 S
4.循环群的子群 ①循环群的子群是循环群； ②子群的个数及生成元：
子群的阶能整除群的阶，所以子群的个数为 n 的因子数。 设 G 是循环群，| G |= n ，它的子群为 H ，| H |= (am ) ，则 m | n 。
③若 n 有因子 q ，则 G 必有 q 阶子群；（这个结论对有限交换群（有限阿贝尔群）成立，对
同态（映射）。
【定理】 设 (S, ) 为半群， (T ,∗) 为代数系，若存在满射 ϕ : S → T ，且 ∀x, y ∈ S ，有 ϕ(x y) = ϕ(x) ∗ϕ( y) ，则 (T ,∗) 为半群。 若 (S, ) 为幺半群，条件同上，可以推出 (T ,∗) 为幺半群。
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3.生成元
第 5 页共 12 页近源自世 代 数 课 堂 讲 义 整 理 V 1.2
⑤ G = (a) ，| G |=| a |= n ，G = (am ) ⇒ m 、n 互质，这个群的生成元有φ(n) 个，其中φ(n) 为欧拉函数，为小于或等于 n 且与 n 互素的正整数个数； ⑥ G = (a) ，| G |=| a |= ∞ ，生成元只有 a 、 a−1 。
ϕ =ϕ γ
其中 γ 为 M 到 M Eϕ 的自然同态； ④ 如果ϕ 是满同态，则 M Eϕ 与 M ' 同构。

2012-9-19
定义3
设
则称

是集合A的代数运算，若 a , b A, 都 有 a b=b a.

满足交换律.
定理2 如果 A 的代数运算 同时满足 交换律和结合律，那么 a 1 a 2 a n 中的元的次序可以任意掉换.
2012-9-19
定义4
是一个B×A到A的代数运算,⊕是一个A
n 0

0不在N中，矛盾。
( N , ) 与 (N , ) 不同构.
2012-9-19
作业： 证明： （1） { N ,}与 { N ,} （2） { Z , }与 { Z ,} （3）
{Q , }与 {Q ,}


不同构（普通乘法）.
不同构.
（其中 Q
不同构. 为非零有理数集）.
都是整数中
通常的加法“+”，现作
: ( A , ) ( A , )其 中 ( n ) n , n A
，那么
2012-9-19
是同构映射.
定理5 如果 ( A , , ) 和( A , , ) 同构，那么 (1) 满足结合律 也满足结合律 ； (2) (3)
的代数运算.若 , ⊕对于B的任何b，A的任何
a 1 , a 2 ,都有
a (b c ) ( a b ) ( a c )
则说 , ⊕适合第一分配律. 类似地可定义第二分配律. 如果⊕适合结合律 , , ⊕适合第一分配律,则
b B , a1 , a 2 , a n A, 都 有 a ( b1 b 2 b n ) ( a b1 ) ( a b 2 ) ( a b n )

• 假如运算1和1‘来说，有一个A到A’的满射的同态映射存在，同态满射 • 同构映射 一一映射的同态映射就是一个同构映射 • 自同构
第8页/共27页
等价关系与等价类
• 集合的等价关系 。Ⅱ，
对称律:a～b＝>b～a Ⅲ，推移律：a～b，b～c=>a～c 同余关系
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除环、域
• 除环 1， R至少包含一个而不等于零的元
的每一个不等于零的元有一个逆元
2，R有单位元
3，R
• 域 一个交换除环叫做一个域
• 在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说的阶都一样的
• 一个无零因子的环里的非零元的相同的阶叫做环的特征
• 整环 除环 域 的特征或是无限大 或是一个素数
（b+c）a=ba+ca
第21页/共27页
交换律、单位元、零因子、整环
• 交换环 一个环 假如 ab=ba不管a b是环的哪两个元 • 单位元 ea=ae=a 一个环未必有单位元 • 零因子 若环里a≠0，b≠0但 ab=0 那么 a是左零因子 b 右零因子 • 整环 一个环叫做整环 如果 1.乘法适合交换律：ab=ba 2 .R有单位元1：1a=a1=a 3 R没有零因子ab=0=>a=0或b=0
合D的一个映射
像 逆象，
• 映射的相同 效果相同就行
第5页/共27页
代数运算
• 定义一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算 • 代数运算是一种特殊的映射 描写它的符号，也可以特殊一点，一个代数运算我们用。来
表示 • 二元运算 假如。是一个A×A到A的代数运算，我们说集合A是闭的 二元运算
换群 • 定理2 一个集合的所有一一变换做成一个变换群 • 定理3 任何一个群都同一个变换群同构 证明，假定G是一个群，G的元是a，b，c ·······我们在G里任意取出一个元x来，那么‫ג‬x：

8
第4讲 基本概念之与代数运算发生关系的映射 ——同态映射
1 同态映射 2 同态满射 3 同构映射 4 自同构映射 5 举例
9
第5讲 基本概念之等价关系与集合的分类 ——商集
1 商集 2 等价关系 3 集合的分类 4 集合A上的等价关系与 集合A的分类之间的联系
10
第三章 群
11
第1讲 代数系统
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第一章 绪 论
1
第1讲 绪 论
一 关于代数的观念 二 数学史的发展阶段 三 代数发展的阶段(数学发展史) 四 代数学发展的四个阶段 五 几类与近世代数的应用有关的实际
问题
2
第二章 基本概念
3
特权福利
特权说明
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集合与元素的相关概念
集合的相关概念
集合的运算及运算律
集合的补充及说明
6
第2讲 基本概念之集合及其之间的关系 —对应关系(映射)(人造关系)
1 映射概念回忆
2 映射及相关定义 3 映射的充要条件
4 映射举例
5 符号说明
6 映射的合成及相关结论
7 映射及其映射相等概念的推广
8 集合及其之间的关系——特殊

(1) 证明2: 设 |a| = r，则有
(b1ab)r (b1ab)(b1ab)...(b1ab)
r个
b1a rb b1eb e
可知b1ab的阶为有限. 令|b1ab| = t，从而有t | r.
另一方面，由 (b1ab)t=e可知
(b1ab)t = b1atb1 = e
at = e，从而有 r | t.
近世 代数
群论
主要内容:
群的定义与性质 有限群、子群 变换群 置换群 循环群 子群的陪集、正规子群与商群 群的同态基本定理
1/30
近世 代数
第3节 群的定义与性质
主要内容:
群的定义 群的基本性质 群的实例 群中的术语
2/30
近世 代数
群的三个等价定义
定义0 (1) 设(S, ∘)是一个代数系统，如果运算∘满足结合 律，则称(S, ∘)为一个半群. (2) 设(S, ∘)是半群，若e∈S是关于∘运算的单位元， 则称(S, ∘)是一个幺半群，也叫做独异点.
性质7 G为群，a∈G且 |a| = r. 设k是整数，则 (1) ak = e 当且仅当 r | k . (2 )|a1| = |a|.
证明： (2) 由 (a1)r = (ar)1 = e1 = e 可知 a1 的阶为有限. 令|a1| = t，从而有t | r. 同时，at = ((a-1)-1)t = (a-1)-t = ((a-1)t)-1 = e-1 = e ， 所以 r | t. 从而证明了r = t，即|a1| = |a| .
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近世 代数
例题
例5 设G是群，a, b∈G是有限阶元. 证明
(1) |b1ab| = |a|
(2) |ab| = |ba|

例
n
令（S,+,*）为环（R*R,+，*）的子环，其 中S={(a,a)|a属于R} +* 定义如下： （a,b)+(c,d) = (a+c,b+d) (a,b)*(c,d) = (a*c,b*d) 他们是否是同态的？？
定理13.3.2
设φ是从环R到环R的同态，则 （1）如果0与0分别为R与R的零元素，则φ(0) = 0。 （2）如果R与R分别由单位元素e和e，则φ(e) = e （3）∀a∈R, φ(-a) = -φ(a) （4）如果a∈R ，a有逆元素a-1，则φ(a-1) = (φ(a))-1 （5）如果S是R的一个子环，则φ(S)是R的子环 （6）如果S是R的子环，则φ-1(S)是R的子环
定义13.3.2
n
设(R,+,•)和(R,+,•)是两个环，如果存在一个 映射φ:RàR 使得∀a,b∈R 有 φ(a+b) =φ(a)+φ(b), φ(a•b) =φ(a) •φ(b), 则φ是从R到R的一个同态，而R与R称为是同 态的。如果同态φ还是满射，则称φ是 一个满同态，并且R与R称与是满同态，此 时记为R~R
定理13.3.4
n
体和域只有两个理想，他们零理想{0}及体 和域自身。
n
定义13.3.3
n
环R的子环N称为的左（右）理想子环，如 果∀r∈R有rN ⊆ N(Nr ⊆ N)。左（右）理想 子环简称为左（右）理想。如果N既是R的 左理想，也是R的右理想，则称N为R的理 想
例13.3.1
n
设N={2n|n属于Z}，则N是Z的一个子环。
例13.3.2
n
设a是可换环R的一个元素，R中一切形如 ra+na(r∈R,n ∈Z) 的元素构成了集合是R的一个理想子环，计 为(a)

运算的封闭性例子
l
例： A={x｜x=2n，n∈N}， 问<A，+>，<A， />运算封闭否？ 答： 2，4∈A，2+4∉A，∴<A，+>运算不封闭 2，4∈A，2/4∉A， ∴<A，/>运算不封闭
结合律的实例
例：<A，*>，若∀a，b∈A，有a*b=b 证明运算*满足结合律 证明： ∀a，b，c∈A， a*（b*c）=a*c=c ( a*b）*c=b*c=c ∴a*（b*c）=（a*b）*c ∴ *满足结合律 back
分配律
l
设（S,•, +）是具有两个二元代数运算和+的 代数系。如果∀ a,b,c∈S恒有 a• (b+c) = (a•b)+(a•c) 则称•对+满足左分配律。如果总有 (b+c) •a = (b•a)+(c•a) 则称•对+满足右分配律。实例
单位元
l
设（S, •）是一个代数系，如果存在一个元素 al∈S使得 ∀a∈S有 al • a = a, 则称al为乘法的左单位元素 如果存在一个元素ar∈S使得 ∀a∈S有 a • ar = a, 则称ar为乘法的右单位元素 l 如果存在一个元素e•S使得∀a∈S有 e•a = a•e = a 则称e为的单位元素。
l
交换律实例
l
例：设<有理数集，*>,*定义如下： a*b=a+b-ab ，问*满足交换律否？
证：∵∀a，b∈A， a*b=a+b-ab=b+a-ba=b*a ∴*满足交换律。 back
分配律实例
* α β α α β β β α △α β α α α β α β

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例1 用黑白两种颜色的珠子做成有5颗珠子的项链
利用枚举法，得到一共8种不同类型的项链。 随着n、m的增加，用枚举法解决越来越难， 采用群论方法解决是最简单、有效的方法。
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2.分子结构的计数问题 在化学中研究由某几种元素可合成多少种 不同物质的问题，由此可以指导人们在大自 然中寻找或人工合成这些物质。 例2 在一个苯环上结合H原子或CH3原子团， 问可能形成多少种不同的化合物？ 如果假定苯环上相邻C原子 之间的键是互相等价的，则 此问题就是两种颜色6颗珠 子的项链问题。
2019/1/20
数学上的确切描述
设由m颗珠子做成一个项链，可用一个正m边形 来代表它，它的每个顶点代表一颗珠子。
沿逆时针方向给珠子标号， 由于每一颗珠子的颜色有n种选 择，因而用乘法原理，这些有标 号的项链共有nm种。
但其中有一些可以通过旋转一个角 度或翻转180度使它们完全重合， 我们称为是本质相同的，我们要考 虑的是无论怎么旋转、翻转都不能 使它们重合的项链类型数。
2019/1/20
8. 代数方程根式求解问题 我们知道，任何一个一元二次代数方程 可用根式表示它的两个解。对于一元三次和 四次代数方程，古人们经过长期的努力也巧 妙地做到了这一点。于是人们自然要问：是 否任何次代数方程的根均可用根式表示？许 多努力都失败了，但这些努力促使了近世代 数的产生，并最终解决了这个问题：五次以 上代数方程没有根式解。
2019/1/20
f的定义域A×A×…×A中的元素个数为 2n，f在每个元素上的取值有两种可能，所以 n 2 全部开关函数的数目为2 ，这也就是n个开 关的开关线路的数目。 如果不考虑开关的标号，则若开关线路结 构完全相同，称这些开关线路是本质相同的 。要进一步解决本质上不同的开关线路的数目 问题，必须用群论的方法。