小船渡河问题解法研究

小船渡河模型一、模型建构1、小船渡河问题：小船运动时一个方向上的位移不变，求解最短运动时间和最小位移。

2、两类问题第一类：静水船速大于水流速度一条河宽度为L，水流速度为为v水, 已知船在静水中的航速v船，v 水＜v船,（1）渡河最短时间？（2）渡河最小位移？如图所示，沿河岸和垂直河岸建立坐标系船速在y轴方向：v y=v船sinθ,渡河所需的时间：t=L/v y=L/v船sinθ在L、v船一定时，t随sinθ增大而减小当θ=90时，sinθ=1,最大，即船头与河岸垂直时，渡河时间最短t min=L/v船船的合速度v的方向与河岸垂直时，渡河的最小位移即河的宽度L。

沿河岸方向的速度分量：v x=v船cosθv水＜v船时，v水=v x=v船cosθ即cosθ=v水/v船v合=v船sinθ垂直河岸，位移最小等于河宽L。

一、解题思路：1、沿河岸和垂直河岸建立坐标系2、比较船速沿河岸分速度与水速关系3、判断小船能否垂直渡河4、列方程求最小位移和渡河时间二、解题方法：运动的合成与分解三、解题关键点：1、合理分解速度2、确定渡河位移最小时船速的方向四、解题易错点1、渡河最短时间与水速和船速的大小关系无关2、静水船速小于水流速度时，最小第二类：静水船速小于水流速度一条河宽度为L，水流速度为为v水，已知船在静水中的航速v船，v 水>v船，渡河最小位移？如图所示，沿河岸和垂直河岸建立坐标系沿河岸方向的速度分量：v x=v船cosθv水＞v船时，v x始终小于v水即v合不会垂直河岸，不能垂直渡河以v水的矢尖为圆心,v船为半径画圆,当与圆相切时α角最大。

α角越大，船到下游的距离x越短。

此时sinα=v船/v水,船的最短航程为X min=L/sinα=Lv船/v水二、例题精析例题、河宽60m，水流速度v1＝2m/s，小船在静水中速度v2＝3m/s，则：（1）它渡河的最短时间是多少？（2）最短航程是多少？【解答】（1）、当静水速的方向与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间t＝＝＝20s；（2）、船在静水中的速度v2＝3m/s，大于水流速度v1＝2m/s，因此当船的合速度垂直河岸时，则渡河位移最小，即为河宽60m；三、针对训练1．甲、乙两船在同一河流中同时开始渡河，河水流速为v0，船在静水中的速率均为v，甲、乙两船船头均与河岸成θ角，如图所示，已知甲船恰能垂直到达河正对岸的A点，乙船到达河对岸的B点，A、B之间的距离为L，则下列判断正确的是（）A．甲乙船不可能同时到达对岸B．若仅是河水流速v0增大，则两船的渡河时间都变短C．不论河水流速v0如何改变，只要适当改变θ角甲船总能到达正对岸的A点D．若仅是河水流速v0增大，则两船到达对岸时，两船之间的距离仍然为L【解答】解：A、将小船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，抓住分运动和合运动具有等时性，知甲、乙两船到达对岸的时间相等。

小船过河问题分析与题解【问题概说】（1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。

（2）三种速度:船相对水的速度为v 船（即船在静水中的速度），水的流速为v 水（即水对地的速度），船的合速度为v (即船对地的速度,船的实际速度，其方向就是船的航向）. （3)三种情景：①过河时间最短:当船头垂直河岸，渡河时间最短，且渡河时间与水的流速无关。

②过河路径最短：在v 船〉v 水的条件下，当船的合速度垂直于河岸时,渡河位移(航程或路径）最小并等于河宽.在v 船〈v 水的条件下,当船头与船的合速度垂直时,渡河位移（航程或路径）最小。

此种情况下，合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。

最短航程确定如下：如图所示，以v 水矢量末端为圆心，以v 船矢量的大小为半径画弧，从v 水矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短。

（下图中v 1表船速,v 2表水速）③最小渡河速度:水速和航向一定，船速垂直航向有最小船速.【典型题例】两河岸平行，河宽d=100m,水流速度v 1=3m/s ，求：(1）船在静水中的速度是4m/s 时，欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？最短时间是多少?船的位移是多大？（2)船在静水中的速度是6m/s 时，欲使船航行距离最短，船应怎样渡河?渡河时间多长？ (3）船在静水中的速度为1.5m/s 时，欲使船渡河距离最短，船应怎样渡河？船的最小航程是多少？[思路分析］（1）当船头垂直于河岸时,渡河时间最短：t min =d/v 2=100/4=25s 合速度v=s m v v /543222221=+=+船的位移大小s=v t min =125m （2）欲使船航行距离最短,需船头向上游转过一定角度使合速度方向垂直于河岸,设船的开行速度v 2与岸成θ角,则cosθ=216321==v v ， 所以θ=600，合速度v=v 2sin600=3s m /3t=s v d 93100= v 1dv v 2v 1θvv 2（3）船在静水中速度小于水流的速度,船头垂直于合速度v 时，渡河位移最小, 设船头与河岸夹角为β，如图所示： cosβ=2135.112==v v 所以β=600 最小位移s min =m d 20060cos 100cos 0==β ［答案](1） 船头垂直于河岸时，渡河时间最短：t min =25s ，s =125m; (2) 船头向上游转过一定角度， 与岸成600角航程最短,t=s 93100; (3) 船头垂直于合速度,船头与河岸夹角600时航程最短，s min =m 200。

小船渡河问题分析及模型求解方法总结小船渡河问题是一种经典的约束规划问题，它可以应用在工程实践中，最近几年受到了广泛的关注。

它的本质是将一组人、物从一岸渡到另一岸，要求每条船上的人和物的数量不能超过船的最大载重量，同时保证每个人和物都安全地渡河。

此外，小船渡河问题还要求尽可能地减少渡河次数（使用最少的船来渡河）。

小船渡河问题可以用代数式描述为：在一条河上有n 个人和物，分别用变量 Xi (i=1,2,…,n)表示；n个人和物要渡河，每条小船的最大载重量为C，小船的装载过程有以下几个约束：(1)t每条船上的人数和物品数S必须小于C，即S≤C(2)t每个人和物都必须在一次渡河中安全渡河，即∑Xi≤C(3)t每个人和物都必须通过渡河，即Xi≥1 (i=1,2,…,n)另外，问题还要求尽可能地减少渡河次数，即最小化Z=∑Xi(i=1,2,…,n)对于小船渡河问题，模型求解可以采用禁忌搜索法、遗传算法、人工神经网络、动态规划、贝叶斯网络等多种方法进行求解。

禁忌搜索法是一种模拟退火算法，具有搜索范围大、解空间大、可以接受较差解等优点，是一种非常有效的求解小船渡河问题的方法。

它根据小船渡河问题的特点，采用选择最优方案的操作，让解在解空间内搜索，人工调整算子以达到解的可控性。

此外，禁忌搜索法还可以设置“禁忌表”来限制未来的搜索，从而更好地改进搜索效率。

遗传算法是一种基于自然进化的模拟算法，可以用来求解小船渡河问题，它将解的搜索用种群的行为模拟，具有全局搜索的能力，能够有效的利用历史信息，可以得到比较满意的解，但局限在算法的参数调整，这使得实际应用中还存在改进的空间。

人工神经网络是一种机器学习技术，可以用来求解小船渡河问题，它是由输入、隐藏和输出三层组成，输入层使用小船渡河数据，每个神经元代表一条小船；隐藏层以及输出层使用激活函数，用来检测小船数量，以及小船上的总人和物数量。

通过训练可以获得一个局部最优的解，它比较适用于小规模的小船渡河问题，但对于大规模问题，效果可能不太好。

小船渡河的问题在高中物理教学中，往往遇到小船在水有一定流速的河中渡河的问题。

这类问题一般有小船渡河的时间最小，位移最小，速度最小三种情况：问题一：小船如何渡河时间最小，最小时间为多少？分析及解答：设河宽为d，小船在静水中的速度为V船，水流速度为V水，如图1中的甲。

将船对水的速度沿平行河岸方向和垂直河岸方向正交分解。

沿平行河岸方向的速度不影响渡河的快慢，小船渡过河时时间与垂直河岸方向的速度有关，当小船垂直河岸渡过河时时间最小，即最小时间为t min=d/V船。

[例题1]：河宽60m,小船在静水中的速度为4m/s,水流速度为3m/s。

求小船渡河的最小时间是多少，小船实际渡河的位移为多大？分析及解答：如图1中的乙，当小船垂直河岸渡过河时时间最小，即最小时间为t min=d/V船。

∴t min=d/V船=60/4=15(s)。

小船实际渡河的位移S AB=V合t min=5*15=75(m).问题二：小船如何渡河到达对岸的位移最小，最小位移是多少？分析及解答：在小船渡河过程中，将船对水的速度沿平行河岸方向和垂直河岸方向正交分解，如图2中的甲。

当小船沿平行河岸方向的分速度与水速大小相等，方向相反时，即V1=V水，小船的合速度（V2）就沿垂直河岸方向，这时渡河到达对岸的位移最小，S min=d。

而渡河时间t=d/V2=d/Vsinθ。

[例题2]：河宽60m,小船在静水中的速度为5m/s,水流速度为3m/s。

求小船渡河的最小位移是多少，小船实际渡河的时间为多大？分析及解答：如图2 中的乙，当小船沿平行河岸方向的分速度V1=V水，小船要垂直河岸方向渡河，这时渡河到达对岸的位移最小，Smin=d=60(m)。

而V船与河岸的夹角θ=arc cos(V船/V水)=530。

这时小船实际渡河的时间t=d/V2=d/V船sinθ=60/4=15(s).问题三：小船如何渡河速度最小，最小速度为多少？分析及解答：将小船渡河运动看作水流的运动（水冲船的运动）和小船相对静水的运动（设水流不流动时船的运动）的合运动。

《小船渡河与关联速度问题》解题技巧一、小船渡河问题1.运动分析小船渡河时，同时参与了两个分运动：一个是船相对水的运动(即船在静水中的运动)，一个是船随水漂流的运动.2.两类常见问题(1)渡河时间问题①渡河时间t取决于河岸的宽度d及船沿垂直河岸方向上的速度大小，即t＝dv⊥.②若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可，如图1所示，此时t＝dv船.图1(2)最短位移问题①若v水<v船，最短的位移为河宽d，船头与上游河岸夹角满足v船cos θ＝v 水，如图2甲所示.图2②若v水>v船，如图乙所示，从出发点A开始作矢量v水，再以v水末端为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线即为船位移最小时的合运动的方向.这时船头与河岸夹角θ满足cos θ＝v船v水，最短位移x短＝dcos θ.(多选)如图3所示为长江一段平行江道，一轮船的船头始终垂直指向江岸方向，轮船在静水中运动的速度保持不变，水匀速流动(假设整个江道水流速度相同)，下列说法正确的是( )图3A.水流速度越大，轮船行驶位移越大B.水流速度增大，轮船行驶位移不变C.水流速度越大，过江时间越短D.水流速度增大，过江时间不变答案AD解析因为船垂直于江岸方向的速度不变，而水流方向是垂直于这个方向的，在这个方向上没有分速度，设江道宽为d，船垂直于江岸的速度为v，t＝d v ，所以不论水速多大，船过江时间不变，故C错误，D正确.若水速越大，相同时间内沿水速方向的位移就越大，船在水中运动的总位移也就越大，故B错误，A 正确.已知某船在静水中的速度为v1＝5 m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d＝100 m，水流速度为v2＝3 m/s，方向与河岸平行，(1)欲使船以最短时间渡河，渡河所用时间是多少？位移的大小是多少；(2)欲使船以最小位移渡河，渡河所用时间是多少？(3)若水流速度为v2′＝6 m/s，船在静水中的速度为v1＝5 m/s不变，船能否垂直河岸渡河？答案(1)20 s 2034 m (2)25 s (3)不能解析(1)由题意知，当船在垂直于河岸方向上的分速度最大时，渡河所用时间最短，河水流速平行于河岸，不影响渡河时间，所以当船头垂直于河岸渡河时，所用时间最短，最短时间为t＝dv1＝1005s＝20 s.如图甲所示，当船到达对岸时，船沿平行于河岸方向也发生了位移，由几何知识可得，船的位移为l＝d2＋x2，由题意可得x＝v2t＝3×20 m＝60 m，代入得l＝2034 m.(2)当船的实际速度方向垂直于河岸时，船的位移最小，因船在静水中的速度为v1＝5 m/s，大于水流速度v2＝3 m/s，故可以使船的实际速度方向垂直于河岸.如图乙所示，设船斜指向上游河对岸，且与河岸所成夹角为θ，则有v1cos θ＝v2，cos θ＝v2v1＝0.6，则sin θ＝1－cos2θ＝0.8，船的实际速度v＝v1sinθ＝5×0.8 m/s＝4 m/s，所用的时间为t＝dv＝1004s＝25 s.(3)当水流速度v2′＝6 m/s时，则水流速度大于船在静水中的速度v1＝5 m/s，不论v1方向如何，其合速度方向总是偏向下游，故不能垂直河岸渡河.1.要使船垂直于河岸横渡，即路程最短，应使v船在水流方向的分速度和水流速度等大、反向，这种情况只适用于v船>v水时.2.要使船渡河时间最短，船头应垂直指向河对岸，即v船与水流方向垂直.3.要区别船速v船及船的合运动速度v合，前者是发动机(或划行)产生的分速度，后者是合速度.针对训练1 一艘船的船头始终正对河岸方向行驶，如图4所示.已知船在静水中行驶的速度为v1，水流速度为v2，河宽为d.则下列判断正确的是( )图4A.船渡河时间为d v 2B.船渡河时间为dv21＋v22C.船渡河过程被冲到下游的距离为v2v1·dD.船渡河过程被冲到下游的距离为v2v21＋v22·d答案 C解析小船正对河岸运动，渡河时间最短，t＝dv1，沿河岸运动的位移s2＝v 2t＝v2v1·d，故A、B、D错误，C正确.二、关联速度问题关联速度分解问题是指物体拉绳(杆)或绳(杆)拉物体的问题(下面为了方便，统一说“绳”)：(1)物体的实际速度一定是合速度，分解时两个分速度方向应取沿绳方向和垂直绳方向.(2)由于绳不可伸长，一根绳两端物体沿绳方向的速度分量大小相等.(3)常见的速度分解模型(如图5)图5(多选)如图6所示，人在岸上用跨过定滑轮的绳子拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为F f，当轻绳与水面的夹角为θ时，船的速度为v，人的拉力大小为F ，则此时( )图6A.人拉绳行走的速度大小为v cos θB.人拉绳行走的速度大小为v cos θC.船的加速度大小为F cos θ－F fm D.船的加速度大小为F －F fm答案 AC解析 船的运动产生了两个效果：一是使滑轮与船间的绳缩短，二是使滑轮与船间的绳偏转，因此将船的速度按如图所示(沿绳方向与垂直于绳方向)方式进行分解，人拉绳行走的速度大小v 人＝v ∥＝v cos θ，选项A 正确，B 错误；绳对船的拉力大小等于人拉绳的力的大小，即绳的拉力大小为F ，与水平方向成θ角，因此F cos θ－F f ＝ma ，解得a ＝F cos θ－F fm，选项C 正确，D 错误.针对训练2 如图7所示，物体A 套在竖直杆上，经细绳通过定滑轮拉动物体B 在水平面上运动，开始时A 、B 间的细绳呈水平状态，现由计算机控制物体A 的运动，使其恰好以速度v 沿杆匀速下滑(B 始终未与滑轮相碰)，则( )图7A.绳与杆的夹角为α时，B的速率为v sin αB.绳与杆的夹角为α时，B的速率为v cos αC.物体B也做匀速直线运动D.物体B做匀加速直线运动答案 B解析如图所示，将A物体的速度按图示两个方向分解，绳子速率v绳＝v∥＝v cos α；而绳子速率等于物体B的速率，则物体B的速率v B＝v绳＝v cos α，故A错误，B正确；因物体A向下运动的过程中α减小，则cos α增大，v B增大，B物体加速运动，但不是匀加速运动，故C、D错误.【课堂同步练习】1.(小船渡河模型)(多选)下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线.则其中可能正确的是( )答案AB解析小船渡河的运动可看成水流的运动和小船运动的合运动.虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线，即合速度的方向，小船合运动的速度方向就是其实际运动的方向，分析可知，实际航线可能正确的是A、B.2.(小船渡河模型)(多选)河水的流速与某河岸的距离的变化关系如图8甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示.若要使船以最短时间渡河，下列说法正确的是( )图8A.船渡河的最短时间为100 sB.船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直C.船在河中航行的轨迹是一条直线D.船在河水中的最大速度为7 m/s答案AB解析由运动的独立性可知，垂直河岸方向速度越大，渡河时间越短，即船头始终与河岸垂直，航行时所用时间最短，t min＝dv船＝100 s，选项A、B正确；由题图甲可知，水流速度在变化，船的合速度大小及方向均会随位置发生变化，因此轨迹不是直线，选项C错误；船在静水中的速度与水流速度方向垂直，水流速度最大值为4 m/s，则船在河水中的最大速度为5 m/s，选项D错误.3.(关联速度模型)(多选)如图9所示，一人以恒定速度v0通过光滑轻质定滑轮竖直向下拉绳使小车在水平面上运动，当运动到绳与水平方向成45°角时( )图9A.小车运动的速度为1 2 vB.小车运动的速度为2v0C.小车在水平面上做加速运动D.小车在水平面上做减速运动答案BC解析将小车速度沿绳方向与垂直绳方向进行分解，如图所示人拉绳的速度与小车沿绳方向的分速度大小是相等的，根据三角函数关系v cos 45°＝v0，则v＝vcos 45°＝2v0，B正确，A错误；随着小车向左运动，绳与水平方向的夹角越来越大，设夹角为α，由v＝vcos α知，v越来越大，则小车在水平面上做加速运动，C正确，D错误.4.(关联速度模型)如图10所示，有人在河面上方20 m的岸上用跨过定滑轮的长绳拴住一条小船，开始时绳与水面的夹角为30°.人以恒定的速率v＝3 m/s 拉绳，使小船靠岸，那么( )图10A.5 s时绳与水面的夹角为60°B.5 s时小船前进了15 mC.5 s时小船的速率为5 m/sD.5 s时小船到岸边距离为10 m答案 C解析 5 s 内人前进的距离s ＝vt ＝3×5 m＝15 m ，滑轮至船的距离l ′＝hsin 30°－15 m ＝25 m ，设5 s 时拉船的绳与水平方向夹角为θ，则sin θ＝2025＝45，由此可知，θ＝53°，cos θ＝v v 船，故v 船＝5 m/s ，小船到岸边的距离s ′＝20tan 37° m＝15 m ，则5 s 时小船前进的距离为s 1＝h tan 30°－s ′＝(203－15) m ，故A 、B 、D 错误，C 正确.【课后强化训练】 一、选择题题型一 小船渡河模型1.小船船头指向对岸，以相对于静水的恒定速率向对岸划去，当水流匀速时，它渡河的时间、发生的位移与水速的关系是( )A.水速小时，位移小，时间也短B.水速大时，位移大，时间也长C.水速大时，位移大，但时间不变D.位移、时间大小与水速大小无关 答案 C解析 小船渡河时参与了顺水漂流和垂直河岸横渡两个分运动，由运动的独立性和等时性知，小船的渡河时间决定于垂直河岸的分运动，等于河的宽度与垂直河岸的分速度之比，由于船以一定速率垂直河岸向对岸划去，故渡河时间一定.水速大，水流方向的分位移就大，合位移也就大，反之则合位移小.2.(多选)在河道宽度为d 的河中，水流速度为v 2，船在静水中速度为v 1(且v 1＞v 2)，方向可以选择，现让该船开始渡河，则该船( )A.可能的最短渡河时间为dv 2B.可能的最短渡河位移为dC.只有当船头垂直河岸渡河时，渡河时间才和水流速度无关D.不管船头与河岸夹角是多少，渡河时间和水流速度均无关答案BD解析当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，为dv1，故A错误；当合速度与河岸垂直时，渡河位移最小为d，故B正确；将船的实际运动沿垂直水流方向和水流方向分解，由于各个分运动互不影响，因而渡河时间等于沿船头方向的分运动时间，为t＝x1v1(x1为沿船头指向的分位移)，显然与水流速度无关，故C错误，D正确.3.在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d，若战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为( )A.dv2v22－v21B.0C.dv1v2D.dv2v1答案 C解析摩托艇登陆的最短时间t＝dv2，登陆点到O点的距离s＝v1t＝dv1v2，故选C.4.一只小船在静水中的速度为v1＝5 m/s，它要渡过一条宽为d＝50 m的河，河水流速为v2＝4 m/s，则( )A.这只船过河位移不可能为50 mB.这只船过河时间不可能为10 sC.若河水流速改变，船过河的最短时间一定不变D.若河水流速改变，船过河的最短位移一定不变答案 C解析当船头垂直指向河岸航行时，渡河时间最短，t min＝dv1＝505s＝10 s，B错误；由于船在静水中的速度大于河水流速，船的实际航向可以垂直河岸，即过河最短位移为s＝d＝50 m，A错误；根据运动的独立性，渡河最短时间为10 s，与水速无关，C正确；若河水流速大于船在静水中的速度，则船过河最短位移大小大于河宽，D错误.5.某人划小船横渡一条两岸平行的河流，船在静水中的速度大小不变，船头方向始终垂直于河岸，水流速度与河岸平行，已知小船的运动轨迹如图1所示，则( )图1A.各处水流速度大小都一样B.离两岸越近水流速度越小C.离两岸越近水流速度越大D.无论水流速度是否变化，这种渡河方式耗时最长答案 B解析从轨迹曲线的弯曲形状上可以知道，小船先具有指向下游的加速度，后具有指向上游的加速度，故加速度是变化的，水流是先加速后减速，即越接近河岸水流速度越小，故A、C错误，B正确；根据运动的独立性，船身方向垂直于河岸，这种渡河方式耗时最短，故D错误.6.(多选)如图2，河水由西向东流，河宽为800 m，河中各点的水流速度大小为v水，各点到较近河岸的距离为x，v水与x的关系为v水＝3400x(m/s)，让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船在静水中的速度大小恒为v船＝4 m/s，下列说法正确的是( )图2A.小船渡河的轨迹为直线B.小船在河水中的最大速度是5 m/sC.小船渡河的时间是200 sD.小船在距南岸200 m处的速度小于距北岸200 m处的速度答案BC解析小船在垂直河岸方向上做匀速直线运动，在沿河岸方向上做变速运动，合加速度的方向与合速度方向不在同一条直线上，做曲线运动，选项A错误；当小船行驶到河中央时水流速度最大，v水＝3400×400 m/s＝3 m/s，那么小船在河水中的最大速度v max＝32＋42 m/s＝5 m/s，选项B正确；小船船头垂直河岸由南向北渡河，那么小船渡河的时间是t＝dv船＝8004s＝200 s，选项C正确；在距南岸200 m处的河水速度大小与距北岸200 m处的河水速度大小相等，根据矢量的合成法则，则两种情况下小船的合速度大小相等，选项D错误.7.如图3所示为一条河流，河水流速为v，一只船从A点先后两次渡河到对岸，船在静水中行驶的速度为v静，第一次船头向着AB方向行驶，渡河时间为t1，船的位移为s1；第二次船头向着AC方向行驶，渡河时间为t2，船的位移为s2，若AB、AC与河岸垂线方向的夹角相等，则( )图3A.t1＞t2，s1＜s2B.t1＜t2，s1＞s2C.t1＝t2，s1＜s2D.t1＝t2，s1＞s2答案 D解析因为AB、AC与河岸的垂线方向的夹角相等，则在垂直于河岸方向上的分速度相等，渡河时间t＝du⊥，所以两次渡河时间相等.设AB、AC与河岸夹角为θ，船头向着AB方向时，沿河岸方向的分速度v1＝v静cos θ＋v，船头向着AC方向行驶时，沿河岸方向的分速度v2＝|v－v静cos θ|＜v1，水平方向上的位移x1＞x2，根据平行四边形定则，s1＞s2，故D正确，A、B、C错误.8.如图4所示，一条小船位于200 m宽的河中央A点处，离A点距离为100 3 m的下游处有一危险的急流区，当时水流速度为4 m/s，为使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静止水中的速度至少为( )图4A.433m/s B.833m/sC.2 m/sD.4 m/s答案 C解析小船刚好避开危险区域时，小船合运动方向与水流方向的夹角设为θ，则tan θ＝1001003＝33，则θ＝30°，当船头垂直合运动方向渡河时，小船在静水中的速度最小，在静水中的最小速度v min＝v水sin 30°＝2 m/s，C正确.题型二关联速度模型9.人用绳子通过光滑轻质定滑轮拉物体A，A穿在光滑的竖直杆上，当以速度v0匀速地拉绳使物体A到达如图5所示位置时，绳与竖直杆的夹角为θ，则物体A实际运动的速度大小是( )图5A.v0sin θB.vsin θC.v0cos θD.vcos θ答案 D解析由运动的合成与分解可知，物体A参与两个分运动：一个是沿着与它相连接的绳子的运动，另一个是垂直于绳子斜向上的运动.而物体A的实际运动轨迹是沿着竖直杆向上的，这一轨迹所对应的运动就是物体A的合运动，它们之间的关系如图所示.由几何关系可得v＝vcos θ，所以D正确.10.如图6所示，某人用绳通过定滑轮拉小船，设人匀速拉绳的速度为v0，小船水平向左运动，绳某时刻与水平方向夹角为α，则小船的运动性质及此时刻小船的速度v x为( )图6A.小船做变加速运动，v x＝v0 cos αB.小船做变加速运动，v x＝v0cos αC.小船做匀速直线运动，v x＝v 0cos αD.小船做匀速直线运动，v x＝v0cos α答案 A11.如图7所示，汽车用跨过定滑轮的轻绳提升物块.汽车匀速向右运动，在物块到达滑轮之前，下列说法正确的是( )图7A.物块将竖直向上做匀速运动B.物块将处于超重状态C.物块将处于失重状态D.物块将竖直向上先加速后减速答案 B解析设汽车向右运动的速度为v，绳子与水平方向的夹角为α，物块上升的速度为v′，则v cos α＝v′，汽车匀速向右运动，α减小，v′增大，物块加速上升，A、D错误；物块的加速度向上，处于超重状态，B正确，C错误.12.如图8所示，人用轻绳通过定滑轮拉穿在光滑竖直杆上的物块A，人以速度v0向左匀速拉绳，某一时刻，绳与竖直杆的夹角为θ，与水平面的夹角为α，此时物块A的速度v1为( )图8A.v1＝v0sin αcos θB.v1＝vsin αsin θC.v1＝v0cos αcos θD.v1＝vcos αcos θ答案 D解析人和A沿绳方向的分速度相等可得v0cos α＝v1cos θ所以v1＝vcos αcos θ.13.如图9所示，一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙和水平地面滑动.当AB 杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大小为v2，则v1、v2的关系是( )图9A.v1＝v2B.v1＝v2cos θC.v1＝v2tan θD.v1＝v2sin θ答案 C解析将A端的速度沿杆方向和垂直于杆的方向分解，沿杆方向的分速度为v1∥＝v1cos θ，将B端的速度沿杆方向和垂直于杆方向分解，沿杆方向的分速度v2∥＝v2sin θ.由于v1∥＝v2∥.所以v1＝v2tan θ，故C正确，A、B、D错误.二、非选择题14.如图10所示，河宽d＝120 m，设小船在静水中的速度为v1，河水的流速为v2.小船从A点出发，若船头指向河对岸上游的B点，经过10 min，小船恰好到达河正对岸的C点；若船头指向河正对岸的C点，经过8 min，小船到达C 点下游的D点.求：图10(1)小船在静水中的速度v1的大小；(2)河水的流速v2的大小；(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离s CD.答案(1)0.25 m/s (2)0.15 m/s (3)72 m解析(1)小船从A点出发，若船头指向河正对岸的C点，则此时v1方向的位移为d，故有v1＝dtmin＝12060×8m/s＝0.25 m/s.(2)设AB与河岸上游成α角，由题意可知，此时恰好到达河正对岸的C点，故v1沿河岸方向的分速度大小恰好等于河水的流速v2的大小，即v2＝v1cos α，此时渡河时间为t＝dv1sin α，所以sin α＝dv1t＝0.8，故v2＝v1cos α＝0.15 m/s.(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离为s CD＝v2t min＝72 m.15.一辆车通过一根跨过光滑轻质定滑轮的轻绳提升一个质量为m的重物，开始车在滑轮的正下方，绳子的端点离滑轮的距离是H.车由静止开始向左做匀加速直线运动，经过时间t绳子与水平方向的夹角为θ，如图11所示.试求：图11(1)车向左运动的加速度的大小；(2)重物m在t时刻速度的大小.答案(1)2Ht2tan θ(2)2H cos θt tan θ解析(1)车在时间t内向左运动的位移：x＝Htan θ，由车做匀加速直线运动，得：x＝12at2，解得：a＝2xt2＝2Ht2tan θ.(2)t时刻车的速度：v车＝at＝2Ht tan θ，由运动的分解知识可知，车的速度v车沿绳的分速度大小与重物m的速度大小相等，即：v物＝v车cos θ，解得：v物＝2H cos θt tan θ.。

小船过河问题轮船渡河问题：（1）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。

1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间sin1船d dt，显然，当90时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小为vd ，合运动沿v 的方向进行。

2．位移最小若水船结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为船水cos若水船v v ，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示，设船头v 船与河岸成θ角。

合速度v 与河岸成α角。

可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大，根据水船v v cos船头与河岸的夹角应为v水θv αABEv船v 水v船θvV水v 船θv 2v 1水船v v arccos，船沿河漂下的最短距离为：sin)cos (min 船船水v dv v x 此时渡河的最短位移：船水v dv d scos【例题】河宽d ＝60m ，水流速度v 1＝6m ／s ，小船在静水中的速度v 2=3m ／s ，问：(1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少? (2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少?★解析： (1)要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间ss dt2030602(2)渡河航程最短有两种情况：①船速v 2大于水流速度v 1时，即v 2>v 1时，合速度v 与河岸垂直时，最短航程就是河宽；②船速v 2小于水流速度v l 时，即v 2<v 1时，合速度v 不可能与河岸垂直，只有当合速度v方向越接近垂直河岸方向，航程越短。

小船过河问题轮船渡河问题：（1）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。

1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间θυυsin 1船ddt ==，显然，当︒=90θ时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小为vd，合运动沿v 的方向进行。

2．位移最小 若水船υυ>结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为船水υυθ=cos 若水船v v <，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示，v 2设船头v 船与河岸成θ角。

合速度v 与河岸成α角。

可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v 与圆相切时，α角最大，根据水船v v =θcos 船头与河岸的夹角应为水船v v arccos=θ，船沿河漂下的最短距离为：此时渡河的最短位移：船水v dv ds ==θcos 【例题】河宽d ＝60m ，水流速度v 1＝6m ／s ，小船在静水中的速度v 2=3m ／s ，问：(1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少? (2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少? ★解析： (1)要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间(2)渡河航程最短有两种情况：①船速v 2大于水流速度v 1时，即v 2>v 1时，合速度v 与河岸垂直时，最短航程就是河宽；②船速v 2小于水流速度v l 时，即v 2<v 1时，合速度v 不可能与河岸垂直，只有当合速度v 方向越接近垂直河岸方向，航程越短。

可由几何方法求得，即以v 1的末端为圆心，以v 2的长度为半径作圆，从v 1的始端作此圆的切线，该切线方向即为最短航程的方向，如图所示。

小船过河问题分析与题解【问题概说】（1）船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。

（2）三种速度 :船相对水的速度为 v 船（即船在静水中的速度） ，水的流速为 v水（即水对地的速度），船的合速度为 v （即船对地的速度，船的实际速度，其方向就是船的航向） 。

（3）三种情景：①过河时间最短 :当船头垂直河岸，渡河时间最短，且渡河时间与水的流速无关。

②过河路径最短：在 v 船>v水的条件下，当船的合速度垂直于河岸时，渡河位移（航程或路径）最小并等于河宽。

在 v 船<v水的条件下，当船头与船的合速度垂直时，渡河位移（航程或路径）最小。

此种情况下，合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。

最短航程确定如下 :如图所示，以 v 水矢量末端为圆心，以 v 船矢量的大小为半径画弧，从v水矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短。

（下图中 v 1 表船速， v 2 表水速）③最小渡河速度：水速和航向一定，船速垂直航向有最小船速。

【典型题例】两河岸平行， 河宽 d=100m ，水流速度 v 1=3m/s ，求：（1）船在静水中的速度是 4m/s 时， 欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？最短时间是多少？船的位移是多大？（2）船在静水中的速度是 6m/s 时， 欲使船航行距离最短， 船应怎样渡河？渡河时间多长？ （3）船在静水中的速度为 1.5m/s 时，欲使船渡河距离最短，船应怎样渡河？船的最小航程是多少？[思路分析 ]（1）当船头垂直于河岸时，渡河时间最短：t min =d/v 2=100/4=25sv 2v d2222合速度 v= vv3 4 5m / s12v 1船的位移大小 s=v t min =125m（2）欲使船航行距离最短，需船头向上游转过一定角度使合速度方向垂直于河岸，设船的v3 61开行速度 v 2 与岸成 θ角，则 cos θ=v2所以 θ=60 0，合速度 v=v0=31 2，v 2θv3m /s0，合速度v=v 0=3 3m /s2sin60v1d 100 3t= sv 91（3）船在静水中速度小于水流的速度，船头垂直于合速度v 时，渡河位移最小，设船头与河岸夹角为β，如图所示：v21 cos β=v 1.5312所以β=60 v2 vd 100最小位移s min= 200mcos cos 60βv1[答案](1) 船头垂直于河岸时，渡河时间最短：t min=25s ，s =125m；100 30 角航程最短，t= s(2) 船头向上游转过一定角度, 与岸成609；0 时航程最短，s(3) 船头垂直于合速度,船头与河岸夹角60min= 200m 。