小船渡河问题的研究(好用)

小船渡河问题分析及模型求解方法总结小船渡河问题是一种经典的约束规划问题，它可以应用在工程实践中，最近几年受到了广泛的关注。

它的本质是将一组人、物从一岸渡到另一岸，要求每条船上的人和物的数量不能超过船的最大载重量，同时保证每个人和物都安全地渡河。

此外，小船渡河问题还要求尽可能地减少渡河次数（使用最少的船来渡河）。

小船渡河问题可以用代数式描述为：在一条河上有n 个人和物，分别用变量 Xi (i=1,2,…,n)表示；n个人和物要渡河，每条小船的最大载重量为C，小船的装载过程有以下几个约束：(1)t每条船上的人数和物品数S必须小于C，即S≤C(2)t每个人和物都必须在一次渡河中安全渡河，即∑Xi≤C(3)t每个人和物都必须通过渡河，即Xi≥1 (i=1,2,…,n)另外，问题还要求尽可能地减少渡河次数，即最小化Z=∑Xi(i=1,2,…,n)对于小船渡河问题，模型求解可以采用禁忌搜索法、遗传算法、人工神经网络、动态规划、贝叶斯网络等多种方法进行求解。

禁忌搜索法是一种模拟退火算法，具有搜索范围大、解空间大、可以接受较差解等优点，是一种非常有效的求解小船渡河问题的方法。

它根据小船渡河问题的特点，采用选择最优方案的操作，让解在解空间内搜索，人工调整算子以达到解的可控性。

此外，禁忌搜索法还可以设置“禁忌表”来限制未来的搜索，从而更好地改进搜索效率。

遗传算法是一种基于自然进化的模拟算法，可以用来求解小船渡河问题，它将解的搜索用种群的行为模拟，具有全局搜索的能力，能够有效的利用历史信息，可以得到比较满意的解，但局限在算法的参数调整，这使得实际应用中还存在改进的空间。

人工神经网络是一种机器学习技术，可以用来求解小船渡河问题，它是由输入、隐藏和输出三层组成，输入层使用小船渡河数据，每个神经元代表一条小船；隐藏层以及输出层使用激活函数，用来检测小船数量，以及小船上的总人和物数量。

通过训练可以获得一个局部最优的解，它比较适用于小规模的小船渡河问题，但对于大规模问题，效果可能不太好。

小船过河问题轮船渡河问题：（1）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。

1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间sin1船d dt，显然，当90时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小为vd ，合运动沿v 的方向进行。

2．位移最小若水船结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为船水cos若水船v v ，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示，设船头v 船与河岸成θ角。

合速度v 与河岸成α角。

可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大，根据水船v v cos船头与河岸的夹角应为v水θv αABEv船v 水v船θvV水v 船θv 2v 1水船v v arccos，船沿河漂下的最短距离为：sin)cos (min 船船水v dv v x 此时渡河的最短位移：船水v dv d scos【例题】河宽d ＝60m ，水流速度v 1＝6m ／s ，小船在静水中的速度v 2=3m ／s ，问：(1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少? (2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少?★解析： (1)要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间ss dt2030602(2)渡河航程最短有两种情况：①船速v 2大于水流速度v 1时，即v 2>v 1时，合速度v 与河岸垂直时，最短航程就是河宽；②船速v 2小于水流速度v l 时，即v 2<v 1时，合速度v 不可能与河岸垂直，只有当合速度v方向越接近垂直河岸方向，航程越短。

曲线运动习题课一、船过河模型1、处理方法:小船在有一定流速的水中过河时,实际上参与了两个方向的分运动,即随水流的运动(水冲船的运动)与船相对水的运动,即在静水中的船的运动(就就是船头指向的方向),船的实际运动就是合运动。

2、若小船要垂直于河岸过河,过河路径最短,应将船头偏向上游,如图甲所示,此时过河时间:3、若使小船过河的时间最短,应使船头正对河岸行驶,如图乙所示,此时过河时间(d为河宽)。

因为在垂直于河岸方向上,位移就是一定的,船头按这样的方向,在垂直于河岸方向上的速度最大。

二、绳端问题(绳子末端速度分解)绳子末端运动速度的分解,按运动的实际效果进行可以方便我们的研究。

例如在右图中,用绳子通过定滑轮拉物体船,当以速度v匀速拉绳子时,求船的速度。

解析:船的运动(即绳的末端的运动)可瞧作两个分运动的合成:a)沿绳的方向被牵引,绳长缩短,绳长缩短的速度等于左端绳子伸长的速度。

即为v;b)垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动,它不改变绳长。

这样就可以求得船的速度为, 当船向左移动,α将逐渐变大,船速逐渐变大。

虽然匀速拉绳子,但物体A却在做变速运动。

绳子末端速度的分解问题,就是本章的一个难点,同学们在分解时,往往搞不清哪一个就是合速度,哪一个就是分速度。

以至解题失败。

下面结合例题讨论一下。

例1、如图1所示,在河岸上利用定滑轮拉绳索使小船靠岸,拉绳速度大小为v1,当船头的绳索与水平面夹角为θ时,船的速度多大？解析我们所研究的运动合成问题,都就是同一物体同时参与的两个分运动的合成问题,而物体相对于给定参照物(一般为地面)的实际运动就是合运动,实际运动的方向就就是合运动的方向。

本例中,船的实际运动就是水平运动,它产生的实际效果可以A点为例说明:一就是A点沿绳的收缩方向的运动,二就是A点绕O 点沿顺时针方向的转动,所以,船的实际速度v可分解为船沿绳方向的速度v1与垂直于绳的速度v2,如图1所示。

由图可知:v＝v1/cosθ点评不论就是力的分解还就是速度的分解,都要按照它的实际效果进行。

小船过河问题分析与题解【问题概说】（1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动. （2)三种速度:船相对水的速度为v 船（即船在静水中的速度），水的流速为v 水（即水对地的速度），船的合速度为v （即船对地的速度，船的实际速度,其方向就是船的航向）。

(3)三种情景：①过河时间最短：当船头垂直河岸，渡河时间最短，且渡河时间与水的流速无关。

②过河路径最短：在v 船>v 水的条件下，当船的合速度垂直于河岸时，渡河位移（航程或路径）最小并等于河宽。

在v 船<v 水的条件下，当船头与船的合速度垂直时，渡河位移（航程或路径)最小。

此种情况下，合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。

最短航程确定如下:如图所示，以v 水矢量末端为圆心,以v 船矢量的大小为半径画弧，从v 水矢量的始端向圆弧作切线,则合速度沿此切线方向航程最短。

（下图中v 1表船速,v 2表水速）③最小渡河速度:水速和航向一定，船速垂直航向有最小船速。

【典型题例】两河岸平行,河宽d=100m ，水流速度v 1=3m/s ，求：（1）船在静水中的速度是4m/s 时，欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？最短时间是多少？船的位移是多大？（2)船在静水中的速度是6m/s 时，欲使船航行距离最短，船应怎样渡河？渡河时间多长？（3）船在静水中的速度为1。

5m/s 时，欲使船渡河距离最短,船应怎样渡河?船的最小航程是多少？［思路分析］（1）当船头垂直于河岸时，渡河时间最短： t min =d/v 2=100/4=25s 合速度v=s m v v /543222221=+=+船的位移大小s=v t min =125m（2）欲使船航行距离最短，需船头向上游转过一定角度使合速度方向垂直于河岸，设船的开行速度v 2与岸成θ角,则cosθ=216321==v v ， 所以θ=600，合速度v=v 2sin600=3s m /3 t=s v d 93100= （3)船在静水中速度小于水流的速度,船头垂直于合速度v 时，渡河位移最小, 设船头与河岸夹角为β,如图所示:v 1 dvv 2v 1θvv 2cosβ=2135.112==v v 所以β=600 最小位移s min =m d 20060cos 100cos 0==β ［答案](1) 船头垂直于河岸时，渡河时间最短：t min =25s ，s =125m; (2） 船头向上游转过一定角度, 与岸成600角航程最短，t=s 93100； (3) 船头垂直于合速度,船头与河岸夹角600时航程最短,s min =m 200。

小船渡河问题的研究摘要本文建立了经典的小船渡河速度模型，利用速度的合成与分解求出最优渡河方案。

针对问题一，首先，讨论船速和水速的关系，得出小船大致行驶方向，再运用平行四边形法则，构建直角三角形，运用勾股定理建立关于合速度和船速与河岸夹角的方程并求解。

针对问题二，用数值解法求渡河所需时间，再利用问题一中求解的方程，做出小船位置和航行曲线图，最后与解析解比较。

关键词：小船渡河船速水速速度的合成与分解夹角1问题重述一只小船要从要从宽度为d的河的一岸A点，到达正对岸B点。

河水流速v1和静水船速v2之比k已知。

想要求解以下两个问题。

（i）建立小船航线的方程，求其解析解。

（ii）设d = 100 m，v1=1 m/s，v2= 2m/s，用数值解法求渡河所需时间、任意时刻小船的位置及航行曲线，作图，并与解析解比较。

2问题分析此类问题可归结为小船渡河问题，要使小船能够到达正对岸，在水流速度恒定的情况下，按照船速来分类，有两种情况：其一，船速可变；其二；船速不变；根据题意可知，本题船速不变，故采用第二种情况建立模型并求解。

分析可知，在船速和水速都恒定的情况下，要使小船到达正对岸，小船速度与水流速度的合速度方向必然垂直于河岸。

3模型假设（1）假设小船的行驶速度恒定不变。

（2）假设水流的速度恒定不变且始终与河岸平行。

（3）假设无风力、水流阻力等外力影响。

（4）假设该段河流为理想直段。

4符号说明小船出发点B 小船目标点α船速与河岸夹角v船速与水速的合速度合t 总小船渡河所用总时间S 小船距离河岸A的距离5模型建立与求解5.1 问题一（1）问题分析小船航线如下图所示，根据已知的船速和水速，运用平行四边形法则，构建直角三角形，运用勾股定理建立关于合速度的方程再求解即可。

B⒈若α≥90°由速度的合成知识可知，船速与水速的合速度方向指向下游，则小船不可能到达河流正对岸。

⒉若0＜α＜90°1）若v2≤v1，由速度的合成知识可知，合速度指向下游，小船也不能到达正对岸。

小船渡河问题分析及模型求解方法总结小船渡河问题是著名的“搜索穷举”(searchforenumeration)问题。

在一条由南至北的河流上，有一艘小船，上面有三个乘客，分别是一个牧师、一个撒谎者和一个犯人，这三个乘客的目的地都不同，他们需要利用这艘小船才能跨越河流到达他们的目的地。

根据他们各自的特性，要求三个乘客同时搭乘小船时必须满足两个条件：1.师和犯人不能同时在船上；2.谎者不能和牧师在一起。

在小船渡河问题中，首先要考虑的是如何分析和分类其状态空间，即要建立一套有效的状态空间模型。

对于每一个节点状态，其状态可以通过三个乘客的位置来确定，可以用一个三元组(P,L,S)来代表，其中P表示牧师的位置，L表示犯人的位置，S表示撒谎者的位置。

根据这种状态空间模型，小船渡河问题可以抽象成一棵带有深度限制的有向无环图，其节点表示可能的状态，边表示可能的操作策略，从而将问题转化为深度优先搜索的问题。

深度优先搜索法是小船渡河问题最常用的求解方法。

它是一种搜索穷举策略，即按照状态节点深度的增加顺序，从根节点出发，沿着有向无环图中的路径穷举所有可能的状态结果，最终找到满足要求的解所在的路径，从而解决问题。

具体的操作步骤如下：1.从源节点出发，并将其放入一个“搜索表”中；2.从“搜索表”中取出节点，将其扩展出所有可能的子节点，并将其放入搜索表中；3.重复上述过程，直到搜索表为空；4.根据最终节点是否满足目标条件，通过搜索表中记录的父节点，得到最优解路径。

此外，在解决小船渡河问题时，可以采用一些其他的求解方法，比如蒙特卡洛方法和遗传算法。

蒙特卡洛方法是一种模拟技术，通过仿真模拟大量的实验，最终得到预期的结果，可以有效地求解小船渡河的最优解路径。

而遗传算法则是一种仿生搜索算法，它采用“选择”、“交叉”、“突变”等“进化”过程，将复杂问题转化为数学优化问题，可以有效地求解出最优解路径。

综上所述，小船渡河问题是一个典型的“搜索穷举”问题，可以通过有效构建状态空间模型并采用深度优先搜索法、蒙特卡洛方法和遗传算法等方法求解。

【例】一艘小船在宽为 d 的河中横渡到对岸，已知水流速度是V水，小船在静水中的速度是 v 船，求：（1）欲使渡河时间最短，船应该怎样渡河最短时间是多少（2）欲使渡河位移最短，船应该怎样渡河最短位移多大在运动的合成与分解中，如何判断物体的合运动和分运动是首要问题，判断合运动的有效方法是看见的运动就是合运动。

合运动的分解从理论上说可以是任意的，但一般按运动的实际效果进行分解。

小船渡河问题是常见的运动的合成与分解的典型问题，又是小蜡块实验的拓展与延伸。

但在实际的教学中，由于这部分知识太过抽象，又没有切实可行的教具直观演示。

所以使得这部分知识学起来很困难。

在此之前，学生已经必须要明白“分运动”与“合运动”的关系：（1）独立性：一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果（ v分、s分）互不干扰。

（2）同时性：合运动与分运动同时开始、同时进行、同时结束。

（3）等效性：合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动同时发生、同时进行、同时结束，经历相等的时间，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代。

【分析】小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。

但是在现实中由于船头方向的不确定性，使得小船渡河时所具有的两个分运动方向就不能确定，从而导致小船渡河问题的复杂化，加深了学生理解的难度。

题目分两种情况：①船速大于水速；②船速小于水速。

涉及两种极值：①渡河最小位移；②渡河最短时间【解答】1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间d d90 时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小t，显然，当1船 sin为d，合运动沿 v的方向进行。

v2．位移最小v船vθv 水结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为cos水船但这有限制条件即船水，若v船v水，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢如图所示，B Ev v船αθ v水A设船头 v 船与河岸成θ 角。

【例】一艘小船在宽为d的河中横渡到对岸，已知水流速度是v水，小船在静水中的速度是v船，求：（1）欲使渡河时间最短，船应该怎样渡河最短时间是多少（2欲使渡河位移最短，船应该怎样渡河最短位移多大在运动的合成与分解中，如何判断物体的合运动和分运动是首要问题，判断合运动的有效方法是看见的运动就是合运动。

合运动的分解从理论上说可以是任意的，但一般按运动的实际效果进行分解。

小船渡河问题是常见的运动的合成与分解的典型问题，又是小蜡块实验的拓展与延伸。

但在实际的教学中，由于这部分知识太过抽象，又没有切实可行的教具直观演示。

所以使得这部分知识学起来很困难。

在此之前，学生已经必须要明白“分运动”与“合运动”的关系：（1）独立性：一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果（v分、S分）互不干扰。

（2）同时性：合运动与分运动同时开始、同时进行、同时结束。

（3）等效性：合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动同时发生、同时进行、同时结束，经历相等的时间，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代。

【分析】小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。

但是在现实中由于船头方向的不确定性，使得小船渡河时所设船头v船与河岸成0角。

合速度v与河岸成a角。

可以看出：a角越大，船漂下的距离X越短，那么，在什么条件下a角最大呢以V水的矢尖为圆心,V船为半径画圆，当v与圆相切时，a船头与河岸的夹角应为V水具有的两个分运动方向就不能确定，从而导致小船渡河问题的复杂化，加深了学生理解的难度。

题目分两种情况：①船速大于水速；②船速小于水速。

涉及两种极值：①渡河最小位移；②渡河最短时间【解答】1•渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间d dt ———，显然，当90时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小i 船sin为—，合运动沿v的方向进行。