小船过河问题专题

小船过河问题问题本质小船渡河是典型的运动的合成问题。

需要理解运动的独立性和等时性原理，掌握合速度与分速度之间的关系。

小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动 v 水（水冲船的运动），和船相对水的运动 v 船（即在静水中的船的运动），船的实际运动 v 是合运动。

基本模型1、 v 水 <v 船时间最少位移最小2、 v 水 >v 船不论船的航向如何，总是被水冲向下游，即无论向哪个方向划船都不能使船头垂直于河，只能尽量使船头不那么斜。

那么怎样才能使漂下的距离B E最短呢？如图v v 船αθ v 水A例 1.小船在 s=200 m 宽的河中横渡 ,水流速度是 2 m/s,船在静水中的航行速度为 4 m/s.求 :（1）小船渡河的最短时间 .（2）要使小船航程最短 ,应该如何航行 ?例 2.河宽 d＝ 60m，水流速度 v1＝ 6m／ s，小船在静水中的速度 v2=3m／ s，问：(1) 要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河 ?最短时间是多少 ?(2) 要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河 ?最短的航程是多少 ?例 3.玻璃生产线上，宽 24 m 的成型玻璃板以 6 m/s 的速度连续不断地向前行进，在切割工序处，金刚钻的走刀速度为 10 m/s.为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，金刚钻割刀的轨道应如何控制?切割一次的时间多长?同步练习：1.某人以不变的速度垂直对岸游去，游到中间，水流速度加大，则此人渡河时间比预定时间A．增加 B．减少 C．不变 D．无法确定2.某人以一定速度始终垂直河岸向对岸游去，当河水匀速流动时，他所游过的路程，过河所用的时间与水速的关系是()A．水速大时，路程长，时间长B．水速大时，路程长，时间短C．水速大时，路程长，时间不变D．路程、时间与水速无关3.如图所示， A、 B 为两游泳运动员隔着水流湍急的河流站在两岸边， A 在较下游的位置，且A 的游泳成绩比B 好，现让两人同时下水游泳，要求两人尽快在河中相遇，试问应采用下列哪种方法才能实现（）A.A 、 B 均向对方游（即沿虚线方向）而不考虑水流作用B.B 沿虚线向 A 游且 A 沿虚线偏向上游方向游C.A 沿虚线向 B 游且 B 沿虚线偏向上游方向游D. 都应沿虚线偏向下游方向，且 B 比 A 更偏向下游4.在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点 A 离岸边最近处O 的距离为 d，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O 点的距离为 (d)2d1d2 222A．21B．0 C． D ．1 5.某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了T 1；若此船用最短的位移过河，则需时间为T2，若船速大于水速，则船速v1与水速v2 之比为（）T 2T 2(A)T 2 2T 1 2(B)T 1T 1T 1 (C) T12 T2 2(D) T 26.一条河宽 100 米，船在静水中的速度为 4m/s ，水流速度是 5m/s ，则（ ）A. 该船可能垂直河岸横渡到对岸B.当船头垂直河岸横渡时，过河所用的时间最短C. 当船头垂直河岸横渡时，船的位移最小，是 100米D. 当船横渡到对岸时， 船沿岸的最小位移是 100 米 7.小河宽为 d ，河水中各点水流速度大小与各点到v 水 kx ， k4 v 0d ， 较近河岸边的距离成正比，x 是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为 v 0，则下列说法中正确的是（ ）A 、小船渡河的轨迹为曲线dB 、小船到达离河岸2处，船渡河的速度为 2v 0C 、小船渡河时的轨迹为直线和伤员 B 以相同的水平速度匀速运动的同时，悬索将伤员吊起，在某一段时间内， A 、 B 之间的距离以 l ＝ H － t 2(式中 H 为直升机 A 离地面的高度，各物理量的单位均为国际单位制单位 )规律变化，则在这段时间内 ( )A ．悬索的拉力等于伤员的重力B ．悬索不可能是竖直的C ．伤员做加速度大小、方向均不变的曲线运动D ．伤员做加速度大小增加的直线运动9.民族运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔弛的马背上，弯弓放箭射向南侧的固定目标。

考点四：小船渡河模型1.(1.(小船渡河问题小船渡河问题小船渡河问题))小船在200 m 宽的河中横渡，水流速度是2 m/s 2 m/s，小船在静水中的航速是，小船在静水中的航速是4 m/s.4 m/s.求：求：求：(1)(1)要使小船渡河耗时最少，应如何航行？最短时间为多少？要使小船渡河耗时最少，应如何航行？最短时间为多少？要使小船渡河耗时最少，应如何航行？最短时间为多少？(2)(2)要使小船航程最短，应如何航行？最短航程为多少？要使小船航程最短，应如何航行？最短航程为多少？要使小船航程最短，应如何航行？最短航程为多少？答案 (1)船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为50 s.(2)船头偏向上游，与河岸成60°角，最短航程为200 m.解析 (1)如图甲所示，船头始终正对河岸航行时耗时最少，即最短时间tmin ＝d v 船＝2004s ＝50 s. (2)如图乙所示，航程最短为河宽d ，即最短航程为200 m ，应使v 合的方向垂直于河岸，故船头应偏向上游，与河岸成α角，有 cos α＝v 水v 船＝24＝12，解得α＝60°. 2、一小船渡河，河宽d ＝180 m 180 m，水流速度，水流速度v1v1＝＝2.5 m/s.2.5 m/s.若船在静水中的速度为若船在静水中的速度为v2v2＝＝5 m/s 5 m/s，求：，求：，求： (1)(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？(2)(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？答案 (1)船头垂直于河岸 36 s 90 5 m (2)船头向上游偏30° 24 3 s 180 m3、已知某船在静水中的速率为v1v1＝＝4 m/s m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d ＝100 m 100 m，河水的流动速度为，河水的流动速度为v2v2＝＝3 m/s 3 m/s，方向与河岸平行，方向与河岸平行，方向与河岸平行..试分析：试分析：(1)(1)欲使船以最短时间渡过河去，船的航向怎样？最短时间是多少？到达对岸的位置怎样？船发生的位移欲使船以最短时间渡过河去，船的航向怎样？最短时间是多少？到达对岸的位置怎样？船发生的位移是多大？是多大？(2)(2)欲使船渡河过程中的航行距离最短，船的航向又应怎样？渡河所用时间是多少？欲使船渡河过程中的航行距离最短，船的航向又应怎样？渡河所用时间是多少？欲使船渡河过程中的航行距离最短，船的航向又应怎样？渡河所用时间是多少？解析 (1)根据运动的独立性和等时性，当船在垂直河岸方向上的分速度v⊥最大时，渡河所用时间最短.设船头指向上游且与上游河岸夹角为α，其合速度v 与分运动速度v1、v2的矢量关系如图所示.河水流速v2平行于河岸，不影响渡河快慢，船在垂直河岸方向上的分速度v⊥＝v1sin α，则船渡河所用时间为t ＝d v1sin α. 显然，当sin α＝1即α＝90°时，v⊥最大，t 最小，此时船身垂直于河岸，船头始终垂直指向对岸，但船实际的航向斜向下游，如图所示.渡河的最短时间tmin ＝d v1＝1004s ＝25 s 船的位移为l ＝v 21＋v 22tmin ＝42＋32×25 m＝125 m 船渡过河时到达正对岸的下游A 处，其顺水漂流的位移为x ＝v2tmin ＝3×25 m＝75 m.(2)由于v1＞v2，故船的合速度与河岸垂直时，船的航行距离最短.设此时船速v1的方向(船头的指向)斜向上游，且与河岸成θ角，如图所示，则cos θ＝v2v1＝34，θ＝arccos 34. 船的实际速度为v 合＝v 21－v 22＝42－32 m/s ＝7 m/s 故渡河时间：t′＝d v 合＝1007 s ＝10077 s. 答案 （1）t=25s ，x=75m ，l=125m （2）t=10077s 4、河宽60 m 60 m，水流速度，水流速度v1v1＝＝6 m/s 6 m/s，小船在静水中的速度，小船在静水中的速度v2v2＝＝3 m/s 3 m/s，则：，则：，则：(1)(1)它渡河的最短时间是多少？它渡河的最短时间是多少？它渡河的最短时间是多少？(2)(2)最短航程是多少？最短航程是多少？最短航程是多少？答案 (1)20 s (2)120 m5．(单选单选))一小船在静水中的速度为3 m/s 3 m/s，它在一条河宽为，它在一条河宽为150 m 150 m，水流速度为，水流速度为4 m/s 的河流中渡河，则该小船该小船( ( )． 答案答案 CA ．能到达正对岸．能到达正对岸B B B．渡河的时间可能少于．渡河的时间可能少于50 s甲 乙 AC ．以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为200 mD 200 m D．以最短位移渡河时，位移大小为．以最短位移渡河时，位移大小为150 m6. 6.一只小船在静水中的速度为一只小船在静水中的速度为5 m/s 5 m/s，它要渡过一条宽为，它要渡过一条宽为50 m 的河，河水流速为4 m/s 4 m/s，则，则，则( ( ) ) 答案答案 CA.A.这只船过河位移不可能为这只船过河位移不可能为50 mB.B.这只船过河时间不可能为这只船过河时间不可能为10 sC.C.若河水流速改变，船过河的最短时间一定不变若河水流速改变，船过河的最短时间一定不变若河水流速改变，船过河的最短时间一定不变D.D.若河水流速改变，船过河的最短位移一定不变若河水流速改变，船过河的最短位移一定不变若河水流速改变，船过河的最短位移一定不变7.(7.(运动的合成和分解运动的合成和分解运动的合成和分解))某河宽为600 m 600 m，河中某点的水流速度，河中某点的水流速度v 与该点到较近河岸的距离d 的关系如图所示.船在静水中的速度为4 m/s 4 m/s，要想使船渡河的时间最短，下列说法正确的是，要想使船渡河的时间最短，下列说法正确的是，要想使船渡河的时间最短，下列说法正确的是( ( ) ) 答案答案 ADA.A.船在航行过程中，船头应与河岸垂直船在航行过程中，船头应与河岸垂直船在航行过程中，船头应与河岸垂直B.B.船在河水中航行的轨迹是一条直线船在河水中航行的轨迹是一条直线船在河水中航行的轨迹是一条直线C.C.渡河的最短时间为渡河的最短时间为240 sD.D.船离开河岸船离开河岸400 m 时的速度大小为2 5 m/s8． ( (多选多选多选))小船横渡一条两岸平行的河流，船本身提供的速度小船横渡一条两岸平行的河流，船本身提供的速度((即静水速度即静水速度))大小不变、船身方向垂直于河岸，水流速度与河岸平行，已知小船的运动轨迹如图所示，则岸，水流速度与河岸平行，已知小船的运动轨迹如图所示，则( ( ) ) 答案答案 ACA ．越接近河岸水流速度越小．越接近河岸水流速度越小B ．越接近河岸水流速度越大．越接近河岸水流速度越大C ．无论水流速度是否变化，这种渡河方式耗时最短．无论水流速度是否变化，这种渡河方式耗时最短D ．该船渡河的时间会受水流速度变化的影响．该船渡河的时间会受水流速度变化的影响 9． ( (单选单选单选))有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v 的大河．小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程所用时间的比值为k ，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为同，则小船在静水中的速度大小为( ( ) ) 答案答案 BA.kv k2k2－－1B.v 1－k2C.kv 1－k2D.v k2k2－－1解析 设大河宽度为d ，小船在静水中的速度为v0，则去程渡河所用时间t1＝d v0，回程渡河所用时间t2＝d v 20－v2.由题知t1t2＝k ，联立以上各式得v0＝v1－k2，选项B 正确，选项A 、C 、D 错误． 10. 10. （单选）如图所示，甲、乙两船在同一条河流边同时开始渡河，河宽为（单选）如图所示，甲、乙两船在同一条河流边同时开始渡河，河宽为H ，河水流速为u ，划船速度为v ，出发时两船相距H 332，甲、乙船头均与岸边成o 60角，且乙船恰好能直达对岸的A 点，则下列判断正确的是点，则下列判断正确的是（（ D ）A ．甲、乙两船到达对岸的时间不同．甲、乙两船到达对岸的时间不同B ．两船可能在未到达对岸前相遇．两船可能在未到达对岸前相遇C ．甲船在A 点右侧靠岸点右侧靠岸D ．甲船也在A 点靠岸点靠岸11.11.如图所示，一艘轮船正在以如图所示，一艘轮船正在以4 m/s 的速度沿垂直于河岸方向匀速渡河，河中各处水流速度都相同，其大小为v1v1＝＝3 m/s 3 m/s，行驶中，轮船发动机的牵引力与船头朝向的方向相同．某时刻发动机突然熄火，轮船，行驶中，轮船发动机的牵引力与船头朝向的方向相同．某时刻发动机突然熄火，轮船牵引力随之消失，轮船相对于水的速度逐渐减小，但船头方向始终未发生变化．求：牵引力随之消失，轮船相对于水的速度逐渐减小，但船头方向始终未发生变化．求：(1)(1)发动机未熄火时，轮船相对于静水行驶的速度大小；发动机未熄火时，轮船相对于静水行驶的速度大小；发动机未熄火时，轮船相对于静水行驶的速度大小；(2)(2)发动机熄火后，轮船相对于河岸速度的最小值．发动机熄火后，轮船相对于河岸速度的最小值．发动机熄火后，轮船相对于河岸速度的最小值．答案 (1)5 m/s (2)2.4 m/s解析 (1)发动机未熄火时，轮船运动速度v 与水流速度v1方向垂直，如图所示，故此时船相对于静水的速度v2的大小：v2＝v2＋v 21＝42＋32 m/s ＝5 m/s ，设v 与v2的夹角为θ，则cos θ＝v v2＝0.8.(2)熄火前，船的牵引力沿v2的方向，水的阻力与v2的方向相反，熄火后，牵引力消失，在阻力作用下，v2逐渐减小，但其方向不变，当v2与v1的矢量和与v2垂直时，轮船的合速度最小，则vmin ＝v1cos θ＝3×0.8 m/s ＝2.4 m/s.12.12.如图所示，河宽如图所示，河宽d ＝120 m 120 m，设小船在静水中的速度为，设小船在静水中的速度为v1v1，河水的流速为，河水的流速为v2.v2.小船从小船从A 点出发，在渡河时，船身保持平行移动若出发时船头指向河对岸上游的B 点，经过10 min 10 min，小船恰好到达河正对岸的，小船恰好到达河正对岸的C 点；若出发时船头指向河正对岸的C 点，经过8 min 8 min，小船到达，小船到达C 点下游的D 点.求：求：(1)(1)小船在静水中的速度小船在静水中的速度v1的大小；的大小；(2)(2)河水的流速河水的流速v2的大小；的大小；(3)(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离在第二次渡河中小船被冲向下游的距离sCD.答案 (1)0.25 m/s (2)0.15 m/s (3)72 m解析 (1)小船从A 点出发，若船头指向河正对岸的C 点，则此时v1方向的位移为d ，故有v1＝d tmin ＝12060×8m/s ＝0.25 m/s. (2)设AB 与河岸上游成α角，由题意可知，此时恰好到达河正对岸的C 点，故v1沿河岸方向的分速度大小恰好等于河水的流速v2的大小，即v2＝v1cos α，此时渡河时间为t ＝d v1sin α，所以sin α＝d v1t＝0.8，故v2＝v1cos α＝0.15 m/s. (3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离为sCD ＝v2tmin ＝72 m.。

小船渡河的问题在高中物理教学中，往往遇到小船在水有一定流速的河中渡河的问题。

这类问题一般有小船渡河的时间最小，位移最小，速度最小三种情况：问题一：小船如何渡河时间最小，最小时间为多少？分析及解答：设河宽为d，小船在静水中的速度为V船，水流速度为V水，如图1中的甲。

将船对水的速度沿平行河岸方向和垂直河岸方向正交分解。

沿平行河岸方向的速度不影响渡河的快慢，小船渡过河时时间与垂直河岸方向的速度有关，当小船垂直河岸渡过河时时间最小，即最小时间为t min=d/V船。

[例题1]：河宽60m,小船在静水中的速度为4m/s,水流速度为3m/s。

求小船渡河的最小时间是多少，小船实际渡河的位移为多大？分析及解答：如图1中的乙，当小船垂直河岸渡过河时时间最小，即最小时间为t min=d/V船。

∴t min=d/V船=60/4=15(s)。

小船实际渡河的位移S AB=V合t min=5*15=75(m).问题二：小船如何渡河到达对岸的位移最小，最小位移是多少？分析及解答：在小船渡河过程中，将船对水的速度沿平行河岸方向和垂直河岸方向正交分解，如图2中的甲。

当小船沿平行河岸方向的分速度与水速大小相等，方向相反时，即V1=V水，小船的合速度（V2）就沿垂直河岸方向，这时渡河到达对岸的位移最小，S min=d。

而渡河时间t=d/V2=d/Vsinθ。

[例题2]：河宽60m,小船在静水中的速度为5m/s,水流速度为3m/s。

求小船渡河的最小位移是多少，小船实际渡河的时间为多大？分析及解答：如图2 中的乙，当小船沿平行河岸方向的分速度V1=V水，小船要垂直河岸方向渡河，这时渡河到达对岸的位移最小，Smin=d=60(m)。

而V船与河岸的夹角θ=arc cos(V船/V水)=530。

这时小船实际渡河的时间t=d/V2=d/V船sinθ=60/4=15(s).问题三：小船如何渡河速度最小，最小速度为多少？分析及解答：将小船渡河运动看作水流的运动（水冲船的运动）和小船相对静水的运动（设水流不流动时船的运动）的合运动。

小船过河问题分析与题解【问题概说】（1）船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。

（2)三种速度：船相对水的速度为v 船(即船在静水中的速度），水的流速为v 水(即水对地的速度），船的合速度为v (即船对地的速度,船的实际速度，其方向就是船的航向）。

(3）三种情景：①过河时间最短：当船头垂直河岸，渡河时间最短，且渡河时间与水的流速无关。

②过河路径最短:在v 船〉v 水的条件下，当船的合速度垂直于河岸时，渡河位移（航程或路径)最小并等于河宽。

在v 船〈v 水的条件下，当船头与船的合速度垂直时，渡河位移（航程或路径）最小。

此种情况下，合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。

最短航程确定如下:如图所示，以v 水矢量末端为圆心，以v 船矢量的大小为半径画弧，从v 水矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短.（下图中v 1表船速，v 2表水速）③最小渡河速度：水速和航向一定，船速垂直航向有最小船速。

【典型题例】两河岸平行，河宽d=100m,水流速度v 1=3m/s ，求：（1)船在静水中的速度是4m/s 时，欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？最短时间是多少？船的位移是多大？（2）船在静水中的速度是6m/s 时，欲使船航行距离最短，船应怎样渡河？渡河时间多长？(3）船在静水中的速度为1。

5m/s 时，欲使船渡河距离最短，船应怎样渡河？船的最小航程是多少?［思路分析］（1）当船头垂直于河岸时，渡河时间最短:t min =d/v 2=100/4=25s 合速度v=s m v v /543222221=+=+ 船的位移大小s=v t min =125m(2）欲使船航行距离最短，需船头向上游转过一定角度使合速度方向垂直于河岸,设船的开行速度v 2与岸成θ角，则cosθ=216321==v v ， 所以θ=600，合速度v=v 2sin600=3s m /3t=s v d 93100= v 1 dv v 2 v 1 θ v v 2(3）船在静水中速度小于水流的速度,船头垂直于合速度v 时，渡河位移最小，设船头与河岸夹角为β，如图所示： cosβ=2135.112==v v 所以β=600 最小位移s min =m d 20060cos 100cos 0==β ［答案](1) 船头垂直于河岸时，渡河时间最短：t min =25s ，s =125m ；（2） 船头向上游转过一定角度, 与岸成600角航程最短，t=s 93100; （3） 船头垂直于合速度,船头与河岸夹角600时航程最短，s min =m 200。

微专题18小船过河问题【核心要点提示】小船渡河问题分析(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．(2)三种速度：v 1(船在静水中的速度)、v 2(水流速度)、v (船的实际速度)．(3)三种情景①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t 短＝d v 1(d 为河宽)．②过河路径最短(v 2<v 1时)：合速度垂直于河岸时，航程最短，s 短＝d .船头指向上游与河岸夹角为α，cos α＝v 2v 1.③过河路径最短(v 2>v 1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图所示，以v 2矢量末端为圆心，以v 1矢量的大小为半径画弧，从v 2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短．由图可知：cos α＝v 1v 2，最短航程：s 短＝d cos α＝v 2v 1d .【微专题训练】如图所示，甲、乙两同学从河中O 点出发，分别沿直线游到A 点和B 点后，立即沿原路线返回到O 点，OA 、OB 分别与水流方向平行和垂直，且OA ＝OB 。

若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t 甲、t 乙的大小关系为()A ．t 甲<t 乙B ．t 甲＝t 乙C ．t 甲>t 乙D ．无法确定解析：选C 设水速为v 0，人在静水中的速度为v ，OA ＝OB ＝x 。

对甲，O →A 阶段人对地的速度为(v ＋v 0)，所用时间t 1＝x v ＋v 0；A →O 阶段人对地的速度为(v －v 0)，所用时间t 2＝x v －v 0。

所以甲所用时间t 甲＝t 1＋t 2＝x v ＋v 0＋x v －v 0＝2vx v 2－v 02。

对乙，O →B 阶段和B →O 阶段的实际速度v ′为v 和v 0的合成，如图所示。

由几何关系得，实际速度v ′＝v 2－v 02，故乙所用时间t 乙＝2x v ′＝2x v 2－v 02。

t 甲t 乙＝v v 2－v 02>1，即t 甲>t 乙，故C 正确。

高中物理《小船渡河问题》专题训练与解析例1．游泳运动员以恒定的速率垂直于河岸渡河，当水速突然变大时，对运动员渡河时间和经历的路程产生的影响是()A．路程变大，时间延长B．路程变大，时间缩短C．路程变大，时间不变D．路程和时间均不变【答案】C【解析】运动员渡河可以看成是两个运动的合运动：垂直河岸的运动和沿河岸的运动运动员以恒定的速率垂直河岸渡河，在垂直河岸方向的分速度恒定由分运动的独立性原理可知，渡河时间不变①但由于水速变大，沿河岸方向的运动速度变大又因为时间不变，所以沿河岸方向的分位移变大，故总的路程变大②[来源:学科网]例2．如图所示，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行．当绳与河岸的夹角为α时，船的速率为()A．v sinαB．vsinαC．v cosαD．vcosα【答案】C【解析】把人的速度v沿着绳方向和垂直于绳方向分解，如图所示：几何关系：v1=v cosα，所以船的速度大小为v cosα例3．无风时气球匀速竖直上升，速度大小为3m/s．现吹水平方向的风，使气球获4m/s的水平速度，气球经一定时间到达某一高度h，则有风后()A．气球实际速度的大小为7m/sB．气球的运动轨迹是曲线C．若气球获5m/s的水平速度，气球到达高度h的路程变长D．若气球获5m/s的水平速度，气球到达高度h的时间变短【答案】C【解析】有风时，气球实际速度的大小v=32＋42m/s=5m/s①气球沿合速度方向做匀速直线运动，轨迹为直线②水平速度增大，但气球飞行的时间不变，水平方向的位移增大，竖直方向的位移不变，合位移增大，故气球到达高度h的路程变长③例4．如图所示，船从A 处开出后沿直线AB 到达对岸，若AB 与河岸成37°角，水流速度为4m/s ，则船从A 点开出的最小速度为(取sin37°=0.6,cos37°=0.8)()A ．2m/sB ．2.4m/sC ．3m/sD ．3.5m/s 【答案】B【解析】当船头方向与合速度方向即与直线AB 垂直时，船的速度最小此时有v 船=v 水sin37°=2.4m/s例5．(多选)一条河宽100m ，船在静水中的速度为4m/s ，水流速度是5m/s ，则()A ．该船能垂直河岸横渡到对岸B ．当船头垂直河岸横渡时，过河所用的时间最短C ．当船头垂直河岸横渡时，船的位移最小，且为100mD ．该船渡到对岸时，船沿岸方向的位移可能小于100m【答案】BD【解析】由题意可知，由于船速为v 1=4m/s ，水速为v 2=5m/s即船速小于水速，则无论船头指向哪个方向，都不可能使船垂直驶向对岸①根据t=L /v 1cos θ知，要使t 最小只需要使cos θ最大，即使船头与河岸垂直②要使船的渡河位移最短，需要使船速方向与合运动方向垂直，则合速度为v==-22船水v v 3m/s 渡河时间为t=L 35v 1=1253s 所以船的合位移为x=vt=125m③船沿岸方向的位移为(v 2－45v 1)t=75m ④例6．如图所示，一艘小船要从O 点渡过一条两岸平行、宽度为d=100m 的河流，已知河水流速为v 1=4m/s ，小船在静水中的速度为v 2=2m/s ，B 点距正对岸的A 点x 0=173m ．下面关于该船渡河的判断，其中正确的是()A ．小船过河的最短航程为100mB ．小船过河的最短时间为25sC ．小船可以在对岸A 、B 两点间任意一点靠岸D ．小船过河的最短航程为200m【答案】D【解析】由于v 2<v 1，即船的速度小于水流的速度因此不能横渡到对岸，即m100=>d x ①当船头垂直河岸渡河时，有最短时间s 50s 21002min ===v d t ②如图所示，当船的速度方向与河岸成θ'时有最短航程由几何关系，得sin α=v 船v 水=0.5最短航程为L=d sin α=v 水v 船d=200m ③又02222224m m 100200x x L x >≈-=-= 因此小船不能在AB 区域内渡河到对岸④例7．一快艇从离岸边100m 远的河中向岸边行驶．已知快艇在静水中的速度图象如图甲所示，流水的速度图象如图乙所示，则()A ．快艇的运动轨迹一定为直线B ．快艇的运动轨迹可能为曲线，也可能为直线C ．快艇最快到达岸边所用的时间为20sD ．快艇最快到达岸边经过的位移为100m【答案】C【解析】由图象可知，快艇在流水中的运动是由一个匀加速直线运动和一个匀速运动合成的，其所受合力方向一定和其速度方向不在一条直线上，所以快艇一定做曲线运动①快艇要最快到达岸边，船头应直指河岸，但实际的运动方向却是偏向下游，位移大于100m②设渡河时间为t ，根据运动学公式，得x=21at 2，解得t=20s ③例8．在一次漂流探险中，探险者驾驶摩托艇想上岸休息，江岸是平直的，江水沿江向下流速为v ，摩托艇在静水中航速为u ，探险者离岸最近点O 的距离为d .如果探险者想在最短的时间内靠岸，则摩托艇登陆的地点离O 的距离为多少？【答案】v ud 【解析】如果探险者想在最短的时间内靠岸，摩托艇的前端应垂直于河岸，即u 垂直于河岸，如图所示：探险者运动的时间为t=du所以摩托艇登陆的地点离O 的距离为x=vt=v ud 例9．质量为m=2kg 的物体在光滑的水平面上运动，在水平面上建立Oxy 坐标系，t=0时，物体位于坐标系的原点O ．物体在x 轴和y 轴方向的分速度v x 、v y 随时间t 变化图线如图甲、乙所示．已知sin53°=0.8,cos53°=0.6．求：(1)t=3.0s 时物体受到的合力；(2)t=8.0s 时的物体速度；(3)t=8.0s 时物体的位置坐标．【答案】(1)1.0N ，方向沿y 轴正方向(2)5.0m/s ，方向与x 轴正向夹角为53°(3)(24m,16m)【解析】(1)由题图可知，物体在x 轴方向做匀速直线运动，在y 轴方向做初速度为零的匀加速直线运动加速度为a=0.5m/s 2所以在t=3.0s 时，物体受合力F=ma=1.0N ，方向沿y 轴正方向(2)由题图可知：当t=8.0s 时，v x =3.0m/s ，v y =4.0m/s物体的速度大小为v=5.0m/s速度方向与x 轴正向夹角设为α，则tan α=34，解得α=53°(3)t=8.0s 时，物体的位置坐标为x=v x t=24my=21at 2=16m 故此时的位置坐标为(24m,16m)例10．小船在200m 宽的河中横渡，水流速度为3m/s ，船在静水中的航速为4m/s ，求：(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？【答案】(1)50s ，250m (2)船头应指向河流的上游与河岸成43arccos =α航行，航行时间约为75.60s 【解析】(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，有最短时间，如图所示：s 50s 4200===船v d t m m5m 342222=+=+=⇒水船v v v 小船的位移为m250m 505=⨯==m vt x (2由题意知：43arccos 43cos =⇒==αα船水v v 所以船头应指向河流的上游与河岸成43arccos=α航行又47sin =α 行驶时间为75.60s s 77200sin ≈==α船v d t 乙所示，若要以最短时间渡河，则()A ．船渡河的最短时间是60sB ．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直C ．船在河水中航行的轨迹是一条直线D ．船在河水中的最大速度是5m/s【答案】BD【解析】若要以最短的时间渡河，则船头必须始终垂直指向河对岸①渡河的最短时间为s 100s 3300===船v d t m ②由于水流的速度大小变化，而船的速度又恒定，因此船的运动轨迹为曲线③由图甲可知：船在河流的中间位置时的速度最大根据合速度与分速度的关系，得船实际的最大速度为5m/s m/s 342222=+=+=船水实v v v ④。

第四章 曲线运动16 小船过河问题【核心要点提示】小船渡河问题分析(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．(2)三种速度：v 1(船在静水中的速度)、v 2(水流速度)、v (船的实际速度)．(3)三种情景①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t 短＝d v 1(d 为河宽)． ②过河路径最短(v 2<v 1时)：合速度垂直于河岸时，航程最短，s 短＝d .船头指向上游与河岸夹角为α，cos α＝v 2v 1. ③过河路径最短(v 2>v 1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图所示，以v 2矢量末端为圆心，以v 1矢量的大小为半径画弧，从v 2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短．由图可知：cos α＝v 1v 2，最短航程：s 短＝d cos α＝v 2v 1d .【训练】(2014·四川·4)有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v 的大河．小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程所用时间的比值为k ，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为( ) A.kv k 2－1 B.v 1－k 2 C.kv 1－k 2 D.v k 2－1【解析】设大河宽度为d ，小船在静水中的速度为v 0，则去程渡河所用时间t 1＝d v 0，回程渡河所用时间t 2＝d v 20－v 2.由题知t 1t 2＝k ，联立以上各式得v 0＝v 1－k 2，选项B 正确，选项A 、C 、D 错误．【答案】B一艘船在一条河流中渡河，当河水不流动时，船垂直渡河用时t 1.当发生山洪后，在流动的河水中，船在同一位置垂直河岸渡河用时为(设船相对于静水的速度一定，水速是船相对于静水的速度大小的一半)( ) A.2t 1 B ．2t 1 C.3t 1 D.233t 1【解析】设河宽为L ，船相对于静水的速度为v ，则河水不流动时，船垂直渡河时间：t 1＝L v.当河水速度为v 2时，要垂直河岸渡河，则有：v ′＝ v 2－v 22＝32v ，船垂直渡河时间：t 2＝L v ′＝L 32v ＝23·L v ＝233t 1，选项D 正确． 【答案】D一小船渡河，已知河水的流速与距河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，则( )A ．船渡河的最短时间75 sB ．要使船以最短时间渡河，船在河水中航行的轨迹是一条直线C ．要使船以最短路程渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直D ．要使船以最短时间渡河，船在河水中的速度是5 m/s【解析】当船的速度与河岸垂直时，渡河时间最短，t ＝d v 船＝3004s ＝75 s ，故A 正确；船在沿河岸方向上做变速运动，在垂直于河岸方向上做匀速直线运动，两运动的合运动是曲线运动，故B 错误；要使船以最短时间渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直，故C 错误；要使船以最短时间渡河，船在航行中与河岸垂直，根据速度的合成可知，船在河水中的最大速度是5 m/s ，故D 错误．【答案】A(2016·辽宁辽阳市高三质检)小河宽为d ，河水中各点水流速度与各点到较近河岸边的距离成正比，v 水＝kx ，k ＝4v 0d，x 是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为v 0，则下列说法中正确的是( )A ．小船渡河时的轨迹为直线B ．小船渡河时的轨迹为曲线C ．小船到达距河对岸d 4处，船的渡河速度为2v 0D ．小船到达距河对岸3d 4处，船的渡河速度为10v 0 【解析】小船在沿河岸方向上做变速直线运动，在垂直于河岸方向上做匀速运动，合加速度的方向与合速度方向不在同一条直线上，做曲线运动，故B 正确，A 错误；小船到达距河对岸d 4处，水流速为v 水＝k d 4＝v 0，则v ＝v 20＋v 20＝2v 0。

小船过河问题相关练习题小船过河问题相关练习题小船过河问题是一种经典的数学问题，常常用于培养逻辑思维和解决问题的能力。

它涉及到一条河流、一只小船和若干个人或物品的过河过程。

在这个问题中，我们需要根据一些限制条件，找出一种最优的过河方案。

下面，我们将介绍一些与小船过河问题相关的练习题，希望能够帮助读者更好地理解和应用这个问题。

练习题一：三个人过河有三个人要过一条河流，但是只有一条小船，且小船每次只能载两个人。

这三个人的过河速度不同，分别为1分钟、2分钟和5分钟。

在河岸上还有一个灯，只有灯在场时，才能划船。

灯在两岸之间来回移动是不需要时间的。

问如何设计最优的过河方案，使得三个人能够在最短的时间内全部过河。

解答：首先，我们需要找到一个最快的方式将最慢的两个人过河。

根据题目中的条件，最慢的人过河需要5分钟，而其他两个人只需要1分钟和2分钟。

因此，我们可以先让最慢的两个人一起过河，花费5分钟。

接下来，我们需要一个人把船划回原来的岸边。

然后，我们让最快的人过河，花费1分钟。

最后，我们让最慢的两个人一起回到原来的岸边，花费5分钟。

综上所述，最短的过河时间为5 + 1 + 5 = 11分钟。

练习题二：四个人过河现在，我们考虑一个稍微复杂一点的情况。

有四个人要过一条河流，但是只有一条小船，且小船每次只能载两个人。

这四个人的过河速度分别为1分钟、2分钟、5分钟和10分钟。

在河岸上还有一个灯，只有灯在场时，才能划船。

问如何设计最优的过河方案，使得四个人能够在最短的时间内全部过河。

解答：我们可以采用类似于练习题一的思路来解决这个问题。

首先，我们需要找到一个最快的方式将最慢的两个人过河。

根据题目中的条件，最慢的人过河需要10分钟，而其他三个人只需要1分钟、2分钟和5分钟。

因此，我们可以先让最慢的两个人一起过河，花费10分钟。

接下来，我们需要一个人把船划回原来的岸边。

然后，我们让最快的人过河，花费1分钟。

接着，我们让最慢的两个人一起回到原来的岸边，花费10分钟。

专题4.1 小船过河问题一．选择题1. （2018安徽合肥三模）如图所示，在宽为H的河流中，甲、H的A、B两个码头同时开始渡河，船头与河岸均成乙两船从相距3360°角，两船在静水中的速度大小相等，且乙船恰能沿BC到达正对岸的C。

则下列说法正确的是A. 两船不会相遇B. 两船在C点相遇C. 两船在AC的中点相遇D. 两船在BC的中点相遇【参考答案】D【命题意图】本题考查小船过河、运动的合成与分解及其相关的知识点。

H，则此题正确选项上【解后反思】若A、B两个码头之间距离为233H，则此题正确选项上哪哪一个？若A、B两个码头之间距离大于233一个？若甲船在静水中的速度大于乙船，则两船哪一个先到达和对岸？还能够相遇吗？若甲船在静水中的速度小于乙船，则两船哪一个先到达和对岸？还能够相遇吗？2．一小船在静水中的速度为3 m/s，它在一条河宽为150 m，水流速度为4 m/s的河流中渡河，则该小船( )A．能到达正对岸B．渡河的时间可能少于50 sC．以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为200 mD．以最短位移渡河时，位移大小为150 m【参考答案】C3.如图所示，河的宽度为L，河水流速为v水，甲、乙两船均以静水中的速度v同时渡河。

出发时两船相距2L，甲、乙船头均与岸边成60°角，且乙船恰好能直达正对岸的A点。

则下列判断正确的是( )A ．甲船正好也在A 点靠岸B ．甲船在A 点左侧靠岸C ．甲、乙两船可能在未到达对岸前相遇D ．甲、乙两船到达对岸的时间相等 【参考答案】BD【名师解析】甲、乙两船垂直河岸的速度相等，渡河时间为t ＝Lv sin60°，乙能垂直于河岸渡河，对乙船则有v 水＝v cos60°，可得甲船在该时间内沿水流方向的位移为(v cos60°＋v 水)L v sin60°＝233L <2L ，甲船在A 点左侧靠岸，甲、乙两船不能相遇。

高中物理小船过河问题 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-小船过河问题轮船渡河问题：（1）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。

1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间θυυsin 1船ddt ==，显然，当︒=90θ时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小为vd，合运动沿v 的方向进行。

2．位移最小 若水船υυ>结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为船水υυθ=cos 若水船v v <，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示，2设船头v 船与河岸成θ角。

合速度v 与河岸成α角。

可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v 与圆相切时，α角最大，根据水船v v =θcos 船头与河岸的夹角应为水船v v arccos =θ，船沿河漂下的最短距离为：此时渡河的最短位移：船水v dv ds ==θcos 【例题】河宽d ＝60m ，水流速度v 1＝6m ／s ，小船在静水中的速度v 2=3m ／s ，问：(1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河最短时间是多少 (2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河最短的航程是多少★解析： (1)要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间(2)渡河航程最短有两种情况：①船速v 2大于水流速度v 1时，即v 2>v 1时，合速度v 与河岸垂直时，最短航程就是河宽；②船速v 2小于水流速度v l 时，即v 2<v 1时，合速度v 不可能与河岸垂直，只有当合速度v 方向越接近垂直河岸方向，航程越短。

1.如图所示,一条小船位于200 m宽的河正中A点处,从这里向下游m处有一危险区,当时水流速度为4 m/s,为了使小船避开危险区沿直线到达对岸,小船在静水中的速度至少是A. m/sB. m/sC. 2 m/sD. 4 m/s【答案】C2．船在静水中的速度为4 m/s，河岸笔直，河宽50 m，适当调整船的行驶方向，使该船运动到河对岸时航程最短，设最短航程为L，下列说法中正确的是A．当水流速度为2 m/s时，L为60 mB．当水流速度为6 m/s时，L为50 mC．当水流速度为6 m/s时，L为75mD．当水流速度为2 m/s时，L为150 m3．船在静水中的速率是4m/s，要渡过宽20m、水速为3m/s的河流，下列说法正确的是（）A、船垂直到达对岸时，所走位移是最短的B、船垂直到达对岸时，渡河时间是最短的C、此船过河的最短时间是4sD、此船过河的最短时间是5s4一船在静水中的速度为6米/秒，要横渡流速为8米/秒的河，下面说法正确的是：A．船不能渡过此河B．船能行驶到正对岸C．船在最短时间内过河，船对地的速度为6米/秒D．若河宽60米，过河的最少时间为10秒5已知河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，且v2＞v1，用小箭头表示小船，箭头指向表示船头的指向，则能正确反映小船以最短时间渡河．以最短位移渡河的情景图示依次是（）A．①② B．④⑤ C．①⑤ D．②③【答案】B6．一条小船在静水中的速度为6m/s，要渡过宽度为60m、水流速度为10m/s 的河流．下列说法正确的A．小船渡河的最短时间为6sB．小船渡河的最短时间为10sC．如水流速度增加，小船渡河的最短时间也增加D．小船渡河的最短路程为60m7如图所示，河宽200 m,一条小船要将货物从A点运送到河对岸的B点，已知AB连线与河岸的夹角θ=30°，河水的流速v水=5 m/s，小船在静水中的速度至少是（）A.2.5 m/sB.3.0 m/sC.5.0 m/sD.4.0 m/s8松花江防洪纪念塔段江水由西向东流，江宽为d，江水中各点水流速度大小与各点到较近江岸边的距离成正比，v水＝kx，k＝4v0/d，x是各点到近岸的距离。

小船过河问题|1河宽d ＝60m ，水流速度v 1＝6m ／s ，小船在静水中的速度v 2=3m ／s ，问：(1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少? (2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少? 2在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v 1，摩托艇在静水中的航速为v 2，战士救人的地点A 离岸边最近处O 的距离为d ，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O 点的距离为( C )A ．21222υυυ-d B ．0 C ．21υυd D ．12υυd3某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了T 1；若此船用最短的位移过河，则需时间为T 2，若船速大于水速，则船速与水速之比为（ ） (A) 21222T T T - (B) 12T T (C) 22211T T T - (D) 21T T4小河宽为d ，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，d v k kx v 04==，水，x 是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为0v ，则下列说法中正确的是（ ）A 、小船渡河的轨迹为曲线B 、小船到达离河岸2d 处，船渡河的速度为02vC 、小船渡河时的轨迹为直线D 、小船到达离河岸4/3d 处，船的渡河速度为010v 5. 如图1所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度0v 拉水平面上的物体A ，当绳与水平方向成θ角时，求物体A 的速度。

6 如图3所示，某人通过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量为m 的重物，开始时人在滑轮的正下方，绳下端A 点离滑轮的距离为H 。

人由静止拉着绳向右移动，当绳下端到B 点位置时，人的速度为v ，绳与水平面夹角为θ。

问在这个过程中，人对重物做了多少功？7. 一条宽度为L 的河，水流速度为水v ，已知船在静水中速度为船v ，那么：（1）怎样渡河时间最短？（2）若水船v v >，怎样渡河位移最小？（3）若水船v v <，怎样渡河船漂下的距离最短？8河宽60m,小船在静水中的速度为4m/s,水流速度为3m/s。