【新步步高】2014-2015学年高二数学人教B版必修5 学案：3.3 一元二次不等式及其解法(一) Word版含解析

【步步高】2014-2015学年高中数学第三章3.4基本不等式（二）导学案新人教A版必修5§3.4 基本不等式：ab ≤a ＋b2(二)课时目标1．熟练掌握基本不等式及变形的应用；2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．设x ，y 为正实数(1)若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24.(2)若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p . 2．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足： (1)x ，y 必须是正数；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．利用基本不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、三相等”．一、选择题1．函数y ＝log 2?x ＋1x －1＋5 (x >1)的最小值为( ) A ．－3 B ．3 C ．4 D ．－4 答案B2．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x ＋4y的最小值为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．16 D ．不存在答案 B解析∵点P (x ，y )在直线AB 上，∴x ＋2y ＝3.∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y＝42(x ＝32，y ＝34时取等号)．3．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值52B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1答案 D解析 f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝x －2＋1x －＝12x －＋1x －2≥1.当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时等号成立．4．函数y ＝x 2＋5x 2＋4的最小值为( )A ．2 B.52C ．1D ．不存在答案 B解析 y ＝x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4∵x 2＋4≥2，而1x 2＋4≤12，所以不能用基本不等式求最小值，用函数的单调性求最值，函数y ＝x ＋1x在(1，＋∞)上是增函数，∴在[2，＋∞)上也是增函数．∴当x 2＋4＝2即x ＝0时，y min ＝52.5．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92 D.112答案 B解析∵8－(x ＋2y )＝2xy ＝x ·(2y )≤(x ＋2y 2)2.∴原式可化为(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0. ∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥4. 当x ＝2，y ＝1时取等号．6．若xy 是正数，则? ????x ＋12y 2＋? ????y ＋12x 2的最小值是( ) A ．3 B.72 C ．4 D.92答案 C解析 ? ????x ＋12y 2＋? ????y ＋12x 2 ＝x 2＋y 2＋14? ????1x 2＋1y 2＋x y ＋y x＝?x 2＋14x 2＋? ????y 2＋14y 2＋? ????x y ＋y x ≥1＋1＋2＝4.当且仅当x ＝y ＝22或x ＝y ＝－22时取等号．二、填空题7．设x >－1，则函数y ＝x ＋x ＋x ＋1的最小值是________．答案 9解析∵x >－1，∴x ＋1>0，设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝t ＋t ＋t ＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t＋5≥2t ·4t＋5＝9，当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1. ∴当x ＝1时，函数y ＝x ＋x ＋x ＋1取得最小值为9.8．已知正数a ，b 满足a ＋b －ab ＋3＝0，则ab 的最小值是________．答案 9解析∵a ＋b －ab ＋3＝0，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3.令ab ＝t ，则t 2≥2t ＋3.解得t ≥3(t ≤－1舍)．即ab ≥3.∴ab ≥9.当且仅当a ＝b ＝3时，取等号．9．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．答案 1 760解析设水池的造价为y 元，长方形底的一边长为x m ，由于底面积为4 m 2，所以另一边长为4xm ．那么y ＝120·4＋2·80·? ?2x ＋2·4x ＝480＋320? ?x ＋4x≥480＋320·2x ·4x＝1 760(元)．当x ＝2，即底为边长为2 m 的正方形时，水池的造价最低，为1 760元． 10．函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．答案 8解析∵A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上，∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，mn >0，∴m >0，n >0. ∴1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2n n ＝2＋n m ＋4m n＋2≥4＋2·n m ·4mn＝8. 当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时等号成立．故1m ＋2n的最小值为8.三、解答题11．已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．解方法一∵1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·? ??1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y.∵x >0，y >0，∴y x＋9xy≥2y x ·9xy＝6. 当且仅当y x ＝9xy，即y ＝3x 时，取等号．又1x ＋9y＝1，∴x ＝4，y ＝12.∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取最小值16.方法二由1x ＋9y ＝1，得x ＝yy －9，∵x >0，y >0，∴y >9.x ＋y ＝y y －9＋y ＝y ＋y －9＋9y －9＝y ＋9y －9＋1＝(y －9)＋9y －9＋10. ∵y >9，∴y －9>0，∴y －9＋9y －9＋10≥2 y －9y －9＋10＝16，当且仅当y －9＝9y －9，即y ＝12时取等号．又1x ＋9y＝1，则x ＝4，∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取最小值16.12．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?解设使用x 年的年平均费用为y 万元．由已知，得y ＝10＋0.9x ＋0.2x 2＋0.2x2x，即y ＝1＋10x ＋x 10(x ∈N *)．由基本不等式知y ≥1＋210x ·x 10＝3，当且仅当10x ＝x10，即x ＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．能力提升13．若关于x 的不等式(1＋k 2)x ≤k 4＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有( ) A ．2∈M,0∈M B ．2?M,0?M C ．2∈M,0?M D ．2?M,0∈M 答案 A解析∵(1＋k 2)x ≤k 4＋4，∴x ≤k 4＋41＋k2.∵k 4＋41＋k 2＝＋k 22－2＋k 2＋51＋k 2＝(1＋k 2)＋51＋k2－2≥25－2. ∴x ≤25－2，M ＝{x |x ≤25－2}，∴2∈M,0∈M .14．设正数x ，y 满足x ＋y ≤a ·x ＋y 恒成立，则a 的最小值是______．答案 2解析∵x ＋y 2≤ x ＋y2成立，∴x ＋y ≤2·x ＋y ，∴a ≥ 2.1．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解．3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义．。

3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域【教学目标】1.理解二元一次不等式的解、解集概念.2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域．【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生观看《3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域》课件“情景引入”部分．2008年北京奥运会是值得中国骄傲的一大盛举，本节引用与之相关的背景知识设立问题，既可让学生再次回味这一盛举给我们带来的骄傲感，又能引发学生学习相关知识的兴趣，教师可对相关的背景情况进行适当扩展，充分调动学生学习的积极性.二、自主学习教材整理1二元一次不等式(组)的概念阅读教材P82～P83第一自然段，完成下列问题．1．二元一次不等式的概念我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式．2．二元一次不等式组的概念我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．3．二元一次不等式(组)的解集概念满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成一个有序数对(x，y)，称为二元一次不等式(组)的一个解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．教材整理2二元一次不等式(组)表示的平面区域阅读教材P83思考～P85例3上面第一自然段，完成下列问题．1．二元一次不等式表示的平面区域及确定(1)直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三个部分：①直线l上的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＝0.②直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c>0，另一侧平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c<0.(2)在直角坐标平面内，把直线l：ax＋by＋c＝0画成实线，表示平面区域包括这一边界直线；画成虚线表示平面区域不包括这一边界直线．(3)①对于直线ax＋by＋c＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入ax＋by＋c所得的符号都相同．②在直线ax ＋by ＋c ＝0的一侧取某个特殊点(x 0，y 0)，由ax 0＋by 0＋c 的符号可以断定ax ＋by ＋c >0表示的是直线ax ＋by ＋c ＝0哪一侧的平面区域．2．二元一次不等式组表示的平面区域二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的公共部分．三、合作探究问题1 对于只含有一个未知数的不等式x <6，它的一个解就是能满足不等式的x 的一个值，比如x ＝0.那么对于含有两个未知数的不等式x －y <6，你能类似地举出一个解吗？提示： 含两个未知数的不等式的一个解，即满足不等式的一组x ，y 的取值，例如⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0，也可写成(0,0)． 问题2 一元一次不等式(组)的解集可以表示为数轴上的区间，例如⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，x －4<0的解集为数轴上的一个区间(如图)．那么，在直角坐标系内，二元一次不等式x －y <6的解集表示什么图形呢？提示： 二元一次不等式x －y <6的解是一个有序数对(x ，y )，它在平面直角坐标系中对应一个点．显然不等式x －y <6的解不止一个，且这些解不在直线x －y ＝6上．经探索，以二元一次不等式x －y <6的解为坐标的点都在直线的左上方；反之，直线左上方点的坐标也满足不等式x －y <6.因此，在直角坐标系中，不等式x －y <6表示直线x －y ＝6左上方的平面区域．探究点1 二元一次不等式解的几何意义例1 已知点(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则a 的取值范围是________． 提示： (－7,24)解析 点(3,1)和(－4,6)必有一个是3x －2y ＋a ＞0的解，另一个点是3x －2y ＋a ＜0的解． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3×3－2×1＋a ＞0，3×(－4)－2×6＋a ＜0 或⎩⎪⎨⎪⎧3×3－2×1＋a ＜0，3×(－4)－2×6＋a ＞0， 即(3×3－2×1＋a )[3×(－4)－2×6＋a ]＜0，(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24.名师点评：对于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0两侧的点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，若Ax 1＋By 1＋C ＞0，则Ax 2＋By 2＋C ＜0，即同侧同号，异侧异号．探究点2 二元一次不等式表示的平面区域例2 画出不等式x ＋4y <4表示的平面区域．提示：先作出边界x ＋4y ＝4，因为这条线上的点都不满足x ＋4y <4，所以画成虚线．取原点(0,0)，代入x ＋4y －4，因为0＋4×0－4＝－4<0，所以原点(0,0)在x ＋4y －4<0表示的平面区域内，所以不等式x ＋4y <4表示的平面区域在直线x ＋4y ＝4的左下方．所以x ＋4y <4表示的平面区域如图阴影部分所示．名师点评：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．特别是当C ≠0时，常把原点(0,0)作为测试点，当C ＝0时，常把(0,1)或(1,0)作为测试点．探究点3 二元一次不等式(组) 表示的平面区域例3 用平面区域表示不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y <－3x ＋12，x <2y 的解集． 提示：不等式y <－3x ＋12，即3x ＋y －12<0，表示的平面区域在直线3x ＋y －12＝0的左下方；不等式x <2y ，即x －2y <0，表示的是直线x －2y ＝0左上方的区域．取两区域重叠的部分，如图中的阴影部分就表示原不等式组的解集．变式探究|x |＜|2y |表示什么区域？提示： |x |＜|2y |等价于x 2＜(2y )2，即(x －2y )(x ＋2y )＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＜0，x ＋2y ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＞0，x ＋2y ＜0，其表示的平面区域如图阴影部分所示．名师点评：在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤：①画线；②定侧；③求“交”；④表示．但要注意是否包含边界．探究点4 含参数的约束条件例4 已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．0或1 提示： A 条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，要使约束条件表示直角三角形区域，直线kx－y＝0要么垂直于直线x＝1，要么垂直于直线x＋y－4＝0，∴k＝0或k＝1.当k＝0时，直线kx－y＝0即y＝0，交直线x＝1，x＋y－4＝0于B(1,0)，C(4,0)．此时约束条件表示△ABC及其内部，其面积S△ABC＝12·|BC|·|AB|＝12×3×3＝92≠1.同理可验证当k＝1时符合题意．名师点评：平面区域面积问题的解题思路．(1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解．探究点5不等式组表示平面区域在生活中的应用命题角度1整数解例5要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，用数学关系式和图形表示上述要求．提示： 设需要截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张． 则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ≥15，x ＋2y ≥18，x ＋3y ≥27，x ∈N ，y ∈N .用图形表示以上限制条件，得到如图所示的平面区域(阴影部分)内的整点(横坐标、纵坐标均为整数)．名师点评：求解不等式组在生活中的应用问题．首先要认真分析题意，设出未知量；然后根据题中的限制条件列出不等式组．注意隐含的条件如钢板块数为自然数．命题角度2 实数解例6 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．提示：设x 、y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，则满足以下条件⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，x ≥0，y ≥0.(*) 在直角坐标系中画出不等式组(*)所表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示．四、当堂检测 1．不在不等式3x ＋2y <6表示的平面区域内的一个点是( )A ．(0,0)B ．(1,1)C ．(0,2)D ．(2,0)答案 D提示：将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2,0)代入后不等式不成立，故此点不在不等式3x ＋2y <6表示的平面区域内，故选D.2.如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥－2，3x －2y ＋6>0，x <0B.⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥－2，3x －2y ＋6≥0，x ≤0C.⎩⎪⎨⎪⎧ y >－2，3x －2y ＋6>0，x ≤0D.⎩⎪⎨⎪⎧y >－2，3x －2y ＋6<0，x <0答案 C提示：观察图象可知，阴影部分在直线y ＝－2上方，且不包含直线y ＝－2，故可得不等式y >－2.又阴影部分在直线x ＝0左边，且包含直线x ＝0，故可得不等式x ≤0.由图象可知，第三条边界线过点(－2,0)，点(0,3)，故可得直线3x －2y ＋6＝0，因为此直线为虚线且原点O (0,0)在阴影部分，故可得不等式3x －2y ＋6>0.观察选项可知选C.3．已知点(－1,2)和点(3，－3)在直线3x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( )A ．(－1,6)B ．(－6,1)C ．(－∞，－1)∪(6，＋∞)D ．(－∞，－6)∪(1，＋∞)答案 A提示：由题意知，(－3＋2－a )(9－3－a )<0，即(a ＋1)(a －6)<0，∴－1<a <6.4．画出下列二元一次不等式表示的平面区域．(1)x －2y ＋4≥0；(2)y >2x .解 (1)画出直线x －2y ＋4＝0，∵0－2×0＋4＝4>0，∴x －2y ＋4>0表示的区域为含(0,0)的一侧，因此所求为如图所示的区域，包括边界．(2)画出直线y －2x ＝0，∵0－2×1＝－2<0，∴y－2x>0(即y>2x)表示的区域为不含(1,0)的一侧，因此所求为如图所示的区域，不包括边界．五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?提示：1．平面区域的画法：二元一次不等式的标准化与半平面的对应性．对于A>0的直线l：Ax＋By＋C＝0，Ax＋By＋C>0对应直线l右侧的平面；Ax＋By＋C<0对应直线l左侧的平面．2．由一组直线围成的区域形状常见的有三角形、四边形、多边形以及扇形域和带状域等．3．找约束条件的关键是先找到决策变量，然后准确地用决策变量表示约束条件，并注意实际含义对变量取值的影响．六、课例点评本课从教材实际情境引入，通过对实际情境分析，从现实生活中抽象出所要研究的数学模型，引出二元一次不等式（组）的相关概念，让学生体验数学问题是客观存在，来源于生活又服务于生活。