三元一次方程组的解法经典例题

8.4三元一次方程组解法举例1．在方程5x －2y ＋z ＝3中，若x ＝－1，y ＝－2，则z ＝_______.2．已知单项式－8a 3x ＋y －z b 12 c x ＋y ＋z 与2a 4b 2x －y ＋3z c 6，则x ＝____，y ＝____，z ＝_____.3．解方程组 ,则x ＝_____，y ＝______，z ＝_______.4．已知代数式ax 2＋bx ＋c ，当x ＝－1时，其值为4；当x ＝1时，其值为8；当x ＝2时，其值为25；则当x ＝3时，其值为_______.5．已知，则x ∶y ∶z ＝___________.6．解方程组 ，若要使运算简便，消元的方法应选取（ ）A 、先消去xB 、先消去yC 、先消去zD 、以上说法都不对7．方程组 的解是（ ）A 、B 、C 、D 、 8．若x ＋2y ＋3z ＝10，4x ＋3y ＋2z ＝15，则x ＋y ＋z 的值为（ ）A 、2B 、3C 、4D 、59．若方程组 的解x 与y 相等，则a 的值等于（ ）A 、4B 、10C 、11D 、1210．已知∣x －8y ∣＋2（4y －1）2＋3∣8z －3x ∣＝0，求x ＋y ＋z 的值.x ＋y －z ＝11y ＋z －x ＝5 z ＋x －y ＝1x ＋y －z ＝11y ＋z －x ＝5 z ＋x －y ＝1x ＋y ＝－1x ＋z ＝0 y ＋z ＝1x ＝－1 y ＝1 z ＝0x ＝1y ＝0z ＝－1 x ＝0 y ＝1 z ＝－1 x ＝－1 y ＝0 z ＝1 4x ＋3y ＝1 ax ＋（a －1）y ＝3 x －3y ＋2z ＝0 3x －3y －4z ＝011．解方程组（1（2）12．一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，他们两年前年龄和是子女两年前年龄和的10倍，6年后他们的年龄和是子女6年后年龄和的3倍，问这对夫妇共有多少个子女？。

三元一次方程20道题带过程对于三元一次方程，我们常常需要通过解方程来求得未知数的值。

接下来，我将给你提供20道带有详细过程的三元一次方程题目。

1. 求解方程组：x + y + z = 10x - y + z = 4x + 2y - z = 6解：将方程求解组合消元，得：(2) + (1) -> 2x + 3y = 14(3) - (1) -> y - z = -4(2) - (3) -> 3y + 2z = 2(2) * 3 - (3) * 2 -> 13y = 34解得 y = 34/13将 y = 34/13 代入 (3) 种，得到 z = 4/13将 y、z 值代入 (1)，得 x = 48/13解为：x = 48/13，y = 34/13，z = 4/132. 求解方程组：3x + y - z = 3x - 4y - z = 2解：将方程求解组合消元，得：(1) + (2) -> 5x + 2z = 10(3) + (2) -> 4x - 3y = 5(3) - (1) -> 4x - 3y = -3可以观察到 (3) - (1) 与 (3) + (2) 的结果相等，因此方程无唯一解。

3. 求解方程组：x + 2y - z = 62x - y + 2z = 83x + 4y - 3z = 2解：将方程求解组合消元，得：(2) - (1) -> 3x - 3y + 3z = 2(3) - (1) -> 2x + 2y - 2z = -4将得到的结果乘以2，得：2x + 2 = -8 + 4z由此可以得到 x = 20/11，y = -8/11，z = 8/11解为：x = 20/11，y = -8/11，z = 8/114. 求解方程组：2x + y - 3z = 2x - 3y + 2z = -1x - 3y - z = 0解：将方程求解组合消元，得：(2) + (1) -> 3x - 2y - z = 1(3) + (2) -> 2x - 6y + z = -1(3)/2 + (2) -> 3x - 3y = -2(3) + (1) -> 5x - 5y = 1将得到的结果乘以3，得：15x - 15y = 310x - 10y = -2由此可以得到 x = 1，y = 2，z = -1解为：x = 1，y = 2，z = -15. 求解方程组：x - y + z = 13x + 2y - z = 112x - 3y + 2z = 9解：将方程求解组合消元，得：(3) + (2) -> 5x - y + 3z = 203(1) + (2) -> 3x + y = 14将 (3) - 2(1)，得：5x - y + 3z - 2x + 2y - 2z = 20 - 23x + y = 18可以观察到 (3) - 2(1) 与 3(1) + (2) 的结果相等，因此方程无唯一解。

8.4三元一次方程组解法举例（一）、基础练习1.在方程5x—2y + z= 3 中，若x = —1, y =—2，贝V z = ___2.已知单项式一8a3x+厂z b12c x +y+z与2a4b2x—y+ 3z J,贝U x =—,.x+ y —z= 113.解方程组________________ y + z —x = 5 贝U x= ___ , y= , z= ..z+ x —y= 14.已知代数式ax2+ bx + c,当x = —1时，其值为4;当x = 1时，其值为8;当x = 2时，其值为时，其值为 ________ .5.________________________________________________ 已知「x—3y+ 2z= 0，则x : y : z= _______________________________________________ .3x—3y —4z= 0_ x+ y —z= 116.解方程组 f y+ z —x= 5若要使运算简便，消元的方法应选取（）< z+ x —y= 1A、先消去xB、先消去yC、先消去zD、以上说法都不对7.方程组x + y = —1 x + z=解是() y+ z= 1x =—1 丿y = 1 x = 0y = 1z=— 1.x=— 1y= oz= 18.若x+ 2y+ 3z= 10, 4x + 3y + 2z= 15,贝U x + y+ z 的值为(A、2B、3C、4D、59.若方程组一4%+的解=与y相等，则a的值等于().一ax+( a—1) y =3A、 4B、10C、11D、1210.已知I x —8y 1+ 2 (4y—1) 2+ 3 I 8z —3x 1= 0,求x + y+ z 的值.11.解方程组x + y—z= 6(1)x —3y+ 2z = 1I 3x + 2y —z= 412 .一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，他们两年前年龄和是子女两年前年龄和的10倍，6年后他们的年龄和是子女6年后年龄和的3倍，问这对夫妇共有多少个子女?（二）拓展训练13、解下列方程组：3x -y +2z =3 （诫x + y -3z=11&+y +z=12 |2x「3y z| （x 2y「z）2 =0 x y z 11（三）达标测试ax by - -16 x = 814、已知方程组的解应该是，一个学生解题时，把cx+20y = —224 y = —10c看错了，因此得到解为x = 12，求a、b、c的值。

三元一次方程组解法举例一、学习内容熟练掌握简单的三元一次方程的解法。

二、例题分析第一阶梯[例1]解方程组提示：解一次方程的思想是什么？可以采取什么方法来实现？参考答案：解：把①代入②得5x+3(2x-7)+2z=2整现得11x+2z=23 ④④×2+③得25x=50，x=2把x=2代入①和③得y=-3，z=∴是原方程的解说明：解三元一次方程，可以先消去一个未知数化为二元一次方程来解，即三元转化二元转化一元，因此代入消元、加减消元法均可运用。

[例2]提示：此方程组是一个三元一次方程组，我们知道，解二元一次方程组的基本方法是代入法和加减法，事实上，在求解过程中，不管是代入或是加减，其目的是消元，把二元转化为一元，从而求解，类似，三元一次方程组的解法也可以设法将三元二元一元，观察方程组，①中含有两个未知数，可以变形为y=2x-7 ④，把④分别代入②，③，便于消去y，得到一个关于x，z的二元一次方程组，通过求解x，z便可求出y的值，从而达到解三元一次方程组的目的。

参考答案：解：由①得y=2x-7④将④分别代入②③得⑤-⑥得12x=48∴x=4把x=4代入⑤得4+z=3∴z=-1把x=4，z=-1代入②得4+2y+5(-1)=12y=2∴y=1说明：此题也可以用代入法求解x，z，一般来说，当方程组中某个未知数为1时，用“代入法”来求解比较简，当某个未知数的系数绝对值相等或成整数倍时用"加减法"消元比较容易，特别对多元一次方程组，两者可以结合起来。

第二阶梯[例1]提示：考虑用加减法，三个方程中，z的系数比较简单，设法先消去z，① + ③可以消去z，得到一个只含x，y的方程，进一步② + ③×2，也可以消去z得到一个只含x，y的方程，这样，就得到了一个关于x，y的二元一次方程组。

参考答案：① + ③得 5x + 5y = 25 ④② + ③×2得 5x + 7y = 31 ⑤解这个方程组⑤ - ④得∴把x = 2，y = 3代入①得3×2 + 2×3 + z = 13 ∴z = 1说明：此题是根据观察三个未知数的系数，先要考虑好消去哪个未知数，这是根据谁的系数简单，就消去谁，此题还可以利用① - ②×3，③ - ②×2消去x或① - ②×2，③ - ②×3消去y，都可以利用消元法求解方程组，可见消元法是解多元一次方程组基本方法。

三元一次方程20道题带过程1. 题目：三元一次方程20道题带过程题目一：求解方程组已知方程组：2x + 3y - z = 7 ①3x - 2y + z = 3 ②5x + 4y - 3z = 13 ③解：首先，我们可以使用消元法来求解这个方程组。

通过加减、乘除等运算，将其中一个未知数的系数消去，从而减少未知数的个数。

①乘以3得到：6x + 9y - 3z = 21②乘以2得到：6x - 4y + 2z = 6将上述两个新方程相减，可以消去x：(6x + 9y - 3z) - (6x - 4y + 2z) = 21 - 613y - 5z = 15 ④接下来，我们继续消去z。

将①乘以4得到：8x + 12y - 4z = 28③乘以3得到：15x + 12y - 9z = 39将上述两个新方程相减，可以消去y：(8x + 12y - 4z) - (15x + 12y - 9z) = 28 - 39-7x + 5z = -11 ⑤现在，我们得到了两个二元一次方程，④和⑤。

接下来解这两个方程。

将⑤乘以13得到：-91x + 65z = -143 ⑥将④乘以7得到：91y - 35z = 105 ⑦将⑥和⑦相加，可以消去z：(-91x + 65z) + (91y - 35z) = -143 + 105-91x + 91y = -38可得到新的方程：x - y = 38/91 ⑧最后，我们可以通过代入法求解方程组。

将⑧代入到④或⑤中，可以求出y和z的值。

然后再代入到①、②、③中，可以求出x的值，从而得到方程组的解。

题目二：求解方程组已知方程组：4x + 2y - 3z = 12 ①6x - 3y + z = 1 ②2x + 4y - z = 5 ③解：首先，我们可以使用消元法来求解这个方程组。

③乘以2得到：4x + 8y - 2z = 10①乘以3得到：12x + 6y - 9z = 36将上述两个新方程相减，可以消去x：(12x + 6y - 9z) - (4x + 8y - 2z) = 36 - 108x - 2y - 7z = 26 ④接下来，我们继续消去y。

实用标准文案武汉龙文教育学科辅导讲义由③、⑤得⎩⎨⎧=+=⑤③38344y x y x 解得8,2.x y =⎧⎨=⎩把x=8,y=2代入①得z=2.∴8,2,2.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩是原方程组的解. 根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为： 类型二：缺某元，消某元型.例2：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++③②①172162152z y x z y x z y x 分析：通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等。

具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。

解：由①+②+③得4x+4y+4z=48， 即x+y+z=12 .④ ①-④得 x=3，②-④得 y=4， ③-④得 z=5，∴3,4,5.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 是原方程组的解. 典型例题举例：解方程组20,19,21.x y y z x z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩①②③解：由①+②+③得2(x+y+z)=60 ， 即x+y+z=30 .④④-①得 z=10， ④-②得 y=11， ④-③得 x=9，∴9,11,10.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩是原方程组的解. 根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为： 类型三：轮换方程组，求和作差型.例3：解方程组⎩⎨⎧=+-=②①21327:2:1::z y x z y x分析1：观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，根据以往的经验，学生看见比例式就会想把比例式化成关系式求解，即由x:y=1:2得y=2x ； 由x:z=1:7得z=7x.从而从形式上转化为三元一次方程组的一般形式，即2,7,2321.y x z x x y z =⎧⎪=⎨⎪-+=⎩①②③，根据方程组的特点，学生可选用“有表达式，用代入法”求解。

解法1：由①得y=2x ，z=7x ，并代入②，得x=1.把x=1，代入y=2x ，得y=2； 把x=1，代入z=7x ，得 z=7.∴1,2,7.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩是原方程组的解. 分析2：由以往知识可知遇比例式时，可设一份为参数k ，因此由方程①x:y:z=1：2：7，可设为x=k,y=2k,z=7k.从而也达到了消元的目的，并把三元通过设参数的形式转化为一元，可谓一举多得。

《三元一次方程组的解法》同步练习题（3）知识点：解三元一次方程组的基本思路是：经过“代入” 或“加减” 进行消元，把“三元”转变成“二元”，使解三元一次方程组转变成解二元一次方程组，从而再转变成解一元一次方程．同步练习：x3x1x0在①y0②y2③y1这三组数值中，_______1.z3z3z0是方程x 2 y z0的解，_______是方程2 x的y z 1解，________是方程3 x y z的解，所以__________2x 2 y z0,是方程组 2 x y z1, 的解。

3 x y z22.若三元一次方程x－ y＋mz此中 x=1,y=2,z=3,则 m的值为__________ 23=0,2 x y 2 z3,3.若满足方程组 4 x 5 y z1, 的 x的值是1， y的值是1，x y z0则该方程组的解是__________x y z 11,4.解方程组y z x5,若要使运算简易，消元的方法应z x y 1.采用（）A .先消去xB .先消去yC.先消去z D .以上说法都对x3,以1, 为解建立三元一次方程组，不正确的选项是（）z1A .3 x 4 y 2 z 3B . 1xy z13C .x y z2D .x2y z 152 36x y 6,6.三元一次方程组xz4, 的解的个数为（）2 xyz10无数多个 B . 1 C .2 D .0A .已知方程组 2 x y z 5, 则 xy 的值为（）7.5 x 8 yz9 ,C.14 D. 2x y 3三元一次方程组y z 的解是（）8 .5zx4x0 x1 x1x 3A . y2 B . y2 C . y 0D . y 1z 3z3z3 z19.已知（ x1） （32y1)2yz 5 0,则x________,2y _______,z _______.2x y z 15 x yz 2 10.解方程组（ 1）x2y z 16 （2） y zx 4xy 2z17z xy6在yaxbx中，当x时，当时，；12.2c1y0; x1y6当x时，y3;则当时， 等于多少呢？2x 2y《三元一次方程组的解法》同步练习题（3）答案：1、 ； ； ；2、433、X = — 1 ； y = 1 ；z = 04、D5、C6、A7、B8、B9、 1;—1;—112210、X = 3x = 4（ 1）Y = 4 （ 2）y = 3Z = 5 z = 512、a = 2b = — 3 ；当 x = — 2 时， 4a — 2b +c = 15C = 1。

高中数学解三元一次方程组的方法及相关题目解析一、引言三元一次方程组是高中数学中的重要内容之一。

解三元一次方程组需要使用代数方法，通过变量的消元、代入等步骤，找到方程组的解。

本文将介绍解三元一次方程组的常用方法，并通过具体题目进行解析，帮助读者更好地理解和掌握该知识点。

二、方法一：代入法代入法是解三元一次方程组的常用方法之一。

具体步骤如下：1. 选取一个方程，将其中一个变量表示为其他变量的函数。

2. 将该函数代入其它方程，得到一个二元一次方程组。

3. 解二元一次方程组，求出两个变量的值。

4. 将求得的变量值代入原方程中，求出第三个变量的值。

以下通过一个例题来说明代入法的具体操作：例题：解方程组2x + y + z = 10x + 3y - z = 4x + 2y + 3z = 14解析：选取第一个方程，将z表示为其他变量的函数：z = 10 - 2x - y将z代入第二个方程，得到一个二元一次方程组：x + 3y - (10 - 2x - y) = 4化简得：3x + 4y = 14解二元一次方程组3x + 4y = 14和第一个方程2x + y + z = 10，可以得到x和y 的值：x = 2, y = 1将求得的x和y代入第一个方程，求出z的值：z = 10 - 2x - y = 10 - 2(2) - 1 = 5因此，方程组的解为x=2，y=1，z=5。

三、方法二：消元法消元法是解三元一次方程组的另一种常用方法。

具体步骤如下：1. 选取两个方程，通过消元的方式，将其中一个变量消去。

2. 得到一个二元一次方程组。

3. 解二元一次方程组，求出两个变量的值。

4. 将求得的变量值代入原方程中，求出第三个变量的值。

以下通过一个例题来说明消元法的具体操作：例题：解方程组2x + y + z = 10x + 3y - z = 4解析：选取第一个方程和第二个方程，通过消元的方式将z消去：(2x + y + z) - (x + 3y - z) = (10) - (4)化简得：x + 4y = 6解二元一次方程组x + 4y = 6和第三个方程x + 2y + 3z = 14，可以得到x和y 的值：x = 2, y = 1将求得的x和y代入第一个方程，求出z的值：2(2) + 1 + z = 10化简得：z = 5因此，方程组的解为x=2，y=1，z=5。

8.4三元一次方程组解法举例(一)、基础练习1．在方程5x－2y＋z＝3中，若x＝－1，y＝－2，则z＝_______.2．已知单项式－8a3x＋y－z b12 c x＋y＋z与2a4b2x－y＋3z c6，则x＝____，y＝____，z＝_____.3．解方程组x＝_____，y＝______，z＝_______.4．已知代数式ax2＋bx＋c，当x＝－1时，其值为4；当x＝1时，其值为8；当x＝2时，其值为25；则当x＝3时，其值为_______. 5．已知，则x∶y∶z＝___________.6．解方程组）A、先消去xB、先消去y C、先消去z D、以上说法都不对7．方程组A8．若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（）A、2B、3C、4D、59．若方程组的解x与y相等，则a的值等于（）A、4B、10C、11D、1210．已知∣x－8y∣＋2（4y－1）2＋3∣8z－3x∣＝0，求x＋y＋z的值. 11．解方程组（1（2）4x＋3y＝1ax＋（a－1）y＝3x－3y＋2z＝03x－3y－4z＝012．一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，他们两年前年龄和是子女两年前年龄和的10倍，6年后他们的年龄和是子女6年后年龄和的3倍，问这对夫妇共有多少个子女？（二）拓展训练 13、解下列方程组：(1)323231112x y z x y z x y z -+=+-=++= (2)|23|(2)2011x y z x y z x y z -+++-=++=（三）达标测试 14、已知方程组1620224ax by cx y +=-+=-的解应该是810x y ==-，一个学生解题时，把c 看错了，因此得到解为1213x y ==-，求a 、b 、c 的值。

三、课后巩固15.小明手里有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中，1元纸币的张数是2元纸币张数的4倍，求1元、2元、5元的纸币各多少张？例1 一个口袋装有5只同样大小的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取出3只，以ξ表示取出最小的号码，求ξ的分布列。