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留数及留数定理

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留数及留数定理

留数及留数定理
ez − 1 1 z 2 z 3 z4 z5 z6 = 5 1 + z + + + + + + L − 1 5 2! 3! 4! 5! 6! z z 1 1 1 1 1 z = 4+ + + + L, 3 + 2 + z 2! z 3! z 4! z 5! 6!
其中n=4的项的系数为 -1=1/4!, 从而也有 的项的系数为c 其中 的项的系数为 ,
d4 z 1 1 Res[ f1 ( z ),0] = lim 4 (e − 1) = 4! z → 0 dz 4!
14
例3．求下列函数在指定点处的留数 (1) f1 ( z ) = (e z − 1) z 5 , z0 = 0 ; 另解： 另解： f1 ( z ) 在点 z0 = 0 的去心邻域 0 < z < ∞内的 Laurent级数为 级数为
Res[ f1 ( z ),0] = c−1 = 1 4!
15
(2)f 4 ( z ) = sin(1 z ) , z0 = 0 ; 解 ： f 4 ( z ) 在点 z0 = 0 的去心邻域 0 < z < ∞ 内的 Laurent级数为 级数为
1 ∞ ( −1) n z −2 n −1 sin = ∑ z n= 0 ( 2n + 1)!
2πi 0 (高阶导数公式 高阶导数公式) 高阶导数公式 + ∫ c0dz + ∫ c1 ( z − z0 )dz + + ∫ cn ( z − z0 )n dz + L
C C C
= 2πic−1
0 (柯西积分定理) 柯西积分定理)

数学物理方法-留数

数学物理方法-留数

2
2
sin ei ei 1 z z1 2i 2i
2. 把原积分变成：
２ R(cos,sin ) d f (z) d z
０
|z|1
2 i f (z)在单位元内孤立奇点的留数之和
5.2 利用留数定理计算实函数积分
１
2 i
C
f
( z )dz

Resf
()
C
１
n
2 i C f (z)dz k1 Resf (bk )
x
二者相加，并注意到右边两个积分的围道的方向
相反，其和为零，得到右边所有有限孤立奇点和
无穷远点的留数之和为0。
5.1 留数及其留数定理
6.所有奇点留数之和：应用
例题：求积分
1
zk

e2 ki/4

i 1
i
k 0 k 1 k 2 k 3
都是一阶极点，且都在 z 2内。
y | z | 2
x
例题
5.1 留数及其留数定理
例4
ez
计算积分 |z|2 z(z 1)2 dz
5.2 利用留数定理计算实函数积分
5.2 利用留数定理计算实函数积分
2.留数定理:证明
如图，在每个孤立奇点bk，以bk为中心，做一个小圆 k ,使得每个 k中只包含一个孤立奇点bk。则根据多联通区域的柯西积分公式
有
m
C
f
z dz
k 1 k
f
z dz
其中
也是逆时针方向的。
k
将f z 在bk的邻域内展开为洛朗级数

f
因此

留数

留数

设C为该去心邻域内围绕z0的正向简单闭曲线，
∫
C
f ( z ) dz =
n = −∞ C
∑
+∞
cn ( z − z 0 ) n dz ∫
1 ∫ c−n ( z − z0 ) dz = C c−n ( z − z0 ) n dz ∫ C
−n
2πic−1 , n = 1 2πi ( n −1) 由高阶导数公式：= c− n f ( z0 ) (n − 1)! 0, n ≠ 1 dz ∫c f ( z )dz = c−1 ∫c z − z0 = 2πic−1
1 ∴ z 0为 Q ( z )的一级零点 , 从而 z 0为 的一级极点 , Q( z )
1 1 ϕ (z) 因此 , = Q ( z ) z − z0
(ϕ ( z )在 z 0处解析且 ϕ ( z 0 ) ≠ 0 )
1 g ( z ) ( g ( z ) = ϕ ( z ) P ( z ) 在 z 0 解析 , 故f ( z) = z − z0 且 g ( z 0 ) ≠ 0 ),
若将 f ( z )作 Laurent 级数展开 :
z − sin z 1 1 3 1 5 = 6 [ z − ( z − z + z − L)] 6 z z 3! 5! 1 1 11 = − +L 3 3! z 5! z
1 z − sin z ,0 = − ∴ Re s 6 5! z
留数(Residue) §5.2 留数
1. 留数的定义 2. 留数定理 3. 留数的计算规则
1. 留数的定义
设z0为f ( z )的孤立奇点，由洛朗定理
f ( z) =
n = −∞
cn ( z − z 0 ) n ∑

留数的定义留数定理留数的计算规则无穷远点的留数

留数的定义留数定理留数的计算规则无穷远点的留数

( g ( z ) ( z ) p( z ) 在z0解析, 且 g ( z0 ) 0 )
则z0为f ( z)的一级极点,由规则
Re s[ f ( z ), z0 ] lim ( z z0 ) f ( z )
z z0
Re s[ f ( z ), z0 ] lim ( z z0 ) f ( z )

(5)
事实上，由条件
f ( z ) cm ( z z0 ) m c2 ( z z0 ) 2 c1 ( z z0 ) 1 c0 c1 ( z z0 ) , (cm 0)
以( z z0 )m 乘上式两边 ,得
( z z0 ) m f ( z ) cm cm1 ( z z0 ) c1 ( z z0 ) m1 c0 ( z z0 ) m



当 m = 1时，式(5)即为式(4).
p( z ) , Q( z ) p( z ), Q( z )在z0 处解析,
规则III 设f ( z )
p( z0 ) 0 , Q( z0 ) 0 , Q' ( z0 ) 0，则
z0 是f ( z )的一级极点 ,且 p( z0 ) Re s[ f ( z ), z0 ] Q' ( z 0 ) ( 6)
c k 1
n
k
]
(3)
证明
用互不包含 , 互不相交的正向简单闭 曲线ck (k 1,2,n)，将 c内的弧立奇点zk 围绕,
由复合闭路定理得：
f ( z)dz
c
c1
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
c2 cn

第一节留数定理 优质课件

第一节留数定理 优质课件
第四章 留数定理
第1节 第2节
第3节
留数定理 应用留数定理计 算实变函数定积分 计算定积分补充例题
1
§4.1 留数定理
一. 留数及留数定理
1. 留数
如果函数f(z)在z0的邻域内解析, 那么根据柯西定理
f (z) d z 0.
l
但是, 如果z0为f(z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某个
=
lim ( z
zz0
-
z0
)
P(z0 Q(z0
) )
=
P(z0 ) Q' (z0 )
例
Re
s

z
ze z 2-
1
,-1


lim z
z-1

1
z
ze z 2-
1

ze z
lim z-1
2z


e -1 2
Re
s

z
ze z 2-
1
,1
(1)+(2)可得
0 2if z在所有各点的留数之和
即函数在全平面上所有各点的留数之和为零,这里所有的点 包括无留数的计算方法
（一）可去奇点的留数： 对于可去奇点由定义知：Resf(z0)=0
（二） 极点的留数
1. 如果z0为f(z)的一阶极点（单极点）, 则
① l 包围一个 f(Z)的孤立奇点Z0 时
( z - z )
f (z)=
ak
k -
k
0
Cauchy 定理知： f (z)dz = f (z)dz
l
l0
又Q
1
2i

第四章 留数定理

第四章 留数定理
( z z0 ) P ( z ) P( z ) ★因为 f ( z0 ) lim( z z0 ) lim z z0 Q( z ) z z0 Q( z )
★肯定是0/0型！为什么？
2、设z0是f (z)的m阶极点，则，
1 d Res f ( z0 ) lim m1 [( z z0 ) m f ( z )] (m 1)! z z0 dz
2
1 2 1 i lim 3 2! z 0 ( z 2i ) 8i 8
i Res f (0) 8
1 1 i （2） limi ( z 2i) f ( z ) limi 3 z 2 z 2 z 8i 8 z 2i 是 f (z ) 的单极点，其留数为
m 2
....
m 1
lim[( z z0 ) f ( z )] lim[a m a m1 ( z z0 ) a1 ( z z0 )
a0 ( z z0 )m a1 ( z z0 )m1 a2 ( z z0 ) m 2 ....] a m
1 1 2 z1 1 1 2 z2
§4.2 应用留数定理计算实变 函数定积分 一、思路:实函数定积分转换为复函数回路积分
方法1：将实轴上的某区间变换成复平面的一条闭曲线
n
3、函数在全平面的留数之和等于零——为什么？
0 f ( z )dz f ( z )dz 2 i[ Res f (bk ) Res f ()]
l l k 1
三、单极点处留数的计算P52
1、单极点的留数 方法1：
Res f ( z0 ) lim( z z0 ) f ( z )
l j 1 j

第四节 留数与留数定理


1)
[ 1

1 (z
1)

1 3

1
1 z

1]

1 4(z
[ (z 1) n0

1)n

1 3

(1)n
n0

z
3
1
n
]
3
故 Re s[ f (z), 1] 1 1 1
由留数定理得
4 12 3
原式 2 i{Re s[ f (z), 0] Re s[ f (z), 1]}
两边对z求m-1阶 导c1数(z， 得z0 )m1 c0(z z0 )m
d m1 dz m 1
{( z

Байду номын сангаас
z0 )m
f
(z)}
(m
由此可见，n当 0, 1, 2, , m 1时，f (n)(z0 ) 0 ，
要而性f ，(mm)充(!z0分) 性c请0 读0者．自这己就证证明明．了上述结论的必
例５ 问z 0为f (z) z sin z的几级零点？
解： 因为 f (z) 1 cos z，f (z) sin z，f (0) 0 ，
f
(z)

(z

z0 )m
1 g(z)
(z
z0 )m h(z)
，
其中h( z ) 义3可知z
0是g(1zf)(也z)在的zm0级解零析点且．h(
z0
)

0
，由定
定理2为判断函数的极点及其类型提供了一 个较为简便的方法．
1 例指出６它们函为数几s级in极z 点有．哪些奇点？如果是极点，

第四章留数定理及其应用

两边沿顺时针方向积分
x ol
f (z)dz l
ak
zkdz
l
ak l zkdz a1 2 i
k
k
66
因此f (z)在z=的留数为f (z)在z=邻域内的罗朗展开式 中z-1项的系数的a-1相反数，即
Re sf () a1 若f (z)在有限远的可去奇点邻域内的罗朗展开式中没有负 幂项， f (z)在有限远的可去奇点上的留数为零；若无限远 点为可去奇点时， f (z)在无限远点邻域内的罗朗展开式中 没有正幂项，但有负幂项，所以无限远点为可去奇点时， Res f ()一般不为零.
f (z) P(z) 1 其中P(z)=1，Q(z)=sinz，则:
Q(z) sin z
Res
f
(k )
lim
zk
1 (sin z)'
lim
zk
1 cos z
(1)k
k 0, 1, 2,
1144
由于z=不是f (z)的孤立奇点（是各奇点z=k当 k 时
的极限点），因此在z=的留数没有意义.
四、推论
若函数f (z)在复平面上除有限个孤立奇点外解析，则函 数f (z)在各奇点（包括无限远点）上的留数和为零. 此 定理称为留数和定理.
77
【证】 设闭曲线l把复平面内所有的有限远的孤立奇点都包围 在内，则：
m
l f (z)dz 2 i Resf (bk ) k=1
无限远点的留数为： f (z)dz 2 i Resf () l
b
a F ( x)dx C F (z)dz l F (z)dz
2 i[F(z)在闭曲线所包围的区域内各奇点上的留数之和].
其中
b

复变函数留数和留数定理


THANKS
感谢观看
理论支撑
复变函数留数和留数定理是数学领域 中非常重要的概念，它们在复分析、 积分方程、特殊函数等领域有着广泛 的应用。留数定理是解决复积分问题 的重要工具，它可以用来计算复平面 上的曲线积分，解决物理和工程领域 中的许多问题。
留数的计算方法包括直接法、参数法 和级数展开法等。其中，直接法是最 常用的方法，通过将函数在奇点附近 进行泰勒展开，然后利用展开式计算 留数。参数法和级数展开法则适用于 某些特殊情况，如函数具有特定的对 称性或周期性等。
2πi f(z0)，其中z0是该开域内的点。
应用范围
02 柯西积分公式适用于解析函数，即在其定义域内可微
的函数。
特殊情况
03
当z0是奇点时，柯西积分公式不适用。
积分定理和路径的选取
积分定理
如果f(z)在包含z0的开
域内解析，则对于该开
域内的任何两个点z1和
z2，有∫f(z)dz
=
∫f(z)dz + f(z2)(z1-
留数定理是复分析中的核心定理之一 ，它建立了奇点、积分和留数之间的 联系。通过留数定理，我们可以将复 杂的积分问题转化为相对简单的留数 计算问题，从而简化计算过程。此外 ，留数定理还可以用来研究函数的奇 点性质和函数在无穷远点的行为等。
对未来研究和应用的展望
深入研究留数定理
应用领域的拓展
尽管我们已经对留数定理有了较为深 入的了解，但仍有许多未解决的问题 和需要进一步研究的方向。例如，对 于具有更复杂奇点的函数，如何更准 确地计算留数？如何利用留数定理解 决更广泛的积分问题？这些都是值得 探讨的问题。
02
复变函数基础知识
复数及其运算
复数

数学物理方法 第4章 留数定理



e
ma
2 ia


0
cos ma x a
2 2
dx i
e
ma

e
ma
2 ia
2a
y
例：
0
sin x x
dx
Cε
CR
解：如图4.9所示，
图4.9
0
x

sin x x
dx lim
R 0

R
sin x x
R e imx dx lim dx R 2i 0 x 1
1
z 1
1 2
z z 2
1

2
iz

dz
z 1
z (1 ) z
2 2
i
f (z)
dz
z 1
( z 1)( z )
1
记：
z
( z 1)( z )
它在复平面上有2个单极点
和
1

其中 z 在单位圆内，其留数为：
CR
x 图4.7



f ( x ) dx 2 i
{
f (z)
在上半平面所有奇点的留数之和}
例：


dx 1 x
2

解： 记：
z i
f (z)
1 1 z
2
,它在上半平面有单极点
其留数为：
1 zi 1 2i
Re sf ( i ) lim ( z i ) f ( z ) lim
1 z ( z 2i)
3
并求函数在这些极点的留数。
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4
积分 f (z)dz
C
cn (z z0 )ndz c1 (z z0 )1dz
C
C
0 (高阶导数公式)
2i
c0dz c1(z z0 )dz cn(z z0 )ndz
C
C
C
2ic1
0 (柯西积分定理)
用Laurent级数的展开式计算积分
根据罗朗展开定理及罗朗级数的性质，得

C f (z)dz 2 ic1
即
1
2 i C f (z)dz c1
因此，我们可以根据求出系数c-1 的值来计算积分。 步骤：1.分析f(z)的解析性，确定解析环域；
2.在包含积分路径C的解析环域里将函数
展成Laurent级数
在
z0都解析，
如果 P(z0 ) 0,Q(z0 ) 0,Q(z0 ) 0, 那末 z0为
f (z) 的一级极点, 且有
Res[
f
( z ),
z0 ]

P(z0 ) Q(z0 )
.
(5 2 4)
9
证 因为 Q(z0 ) 0, Q(z0 ) 0 所以 z0为1Q(z) 的一级零点, z0 为 Q(z) 的一级极点，P(z0 ) 0
Laurent级数中负幂项 c1(z z0 )1的系数
5
即
1
2 i
C
f (z)dz c1 Res[ f (z), z0 ]
(5 2 1)
注 f (z) 在 z0 的留数为 f (z) 在 z0 为中心的圆环 域内的Laurent级数中负幂项 c1(z z0 )1的系数。
3.求c1
1
留数和留数定理
一Δ、留数的定义和计算 二、 留数定理 三*、函数在无穷远点的留数
2
一Δ 、留数的定义和计算
C .z0
设 z0 为 f (z) 的一个孤立奇点; z0 的某去心邻域 0 z z0 R
包含 z0 的任一条正向简单闭曲线C.
定义
若f(z)在z0的去心邻域0 <|z-z0 |< R内解析
分析 P(0) P(0) P(0) 0, P(0) 0.
z 0是 z sin z 的三级零点
所以 z 0是 f (z)的三级极点， 由规则2得
Res[
f
(z),0]

(3
1 lim
1)! z0
d2 dz 2

z
3

z
sin z6
z
.
计算较麻烦.
Res[
f1 ( z ),0]
12
解 如果利用Laurent展开式求系数c-1较方便：
z
sin z6
z

1 z6
z


z

z3 3!

z5 5!

z3 z1 , 3! 5!
Res z
sin z6
z
,0

c1


1 5!
.
13
说明: 1. 在实际计算中应灵活运用计算规则. 如 z0 为m级极点，当m 较大而导数又难以计算时,
6
计算留数的一般公式 （1）若z0为函数f(z)的可去奇点，则它在点z0的留 数为零。
当z0为f(z)=g(z-z0)的孤立奇点时，若g(ζ)为偶 函数，则f(z)在点z0的去心邻域内Laurent级数只含 z-z0的偶次幂，其奇次幂系数都为0，从而得知
Re s f (z), z0 0
(2)如果 z0为 f (z) 的本性奇点, 则需将 f (z)展开
所以
Res

ez zn
,0

(n
1
dn1

1)!
lim
z0
dz
n1

zn

ez zn


(n
1 1)!
.
或
ez
φ(0)
1
Res[ zn , 0] = (n - 1)! = (n - 1)!
11
例2
求
f
(z)

P(z) Q(z)

z
sin z6
z
在
z

0
的留数.
成Laurent级数求 c1.
7
(3)如果 z0为 f (z)的极点, 则有如下计算规则
规则1o 若z0为f(z)的一阶极点，则有
规则2o 若Rz0e为s ff((zz)),的z0n 阶lzi极mz0(点z ，z0则) f对(z任) 意整数
mn 有
Res f(z), z0
=
1 (m - 1)!
lim
zz0
dm-1 dzm-1
[(z
-
z0
)m f(z)]
由于f(z)=
(
(z)
zz0
)n
，由高阶导数定理可得
Res[
f(z),
z0 ] =
1 2πi
C
(z
φ(z) - z 0 )n
dz
=
φ(n-1) (z0 ) (n - 1)!
8
规则3
设
f
(z)

P(z), Q(z)
P(z) 及
Q(z)
可直接展开Laurent级数求c-1来计算留数。
2. 在应用规则2时, 为了计算方便一般要将m
取得比实际的级数高. 因为有时把m取得比实际的
级数高能够使得计算方便.如上例取 m 6
Res f (z),0
(6
1
1)!
lim
z0
d5 dz5

z
6

z sin z z6
则称
1 2πi
C
f (z)dz
记
Res[f (z), z0 ].
为 f (z) 在 z0 的留数(Residue),
3
计算留数
1
2 i

C
f (z)dz：
C .z0
f (z) 在 0 z z0 R 内的Laurent级数:
f (z) cn(z z0 )n c1(z z0 )1 c0 c1(z z0 ) cn(z z0 )n

1 . 5!
14
例3．求下列函数在指定点处的留数
(1)f1(z) (e z 1) z5 , z0 0 ;
解：z0 0是函数 e z 1 的一级零点,
又是函数 z 5 的五级零点.
于是它是 f1(z) 的四级极点, 可用规则 2计算其留数,其中n=4,为了计算简便应
当取其中m=5,这时有
所以 z0 为 f (z) 的一级极点,
Res[
f
( z ), z0 ]

lim(z
zz0

z0
)
f
(z)
P(z)

lim
zz0
Q(z)

Q( z0
)
P(z0 ) . z z0 Q(z0 )
10
典型例题
例1
求 f (z)
ez zn
在
z

0
的留数（n为正整数）。
解 因为 z 0 是 f (z)的n阶极点，