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留数定理及其应用

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留数及应用

留数及应用
其和函数F(z)为在 z 0 解析的函数.
(2) 无论 f (z) 在 z 0 是否有定义, 补充定义 f(z0)c0,则函数 f (z) 在 z 0 解析.
f(z0)lz iz0m f(z) f(z)Fc(0z,),zzz0z0
2) 可去奇点的判定 定理 若z0是f(z)的孤立奇, 则点以下三个条件等价：
1 1)(z
1)2
,
所以 : z1是函数的一,级极点
z 1是函数的二级极. 点
3. 本性奇点
如果洛朗级数中含有无穷多个z z0 的负幂项,
那么孤立奇点 z 0 称为 f (z) 的本性奇点.
例如， e1 z1z 11z 2 1z n ,
2 !
n !
含有无穷多个z的负幂项 (0z)
1
所以z 0为本性奇点 同时，lim e z 不存在. z 0
思考
z0是 z
sin z5
z 的几阶极点? （二阶极点）
注意: 不能以函数的表面形式作出结论 .
三、函数在无穷远点的性态
1. 定义 如果函数 f (z)在无穷远点 z的去心
邻域 Rz内解析, 则称点 为 f (z) 的孤
立奇点.
y
R
o
x
令变换t
1 z
: 则f(z)
f1t (t),规定此变换将:
(2)(3) 根据函数极限的性质，是显然的．
(3)(1)
由 (3 )设 , z 0 的 在 去 0 z 心 z 0内 邻 ,f(z) 域 M ．
f(z)在 z0点 的 洛 f(z) 朗 cn级 (zz0)数 n,
n
cn2 1iC ( f(z 0) )n 1d ,(n 0 , 1 , 2 , )

数学物理方法 留数定理及其应用

数学物理方法 留数定理及其应用
1 dx , cosh x 1 dx 3 cosh x
对于条件(1)






奇点 z=/2i, 3/2i,
数学物理方法2015.02
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
计算积分 设 f ( z)



1 dx cosh x
y=
1 cosh z
奇点 z=/2i, 3/2i, ，周期 2i -R

0
O
R
R



eix 1 dx cosh x 1 e
eiz C cosh z dz
0 eiR y eiR y dy i dy cosh( R iy ) cosh( R iy )
2 i iz Res f ( z ) e 1 e z i / 2
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
计算积分 设 f ( z)



eix dx cosh x
y=
y=/2 y=0
1 cosh z
奇点 z=/2i, 3/2i, ，周期 2i -R
eiz C cosh z dz R R eix eix dx dx R cosh x R cosh( x i ) i
| z z0 |
f z dz a z z dz
n | z z0 | n n 0

z0
2 ia1
如何计算留数，或系数a-1
数学物理方法2015.02
第一节 留数及留数定理
留数的计算方法
(1) 一般方法：利用留数的定义来求留数 (2) 根据孤立奇点的类型来计算留数

留数定理及其应用

留数定理及其应用

留数定理及其应用
留数定理是复变函数理论中的重要定理，用于计算函数在奇点处的留数。

具体来说，如果函数f(z)在区域D内解析，除了有
限个孤立奇点外，则对于D内的任意简单闭曲线C，有如下
留数定理：
∮Cf(z)dz = 2πi * sum(Res(f, z_k))
其中，∮C表示沿C的积分，Res(f, z_k)是函数f(z)在奇点z_k
处的留数。

留数定理的应用主要包括以下几个方面：
1. 计算积分：通过计算函数在奇点处的留数，可以用留数定理来计算复变函数沿闭合曲线的积分。

这样可以简化积分计算，尤其对于实数不易计算的积分，留数定理非常有用。

2. 计算极限：通过留数定理，可以计算复变函数在某个奇点处的极限。

如果函数的极限存在，那么它等于该点处的留数。

3. 解析延拓：通过计算函数在奇点处的留数，可以确定函数在奇点处的性质，如极点的类型（一级极点、二级极点等）以及解析延拓的可能性。

4. 解析函数恢复：留数定理可以用于还原函数原本的性质，即通过计算函数在奇点处的留数，可以还原函数在奇点前的数值。

总之，留数定理是复变函数理论中的重要工具，广泛应用于多个数学和工程领域，如积分计算、边界值问题、电路分析等。

它简化了复变函数的计算和研究，为解决实际问题提供了有效的方法。

数学物理方法课件：第四章 留数定理及其应用

数学物理方法课件：第四章 留数定理及其应用

z0
z0 z 2i 2i 2
z0 0 是f（z）的三阶极点
Re
s
f（0）
lim
z0
1 2！
d2 dz 2
z3 f（z）
1 d2
lim
z0
2！
dz
2
1
z
2i
12
lim
z0
2！（z
2i）3
1 i
8i 8
[例2] [解1]
求
f（z）
1 zn 1
f（z）（z 1）（z
在z0=1的留数
k！
Re s
f（z0）
a1
bm 1 （m
1
d m1
1）！dzm1
（z）
z z0
Re s
f（z0）（m
1 1）！zlimz0
ddzmm11（z
z0）m
f（z）
[推论]
若
f（z）
P（z），其中
Q（z）
P（z）和
Q（z）都在
[z则证0点：明解] 析R，Pe（s且zf0）（Pz（00），z0）QQ（P0（（，z0）zzQ00））（0z0） 0，Q（z0） 0
对
R
z
k
环 域中一个正向
（顺时针）回路l’，另作一
l
个围绕 点半径r很大的圆
形环路C。根据柯西定理：
C
f（z）dz f（z）dz ak zkdz
l
C（）
k C
zkdz （rei）kd（rei）
C
C
ir
k
1
2
e
i（k
1）
d
0
2i
k 1 k 1
0

第四章 留数定理及其应用

第四章 留数定理及其应用
对复变函数dzia定理41多个奇点的留数定理内的有限个奇点外均解析则复连通区域柯西积分定理单奇点留数定理由留数定理泰勒展开可反推出柯西积分公式和解析函数的无穷可导公式可以看作是留数定理的变形
第四章 留数定理及其应用
本章主要内容：
1. 留数的定义 2. 留数定理、留数的计算 留数定理、 3. 利用留数定理计算围线积分 4. 利用留数定理计算实积分
1 f (z) = , Res f (∞) = −1 z
※ 回顾：无穷远点奇点类型的判定。
定理4.2 如果 f (z)在扩充了的复平面上只有有限 个奇点，则 f (z)在所有奇点(包括无穷远点在内) 的留数之和为零。 如何证明？ 例4.6
ez f (z) = ，求 Res f (∞) 1+ z
若 f (z)= tan z，是否能求出Res f (∞) ?
§4.1 留数定理 一. 留数的定义
设z0为 f (z)的孤立奇点， f (z) 在z0的去心邻域
0 < | z − z0 | < R 内有洛朗展式 :
f (z) = ∑ an (z − z0 )
n=−∞ ∞ n
称 a−1 为 f (z)在 z0点的留数，记作 Res f (z0)。 即，留数是 (洛朗展式中) 负一次幂的系数。 Question: 为什么强调 z0 孤立奇点？
z→z0
如何证明？
从右往左,利用留数的定义和洛朗展开证明.
P(z) 公式 II 若 f (z) = ，其中P(z)和Q(z)均在z0 Q(z) 点解析，且 P(z ) ≠ 0, Q(z ) = 0, Q'(z ) ≠ 0
0 0 0
则
P(z0 ) Res f (z0 ) = Q'(z0 )

第四章留数定理及其应用

第四章留数定理及其应用
两边沿顺时针方向积分
x ol
f (z)dz l
ak
zkdz
l
ak l zkdz a1 2 i
k
k
66
因此f (z)在z=的留数为f (z)在z=邻域内的罗朗展开式 中z-1项的系数的a-1相反数，即
Re sf () a1 若f (z)在有限远的可去奇点邻域内的罗朗展开式中没有负 幂项， f (z)在有限远的可去奇点上的留数为零；若无限远 点为可去奇点时， f (z)在无限远点邻域内的罗朗展开式中 没有正幂项，但有负幂项，所以无限远点为可去奇点时， Res f ()一般不为零.
f (z) P(z) 1 其中P(z)=1，Q(z)=sinz，则:
Q(z) sin z
Res
f
(k )
lim
zk
1 (sin z)'
lim
zk
1 cos z
(1)k
k 0, 1, 2,
1144
由于z=不是f (z)的孤立奇点（是各奇点z=k当 k 时
的极限点），因此在z=的留数没有意义.
四、推论
若函数f (z)在复平面上除有限个孤立奇点外解析，则函 数f (z)在各奇点（包括无限远点）上的留数和为零. 此 定理称为留数和定理.
77
【证】 设闭曲线l把复平面内所有的有限远的孤立奇点都包围 在内，则：
m
l f (z)dz 2 i Resf (bk ) k=1
无限远点的留数为： f (z)dz 2 i Resf () l
b
a F ( x)dx C F (z)dz l F (z)dz
2 i[F(z)在闭曲线所包围的区域内各奇点上的留数之和].
其中
b

留数的定义,性质以及应用

留数的定义,性质以及应用

P( z ) ( z − z0 ) f ( z ) = Q ( z ) − Q ( z0 ) 因为 z − z0
令 z→z0 即得(5.2.6)
9
ze dz 2 ∫ 例 1 计算积分 C z − 1 , C 为正向圆周|z|=2.
z ez f ( z) = 2 [解] 由于 z − 1 有两个一级极点+1,−1, 而
z
[解] z=0 为被积函数的一级极点, z=1 为二级 极点, 而 z z e e Res[ f ( z ),0] = lim z ⋅ = lim = 1. 2 2 z →0 z → 0 ( z − 1) z ( z − 1)
15
⎤ 1 d ⎡ e 2 Res[ f ( z ),1] = lim ( z − 1) ⎢ 2⎥ (2 − 1)! z →1 d z ⎣ z ( z − 1) ⎦
6
2. 留数的计算规则 规则1 如果z0为f(z)的一级极点, 则
Res[ f ( z ), z0 ] = lim ( z − z0 ) f ( z )
z → z0
m −1
(5.2.4)
规则2 如果z0为f(z)的m级极点, 则
d 1 m Res[ f ( z ), z0 ] = lim m −1 {( z − z0 ) f ( z )} (m − 1)! z → z0 d z (5.2.5)
例1 例2 例3 例4 计算积分 计算积分 计算积分
| z | =1
∫
dz (0 < ε < 1) 2 ε z + 2z + ε
ze z dz 2 z −1 z dz 4 z −1
| z|= 2
∫
| z| = 2
∫

696-第五章 留数定理及其应用

696-第五章 留数定理及其应用
0 z z0
其中 c m 0.m 1
则称孤立奇点 z 0 为 f ( z ) 的 m 级极点.
1 极点判别定理: z 0 是 f ( z ) 的 m 级极点 f ( z ) g ( z) m ( z z0 )
其中 g ( z ) 在 z z0 内解析,且 g ( z0 ) 0
如函数 f ( z )
1 f ( z) z ( z 1)
1 z0 0 便是其孤立奇点. z z0 0 z1 1是 f ( z ) 的两个孤立奇
点.但函数奇点不只孤立奇点这一类 .不能认为函数 的奇点都是孤立的.
例如: f ( z )
1 cos 1 z
z0 0 是其一个奇点.但
z z 0 的负幂项,则孤立奇点 z 0 称为 f ( z ) 的本性奇点
例 如 ： 函 数 f ( z) e
1 z
z 0 为它的本性奇点,因为... z n ... 中 含 有 无 穷 多 个 2! n
( z 0) 的负幂项
1 由于 lim lim ( z z0 ) m h( z ) 0 z z0 f ( z ) z z0
1 1 如令 在 z z0 内解析 ,且不恒为零 , 0则 f ( z) f ( z0 )
1 1 m 于是由 的 m 级零点. ( z z 0 ) h( z ) 知 z 0 是 f ( z) f ( z)
1 cos 1 z
的孤立奇点.
下面我们对孤立奇点进行分类 .依据是把 f ( z ) 在 z 0 的去心邻域展开成洛朗级数 , 根据展开式的不同情 况进行分类 . 此处应强调去心邻域 0 z z0 内 展开,而不是其他环域. 1.可去奇点:如果 f ( z ) 的洛朗展开式中不含 z z 0 的 负幂项,则称孤立奇点 z 0 为 f ( z ) 的可 去奇点.此时

《数学物理方法》第4章留数定理及其应用

《数学物理方法》第4章留数定理及其应用

法则1 如果z0为f (z)的一级极点，那么
Re
s[
f
( z ),
z0
]
lim ( z
z z0
z0
)
f
(z)
证明
f (z)
c1
z
1 z0
c0
c1 ( z
z0 )
(z z0 ) f (z) c1 c0 (z z0 ) c1(z z0 )2
例1 计算积分
C
zez z2
1
dz,
其中C为正向圆周：| z
12
3)
Re s[
tan
z,
2k 1] 2
sin (cos
z z)
z 2k 1
1
.
2
2
tan zdz 2i
Res[tan z, 2k 1] = 10i
|z|3
k 0
2
11
z sin z
例5 计算下列积分 |z|1
z6 dz.
解 z 0为f (z)的三级极点.
f (z)dz=2i Res[ f (z), 0]
n
f (z)dz 2i R es[ f (z), zk ]
C
k 1
证明 由复闭路定理得
n
f (z)dz f (z)dz
C
k 1 Ck
由留数的定义得
n
f (z)dz 2i R es[ f (z), zk ]
C
k 1
y C1
C
z•1 C2 o C3 • z3 •z2 x
5
三、留数的计算
z0
]
lim(
lim
z z0
P(z0 ) Q(z0 )

留数定理及其应用重点难点

留数定理及其应用重点难点

第四章 留数定理及其应用 重点难点第一节 留数定理1．留数定义的由来：若函数在单连通区域D 中解析，在D 中作一围线C ，如果在围线C 的内部，)(z f 是解析的，则由柯西定理可知0)(=∫Cdz z f ；如果在围线C 的内部，a z =是)(z f 的奇点，则)(Re 2)(a sf i dz z f Cπ=∫，即留下了一个有限数，因而可把 )(Re a sf 称为留数（留数也可等于零）。

2．留数计算公式：在奇点a 邻域中展成的洛朗级数中1()z a −−项的系数1−c 就是留数Re ()sf a ，这是求留数的一般方法。

但是，在某些情况下，有更简便的方法。

例如，若a 是)(z f 的m 阶极点，则111Re ()[()()](1)!m m z a m d s f a f z z a m dz −=−=−−又如，当a 是函数的可去奇点时，由于此时洛朗级数中不含负幂项，于是留数等于零。

3. 讨论解析函数在无限远点的留数时，要注意：函数在无限远点的留数定义中围线的方向是顺时针转向的。

第二节 留数定理的应用1．应用留数定理计算实变函数的积分是复变函数留数理论的一个重要应用，找到适当的闭合回路或变换是这种方法的关键。

2．若函数在单连（通）区域D 中解析，在D 中作一围线C ，如果在围线C 的内部，)(z f 是解析的，则由柯西定理可知0)(=∫Cdz z f ，如果在围线C 的内部，a z =是)(z f 的奇点，则)(Re 2)(a sf i dz z f Cπ=∫，即留下了一个有限数，因而可把)(Re a sf 称为留数（留数也可等于零）。

通过柯西公式和柯西导数公式可导出一阶极点和m 阶极点的留数计算公式。

3. 应用级数分析留数定理。

在奇点k a 邻域中展成的洛朗级数中1)(−−k a z 项的系数1−c 就是留数)(Re k a sf 。

当k a 是函数的本性奇点时，一般只能用洛朗级数展开方法来求留数；当k a 是函数的极点时，也可用这种方法来求取留数；当k a 是函数的可去奇点时，由于此时洛朗级数中不含负幂项，于是留数等于零。

第5章留数定理及其应用

第5章留数定理及其应用

2 1 2 πi 2π = ∫ dz = = 2 2 i | z|=1 2 z + ε ( z + 1) i 1− ε 1− ε 2
例2：
∫
2π
0
1 dθ 3 − 2 cos θ + sin θ
第二节 应用留数定理计算实函数的积分 类型二
∫
+∞
−∞
f (x )dx
其中被积函数在实轴上无奇点；积分区间为(- , ) 无穷积分的收敛性 柯西主值
∫
∞
0
F(x) cos mxdx π i = G(x)sin mxdx =π
∑Re s[F(b )e
k=1 n k k
n
imb k
] Imz>0 ] Imz>0
∫
∞
0
∑Re s[G(b )e
k=1
imb k
证明： 证明： ∞
∫
0
F(x) cos mxdx = ∫ F(x) 0
∞
e
imx
∞ 1 ∞ −imx imx = [∫ F(x)e dx + ∫ F(x)e dx] 0 2 0 1 ∞ imx = ∫ F(x)e dx 2 −∞
−∞
cos x dx 3 cosh x
第二节 应用留数定理计算实函数的积分 类型三
(x )eimx dx ∫−∞ f
其中被积函数 f (x) 在实轴上无奇点； 积分区间为(- , ),m > 0 -R O R
+∞
CR
∫
∞
−∞
f ( x)eimx dx = 2π i × { f ( z )eimz 在上半平面内所有奇点处的留数和}
第二节 应用留数定理计算实函数的积分 类型一

5留数及其应用

5留数及其应用
如果 P(z0)0, Q(z0)=0, Q'(z0)0, 则 z0 为 f (z)的一级
极点, 而Res[ f (z), z0 ] P z0 Q z0 .
事实上, 因为 Q(z0)=0 及 Q'(z0)0, 所以 z0 为 Q(z)的一级
零点, 从而 z0 为1 Q z 的一级极点. 因此
1 1 j(z),
lim f (z) 是否存在(有限值), 为无穷大或即不存在又不是
z
无穷大来决定.
例题1 f (z) (z - 2)(z2 1). z 为唯一奇点：3阶极点 .
例题2
z-1
f (z) e z .
z 0与均为本性奇点 .
例题3
f
(z)
tan 1
e z
.
lim
f
(z)
1 为f
(z)的可去奇点 .
闭曲线C的积分 f (z) d z 一般就不等于零.
C
因此 f (z) = ... +c-n(z-z0)-n+...+c-1(z-z0)-1
+c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+... 0<|z-z0|<R
两端沿C逐项积分: f (z) d z 2π ic-1.
C
即C-1是积分过程中唯一残留下来的Laurent系数 ,
由规则1, 得
Res[
f
( z ),1]
lim( z
z1
-1)
z z2
ez -1
lim
z1
z ez z 1
e 2
Res[
f
(z),
-1]
lim(z
z-1

留数定理及其应用-FudanUniversity

留数定理及其应用-FudanUniversity

z cos z + 1
z cos z + 1
z cos z + 1 cos 1 + 1
f (z) =
，z = 1 为单极点 ，Res f (1) = lim
= lim
=
zn - 1
z1 (zn - 1)′ z1 n zn-1
n
◼ 有限区的 m 阶极点 b，m ≥ 1
m 阶极点 ： f (z) = a-m(z - b)-m + ... + a-1(z - b)-1 + a0 + ...，其中 a-m ≠ 0 比较：m 阶零点 ： f (z) = am(z - b)m + am+1(z - b)m+1 ...，其中 am ≠ 0
c:∞
c:∞k=-∞
k=-∞
c:∞
k=-∞
Res f (∞) = -a-1。 注意积分回路取向 ：对无穷远点 ，回路正向应该是 顺时针 ，留数为 -a-1。
2 z04a.nb
◼ 注意无穷远点的留数与有限远点的留数形式上差一个负号。回路正向一个逆时针一个顺时针。
◼ 对有限远点，若 z0 不是奇点（或是可去奇点），则 Res f (z0) = 0，对无限远点，即使它不是奇点，也有可能 Res f (z0) ≠ 0。
CR
k=1
视为绕无穷远点的闭回路
但 : f (z) z = - f (z) z
-2 Res f (∞)
CR
CR
n
从而：Res f (bk) + Res f (∞) = 0，特别注意即使无穷远点是可去奇点 ，其留数也可能不为 0 。
k=1
留数的求法
留数：Laurent展开式中负一幂次相的系数 a-1（对有限远点）或 -a-1（对无穷远点），最直接的求法就是Laurent展开，当然 还有其它简便方法。

《留数定理及其应用》课件

《留数定理及其应用》课件

留数定理的基本思想
为了更好地理解留数定理，我们需要回顾一些复分析的基础知识，以及复函数在圆盘中的解析性质。这将为我 们后续用留数定理求函数在无穷远处的极限打下坚实的基础。
留ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ定理的应用
留数定理在数学和物理学中有广泛的应用。我们将一起探讨如何利用留数定 理来求解不同类型的积分、极点以及奇异点，揭开这一神奇定理的应用面纱。
《留数定理及其应用》
探索留数定理及其应用的 PPT 课件，深入浅出地介绍留数定理的定义、基本 思想和应用，以及一些有趣的实例分析。让我们一起探索复分析的精彩世界！
什么是留数定理
留数定理是复分析中重要的工具之一，它能够帮助我们计算积分、求解极点和奇异点等问题。让我们先来了解 一下留数定理的定义和历史，探索其中蕴含的数学美。
实例分析
让我们通过几个实例来深入理解留数定理的具体应用。我们将一起计算一个积分、求解极点以及求解奇异点， 用实例来验证留数定理的实际效用。
总结
我们将总结留数定理的优点和局限性，并展望它在未来的应用前景。留数定理不仅是复分析中的重要工具，更 是数学世界里的一颗璀璨明珠。

6.2留数定理及其应用

6.2留数定理及其应用

R e s [ f ( z ), ] C 1 0 .
R es[ f (z ), ] R es[ f ( 1 ) 1
2
, 0]
z z
R es[
1 (1 -3 z)(1 -z )
4
,0] 0
四.利用留数计算某些实积分
(1)
2
0
R (cos , sin ) d 型 , 其中 R (cos , sin ) 为
由留数定理一： I 2 i(R es [ f ( z ), 1] R es [ f ( z ), i ])
1 2 2 i lim [( z 1) f ( z )] lim [( z i ) f ( z ) z1 z i (2 1)!
2 i(
6 ( 1 )( 4 )( 6 )
1
.
解 f (z) 2 3 （1 z )
0
1 2 i

1 （1 x )
2 3
dx
1
2
1

1 （1 x )
2 3
dx
3
2 i Re s [ f ( z ), i ] i 1 12 3 16
( 3 1 )! z i
lim [( z i )
z ai 2
f ( z ) ) lim (( z bi ) f ( z ))]
z bi
2 i[
b
3
2
3a
2
2 2 2
4a i(b
a
2 bi ( b
1
2
)
a
2 2
]
(b 2a )

留数定理及应用

留数定理及应用

留数及其应用摘 要数定理得知，计算函数)(z f 沿C 的积分，可归结为计算围线C 各孤立奇点处的留数之和．而留数又是该奇点处的罗朗级数的负一次幂的系数，因此我们只关心该奇点处罗朗留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数．此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂．我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算．本文首先介绍留数定义及留数定理，然后针对具体不同的积分类型有不同的计算方法以及留数理论在定积分中的一些应用．关键词 留数定理；留数计算；应用引 言 对留数理论的学习不仅是前面知识的延伸，更为对原函数不易直接求得的定积分和反常积分的求法提供了一个较为方便的方法．一. 预备知识 孤立奇点1．设()f z 在点a 的把计算闭曲线上的积分值的问题转化为计算各个孤立奇点上的留数的问题，即计算在每一个孤立奇点处的罗朗展式中负幂一次项的系数1-C .在一般情况下，求罗朗展式也是比较麻烦的，因此，根据孤立奇点的不同类型，分别建立留数计算的一些简便方法是十分必要的. 1.1 若0z 为)(z f 的可去奇点则)(z f 在R z z <-<00某去心邻域解析，但在点a 不解析，则称a 为f 的孤立奇点.例如sin zz，1z e 以0=z 为孤立奇点.以0=z 为奇点，但不是孤立奇点，是支点.11sin z以0=z 为奇点（又由1sin0=z ，得1(1, 2...,)π==±±z k k 故0=z 不是孤立奇点）2．设a 为()f z 的孤立奇点，则()f z 在a 的某去心邻域，有1()()()，∞∞-===+-∑∑-nnnnn n f z c z a c z a 称()n=1∞-∑-nnc z a 为()f z 在点a 的主要部分，称()∞=-∑nnn z a c 为()f z 在点a 的正则部分，当主要部分为0时，称a 为()f z 的可去奇点； 当主要部分为有限项时，设为(1)11(0)()()------+++≠---m mm m m c c c c z a z a z a称a 为()f z 的m 级极点；当主要部分为无限项时，称a 为本性奇点.二. 留数的概念及留数定理 1. 留数的定义设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R <⋅<解析，则积分()()1:,02f z dz z a R i ρρπΓΓ⋅=<<⎰为()f z 在点a 的留数，记为：()Re z as f z =．2. 留数定理介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理：设D 是由复周线012C C C C --=+++…n C -所围成的有界连通区域，函数()f z 在D 解析，在_D D C =+上连续，则()0Cf z dz =⎰．定理1[]1（留数定理） 设()f z 在周线或复周线C 所围的区域D ，除12,,a a …,n a 外解析，在闭域_D D C =+上除12,,a a …,n a 外连续，则（ “大围”积分）()()12Re knz a k Cf z dz i s f z π===∑⎰． （1）证明 以k a 为心，充分小的正数k ρ为半径画圆周:k k z a ρΓ⋅=（1,2,k =…,n ）使这些圆周及部均含于D ，并且彼此相互隔离，应用复周线的柯西定理得()()1knk Cf z dz f z dz =Γ=∑⎰⎰，由留数的定义，有()()2Re kkz a f z dz i s f z π=Γ=⎰．特别地，由定义得 ()2Re kkz a f z dz i s π=Γ=⎰，代入（1）式得()()12Re kn z a k Cf z dz i s f z π===∑⎰．定理2 设a 为()f z 的n 阶极点，()()()nz f z z a ϕ=-，其中()z ϕ在点a 解析，()0a ϕ≠，则()()()()11!n z aa Res f z n ϕ-==-．这里符号()()0a ϕ代表()a ϕ，且有()()()()11lim n n z aa z ϕϕ--→=． 推论3设a 为()f z 的一阶极点，()()()z z a f z ϕ=-， 则 ()()z aRes f z a ϕ==．推论4设a 为()f z 的二阶极点，()()()2z z a f z ϕ=-，则 ()()'z aRes f z a ϕ==．3. 留数的引理引理1 设()f z 沿圆弧:i R S z Re θ= (12θθθ≤≤，R 充分大)上连续，且()lim R zf z λ→+∞=于R S 上一致成立(即与12θθθ≤≤中的θ无关)，则()()21limRS R f z dz i θθλ→+∞=-⎰．引理2(若尔当引理) 设函数()g z 沿半圆周:i R z Re θΓ= (0θπ≤≤，R 充分大)上连续，且()lim 0R g z →+∞=在R Γ上一致成立，则()()lim00Rimz R g z e dz m Γ→+∞=>⎰．引理3 (1)设a 为()f z 的n 阶零点，则a 必为函数()()'f z f z 的一阶极点，并且()()'z af z Res n f z =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； (2)设b 为()f z 的m 阶极点，则b 必为函数()()'f z f z 的一阶极点，并且 ()()'z bf z Res m f z =⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．三. 留数的计算1. 函数在极点的留数法则1：如果0z 为)(z f 的简单极点，则)()(lim ]),([Re 000z f z z z z f s z z -=-法则2：设)()()(z Q z P z f =，其中)(,)(z Q z P 在0z 处解析，如果0)(≠z P ，0z 为)(z Q 的一阶零点，则0z 为)(z f 的一阶极点，且)()(]),([Re 0z Q z P z z f s '=. 法则3：如果0z 为)(z f 的m 阶极点，则)]()[(lim !11]),([Re 01100z f z z dzd m z z f s m m m z z --=---）（.2. 函数在无穷远点的留数定理 1 如果)(z f 在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在） 为∞,,,21n z z z ，则)(z f 在各点的留数总和为零.关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则.法则 4： 211Re [,]Re [(),0]s f z s f z z∞=-⋅（）.例 1 求函数2()1ize f z z =+在奇点处的留数．解()f z 有两个一阶极点z i =±，于是根据（6.5）得2()Re (,)()22i P i e is f i Q i i e ===-'2()Re (,)()22i P i e is f i e Q i i ---==='-- 例 2 求函数3cos ()zf z z =在奇点处的留数． 解 ()f z 有一个三阶极点0z =，故由（6.7）得33001cos 11Re (,0)lim()lim(cos )222z z z s f z z z →→''=⋅=-=-四. 留数定理在定积分中的应用利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分．1. 形如()20cos ,sin f x x dx π⎰型的积分这里()cos ,sin f x x 表示cos ,sin x x 的有理函数，并且在[]0,2π上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限之差为2π，这样当作定积分时x 从0经历变到2π，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周．第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。

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式，故 I = 2πi sin 0 = 0．
例3 I=
e1/z dz．
|z|=1
解 本题的被积函数 f (z) = e1/z 在圆周 |z| = 1 的内部有一个本性奇点 z = 0，它在
z = 0 处的 Laurent 展开式为 f (z) = e1/z = 1 + 1/z + . . . + 1/n!zn + . . .，故 Res f (0) =
n=−∞
则
cn
=
1 2πi
Γρ
(z
f (z) − a)n+1
dz.
令 n = −1，得
c−1
=
1 2πi
f (z) dz.
Γρ
与式 (1) 比较，即得
Res f (a) = c−1.
(2)
由此可知，可去奇点处的留数为 0． 注 有些书上直接用式 (2) 作为留数的定义，这与式 (1) 的定义显然是等价的．
数的问题．由上节可以看到，计算极点的留数主要涉及微分运算．对于本性奇点，必须作
Laurent 展开来计算其留数．作 Laurent 展开，通常归结为 Taylor 展开，而计算 Taylor 展
开式的系数也是微分运算问题．所以可以说，留数定理把积分运算转化成了比较容易的微分
运算，因此它为积分的计算提供了一项非常有用的技术．
§3 用留数定理计算围线积分
4
推论一（单极点的留数，第一公式） 若 a 是 f (z) 的单极点，则
Res f (a) = [(z − a)f (z)]|z=a.
(5)
推论二（二阶极点的留数） 若 a 是 f (z) 的二阶极点，则
Res f (a) = [(z − a)2f (z)] |z=a.
在可以直接应用留数定理来计算．作为计算围线积分的技术，留数定理包括了 Cauchy 积分
公式和 Cauchy 高阶导数公式作为特殊情况，所以是更一般的方法．当然，在逻辑上是先有
Cauchy 积分公式和 Cauchy 高阶导数公式的．
另外，我们看到，留数定理把计算围线积分的问题转化为计算围线内各孤立奇点的留
(3)
C
k=1
§2 留数的算法
3
D
an
a1
a2
图 1: 区域 D 的边界为复围线 C，其中有 n 个孤立奇点
证明 作 n 个小圆周 Γk：|z − ak| = ρk （k = 1, 2, . . . , n），使各 Γk 及其内部全含于 D，但各 Γk 互不相交也互不包含，如图 1．根据 Cauchy 积分定理和留数的定义，有
(6)
单极点的留数还有另一个计算公式，通常它比式 (5) 更方便，我们也把它写成定理的形 式．
定理（单极点的留数，第二公式） 设 a 是 f (z) = ϕ(z)/ψ(z) 的单极点，即 ϕ(z) 和 ψ(z) 均在 a 点解析，且 ϕ(a) = 0，ψ(a) = 0，ψ (a) = 0，则
Res
f (a)
例
计算积分 I =
|z|=2
z15 (z4 + 1)4
dz．
解 本题的被积函数 f (z) = z15/(z4 + 1)4 在圆周 |z| = 2 的内部有四个极点：zk = eiπ/4+ikπ/2，
k = 0, 1, 2, 3，它们都是四阶极点，而且都对积分有贡献，所以按照式 (3) 和 (4) 来计算显然是很麻烦的．
(r < ρ < ∞)
(8)
称为 f (z) 在 ∞ 点的留数，记作 Res f (z)，或简记为 Res f (∞)，或 Res(f, ∞)．
z=∞
注 以上积分取 Γ 的负方向，这正是包围 ∞ 点的正方向．显然，只要 r < ρ < ∞，上述积分的数值
与 ρ 的大小无关．
设 f (z) 在 r < |z| < ∞ 内的 Laurent 展开式为
习题 梁 p. 71, 2 (1) (2) (4).
§4 * 无穷远点的留数
一般来说，∞ 点总是函数的奇点，因为函数在此点没有定义，关键是，它是否孤立奇点？这就要看
它的附近是否还有别的奇点．如果能够找到某个圆周 |z| = r（r 为正数），在该圆周外面，函数 f (z) 没有
有限的奇点，则 ∞ 点就是 f (z) 的孤立奇点．反过来，如果不论 r 有多大，圆周 |z| = r 外面都有 f (z) 的
内解析，围线 C 是 K − {a} 中包围 a 的围线，则上式不一定成立．故定义留数如下：
定义（留数） 如果函数 f (z) 以 a 为孤立奇点，即 f (z) 在 K − {a}：0 < |z − a| < R
中解析，则积分
1 2πi
f (z) dz,
Γρ
Γρ : |z − a| = ρ
(0 < ρ < R)
1
§1 留数定理
2
§1 留数定理
一 留数的定义
如果函数 f (z) 在点 a 的邻域 K：|z − a| < R 内解析，围线 C 全含于 K（包围 a 或不
包围 a），则
f (z) dz = 0.
C
但如果 a 是 f (z) 的孤立奇点，即 f (z) 在点 a 的去心邻域 K − {a}：0 < |z − a| < R
Res f (a)
=
1 2πi
Γρ
f (z)
dz
=
1 2πi
Γρ
ϕ(z) (z − a)n
dz
=
(n
1 −
1)!
ϕ(n−1)(a),
最后一个等号用了高阶导数公式．由于 ϕ(z) = (z − a)nf (z)，代入上式即得式 (4)．证毕． 由这一定理，马上可以得到下面两个推论，它们是常用的计算公式．
用 Cauchy 积分公式和 Cauchy 高阶导数公式来计算．其实这些做法正是证明留数定理时所
采用的思路．
§4 * 无穷远点的留数
5
例2
I=
|z|=1
sin z z
dz．
解 本题的被积函数 f (z) = sin z/z 在圆周 |z| = 1 的内部有一个可去奇点 z = 0，它在
z = 0 处的 Laurent 展开式没有负幂项，故 Res f (0) = c−1 = 0，而 I = 2πi Res f (0) = 0． 注 本题当然也可以用 Cauchy 积分公式来计算，被积函数已经具有公式所要求的形
有限的奇点，那么 ∞ 点就不是 f (z) 的孤立奇点了．当 ∞ 点为孤立奇点时，可以定义其留数如下．
定义（∞ 的留数） 如果函数 f (z) 以 ∞ 为孤立奇点，即 f (z) 在 ∞ 的去心邻域 r < |z| < ∞ 中解
析（r 为正数），则积分
1 2πi
f (z) dz,
Γ−
Γ : |z| = ρ
n
f (z) dz = 2πi Res f (ak).
Γ
k=1
另一方面，由于 f (z) 在 Γ 及其外部解析，由定义 (8)，有
f (z) dz = 2πi Res f (∞).
Γ−
两式相加，注意到 Γ− f (z) dz = − Γ f (z) dz，立得式 (10)．证毕．
这一定理的用处可以通过下面的例子显示出来．
+∞
f (z) =
cnzn,
n=−∞
§5
实积分
2π 0
R(cos
θ,
sin
θ)
dθ
6
则
cn
=
1 2πi
Γ
f (z) zn+1
dz.
令 n = −1，得
c−1
=
1 2πi
f (z) dz.
Γ
与式 (8) 比较，即得
Res f (∞) = −c−1.
(9)
如果函数 f (z) 在 z 平面上只有有限个孤立奇点，那么 ∞ 点当然也是孤立奇点．这时候，它们的留
第五章 留数定理及其应用∗
目录
§1 留数定理
2
一 留数的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
二 Cauchy 留数定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
定理（极点的留数） 设 a 是 f (z) 的 n 阶极点，则
Res f (a)
=
(n
1 −
1)!
dn−1 dzn−1
[(z
−
a)nf
(z)]
. z=a
(4)
证明 由于 a 是 f (z) 的 n 阶极点，故在 a 的某去心邻域内有
f (z)
=
ϕ(z) (z − a)n
,
其中 ϕ(z) 在 a 点解析，且 ϕ(a) = 0．于是
数满足一个简单的关系，这就是下面的
定理（总留数） 设函数 f (z) 在扩充 z 平面上只有有限个孤立奇点 a1、a2、. . .、an 和 ∞，则 f (z)
在各点的留数之和为 0，即
n
Res f (ak) + Res f (∞) = 0.
(10)
k=1
证明 作大圆周 Γ：|z| = ρ 将 a1、a2、. . .、an 全部包围在内，根据 Cauchy 留数定理，有
a)
ϕ(z) ψ(z) − ψ(a)
证毕． 以上公式 (5–7) 就是计算极点留数的常用公式．当极点的阶数较高时，用公式 (4) 计算