4-1 特征值与特征向量习题评讲

特征值与特征向量当然可以！以下是根据“特征值与特征向量”主题出的20道试题，包括选择题和填空题：1. 下列哪个概念是描述矩阵特征值与特征向量的？A. 线性变换B. 偏导数C. 逆运算D. 线性插值2. 特征值与特征向量在矩阵中扮演的角色是什么？填空：特征向量是矩阵的________，而特征值是与特征向量相关联的________。

3.当矩阵A具有n个线性无关的特征向量时，它的维度是多少？填空：矩阵A的维度是________。

4. 特征向量与特征值的定义通常是针对什么类型的矩阵？A. 对称矩阵B. 上三角矩阵C. 对角矩阵D. 酉矩阵5. 一个n × n矩阵可以有多少个特征值？填空：一个n × n矩阵可以有________个特征值。

6. 特征向量的主要特性是什么？A. 与单位向量相等B. 与矩阵乘积为零C. 与矩阵乘积为单位矩阵D. 与矩阵乘积为特征值7. 特征向量是什么类型的向量？A. 垂直向量B. 平行向量C. 线性无关向量D. 零向量8. 特征向量的标准化过程涉及什么？A. 乘以特征值B. 除以特征值C. 加上特征值D. 减去特征值9. 特征值与特征向量的计算与哪个方程组有关？填空：矩阵A的特征方程是________。

10. 特征向量的一个重要特性是什么？A. 可以被缩放B. 可以被旋转C. 可以被复制D. 可以被线性组合11. 对于一个n × n矩阵，特征值可能是什么类型的数？A. 实数B. 虚数C. 复数D. 零12. 特征值与特征向量的概念最初用于解决哪一类问题？A. 矩阵求逆B. 矩阵对角化C. 矩阵运算D. 矩阵相等性13. 特征向量的数量通常等于矩阵的什么性质？填空：特征向量的数量等于矩阵的________。

14. 特征向量的定义涉及对矩阵A和标量λ的什么等式？填空：矩阵A与标量λ的等式是________。

15. 特征向量的计算通常依赖于什么类型的分析？A. 特征分析B. 矩阵分析C. 线性分析D. 特征值分析16. 特征向量的集合通常形成什么类型的空间？填空：特征向量的集合形成矩阵的________空间。

第五章 矩阵的特征值与特征向量§1矩阵的特征值与特征向量一、矩阵的特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶方阵,如果有数λ和n 维非零列向量x 使得x Ax λ=,则称数λ为A 的特征值,非零向量x 称为A 的对于特征值λ的特征向量.由x Ax λ=得0)(=-x E A λ,此方程有非零解的充分必要条件是系数行列式0=-E A λ,此式称为A 的特征方程,其左端是关于λ的n 次多项式,记作)(λf ,称为方阵A 特征多项式.设n 阶方阵)(ij a A =的特征值为n λλλ,,,21 ,由特征方程的根与系数之间的关系,易知：nn n a a a i +++=+++ 221121)(λλλA ii n =λλλ 21)(例1 设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式482-=A ,求λ. 解：482-=A 64823-=∴-=∴A Aλ⨯⨯=32A 又 1-=∴λ例2 设3阶矩阵A 的特征值互不相同,若行列式0=A , 求矩阵A 的秩.解：因为0=A 所以A 的特征值中有一个为0,其余的均不为零.所以A 与)0,,(21λλdiag 相似.所以A 的秩为2.定理1对应于方阵A 的特征值λ的特征向量t ξξξ,,,21 ,t ξξξ,,,21 的任意非零线性组合仍是A 对应于特征值λ的特征向量.证明 设存在一组不全为零的数t k k k ,,,21 且存在一个非零的线性组合为t t k k k ξξξ+++ 2211，因为t ξξξ,,,21 为对应于方阵A 的特征值λ的特征向量。

则有),,2,1(1t i k Ak i i i ==ξλξ所以)()(22112211t t t t k k k k k k A ξξξλξξξ+++=+++ 所以t t k k k ξξξ+++ 2211是A 对应于特征值λ的特征向量. 求n 阶方阵A 的特征值与特征向量的方法：第一步：写出矩阵A 的特征多项式,即写出行列式E A λ-.第二步：解出特征方程0=-E A λ的根n λλλ,,,21 就是矩阵A 的特征值.第三步：解齐次线性方程组0)(=-x E A i λ,它的非零解都是特征值i λ的特征向量.例3 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=201034011A 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式为2)1)(2(201034011λλλλλλ--=-----=-E A 所以,A 的特征值为1,2321===λλλ. 当21=λ时,解方程组0)2(=-x E A .由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000010001~2010340112E A ,得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001p ,所以特征值21=λ的全部特征向量为11p k ,其中1k 为任意非零数.当132==λλ时,解方程组0)(=-x E A .由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000210101~101024012E A ,得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1212p ,所以特征值132==λλ的全部特征向量为22p k ,其中2k 为任意非零数. 二、特征值与特征向量的性质与定理性质1 n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是矩阵A 的所有特征值均非零. 此性质读者可利用A n =λλλ 21可证明.定理 2 若21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p ,则21,p p 线性无关.证明 假设设有一组数21,x x 使得02211=+p x p x (1)成立. 以2λ乘等式(1)两端,得0222121=+p x p x λλ (2) 以矩阵A 左乘式(1)两端,得0222111=+p x p x λλ (3) (3)式减(2)式得0)(1211=-p x λλ 因为21,λλ不相等,01≠p ,所以01=x .因此(1)式变成022=p x . 因为02≠p ,所以只有02=x . 这就证明了21,p p 线性无关.性质2 设)(A f 是方阵A 的特征多项式,若λ是A 的特征值.对应于λ的特征向量为ξ,则)(λf 是)(A f 的特征值,而ξ是)(A f 的对应于)(λf 的特征向量,而且若O A f =)(,则A 的特征值λ满足0)(=λf ,但要注意,反过来0)(=λf 的根未必都是A 的特征值.例4 若λ是可逆方阵A 的特征值,ξ是A 的对应于特征值λ的特征向量,证明：1-λ是1-A 的特征值,ξ是1-A 对应于特征值1-λ的特征向量,证明 λ 是可逆方阵A 的特征值,ξ是A 的对应于特征值λ的特征向量λξξ=∴A ξξλ11--=∴Aξξλ11--=∴A A A ξξλ*1A A =∴-1-∴λ是1-A 的特征值,ξ是1-A 对应于特征值1-λ的特征向量, 1-λA 是*A 的特征值,ξ是*A 对应于特征值1-λA 的特征向量.例5 设3阶矩阵A 的特征值1,2,2,求E A --14.解：A 的特征值为1,2,2,,所以1-A 的特征值为1,12,12, 所以E A--14的特征值为4113⨯-=,41211⨯-=,41211⨯-=所以311341=⨯⨯=--E A .例6 若21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p ,证明21p p +一定不是A 的特征向量.证明 假设21p p +是矩阵A 的特征向量，对应的特征值为.λ根据特征值定义可知：)()(2121p p p p A +=+λ …………………(1) 21,λλ 又是n 阶方阵A 的特征值，对应的特征向量分别为21,p p .,111p Ap λ=∴ 222p Ap λ= (2)将(2)带入(1)式整理得：0)()(2211=-+-p p λλλλ因为21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p 线性无关.所以21λλλ==.与21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值矛盾. 所以假设不成立.例7 若A 为正交矩阵,则1±=A ,证明,当1-=A 时,A 必有特征值1-;当1=A 时,且A 为奇数阶时,则A 必有特征值1.证明 当1-=A 时.TT T A E A A E A AA A E A +=+=+=+)(A E A E T +-=+-=,所以 .0=+A E `所以1-是A 的一个特征值反证法：因为正交阵特征值的行列式的值为1，且复特征值成对出现，所以若1不是A 的特征值，那么A 的特征值只有-1，以及成对出现的复特征值。

第5章 特征值与特征向量5.1 特征值与特征向量练习5.11. 证明特征值与特征向量的性质3.设01()mm z a a z a z ϕ=+++ 是一个多项式. 又设0λ是矩阵A 的一个特征值, α是其对应的一个特征向量, 则00100()mm a a a ϕλλλ=+++ 是矩阵多项式01()m m A a E a A a A ϕ=+++ 的一个特征值, α仍是其对应的一个特征向量.证 由0A αλα=得01()m m A a a A a A ϕαααα=+++()()01000m m a a a λλαϕλα=+++=再由定义得证.2. 求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=122113221A的全部特征值与特征向量.解 由()()2()33A f E A λλλλ=-=-+得A 的特征值为3,3321-===λλλ（二重）.当31=λ时，解齐次方程组()03=-x A E 得基础解系T )1,1,1(1=α所以，属于31=λ的全部特征向量为11αk （01≠k ）.当332-==λλ时，解齐次方程组()03=--x A E 得基础解系T )1,2,1(2-=α所以，332-==λλ的全部特征向量为22αk （02≠k ）.3. 求平面旋转矩阵cos sin sin cos G θθθθ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的特征值.解 由()2cos sin 2cos 1sin cos f E G λθθλλλθλθλθ--=-==-+-得矩阵G 的两个特征值为1cos λθθ=+，2cos λθθ=-4. 已知[]T1,1,1α=-是矩阵2125312a b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A的一个特征向量. 试确定b a ,的值及特征向量α所对应的特征值.解 设α所对应的特征值为λ，则由λαα=A , 即0)(=-αλA E ，得21212120531530121120a ab b λλλλλλ---++=⎛⎫⎛⎫⎧⎪ ⎪⎪---=⇔-+-+=⎨ ⎪⎪⎪ ⎪⎪-+----=⎝⎭⎝⎭⎩0 解之得1,0,3-==-=λb a .5. 设3阶矩阵A 的三个特征值为3,2,1321===λλλ, 与之对应的特征向量分别为[][][]T T T1232,1,1,2,1,2,3,0,1ααα=-=-=求矩阵A .解 由假设123123[,,][,2,3]A αααααα=矩阵],,[321ααα可逆，所以1123123[,2,3][,,]A αααααα-=249143120153143164--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=320361182636. 设3阶矩阵A 的特征值为1,1,2-, 求行列式*1A A A --+. 解 记A 的特征值为1231,1,2λλλ==-=,则1232A λλλ==-，112A A A *--==-A*111123A A A A A A A A -----+=--+=-+故*1A A A --+的特征值为13,(1,2,3)i i i i μλλ-=-+=，计算得12312,2,2μμμ=-==所以*11232A A A μμμ--+==-7. 设2A A =, 证明A 的特征值只能是0或1. 解 设λ是A 的特征值，则2()ϕ=-A A A 有特征值2()(1)ϕλλλλλ=-=-由于()ϕ=A O ，故其特征值全为零，所以()(1)0ϕλλλ=-=，从而0=λ或1=λ.8. （1）证明一个特征向量只能对应于一个特征值；（2）设21,λλ为矩阵阵A 的两个不同的特征值, 对应的特征向量分别为1ξ和2ξ, 证明2211ξξk k +（0,021≠≠k k ）不是A 的特征向量.证 （1）设A 的对应于特征向量α的特征值有1λ和2λ，即12,A A αλααλα==由此推出12()0λλα-=，由于0α≠，因此12λλ=.（2）（反证）假设2211ξξk k +是A 的特征向量，对应的特征值为μ，即()()11221122A k k k k ξξμξξ+=+由222111,ξλξξλξ==A A ，得()11221122111222A k k k A k A k k ξξξξλξλξ+=+=+()1122k k μξξ=+移项()()1112220k k λμξλμξ-+-=因{}12,ξξ线性无关，所以1122()0,()0k k λμλμ-=-=由0,021≠≠k k 得12λλμ==，这与21λλ≠矛盾.5.2 方阵的对角化练习5.21. 证明相似矩阵的性质1～7.性质1 相似关系是一种等价关系. 即具有： （1）自反性：~A A ；（2）对称性：~~A B B A ⇒； （3）传递性：~,~~A B B C A C ⇒. 证（1）由1E AE A -=，得~A A（2）设1P AP B -=，则1111()A PBPP BP ----==，~B A（3）设111122,P AP B P BP C --==，则112112P P AP P C --=，11212()()PP A P P C -=，~A C . 性质2 设B A ~, 又01()mm x a a x a x ϕ=+++ , 则()~()A B ϕϕ； 证 设1P AP B -=，则()112012()m m P A P P a E a A a A a A P ϕ--=++++1121012m m a E a P AP a P A P a P A P ---=++++ ()()2111012()mm a E a P AP a P AP a P AP B ϕ---=++++=性质3 设B A ~, 又A 可逆, 则B 可逆且11~--B A；证 设1P AP B -=，由于B 是可逆矩阵的乘积，所以B 可逆. 且()111PAP B ---=，111P A P B ---=，11~--B A性质4 设B A ~, 则()()A B f E A E B f λλλλ=-=-=；证 见正文.性质5 设B A ~, 则A 与B 的特征值相同； 证 由性质4即得证.性质6 设B A ~, 则B A =；证 由行列式等于所有特征值的乘积以及性质5即得证. 性质7 设B A ~, 则tr()tr()A B =.证 由迹等于所有特征值之和以及性质5即得证. 2. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x A 10100002，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=12yB 已知A 与B 相似，求y x ,. 解 由tr tr A B =和B A =得22122x y y +=+-⎧⎨-=-⎩解和0,1x y ==.3. 设3222-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ,（1）求可逆矩阵P 使得1-P AP 为对角矩阵； （2）计算106()f A A E =--A .解（1）易求得A 的特征值为1,2-，对应的特征向量分别为(1,2),(2,1)TT. 令1221P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则11232121121222123P AP D ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）1061()()f A P D D E P -=--1061211112121(2)(2)1213⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1211121279640121959216403213---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4. 设101121002A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1）求可逆矩阵P , 使1P AP -为对角矩阵； （2）计算k A ；（3）设向量0(5,3,3)Tα=, 计算0kA α. 解 （1）按对角化的方法易求得()132110,,011100P ααα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，1001101111P -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭和1212Λ-⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P AP（2）由1Λ-=P AP 1Λ-⇒=A P P所以1111()()()k k ΛΛΛΛ----==A P P P P P P P P11020011021011110112221100211102kk kk k k k ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）（方法1）先按（2）先计算k A ，再计算kA α.k A αT (322,22,32)k k k =⨯++⨯.（方法2）先求α在基231,,ααα下的分解，然后再求αkA . 解α=Px 得1,2,3121===x x x所以α在基底231,,ααα下的分解为23123αααα++=则23123ααααk k k k A A A A ++=22331123αλαλαλk kk ++=23121223αααk k k +⨯+⨯=T (322,22,32)k k k =⨯++⨯5. 已知方阵1114335A x y -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦与对角矩阵相似, 且2=λ是A 的二重特征值.（1）求x 与y 的值.（2）求可逆矩阵P 使AP P 1-为对角矩阵. 解 （1）111111222333000E A x y x y --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=---→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(2)12,2r E A x y -=⇒==-（2）求另一个特征值3λ2332426A λλ==⨯⇒=解()20E A x -=得基础解系（见下面P 的前两列），解()60E A x -=得基础解系（见下面P 的第三列）.111102013P ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，1226P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭6. 设矩阵3221423A kk -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦（1）确定k 的值使A 可对角化.（2）当A 可对角化时, 求可逆矩阵P , 使AP P 1-为对角矩阵. 解 （1）求A 的特征值232211)(1)423E A k k λλλλλλ---=+-=+--+(－1231,1λλλ==-=A 可对角化()10r E A k ⇔--=⇔=（2）方法同前111200021P ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭， 1111P AP --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭习题五1. 设23A A E O -+=，证明A 的特征值只能是1或2. 证 设λ是A 的特征值，则2()3A A E ϕ=-+A 有特征值2()31(1)(2)ϕλλλλλ=-+=--由于()ϕ=A O ，故()ϕA 的特征值全为零，所以()(1)(2)0ϕλλλ=--=从而1λ=或2λ=.2. 设n 阶矩阵A 的各行元素之和都等于1，证明1λ=矩阵A 的特征值. 提求：(1,1,,1)Tα= ,A αα=. 证 设(1,1,,1)T α= ,A αα=.3. 证明n ()2n ≥阶Householder 矩阵2T H E uu =-（其中,1n T u R u u ∈=）有1n -个特征值1, 有一个特征值1-.提示：方程组0Tu x =有1n -个线性无关的解向量记为(1,2,,1)i i n α=- , 直接验证i i H αα=. 又Hu u =-.证 方程组0Tu x =有1n -个线性无关的解向量记为(1,2,,1)i i n α=- ,即0,(1,2,,1)T i u i n α==-于是()()22,(1,2,,1)T T i i i i i H E uu u u i n ααααα=-=-==-上式说明H 有1n -个特征值1. 又()()22T T Hu E uu u u u u u u =-=-=-上式说明H 有一个特征值1-. 综上，H 的特征值为111,1n n λλλ-==== .4. 设A 是n m ⨯矩阵, B 是m n ⨯矩阵, 证明AB 与BA 有相同的非零特征值. 特别地，如果m n =, 则AB 与BA 的特征值完全相同.证法1 由m n m n λλλ--=-E AB E BA （设m n ≥）立即得证.证法2 设λ是AB 的一个非零特征值，对应的特征向量为α，即λαα=)(AB用B 左乘上式得)())((αλαB B BA =只要再证明0≠αB ，上式说明λ也是BA 的特征值. 如果0=αB ，将其代入式λαα=)(AB 得左边()==AB α0，右边λ=≠α0（0,λ≠≠α0）矛盾. 因此0≠αB .同理，BA 的非零特征值也是AB 的特征值.5. 设A 与B 都是n 阶矩阵，()λϕ是B 的特征多项式，证明()A ϕ可逆的充要条件是矩阵A 和B 没有公共的特征值.证 设n λλλ,,,21 为B 的特征值，则()()()()n λλλλλλλϕ---= 21从而()()()12()n A A E A E A E ϕλλλ=---于是12()n A A E A E A E ϕλλλ=---因此()0||≠A ϕ⇔0||≠-A E i λ（n i ,,2,1 =）⇔n λλλ,,,21 不是A 的特征值⇔A 与B 没有公共的特征值.6. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=11322002a A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=b B 21 已知A 与B 相似. （1） 求b a ,；（2） 求可逆矩阵P ，使B AP P =-1.提示：A 与B 有相同的特征多项式，比较两个特征多项式的系数. 解 （1）分别求得A 与B 的特征多项式32()(tr )(4)A f E A A a A λλλλλ=-=-+---B E f B -=λλ)(32(tr )(2)B b B λλλ=-+--由)()(λλB A f f =得tr tr A B =，B A =，42a b --=-即2=-b a ，42a b --=-解得2,0-==b a（2） 由于A 与B 相似，所以A 的特征值与B 的特征值相同，就是B 的对角元2,2,1321-==-=λλλ再求出对应于这些特征值的特征向量分别为T T T )1,0,1(,)1,1,0(,)1,2,0(321-==-=ααα令[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==111012100,,321αααP则有B AP P =-1.7. 设A 是3阶方阵，x 是3维列向量，矩阵2,,P x Ax A x ⎡⎤=⎣⎦可逆，且x A Ax x A 2323-=求矩阵1B P AP -=.解()()2322,,,,32AP Ax A x A x Ax A x Ax A x ==-()2000000,,103103012012x Ax A x P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1000103012P AP B -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭8. 设A 是3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-的特征向量，向量3α满足323A ααα=+.（1）证明123,,ααα线性无关. （2）令[]123,,P ααα=，求1P AP -. 解（1）设1122330k k k ααα++=两边左乘A()11223230k k k αααα-+++=上面两式相减113220k k αα-=12,αα线性无关，130k k ==，代入前面式子20k =. 说明123,,ααα线性无关.（2）()()1231223,,,,AP A A A ααααααα==-+()123100100,,011011001001P ααα--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1100011001P AP --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭9. 设212122221A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求1098()65A A A A ϕ=-+解 A 的特征值为1231,1,5λλλ=-==，对应的特征向量分别为1231111,1,1201ααα--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦令123111[,,]111201P ααα--⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则111213306222P ---⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦1115P AP D --⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦从而()109810981()6565A A A A P D D D P ϕ-=-+=-+11222402240448P P --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦10. 设,(2),0,0nR n αβαβ∈≥≠≠, TA αβ=. 证明当0Tβα≠时, A 可对角化；当0T βα=时, A 不可对角化.证 设0Tβα≠. 由ααβααβα)()(T T A ==知A 有特征值01≠=αβλT，对应的特征向量αξ=1.再设齐次方程组0=x T β的1-n 个线性无关解为n ξξ,,2 ，则T T ()()0i i i i ====A ξαβξαβξξ0说明A 有特征值02===n λλ ，对应的特征向量为n ξξ,,2 .综上，A 的n 个特征值为01≠=αβλT，02===n λλ ，对应的特征向量为n ξξξ,,,21 （它们线性无关）. 因此，A 可对角化. 相应的对角矩阵为T diag(0,,0,)βα设0Tβα=. 由2()()()T T T T A αβαβαβαβ===OA 的特征值全是零（n 重）. 但属于0λ=的线性无关的特征向量个数为()()1T n r A n r n n αβ-=-=-<所以A 不可对角化.11．求解微分方程组11212122d 51,(0)11d 62d 11,(0)0d 44x x x x t x x x x t⎧=--=⎪⎪⎨⎪=--=⎪⎩ 解 写成矩阵形式5/61/2,1/41/4dxAx A dt --⎛⎫== ⎪--⎝⎭ 1321,131/12P P AP D --⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1y P x -=，dyDy dt =，3(0)1y ⎛⎫= ⎪⎝⎭1121122,t ty c e y c e--==由初值定出常数123,1c c ==1233213t t e x Py e --⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭/121/1229e 2e 3e 3e t t t t x x ----⎧=+⎨=-⎩12．在某国，每年有比例为p 的农村居民移居城镇，有比例为q 的城镇居民移居农村. 假设该国总人口不变，且上述人口迁移的规律也不变. 把n 年后的农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为n x 和n y （1n n x y +=）.（1）求关系式11n n n n x x A y y ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦中的矩阵A ；（2）设目前农村人口与城镇人口相等，即000.50.5x y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求n n x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 解 （1）11pq A p q -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦（2）由()()[]1(1)(1)1pqE A p q pqλλλλλ-+--==------+得A 的特征值为121,1p q r λλ==--=再求得对应的特征向量为121,1q p αα-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦令11q P p -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1121P AP r λλ-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 于是11A P P r -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦11111111n n n q A P P r p r p q p q --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1nn nn q pr q qr p q p pr p qr ⎡⎤+-=⎢⎥+-+⎣⎦000.510.5n n n n n n n x x q pr q qr A y y p q p prp qr ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦2()12()2()n n q p q r p q p q p r ⎡⎤+-=⎢⎥++-⎣⎦。

第五章 特征值和特征向量一、特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶矩阵，λ为一个数，若存在非零向量α，使λαα=A ，则称数λ为矩阵A 的特征值，非零向量α为矩阵A 的对应于特征值λ的特征向量。

定义2：()E A f λλ-=，称为矩阵A 的特征多项式，)(λf =0E A λ-=，称为矩阵A 的特征方程，特征方程的根称为矩阵A 的特征根 矩阵E A λ-称为矩阵A 的特征矩阵齐次方程组（0)=-X E A λ称为矩阵A 的特征方程组。

性质1：对等式λαα=A 作恒等变形，得（0)=-αλE A ，于是特征向量α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解向量，由齐次线性方程组有非零解的充要条件知其系数行列式为零，即0=-E A λ，说明A 的特征值λ为0E A λ-=的根。

由此得到对特征向量和特征值的另一种认识：（1）λ是A 的特征值⇔0=-E A λ，即(λE -A )不可逆.（2）α是属于λ的特征向量⇔α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解.计算特征值和特征向量的具体步骤为： （1）计算A 的特征多项式，()E A f λλ-=（2）求特征方程)(λf =0E A λ-=的全部根，他们就是A 的全部特征值；（3）然后对每个特征值λ，求齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解，即属于λ的特征向量.性质2：n 阶矩阵A 的相异特征值m λλλ 21,所对应的特征向量21,ξξ……ξ线性无关性质3：设λ1,λ2,…,λn 是A 的全体特征值，则从特征多项式的结构可得到：（1）λ1+λ2+…+λ n =tr(A )( A 的迹数，即主对角线上元素之和). （2）λ1λ2…λn =|A |.性质4：如果λ是A 的特征值，则（1）f(λ)是A 的多项式f(A )的特征值.(2)如果A 可逆，则1/λ是A -1的特征值; |A |/λ是A *的特征值. 即： 如果A 的特征值是λ1,λ2,…,λn ，则 （1）f(A )的特征值是f(λ1),f(λ2),…,f(λn ).（2）如果A 可逆，则A -1的特征值是1/λ1,1/λ2,…,1/λn ; 因为A AA =*，A *的特征值是|A |/λ1,|A |/λ2,…,|A |/λn .性质5：如果α是A 的特征向量，特征值为λ，即λαα=A 则（1）α也是A 的任何多项式f(A )的特征向量，特征值为f(λ)；（2）如果A 可逆，则α也是A -1的特征向量，特征值为1/λ；α也是A *的特征向量，特征值为|A |/λ 。