《3.1.1-特征值与特征向量》习题2

第五章 特征值和特征向量一、特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶矩阵，λ为一个数，若存在非零向量α，使λαα=A ，则称数λ为矩阵A 的特征值，非零向量α为矩阵A 的对应于特征值λ的特征向量。

定义2：()E A f λλ-=，称为矩阵A 的特征多项式，)(λf =0E A λ-=，称为矩阵A 的特征方程，特征方程的根称为矩阵A 的特征根 矩阵E A λ-称为矩阵A 的特征矩阵齐次方程组（0)=-X E A λ称为矩阵A 的特征方程组。

性质1：对等式λαα=A 作恒等变形，得（0)=-αλE A ，于是特征向量α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解向量，由齐次线性方程组有非零解的充要条件知其系数行列式为零，即0=-E A λ，说明A 的特征值λ为0E A λ-=的根。

由此得到对特征向量和特征值的另一种认识：（1）λ是A 的特征值⇔0=-E A λ，即(λE -A )不可逆.（2）α是属于λ的特征向量⇔α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解.计算特征值和特征向量的具体步骤为： （1）计算A 的特征多项式，()E A f λλ-=（2）求特征方程)(λf =0E A λ-=的全部根，他们就是A 的全部特征值；（3）然后对每个特征值λ，求齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解，即属于λ的特征向量.性质2：n 阶矩阵A 的相异特征值m λλλ 21,所对应的特征向量21,ξξ……ξ线性无关性质3：设λ1,λ2,…,λn 是A 的全体特征值，则从特征多项式的结构可得到：（1）λ1+λ2+…+λ n =tr(A )( A 的迹数，即主对角线上元素之和). （2）λ1λ2…λn =|A |.性质4：如果λ是A 的特征值，则（1）f(λ)是A 的多项式f(A )的特征值.(2)如果A 可逆，则1/λ是A -1的特征值; |A |/λ是A *的特征值. 即： 如果A 的特征值是λ1,λ2,…,λn ，则 （1）f(A )的特征值是f(λ1),f(λ2),…,f(λn ).（2）如果A 可逆，则A -1的特征值是1/λ1,1/λ2,…,1/λn ; 因为A AA =*，A *的特征值是|A |/λ1,|A |/λ2,…,|A |/λn .性质5：如果α是A 的特征向量，特征值为λ，即λαα=A 则（1）α也是A 的任何多项式f(A )的特征向量，特征值为f(λ)；（2）如果A 可逆，则α也是A -1的特征向量，特征值为1/λ；α也是A *的特征向量，特征值为|A |/λ 。

特征值与特征向量练习题§1 特征值与特征向量1．求下列矩阵的特征值及对应的特征向量：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-200210311； （2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------011101110。

2．求n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111 a a a a a a A 的特征值（0≠a ）。

3．已知12是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---44174147a 的特征值，求a 。

4．已知3阶矩阵A 的三个特征值为1，2-，3。

（1）求||A ；（2）求1-A 和*A 的特征值；（3）求I A A ++22的特征值。

5．已知n 阶方阵A 满足O I A =+k )(，求||A 。

6．已知方阵A 满足05322=--I A A ，证明I A +2可逆。

7．设4阶方阵A 满足0|2|=+A I ，I AA 2=T ，0||<A ，求A 的伴随矩阵*A 的一个特征值。

8．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1240011b a 的特征值为1，2，3，求a ，b 。

9．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011100b a A 有三个线性无关的特征向量，问a 与b 应满足何种关系？10．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211ξ是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=312212a a b A 的一个特征向量，求a ，b 和ξ对应的特征值。

11．已知2-=λ是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2214013b a A 的特征值，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21c a 是1-A 的特征值0λ对应的特征向量，求a ，b ，c ，0λ的值。

12．设3阶矩阵A 的特征值为1-，0，1，与之对应的特征向量分别为T a a a )2,3,(1++=a ，T a a )1,1,2(2+--=a ，T a )1,2,1(3-=a 。

若还有02533081085=++-a a a ，求a 与A 。

13．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a 11121112A 是可逆矩阵，T b )1,,1(=a 是A 的伴随矩阵*A 的特征向量，且λ是a 对应的特征值，求a ，b ，λ。

考研数学二（矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )A．λ1≠0．B．λ2≠0．C．λ1=0．D．λ2=0．正确答案：B解析：本题主要考查特征值、特征向量的定义和线性相关性的判别法．利用属于不同特征值的特征向量线性无关即得．设k1α1+k2A(α1+α2)=0，得(k1+λ1k2)α1+λ2k2α2=0，由于α1，α2是属于A的不同特征值的特征向量，故α1，α2线性无关，从而所以α1，A(α1+α2)线性无关即选项B正确．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化填空题2．设向量α1=(1，2，1)T和α2=(1，1，2)T都是方阵A的属于特征值λ=2的特征向量，又向量β=α1+2α2，则A2β=_______．正确答案：(12，16，20)T．解析：本题考查矩阵特征值与特征向量的定义和向量线性表示及矩阵的运算．因为Aβ=Aα1+2Aα2=2α1+4α2=2β，所以知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

3．设A，B为同阶方阵，(1)如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等；(2)举一个2阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立；(3)当A，B均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立．正确答案：(1)若A～B，那么存在可逆矩阵P，使P一1AP=B，故｜λE一B｜=｜λE—P一1AP｜=｜P一1λEP—P一1AP｜=｜P一1(λE一A)P｜=｜P 一1｜｜λE-A｜｜P｜=｜P一1｜｜P｜｜λE—A｜=｜λE-A｜，即A，B的特征多项式相等．(2)令，那么｜λE—A｜=λ2=｜λE—B｜，但A，B不相似．否则，存在可逆矩阵P，使P一1AP=B=O．从而A=POP一1=O，矛盾．(3)由A，B均为实对称矩阵知，A，B均相似于对角阵．若A，B的特征多项式相等，记特征多项式的根为λ1，…，λn，则有即存在可逆矩阵P，Q使于是(PQ一1)一1A(PQ一1)=B．由PQ一1为可逆矩阵知，A与B相似．解析：本题主要考查同阶方阵相似的定义，相似的必要非充分条件及两个实对称矩阵相似的充分必要条件．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化4．设实对称矩阵求可逆矩阵P，使P一1AP为对角矩阵，并计算行列式｜A—E｜的值．正确答案：矩阵A的特征多项式为由此得矩阵A的特征值λ1=λ2=a+1，λ3=a—2．对于特征值λ=λ=a+1，可得对应的两个线性无关的特征向量α1=(1，1，0)T，α2=(1，0，1)T．对于特征值λ3=a一2，可得对应的特征向量α3=(一1，1，1)T．令矩阵解析：本题主要考查的知识点是把实对称矩阵化为对角矩阵的方法，矩阵特征值、特征向量的求法及相似矩阵的性质．由题设可求出矩阵A的3个线性无关的特征向量，于是可求出可逆矩阵P，使P一1AP为对角矩阵．由｜A—E｜=｜P一1AP—P一1P｜=｜P一1AP-E｜，可知只要求出对角矩阵P一1AP，就可以计算出｜A一E｜．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化设矩阵已知线性方程组Ax=β有解但不唯一，试求：5．a的值；正确答案：对线性方程组Ax=β的增广矩阵作初等行变换，有因为方程组Ax=β有解但不唯一，所以r(A)=r(A，β)＜3，故a=一2．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化6．正交矩阵Q，使QTAQ为对角矩阵．正确答案：由(1)，有矩阵A的特征多项式为故A的特征值为λ1=3，λ2=一3，λ3=0，对应的特征向量分别是α1=(1，0，一1)T，α2=(1，一2，1)T，α3=(1，1，1)T．特征向量α1,α2,α3已正交，将α1,α2,α3单位化，得解析：本题主要考查非齐次线性方程组有解的判别方法及用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的方法．由线性方程组Ax=β有无穷多个解，知r(A)=，(A，β)＜3，利用此结论求得α的值．再计算矩阵A的特征值、特征向量，把线性无关的特征向量正交化、单位化，可得正交矩阵Q，使QTAQ为对角矩阵．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化7．设三阶实对称矩阵A的特征值为λ1=一1，λ2=λ3=1，对应于λ1的特征向量为，求A．正确答案：对应于λ2=λ3=1有两个线性无关的特征向量，设为ξ2，ξ3，它们都与ξ1正交，故应有分别取X1=1，0，得由于ξ2与ξ3已正交，故只需将ξ1，ξ2，ξ3，单位化，得求出则Q一1=QT．因此解析：利用实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量相互正交，求出λ2对应的线性无关的特征向量，然后进行正交化、单位化得到正交矩阵P利用A=QAQT即可．也可直接令P=(ξ1，ξ2，ξ3)，由A=PAP一1得．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化设3阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3；矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别是α1=(一1，一1，1)T，α2=(1，一2，一1)T．8．求A的属于特征值3的特征向量；正确答案：设A的属于特征值3的特征向量为α3=(x1，x2，x3)T．因为实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交，所以α1Tα3=0和α2Tα3=0，即x1，x2，x3是齐次线性方程组的非零解，解得其基础解系为(1，0，1)T．因此A的属于特征值3的特征向量为α3=k(1，0，1)T，其中k为任意非零常数．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化9．求矩阵A．正确答案：令矩阵解析：本题主要考查实对称矩阵对角化的逆问题，即由矩阵A的特征值和特征向量如何求A．利用实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量均正交，可求得A的属于特征值3的特征向量，设为α3，记P=(α1,α2,α3)，有，故A=PAP 一1．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值．若α1=(1，1，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(一1，2，一3)T都是A的属于特征值6的特征向量．10．求A的另一特征值和对应的特征向量；正确答案：由r(A)=2，所以A的另一特征值λ3=0．设属于λ3=0的特征向量为x=(x1，x2，x3)T，则有α3Tx=0．α2Tx=0．即解得此方程组的基础解系为(一1，1，1)T，即A的属于特征值λ3=0的全部特征向量为kx=k(一1，1，1)T(k 为任意非零常数)．解析：本题主要考查实对称矩阵对角化的逆问题，即由A的特征值和特征向量，如何求A．本题不仅要求考生知道实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交这一事实，还要求考生能够正确地求解可逆矩阵的逆矩阵．由r(A)=2，可知A的另一特征值为λ3=0．由实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，求出属于特征值0的特征向量，于是可求出矩阵A．也可以根据特征向量的定义以及矩阵的迹等于特征值之和求A．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化11．求矩阵A．正确答案：令矩阵P=(α1，α2，x)，则涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，且α1=(1，一1，1)。

《 特征值与特征向量》习题21．求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 5 6的特征值和特征向量．2. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22x 的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．3. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －2－1 －3，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－5，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24.(1)求向量2α＋3β在矩阵M 表示的变换作用下的象；(2)向量γ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12是矩阵M 的特征向量吗为什么4. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－14，设向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，试计算A 5β的值． 5. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1，其中a ∈R ，若点P (1,1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－3)(1)求实数a 的值；(2)求矩阵A 的特征值及特征向量． 6. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3cd ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．7. 已知矩阵A 对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转90°.(1)求矩阵A 及A 的逆矩阵B ；(2)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3324，求M 的特征值和特征向量；(3)若α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤81在矩阵B 的作用下变换为β，求M 50β.(结果用指数式表示)8. 已知二阶矩阵M 的一个特征值λ＝8及与其对应的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)．(1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值及与其对应的另一个特征向量α2的坐标之间的关系； (3)求直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程．9. 给定矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23－13－13 23，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2及向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1. (1)求证M 和N 互为逆矩阵；(2)求证α1和α2都是矩阵M 的特征向量．10．给定矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2561及向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 9. (1)求矩阵M 的特征值及与其对应的特征向量α1，α2； (2)确定实数a ，b ，使向量α可以表示为α＝a α1＋b α2； (3)利用(2)中的表达式计算M 3α，M nα； (4)从(3)中的运算结果，你能发现什么参考答案1.【解】 矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋1 0－5 λ－6＝(λ＋1)(λ－6)．令f (λ)＝0，解得矩阵M 的特征值λ1＝－1，λ2＝6.将λ1＝－1代入方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ?λ＋1?x ＋0·y ＝0，－5x ＋?λ－6?y ＝0，易求得⎣⎢⎡⎦⎥⎤7－5为属于λ1＝－1的一个特征向量．将λ2＝6代入方程组⎩⎪⎨⎪⎧?λ＋1?x ＋0·y ＝0，－5x ＋?λ－6?y ＝0，易求得⎣⎢⎡⎦⎥⎤01为属于λ2＝6的一个特征向量．综上所述，M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 56的特征值为λ1＝－1，λ2＝6，属于λ1＝－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤7－5，属于λ2＝6的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.2．【解】 矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x )－4因为λ1＝3为方程f (λ)＝0的一根，所以x ＝1 由(λ－1)(λ－1)－4＝0得λ2＝－1，设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则由⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0得x ＝－y令x ＝1，则y ＝－1.所以矩阵M 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.3． 【解】 (1)因为2α＋3β＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－5＋3⎣⎢⎡⎦⎥⎤24＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 2，所以M (2α＋3β)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －2－1 －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 8－18，所以向量2α＋3β在矩阵M 表示的变换作用下的象为⎣⎢⎡⎦⎥⎤8－18. (2)向量γ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12不是矩阵M 的特征向量．理由如下：Mγ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －2－1 －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3－7，向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3－7与向量γ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12不共线，所以向量γ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12不是矩阵M 的特征向量． 4． 【解】 矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －21 λ－4＝λ2－5λ＋6＝0，解得λ1＝2，λ2＝3.当λ1＝2时，得α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21；当λ2＝3时，得α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，由β＝m α1＋n α2，得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝7m ＋n ＝4，得m ＝3，n ＝1， ∴A 5β＝A 5(3α1＋α2) ＝3(A 5α1)＋A 5α2 ＝3(λ51α1)＋λ52α2 ＝3×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤435339.5．【解】 (1)∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－3，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0a ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－3， ∴a ＝－4.(2)∵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－4 1，∴f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 1 4 λ－1＝λ2－2λ－3.令f (λ)＝0，得λ1＝－1，λ2＝3，对于特征值λ1＝－1，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＝04x －2y ＝0得一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2，因此α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12是矩阵A 的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量．对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝04x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－2，因此α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2是矩阵A 的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．∴矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝3，属于特征值λ1＝－1，λ2＝3的特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2.6． 【解】 由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，可知⎣⎢⎡⎦⎥⎤33cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以c ＋d ＝6，①由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2， 可知⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，所以3c －2d ＝－2.② 联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧c ＋d ＝6，3c －2d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，d ＝4，即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 32 4，A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23－12－13 12. 7．【解】 (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 01－1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 02－10；B ＝A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0. (2)设M 的特征值为λ，则由条件得⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 －3 －2 λ－4＝0，即(λ－3)(λ－4)－6＝λ2－7λ＋6＝0. 解得λ1＝1，λ2＝6.当λ1＝1时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 32 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 得M 属于1的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2；当λ2＝6时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 324⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 得M 属于6的特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(3)由Bα＝β，得β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤81＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 4， 设⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 4＝m α1＋n α2＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3m ＋n －2m ＋n ， 则由⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋n ＝－1，－2m ＋n ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝2.所以β＝－α1＋2α2. 所以M 50β＝M 50(－α1＋2α2) ＝－M 50α1＋2M 50α2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＋2×650×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×650－32×650＋2. 8．【解】 (1)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤88，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8.由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4.联立以上两方程组可解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244.(2)由(1)知矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2－4 λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16.令f (λ)＝0，解得矩阵M 的另一个特征值λ＝2.设矩阵M 的属于特征值2的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则Mα2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，解得2x ＋y ＝0.(3)设点(x ，y )是直线l 上的任一点，其在矩阵M 的作用下对应的点的坐标为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋38y ′，代入直线l 的方程并化简得x ′－y ′＋2＝0，即直线l ′的方程为x －y ＋2＝0.9． 【证明】 (1)因为MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －13－13 23⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －13－13 23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以M 和N 互为逆矩阵．(2)向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11在矩阵M 的作用下，其象与其共线，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －13－13 23⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1313＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1在矩阵M 的作用下，其象与其共线，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23－13－13 23⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，所以α1和α2都是M 的特征向量． 10.【解】 (1)矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －5－6 λ－1＝(λ－2)(λ－1)－30＝(λ－7)(λ＋4)．令f (λ)＝0，解得矩阵M 的特征值λ1＝－4，λ2＝7.易求得属于特征值λ1＝－4的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5 6，属于特征值λ2＝7的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(2)由(1)可知⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 9＝a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5 6＋b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，解得a ＝1，b ＝3，所以α＝α1＋3α2.(3)M 3α＝M 3(α1＋3α2)＝M 3α1＋3M 3α2＝(－4)3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5 6＋3×73×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤43×5＋3×73－43×6＋3×73. M n α＝M n (α1＋3α2)＝M nα1＋3M nα2＝(－4)n×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5 6＋3×7n×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤?－1?n ＋1×4n ×5＋3×7n?－4?n ×6＋3×7n . (4)在M nα的结果中，随着n 的增加，特征向量α1对结果的影响越来越小．。

特征值与特征向量编写：陈爱兵审核：黄爱华1.求矩阵3652A轾=犏犏臌的特征值和特征向量.2.已知矩阵A有特征值18λ=及对应特征向量111轾=犏犏臌α，并有特征值22λ=及对应的特征向量212轾=犏-犏臌α，试确定矩阵A.3.已知矩阵8563A轾-=犏-犏臌，向量78轾=犏犏臌α，求4Mα.4.已知矩阵3652A轾=犏犏臌有属于特征值18λ=的特征向量165轾=犏犏臌α，以及属于特征值23λ=-的特征向量211轾=犏-犏臌α.⑴对向量38轾=犏犏臌α，试计算3Aα.⑵对向量83轾=犏犏臌β，试计算5Aβ.5.已知二阶矩阵A 有特征值11λ=及对应的一个特征向量111轾=犏犏臌e 和特征值22λ=及对应的一个特征向量210轾=犏犏臌e ，试求矩阵A 及其逆矩阵1A -.6.已知矩阵123142A B 轾轾==犏犏-犏犏臌臌，. ⑴求A 的特征值12λλ,及对应的特征向量12,αα； ⑵求4A B .7.已知矩阵12532A 轾-犏=犏犏臌，向量416轾=犏犏臌α，求n M α(n 为正整数).8.已知矩阵111A a 轾-=犏犏臌，其中a R Î，若点(1,1)P 在矩阵A 的变换下得到点(0,3)P ¢-.⑴求实数a的值；⑵求矩阵A的特征值及特征向量.。

特征值与特征向量练习题在线性代数中，特征值与特征向量是重要的概念。

特征值与特征向量的研究对于解决矩阵和线性变换的问题具有重要意义。

本文将为你提供一些特征值与特征向量的练习题，帮助你加深对这些概念的理解。

练习题一：考虑以下矩阵A:A = | 3 4 || 2 1 |问题一：找出矩阵A的特征值和对应的特征向量。

解答一：首先，我们需要找到矩阵A的特征值λ，通过求解矩阵A的特征方程来得到。

特征方程的形式为| A-λI |=0，其中I是单位矩阵。

我们可以写出矩阵A-λI的形式：A-λI = | 3-λ 4 || 2 1-λ |计算行列式并置为零得到特征方程：(3-λ)(1-λ)-(4)(2) = 0展开并整理方程，得到二次方程：λ^2 - 4λ - 5 = 0解方程，得到特征值λ1=5和λ2=-1。

接下来，我们需要找到对应于特征值λ1和λ2的特征向量。

我们可以通过解线性方程组(A-λI)x=0，来得到特征向量。

首先，对于特征值λ1=5，我们可以得到线性方程组：(-2)x1 + 4x2 = 02x1 - 4x2 = 0解方程组，得到x1=2和x2=1。

因此，特征向量v1=(2,1)。

然后，对于特征值λ2=-1，我们可以得到线性方程组：4x1 + 4x2 = 02x1 + 2x2 = 0解方程组，得到x1=-1和x2=1。

因此，特征向量v2=(-1,1)。

练习题二：考虑以下对称矩阵B:B = | 2 -1 || -1 2 |问题二：找出对称矩阵B的特征值和对应的特征向量。

解答二：由于对称矩阵的特征值与特征向量具有一些特殊的性质，我们可以利用这些性质来求解。

首先，我们可以通过求解特征方程来得到矩阵B的特征值。

特征方程的形式为| B-λI |=0，其中I是单位矩阵。

我们可以写出矩阵B-λI的形式：B-λI = | 2-λ -1 || -1 2-λ |计算行列式并置为零得到特征方程：(2-λ)(2-λ)-(-1)(-1) = 0展开并整理方程，得到二次方程：λ^2 - 4λ + 3 = 0解方程，得到特征值λ1=1和λ2=3。

特征值与特征向量练习题特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，它们在解决实际问题中有着广泛的应用。

下面是一些关于特征值和特征向量的练习题。

1、设矩阵A的元素如下：2 -3 41 -1 10 1 -2矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。

2、设矩阵A的元素如下：1 2 34 5 67 8 9矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。

3、设矩阵A的元素如下：2 1 00 2 10 0 2矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。

4、设矩阵A的元素如下：csharp1 0 00 2 -10 -1 2矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。

5、设矩阵A的元素如下：lua1 0 0 00 2 -1 -10 -1 2 -10 -1 -1 2矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。

特征值与特征向量特征值和特征向量是线性代数中两个非常重要的概念，它们在许多数学领域中都有广泛的应用，包括解决线性方程组、研究矩阵的性质、以及在机器学习和数据科学中等。

一、特征值特征值是矩阵的一个重要属性，它可以通过对矩阵进行特定的数学操作来得到。

对于一个给定的矩阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av = λv对某个标量λ成立，那么我们就说λ是A的特征值，v是对应于特征值λ的特征向量。

特征值的性质可以通过矩阵的特征多项式来研究。

特征多项式f(x) = |xI - A|，其中I是单位矩阵，A是给定的矩阵。

特征多项式的根就是矩阵的特征值。

二、特征向量特征向量是矩阵对应于特征值的向量。

它与特征值有密切的关系，并且在解决线性代数问题中发挥着重要的作用。

设A是n阶方阵，如果存在非零向量v，使得Av = λv对某个标量λ成立，那么我们就说λ是A的特征值，v是对应于特征值λ的特征向量。

特别地，如果λ是矩阵A的特征值，那么对于任何使得|xI - A|= 0成立的x，我们都有(xI - A)v = xv - Av = (x - λ)v，这表明v 也是对应于x的特征向量。

考研数学三线性代数（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．已知P-1AP=，α1是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量，α2与α3是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量，那么矩阵P不能是( ) A．[α1，-α2，α3]．B．[α1，α2+α3，α2-2α3]．C．[α1，α3，α2]．D．[α1+α2，α1-α2，α3]．正确答案：D解析：若P-1AP=A=，P=(α1，α2，α3)，则有AP=PA．即(Aα1，Aα2，Aα3)=(a1α1，a2α2，a3α3)可见αi是矩阵A属于特征值ai(i=1，2，3)的特征向量，又因矩阵P可逆，因此α1，α2，α3线性无关．若α是属于特征值A的特征向量，则-α仍是属于特征值λ的特征向量，故选项A正确．若α，β是属于特征值λ的特征向量，则2α+3β，…仍是属于特征值λ的特征向量．本题中，α2，α3是属于λ=5的线性无关的特征向量，故α2+α3，α2-2α3仍是λ=5的特征向量，并且α2+α3，α2-2α3线性无关，故选项B正确．对于选项C，因为α2，α3均是λ=5的特征向量，所以α2与α3谁在前谁在后均正确．故选项C正确．由于α1，α2是不同特征值的特征向量，因此α1+α，α1-α2不再是矩阵A的特征向量，故选项D错误．所以应选D．知识模块：矩阵的特征值和特征向量2．设A为n阶可逆矩阵，λ是A的一个特征值，则A的伴随矩阵A*的特征值之一是( )A．λ-1｜A｜B．λ-1｜A｜C．λ｜A｜D．λ｜An｜正确答案：B解析：设向量x(x≠0)是与λ对应的特征向量，则由特征值与特征向量的定义有Ax=λx．上式两边左乘A*，并考虑到A*A=｜A｜E，得A*Ax=A*(λx)，即｜A｜x=λA*x，从而可见A*有特征值所以应选B．知识模块：矩阵的特征值和特征向量3．已知A是三阶矩阵，r(A)=1，则λ=0( )A．必是A的二重特征值．B．至少是A的二重特征值．C．至多是A的二重特征值．D．一重、二重、三重特征值都有可能．正确答案：B解析：A的对应λ的线性无关特征向量的个数≤特征值的重数．r(A3×3)=1，即r(0E-A)=1，(0E-A)x=0必有两个线性无关特征向量．故λ=0的重数≥2．至少是二重特征值，也可能是三重．例如A=，r(A)=1，但λ=0是三重特征值．所以应选B．知识模块：矩阵的特征值和特征向量4．设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵有一特征值等于( ) A．B．C．D．正确答案：B解析：因为λ为A的非零特征值，所以λ2为A2的特征值，为(A2)-1的特征值．因此的特征值为．所以应选B．知识模块：矩阵的特征值和特征向量5．三阶矩阵A的特征值全为零，则必有( )A．秩r(A)=0B．秩r(A)=1C．秩r(A)=2D．条件不足，不能确定正确答案：D解析：考查下列矩阵它们的特征值全是零，而秩分别为0，1，2．所以仅由特征值全是零是不能确定矩阵的秩的．所以应选D．知识模块：矩阵的特征值和特征向量6．设n阶矩阵A与B相似，E为n阶单位矩阵，则( )A．λE-A=λE-BB．A与B有相同的特征值和特征向量．C．A和B都相似于一个对角矩阵．D．对任意常数t，tE-A与tE-B相似．正确答案：D解析：因为由A与B相似不能推得A=B，所以选项A不正确．相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量，故选项B也不正确．对于选项C，因为根据题设不能推知A，B是否相似于对角阵，故选项C也不正确．综上可知选项D正确．事实上，因A与B相似，故存在可逆矩阵P，使P-1AP=B 于是P-1(tE-A)P=tE-P-1AP=tE- B．可见对任意常数t，矩阵tE-A与tE-B相似．所以应选D．知识模块：矩阵的特征值和特征向量7．n阶矩阵A和B具有相同的特征值是A和B相似的( )A．充分必要条件．B．必要而非充分条件．C．充分而非必要条件．D．既非充分也非必要条件．正确答案：B解析：由A-B，即存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，故｜λE-B｜=｜λE-P-1AP｜=｜P-1(λE-A)P｜=｜P-1｜｜λE-A｜｜P｜=｜λE-A｜即A 与B有相同的特征值．但当A，B有相同特征值时，A与B不一定相似，例如虽然A，B有相同的特征值λ1=λ2=0，但由于r(A)≠r(B)，A，B不可能相似．所以，相似的必要条件是A，B有相同的特征值．所以应选B．知识模块：矩阵的特征值和特征向量填空题8．设A是3阶实对称矩阵，特征值分别为0，1，2，如果特征值0和1对应的特征向量分别为α1=(1，2，1)T，α2=(1，-1，1)T，则特征值2对应的特征向量是______正确答案：t(-1，0，1)T，t≠0解析：设所求的特征向量为α=(x1，x2，x3)，因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是正交的，因此有所以可知x1=-t，x2=0，x3=t．所以对应于特征值2的特征向量是t(-1，0，1)T，t≠0．知识模块：矩阵的特征值和特征向量9．设A为2阶矩阵，α1，α2为线性无关的2维列向量，Aα1=0，Aα2=2α1+α2，则A的非零特征值为________正确答案：1解析：根据题设条件，得A(α1，α2)=(Aα1，Aα2)=(0，2α1+α2)=(α1，α2)记P=(α1，α2)，因α1，α2线性无关，故P=(α1，α2)是可逆矩阵．因此，则A与B相似，从而有相同的特征值．因为所以λ=0，λ=1．故A的非零特征值为1．知识模块：矩阵的特征值和特征向量10．设n阶可逆矩阵A的一个特征值是-3，则矩阵必有一个特征值为_________正确答案：解析：根据矩阵特征值的特点，A有特征值-3，所以有特征值知识模块：矩阵的特征值和特征向量11．若3维列向量α，β满足αTβ=2，其中αT为α的转置，则矩阵βαT的非零特征值为_______正确答案：2解析：因为αTβ=2，所以βαTβ=β(αTβ)=2×β，故βαT的非零特征值为2．知识模块：矩阵的特征值和特征向量12．设α=(1，-1，a)T是A=的伴随矩阵A*的特征向量，其中r(A*)=3，则a=__________正确答案：-1解析：α是A*的特征向量，设对应于α的特征值为λ0，则有A*α=λ0α，该等式两端同时左乘A，即得AA*α=｜A｜α=λ0Aα，即展开成方程组的形式为因为r(A*)=3，｜A*｜≠0，因此λ0≠0，根据方程组中的前两个等式，解得a=-1．知识模块：矩阵的特征值和特征向量13．已知矩阵A=的特征值的和为3，特征值的乘积是-24，则b=________正确答案：-3解析：已知一个矩阵的所有特征值的和等于该矩阵对角线元素的和，因此a+3+(-1)=∑λt=3，所以a=1．又因为矩阵所有特征值的乘积等于矩阵对应行列式的值，因此有所以b=-3．知识模块：矩阵的特征值和特征向量14．设A=有二重特征根，则a=________正确答案：解析：=(λ-2)(λ2-2λ-2(a-2))=0．如果λ=2是二重根，则有λ=2的时候，λ2-2λ-2(a-2)的值为0，可得a的值为2．如果λ2-2λ-2(a-2)=0是完全平方，则有(λ-1)2=0，满足λ=1是一个二重根，此时-2(a-2)=1，即a= 知识模块：矩阵的特征值和特征向量解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。