第一讲实数1

实数第一讲平方根【学习目标】1. 了解平方根、算术平方根的概念,会用根号表示数的平方根.2. 了解开方与乘方互为逆运算,会用开方运算求某些非负数的平方根,会用计算器求平方根. 考点一、算术根知识讲解定义：如果一个正数x的平方等于a ,即x2 a ,那么这个正数x叫做a的算术平方根;a的算术平方根记作几,读作“ a的算术平方根〞,a 补充:1 .当式子V a有意义时,a 一定表示一个非负数,即2 .规定0的算术平方根还是0.3 .算术平方根等于他自己本身的有0和1.课堂稳固1 .以下说法正确的选项是〔〕C.由于〔±5〕2=25所以5和-5者B是25的算术平方根.D.以上说法都不对.【答案】A2 .以下各式正确的选项是3 .算术平方根等于它本身的数是【答案】0和1例2.求以下各数的算术平方根叫做被开方数. n >0, a >0.典型例题例1.以下说法正确的选项是〔A.0的算术平方根是0C. 士是9的算术平方根【答案】A 〕B.9是3的算术平方根D.-3是9的算术平方根A.由于52 =25,所以B.由于〔-5〕2=25,所以5是-5是2525的算术平方根.的算术平方根.A 3= 3B. 32= 3 C.、32= 3(1) 100 (2) 0.04 (3)1681(4) (5) 0 (6 ) 10【答案】2,-3 例3.估计与 底 最接近的整数 【答案】6【解析】解：: 25V35V36,25 35 36即5V 扁＜6 .「35比拟接近36,・•. J 35最接近的整数是6.课堂同步1 .估计商的值在〔〕A. 4和5之间B. 5和6之间C. 6和7之间D. 7和8之间 【答案】C2..估计与1 芯 最接近的整数【答案】〔1〕 10 〔2〕 0.2 (3)(4) 2 (5) 0(6) 1W课堂稳固1.求以下各数的算术平方根 (1) 121(2) 169(3)9 64(4 )1 121(5) 0.01 (6)【答案】〔1〕 11 (2) 13 (3)(4) 111⑸0.1(6) (7 )2.求以下各式的值(1) J000000(3) ,0.81 .. 0.04(4) ,412 402【答案】1000 (2)(3) 0.7 (4) 9【点睛】算术平方根为正数3. , 〔 4〕2的算术平方根是;病的算术平方根的相反数是(2 )5163.比拟以下各数的大小综上,a +b=12 ,7课堂稳固1 .出5的整数局部是a ,小数局部是 b,求a2 b 的值.【答案】20 .. 35解析:国为5<序<6.所以后的第数局部是5,即所以后的小数局部是库-5. 即b 二—5,所以/+小=5± +J^-5 = 20+2 .设4 限4 76的小数局部分别为a, b,求a +b 的值.【答案】1解析：由于2V R<3,所以4十几的整数局部是6,小数局部是4 + J5—6 =&—2. 即n =几一2,由于1<4 —疾］2 ,所以4一次的整数局部是1,小数局部是4 — — 1 — 3 — -^6 , b — 3 - b 所以 A + /> — ,%/6 —2 + 3 — — 1(1)炉与 g(2)衽与" (3) 5 与 J 24(4)金与02 2【答案】〔1〕而<幅〔2〕非> 币 〔3〕 5>V 24【解析】〔4〕 Q 庖4;724 1 3;那么疝1>322(4)'.五 1 322例4."7的a , 7 币的小数局部是b,求a +b 的值【答案】a +b=12 ,7 【解析】Q2 " 3,用的整数局部是2 ；"7的整数局部是9 ；即a =9Q4 7.7 5, 7 ,.7的小数局部是7 77 4=3 V 7 ；即 b=3 日.3 .：m 与n 互为相反数,c 与d 互为倒数,a 是 强 的整数局部,那么 \ cd 2 m n a 的值是【答案】-1解H 心由于m 与n 互为相反数.所以加斗注二°：出为.与d 互为例数,所以〃二1；因 为2V 旧<3,所以行的整数局部是 2 ,即白:2 , 所以 Ted + 2(m + ?r) - A - 1 + 2 x 0 - 2 - -1例5 (1)使代数式 必F 有意义的x 的取值范围是 【答案】x > 1;【解析】X + 1 >0,解得x > 1 .【点睛】当式子 指有意义时,a 一定表示一个非负数,即 ja >0, a >0.2021,一 .......... 一 一 - X ⑵假设x, y 为实数,且| x +1| + Jy 1 =0,那么一 的值是()yA.0B.1C. -1D. —2021【答案】C;2021x【解析】x + 1 = 0, y — 1 = 0,解得 x = — 1 ； y=1.—=- 1.y2(3)y J x 7V 7 x 9,求xy 64 的算术平方根.【答案】1旧—64/=(7乂9 —64『=1 ,其R 术平方根为1,故(◎ —64)」的算术平方根为1课堂稳固 2----------1 . x 8 J y 4 0,那么 xy【答案】-322 . y V x _2 J 2 x 2x ,贝U x y =v-2^0答案哪：根据被开方数为非负数.得A -7>0〞心..踊凯=7解析:根据被开方数为非负数,W l2-.T>O1解狎?=2.故1 = 4,所以工二2」=163 .Ji 3a和8b 3互为相反数,求ab 2的值.64解析：由于与।8卜一3」互为相反数,所以,田+|86-"二0,被开方数和绝对值都工--. ( v_ J 力_ 1是非负数.得Mb-3」.,斛得1b・最所以便'3X8)<54例6按要求填空填表(2)根据你发现的规律填空：J72=2.638 ,那么720==; 00.00072=70.0038=0.06164 ,361.64,那么x=【答案】【总结】被开方数的小数点向右或者向左移动2位,它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位课堂同步1 /3.456=L 859 ,由4.56二5, 739 ,那么0345600=.【答案】578.9 ;【解析】解：: 丁34.56=5. 789,,而嬴而=578.9 .故答案为：578.9 .2 .J5.217 2.284,7521.7 22.84.填空：1 ,0.05217 1 52170(2)假设而 0.02284,那么 x【答案】(1 ) 0.2284,228.4(2) 0.0005217【点睛】被开方数的小数点向右或者向左移动2位,它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动 1 位.例如：J62500 250 , 底5 25,褥25 2.5 , J0.0625 0.25.考点二、平方根 知识点讲解定义：如果x 2 a ,那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算,叫做开平方.平方 与开平方互为逆运算.a ( a >0)的平方根的符号表达为 Va(a 0),其中 Q 是a 的算术平方根.平方根和算术平方根的区别与联系1 .区别：(1)定义不同；(2)结果不同：ja 和j a2 .联系：(1)平方根包含算术平方根；(2)被开方数都是非负数；3 3) 0的平方根和算术平方根均为 0.补充：(1)正数的平方根有两个,它们互为相反数,其中正的那个叫它的算术平方根；负 数没有平方根.(2)正数的两个平方根互为相反数,根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方 根.因此,我们可以利用算术平方根来研究平方根 a a 0 0 a 0 aa 0a 0典型例题例1、以下说法错误的选项是()A.5是25的算术平方根B.l 2 __ _ _______C. 4 的平万根是一4D.0【答案】C;【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项.A.由于,25 =5,所以本说法正确;B.由于土 J i =± 1,所以l 是l 的一个平方根说法正确;C.由于土 4 42=±方6 = ±4,所以本说法错误;平方根的性质是l 的一个平方根的平方根与算术平方根都是 0D.由于J0=0, J0=0,所以本说法正确;课堂稳固1 .判断以下各题正误,并将错误改正：(1) 9没有平方根.( )⑵田6 4.( ),、,1、2 ,一、… 1 ' 、(3)( --------- )的平方根—.( )10 102 1 4 ,一, 一、,(4) 一是—的算术平方根.( )5 25【答案】,；x; V；乂,【点睛】被开方数都是非负数2、填空：(1) 4是的负平方根.(2) J工表示的算术平方根,..16 ------ - 16 ------(3) J—的算术平方根为.81 ------(4)假设豉3,那么X ,假设& 3,那么X .111【答案】(1)16 ; (2) —; - (3) - (4) 9 ; ±316 4 3例2以下各数有平方根的是()A 1 3B. .4 C.m2 1 D.a2【答案】D课堂稳固判断以下各数是否有平方根,假设有,求其平方根,假设没有,请说明理由2 2 2 (1) 3 (2) 4 (3) 625 (4) a 1【答案】(1) Y (-3> =9>.,,(凸))『平方根,即* J ⑶二⑵・・・f =-16<0,负数没宥平方根,二没有平方根(3) T625>0.,625行平方根.即：屈？=±25⑷,.・<二+1)<0负数没有平方根 :4/+1)没仃平方根(5)Ym 不确定是负数还是正数,二当m>0时।有平方根.即；土而;当m3时, 役有平方根例3求以下各数的平方根 _____ 八9 1(1) 0.81 (2) -96⑶ 121 (4)—3【答案】(1) 0.9; (2) - ；(3) 11 ; (4)4【点睛】一个正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数,零的平方根是零,负数没有 平方根.课堂稳固1求以下各数的平方根(1) 81； (2) 0.0009； (3) 空；(4) 7； (5)100；(6)0；(7)包； (8)169.9255— 3【答案】(1)9; (2) 0.03; (3)—; (4)77; (5) 10; (6) 0; (7)—;35(8)13.2.求以下各数的平方根、算术平方根,并用式子表示出来 ^(1) I 225|； ⑵ |T |1；⑶ J0.0016 ； (4)J ( 0.2)2 .咯案】⑴N 15,癖5 15；⑵屑土用子⑶ 山0.0016 0.2,770,0016 0.2； (4) Jj ( 0.2)2 而2,\ \( 0.2)2 .0,2 .(5) 49 (6) 0.251 ,、,“、一—;(5) ± 7; (6) 土 0.5.83.求以下各式的值:(1) 土49166T ；(3) V0.125；(4) 3 41727【答案】〔1〕4'(2) 6; (3) -0. 5; (4)例4求以下各式中的(1) (x-1)2 16；x-3(4) 289(1) X1,X2 3; (2) X -2 (3) 3； (4) x1 6.5 ,x2 10.5解: (1) (x-1)216 x-1 5, 又23;(2) 3x-3 x-3 -125 x-3 -5 (3)x 124x26.5 , x228910.5 .72.25 8.5课堂稳固求以下各式中x的值:(1) 25(x—1)2=49 (2) (x +2)2-36=0；(3) 2 __(x 1) 729 0 (4) 16x2 = 25 (5) (x-3) 2=4(6) 3x⑺(9)2x2 72;4(x 2)2162(8) 4x2 !(10) 25x2【答案】〔1〕x 12一或x2［；(2) X '550.36=0.22 =16.,x2 8;(3) x1=28, x2=-26. (4)【详解】解：: 2a —1的平方根是22a 13 9.2解得:3a b 1416±弓3a+ b —1的平方根是±4a 5b 2Ja 2b <5 2 23即a+ 2b 的平方根为：3 .5 2-—；(5) x= 5或 1. (6) x=—或 x=-2. (7) x 6； (8) x 4 3 —.(9) x=0 或 x=-24 (10) x= ±—.5 【详解】 一 c 一 249 (1)解：25(x — 1)2=49 即：(x 1)2 -25••(x 1)2 - 12 2 斛得：x 一或x 一. 5 5 2(2)解：.. (x 2) 36 0 , • . x 2 6, ,X 4 , x 2 8 ； (3)由题意可知：x-1=±27,,x 1=28 或 x 2=-26 , 一 c 一 2 25 5 (4)解：由于：16x 2=25,所以：x ——,所以：x —； 16 4 (5)由于：(x 3)24,那么 x 3 2或 x 3 2,故乂= 5 或 1. 2 — . 一2八 八(6)斛：由于 3x 2 =16,开方得 3x+2=4 或 3x+2= - 4,解得：x=5或x =-2. ⑺解：2x 2 72,系数化为1,得x 236 .开平方得x 6 . ⑻4x 2 9 0 ,移项,得4x 2 9 .系数化为1,得x 2 9.开平方,得x -. 4 22 (9) 4 x 2 16 (x+2)2=4 x+2=±2 解得 x=0 或 x=-4. (10)整理得,x 2= — , x= ±6 .故答案为 x= ±6 例52a — 1的平方根是±3, 3a+ b-1的平方根是±4求a+ 2b 的平方根. 【答案】 31 .假设5a+1和a- 19是数m 的平方根.求a 和m 的值. 【答案】a=3, m=256 .【详解】解：根据题意得： (5a+1) + (a-19) =0,解得：a=3,那么m= (5a+1)2=162=256.2 .如果一个正数 x 的平方根是a+6和2a - 15, (1)求a 的值？ ( 2)求正数x ? 【答案】(1) 3； (2) 81【详解】(1)二•一个正数的平方根有两个,且互为相反数,a 6 (2a 15) 0,解得 a 3 ; (2)当 a 3时,a 6 9, .. x 92 81 .3 .正实数x 的平方根是a 和a+b.(1)当 b= 6 时,求 a; (2)假设 a 2x + (a + b)2x = 6,求 【答案】(1) a=-3; (2) x 志Qb 6, 2a 60, a 3;(2) .•.正实数x 的平方根是a 和a+b,(a b)2Q a 2x (a b)2x 6, x 2 x 2 6,3,0, x .34. 一个正数x 的两个不同的平方根分别是2aa 2.(1)求a 和x 的值；(2)化简2 a J2]3a【答案】(1) -1 ; 9(2)2.2【详解】(1)根据题意知,2a .解得a1 ,所以-a+2=3 ,可得x 9,故答案为:-1； 9;x 9代入-2| 3a2 2.28 2衣,故答案为： 8 2五x 的值.【详解】解：(1)二.正实数x 的平方根是a 和 a+b,、单项选择题 1 . 9的算术平方根是〔 〕 A. 3 B. 3C. 3【答案】A2 .以下计算正确的选项是〔 〕A.而 3B. 32 9C. | 5| 5 【答案】C 【详解】3 .假设 J10404 =102,.衣=10.2,贝U x 等于〔 A. 1040.4 C. 104.04 【答案】C4.以下说法不正确的选项是〔 〕A. —2是4的一个平方根C.平方根等于它本身的数只有B. 10.404 D. 1.0404B.立方根等于它本身的数只有 1和0 D.平方等于它本身的数只有0和1解：A 、4的一个平方根有 ±Z 故一2是4的一个平方根,故 A 正确； B 、立方根等于它本身的数有 ±1和0,故B 选项的说法不正确； C 、平方根等于本身的数只有 0,故C 正确； D 、平方等于它本身的数只有 0和1,故D 正确；5 .如果一个实数的算术平方根与它的立方根相等,那么这个数是〔 〕 A. 0B,正整数C. 0和1D. 16 .以下五个命题：①只有正数才有平方根；② -2是4的平方根；③5的平方根是 Jg ；解：A 、J9 3,故本项错误；B 、 32 9,故本项错误;C 、| 5| 5,故本项正确；D 、32 8 ,故本项错误;D. 813D. 28④土邪都是3的平方根；⑤〔-2〕2的平方根是-2 ;其中正确的命题是〔〕A.①②③B.③④⑤C.③④D.②④【答案】D【详解】解：① 由于0有平方根,故此选项错误；0-2是4的一个平方根,此选项正确;①、5的平方根式土石,此选项错误；①土J3都是3的平方根,此选项正确；①〔—2〕2的平方根是土2,此选项错误.故正确的命题是①①7 .以下说法正确的选项是〔〕A. 一个数的算术平方根-一定是正数C. .. 25 5【答案】D【详解】A、一个数的算术平方根一定是正数,错误,B、1的立方根是1,错误；C、病58 .以下各式中,正确的选项是〔〕A. '〔 2〕2 = - 2B. ^"9 = -3【答案】D9 . 的平方根是〔〕.16A. ±1B. ±12 4【答案】A10 .假设x使〔x-1〕2=4成立,那么x的值是〔A. 3B. - 1【答案】C【解析】:①x-1 0=4成立,x-1= ±2夕二、填空题11 .假设J x 2 y 3 2 0,贝ux y=1的立方根是B.2是4的平方根D.0的算术平方根是0;例如D、2是4的平方根,正确;D.32 =3C.C. D.C. D. ±2:x[=3 ① x2=-1 ①【答案】12 2【详解】J x 2 y 3 0 J x 2 0, y 3 0・•. x 2, y 3 x y 2 3 1 故答案为1.12 .81.732, 廊5.477,贝U V0?3 .【答案】0.5477【详解】解：Q J30 5.477, J03 J30 0.01 0.5477 故答案为：0.5477.13 .假设J25.36 ①5.036 5/253.6 ①15.906,那么J253600 ① _____ .【答案】503.6【详解】解①J253600 = 425.36 10000 =5.036 X 100=503.6故将案为503.6 ①14 .如果a+3和2a -6是一个数的平方根,这个数为 .【答案】16或144【详解】解：根据题意得：a+3+2a-6=0,或a+3=2a-6,移项、合并同类项得：或-a=- 9,解得：a=1 或a=9,那么这个数为〔1+3〕2= 16 或〔9+3〕2= 144, 故答案为：16或144.15 .假设1 2a与3a 4是同一个数的平方根,那么a的值为.【答案】3或1 .【详解】解：依题意可知：1- 2a+ 〔3a- 4〕 = 0或1- 2a = 3a- 4 ,解得：a 3或a 1.故答案为：3或1 .16 .2x2+3 = 35,那么x=.【答案】土 4.【详解】2x2 3 35, ••• 2x2 32,贝U x2 16,解得：x=±4.故答案为：士三、解做题17,&~1与,2 y互为相反教,Z是64的方根,求x y z的平方根【答案】土石【详解】解：; &一彳与J2 y互为相反数,••• j x―1 + J2 y =0,• -x+1=0,2-y=0 ,解得x=-1 , y=2 , 丁z 是64 的方根,,z=8所以,x y Z=-1-2+8=5 ,所以,x y z的平方根是土卮18.探索与应用.先填写下表,通过观察后再答复以下问题：3a=3 4.(1)表格中x=; y=;(2)从表格中探究a与后数位的规律,并利用这个规律解决下面两个问题：① J10~3.16那么#000'；② J3五=1.8,假设石=180,贝U a=(3)拓展：筑2 2.289,假设正 0.2289 ,贝U b=.【答案】(1) 0.1 , 10; (2) 31.6 , 32400; (3) 0.012.【详解】(1) x=0.1 , y=10,故答案为：0.1 , 10；(2)①.一加~ 3.16 ••• J1000 =31.6,②Q J3.24=1.8, . . a=32400,故答案为：31.6, 32400；(4) •••痈2.289,b=0.012,故答案为：0.012.19.2a—1的平方根是±3, 3a+ b- 1的平方根是±4求a+ 2b的平方根.【答案】3【详解】22a 1 3 9解：2a—1的平万根是±3, 3a+ b—1的平万根是±4 --- 23a b 1 4 16a 5 ____ __________解得：J a 2b 75 2 2 3即a +2b的平方根为：3.b 2 120.x-2和y - 2互为相反数,求x+y的平方根.【答案】±2【详解】解：x — 2和y ― 2互为相反数,,x— 2+y—2 = 0,• -x+y=4, 4的平方根是±2故x+y的平方根是±2.21.计算:(1) | 2| ( 3)2(2) 2x 1 2 25【答案】(1) 9； (2) x 3或x 2【详解】(1)| 2| ( 3)2# 2 9 2 9 ;2(2) 2x 1 25, 2x 1 5, 2x 1 5或2x 1 5,x 3或x 2.22.阅读以下解答过程,在横线上填入恰当内容.(x 1)2 42(x 1)2 4 (1)x 1 2 (2)x 3 (3)上述过程中有没有错误？假设有,错在步骤 (填序号)原因是________________________________________请写出正确的解答过程.【答案】(2),正数的平方根有两个,它们互为相反数,解答过程见解析【详解】•••一个正数有两个平方根,它们互为相反数,・♦・上述解答过程有错误,步骤(2)出现了错误；故答案为：(2),正数的平方根有两个,它们互为相反数 ,正确的解答过程如下：(x 1)2 4,x 1 2 ,. .x=3 或x=-1.。

第一章 数与式第一讲 实数【基础知识回顾】 一、实数的分类： 1、按实数的定义分类： 实数 有限小数或无限循环数2、按实数的正负分类：实数【名师提醒：1、正确理解实数的分类。

如：2π是 数，不是 数，722是 数，不是 数。

2、0既不是 数，也不是 数，但它是自然数】二、实数的基本概念和性质1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用有 、 、 等。

2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0的相反数是 ，a 、b 互为相反数⇔3、倒数：实数a 的倒数是 ， 没有倒数，a 、b 互为倒数⇔4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。

a =因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数，我们学过的非负数有三个： 、 、 。

【名师提醒：a+b 的相反数是 ，a-b 的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 】三、科学记数法、近似数和有效数字。

1、科学记数法：把一个较大或较小的数写成 的形式叫做科学记数法。

其中a 的取值范围是 。

2、近似数和有效数字：一般的，将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数，这时，从 数字起到近似数的最后一位止，中间所有的数字都叫这个数的有效数字。

【名师提醒：1、科学记数法不仅可以表示较大的数，也可以表示较小的数，其中a 的取值⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 正无理数 无理数 负分数 零 正整数 整数 有理数 无限不循环小数 ⎧⎨⎩⎧⎨⎩正数正无理数零 负有理数负数 （a ＞0） （a ＜0） 0 （a=0）范围一样，n 的取值不同，当表示较大数时，n 的值是原整数数位减一，表示较小的数时，n 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数数位上的零）。

第一章 实数集与函数（10学时）§１．实数教学目的：使学生把握实数的大体性质．教学重点：（１）明白得并熟练运用实数的有序性、浓密性和封锁性；（２）牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质和几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具） 教学难点：实数集的概念及其应用．学时安排: 2学时教学方式：教学．（部份内容自学）教学程序：引言上节课中，咱们与大伙儿一起探讨了《分析》这门旅程的研究对象、要紧内容等话题．从本节课开始，咱们就大体依照教材顺序给大伙儿介绍这门课程的要紧内容．第一，从大伙儿都较为熟悉的实数和函数开始．[问题] 什么缘故从“实数”开始．答：《数学分析》研究的大体对象是函数，但那个地址的“函数”是概念在“实数集”上的（《复变函数》研究的是概念在复数集上的函数）．为此，咱们要先了解一下实数的有关性质．一 实数及其性质 １、实数(,q p q p ⎧⎧≠⎪⎨⎨⎩⎪⎩正分数,有理数为整数且q 0)或有限小数和无限小数.负分数,无理数:用无限不循环小数表示. {}|R x x =--为实数全体实数的集合．[问题] 有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，咱们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无穷小数”．为此作如下规定： ,n a 其,,n n a ≠19999n a -；关于正整数0,x a =1).9999；关于负有限小数（包括负整，那么先将y -表示为无穷小数，此刻所得的小数之前加负号．０＝0.0000例：2.001 2.0009999→3 2.99992.001 2.0099993 2.9999→-→--→-利用上述规定，任何实数都可用一个确信的无穷小数来表示．但新的问题又显现了：在此规定下，如何比较实数的大小？２．两实数大小的比较1） 概念１ 给定两个非负实数01n x a a a =，01n y b b b =. 其中00,a b 为非负整数，,k k a b (1,2,)k =为整数，09,09k k a b ≤≤≤≤．假设有,1,2,k k a b k ==，那么称x 与y 相等，记为x y =；假设00a b >或存在非负整数l ，使得,1,2,,k k a b k l ==，而11l l a b ++>，那么称x 大于y 或y 小于x ，别离记为x y >或y x <．关于负实数x 、y ，假设按上述规定别离有x y -=-或x y ->-，那么别离称为x y =与x y <（或y x >）．规定：任何非负实数大于任何负实数．2） 实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．概念２（不足近似与多余近似）：01n x a a a =为非负实数，称有理数01n x a a a =为实数x 的n 位不足近似；110n n n x x =+称为实数x 的n 位多余近似；关于实数01nx a a a =-，其n 位不足近似01110n n n x a a a =--；n 位多余近似01n n x a a a =-. 注：实数x 的不足近似n x 当n 增大时不减，即有012;x x x x ≤≤≤≤ 多余近似n x 当n 增大时不增，即有01x x x x ≥≥≥≥．命题：记01n x a a a =，01n y b b b =为两个实数，那么x y >的等价条件是：存在非负整数n ，使n n x y >（其中n x 为x 的n 位不足近似，n y 为y 的n 位多余近似）．命题应用————例１例１．设,x y 为实数，x y <，证明存在有理数r ，知足x r y <<．证．由x y <，知：存在非负整数n ，使得n n x y <．令()12n n r x y =+，那么r 为有理数，且 n n x x r y y ≤<<≤．即x r y <<．３．实数经常使用性质（详见附录Ⅱ．Ｐ２８９－３０２）．● 封锁性（实数集Ｒ对,,,+-⨯÷）四那么运算是封锁的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为０）仍是实数．● 有序性：任意两个实数,a b 必知足以下关系之一：,,a b a b a b <>=．● 传递性；,a b b c a c <>⇒>．● 阿基米德性：,,0a b R b a n N ∀∈>>⇒∃∈使得na b >．● 浓密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．● 实数集Ｒ与数轴上的点有着一一对应关系．例２．设,a b R ∀∈，证明：假设对任何正数ε，有a b ε<+，那么a b ≤．（提示：反证法．利用“有序性”，取a b ε=-）二 、绝对值与不等式（分析论证的大体工具）．１．绝对值的概念实数a 的绝对值的概念为,0||0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩．２． 几何意义：从数轴看，数a 的绝对值||a 确实是点a 到原点的距离．熟悉到这一点超级有效，与此相应，||x a - 表示确实是数轴上点x 与a 之间的距离．３．性质．１）||||0;||00a a a a =-≥=⇔=（非负性）；２）||||a a a -≤≤；３）||a h h a h <⇔-<<，||.(0)a h h a h h ≤⇔-≤≤>；４）对任何,a b R ∈有||||||||||a b a b a b -≤±≤+（三角不等式）；５）||||||ab a b =⋅；６）||||a a b b =（0b ≠）． ［练习］Ｐ４． ５［课堂小结］：实数：⎧⎨⎩一 实数及其性质二 绝对值与不等式.§２数集和确界原理教学目的：使学生把握确界原理，成立起实数确界的清楚概念。

第1课时 实数的有关概念【知识梳理】1. 实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限 环循小数)都是有理数. 有理数和无理数统称为实数.2. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．实数和数轴上的点一一对应.3. 绝对值：在数轴上表示数a 的点到原点的距离叫数a 的绝对值，记作∣a ∣，正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.4. 相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数．a 的相反数是-a ，0的相反数是0.5. 有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字. 6. 科学记数法：把一个数写成a×10n 的形式(其中1≤a<10,n 是整数),这种记数法叫做科学记数法. 如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10－5. 7. 大小比较：正数大于0，负数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.8. 数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂. 9. 平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根）．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．10. 开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方．11. 算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a,即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0．12. 立方根：一般地，如果一个数x 的立方等于a,即x 3=a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根（也叫做三次方根）,正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0的立方根是0． 13. 开立方：求一个数a 的立方根的运算叫做开立方．【思想方法】数形结合，分类讨论【例题精讲】 例1.下列运算正确的是（ ）A ．33--=B ．3)31(1-=-C 3=±D 3=-例 ）A ． B C ． D 例3.2的平方根是（ ）A ．4BC ．D ．例4.《广东省2009年重点建设项目计划（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总投资726亿元，用科学记数法表示正确的是（ ）A ．107.2610⨯ 元 B ．972.610⨯ 元 C ．110.72610⨯ 元 D ．117.2610⨯元 例5.实数a b ，在数轴上对应点的位置如图所示，则必有（ ）1 0 b 例5图A ．0a b +>B ．0a b -<C ．0ab >D ．0ab< 例6.（改编题）有一个运算程序，可以使：a ⊕b = n (n 为常数)时，得（a +1）⊕b = n +2， a ⊕（b +1）= n -3 现在已知1⊕1 = 4，那么2009⊕2009 = ． 【当堂检测】1.计算312⎛⎫- ⎪⎝⎭的结果是（ ）A ．16B ．16-C ．18D ．18- 2.2-的倒数是（ ） A ．12-B ．12C ．2D ．2-3.下列各式中，正确的是（ ）A ．3152<<B ．4153<<C ．5154<<D ．161514<< 4.已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|1|a -的结果为（ ） A ．1 B ．1-C ．12a -D ．21a -5.2-的相反数是（ ） A ．2B ．2-C ．12D ．12-6.-5的相反数是____,-12的绝对值是=_____.7.写出一个有理数和一个无理数，使它们都是小于－1的数 .8.如果2()13⨯-=，则―‖内应填的实数是（ ）A ．32B ．23C ．23-D ．32-【课后作业】 一、选择题1.计算(－2)2－(－2) 3的结果是( ) A. －4 B. 2 C. 4 D. 122.下列计算错误的是（ ）A ．－（－2）=2 B= C ．2+32x =52x D ．235()a a =3.2008年5月27日，北京奥运会火炬接力传递活动在古城南京境内举行，火炬传递路线全程约12900m ，将12900用科学记数法表示应为（ ）A ．0.129×105B ．41.2910⨯ C ．312.910⨯ D ．212910⨯ 4.下列各式正确的是（ ）第4题图A ．33--=B ．326-=-C ．(3)3--=D ．0(π2)0-= 5.若23(2)0m n -++=，则2m n +的值为（ ） A ．4-B ．1-C ．0D ．46.计算2(3)-的结果是（ ）A ．6-B ．6C ．9-D ．9 7.方程063=+x 的解的相反数是（ ）A ．2B ．－2C ．3D ．－3 8.下列实数中,无理数是（ ）B.2π C.13D.129.估计68的立方根的大小在( )A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间10.用激光测距仪测量两座山峰之间的距离，从一座山峰发出的激光经过5410-⨯秒到达另一座山峰，已知光速为8310⨯米／秒，则两座山峰之间的距离用科学记数法．．．．．．表示为（ ） A ．31.210⨯米B ．31210⨯米C ．41.210⨯米D ．51.210⨯米11.纳米是非常小的长度单位，已知1纳米=10-6毫米，某种病毒的直径为100纳米，如将这种病毒排成1毫米长，则病毒的个数是( )A.102个 B 104个 C 106个 D 108个12.巳知某种型号的纸100张厚度约为lcm ，那么这种型号的纸13亿张厚度约为( ) A ．1.3×107km B ．1.3×103km C ．1.3×102km D ．1.3×10km 二、填空题： 13.若n m ,互为相反数，=-+555n m ．14.唐家山堰塞湖是―5．12汶川地震‖形成的最大最险的堰塞湖，垮塌山体约达2037万立方米，把2037万立方米这个数用科学记数法表示为 立方米． 15.如果2180a -=，那么a 的算术平方根是 ．16.若商品的价格上涨5%，记为＋5%，则价格下跌3%，记作 . 17.如果□+2=0，那么―□‖内应填的实数是______________. 18.―五一‖期间，某服装商店举行促销活动，全部商品八折销售.小华购买一件标价为280元的运动服，打折后他比按标价购买节省 元.19. 某校认真落实苏州市教育局出台的―三项规定‖，校园生活丰富多彩．星期二下午4 点至5点，初二年级240名同学分别参加了美术、音乐和体育活动，其中参加体育活动人数是参加美术活动人数的3倍，参加音乐活动人数是参加美术活动人数的2倍，那么参加美术活动的同学有_________名.20.改革开放以来，我国教育事业快速发展，去年普通高校招生人数达540万人，用科学记数法表示540万人为 人．21.一组有规律排列的式子：―ab 2，25a b ,―38a b ,411a b …，（ab≠0），其中第7个式子是 , 第n 个式子是 ．（n 为正整数）22.6月1日起，某超市开始有偿提供可重复使用的三种环保购物袋，每只售价分别为1元、2元和3元，这三种环保购物袋每只最多分别能装大米3公斤、5公斤和8公斤．6月7日，小星和爸爸在该超市选购了3只环保购物袋用来装刚买的20公斤散装大米，他们选购的3只 环保购物袋至少．．应付给超市元．23.将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对 （n ，m ）表示第n 排，从左到右 第m 个数，如（4，2）表示实数9， 则表示实数17的有序实数对是 . 24.如图所示， ①中多边形（边数为12）是由 正三角形―扩展‖而来的， ②中多边形是由正方形―扩展‖ 而来的， ，依此类推，则由正n 边形―扩展‖而来的多边形的边数为 ． 25.探索规律：根据下图中箭头指向的规律，从2004到2005再到2006，箭头的方向是（ ）第2课时 实数的运算【知识梳理】1．有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数．2．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．3．有理数乘法法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘； 任何数与0相乘，积仍为0．4．有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何非0的数都得0；除以一个数等于乘以这个数的倒数． 5．有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减； 如果有括号，先算括号里面的． 6．有理数的运算律：加法交换律：a+b=b+a(a b 、为任意有理数) 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(a, b,c 为任意有理数)【思想方法】数形结合，分类讨论【例题精讲】第25题图① ② ③ ④ 第24题图例1.某校认真落实苏州市教育局出台的―三项规定‖，校园生活丰富多彩．星期二下午4 点至5点，初二年级240名同学分别参加了美术、音乐和体育活动，其中参加体育活动人数是参加美术活动人数的3倍，参加音乐活动人数是参加美术活动人数的2倍，那么参加美术活动的同学其有____________名.例2.下表是5个城市的国际标准时间（单位：时）那么北京时间2006年6月17日上午9时应是( )A ．伦敦时间2006年6月17日凌晨1时.B ．纽约时间2006年6月17日晚上22时.C ．多伦多时间2006年6月16日晚上20时 .D ．汉城时间2006年6月17日上午8时.例3.如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，……，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由__________个圆组成.例4.下列运算正确的是（ ） A ．523=+ B ．623=⨯C ．13)13(2-=-D ．353522-=- 例5.计算： (1) 911)1(8302+-+--+-π(2)0(tan 45π--+º(3)102)21()13(2-+--；(4)2008011(1)()3π--+-+【当堂检测】1.下列运算正确的是（ ）A ．a 4×a 2=a 6B ．22532a b a b -=C ．325()a a -=D ．2336(3)9ab a b =2.某市2008年第一季度财政收入为76.41亿元，用科学记数法（结果保留两个有效数字）表示为( )A ．81041⨯元 B ．9101.4⨯元 C ．9102.4⨯元 D ．8107.41⨯元北京 汉城伦敦多伦多纽约-5 例2图……例3图3.估计68的立方根的大小在( )A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间 4.如图，数轴上点P 表示的数可能是（ ） AB．C ． 3.2- D．5.计算： (1)02200960cos 16)21()1(-+--- （2）)1112-⎛⎫- ⎪⎝⎭【课后作业】一、选择题1.某市今年1月份某一天的最高气温是3℃，最低气温是﹣4℃，那么这一天的最高气温比最低气温高（ ）A ．﹣7℃B ．7℃C ．﹣1℃D ．1℃ 2.在2008年德国世界杯足球赛中，32支足球队将分为8个小组进行单循环比赛，小组比赛规则如下：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若小组赛中某队的积分为5分，则该队必是 （ ）A ．两胜一负B ．一胜两平C ．一胜一平一负D ．一胜两负3.扬州市旅游经济发展迅速，据扬州市统计局统计，2008年全年接待境内外游客约11370000人次，11370000用科学记数法表示为（ ） A ．1.137×107 B ．1.137×108 C ．0.1137×108 D ．1137×1044.在下列实数中，无理数是（ ） A ．13B ．CD ．2275.小明和小莉出生于1998年12月份，他们的出生日不是同一天，但都是星期五，且小明比小莉出生早，两人出生日期之和是22，那么小莉的出生日期是（ ） A ．15号 B ．16号 C ．17号 D ．18号6.()23-运算的结果是( )A ．－6B ．6C ．－9D ．97.(2009年武汉)） A ．3-B ．3或3-C ．9D ．38.估计30的值 （ ） A ．在3到4之间 B ．在4到5之间 C ．在5到6之间D ．在6到7之间9.若―！‖是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2， 3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1，…，则100!98!的值为（ ）-第4题图A.5049B. 99!C. 9900D. 2！二、填空题：10.改革开放以来，我国教育事业快速发展，去年普通高校招生人数达540万人，用科学记数法表示540万人为 人．11.已知点()P x y ，位于第二象限，并且4y x +≤，x y ，为整数，写出一个．．符合上述条件的点P 的坐标：12.如图，在数轴上表示到原点的距离为3个单位的点有13. 2008(1)-+_______420=-．14.2008年5月26日下午，奥运圣火扬州站的传递在一路―中国加油‖声中胜利结束，全程11.8千米，11.8千米用科学记数法表示是________米.15.计算：23-+= ；(2)(3)-⨯-= ． 16.若()2240a c -+-=，则=+-c b a ． 17.在函数y =x 的取值范围是____________．三、计算：(1)0(1)π-⋅sin 60°+321(2)()4-⋅(2)0113(()3---(3)9212)1(103+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--(4)1301()(2)39-+-+--第3课时 整式与分解因式【知识梳理】1.幂的运算性质：①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即n m n m a a a +=⋅（m 、n 为正整数）；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即nm n m a a a -=÷（a≠0，m 、n 为正整数，m>n ）；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即nn n b a ab =)(（n 为正整数）；④零指数：10=a （a≠0）；⑤负整数指数：nna a 1=-（a≠0，n 为正整数）； 2.整式的乘除法:(1)几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除. (2)单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.(3)多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项.第12题图(4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式.(5)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方， 即22))((b a b a b a -=-+；(6)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍，即2222)(b ab a b a +±=±3.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式．4.分解因式的方法：⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． ⑵运用公式法：公式22()()a b a b a b -=+- ； 2222()a ab b a b ±+=±5．分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解． 6．分解因式时常见的思维误区：⑴ 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准． ⑵ 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项― 1‖易漏掉． (3) 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等【例题精讲】 【例1】下列计算正确的是（ ）A. a ＋2a=3a 2B. 3a －2a=aC. a 2∙a 3=a 6 D.6a 2÷2a 2=3a 2【例2】（2008年茂名）任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（ ）A ．mB ．mC ．m +1D ．m -1【例3】若2320a a --=，则2526a a +-= ． 【例4】下列因式分解错误的是( )A ．22()()x y x y x y -=+- B ．2269(3)x x x ++=+ C ．2()x xy x x y +=+D ．222()x y x y +=+【例5】如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行―广‖字，按照这种规律，第5个―广‖字中的棋子个数是________，第n 个―广‖字中的棋子个数是________【例6】给出三个多项式：21212x x +-，21412x x ++，2122x x -．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．【当堂检测】1.分解因式：39a a -= ， _____________223=---x x x2.对于任意两个实数对（a ，b ）和（c ，d ），规定：当且仅当a ＝c 且b ＝d 时，（a ，b ）=（c ，d ）．定义运算―⊗‖：（a ，b ）⊗（c ，d ）=（ac －bd ，ad ＋bc ）．若（1，2）⊗（p ，q ）=（5，0），则p ＝ ，q ＝ ． 3. 已知a=1.6⨯109，b=4⨯103，则a 2÷2b=( )A. 2⨯107B. 4⨯1014C.3.2⨯105D. 3.2⨯1014 ．4.先化简，再求值：22()()(2)3a b a b a b a ++-+-，其中22a b =-=．5．先化简，再求值：22()()()2a b a b a b a +-++-，其中133a b ==-，．【课后作业】一、选择题1．下列运算正确的是（ ）A.a 2·a=3aB.a 6÷a 2=a 4C.a+a=a 2D.(a 2)3=a 5 2．计算：()23ab=（ ）A ．22a b B ．23a b C ．26a b D ．6ab 3．下列计算正确的是（ ）A ．623a a a ÷= B ．()122--=C ．()236326x x x -=-· D ．()0π31-=4．下列因式分解错误的是( )A ．22()()x y x y x y -=+-B ．2269(3)x x x ++=+C ．2()x xy x x y +=+D ．222()x y x y +=+5.若的值为则2y -x 2,54,32==y x （ ）A.53 B. -2 C. 553 D. 56 6.下列命题是假．命题的是（ ） A. 若x y <，则x +2008<y +2008 B. 单项式2347x y -的系数是-4C. 若21(3)0,x y -+-=则1,3x y ==D. 平移不改变图形的形状和大小 7.一个正方体的表面展开图如图所示，每一个面上都写有一个整数，并且相对两个面上所写的两个整数之和都相等，那么（ ）A ．a=1，b=5B ．a=5，b=1C ．a=11，b=5D ．a=5，b=118. 在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ） A ．2222)(b ab a b a ++=+B ．2222)(b ab ab a +-=-C ．))((22b a b a b a -+=-D ．222))(2(b ab a b a b a -+=-+二.填空题.9．分解因式：328m m -= ．33416m n mn -＝3214x x x +-= ____．33222ax y axy ax y +-= _______． =++22363b ab a ． 2232ab a b a -+= ___．10.计算：31(2)(1)4a a -⋅- = ．11.计算： ⎪⎭⎫⎝⎛-⋅23913x x =________；()=÷523y y ________． 12．用正三角形和正六边形按如图所示的规律 拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比 上一个图案多一个正六边形和两个正三角形， 则第n 个图案中正三角形的个数为 （用含n 的代数式表示）．三.解答题：13.先化简，再求值：(2)(2)(2)a a a a -+--，其中1a =-．14.已知2514x x -=，求()()()212111x x x ---++的值第一个图案第二个图案第三个图案…第12题图 ab图甲第8题第4课时 分式与分式方程【知识梳理】1. 分式概念：若A 、B 表示两个整式，且B 中含有字母，则代数式BA叫做分式． 2.分式的基本性质：（1）基本性质：（2）约分：（3）通分： 3．分式运算4.分式方程的意义，会把分式方程转化为一元一次方程．5.了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是否是分式方程的增根． 【思想方法】1.类比（分式类比分数）、转化（分式化为整式）2.检验【例题精讲】1．化简：2222111x x x x x x-+-÷-+2．先化简，再求值： 22224242x x x x x x --⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭，其中2x =+3．先化简11112-÷-+x x x ）（，然后请你给x 选取一个合适值,再求此时原式的值．4．解下列方程（1）013522=--+xx x x （2）41622222-=-+-+-x x x x x5．一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x 千米，则根据题意所列方程正确的是( )A. B.C. D.【当堂检测】1．当99a =时，分式211a a --的值是．2．当x 时，分式112--x x 有意义；当x 时，该式的值为0．3．计算22()ab ab 的结果为．4. ．若分式方程xx k x --=+-2321有增根，则k 为（ ） A. 2 B.1 C. 3 D.-25．若分式32-x 有意义，则x 满足的条件是：（ ） A ．0≠x B ．3≥x C ．3≠x D ．3≤x6．已知x ＝2008，y ＝2009，求x yx 4y 5x y x 4xy5x y 2xy x 2222-+-+÷-++的值7．先化简，再求值：4xx 16x )44x x 1x 2x x 2x (2222+-÷+----+，其中22+=x8.解分式方程． (1)22011xx x -=+- (2) x 2)3(x 22x x -=--；(3)11322xx x -=--- (4)11-x 1x 1x 22=+--【课后作业】 一、选择题 1．化简分式2bab b +的结果为（ ） A ．1a b+ B ．11a b + C ．21a b +D ．1ab b+ 2．要使22969m m m --+的值为0，则m 的值为（ ）A ．m=3B ．m=-3C ．m=±3D ．不存在 3．若解方程333-=-x mx x 出现增根，则m 的值为（ ） A ． 0 B ．-1 C ．3 D ．14．如果04422=+-y xy x ，那么yx y x +-的值等于（ ）A ．31- B ． y31- C ． 31 D ．y31二、填空题.5．当x = 时，分式6422---x x x 的值为0．6．若一个分式含有字母m ，且当5m =时，它的值为12，则这个分式可以是 ．（写出一个．．即可） 7．已知432z y x ==，求分式yx zy x 32534++-= 8．若分式方程12552=-+-x ax x 的解为x =0，则a 的值为 ． 9．已知分式方程k x k=++131无解，则k 的值是 ． 三、解答题 10．化简： （1）211()(1)11x x x ---+ （2）24142x x +-+11．先化简，再求值：224242x x x +---，其中2x =．12．当a=2时，求1121422-÷+--a a a a 的值．13．先化简，再求值：2224124422a a a a a a⎛⎫--÷ ⎪-+--⎝⎭，其中a 是方程2310x x ++=的根．三、解分式方程.（1）01221=---x x （2） 123514-+=--+x x x x （3）163104245--+=--x x x x （4）4)25.01(11=++x x （5）52742316--=+-x x x x （6） 141112-=--+-x x x x x四、当m 为何值时，分式方程xxx m --=+-2142无解？第5课时 二次根式【知识梳理】1.二次根式：(1)定义:____________________________________叫做二次根式. 2．二次根式的化简：3．最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式． （2）根号内不含分母 （3）分母上没有根号4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 5．二次根式的乘法、除法公式：（1a 0b 0≥≥，）（2a 0b 0≥ ，）6．.二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错．（2）二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式． 【思想方法】 非负性的应用【例题精讲】 【例1x 的取值范围是（ ） A ．1x ≠B ．0x ≠C ．10x x >-≠且D ．10x x ≠≥-且【例2）． A ．6到7之间 B ．7到8之间 C ．8到9之间D ．9到10之间【例3】 若实数x y ，2(0y =，则xy 的值是 ．【例4】如图，A ，B ，C ，D 四张卡片上分别写有52π7-，，四个实数，从中任取两张卡片．A B C D（1）请列举出所有可能的结果（用字母A ，B ，C ，D 表示）； （2）求取到的两个数都是无理数的概率．【例5】计算：（1）103130tan 3)14.3(27-+︒---）（π（2）11(1)52-⎛⎫π-+-+- ⎪⎝⎭【例6】先化简，再求值：)1()1112(2-⨯+--a a a ，其中33-=a ．【当堂检测】1.计算：（1032tan 60(1--+- ． （2）cos45°·(－21)－2 －(22－3)0＋｜－32｜＋121- （3）023cos 304sin 60++-．2.如图，实数a 、b在数轴上的位置，化简【课后作业】 一、选择题： 1. 2的值()A ．在1到2之间B ．在2到3之间C ．在3到4之间 D．在4到5之间2.的倒数是（）A ．BC ．2-D ．23. 下列运算正确的是（）A 3=B ．0(π 3.14)1-=C ．1122-⎛⎫=- ⎪⎝⎭D 3=±4. 若b a y b a x +=-=,，则xy 的值为 ( )A ．a 2B ．b 2C ．b a +D ．b a - 5．下列计算正确的是（ ）A ． 22-=-= C. 325a a a ⋅= D.22x x x-=6. ）A ．点PB ．点QC ．点MD ．点N7．下列根式中属最简二次根式的是（ ）8. ＋y)2，则x －y 的值为( )A.－1B.1C.2D.39. 一个正方体的水晶砖，体积为100cm 3，它的棱长大约在( )A. 4cm~5cm 之间B. 5cm~6cm 之间C. 6cm~7cm 之间D. 7cm~8cm 之间二、填空题：1.=_________．2.的结果是．3. 若|1|0a +=，则a b -=．4= ．5.函数y =x 的取值范围是________．6. 对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算※如下：a ※b =ba ba -+， 如3※2=52323=-+．那么12※4= ． 7．已知等边三角形ABC 的边长为33+，则ΔABC 的周长是________8．计算：tan60°－2－2 + 20080_________ 三、解答题 ： 1.计算：(1) 103130tan 3)14.3(27-+︒---）（π (2）101(1)52-⎛⎫π-+-+- ⎪⎝⎭（3）0112sin 602-⎛⎫+- ⎪⎝⎭（4）01)41.12(45tan 32)31(-++---2.先化简，再求值：33)225(423-=---÷--a a a a a ，其中第6课时 一元一次方程及二元一次方程（组）【知识梳理】1．方程、一元一次方程、二元一次方程（组）和方程（组）的解、解方程（组）的概念及解法，利用方程解决生活中的实际问题． 2．等式的基本性质及用等式的性质解方程：等式的基本性质是解方程的依据，在使用时要注意使性质成立的条件 ． 3．灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组．4．用方程解决实际问题：关键是找到―等量关系‖，在寻找等量关系时有时可以借助图表等，在得到方程的解后，要检验它是否符合实际意义． 【思想方法】方程思想和转化思想【例题精讲】例1． （1）解方程.x x+--=21152156（2）解二元一次方程组 ⎩⎨⎧=+=+27271523y x y x 解：例2．已知x =-2是关于x 的方程()x m x m -=-284的解，求m 的值． 方法1 方法2例3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A. B. C. D. 例4．在 中，用x 的代数式表示y ，则y=______________．例5．已知a 、b 、c 满足⎩⎨⎧=+-=-+02052c b a c b a ，则a ：b ：c= ．例6 ．某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过 A 度，那么这个月这户只需交 10 元用电费，如果超过 A 度，则这个月除了仍要交 10 元用电费外，超过部分还要按每度 0.5 元交费． ①该厂某户居民 2 月份用电 90 度，超过了规定的 A 度，则超过部分应该交电费多少元（用A 表示）？ ．②右表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况：根据右表数据，求电厂规定A 度为 ．【当堂检测】1．方程x -=52的解是___ ___．2．一种书包经两次降价10%，现在售价a 元，则原售价为_______元． 3.若关于x 的方程x k =-153的解是x =-3，则k =_________． 4．若⎩⎨⎧-==11y x ，⎩⎨⎧==22y x ，⎩⎨⎧==c y x 3都是方程ax+by+2＝0的解，则c=____． 5．解下列方程（组）：（1）()x x -=--3252； （2）....x x +=-0713715023； （3）⎩⎨⎧=+=+832152y x y x ； （4）x x -+=-2114135；⎪⎩⎪⎨⎧=+=+65115y x y x ⎩⎨⎧-=+=+2102y x y x ⎩⎨⎧==+158xy y x ⎩⎨⎧=+=31y x x 032=-+y x6．当x =-2时，代数式x bx +-22的值是12，求当x =2时，这个代数式的值．7．应用方程解下列问题：初一（4）班课外乒乓球组买了两副乒乓球板，若每人付9元，则多了5元，后来组长收了每人8元，自己多付了2元，问两副乒乓球板价值多少？【课后作业】一、选择题1．在解方程()()032312=---x x 中，去括号正确的是 （ ） A ．09612=+--x x B.03622=---x xC.09622=---x x .D.09622=+--x x2．几个同学在日历竖列上圈出了三个数，算出它们的和，其中错误的一个是（ ）A. 28B. 33C. 45D. 573．甲、乙两个工程队共有100人，且甲队的人数比乙队的人数的4倍少10人，如果设乙队的人数为x 人，则所列的方程为（ ）A. 1004=+x xB. 100104=-+x xC.()100104=-+x xD. 1001041=+-x x4．若2(341)3250x y y x +-+--=则x =（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．-25．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+k y x ,k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解，则k的值为（ ）A.43-B.43C.34D.34-6．已知 与 是同类项，则 与 的值分别是 ( ) A.4、1 B.1、4 C.0、8 D.8、0 二、填空题7．在349x y +=中，如果26y =，那么x = ．8．在方程组 中，m 与n 互为相反数，则 9．娃哈哈矿泉水有大箱和小箱两种包装，3大箱、2小箱共92瓶；5大箱、3小箱共150瓶，那么一大箱有___________瓶，一小箱有__________瓶．10．当m=______，n=______时， 是二元一次方程． 11．如果 那么 12．写出一个二元一次方程组，使这个方程组的解为x 2y 2=⎧⎨=-⎩，你所写的方程组是 ．⎩⎨⎧=+=+032ny x my x .__________=x 821=+-n m y x ,53=-y x .________38=+-y x mn my x 344-yx n5m n13．一个三位数的数字和为11，十位数字是x ，个位数字是十位数字的3倍，百位数字比十位数字的2倍少1，则这个三位数是______________ ． 三、解方程（组）14．35122--=+x x 15． 16． 17．四．解答题 18．已知方程 的两个解为 和 ，求 的值．第7课时 一元二次方程【知识梳理】1. 一元二次方程的概念及一般形式：ax 2+bx +c =0 (a ≠0)2. 一元二次方程的解法：①直接开平方法②配方法③公式法④因式分解法 3．求根公式：当b 2-4ac≥0时，一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)的两根为 4．根的判别式： 当b 2-4ac ＞0时，方程有 实数根．当b 2-4ac=0时， 方程有 实数根． 当b 2-4ac ＜0时，方程 实数根．【思想方法】1. 常用解题方法——换元法2. 常用思想方法——转化思想，从特殊到一般的思想，分类讨论的思想 【例题精讲】 例1．选用合适的方法解下列方程：(1) (x-15)2-225=0； (2) 3x 2－4x －1＝0（用公式法）；(3) 4x 2－8x ＋1＝0（用配方法）； （4）x 2+22x=0()()x x x x --=--320379⎩⎨⎧=+-=8372y x x y ⎩⎨⎧=-=-74143y x y x ⎩⎨⎧==333y x b kx y +=⎩⎨⎧-==271y x b k ,aacb b x 242-±-=例2 ．已知一元二次方程0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零，求m 的值．例3．用22cm 长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是32㎝2的矩形呢？为什么？例4．已知关于x 的方程x 2―(2k+1)x+4(k -0.5)=0(1) 求证：不论k 取什么实数值，这个方程总有实数根； (2) 若等腰三角形ABC 的一边长为a=4，另两边的长b ．c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长．【当堂检测】 一、填空1．下列是关于x 的一元二次方程的有_______ ①02x 3x12=-+ ②01x 2=+③)3x 4)(1x ()1x 2(2--=- ④06x 5x k 22=++ ⑤021x x 2432=--⑥0x 22x 32=-+2．一元二次方程3x 2=2x 的解是 ．3．一元二次方程(m-2)x 2+3x+m 2-4=0有一解为0，则m 的值是 ． 4．已知m 是方程x 2-x-2=0的一个根，那么代数式m 2-m = ． 5．一元二次方程ax 2+bx+c=0有一根-2,则bc a 4+的值为 ．6．关于x 的一元二次方程kx 2+2x －1=0有两个不相等的实数根, 则k 的取值范围是__________．7．如果关于的一元二次方程的两根分别为3和4，那么这个一元二次方程可以是 ． 二、选择题：8．对于任意的实数x,代数式x 2－5x ＋10的值是一个( ) A.非负数 B.正数 C.整数 D.不能确定的数 9．已知(1-m 2-n 2)(m 2+n 2)=-6,则m 2+n 2的值是（ ） A.3 B.3或-2 C.2或-3 D. 210．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） （A ）x 2＋4＝0 （B ）4x 2－4x ＋1＝0（C ）x 2＋x ＋3＝0（D ）x 2＋2x －1＝0 三、解下方程：(1)(x+5)(x-5)=7 (2)x(x-1)=3-3x (3)x 2-4x-4=0(4)x 2+x-1=0 (6)（2y-1）2 -2（2y-1）-3=0【课后作业】 一、选择题1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）A ．2x ＋1＝0B ．y 2＋x ＝1C ．x 2＋1＝0D ． 2．用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ） A ．()216x += B ．()216x -= C ．()229x +=D ．()229x -=3．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程212350x x -+=的根，则该三角形的周长为（ ） A ．14B ．12C ．12或14D ．以上都不对4．方程2x =x 的解是 （ ）A ．x =1B ．x =0C ． x 1=1 x 2=0D ． x 1=﹣1 x 2=0 5．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．1k >-B ． 1k >-且0k ≠C ．1k <D ．1k <且0k ≠6．在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（ ） A ．213014000x x +-= B ．2653500x x +-= C ．213014000x x --=D ．2653500x x --=二、填空题7．若关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______． 8．某种品牌的手机经过四．五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x ，根据题意列出的方程是 ．9．两圆的圆心距为3，两圆的半径分别是方程0342=+-x x 的两个根，则两圆的位置关系是 ．10．若方程022=+-cx x 有两个相等的实数根，则c = ．11．已知：m 是方程0322=--x x 的一个根，则代数式=-22m m ． 三、解方程：12．（1）（2） （3）11=+x x 2410x x +-=0132=--x x )1(332+=+x x 第6题图13．如图，利用一面墙（墙长度不超过45m ），用80m 长的篱笆围一个矩形场地．⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m 2?⑵能否使所围矩形场地的面积为810m 2，为什么?14．试说明：不论m 为何值，关于x 的方程2)2)(3(m x x =--总有两个不相等的实数根．第8课时 方程的应用（一）【知识梳理】1. 方程（组）的应用；2. 列方程（组）解应用题的一般步骤；3. 实际问题中对根的检验非常重要． 【注意点】分式方程的检验，实际意义的检验．【例题精讲】例1. 足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队打了14场，负5场，共得19分，那么这个队胜了（ ）A ．4场B ．5场C ．6场D ．13场 例2. 某班共有学生49人.一天，该班某男生因事请假，当天的男生人数恰为女生人数的一半.若设该班男生人数为x ，女生人数为y ，则下列方程组中，能正确计算出x 、y 的是（ ）A ．⎩⎨⎧x –y= 49y=2(x+1) B ．⎩⎨⎧x+y= 49y=2(x+1) C ．⎩⎨⎧x –y= 49y=2(x –1) D ．⎩⎨⎧x+y= 49y=2(x –1)例3. 张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x 千米，依题意得到的方程是（ ）1515115151..12121515115151..1212A B x x x x C D x x x x -=-=++-=-=--例4.学校总务处和教务处各领了同样数量的信封和信笺，总务处每发一封信都只用一张信笺，教务处每发出一封信都用3张信笺，结果，总务处用掉了所有的信封，•但余下50张信笺，而教务处用掉所有的信笺但余下50个信封，则两处各领的信笺数为x 张，•信封个数分别为第21题图第13题图y 个，则可列方程组 ．今有甲、乙两个旅行团，已知甲团人数少于50人，乙团人数不超过100人．若分别购票，两团共计应付门票费1392元，若合在一起作为一个团体购票，总计应付门票费1080元． (1)请你判断乙团的人数是否也少于50人． (2)求甲、乙两旅行团各有多少人？【当堂检测】1. 某市处理污水，需要铺设一条长为1000m 的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时，每天比原计划多铺设10米，结果提前5天完成任务．设原计划每天铺设管道xm ，则可得方程 ．2. ―鸡兔同笼‖是我国民间流传的诗歌形式的数学题，•―鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露，看来脚有100只，几多鸡儿几多兔？‖解决此问题，设鸡为x 只，兔为y 只，所列方程组正确的是（ ） ⎩⎨⎧=+=+100236.y x y x A 3636..2410022100x y x y B C x y x y +=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩⎩⎨⎧=+=+1002436..y x y x D 3.为满足用水量不断增长的需求，某市最近新建甲、乙、•丙三个水厂，这三个水厂的日供水量共计11.8万m 3，•其中乙水厂的日供水量是甲水厂日供水量的3倍，丙水厂的日供水量比甲水厂日供水量的一半还多1万m 3．（1）求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米？（2）在修建甲水厂的输水管道的工程中要运走600t 土石，运输公司派出A 型，B •型两种载重汽车，A 型汽车6辆，B 型汽车4辆，分别运5次，可把土石运完；或者A 型汽车3辆，B 型汽车6辆，分别运5次，也可把土石运完，那么每辆A 型汽车，每辆B 型汽车每次运土石各多少吨？（每辆汽车运土石都以准载重量满载）4. 2009年初我国南方发生雪灾，某地电线被雪压断，供电局的维修队要到30km 远的郊区进行抢修．维修工骑摩托车先走，15min 后，抢修车装载所需材料出发，结果两车同时到达抢修点．已知抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍，求这两种车的速度．5. 某体育彩票经售商计划用45000•元从省体彩中心购进彩票20扎，每扎1000张，已知体。

第一单元数与式第1讲实数考纲要求命题趋势1．理解有理数、无理数和实数的概念，会用数轴上的点表示有理数．2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求一个数的相反数、倒数与绝对值．3．理解平方根、算术平方根、立方根的概念，会求一个数的算术平方根、平方根、立方根．4．理解科学记数法、近似数与有效数字的概念，能按要求用四舍五入法求一个数的近似值，能正确识别一个数的有效数字的个数，会用科学记数法表示一个数．5．熟练掌握实数的运算，会用各种方法比较两个实数的大小.实数是中学数学重要的基础知识，中考中多以选择题、填空题和简单的计算题的形式出现，主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想方法．另外，命题者也会利用分析归纳、总结规律等题型考查考生发现问题、解决问题的能力.知识梳理一、实数的分类实数⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫有理数⎩⎪⎨⎪⎧整数⎩⎪⎨⎪⎧零负整数分数⎩⎪⎨⎪⎧正分数负分数有限小数或无限循环小数无理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫负无理数无限不循环小数二、实数的有关概念及性质1．数轴(1)规定了______、________、____________的直线叫做数轴；(2)实数与数轴上的点是一一对应的．2．相反数(1)实数a的相反数是____，零的相反数是零；(2)a与b互为相反数⇔a＋b＝____.3．倒数(1)实数a(a≠0)的倒数是____；(2)a与b互为倒数⇔______.4．绝对值(1)数轴上表示数a的点与原点的______，叫做数a的绝对值，记作|a|.(2)|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧(a >0)， (a ＝0)， (a <0).5．平方根、算术平方根、立方根(1)平方根①定义：如果一个数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个数x 叫做a 的平方根(也叫二次方根)，数a 的平方根记作______．②一个正数有两个平方根，它们互为________；0的平方根是0；负数没有平方根． (2)算术平方根①如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根，a 的算术平方根记作____．零的算术平方根是零，即0＝0.②算术平方根都是非负数，即a ≥0(a ≥0)．③(a )2＝a (a ≥0)，a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0).(3)立方根①定义：如果一个数x 的立方等于a ，即x 3＝a ，那么这个数x 叫做a 的立方根(也叫三次方根)，数a 的立方根记作______．②任何数都有唯一一个立方根，一个数的立方根的符号与这个数的符号相同． 6．科学记数法、近似数、有效数字 (1)科学记数法把一个数N 表示成______(1≤a ＜10，n 是整数)的形式叫做科学记数法．当N ≥1时，n 等于原数N 的整数位数减1；当N ＜1时，n 是一个负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数(含整数位上的零)．(2)近似数与有效数字一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从______第1个不为0的数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字．三、非负数的性质 1．常见的三种非负数|a |≥0，a 2≥0，a ≥0(a ≥0)． 2．非负数的性质(1)非负数的最小值是零；(2)任意几个非负数的和仍为非负数；(3)几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0. 四、实数的运算 1．运算律(1)加法交换律：a ＋b ＝______.(2)加法结合律：(a ＋b )＋c ＝________. (3)乘法交换律：ab ＝____.(4)乘法结合律：(ab )c ＝______.(5)乘法分配律：a (b ＋c )＝__________. 2．运算顺序(1)先算乘方，再算乘除，最后算加减；(2)同级运算，按照从____至____的顺序进行；(3)如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的．3．零指数幂和负整数指数幂(1)零指数幂的意义为：a 0＝____(a ≠0)；(2)负整数指数幂的意义为：a －p ＝______(a ≠0，p 为正整数)． 五、实数的大小比较 1．实数的大小关系在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数____．正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小． 2．作差比较法(1)a －b ＞0⇔a ＞b ；(2)a －b ＝0⇔a ＝b ；(3)a －b ＜0⇔a ＜b . 3．倒数比较法 若1a ＞1b ，a ＞0，b ＞0，则a ＜b . 4．平方法因为由a ＞b ＞0，可得a ＞b ，所以我们可以把a 与b 的大小问题转化成比较a 和b 的大小问题．(提示：本书[知识梳理]栏目答案见第122～123页) 自主测试1．－2的倒数是( )A ．－12B ．.12C ．－2D ．22．－2的绝对值等于( )A ．2B ．－2C ．12D ．－123．下列运算正确的是( )A ．－|－3|＝3B ．⎝⎛⎭⎫13－1＝－3 C ．9＝±3 D ．3－27＝－34．2012年世界水日主题是“水与粮食安全”．若每人每天浪费水0.32 L ，那么100万人每天浪费的水，用科学记数法表示为( )A ．3.2×107 LB ．3.2×106 LC ．3.2×105 LD ．3.2×104 L5．已知实数m ，n 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是( )A ．m ＞0B ．n ＜0C ．mn ＜0D ．m －n ＞0 6．计算：|－5|＋16－32.考点一、实数的分类【例1】四个数－5，－0.1，12，3中为无理数的是( )A ．－5B ．－0.1C ．12D ． 3解析：因为－5是整数属于有理数，－0.1是有限小数属于有理数，12是分数属于有理数，3开不尽方是无理数，故选D. 答案：D方法总结 一个数是不是无理数，应先计算或者化简再判断．有理数都可以化成分数的形式．常见的无理数有四种形式：(1)含有π的式子；(2)根号内含开方开不尽的式子；(3)无限且不循环的小数；(4)某些三角函数式．触类旁通1 在实数5，37，2，4中，无理数是( )A ．5B ．37C ． 2D ． 4考点二、相反数、倒数、绝对值与数轴【例2】(1)－15的倒数是__________；(2)(－3)2的相反数是( )A ．6B ．－6C ．9D ．－9(3)实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简|a ＋b |＋(b －a )2＝__________.解析：(1)－15的倒数为1－15＝－5；(2)因为(－3)2＝9,9的相反数是－9，故选D ；(3)本题考查了绝对值，平方根及数轴的有关知识． 由图可知，a ＜0，b ＞0，|a |＞|b |，所以a ＋b ＜0，b －a ＞0，原式＝－a －b ＋b －a ＝－2a . 答案：(1)－5 (2)D (3)－2a方法总结 1．求一个数的相反数，直接在这个数的前面加上负号，有时需要化简得出． 2．解有关绝对值和数轴的问题时常用到字母表示数的思想、分类讨论思想和数形结合思想．3．相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是0和正数(即非负数)；倒数是它本身的数是±1.触类旁通2 下列各数中，相反数等于5的数是( ) A ．－5 B ．5C ．－15D ．15考点三、平方根、算术平方根与立方根 【例3】(1)(－2)2的算术平方根是( )A ．2B ．±2C ．－2D ． 2 (2)实数27的立方根是__________．解析：(1)(－2)2的算术平方根，即(－2)2＝|－2|＝2； (2)27的立方根是327＝3. 答案：(1)A (2)3方法总结 1．对于算术平方根，要注意：(1)一个正数只有一个算术平方根，它是一个正数；(2)0的算术平方根是0；(3)负数没有算术平方根；(4)算术平方根a 具有双重非负性：①被开方数a 是非负数，即a ≥0；②算术平方根a 本身是非负数，即a ≥0.2．(3a )3＝a ，3a 3＝a .触类旁通3 4的平方根是( ) A ．2 B ．±2 C ．16 D ．±16考点四、科学记数法、近似数、有效数字【例4】2012年安徽省有682 000名初中毕业生参加中考，按四舍五入保留两位有效数字，682 000用科学记数法表示为( )A ．0.69×106B ．6.82×105C ．0.68×106D ．6.8×105解析：用科学记数法表示的数必须满足a ×10n (1≤|a |＜10，n 为整数)的形式；求近似数时注意看清题目要求和单位的换算；查有效数字时，要从左边第1个非零数查起，到精确到的数为止.682 000＝6.82×105≈6.8×105.答案：D方法总结 1．用科学记数法表示数，当原数的绝对值大于或等于1时，n 等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值小于1时，n 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一位非零数字前零的个数．2．取一个数精确到某一位的近似数时，应对“某一位”后的第一个数进行四舍五入，而之后的数不予考虑．3．用科学记数法表示的近似数，乘号前面的数(即a )的有效数字即为该近似数的有效数字；而这个近似数精确到哪一位，应将用科学记数法表示的数还原成原来的数，再看最后一个有效数字处于哪一个数位上．触类旁通4 某种细胞的直径是5×10－4毫米，这个数是( ) A ．0.05毫米 B ．0.005毫米 C ．0.000 5毫米 D ．0.000 05毫米 考点五、非负数性质的应用【例5】若实数x ，y 满足x －2＋(3－y )2＝0，则代数式xy －x 2的值为__________． 解析：因为x －2≥0，(3－y )2≥0，而x －2＋(3－y )2＝0，所以x －2＝0,3－y ＝0，解得x ＝2，y ＝3，则xy －x 2＝2×3－22＝2.答案：2方法总结 常见的非负数的形式有三种：|a |，a (a ≥0)，a 2，若它们的和为零，则每一个式子都为0.触类旁通5 若|m －3|＋(n ＋2)2＝0，则m ＋2n 的值为( ) A ．－4 B ．－1 C ．0 D ．4 考点六、实数的运算【例6】计算：(1)2－1＋3cos 30°＋|－5|－(π－2 011)0.(2)(－1)2 011－⎝⎛⎭⎫12－3＋⎝⎛⎭⎫cos 68°＋5π0＋|33－8sin 60°|. (1)分析：2－1＝12，cos 30°＝32，|－5|＝5，(π－2 011)0＝1.解：原式＝12＋3×32＋5－1＝12＋32＋5－1＝6.(2)分析：⎝⎛⎭⎫12－3＝(2－1)－3＝23＝8，⎝⎛⎭⎫cos 68°＋5π0＝1，sin 60°＝32. 解：原式＝－1－8＋1＋⎪⎪⎪⎪33－8×32＝－8＋ 3.点拨：(1)根据负整数指数幂的意义可把负整数指数幂转化为正整数指数幂运算，即a －p ＝1ap (a ≠0)．(2)a 0＝1(a ≠0)． 方法总结 提高实数的运算能力，首先要认真审题，理解有关概念；其次要正确、灵活地应用零指数、负整数指数的定义、特殊角的三角函数、绝对值、相反数、倒数等相关知识及实数的六种运算法则，根据运算律及顺序，选择合理、简捷的解题途径．要特别注意把好符号关．考点七、实数的大小比较【例7】比较2.5，－3，7的大小，正确的是( ) A ．－3＜2.5＜7 B ．2.5＜－3＜7 C ．－3＜7＜2.5 D ．7＜2.5＜－3 解析：由负数小于正数可得－3最小，故只要比较2.5和7的大小即可，由2.52＜(7)2，得2.5＜7，所以－3＜2.5＜7. 答案：A方法总结 实数的各种比较方法，要明确应用条件及适用范围．如：“差值比较法”用于比较任意两数的大小，而“商值比较法”一般适用于比较符号相同的两个数的大小，还有“平方法”、“倒数法”等．要依据数值特点确定合适的方法．触类旁通6在－6,0,3,8这四个数中，最小的数是( ) A ．－6 B ．0 C ．3 D ．81．(2012湖北黄石)－13的倒数是( )A ．13B ．3C ．－3D ．－132．(2012江苏南京)下列四个数中，负数是( )A ．|－2|B ．(－2)2C ．－ 2D ．(－2)23．(2012北京)首届中国(北京)国际服务贸易交易会(京交会)于2012年6月1日闭幕，本届京交会期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000美元．将60 110 000 000用科学记数法表示应为( )A ．6.011×109B ．60.11×109C ．6.011×1010D ．0.6011×10114．(2012四川南充)计算2－(－3)的结果是( ) A ．5 B ．1 C ．－1 D ．－55．(2012四川乐山)计算：⎪⎪⎪⎪－12＝__________. 6．(2012重庆)计算：4＋(π－2)0－|－5|＋(－1)2 012＋⎝⎛⎭⎫13－2.1．下列各数中，最小的数是( )A ．0B ．1C ．－1D ．－ 2 2．若|a |＝3，则a 的值是( )A ．－3B ．3C ．13D ．±33．下列计算正确的是( )A ．(－8)－8＝0B ．⎝⎛⎭⎫－12×(－2)＝1 C ．－(－1)0＝1 D ．|－2|＝－24．如图，数轴上A ，B 两点对应的实数分别为1和3，若点A 关于点B 的对称点为C ，则点C 所表示的实数是( )A ．23－1B ．1＋ 3C ．2＋ 3D ．23＋15．(1)实数12的倒数是____．(2)写出一个比－4大的负无理数__________．6．若将三个数－3，7，11表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是__________．7．定义一种运算☆，其规则为a ☆b ＝1a ＋1b，根据这个规则，计算2☆3的值是__________．8．如图，物体从点A 出发，按照A →B (第1步)→C (第2步)→D →A →E →F →G →A →B →…的顺序循环运动，则第2 012步到达点________处．9．计算：|－2|＋(－1)2 012－(π－4)0.参考答案导学必备知识 自主测试1．A 1－2＝－12.2．A3．D A 中－|－3|＝－3，B 中⎝⎛⎭⎫13－1＝3，C 中9＝3.4．C 0.32×100万＝320 000＝3.2×105.5．C 因为从数轴可知：m 小于0，n 大于0，则mn ＜0，m －n ＜0. 6．解：|－5|＋16－32＝5＋4－9＝0. 探究考点方法触类旁通1．C 因为5是整数，37是分数，4＝2是整数．触类旁通2．A 因为5的相反数是－5，－15的相反数是15，15的相反数是－15.触类旁通3．B触类旁通4．C 因为0.05＝5×10－2,0.005＝5×10－3,0.000 5＝5×10－4,0.000 05＝5×10－5，故选C.触类旁通5．B 因为|m －3|≥0，且(n ＋2)2≥0，又因为|m －3|＋(n ＋2)2＝0，所以m －3＝0且n ＋2＝0.所以m ＝3，n ＝－2，所以m ＋2n ＝3＋2×(－2)＝－1.触类旁通6．A 因为根据正数大于0,0大于负数，正数大于负数，解答即可． 品鉴经典考题1．C ∵－3×⎝⎛⎭⎫－13＝1，∴－13的倒数是－3. 2．C A 中，|－2|＝2，是正数，故本选项错误；B 中，(－2)2＝4，是正数，故本选项错误；C 中，－2＜0，是负数，故本选项正确；D 中，(－2)2＝4＝2，是正数，故本选项错误．3．C 因为科学记数法的形式为a ×10n ，用科学记数法表示较大的数，其规律为1≤a ＜10，n 是比原数的整数位数小1的正整数，所以60 110 000 000＝6.011×1010.4．A 原式＝2＋3＝5.5．12根据负数的绝对值是它的相反数，得⎪⎪⎪⎪－12＝12. 6．解：原式＝2＋1－5＋1＋9＝8. 研习预测试题1．D 因为正数和0都大于负数，2＞1，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以－2最小．2．D 绝对值为3的数有＋3和－3两个，且互为相反数．3．B (－8)－8＝－16，⎝⎛⎭⎫－12×(－2)＝1，－(－1)0＝－1，|－2|＝2. 4．A 因为数轴上A ，B 两点对应的实数分别为1和3， 所以OA ＝1，OB ＝ 3.所以AB ＝OB －OA ＝3－1. 由题意可知，BC ＝AB ＝3－1.所以OC ＝OB ＋BC ＝3＋(3－1)＝23－1. 5．(1)2 (2)－4＋2(答案不唯一)6．7 因为－3＜0，11＞3,1＜7＜3. 7．56 因为2☆3＝12＋13＝36＋26＝56. 8．A 由题意知，每隔8步物体到达同一点，因为2 012÷8＝251余4，所以第2 012步到达A 点．9．解：原式＝2＋1－1＝2.。

第一讲实数（含二次根式）【命题1 实数的分类级正负数意义】1．（2022•巴中）下列各数是负数的是（）A．（﹣1）2B．|﹣3|C．﹣（﹣5）D．2．（2022•河池）如果将“收入50元”记作“+50元”，那么“支出20元”记作（）A．+20元B．﹣20元C．+30元D．﹣30元3．（2022•日照）在实数，x0（x≠0），cos30°，中，有理数的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2022•金华）在﹣2，，，2中，是无理数的是（）A．﹣2B．C．D．25．（2022•益阳）四个实数﹣，1，2，中，比0小的数是（）A．﹣B．1C．2D．【命题点2 相反数、倒数、绝对值】6．（2022•黔西南州）﹣3的绝对值是（）A．±3B．3C．﹣3D．7．（2022•盘锦）﹣6的倒数是（）A．B．﹣0.6C．D．68．（2022•聊城）实数a的绝对值是，a的值是（）A．B．﹣C．±D．±9．（2022•福建）﹣11的相反数是（）A．﹣11B．C．D．11【命题点3 数轴】10．（2021•凉山州）下列数轴表示正确的是（）A．B．C．D．11．（2021•怀化）数轴上表示数5的点和原点的距离是（）A．B．5C．﹣5D．﹣12．（2021•滨州）在数轴上，点A表示﹣2．若从点A出发，沿数轴的正方向移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是（）13．（2021•广州）如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b＝0，若AB＝6，则点A表示的数为（）A．﹣3B．0C．3D．﹣6 14．（2022•台湾）如图数轴上的A、B、C、D四点所表示的数分别为a、b、c、d，且O为原点．根据图中各点的位置判断，下列何者的值最小？（）A．|a|B．|b|C．|c|D．|d| 15．（2021•安顺）如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是a，b，则计算|b|﹣|a|正确的是（）A．b﹣a B．a﹣b C．a+b D．﹣a﹣b【命题点4 科学计数法】16．（2022•淮安）2022年十三届全国人大五次会议审议通过的政府工作报告中提出，今年城镇新增就业目标为11000000人以上．数据11000000用科学记数法表示应为（）A．0.11×108B．1.1×107C．11×106D．1.1×106 17．（2022•贵港）据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到28nm．已知1nm＝10﹣9m，则28nm用科学记数法表示是（）A．28×10﹣9m B．2.8×10﹣9m C．2.8×10﹣8m D．2.8×10﹣10m 18．（2021•荆门）“绿水青山就是金山银山”某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计投资1.012×108元资金．数据1.012×108可表示为（）A．10.12亿B．1.012亿C．101.2亿D．1012亿19．（2021•潍坊）第七次全国人口普查数据显示，山东省常住人口约为10152.7万人，将101527000用科学记数法（精确到十万位）表示为（）A．1.02×108B．0.102×109C．1.015×108D．0.1015×109【命题点5 实数的大小比较】20．（2022•营口）在，0，﹣1，2这四个实数中，最大的数是（）A．0B．﹣1C．2D．21．（2022•吉林）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a，b的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定22．（2022•临沂）比较大小：（填“＞”，“＜”或“＝”）．【命题点6 平方根、算术平方根、立方根】23．（2022•攀枝花）2的平方根是（）A．2B．±2C．D．24．（2021•济南）9的算术平方根是（）25．（2021•通辽）的平方根是（）A．±4B．4C．±2D．+2 26．（2022•常州）化简：＝．27．（2021•南充）如果x2＝4，则x＝．28．（2018•广东）一个正数的平方根分别是x+1和x﹣5，则x＝．【命题点7 二次根式及其运算】【类型一二次根式的有关概念及性质】29．（2022•湘西州）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2B．x＜2C．x≤2D．x≥2 30．（2022•广州）代数式有意义时，x应满足的条件为（）A．x≠﹣1B．x＞﹣1C．x＜﹣1D．x≤﹣1 31．（2022•雅安）使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C．D．32．（2021•桂林）下列根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．33．（2021•泰州）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（）A．与B．与C．与D．与【类型二二次根式的运算】34．（2022•凉山州）化简：＝（）A．±2B．﹣2C．4D．2 35．（2022•南岸区自主招生）计算+结果正确的是（）A．B．3C．3D．536.（2022•青岛）计算（﹣）×的结果是（）A．B．1C．D．3 37．（2022•瓯海区校级自主招生）已知点P（x，y）在函数y＝的图象上，那么点P应在平面直角坐标系中的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限38．（2022•内蒙古）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则+1+|a﹣1|的化简结果是（）A．1B．2C．2a D．1﹣2a 39．（2022•衢州）计算（）2＝．40．（2022•山西）计算：×的结果为．41．（2022•南充）若为整数，x为正整数，则x的值是．42．（2022•荆州）若3﹣的整数部分为a，小数部分为b，则代数式（2+a）•b的值是．43．（2022•天津）计算（+1）（﹣1）的结果等于．44．（2022•遂宁）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣+＝．45．（2022•内蒙古）已知x，y是实数，且满足y＝++，则的值是．【类型三二次根式的估值】46．（2022•台州）无理数的大小在（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间47．（2022•重庆）估计×（2+）的值应在（）A．10和11之间B．9和10之间C．8和9之间D．7和8之间48．（2022•北碚区自主招生）估计×﹣1的值应在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间【命题点8 实数的运算】【类型一有理数的运算】49．（2022•广西）计算：（﹣1+2）×3+22÷（﹣4）．50．（2022•杭州）计算：（﹣6）×（﹣■）﹣23．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．（1）如果被污染的数字是，请计算（﹣6）×（﹣）﹣23．（2）如果计算结果等于6，求被污染的数字．【类型二实数的运算】51．（2022•甘肃）计算：×﹣．52．（2022•河池）计算：|﹣2|﹣3﹣1﹣×+（π﹣5）0．53．（2022•济宁）已知a＝2+，b＝2﹣，求代数式a2b+ab2的值．答案与解析【命题1 实数的分类级正负数意义】1．（2022•巴中）下列各数是负数的是（）A．（﹣1）2B．|﹣3|C．﹣（﹣5）D．【答案】D【解答】解：（﹣1）2＝1，是正数，故A选项不符合题意；|﹣3|＝3，是正数，故B选项不符合题意；﹣（﹣5）＝5，是正数，故C选项不符合题意；，是负数，故D选项符合题意．故选：D．2．（2022•河池）如果将“收入50元”记作“+50元”，那么“支出20元”记作（）A．+20元B．﹣20元C．+30元D．﹣30元【答案】B【解答】解：∵收入50元，记作“+50元”．且收入跟支出意义互为相反．∴支出20元，记作“﹣20元”．故选：B．3．（2022•日照）在实数，x0（x≠0），cos30°，中，有理数的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解答】解：在实数，x0（x≠0）＝1，cos30°＝，＝2中，有理数是，x0（x≠0），所以，有理数的个数是2，故选：B．4．（2022•金华）在﹣2，，，2中，是无理数的是（）A．﹣2B．C．D．2【答案】C【解答】解：﹣2，，2是有理数，是无理数，故选：C．5．（2022•益阳）四个实数﹣，1，2，中，比0小的数是（）A．﹣B．1C．2D．【答案】A【解答】解：根据负数都小于零可得，﹣＜0．故选：A．【命题点2 相反数、倒数、绝对值】6．（2022•黔西南州）﹣3的绝对值是（）A．±3B．3C．﹣3D．【答案】B【解答】解：﹣3的绝对值：|﹣3|＝3，故选：B．7．（2022•盘锦）﹣6的倒数是（）A．B．﹣0.6C．D．6【答案】A【解答】解：﹣6的倒数是1÷（﹣6）＝．故选：A．8．（2022•聊城）实数a的绝对值是，a的值是（）A．B．﹣C．±D．±【答案】D【解答】解：∵|a|＝，∴a＝±．故选：D．9．（2022•福建）﹣11的相反数是（）A．﹣11B．C．D．11【答案】D【解答】解：﹣（﹣11）＝11．故选：D【命题点3 数轴】10．（2021•凉山州）下列数轴表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A选项，应该正数在右边，负数在左边，故该选项错误；B选项，负数的大小顺序不对，故该选项错误；C选项，没有原点，故该选项错误；D选项，有原点，正方向，单位长度，故该选项正确；故选：D．11．（2021•怀化）数轴上表示数5的点和原点的距离是（）A．B．5C．﹣5D．﹣【答案】B【解答】解：数轴上表示数5的点和原点的距离是5；故选：B．12．（2021•滨州）在数轴上，点A表示﹣2．若从点A出发，沿数轴的正方向移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是（）A．﹣6B．﹣4C．2D．4【答案】C【解答】解：由题意可得，点B表示的数为﹣2+4＝2，故选：C．13．（2021•广州）如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b＝0，若AB＝6，则点A表示的数为（）A．﹣3B．0C．3D．﹣6【答案】A【解答】解：∵a+b＝0，∴a＝﹣b，即a与b互为相反数．又∵AB＝6，∴b﹣a＝6．∴2b＝6．∴b＝3．∴a＝﹣3，即点A表示的数为﹣3．故选：A14．（2022•台湾）如图数轴上的A、B、C、D四点所表示的数分别为a、b、c、d，且O为原点．根据图中各点的位置判断，下列何者的值最小？（）A．|a|B．|b|C．|c|D．|d|【答案】A【解答】解：∵a表示的点A到原点的距离最近，∴|a|最小，故选：A．15．（2021•安顺）如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是a，b，则计算|b|﹣|a|正确的是（）A．b﹣a B．a﹣b C．a+b D．﹣a﹣b【答案】C【解答】解：由图可知，a＜0，b＞0，∴|a|＝﹣a，|b|＝b，∴|b|﹣|a|＝b+a，故选：C．【命题点4 科学计数法】16．（2022•淮安）2022年十三届全国人大五次会议审议通过的政府工作报告中提出，今年城镇新增就业目标为11000000人以上．数据11000000用科学记数法表示应为（）A．0.11×108B．1.1×107C．11×106D．1.1×106【答案】B【解答】解：11000000＝1.1×107．故选：B．17．（2022•贵港）据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到28nm．已知1nm＝10﹣9m，则28nm用科学记数法表示是（）A．28×10﹣9m B．2.8×10﹣9m C．2.8×10﹣8m D．2.8×10﹣10m【答案】C【解答】解：因为1nm＝10﹣9m，所以28nm＝28×10﹣9m＝2.8×10﹣8m．故选：C．18．（2021•荆门）“绿水青山就是金山银山”某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计投资1.012×108元资金．数据1.012×108可表示为（）A．10.12亿B．1.012亿C．101.2亿D．1012亿【答案】B【解答】解：数据1.012×108可表示为：1.012×108＝101200000＝1.012亿，故选：B．19．（2021•潍坊）第七次全国人口普查数据显示，山东省常住人口约为10152.7万人，将101527000用科学记数法（精确到十万位）表示为（）A．1.02×108B．0.102×109C．1.015×108D．0.1015×109【答案】C【解答】解：101 527 000＝1.01527×108≈1.015×108．故选：C．【命题点5 实数的大小比较】20．（2022•营口）在，0，﹣1，2这四个实数中，最大的数是（）A．0B．﹣1C．2D．【答案】C【解答】解：∵﹣1＜0＜＜2，∴最大的数是2；故选：C．21．（2022•吉林）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a，b的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定【答案】B【解答】解：∵b＞0，a＜0，∴a＜b，故选：B．22．（2022•临沂）比较大小：（填“＞”，“＜”或“＝”）．【答案】＜【解答】解：∵（）2＝，（）2＝，＜，∴＜，故答案为：＜．【命题点6 平方根、算术平方根、立方根】23．（2022•攀枝花）2的平方根是（）A．2B．±2C．D．【答案】D【解答】解：因为（±）2＝2，所以2的平方根是，故选：D．24．（2021•济南）9的算术平方根是（）A．3B．﹣3C．±3D．【答案】A【解答】解：∵32＝9，∴9的算术平方根是3．故选：A．25．（2021•通辽）的平方根是（）A．±4B．4C．±2D．+2【答案】C【解答】解：＝4，±＝±2，故选：C．26．（2022•常州）化简：＝．【答案】2【解答】解：∵23＝8∴＝2．故填2．27．（2021•南充）如果x2＝4，则x＝．【答案】±2【解答】解：x2＝4，开平方得x＝±2；故答案为：±2．28．（2018•广东）一个正数的平方根分别是x+1和x﹣5，则x＝．【答案】2【解答】解：根据题意知x+1+x﹣5＝0，解得：x＝2，故答案为：2【命题点7 二次根式及其运算】【类型一二次根式的有关概念及性质】29．（2022•湘西州）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2B．x＜2C．x≤2D．x≥2【答案】D【解答】解：∵3x﹣6≥0，∴x≥2，故选：D．30．（2022•广州）代数式有意义时，x应满足的条件为（）A．x≠﹣1B．x＞﹣1C．x＜﹣1D．x≤﹣1【答案】B【解答】解：代数式有意义时，x+1＞0，解得：x＞﹣1．故选：B．31．（2022•雅安）使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵有意义，∴x﹣2≥0，∴x≥2，故选：B．32．（2021•桂林）下列根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A.，不是最简二次根式；B.，不是最简二次根式；C.，不是最简二次根式；D.，是最简二次根式．故选：D．33．（2021•泰州）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（）A．与B．与C．与D．与【答案】D【解答】解：A、＝2和不是同类二次根式，本选项不合题意；B、＝2与不是同类二次根式，本选项不合题意；C、与不是同类二次根式，本选项不合题意；D、＝5，＝3是同类二次根式，本选项符合题意．故选：D．【类型二二次根式的运算】34．（2022•凉山州）化简：＝（）A．±2B．﹣2C．4D．2【答案】D【解答】解：＝＝2，故选：D．35．（2022•南岸区自主招生）计算+结果正确的是（）A．B．3C．3D．5【答案】C【解答】解：+＝．故选：C．36.（2022•青岛）计算（﹣）×的结果是（）A．B．1C．D．3【答案】B【解答】解：（﹣）×＝﹣＝﹣＝3﹣2＝1，故选：B37．（2022•瓯海区校级自主招生）已知点P（x，y）在函数y＝的图象上，那么点P应在平面直角坐标系中的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解答】解：∵，∴x＜0；又∵x＜0，∴，即y＞0∴P应在平面直角坐标系中的第二象限．故选：B．38．（2022•内蒙古）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则+1+|a﹣1|的化简结果是（）A．1B．2C．2a D．1﹣2a【答案】B【解答】解：根据数轴得：0＜a＜1，∴a＞0，a﹣1＜0，∴原式＝|a|+1+1﹣a＝a+1+1﹣a＝2．故选：B．39．（2022•衢州）计算（）2＝．【答案】2【解答】解：原式＝2．故答案是2．40．（2022•山西）计算：×的结果为．【答案】3【解答】解：原式＝＝3．故答案为：3．41．（2022•南充）若为整数，x为正整数，则x的值是．【解答】解：∵8﹣x≥0，x为正整数，∴1≤x≤8且x为正整数，∵为整数，∴＝0或1或2，当＝0时，x＝8，当＝1时，x＝7，当＝2时，x＝4，综上，x的值是4或7或8，故答案为：4或7或8．【答案】4或7或842．（2022•荆州）若3﹣的整数部分为a，小数部分为b，则代数式（2+a）•b的值是．【答案】2【解答】解：∵1＜＜2，∴1＜3﹣＜2，∵若3﹣的整数部分为a，小数部分为b，∴a＝1，b＝3﹣﹣1＝2﹣，∴（2+a）•b＝（2+）（2﹣）＝2，故答案为：2．43．（2022•天津）计算（+1）（﹣1）的结果等于．【答案】18【解答】解：原式＝（）2﹣12＝19﹣1＝18，故答案为：18．44．（2022•遂宁）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣+＝．【答案】2【解答】解：由数轴可得，﹣1＜a＜0，1＜b＜2，∴a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，∴|a+1|﹣+＝a+1﹣（b﹣1）+（b﹣a）＝a+1﹣b+1+b﹣a＝2，故答案为：2．45．（2022•内蒙古）已知x，y是实数，且满足y＝++，则的值是．【答案】【解答】解：∵y＝++，∴x﹣2≥0，2﹣x≥0，∴x＝2，y＝，则原式＝×＝＝，故答案为：【类型三二次根式的估值】46．（2022•台州）无理数的大小在（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间【答案】B【解答】解：∵4＜6＜9，∴2＜＜3．故选：B47．（2022•重庆）估计×（2+）的值应在（）A．10和11之间B．9和10之间C．8和9之间D．7和8之间【答案】B【解答】解：原式＝+＝6+，∵9＜15＜16，∴3＜＜4，∴9＜6+＜10．故选：B．48．（2022•北碚区自主招生）估计×﹣1的值应在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间【答案】C【解答】解：×﹣1＝﹣1，∵5＜＜6，∴4＜﹣1＜5，∴×﹣1的值应在4和5之间．故选：C．【命题点8 实数的运算】【类型一有理数的运算】49．（2022•广西）计算：（﹣1+2）×3+22÷（﹣4）．【解答】解：原式＝1×3+4÷（﹣4）＝3﹣1＝2．50．（2022•杭州）计算：（﹣6）×（﹣■）﹣23．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．（1）如果被污染的数字是，请计算（﹣6）×（﹣）﹣23．（2）如果计算结果等于6，求被污染的数字．【解答】解：（1）（﹣6）×（﹣）﹣23＝（﹣6）×﹣8＝﹣1﹣8＝﹣9；（2）设被污染的数字为x，根据题意得：（﹣6）×（﹣x）﹣23＝6，解得：x＝3，答：被污染的数字是3．【类型二实数的运算】51．（2022•甘肃）计算：×﹣．【解答】解：原式＝﹣2＝﹣．52．（2022•河池）计算：|﹣2|﹣3﹣1﹣×+（π﹣5）0．【解答】解：原式＝2﹣﹣2+1＝．53．（2022•济宁）已知a＝2+，b＝2﹣，求代数式a2b+ab2的值．【解答】解：∵a＝2+，b＝2﹣，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝（2+）（2﹣）（2++2﹣）＝（4﹣5）×4＝﹣1×4＝﹣4．。