电路 第8章习题 相量法

yy A 1A 2A 1A 212
3. 旋转因子
复数 ejy = cos y + jsin பைடு நூலகம் = 1∠y
Aejy
A逆时针旋转一个角度y ，模不变
j


e2 cosjsinj
ej( 2)c 2 o 2 s) 2 (js i 2 n) (j
j I
Im
I
Im A (t)[ ] 2Isiw n t (y)
wy i2 I sit n) ( A ( t)2 I e jw t ( y )
A(t)还可以写成
A(t) 2Iejyejwt 2 I ejwt
复常数
称

I Iy
为正弦量 i(t) 对应的相量。
i(t)2Isiw n t (y) II y
旋转相量在纵轴上的投影就是正弦函数
请看演示
三. 相量图
ωy y i(t)2 I sitn i() I I i
wy y u (t)2 U sitn u ( ) U U u

U

I
yu yi
四. 相量运算
(1) 同频率正弦量相加减
u1(t) 2U1s iw nt (y1)Im2(U 1ejwt)
(2) 角频率(angular frequency) w
(3) 初相位(initial phase angle) y
i i(t)=Imsin(w t+y)
Im
wt
y
波形图
ii
000 0 0
t
yy y =0y =/2 y =-/2
一般 |y |
二、同频率正弦量的相位差 (phase difference)。

复数 复数
—
孙惠英 shy@
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第8章
4、正弦量的相量表示法(续）
—
已知正弦量 220√ 2 cos ( ω t－35° ) 有效值相量 最大值相量 220/ －35° — 220√ 2 /－35°
已知 相量 10/45° and 正弦量的角频率ω 相应的正弦量 — 10 √ 2 cos( ωt + 45° )
0 ωt1
ωt2
ωt
φ
图8-5 用旋转矢量表示的正弦量
孙惠英 shy@
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第8章
4、正弦量的相量表示法 F = ⎪F⎪e j(ω t + ϕ )
ejθ = cosθ + jsinθ
设：有一复数
欧拉公式
F = ⎪F⎪ej(ωt + ϕ ) = ⎪F⎪cos(ωt + ϕ) + j⎪F⎪sin(ωt +ϕ) Re [F] = ⎪F⎪cos(ωt + ϕ ) Im [F] = ⎪F⎪sin(ωt + ϕ )
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第8章
三、旋转因子
/ϕ 旋转因子: e jϕ = 1 — A = ⎪A⎪ejα Aejϕ = ⎪A⎪ejαejϕ = ⎪A⎪ej(α+ϕ ) ejπ/2 = j1 e－jπ/2 = − j1
+j
Aejϕ
ϕ α
0
A
+1
e－jπ = − 1
孙惠英 shy@
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第8章
ϕ 12 = ϕ 1－ ϕ 2 —— u1 超前于 u2 的相角 ϕ 21 = ϕ 2－ ϕ 1 —— u2 超前于 u1 的相角

2. i 5 cos t 50
0
1 UC 5. j C I C jC
3. I m j CUm Um
6. U L j LI L
di L 7. u C dt
UL Um 4. X L IL I m
返 回
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例5
A
已知 UAB 50V, UAC 78V, 问：UBC ?
1
i2 (t ) 3 cos(100 π t 300 )
返 回 上 页 下 页
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
u(t ) 2U cos( t θ ) U Uθ
例1
i 141.4 cos(314t 30o )A 已知 u 311.1cos(3 14t 60o )V

试用相量表示i, u . 解
I 10030 A,
o


U 220 60o V

例2
解
已知 I 5015 A, f 50Hz .
试写出电流的瞬时值表达式。
i 50 2cos( 314t 15 ) A

返 回
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例1 试判断下列q
F Re
返 回
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例
解
已知正弦电流波形如图，＝103rad/s，
1.写出 i(t) 表达式；2.求最大值发生的时间t1
i(t ) 100 cos( t ) 10 t 0 50 100 cos
3
100 50 o
i
π 3
π 3
3
t t1
由于最大值发生在计时起点右侧
I +

17
例1: 已知: R1 1000 , R2 10 , L 500mH , C 10F , BUCT
U 100V , 314rad / s , 求:各支路电流。
i2 R1 i1
i3 C
+
R2
_u
L
I1
I2 R1
I3
j 1 C
+
R2
_ U
Z1
Z2
jL
解：画出电路的相量模型

0.5770
A
瞬时值表达式为：
i1 0.6 2 sin(314 t 52.3 ) A i2 0.181 2 sin(314t 20 ) A i3 0.57 2 sin(314 t 70 ) A
解毕！
20
9. 2 阻抗（导纳）的串联和并联
一． RLC串联电路
用相量法分析R、L、C串联电路的阻抗。
2I R
.
.
1 UR UC
24
BUCT
练习：P188 8—11 12
25
作业
BUCT
习题：8-16 9-1 (b)、(f) 9-5 预习：第9章
26
j
G 导纳三角形
（二） R、L、C 元件的阻抗和导纳
（1）R：ZR R , YR 1 R G
（2）L：Z L jL jX L ,
1
1
YL
j
jL
L
jBL
（3）C：ZC

j 1
C

jX C ,
YC jC jBC
15
（三）阻抗和导纳的等效互换
º R
Z
18
I1
I2 R1

第八章
电力系统简介
HVDC Rectifier(整流器)
相量法
Inverter(逆变器)
Power Line(输电线) Power Plant Generator 电厂(发电机) Transformer 变电站（变压器）
第八章 复数（自学） 正弦量 相量法的基础 电路定律的相量形式
相量法
§8-1 复数（自学）
Charles Proteus Steinmetz
(1865～1923)
§8-3 相量法的基础
一、正弦量的相量
i 2I cos(t i )
设有一个复指数函数
2 Ie j( t i )
2 Ie j( t i ) 2 I cos( t i ) j 2 I sin( t i ) Re[ 2 Ie j( t i ) ] 2 I cos( t i ) i
1 I T

T
0
1 i dt T
2

T
0
2 I m cos2 ( t i )dt
Im 0.707 I m 2
I m 2I
i I m cos( t i ) 2I cos(t i )
§8-2 正弦量
四、同频正弦量的相位差 同频正弦量相角之差称为相位差。用 表示。
i
u
反 相
t
u
正 交 0
i t 0
1 2
i
t
电 压 超 前 电 流
§8-3 相量法的基础
The notion of solving ac circuits using phasors
was first introduced by Charles Proteus Steinmetz

α= π
2 , e
j
复
数
Im
ɺ + jI
π
2 =+j
ɺ I
π
2
= cos
j−
π
2
+ j sin
0
Re
ɺ − jI
α =−
π
2
π
2
, e
= cos(− ) + j sin(− ) = − j 2 2
π
π
ɺ −I
2>、反向因子-1 、反向因子
α = ±π , e j ±π = cos(±π ) + j sin(±π ) = −1
def
T
0
有效值也称均方根值 有效值也称均方根值(root-meen-square，简 也称均方根值 ， 记为 rms。) 。
8. 1 正弦量的基本概念
电流有效值的物理意义： 电流有效值的物理意义： 周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期 内吸收的 ，在一周期T 电能，等于一直流电流I 流过R 在时间T 电能，等于一直流电流 流过 , 在时间 内吸收的电 的有效值。 能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。 i(t) 如图： 如图： T 2
m
8. 2
一、复数A表示形式 复数 表示形式
复
数
Im b A
在平面上， 在平面上，由O指向Ａ的有向 指向 线段（向量）， ），表示复数 线段（向量），表示复数Ａ。 1、直角坐标表示 、 代数形式： 代数形式：
O Im b
a A |A|
Re
Ａ=a+jb
Re[Ａ]=a Im[Ａ]=b
1 j = =−j j j⋅ j
8. 1 正弦量的基本概念

量的相量乘以 jω ，即表示di/dt 的相量为
j I I( i 90o )
该相量的模为ωI ，辐角则超前原相量π/2 。
对 i 的高阶导数 dni/dtn ，其相量为 ( j )。n I
3)正弦量的积分
设 i 2I cos( t i )，则
idt Re[ 2Ie j t ] dt Re[ (
F1F2 | F1 | 1 | F2 | 2 | F1 || F2 | (1 2 )
可见复数的乘法运算使用指数形式或极坐标形式较为简便。
3)除法运算
a)代数形式
F1 F2
a1 a2
jb1 jb2
(a1 (a2
jb1 )(a2 jb2 )(a2
jb2 ) jb2 )
(a1a2
b1b2 ) j(a2b1 a22 b22
设 F1 a1 jb1 ， F2 a2 jb2 ，则
F1 F2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j(b1 b2 )
平行四边形法则：
+j F1 +F2 F1
F2 o
+1
+j F1
F2 o
F1－F2 +1
2)乘法运算 a)代数形式
F1F2 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) (a1a2 b1b2 ) j(a1b2 a2b1 )
di d Re[ 2Ie j t ] Re[ d ( 2Ie j t )] Re[ 2( j I)e j t ]
dt dt
dt
Re[ 2 Ie ] j( ti 90o ) 2 I cos( t i 90o )
上式表明：
复指数函数实部的导数等于复指数函数导数的实部；

第八章相量法一、填空题1、正弦电压()cos()u u t t ωθ=+，对应的相量表示为 。

2、若()10cos(31430)i t t =- ()5sin(31430)u t t =-,则i u 与的相位差为 。

3、已知正弦交流电压010cos(31430)V u t =+，该电压有效值U = 。

4、在纯电感交流电路中，电压与电流的相位关系是电压_____电流900，感抗X L =_____,单位是____。

5、在纯电感正弦交流电路中，若电源频率提高一倍，而其他条件不变，则电路中的电流将变______。

6、在纯电容正弦交流电路中，已知I=5A,电压cos(314)V U t =，电容量C=_____。

7、在纯电容正弦交流电路中，增大电源频率时，其他条件不变，电容中电流I 将____。

8、一个感抗20Ω的纯电感两端电压是10c o s (30)V ,u t ω=+则通过它的电流瞬时值为__ _A 。

二、选择题1、两个同频率正弦交流电的相位差等于1800时，则它们相位关系是____。

A 、同相B 、反相C 、相等 2、正弦交流电的最大值等于有效值的___倍。

A 、2 B 、 2 C 、 1/2 3、在纯电容正弦交流电路中，复容抗为____。

A 、c j ω- B 、 c j ω/- C 、 c j ω/ 4、在纯电容正弦交流电路中，下列各式正确的是_____。

A 、C i U C ω=B 、I UC ω∙∙= C 、I U C ω= D 、/i U C = 5、若某元件的端电压为05cos(31435)V u t =+，电流02cos(314125)A i t =+，i u 、 为关联方向， 则该元件是___。

A 、电阻B 、电感C 、电容 6、任意一个相量乘以j 相当于该相量 。

A 逆时针旋转90o B 顺时针旋转90o C 逆时针旋转60oD 逆时针旋转60o 三、判断题1、正弦量的初相角与起始时间的选择有关，而相位差则与起始时间无关。

复数运算
或
a | A | cosθ b | A | sinθ
Im A2
图解法
(1)加减运算——采用代数形式 若 则
A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
A1
0 Re
(2) 乘除运算——采用指数形式或极坐标形式
若 则:
A1=|A1| 1 ，A2=|A2| 2
Im 2I
i ( t ) I m cos(w t Ψ ) 2 I cos(w t Ψ )
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
U
1 2
Um
或
U m 2U
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V； U=380V， Um537V。
注 （1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设
j >0， u超前ij 角，或i 落后u j 角(u 比i先到达最大值)； u, i u i
yu yi j j <0， i 超前 uj 角，或u 滞后 i j 角,i 比 u 先到达最大值。
O
wt
特殊相位关系：
j = (180o ) ，反相：
u, i u u i 0 iw t
j ＝ 0， 同相：
直流I
物 理 意 义
R
交流i
R
W RI T
2
W Ri ( t )dt
T 2 0
电流有效 值定义为
1 T 2 I 0 i (t )dt T
def
有效值也称均方根值 (root-meen-square)
同样，可定义电压有效值：
正弦电流、电压的有效值 设 i(t)=Imcos(w t+ )

o
o
∴
i(t ) u(t )

I 100 30

o
U 220 60
o
2. 相量运算 (1) 同频率正弦量相加减
u 1 ( t ) U m1 cos( w t + Ψ u 2 ( t ) U m2 cos( w t + Ψ ) Re( 1 ) Re( 2
jw t
182.5 + j132.5 225.5 36o
(4) 旋转因子： 复数 ejq =cosq +jsinq =1∠q A• ejq 相当于A逆时针旋转一个角度q ，而模不变。故 把 ejq 称为旋转因子。 A• ejq Im
A• ejq =|A| qA + q
0
q
A Re
特殊旋转因子:
ejp/2 = j 也是旋转因子，逆时针转了90。 e-jp/2 = - j, 顺时针转了90 。
jθ 1 |
e
j( θ 1 θ 2 )

| A1 | | A2 |
θ1 θ
2
乘法：模相乘，角相加； 除法：模相除，角相减。
例1.
5 47 + 10-25 = (3.41+j3.657) + (9.063-j4.226) =12.47 - j0.567 = 12.48 -2.61


+

1 jω C
U
1 jω C


I C jX C I C
U
U
-
IC=w CU
i=u+90°
IC
相量模型 B C = w C， 称为容纳，单位为 S
u

] Re（Ume e
jθ jωt
）
Um Umej θ Umθ - - - U(t)振幅 量 相
根据正弦量和相量的表示可以画出其波形图和相量图 （下页）
21
电压U正弦波形图和 相量图：
1、根据u（t） Umcos（ωtθ）
U(t) Um θ ωt +j
Um
θ
2、根据 量Um Umθ 相
第八章 相量法（173） ——线性正弦稳态电路分析方法
$8-1 复数（复习） 一、复数的多种表示形式 1、复数F的直角坐标形式（代数形式）：F=a+jb a 、 b 均为实数， a实部， b虚部。 ( j 1)
1
2、复数F在复平面上的向量表示： F=a+jb
F a 2 b 2 ...模
O
2、F2 1.2152
3、F3 5180
实部（a）：shift 虚部（b）：RCL
O
1.06 j0.56 5
利用计算器转换功能： POL（ r，θ）= tan
三、复数的四则运算： 1、复数加减运算（代数形式） 若F1= a1+jb1 F2=a2+jb2
6
F1+F2= （a1+jb1）+（a2+jb2） = （a1 + a2）+ j（b1 +b2） F1-F2= （a1+jb1） -（a2+jb2） = （a1 - a2）+ j（b1 -b2）
14
u
t
t
i
u i 0 , u 与 i 同相
u i
u i 0 , u 超前 i
u
t
i

R
W直 =I 2RT
T i 2 ( t ) Rd t R W交 0
例 周期电压如图所示。求其有效值U。 u(t)/V 2 1 0
1 2 3 4 5 6
t/s
解 根据有效值的定义，有
1 U T

T 0
u 2 ( t )dt
2 3 1 1 2 2 2 0 1 dt 1 2 dt 2 0 dt 1.29 V 3
有效值也称均方根值(root-mean-square，简记为 rms。)
正弦电压有效值与最大值的关系： 1 U Um 或 U m 2U 2
工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌 额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是 最大值。 测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。 * 注意区分电压、电流的瞬时值、有效值、最大值的符号。
频率f : 每秒钟完成循环的次数，单位：Hz(赫兹) 。
关系 : f 1 T
2f
2 T
小常识
* 电网频率： 中国 50 Hz
美国 、日本 60 Hz * 有线通讯频率：300 - 5000 Hz
* 无线通讯频率： 30 kHz - 3×104 MHz
i(t)=Imcos( t + φ)
例 + u + u1
U1 U2 U3
u1 (t ) 3 2 cos 314t V
-
u2 (t ) 4 2 cos (314t 90o ) V 求u。 + u2 u(t ) u (t ) u (t ) 5 2 cos (314t 53.1o ) V 1 2 U2 490 V U1 30o V
u, i u i O

第八章 相量法8.1 学习指导8.1.1 学习要点(1)正弦量及其三要素。

(2)相位差的概念。

(3)相量的概念及其性质。

(4)KCL 、KVL 的相量形式。

(5)R 、L 、C 元件VAR 的相量形式。

8.1.2内容概述1．正弦量1)正弦量的时域表达式(以i 为例)：)t cos(I i m ψω+= ①2)正弦量的三要素、有效值的定义 (1)角频率、频率、周期(要素之一) 角频率：dt)t (d ψωω+=，即正弦量单位时间内变化的电角度，单位：rad ／s(弧度/秒)。

频率：f —单位时间内正弦量变化的周波数，单位：Z H周期：T —正弦波变化一次所需要的时间，即一个完整周波在时间轴上的宽度，单位：s 、ms 、s μω、f 、T 之间的关系：f 2πω=T1f = 或 f 1T =(2)最大值、有效值(要素之二)式①中：m I —最大值；I —有效值。

有效值的定义：若i 为周期性电流函数(不一定是正弦量)，则i 有效值的定义式为 ⎰=T2dt i T1I上式可写成：含义是：对同一电阻R ，在周期T 内，i 通过R 时产生的热量与恒定电流I 通过R 时产生的热量相等。

正弦量：I 2I m =对电压等量有效值的定义式在形式上与电流i 的定义式相同。

(3)相位角、初相角(要素之三)相位角： ψω+t ，单位：rad 或(o )(弧度或度)。

初相角：ψ，单位：rad 或(o )(弧度或度)。

注意：正弦量的一个周期对应的相位角为2πrad 或360o 3)相位差相位差是正弦稳态电路中的一个重要概念，设两个正弦量分别为 )t cos(f f 1m 11ψω+= )t cos(f f 2m 22ψω+= 则1f 与2f 之间的相位差定义为)t (112ψωϕ+=-)t (2ψω+=21ψψ- ② 设πϕπ≤≤-12则：(1)当12ϕ＞0时，称1f 越前(超前) 2f (12ϕ角)，或2f 滞后1f (12ϕ角)。

一般地 i = 2 I cos(ω t + ψ i )A 可用相量表示为： & 可用相量表示为： I = I e jψ i = I∠ψ i A
9
二、相量和正弦量的比较： 相量和正弦量的比较：
①联系： 联系： 实数范围的正弦时间函数和复数范围的复指数常数一一对应。 实数范围的正弦时间函数和复数范围的复指数常数一一对应。 欧拉公式：e jθ = cos θ + j sin θ， 欧拉公式：
θ
a
b
b b = F sin θ θ = arctan a 请注意：上式与教材 请注意：上式与教材P202倒数第二行的差别。 倒数第二行的差别。 倒数第二行的差别
为正确判定θ所在的象限，我们将 、 的正负号分别 为正确判定 所在的象限，我们将a、b的正负号分别 所在的象限 保留在分母分子中，而不用小括号。 保留在分母分子中，而不用小括号。
2π ω = 2πf = T
额定值为有效值， 额定值为有效值， 耐压值为最大值。 耐压值为最大值。
热效应上与一个周期内的平均效应相等的直流值。 热效应上与一个周期内的平均效应相等的直流值。 ③有效值： 有效值： 周期电流的有效值： 周期电流的有效值： = I 正弦电流的有效值： 正弦电流的有效值：I =
2 2 2
sin ωt +ψu − ar ( ctg
i(t)
ωL
R
)
R L
& & 取相量： & 取相量：U = RI + jωLI
& I= & U R + jωL
+R 2 + ω 2 L2 ∠arctg
ωL
R
=
U R 2 + ω 2 L2

-b
4 . 极坐标式
F | F |

共轭复数： F * | F | e j ( ) a jb
5
二、复数的四则运算及其几何表示
1.加减法 设F1、F2为复数:
F1 a1 jb1 | F1 | e j1
F2 a2 jb2 | F2 | e j 2
+j
F1 F2 (a1 a2 ) j(b1 b2 )
设电流的结构如下：
i
R
L
+
+ + uR - + uL C uS -
uC
-
i 2I cos( t i ) w
代入上式，得：
24
1 R 2 I cos( t i ) wL 2 I sin( t i ) w w 2 I sin( t i ) 2U S cos( t u ) w w wC
14
同频余弦量的相位差
设两同频率的余弦量： u Umcos(ω t u )
i Imcos(ω t i )
两同频率的余弦量相位差： =初相位之差。与时间起点无关。
1. u i 0
(w t u ) (w t i ) u i u
有效值和相位差。
正弦电流（压）：随时间按余弦规律变动的电流（压）。 如图表示一条支路流过正弦电流。 指定电流参考方向和时间原点，余弦电流及其波形如图所示。 i Im i 最大值

i I m cos( t i ) w
初相位
O
i
wt
12
一、余弦量的三要素
振幅或幅值 （取正值）
角频率w
w 瞬时值表达式： i I m cos( t i )

U

I i(t ) 2 Icos(ω t ) I

I


U θ u (t ) 2Ucos(wt θ ) U
不同频率的相量不能画在一张相量图上。
二、相量运算
同频的正弦量相加减运算就变成对应的相量相加减运算。 i1 i2 = i 3
u1 u2 = u3
上式表明：流入某一节点的所有电流用相量表示时 仍满足KCL；而任一回路所有支路电压用用相量表示时 仍满足KVL。
二、电阻 i(t) + uR(t) R 1、 u, i 关系 已知 i (t ) 2 I cos(wt Ψ i )
则 uR (t ) Ri(t ) 2 RI cos(wt Ψ i )
490 V U 2
U U 553.1o V U 1 2
例
+
+
u
-
+ u2 -
u1
30o V U 1
490 V U 2
同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。
Im
U2

U1 U 2
U U 553.1o V U 1 2
0 则 i I mcoswt

2
0 =0 =/2 =-/2
wt

则 i I mcos(wt ) 2

一般规定：| | 。
三、 相位差 ：两个同频率正弦量相位角之差。 设 u(t)=Umcos(w t+ u), i(t)=Imcos(w t+ i) 则 相位差 j = (w t+ u)- (w t+ i)= u- i 初相位之差 j >0， u 超前i j 角，或i 滞后 u j 角(u 比 i 先到达最大值)； u, i u i j <0， i 超前 u j 角， u, i i u

第八章相量法求解电路的正弦稳态响应,在数学上是求非齐次微分方程的特解.引用相量法使求解微分方程特解的运算变为复数的代数运运算,从儿大大简化了正弦稳态响应的数学运算.所谓相量法,就是电压、电流用相量表示, RLC元件用阻抗或导纳表示,画出电路的相量模型,利用KCL,KVL和欧姆定律的相量形式列写出未知电压、电流相量的代数方程加以求解,因此,应用相量法应熟练掌握：(1)正弦信号的相量表示；(2) KCL,KVL的相量表示；(3) RLC元件伏安关系式的相量形式；(4) 复数的运算.这就是用相量分析电路的理论根据.8-1将以下复数化为极坐标形式：(1) Fi=-5-j5；⑵ F2 =-4+ j3；⑶ F3 =20+j40；(4) F4=j10; (5) F5=-3; (6) F6=2.78 +j9.20o解：(1) F1 =-5-j5 = a Z0a = (-5)2 (-5)2 =5.2-5 v1-arctan ——=-135 -5 (因F1在第三象限)故F1的极坐标形式为F1=5%'2/ -135-(2) F2 =—4 + j3=C(Y)2+32/arctan⑶—4)=52143.13：(F2在第二象限)(3)F3 =20+ j40 = J202 +402N arctan(40/20) =44.72/63.43二(4) F4 =10j =10/90 二⑸ F5=-3 = 3/180 二(6)F6 =2.78 + j 9.20 = 32.782+9.202/arctan(9.20/2.78) = 9.61,73.19 ：注：一个复数可以用代数型表示,也可以用极坐标型或指数型表示,即F=a1+ j a2 =a/e =ae ja它们相互转换的关系为：2 2 1-arctan—a〞0 a2 a i和a1 = acosi a2= asin?需要指出的,在转换过程中要注意F在复平面上所在的象限,它关系到日的取值及实部a i和虚部a2的正负.8-2将以下复数化为代数形式：〔1〕F i=10/—73；〔2〕F2 =15/112.6：；〔3〕F3 =1.2/152；〔4〕F4=10/-90 :〔5〕F i =5Z-180=;〔6〕 F i =10/ -1351解：〔1〕 F i =10/— 73°=10xcos〔—73二〕十j10xsin〔—73〕= 2.92 —j9.56⑵ F2=15/112.6〞 = 15cos112.6、15sin112.6' = -5.76+j13.85〔3〕 F3 =1.2/152 口=1.2cos152' + 1.2sin152 0 = —1.O6 + jO.56〔4〕F4 =10=-90*=-jIO〔5〕F1 =5/-180口= -5〔6〕 F i =10/-135,0cos〔-135：〕+10sin〔-135二〕=-7.07-j7.078 —3假设IO./.“十A260 °= 175/中.求A和中.解：原式=100+ Acos600+ ja sin600=175c o s9 + j175s in中根据复数相等的定义,应有实部和实部相等,即Acos60 100 =175cos虚部和虚部相等Asin60 =175sin「把以上两式相加,得等式A2 100 A -20625 -0-100主,1002+4乂20625 1 102.07A = ---------------------------------- 二+解得 2 「202.069.3102.07 ——Asin602sin =-------------- = --------------- — 175 175=30.348-4求8—1题中的F ,F6和F 2/F6.解：F 2 F6=(—4 j3) (2.78 j9.20) =5 143.13 9.61 73.19= 48.05. 216.32 =48.05. -143.684 j3 5. 143.13F 2 F6 = ------------ --- = ----------------- = 0.52 69.942.78 j9.20 9.61 73.198 — 5求8 —2题中的F 1 +巳和E/F 5 o解：F 1 F 5 - 10. - 73 5. - 180= 10cos(-73 ) j10sin(-73 ) -5 =-2.08 - j9.56 =9.78 -102.2710. -73F 1 F 5= ---------------------------- = 2 -73180 =2 1075/-1808 —6 假设.i 1 = -5cos(314t +60)Ai 2 = 10sin(314t + 60)A,i 3 =4cos(314t 60 )A(1)写出上述电流的相量,并绘出它们的相量图； (2)1与心和i1与)的相位差；(3)绘出3的波形图；(4)假设将3表达式中的负号去掉将意味着什么？ (5)求的周期T 和频率f .解：(1) i 1 二 一5cos(314t+601 =5cos(314t+60 = —180=) =5cos(314t —120bi 2 =10sin(314t 60 ) = 10cos(314t - 30 )=0.505 所以故i 1 , i 2和i 3的相量表达式为(4)假设将i i (t)中的负号去掉,意味着i i 的初相位超前了 180二.即i i 的 参考方向反向.(5) i i (t)的周期和频率分别为2 二 2 二T =——= ------ =0.02s = 20ms314 .1■ ■1f =一 =——= ---- =50 HzT 2 二 0.02注：定义两个同频率的正弦信号的相位差等于它们的初相之差,因此在 比拟相位差时,两个正弦量必须满足(1)同频率；(2)同函数,即都是正 弦或都是余弦；(3)同符合,即都为正号或都为负号,才能进行比拟.8-7 假设两个同频正弦电压的相量分别为U i =50/30 V ,5 =T00/-150 V ,其频率 f=100Hz .求：5I i ： 一 120 A,1210 4:——30 A,13 ：——60 A2 2(3) i i (t)的波形图见题解图(b)所示.13 =1 - 3 - -120 -60 - -180其相量图如题解图(a)所示.(1)写出u i,出的时域形式；(2) 3与弘的相位差.(1)u1(t) = 50.. 2 cos(2 ft 30 ) = 50 .. 2 cos(628t 30 )Vu2(t) =-100.2cos(2二ft-150 ) =100..2cos(628t-150 =180 )V 二100,2cos(628t 30 )V(2)由于U1=50. 30 V ,U2=-100/-150 V =100. 30 V故相位差为中=30<30' = 0：即u1与u2同相位.8-8 ：3(t) =22072cos(314t—120 1Vu2(t) =220,2 cos(314t 30 )V(1)画出它们的波形图,求出它们的有效值、频率f和周期T;(2)写出它们的相量和画出其相量图,求出它们的相位差；(3)如果把电压电的参考方向反向,重新答复(1), (2).解：(1)波形如题解8—8图(a)所示.有效值为u1 =u2 = 220V u2314f1 = f2 =——= ---------------------- =50Hz频率2二2二1 1T1 = T2 0.02 s周期 f 50(2) 5和弘的相量形式为U1 =220 -120 V U2=220 30 V故相位差为 =i - ：2 =-120 -30 <-150 相量图见题解图(b)所示.(3)U2的参考方向反向,u2 (t)变为一u2 (t),有效值、频率和周期均 不变,—U 2(t )的相量为 U'2 =220/30—180口=200/—150V故U1和U2的相位差为*=91-中2=-120 -(-150)=30 波形图和向量图见题解图(a)和(b).8 — 9一段电路的电压、电流为：3,u =10sin(10 t - 20 )V i =2cos(103t -50 )A(1)画出它们的波形图和向量图；(2)求出它们的相量差.33解：(1) u =10s lM10 t—20 )=10cos10 t —110 )V ,故 u 和 i 的相量分别为U a =22072cos 侬t +10)V , U b =22045cosgt -110 =)V , U c = 220 2 cos( t 130 )V求：(1) 3个电压的和；(2) U ab ,U bc ； (3)画出它们的相量图--------- ------------- 0 .2 I =-50 A210U =-110 V60 o8-10图示三个电压源的电压分别为:u(a) +1 -------处+e ; c ~ +题解8—10图解：“,u b, U c的相量为U a = 220 10 VU b=220. -110VU c =220. 130 V(1)应用相量法有U a U b U c=220 10 220/ -110 220 130a c=0即三个电压的和u a⑴u b(t) u c⑴=0⑵ U ab =U a -U b =220/10 220/-110 ：= 220 3 40 VU bc =U b -U c =220 -110 -220 130= 220.3 -80 V(3)相量图如题解8—10图所示u c(a)中电压表读数为V 1：30V ； V 2:60V ；图(b)中的V 1 :15V ； 100V .(电压表的读数为正弦电压的有效值.)求图中电压U s .题8—11图解法一：(a)图：设回路中电流「=1/0：根据元件的电压、电流相量关系,可得题8-11图U R = RI = RI 0 =3.0 V U L = jX L l = X L I 90 =6.90 V那么总电压 U S =U R -U L =30 • j60V所以U s 的有效值为US =痴2 +602 = 67.08V(b)图：设回路中电流相量I =1/0二A,由于U R = RI = RI 0 =15 0 VU L —X L I =X L I 90 =80 90 V8-11 图 V 2 :80V . V 3 :题解8—10图元件相量关系后效值关系相位关系相量图电阻R UR = RI R U R =RI R仇=%U C=-jX C I =X C I -90 =100 -90 V所以总电压U S =U R U L U C =15 j80 -100j =15-j 20V故U s的有效值为U S=J132+202=25V解法二：利用相量图求解.设电流「=1/0 '为参考相量,电阻电压U R与「同相位,电感电压U L超前I'90 :电容电压U c要滞后「90［总电压U s与各元件电压向量构成一直角三角形.题解8-11图〔a〕和〔b〕为对应原图〔a〕和〔b〕的相量图.由题解图〔a〕可得U S = . U R U L = 302 602 = 67.08V由题解图〔b〕可得U S = ,U R 〔U C-U L〕2 = 152〔100 -80〕2 = 258V题解8—11图注：这一题的求解说明,R, L, C元件上电压与电流之间的相量关系、有效值和相位关系〔如下表所示〕是我们分析正弦稳态电路的根底,必须很好地理解和掌握.电感LU L = jX L I LU L = jX L 「 仇=仇+90二电容CU C = - jX C I C U C = X C I C仇=d -90二1 -----------------------------8—12图示正弦电流电路中,电流表的读数分别为 A ：5A ； A 2：2°A；A 3 :25A o 求：〔1〕图中电流表A 的读数；〔2〕如果维持A 的读数不变,而把电 源的频率提升一倍,再求电流表 A 的读数.解法一:〔1〕 R, L, C 并联,设元件的电压为U R 二二U L 二U C 二U 二U 0根据元件电压、电流的相量关系,可得U U I R5/0 AR RU UI L =——=——-90 A - - j20A jXL X L应用KLC 的相量形式,总电流相量为I = I R I L I C =5-j20 j25 = 5 j5 =5' 2 45 A故总电流表的读数.・' =I =5、.2 =7.07A(2)设U R ==U L =U C =U -U — 0U U,,…—『一 ,、一 , I R =- =— =5,0 A. 当电流的频率提图一倍后,由于 R R不变,所以UR -U不I CU- jX C90 = 25 90 = j 25A题8—12图U UIc == = 2 25. 90 =50. 90 A一jX C _j ； 2 cI =I R I L 1c =5-j10 j50 =5 j40即,电流表的读数解法二： 利用相量图求解.设U =U /00=U R =U L =Uc 为参考向量,根据元件电压、电流的相位关系知,I R 和U 同相位,1c 超前90： I L 滞后U 901 ■ ■ ■ 相量图如题解8—12图所示,总电流「与I R, I c 和I L 组成一个直角三角形.故 电流表的读数为... =\IR(I c -I L )2A即 (1)@ =,52 +(25 -20)2 =7.07A⑵ @ =,52 +(25 -10)2 =40.31A注：从8—11题的解法二,可以体会到应用向量图分析电路的要点,那就是 首先要选好一个参考相量,这个参考相量的选择,必须能方便地将电路中其它电变,而X L =2^L 增大一倍,26C 减小一倍,因此,有U 1 ——=—20.jX L j2 L 2所以A - -52 402 -40.31A题解8—12图压、电流相量,根据电路的具体结构及参数特点逐一画出,把所给的条件转化成 相量图中的几何关系.最后根据相量图中的相量关系,使问题得到解决.一般对 串联电路,选电流作参考方向较方便,如 8-11题.对并联电路,那么选电压作参 考相量较方便,如8-12题.有些问题通过相量图分析将很直观和简便.8-13 对RL 串联电路作如下两次测量：(1)端口加90V 直流电压=0)时, 输入电流为3A; (2)端口加f =50H z 的正弦电压90V 时,输入电流为1.8A .求R 和L 的值.题解8—13图解：由题意画电路如题解8—13图所示.(1)当u s 为90V 直流电压时,电感L 看作短路,那么电阻RU-(2)当u s 为90V 交流电压时,设电流「=1/0口=1.8/0二A,根据相量法,U S = RI jX L I =30 1.8 jX L 1.8 U S =90 = 1.8 , 302 X i 2X L= (90)2 -302 =40 】1.8, X L X L 40L = ----- = ------- = -------- 解得 • 2开 100二8-14某一元件的电压、电流(关联方向)分别为下述 4种情况时,它可能是U0.127H 庆什么元件?'u =10cos(10t 十 45 1V (D i =2sin(10t +135)AU = 10. 45 V2即电压、电流同相位,根据元件电压、电流相位关系可知这是一个 5建的电阻元件.(1)把电压变为余弦形式有u=cos(100t - j 90 )V102 U 45 I =0 A(2) u 和i 的相量为J 2V 2U5一二5 45 (1 j); R jX L 那么I.. 255R : ---- ：. iX L ：--- :. i即这是一个 「2 的电阻和v 2 的电感的串联组合.3,、.,8—15电路由电压源u s n 00 cos(10 t)V 及R 和L= 0.025H 串联组成.电感端电 压的有效值为25V .求R 值和电流的表达式.解：由题意画电路的相量模型如题解 8—15图(a)所示,相量图如题解图 (b)所示.由于100U.2 0X L = L=103 0.025= 25」u =10sin(100t)V(2) i =2cos(100t)AU = -10costV (3) 、i=-sintA；u = 10cos(314t+451V (4)、 i =2cos(314t)A解：(1)把电流变为余弦形式有= 2cos(10t +135、901=2cos(10t + 45°)A,u和i 的相量为题解8—15图由图〔b〕知电阻电压的有效值为U R 66.144R = —R = -------- =66.144' 1所以电阻为I 1「滞后U S的角度(由于是感性电路)为.U L . 25Z= arcsin——=arcsin -------- -- - 20.70U S100 2因此电流的瞬时表达式为i(t) = 2cos(103t -20.70 )A100■ _________I U S— = ------------------------ 2—— =1 -20.70 A也可根据R jX L 66.144 j25得i(t) = 2cos(103t -20.70 )A8-16图示电路I1 =I2 =10A.求I和U S.■ ■ ■ ■ ■解：设U S为参考相量.I1与U S同相位,I2超前U S901相量图如题解8-题解8—16图题解8—16图I = J l2-12 = J102・ 102 =10、,2 A12Z= arctan = arctanl = 4511由电路图知U S = RI1 =10 10 = 100V故U s和「分别为U S -100. 0 VI = I. :Z =10,2 45 A8-17图示电路中1s=2/0 A.求电压u o■■' u u1s = I R ' I L =二 '解：R jX Lu - I S -2 0= 2 45V1 .2 —451即j题8—17图。