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（完整版）第⼋章相量图和相量法求解电路第⼋章相量图和相量法求解电路⼀、教学基本要求1、掌握阻抗的串、并联及相量图的画法。
2、了解正弦电流电路的瞬时功率、有功功率、⽆功功率、功率因数、复功率的概念及表达形式。
3、熟练掌握正弦电流电路的稳态分析法。
4、了解正弦电流电路的串、并联谐振的概念，参数选定及应⽤情况。
5、掌握最⼤功率传输的概念，及在不同情况下的最⼤传输条件。
⼆、教学重点与难点1. 教学重点： (1).正弦量和相量之间的关系；(2). 正弦量的相量差和有效值的概念(3). R、L、C各元件的电压、电流关系的相量形式(4). 电路定律的相量形式及元件的电压电流关系的相量形式。
2．教学难点：1. 正弦量与相量之间的联系和区别；2. 元件电压相量和电流相量的关系。
三、本章与其它章节的联系：本章是学习第 9-12 章的基础，必须熟练掌握相量法的解析运算。
§8.1 复数相量法是建⽴在⽤复数来表⽰正弦量的基础上的，因此，必须掌握复数的四种表⽰形式及运算规则。
1. 复数的四种表⽰形式代数形式A = a +j b复数的实部和虚部分别表⽰为： Re[A]=a Im[A]=b 。
图 8.1 为复数在复平⾯的表⽰。
图 8.1根据图 8.1 得复数的三⾓形式：两种表⽰法的关系：或根据欧拉公式可将复数的三⾓形式转换为指数表⽰形式：指数形式有时改写为极坐标形式：注意：要熟练掌握复数的四种表⽰形式及相互转换关系，这对复数的运算⾮常重要。
2. 复数的运算(1) 加减运算——采⽤代数形式⽐较⽅便。
若则即复数的加、减运算满⾜实部和实部相加减，虚部和虚部相加减。
复数的加、减运算也可以在复平⾯上按平⾏四边形法⽤向量的相加和相减求得，如图8.2所⽰。
图 8.2(2) 乘除运算——采⽤指数形式或极坐标形式⽐较⽅便。
若则即复数的乘法运算满⾜模相乘，辐⾓相加。
除法运算满⾜模相除，辐⾓相减，如图8.3⽰。
图 8.3 图 8.4(3) 旋转因⼦：由复数的乘除运算得任意复数A 乘或除复数，相当于A 逆时针或顺时针旋转⼀个⾓度θ，⽽模不变，如图 8.4 所⽰。
电路(第五版).-邱关源原著-电路教案--第8章相量法第8章 相量法● 本章重点1、正弦量的两种表示形式；2、相量的概念；3、KVL 、KCL 及元件VCR 的相量形式。
● 本章难点1、 正确理解正弦量的两种表示形式的对应关系；2、 三种元件伏安关系的相量形式的正确理解。
● 教学方法本章是相量法的基础，对复数和正弦量两部分内容主要以自学为主，本章主要讲授相量法的概念、电路定律的相量形式以及元件V AR 的相量形式。
讲述中对重点内容不仅要讲把基本概念讲解透彻，而且要讲明正弦量的相量与正弦时间函数之间的对应关系；元件V AR 的相量形式与时域形式之间的对应关系，使学生加深对内容的理解并牢固掌握。
本章对元件的功率和能量这部分内容作了简单讲解，以便为下一章的学习打下基础。
本章共用4课时。
● 授课内容8.1复数1. 复数的三种表示bj a A += 直角坐标=θ∠r 极坐标 =θj re 指数形式θθθsin cos 22r b r a ab arctgb a r ==⇒=+=⇒直极极直θθsin cos jr r A += 三角表示形式欧拉公式：θθθsin cos j e j +=2. 复数的运算已知：11111θ∠=+=r jb a A ，22222θ∠=+=r jb a A求：212121,,A AA A A A ⋅±i()()212121b b j a a A A ±+±=±212121212121θθθθ+∠=+∠=⋅r r A A r r A A 8.2正弦量一、正弦量：随时间t 按照正弦规律变化的物理量，都称为正弦量，它们在某时刻的值称为该时刻的瞬时值，则正弦电压和电流分别用小写字母i 、u 表示。
周期量：时变电压和电流的波形周期性的重复出现。
周期T ：每一个瞬时值重复出现的最小时间间隔，单位：秒（S ）； 频率f ： 是每秒中周期量变化的周期数，单位：赫兹（Hz ）。
第八章 相量法求解电路的正弦稳态响应，在数学上是求非齐次微分方程的特解。
引用相量法使求解微分方程特解的运算变为复数的代数运运算，从儿大大简化了正弦稳态响应的数学运算。
所谓相量法，就是电压、电流用相量表示，RLC 元件用阻抗或导纳表示，画出电路的相量模型，利用KCL,KVL 和欧姆定律的相量形式列写出未知电压、电流相量的代数方程加以求解，因此，应用相量法应熟练掌握：（1）正弦信号的相量表示；（2）KCL,KVL 的相量表示；（3）RLC 元件伏安关系式的相量形式；（4）复数的运算。
这就是用相量分析电路的理论根据。
8－1 将下列复数化为极坐标形式：（1）551j F --=；（2）342j F +-=；（3）40203j F +=； （4）104j F =；（5）35-=F ；（6）20.978.26j F +=。
解：（1）a j F =--=551θ∠ 25)5()5(22=-+-=a 13555arctan-=--=θ(因1F 在第三象限) 故1F 的极坐标形式为 135251-∠=F（2） 13.1435)43arctan(3)4(34222∠=-∠+-=+-=j F （2F 在第二象限） （3） 43.6372.44)2040arctan(40204020223∠=∠+=+=j F （4） 9010104∠==j F （5） 180335∠=-=F（6） 19.7361.9)78.220.9arctan(20.978.220.978.2226∠=∠+=+=j F注：一个复数可以用代数型表示，也可以用极坐标型或指数型表示，即θθj ae a ja a F =∠=+=21,它们相互转换的关系为：2221a a a += 12arctan a a =θ和 θcos 1a a = θsin 2a a =需要指出的，在转换过程中要注意F 在复平面上所在的象限，它关系到θ的取值及实部1a 和虚部2a 的正负。
第八章相量图和相量法求解电路一、教学基本要求1、掌握阻抗的串、并联及相量图的画法。
2、了解正弦电流电路的瞬时功率、有功功率、无功功率、功率因数、复功率的概念及表达形式。
3、熟练掌握正弦电流电路的稳态分析法。
4、了解正弦电流电路的串、并联谐振的概念，参数选定及应用情况。
5、掌握最大功率传输的概念，及在不同情况下的最大传输条件。
二、教学重点与难点1. 教学重点： (1).正弦量和相量之间的关系；(2). 正弦量的相量差和有效值的概念(3). R、L、C各元件的电压、电流关系的相量形式(4). 电路定律的相量形式及元件的电压电流关系的相量形式。
2．教学难点：1. 正弦量与相量之间的联系和区别；2. 元件电压相量和电流相量的关系。
三、本章与其它章节的联系：本章是学习第 9-12 章的基础，必须熟练掌握相量法的解析运算。
§8.1 复数相量法是建立在用复数来表示正弦量的基础上的，因此，必须掌握复数的四种表示形式及运算规则。
1. 复数的四种表示形式代数形式A = a +j b复数的实部和虚部分别表示为： Re[A]=a Im[A]=b 。
图 8.1 为复数在复平面的表示。
图 8.1根据图 8.1 得复数的三角形式：两种表示法的关系：或根据欧拉公式可将复数的三角形式转换为指数表示形式：指数形式有时改写为极坐标形式：注意：要熟练掌握复数的四种表示形式及相互转换关系，这对复数的运算非常重要。
2. 复数的运算(1) 加减运算——采用代数形式比较方便。
若则即复数的加、减运算满足实部和实部相加减，虚部和虚部相加减。
复数的加、减运算也可以在复平面上按平行四边形法用向量的相加和相减求得，如图8.2所示。
图 8.2(2) 乘除运算——采用指数形式或极坐标形式比较方便。
若则即复数的乘法运算满足模相乘，辐角相加。
除法运算满足模相除，辐角相减，如图8.3示。
图 8.3 图 8.4(3) 旋转因子：由复数的乘除运算得任意复数 A 乘或除复数，相当于A 逆时针或顺时针旋转一个角度θ，而模不变，如图8.4 所示。
故把称为旋转因子。
当当故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
3. 复数运算定理定理1式中K 为实常数。
定理2定理3 若则-! 例8-1计算复数解：本题说明进行复数的加减运算时应先把极坐标形式转为代数形式。
例8-2计算复数解：本题说明进行复数的乘除运算时应先把代数形式转为极坐标形式。
§8.2 正弦量1.正弦量电路中按正弦规律变化的电压或电流统称为正弦量，以电流为例，其瞬时值表达式为（本书采用 cosine 函数）：波形如图 8.5 所示。
图 8.5注意：激励和响应均为正弦量的电路称为正弦电路或交流电路。
研究正弦电路的意义：（1）正弦电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。
由于： 1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数；2）正弦信号容易产生、传送和使用。
（2）正弦信号是一种基本信号，任何复杂的周期信号可以分解为按正弦规律变化的分量。
因此对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。
2. 正弦量的三要素（1）I m—幅值(振幅、最大值)：反映正弦量变化过程中所能达到的最大幅度。
（2）ω—角频率：为相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。
它与周期和频率的关系为：rad/s （3）y —初相角：反映正弦量的计时起点，常用角度表示。
需要注意的是：1）计时起点不同，初相位不同，图 8.6给出了同一个正弦量在不同计时起点下初相位的取值。
2）一般规定初相位取主值范围，即 |y|≤π 。
3）如果余弦波的正最大值发生在计时起点之后，如图8.7所示，则初相位为负，如果余弦波的正最大值发生在计时起点之前，则初相位为正。
4）对任一正弦量，初相可以任意指定，但同一电路中许多相关的正弦量只能对于同一计时起点来确定各自的相位。
图 8.6 图 8.73. 相位差相位差是用来描述电路中两个同频正弦量之间相位关系的量。
设则相位差为：上式表明同频正弦量之间的相位差等于初相之差，通常相位差取主值范围，即：|φ|≤π如果上式中φ＞0 ，称 u 超前i，或i 滞u ，表明u 比i 先达到最大值；如图 8.8（a）所示。
如φ＜0 ，称i 超前u ，或u 滞后i , 表明i 比u 先达到最大值。
如φ= ±p ，称i 与u 反相，如图 8.8（b）所示；如φ=0 ，称i 与u 同相，如图 8.8（c）所示。
图 8.8 （a）（b）（c）需要注意的是：两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。
4. 正弦电流、电压的有效值周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效应，工程上采用有效值来表示。
周期电流、电压有效值的物理意义如图 8.9 所示，通过比较直流电流I 和交流电流i 在相同时间T 内流经同一电阻R 产生的热效应，即令：从中获得周期电流和与之相等的直流电流I 之间的关系：这个直流量I 称为周期量的有效值。
有效值也称方均根值。
图 8.9同样，可定义电压有效值：设正弦电流相应的有效值为：因为所以即正弦电流的有效值与最大值满足关系：同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：若一交流电压有效值为U = 220V ，则其最大值为U m≈311V ；需要注意的是：（1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。
但绝缘水平、耐压值指的是最大值。
因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。
（2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。
（3）区分电压、电流的瞬时值i、u ，最大值I M m、U m和有效值I、U 的符号。
例8-3已知正弦电流波形如图所示，ω＝ 103rad/s ，（1）写出正弦i(t) 表达式；（2）求正弦电流最大值发生的时间 t1例 8 — 3 图解：根据图示可知电流的最大值为 100A ， t=0 时电流为 50A ，因此有：解得由于最大值发生在计时起点右侧故取所以当时电流取得最大值，即：例8-4计算下列两正弦量的相位差。
解：（1）转为主值范围：说明i1滞后i2。
（2）先把i2变为余弦函数：则说明i1超前i2。
（3）因为两个正弦量的角频率，故不能比较相位差。
（4）则说明i1超前i2本题说明两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。
§8.3 相量法的基础正弦稳态线性电路中，和各支路的电压和电流响应与激励源是同频率的正弦量，因此应用基尔霍夫定理分析正弦电路将遇到正弦量的相减运算和积分、微分运算，在时域进行这些运算十分繁复，通过借用复数表示正弦信号可以使正弦电路分析得到简化。
1. 正弦量的相量表示构造一个复函数对A(t) 取实部得正弦电流：上式表明对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数，即：A(t) 还可以写成称复常数为正弦量i(t)对应的相量，它包含了i(t)的两个要素I ,Y 。
任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的相量，即：注意：相量的模为正弦量的有效值，相量的幅角为正弦量的初相位。
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：例如若已知正弦电流和电压分别为：则对应的相量分别为：若正弦电流的相量频率则对应的正弦电流为：2. 相量图在复平面上用向量表示相量的图称为相量图。
如已知相量则对应的相量图如图 8.10 所示。
辐角为零的相量称为参考相量。
图 8.103.相量法的应用(1) 同频率正弦量的加减设则从上式得其相量关系为：图 8.11故同频正弦量相加减运算可以转变为对应相量的相加减运算，运算过程如图8.11 所示。
（2）正弦量的微分、积分运算设则即对应的相量为而即对应的相量为以上式子说明正弦量的微分是一个同频正弦量，其相量等于原正弦量i 的相量乘以，正弦量的积分也是一个同频正弦量，其相量等于原正弦量i 的相量除以。
例如图 8.12 所示 RLC 串联电路，由 KVL 得电路方程为根据正弦量与相量的关系得以上微积分方程对应的相量方程为：图 8.12因此引入相量的优点是：（1）把时域问题变为复数问题；（2）把微积分方程的运算变为复数方程运算；需要注意的是：1）相量法实质上是一种变换，通过把正弦量转化为相量，而把时域里正弦稳态分析问题转为频域里复数代数方程问题的分析；2）相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。
3）相量法用来分析正弦稳态电路。
例8-5计算两正弦电压之和，已知：解：两正弦电压对应的相量为 :相量之和为：。
