Black-Scholes公式的推导 - 鞅方法(风险中性定价方法)

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北京大学Black-Scholes-Merton模型

19

例13-7 公司发行100万股票，股价$40，公司考虑发行20万份权证，5年后到期，敲定价格$60，费用？（假设利率 3%，波动率30%）由BS公式，普通期权价格$7.04，故权证价格为$5.87
20

对数正态：
E(ST ) S0 eT var(ST ) S0 e
2 2 T
(e
2T
1)
5
期望收益率与收益率的期望

股票0到T的收益率（连续复利形式）：收益率的分布：收益率期望：
T E ( S ) S e 期望收益率： T 0
6
波动率

波动率：一年内收益率的标准差度量股票收益的不确定性考虑若非常小，期间的标准差约为
17
隐含波动率

实际应用中，利用BS定价公式通常采用隐含波动率隐含波动率指隐含在期权市场价格中的波动率，即使得BS定价与市场价格相等的波动率隐含波动率体现市场对股票波动率的看法与根据历史数据估计波动率的差别： forward looking vs backward looking

14
Black-Scholes公式

欧式期权定价公式
c S 0 N (d1 ) K e rT N (d 2 ) p K e rT N (d 2 ) S 0 N (d1 ) 其中 d1 d2 ln(S 0 / K ) (r 2 / 2)T
T
ln(S 0 / K ) (r 2 / 2)T

Delta 对冲：∆ 只标的股票+期权空头连续时间：投资组合瞬时无风险组合，连续调整
无风险组合
10

Black-Scholes公式的推导 - 鞅方法(风险中性定价方法)

~ 故 Vt = E ( e − r (T −t ) ( ST − K ) + |Ft) ˆ (( S − K ) + |Ft)， = e − r ( T −t ) E T
= dSt µ St dt + σ St dWt ， 0 ≤ t ≤ T , 设在客观测度P下， St 的动态为：
ˆ 公式可得: d ( 由 Ito
⋅
1 − 2 z2 e dz 2π 1 dz ， 2π
1
1
= e − rT ∫ S 0 e
− d1
∞
1 rT − ( z −σ T ) 2 2
⋅
令 u = z − σ T , d 2 = d1 + σ T =
σ T
(ln
S0 1 + ( r + σ 2 )T ) ， K 2
J1 = e
− rT
∫
∞
−d 2
−∞
− K )+ ⋅
1 − 2 z2 e dz 2π 1 − 2 z2 − K)⋅ e dz 2π
11=e− T∫σ∞ 1π
(ln
1 K −( r − σ 2 )T ) 2 S0
( S0e
1 ( r − σ 2 ) T +σ T z 2
= J1 − J 2
令 d1 = −
1
σ T
∞
(ln
K S 1 1 1 − ( r − σ 2 )T ) = (ln 0 + ( r − σ 2 )T ) ， S0 K 2 2 σ T
故
∂g = −re − rt C (t , S ) + e − rt Ct (t , S ) ； ∂t ∂g = e − rt CS (t , S ) ； ∂S

期权定价公式的推导

实际利率i
—
实际贴现率
—
1-v
贴现因子v
1-d
—
利息力δ
ln(1+i)
-ln(1-d)
-lnv
—
19
欧式股票买入期权的定价公式
C(S,T ) SN (d1) XerT N (d2 )
其中T是到期时间，S是当前股价，C（S，T）欧式买入期权的价格。
1 S 2
d1
16
利息力（force of interest）
利息力是在确切时点上的利息强度，可以用累积函数的相对变化率定义如下：
式中为在时点t的利息力。
17
在复利条件下的利息力
可见在复利条件下，利息力是常数，与时间t 无关。
将这个式子变形，可以得到复利的实际利率
18
实际利率i 实际贴现率d 贴现因子v 常数利息力δ
St 就是折现价格。
这说明 St 仍然遵循几何布朗运动，且只有当 r 0 时才是鞅。 μ——股票价格的平均（瞬时）收益率; r——无风险（瞬时）收益率。根据资产定价基本原理，只要市场上没有套利机会，那么就一定存在一种等价的概率测度，使得所有证券及其组合的折现价格都成为鞅。这时所有证券价格的平均收益率都与无风险收益率一致。
Wn pn p0 1 2 n , n 0,1,2,
称为随机游走。这个名称最初是对ε 以相同概率取的随机变量而言的。在这种情况下，这个随机序列可形象地解释为一个醉汉在路上横行。在每一时刻，他既可以往左走一步，也可能往右走一步。它也就是所谓的“随机游走”。尽管醉汉总围绕原点徘徊，但时间越长，他就可能离原点越远。
2
3

Black—Scholes微分方程

8
第四节
Black—Scholes 微分方程
ห้องสมุดไป่ตู้
2011-6-16
1
一、 Black—Scholes微分方程微分方程
B-S微分方程所需的假设条件：微分方程所需的假设条件
1、证券价格遵循几何布朗运动，且期望收益率μ和、证券价格遵循几何布朗运动，且期望收益率μ 波动率σ为常数波动率为常数 2、允许卖空标的资产、 3、没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的、没有交易费用和税收， 4、在衍生证券的有效期内没有红利支付、 5、不存在无风险套利机会、 6、证券交易是连续的，价格变动是连续的、证券交易是连续的， 7、在衍生证券的有效期内，无风险利率为常数。为常数。、在衍生证券的有效期内，无风险利率r为常数
f = max(S − X,0) 当t = T时
欧式看跌期权边界条件为
f = max(X − S,0) 当t = T时
2011-6-16
5
二、Black—Scholes定价公式定价公式
在风险中性世界里，在风险中性世界里，欧式看涨期权到期的期望价值为
ˆ E max(S T − X,0)
ˆ 表示风险中性世界中的期望值，根据风险中性估值原理，其中 E 表示风险中性世界中的期望值，根据风险中性估值原理，
欧式看跌期权边界条件为对于欧式看涨期权边界条件为2013312在风险中性世界里欧式看涨期权到期的期望价值为欧式看涨期权价格c对10式进行计算即求积过程得可参看金融数学josephstampflip86在风险中性条件下可以用r其中表示风险中性世界中的期望值根据风险中性估值原理2013312利用平价公式可得无收益资产的欧式看跌期权的定价公式对于无收益的美式看涨期权有对于美式看跌期权还没有得到一个精确的解析式

Black-Scholes期权定价模型

Black-Scholes期权定价模型Black-Scholes期权定价模型是一种能用来计算股票期权价格的数学模型。

它是由费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯于20世纪70年代初提出的，因此得名。

该模型的基本假设是市场条件持续稳定，且不存在利率和股票价格变动的趋势。

此外，它还假设股票价格服从几何布朗运动，即价格的波动是随机的。

根据这些假设，Black-Scholes模型将股票价格与利率、期权行权价、到期时间以及波动率等因素联系起来，以计算期权的合理价格。

Black-Scholes模型的公式为：C = S_0 * N(d1) - X * e^(-r * T) * N(d2)其中，C为期权的价格，S_0为股票的当前价格，N(d1)和N(d2)分别为标准正态分布函数的值，X为期权的行权价，r为无风险利率，T为期权的到期时间。

d1和d2是通过一系列数学计算得出的。

利用Black-Scholes模型，投资者可以根据个人的风险偏好和市场条件来评估一个期权的合理价格。

它对市场参与者来说是一种有用的工具，因为它能够帮助他们理解和衡量期权的价值。

然而，Black-Scholes模型也存在一些局限性。

首先，它假设市场条件持续稳定，而实际上市场是非常复杂和动态的。

其次，它假设股票价格服从几何布朗运动，这在现实中并不总是成立。

另外，模型中的波动率是一个固定的参数，而实际上波动率是随着时间和市场条件的变化而变化的。

因此，在使用Black-Scholes模型时，投资者需要慎重考虑其局限性，并结合其他因素和分析来作出投资决策。

此外，人们也一直在尝试改进这个模型，以更好地适应实际市场的复杂性和动态性。

Black-Scholes期权定价模型是金融领域中最著名的定价模型之一。

它提供了一个基于几何布朗运动的股票价格模型，可以计算欧式期权的合理价格。

该模型的公式给出了欧式期权的理论价格，而不考虑市场上的任何其他因素。

Black-Scholes模型的創始人费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯在1973年发布了这一模型，并以此获得了1997年诺贝尔经济学奖。

Black—Scholes公式推导方法及其发展推广

ＦＢｌａｃｋ和ＭＳＳｃｈｏｌｅｓ从市场有效的假定出发，假设股票的价格运动过程服从马尔科夫链，只与现在
的价格有关．构造一个证券投资组合，使得在此组合中能够根据标的资产价格的变化连续调整标的资产的
文献标识码：Ａ
文章编号：１００７ — ５３４８（２０１５）０８ — ０００８ — ０５
１９７３年ＦＢｌａｃｋ和ＭＳＳｃｈｏｌｅｓ从欧式看涨期权人手，运用均衡资本资产定价理论，推导出至今广为流
孙玉东等假定波动率是股票价格的阶可导函数期望收益率为股票价格的连续函数利用金融市场复制策略得到了一般的blackscholes偏微分方程进而导出了定价公式1fankun考虑了两因素作用下马尔可夫调制随机波动率模型一个是随机波动率因素服从均值回归的平方根过程另一个是随机波动率因素被连续时间有限状态马尔可夫链所调制在风险中性测度下通过逆傅里叶变换得到了欧式期权定价公式
（１）股票价格的变化是连续的，并且服从一种带漂移的几何Ｂｒｏｗｎ运动，在数学上表现为Ｉｔｏ过程；
（２）市场无风险利率为已知常数．不随时间的变化而变化；（３）股票不支付红利或者其他收益；（４）期权是欧式期权，即只能在合约到期日才能执行期权；（５）不产生交易费用和税金；（６）标的物可无限细分，也可自由买卖；

black schole 模型鞅方法

black schole 模型鞅方法Black-Scholes模型是金融领域中常用的一种衡量期权定价的数学模型，它基于一些假设，如市场完全有效、无风险利率不变、标的资产符合对数正态分布等。

鞅方法是Black-Scholes模型的一种求解过程，用于计算期权的理论价格。

在Black-Scholes模型中，期权的价格受到多个因素的影响，包括标的资产价格、行权价格、到期时间、无风险利率和波动率。

鞅方法的核心思想是通过构建一个鞅过程，将期权价格与标的资产价格联系起来，并利用鞅过程的性质来对期权进行定价。

具体而言，鞅方法通过构建一个投资组合，其中包括期权和标的资产的多个头寸，以达到对冲的目的。

通过对投资组合进行动态调整，使得投资组合的价值在任意时刻都保持不变，即为鞅过程。

根据鞅过程的性质，可以得出期权价格的偏微分方程，并通过求解该方程得到期权的理论价格。

鞅方法的求解过程中，需要对标的资产价格的变动进行建模。

Black-Scholes模型假设标的资产价格服从对数正态分布，这使得鞅方法可以得到解析解。

通过对标的资产价格的对数变换，可以将其转化为服从正态分布的随机变量，从而简化求解过程。

在鞅方法的求解过程中，需要计算期权的delta值，即期权价格对标的资产价格的变动的敏感度。

delta值可以用来衡量投资组合的对冲效果，通过调整投资组合中的期权和标的资产的头寸，可以使得投资组合的delta值为零，从而达到对冲的目的。

除了delta值，还需要计算期权的gamma值、vega值等，用于衡量期权价格对标的资产价格、波动率等因素的敏感度。

这些敏感度指标可以帮助投资者评估期权的风险和收益，并做出相应的投资决策。

鞅方法在Black-Scholes模型中的应用不仅限于期权定价，还可以用于其他金融衍生品的定价和风险管理。

通过建立适当的鞅过程，可以对金融衍生品的价格进行动态调整，实现对冲和风险管理的目标。

Black-Scholes模型鞅方法是一种重要的金融工具，用于期权定价和风险管理。

Black_Scholes期权定价公式的两种简化推导

中国水运（理论版） China Water Transport（Theory Edition）
Vol.4 May
No.5 2006
Black-Scholes 期权定价公式的两种简化推导
邓乐斌
摘要：Black-Scholes 期权定价公式的推导过程是相当复杂的，需要用到随机过程、随机微分方程求解等较高深的
第5期
邓乐斌：Black-Scholes 期权定价公式的两种简化推导
σ2 ln E ( ST ) − ln X − (T − t ) µ − ln X 2 = XN ( ) = XN ( ) σ T −t σ T −t
165
从而不支付红利股票的欧式看涨期权的价格
c=e
− r (T −t )
cT = SN ( d1 ) − Xe − r (T −t ) N ( d 2 )
cT = E (max( ST − X , 0))
∧
)(T − t ))) 2 2 ) 2σ (T − t )
σ2
所以有
c1 = ∫
+∞ ln X
e f ( y )dy = ∫
y
+∞
ln X
e ⋅
y
1 2πσ T − t
exp(−
( y − (ln S + (r −
2
)(T − t )))2 2 )dy 2σ (T − t )
µ+
σ2
∫
+∞
ln X
2πσ T − t
= E ( ST ) N (
ln E ( ST ) − ln X + (T − t ) µ + σ 2 (T − t ) − ln X 2 ) = E ( ST ) N ( ) σ T −t σ T −t

Black–Scholes 公式的推导

由此可解得
（3）我们只假定“未来”可能有两种情况，但并未规定对这两种情况的可能性（概率）各有多大。每个投资者都可根据自己所掌握的信息对这两种可能作出自己的估计（即所谓主观概率）。但是在进一步的无套利假设下，就要导得a与b中必然有一个大于1，另一个小于1，即股市的两种情况只能是一涨一跌。否则在都上涨时，投资者可通过“当前” 买进，“未来”卖出，稳能得利。当然，我们这里同样还要假定投资者总有一定的资金可支配，并且股市允许“卖空”，即允许卖出你并不拥有的股票，只要你能在“未来”交割时，有资金到市场去把股票买回。这里的进一步的无套利假设是指：“当前” 与“未来”的货币价值一样时，不存在未来价值总高于当前价值的证券组合。
Black–Scholes 公式的推导一、基本概念
无套利假设：无套利假设类似于普通商品定价问题中的“无投入就无产出”假设。由于在金融市场中最后都会以钱来结算所以投入和产出都将是钱。所谓无套利假设就是“在一个完善的金融市场中,不存在套利机会” 。（这就是现代理论金融经济学中的一条“公理”。这条“公理”显然只在非常理想的市场条件。）
期
权：以某一固定的执行价格在一定的期限内买入某种股票的权利。行期可以是到期前的任何时候的期权。
无套利假设怎样用来给金融资产定价
二、数学模型
期权在它被执行时的价格很清楚，即:如果股票的市价高于期权规定的执行价格，那么期权的价格就是市价与执行价格之差；如果股票的市价低于期权规定的执行价格，那么期权是无用的，其价格为零。不过，如果股票在未来到期时的价格从当前来看时是不确定的时，期权到期执行时的价格也是不确定的。现在要问期权在其被执行前应该怎样定价？为此，我们来考虑一个最简单的股市数学模型。这个模型中一共只有“当前” 与“未来”两个时刻，并且“未来”时刻就是期权的执行时刻。

布莱克_斯科尔斯期权定价公式的推导及推广

t) ] ( T - t ) , d2= d1- T - t , X 是期权执行价格, N ( %) 为累积标准正态分布函数。
同理, 用欧式买卖期权的平价公式可以得到欧式卖出期权的定价公式:
P ( S , t ) = X e- r( T - t) N ( - d 2) - SN ( - d 1)
( 一) Bachelier 公式期权定价理论的开创性论文是 1900 年法国数学家 Bachelier L 的博士学位论文 #投资理论∃, 在这篇
论文中, Bachelier 假设股票价格的动态过程为布朗运动, 股票收益为正态分布, 得到不分红股票的欧式买入期权的定价公式为:
S- T
S- K
( 三) Boness 公式 Boness ( 1964) 假定股票收益率为一个固定的对数分布, 利用股票的期望收益率, 通过将到期股票价格贴现, 其欧式买入期权公式为: c ( S , T ) = SN ( d 1) - K e- TN ( d 2)
其中: d 1=
1 T
[ ln
(
S K
)
方法进行定价。
四、布莱克斯科尔斯 ( Black- Scholes) 公式的推导
( 一) 无风险投资组合方法假设基础资产的价格过程为:
dS = !Sdt+ Sdw
( 3)
定义于 S 上的欧式期权的价格为 C ( S , t ) , 应
用 ITO 引理, 得:
dC= CSdS + Ctdt +
瞬时标准差, N ( %) 为标准正态分布的分布函数,
n ( %) 为标准状态分布的概率密度函数。该公式允许
有负的证券价格和期权价格, 而且没有考虑资金的时

black-scholes几种推导方法

第3章期权定价理论3.1 期权定价理论的发展3.1.1 早期模型早在公元前1200年的古希腊和古尼基国的贸易中就已经出现了期权交易的雏形，只不过当时条件下不可能对其有深刻认识。

法国学者路易斯·巴舍利耶(Louis Bachelier)是迄今为止所知最早的用理论模型研究期权定价问题的提出者。

1900年，他在博士论文《投机理论》中，假设股票价格按无漂移和每单位时间具有2σ的绝对布朗运动变化，得到不分红股票的欧式买入期权的定价公式为：(,)c S T SN KNσ=-+ 其中：S 为股票价格,K 为执行价格，T 为期权到期的时间，(),c S T 为欧式买入期权价格,σ收益的瞬时标准差，()N 为标准正态分布的分布函数，()n 为标准状态分布的概率密度函数。

该公式允许有负的证券价格和期权价格,而且没有考虑资金的时间价值[50]。

巴舍利耶的研究成果为后人指引了方向。

但是他在建模时有3个缺陷:(1)假设股票价格服从正态分布，使得股价出现负值的概率大于0;(2)认为买权价值在离到期日足够远的时候价值可能大于标的股票的价值;(3)假设股票的期望收益为零。

这都是与实际情况不符合的。

在巴舍利耶以后，期权定价理论的进展主要是在应用计量经济模型方面。

其中经典的成果是卡苏夫(Kassouf)的工作，他利用下面式子估计看涨期权价格:()111S C X X γγ⎧⎫⎪⎪⎡⎤=+-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭，1γ≤<∞其中,S X 分别为期权执行价格和股票价格。

这一公式限定了看涨期权的最高价格是股票价格，最低价格至实值()max 0,S X -。

卡苏夫通过到期时间，股票收益和其他变量估计参数γ，从而确定期权定价模型。

卡苏夫计量模型的不足是缺乏微观基础。

20世纪60年代，期权定价理论取得新的进展。

1961年斯普林克尔(Sprenkle)假设股票价格的动态过程满足对数正态分布，而且股票价格具有固定平均值和方差，进一步通过在随机游走过程中引入正向漂移，这样就直接排除了证券是非正价的可能性。

BS模型-详细推导

伊藤过程
普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂移率和方差率当作变量 x 和时间 t 的函数，我们可以从公式（ 6.4 ）得到伊藤过程（ Ito Process）： (6.5） dx a ( x, t )dt b( x, t )dz 漂移非常数，正态规律项非常数，都是与时间和其目前位置有关，更加复杂的随机过程
标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望值为b2，就可得到变量x 的普通布朗运动： dx adt bdz b是标准差（6.4）其中，a和b均为常数，dz 遵循标准布朗运动。
普通的布朗运动随时间间隔的增加，需要加上一个漂移项，表示离开起始位置的程度（常数比率），而其运动是正态规律运动。总体是一个叠加运动
伊藤引理 Байду номын сангаас证
证券价格自然对数变化过程
令 G ln S ，由于代入式（6.10）:
dG (
G 1 2G 1 G , , 0 2 2 S S S S t
2
2
)dt dz （6.11）
这里的绝妙的对数变换是布莱克斯科尔斯微分方程的偏微分项全部消除变为简单的服从正态分布的方程。同时也说明之前的假设是要成立的：证券价格的对数服从正态分布或证券价格服从对数分布。
Chapter.2
配乐-必备知识
配乐-必备知识
泰勒展开
布朗运动（基本维基过程）股票价格运动过程伊藤过程& 伊藤引理（IT0定理）股票价格自然对数变化过程
泰勒定理：
一元函数情形：
G ( x0 x ) G ( x0 ) G ( x0 ) x

Black-Scholes期权定价模型

很显然，这是一种漂移率为μS、方差率为σ2S2旳伊藤过程。也被称为几何布朗运动
2024/9/22
9
为何证券价格能够用几何布朗运动表达？
一般认同旳“弱式效率市场假说”：
证券价格旳变动历史不包括任何对预测证券价格将来变动有用旳信息。
马尔可夫过程：只有变量旳目前值才与将来旳预测有关，变量过去旳历史和变量从过去到目前旳演变方式与将来旳预测无关。
ST
Se（T-t），＝
1 T-t
ln
ST S
,
由ln
ST
ln
S
~
[(
2 2
)(T
t),
T t ]可得
~
[(
2 2
),
]
T t
2024/9/22
16
结论
几何布朗运动很好地描绘了股票价格旳运动过程。
2024/9/22
17
参数旳了解
μ：
几何布朗运动中旳期望收益率，短时期内旳期望值。
根据资本资产定价原理， μ取决于该证券旳系统性风险、无风险利
连续复利收益率旳问题：尽管时间序列旳收益率加总能够很轻易旳实现；但是横截面旳收益率加总则不是单个资产收益率旳加权平均值，因为对数之和不是和旳对数。但是在很短时间内几乎能够以为是近似。JP摩根银行旳 RiskMetrics措施就假定组合旳收益率是单个资产连续复利收益率旳加权平均。
2024/9/22
Black-Scholes期权定价模型
2024/9/22
1
Black-Scholes期权定价模型旳基本思绪
期权是标旳资产旳衍生工具，其价格波动旳起源就是标旳资产价格旳变化，期权价格受到标旳资产价格旳影响。
标旳资产价格旳变化过程是一种随机过程。所以，期权价格变化也是一种相应旳随机过程。

5.3.8--Black-Scholes期权定价公式

金融工程概论期权的风险中性定价Black-Scholes期权定价公式Black-Scholes期权定价公式C t=e−r(T−t)E Q(max(S T−X,0))其中，r为无风险利率。

当给定了S T的分布，就可以确定上述欧式看涨期权的价格。

E Q为风险中性概率计算过程在风险中性测度下：C t=e−r(T−t)E Q(max(S T−X,0))由dS t=(rS t dt+σS t dW t)可以得到：其中，S T=S t exp r−σ2(T−t)+σW T−t2二. B-S 公式的推导则有：max(S T −X,0)=(S T −X)IA 1．引入示性函数：I A =ቊ1,S T >X0,S T ≤X计算过程在风险中性测度下：C t=e−r(T−t)E Q max S T−X,0=e−r(T−t)E Q S T−X I A=e−r(T−t)×E Q S T I A−e−r(T−t)×E Q XI A =e−r(T−t)×E Q S T I A−e−r(T−t)×X×E Q I A命题1:如果记d 2=1σT −t ln S t X +r −σ22(T −t)则我们有：I A =ቊ1,Z >−d 20,Z ≤−d 2其中，Z 为标准正态分布。

命题1:等价于：S t exp r −σ22T −t +σZ T −t >XZ >1σT −t ln X S t −r −σ22T −t =−d 2命题2：E Q I A=N(d2)命题3：e−r T−t E Q S T I A=S t N(d1)其中d1=d2+σT−tN为标准正态分布的累积分布函数。

由此得到：Black-Scholes期权定价公式c t=S t N d1−Xe−r T−t N d2p t=Xe−r T−t N−d2−S t N−d1d1=1σT−tlnS tX+r+σ22T−t d2=d1−σT−t其中，应用例子某公司股价的有关数据如下:•S=74.625•K=100•T−t=1.646年•r=0.05•σ＝0.375•d1=−0.207，d2=−0.688，•N d1=0.39358，N(d2)= 0.2451•C=$8.37。

第六章 black-schols期权定价模型

的值
相互独立。
考察变量z在一段较长时间T中的变化情形，我们可得:
（6.2）
N
z(T ) z(0) i t i 1
T i
(6.2)式t均值0为0，方差为
（是相互独立的）
当
时d，z我们就可dt以得到极限的标准布朗运动:
（6.3）
2.普通布朗运动
我们先引入两个概念: 漂移率和方差率。
标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。
( f t
1 2
2 f S 2
2S 2 )t
r( f
f S
S )t
布莱克——舒尔斯微分分程
化简为:
f rS f t S
1 2S2
2
2 f S 2
rf
(6.18)
这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分程，它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。
（二）风险中性定价原理
假设所有投资者都是风险中性的, 那么所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。
我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望值为b2，就可得到变量x 的普通布朗运动:
dx adt bdz
其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。
（6.4）
(三)伊藤过程普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若
把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的
函数，dx我们a可(以x,从t )公dt式(b6(.x4), 得t )d到z伊藤过程
S f
t
1 2
2 f S 2
2S
2
)dt
f S
Sdz
(6.10)
根据伊藤引理，衍生证券的价格 f 应遵循如
伊藤引理证明:

B-S期权定价公式

Black-Scholes 期权定价模型一、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下：1. 风险资产（Black-Scholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S 。

S 遵循几何布朗运动，即dz dt SdS σμ+=。

其中，dz 为均值为零，方差为dt 的无穷小的随机变化值（dt dz ε=，称为标准布朗运动，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的一个随机值），μ为股票价格在单位时间内的期望收益率，σ则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。

μ和σ都是已知的。

简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化μ，被称为漂移项，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即dz σ，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。

2．没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。

3. 资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。

4. 该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。

5. 在期权有效期内，无风险利率r 保持不变，投资者可以此利率无限制地进行借贷。

6．在衍生品有效期间，股票不支付股利。

7．所有无风险套利机会均被消除。

二、Black-Scholes 期权定价模型（一）B-S 期权定价公式在上述假设条件的基础上，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的Black-Schole 微分方程：rf S f S S f rS t f =∂∂+∂∂+∂∂222221σ 其中f 为期权价格，其他参数符号的意义同前。

通过这个微分方程，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的定价公式：)()(2)(1d N Xe d SN c t T r ---=其中，t T d tT t T r X S d t T t T r X S d --=---+=--++=σσσσσ12221))(2/()/ln())(2/()/ln(c 为无收益资产欧式看涨期权价格；N （x ）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x 的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有)(1)(x N x N -=-。

期权定价Black—scholes公式的一个新推导

价格满足的偏微分方程而得到期权价格的解析公式
１引言
１７９３年，ｌｃＢａｋ和Ｓｈｌｃｏｅｓ在 “ 权与公司负债期
的口，］该方法对于没有学过偏微分方程的人来说难以理解和掌握．随后ＣｘａｄＲｓ（９６提出风险ｏｎｏｓ１７）
质及其矩母函数的熟练运用，以快速容易地导出Ｂａｋｓｈｌ可ｌｃｏｅｃｓ公式．且在此推导过程中，式中的概并公
率值（）（２的含义得以明确体现．，ｄ）关键词Ｂｌｃ —ｃｏｅａｋｓｈｌｓ公式；险中性定价；风矩母函数
ＡｂｔａｔＴｈｓａｔｌｒｓｎｅｅｄｒｖｔｎｆｒＢａｋｓｈｌｓｏｔｎｐｉｉｇｆｒｌ．Ｉｈｒｍｅｒｆｒｓｓｒｃｉｒｉｅｐｅｅｔｄａｎｗｅｉａｉｏｌｃ —ｃｏｅｐｉｒｎｏｍｕａｎｔｅｆａｗｏｋｏｉｋｃｏｏｃ
（．ｃｏｌｆＦｉａｃ１Ｓｈｏｎｎｅ，ＹｎａｉｅｓｔｆＦｉａｃｎｃｎｍｉｓｏｕｎｎＵｎｖｒｉｙｏｎｎｅａｄＥｏｏｃ，Ｋｕｍｉｇ，ｎｎ６０２ｎｎＹｕａ５２１，Ｃｉａ；ｈｎ２ＳｈｏｆＳａｉｔｃｎｔｅｔｃ，ＹｎａｉｅｓｔｆＦｉａｃｎｏｏｃ，Ｋｕｍｉｇ，ｎｎ６０２，Ｃｉａ．ｃｏｌｔｔｓｉｓａｄＭａｈｍａｉｓｕｎｎＵｎｖｒｉｙｏｎｎｅａｄＥｃｎｍｉｓｏｎｎＹｕａ５２１ｈｎ）

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−∞
− K )+ ⋅
1 − 2 z2 e dz 2π 1 − 2 z2 − K)⋅ e dz 2π
1
1
=e
− rT
∫σ
∞ 1
π
(ln
1 K −( r − σ 2 )T ) 2 S0
( S0e
1 ( r − σ 2 ) T +σ T z 2
= J1 − J 2
令 d1 = −
1
σ T
∞
(ln
K S 1 1 1 − ( r − σ 2 )T ) = (ln 0 + ( r − σ 2 )T ) ， S0 K 2 2 σ T
S0 e
1 − u2 2
1 rT − u 2 2
⋅
1 du ， 2π
= S0 ∫
d2
−∞
e
⋅
1 du = S 0 N ( d 2 ) ， 2π
所以， V0 = S 0 N ( d 2 ) - e − rT KN ( d 1 ) 。
ˆ 引理是随机分析中的链法则。注 1： Ito ˆ 过程是有如下形式的过程： Ito
S0e
1 ( r − σ 2 ) T +σ T Z 2
1 K > K ⇒ ( r − σ 2 )T + σ T Z > ln 2 S0
⇒Z >
1
σ T
(ln
∞
K 1 − ( r − σ 2 )T ) ， S0 2
1 ( r − σ 2 ) T +σ T z 2
⇒ V0 = e − rT ∫ ( S 0 e
X (t= ) S (0 + ) ∫ ∆(u )dWu + ∫ Θ(u )du .
0 0
t
t
或者可以写成微分形式： dX (t ) = Θ(t )dt + ∆(t )dWt .
ˆ 过程， f (t , x) 为实值函数且偏导数 f t (t , x) ， f x (t , x) 及 f xx (t , x) 均令 X t 为 Ito
~ 故 Vt = E ( e − r (T −t ) ( ST − K ) + |Ft) ˆ (( S − K ) + |Ft)， = e − r ( T −t ) E T
= dSt µ St dt + σ St dWt ， 0 ≤ t ≤ T , 设在客观测度P下， St 的动态为：
ˆ 公式可得: d ( 由 Ito
1 1
J 2 = e − rT ∫ K ⋅
− d1
d1 1 − 2 z2 1 − 2 z2 e dz = e − rT ∫ K ⋅ e dz = e − rT KN ( d 1 ) ， −∞ 2π 2π
J 1 = e − rT ∫ S 0 e
− d1
∞
1 ( r − σ 2 ) T +σ T z 2
故
∂g = −re − rt C (t , S ) + e − rt Ct (t , S ) ； ∂t ∂g = e − rt CS (t , S ) ； ∂S
∂2 g = e − rt CSS (t , S ) . ∂S 2
代入方程
∂g ∂g 1 2 2 ∂ 2 g 0 ，有 + rS + σ S = ∂t ∂S 2 ∂S 2
g (t , S ) = e − rt C (t , S ) = E Q (e − rT C (t , S ) Ft )
~
由 Feynman-Kac 定理知 g (t , S ) 满足：
∂g ∂g 1 2 2 ∂ 2 g + + σ S = rS 0 ,而 g (t , S ) = e − rt C (t , S ) ， ∂S 2 ∂S 2 ∂t g (T , ST ) = e − rT CT
1 2 2 0， Ct (t , S ) + rS C σ S CSS (t , S ) − rC (t , S ) = S (t , S ) + 2
这正是 Black-Scholes 方程。
B-S 模型假设： 1、交易市场没有无风险套利机会，就是说无风险资产或资产组合必须有相同的回报，均为无风险利率 r ； 2、市场上没有交易费用； 3、市场的交易可以连续进行； 4、市场允许卖空而且资产是无限可分的，就是说我们可以买卖任意数量的证券，而且可以卖出我们并不持有的资产（当然以后要偿还）； 5、证券在期权存续期内无红利发放；
St 1 1 1 ) = St d ( ) + dSt + dSt ⋅ d ( ) , Bt Bt Bt Bt St S S ) = ( µ − r ) t dt + σ t dWt Bt Bt Bt
于是有 d (
即
d ( St B t ) µ − r µ−r ~ = θ , Wt = θt + Wt , ， = dt + dWt ，令 σ σ ⋅ St B t σ 从而 d (
g (t , x) = E t , x h( X T ) ，
1 则 g (t , x) 满足偏微分方程 gt (t , x) + α (t , x) g x (t , x) + β 2 (t , x) g xx (t , x) = 0 . 而终点条 2
件为 g (T , x) = h( x) 。分析：由于 St 在风险中性测度 Q 下的动态为 dS t = rS t dt + S t σd W t ，令
( A) = Z dP ；则在新测度下 P 下，并定义一个新的测度，对任意 A ∈ F ，定义 P ∫ T
A
过程 Wt (0 ≤ t ≤ T ) 仍是布朗运动。
~
注 3： Feynman-Kac 定理：考虑随机微分方程 dX u = α (u , X u )du + β (u , X u )dWu . 设 h( y ) 是 Borel 可测函数。固定 T > 0 并给定 t ∈ [ 0, T ] 。定义函数
d(
~ ~ ~ S St S 1 rdt ) = t σd W t ⇒ dS t ⋅ − S t = t σd W t ⇒ dS t = rS t dt + S tσd W t ， Bt Bt Bt Bt Bt
其解为： S t = S 0 e 于是可以求出 V0 。
1 ~ ( r − σ 2 ) t +σWt 2
~ St S ) = t σd W t Bt Bt
由 Girsanon 定理，令 Q( A) = ∫ ZT d P ,其中 ZT = e
A
−
∫0
T
µ −r 1 dWt − σ 2
∫0 (
T
µ −r 2 ) dt σ
，在新测度
S ~ Q 下， Wt 是鞅， t 在新测度 Q 下也是鞅。 Bt
于是 St 在等价鞅测度 Q 下的动态为：
= dSt µ St dt + σ St dWt 6、资产价格服从几何布朗运动模型：
其中， W 是标准布朗运动， µ 是证券的期望增长率， σ 是证券的波动率。
风险中性定价方法：风险中性定价原理表达了资本市场中的这样的一个结论：即在市场不存在任何套利可能性的条件下，金融衍生证券的价格与投资者的风险
有定义且连续，则 df (t , X t ) = ft (t , X t )dt + f x (t , X t )dX t +
1 f xx (t , X t )dX t dX t . 2
注 2：Girsanov 定理：令 Wt (0 ≤ t ≤ T ) 为概率空间 (Ω, F , P) 上的布朗运动。设
Ft (0 ≤ t ≤ T ) 为相应的域流，并设 θ (t )(0 ≤ t ≤ T ) ，是与此相适应的过程。对0 ≤ t ≤T
~ t 1 t t ex p − ∫ θ (u )dWu − ∫ θ 2 (u )du ；定义： Wt = ∫ θ (u )du + Wt , Z t = 0 0 0 2
态度无关的。
在理想的风险中性世界中，首先，投资者并不要求任何的风险补偿，所以基础证券与衍生证券的期望收益率都恰好等于无风险利率 r ；其次，正由于不存在任何的风险补偿，市场的贴现率也恰好等于无风险利率 r ，所以基础证券或衍生证券的经无风险利率的贴现就是它们的现值；最后，利用无风险利率贴现的风险中性定价过程是鞅（Martingle），所以现值的风险中性定价方法又称为等价鞅方。法（Martingale Pricing Technique）
，故 ST = S 0 e
1 ~ ( r − σ 2 ) T +σWT 2
ˆ (( S 0 e ˆ (( S − K ) + ) = e − rT E V0 = e − rT E T
~ 令 WT = T Z , Z ~ N (0,1)
1 ~ ( r − σ 2 ) T +σWT 2
− K )+ ) ，
⋅
1 − 2 z2 e dz 2π 1 dz ， 2π
1
1
= e − rT ∫ S 0 e
− d1
∞
1 rT − ( z −σ T ) 2 2
⋅
令 u = z − σ T , d 2 = d1 + σ T =
σ T
(ln

S0 1 + ( r + σ 2 )T ) ， K 2
J1 = e
− rT
∫
∞
−d 2

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