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数理统计与随机过程ch6

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随机信号分析CH6习题及答案

随机信号分析CH6习题及答案

6.1 复随机过程0()()j t Z t e ω+Φ=，式中0ω为常数，Φ是在(0,2)π上均匀分布的随机变量。

求：（1）[()()]E Z t Z t τ*+和[()()]E Z t Z t τ+；（2）信号的功率谱。

解：(1) 0()()j t Z t e ω+Φ=[][]0000()2200()cos sin 11cos sin 220j t j t j j tj t E Z t E e E e e E j e d d e ωωωππωππ+ΦΦ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦=Φ+Φ⎡⎤=Φ⋅Φ+Φ⋅Φ⎢⎥⎣⎦=⎰⎰()0000[()][][()()]j t j t j j Z E Z t Z t E e e E e e R ωτωωτωτττ++Φ-+Φ*⎡⎤+=⎣⎦⎡⎤===⎣⎦[][][][][]000000[()][](2)2(2)2(2)2(2)[()()]cos 2sin 21cos 2sin 220j t j t j t j t j j t j t E Z t Z t E e e E e e E e e E j e j d ωτωωτωτωτπωττπ++Φ+Φ++Φ+Φ++⎡⎤+=⎣⎦⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦⎡⎤=Φ+Φ⎣⎦=Φ+ΦΦ=⎰ (2) 00()[()][]2()j Z ZS F R F e ωτωτπδωω===-6.2 6.36.4 已知()a t 的频谱为实函数()A ω，假定ωω>∆时，()0A ω=，且满足0ωω∆ ，试比较：（1） 0()cos a t t ω和0(12)()exp()a t j t ω的傅立叶变换。

（2） 0()sin a t t ω和0(2)()exp()j a t j t ω-的傅立叶变换。

（3）0()cos a t t ω和0()sin a t t ω的傅立叶变换。

解：由傅立叶变换的定义可以得到： （1）000001()cos [()()]211()()22FTj t FT a t t A A a t e A ωωωωωωωω←−→-++←−→- ()000()()cos ()sin j t a t e a t t ja t tωωω=+0()j ta t eω是0()cos a t t ω的解析信号01()2j t a t e ω的傅立叶变换是0()cos a t t ω的傅立叶变换的正频率部分。

数理统计与随机过程

数理统计与随机过程

数理统计与随机过程1. 介绍2. 数理统计概述2.1 统计学的定义统计学是一门研究如何收集、整理、分析和解释数据的学科。

它利用数理统计方法和技巧来从已有数据中获取有关现象和问题的信息。

2.2 数理统计的重要性•数理统计可以帮助我们理解和解释现象和问题，从数据中提取有用信息。

•数理统计可以帮助我们做出合理的决策，并评估决策的风险和效果。

•数理统计是其他学科研究的重要工具，如经济学、社会学、医学等。

3. 数理统计的基本概念3.1 总体与样本•总体：研究对象的全体。

•样本：从总体中抽取出的一部分数据。

3.2 参数与统计量•参数：用于描述总体特征的数值。

•统计量：用于描述样本特征的数值。

3.3 随机变量与概率分布•随机变量：取值不确定的变量。

•概率分布：描述随机变量取值的概率情况。

4. 数理统计的基本方法4.1 描述统计描述统计是通过对数据进行整理、分类、计算和统计来描述和总结数据的基本特征。

•频数分布表：将数据按照不同取值分组统计出现次数。

•频数分布直方图：用柱状图表示不同频数的分布情况。

•平均数：描述数据的集中趋势。

•方差：描述数据的离散程度。

4.2 推断统计推断统计是通过样本对总体进行推断和估计。

•置信区间：估计总体参数的区间范围。

•假设检验：对总体参数的假设进行检验。

5. 随机过程概述5.1 随机过程的定义随机过程是一组随机变量的集合，这些随机变量依赖于一个或多个参数，并且随着参数变化而改变。

5.2 随机过程的分类•马尔可夫过程：未来状态只与当前状态有关。

•广义马尔可夫过程：未来状态与当前状态及历史状态有关。

•马尔可夫链：具有马尔可夫性质的离散时间的随机过程。

6. 数理统计与随机过程的应用6.1 金融领域在金融领域，数理统计和随机过程被广泛应用于风险评估、资产定价和投资组合管理等。

6.2 生物医学领域在生物医学领域，数理统计和随机过程被用于疾病诊断、药物研发和生物信息学等。

6.3 工程领域在工程领域，数理统计和随机过程被应用于质量控制、可靠性分析和网络通信等。

数理统计与随机过程讲义

数理统计与随机过程讲义

第四章 假设检验假设检验是一种重要应用价值的统计推断形式，是数理统计的分支。

从发展历史上有重要的节点为1 ：Pearson 的拟合优度的2χ检验 19002：Fisher 的显著性检验 19203：Neyman-Pearson 一致最优检验 1928 4：Wald 的判决理论 19505：Bayes 方法 （二战之后发展的学派） §4.1 基本术语关于随机变量的分布、数字特征等，每一种论断都称为统计假设，分为参数假设和非参数假设，例如),(~2σu N X ，假设1,1:==σu H 就称为参数假设；给定一组样本值，假设:H ~X 正态分布，对于分布进行论断，为非参数假设。

无论上面那种假设，都是给出一个对立的假设，比如),(~2σu N X ，那么假设1,1:0==σu H 的对立假设就是1,1:1≠≠σu H ，我们就把0H 称为基本假设，或者原假设，而1H 就称为对立（备选）假设。

为了分别那个假设是对的，需要判断假设真伪，就是对假设做出“否”还是“是”的程序就是检验，这个检验常用否定域形式给出，按照一定规则把样本值集合分成两个部分V V ⋃，当样本值落入子集V 认为0H 不真，那么V 是0H 的否定域，V 为0H 的接受域。

那么这样就产生了两种错误：第一类错误α ：本来0H 是真，但是却否定了，弃真； 第二类错误β ：本来0H 不真，但是却接受为真，叫取伪。

选定一种检验方法，我们希望上述两种错误概率都小。

但是给定样本容量，使得两种错误任意小是不可能的，我们主要研究两大类检验方法：1：样本容量给定，控制第一类错误，使得错误概率有一个上界α，叫做检验的显著性水平，根据这种原则建立的检验就是α水平显著性检验；2：样本容量给定，控制第一类错误α水平固定，还使得第二类错误最小，就是接受不真实假设的概率最小，否定不真实假设的概率就称为检验功效1-β，使得功效最大，，根据这种原则建立的检验就是α水平最大功效检验,或者最佳检验。

数理统计与随机过程智慧树知到课后章节答案2023年下长安大学

数理统计与随机过程智慧树知到课后章节答案2023年下长安大学

数理统计与随机过程智慧树知到课后章节答案2023年下长安大学长安大学绪论单元测试1.数理统计是以概率论为基础，研究社会和自然界中大量随机现象内在变化基本规律的一门科学。

（）答案:对2.用数理统计方法去解决一个实际问题时，一般有如下几个步骤：收集数据，整理数据，建立数学模型，进行统计推断、预测和决策。

（）答案:对3.数理统计给出的结论未必百分之百地正确。

（）答案:对第一章测试1.若离散型随机变量X只有6个不同的取值，则确定其概率分布最多需要5个参数。

（）答案:对2.设随机变量X，Y的联合分布函数为F(x, y)，边际分布函数为F X(x)和F Y(y)，则X与Y相互独立的充要条件是对一切x, y都成立。

（）答案:错3.设是取自总体X的一个样本，是未知参数，则统计量为（）。

答案:4.设是取自正态总体的一个样本，为样本均值，，则服从分布的统计量为（）。

答案:5.设是取自总体的一个样本，存在，, 则（）。

答案:是的无偏估计和相合估计第二章测试1.设总体服从二项分布，为样本均值，那么矩估计量.（）答案:错2.在总体的分布函数或概率函数的数学形式已知时，通过对总体的实际观察取得样本数据，并由此构造样本统计量，对分布中未知参数真实值给出具体推测值的过程，叫做（）。

答案:点估计3.对具体的一个样本观测值来说，用无偏估计给出的结果（）。

答案:不能确定与真值的接近程度;可能比有偏估计的结果更差;不一定为参数真值4.评价估计量的标准主要有（）。

答案:无偏性;均方误差;相合性;有效性5.求区间估计的枢轴变量法要求枢轴变量满足的条件是（）。

答案:它是随机变量;其变化区间等价于关于参数的不等式;它包含未知参数;其分布完全已知第三章测试1.对于假设检验的两类错误的概率和，它们具有关系（）答案:和无确切关系2.假设检验的概率依据是（）。

答案:实际推断原理3.假设检验的基本思想是（）。

答案:如果试验或抽样的结果使该小概率事件发生了，就表明原假设有问题，应予以拒绝。

数理统计与随机过程

数理统计与随机过程

数理统计与随机过程
数理统计是一门研究如何从数据中提取信息的学科，它是现代统计学的基础。

数理统计的主要任务是通过对数据的分析和处理，得出数据的规律性和特征，从而对数据进行预测和决策。

数理统计的应用范围非常广泛，包括经济、金融、医学、环境、社会等各个领域。

随机过程是一种随机变量的序列，它描述了随机事件在时间上的演化过程。

随机过程是概率论和统计学中的重要概念，它在信号处理、通信、控制、金融等领域中有着广泛的应用。

数理统计和随机过程有着密切的联系。

在数理统计中，我们通常需要对数据进行建模，而随机过程提供了一种自然的建模方式。

例如，我们可以将时间序列数据看作是一个随机过程，然后通过对随机过程的分析和处理，得出数据的规律性和特征。

另外，在随机过程中，我们通常需要对随机变量的分布进行估计，而数理统计提供了一种有效的估计方法。

在实际应用中，数理统计和随机过程经常被用来解决各种问题。

例如，在金融领域中，我们可以使用随机过程来建立股票价格的模型，然后使用数理统计的方法对模型进行分析和预测。

在医学领域中，我们可以使用数理统计的方法对疾病的发病率进行分析，然后使用随机过程来建立疾病传播的模型。

数理统计和随机过程是现代统计学和概率论的重要组成部分，它们
在各个领域中都有着广泛的应用。

通过对数据的分析和建模，我们可以更好地理解数据的规律性和特征，从而为决策和预测提供更加准确的依据。

数理统计与随机过程

数理统计与随机过程

数理统计与随机过程
数理统计与随机过程是现代科学技术的重要基础，它们广泛应用于各个学科和领域。

在本文中，我们将介绍数理统计和随机过程的概念、应用及其重要性。

数理统计是一种研究统计规律的方法，它主要以概率论为基础，应用数学方法对数据进行分析和解释。

它可以帮助我们了解数据的分布、趋势和变化规律，从而提高决策的准确性。

数理统计应用广泛，包括经济学、环境科学、医学、社会科学等领域。

例如，在医学领域，数理统计可以帮助我们确定药物的有效性和安全性，从而提高临床治疗的质量和效果。

随机过程是一种研究随机现象的模型，它描述了随机变量随时间的变化规律。

随机过程在信号处理、通信、金融等领域应用广泛。

例如，在金融领域，随机过程可以用于模拟股票价格的变化，帮助投资者进行风险管理和决策。

数理统计和随机过程在现代科学技术中具有重要的地位。

它们可以提高决策的准确性和效率，帮助我们更好地理解和应对复杂的现实问题。

同时，它们也为我们提供了一种深入思考和探索科学世界的方法和工具。

数理统计和随机过程是现代科学技术的重要基础，它们在各个学科和领域中应用广泛，具有重要的理论和实践意义。

我们应该积极学
习和应用数理统计和随机过程的知识，不断拓展我们的科学视野和能力。

概率论与数理统计教学课件-ch6 样本及抽样分布

(4) X~t(n1). Sn
Stop
定理
iid
若 X 1 ,X 2 , i,iX dn 1~N ( 1 , 1 2 ),
X Y n 1 1 1 , iY n 1 1 2,X i,,Y n 2 S 1 ~ 2 N n ( 1 1 2 ,1 i2 n 2 1 1 )(X ,i且 两X 样)2本;独立
t1 (n ) t (n )
t(n)
Stop
存在t/2(n)>0， 满足 P{|T| t/2(n)}=，则称 t/2(n)为t(n)的双侧分位点.
t/2(n)
t/2(n)
Stop
• F—分布 构造 若1 ~2(n1)， 2~2(n2)，1， 2独立，则
F 2 1//n n1 2~F(n1,n2).
(1 11 n1 n2
2)
~
t(n1
n2

2).其中
Sw2
(n11)S12 (n2 1)S22 n1 n22
称为混合样本方. 差
Stop
例 设总 X~体 N(,2)如 , 果9要 .9 7% 的 以 概率保X 证 偏 0.1,差 试问 2 在 0.5时 , 样本n应 容取 量?多大
例 设(X1, X2,,X6)是来自正态 N(0总 ,1)的 体 样本 ;又设 Y(X1X2X3)2(X4X5X6)2 试确定c常 使c数 Y服从 2分布 ,并指出其自 . 由
样本观测值 对样本 X1， … ，Xn进行观测， 即可得一组观测值 x1， … ，xn • 统计量
样本 X1， … ，Xn的函数 g(X1， … ，Xn )称 为是总体 X 的一个统计量，若g(X1， … ，Xn ) 与任何未知参数无关。
统计量的观测值 若样本 X1， … ，Xn的观测值为x1， … ，xn，

研究生《数理统计》完整课件讲义


解. 由题意，X (t) 可表示为
X (t) a cos(t ), t
其中随机变量 的分布律为
0
P
23 13
所以
mX (t) EX (t) Ea cos(t )
a cost 2 (a cost) 1
3
3
a cost, 3
RX (t1, t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]
2
F
(x;
2
)
0, x 1, x
0 0
（2）X (0) A, X ( ) A ,二维随机变量
32
( A, A 2) 的分布律为
(A, A 2)
P
(1,1 2) (2,1) (3, 3 2)
13
13
13
x2
D4
D2
D3
D1
o
O
x1
二维分布函数为
F (x1,
x2 ;0,
3
)
P{A
x1 ,
A 2
例2. 西安地区从2012年开始，第n年的 降雨量Xn，n∈T={1,2,3,…}。
例3. 某超市在时段[t1,t] 内到来的顾 客人数X(t)，t∈T=[t1,t2]。
例4. 某电路中，一电子元件 t 时刻的 热噪声电压X(t)，t∈T=[0,+∞)。
在上述几个例子中，X(t)（或Xn）具有以下 两个特征：
正态过程是二阶矩过程，它在工程技
术中有重要的应用。正态过程 {X (t),t T} 的 n 维分布密度为
f
1
n
(2 ) 2
C
1 2
exp{
1 2
(
x
m
X
)

数理统计与随机过程

数理统计与随机过程数理统计与随机过程1. 引言数理统计与随机过程是两个密切相关的概念，既有相似之处又有一些区别之处。

数理统计是一种研究数据收集、分析和解释的方法，而随机过程则是研究时间上的随机变化的数学模型。

本文将深入探讨数理统计与随机过程的基本概念、应用以及相互关系，以期帮助读者更全面地理解这两个领域。

2. 数理统计数理统计是一种通过收集、处理和解释数据来进行推断和决策的学科。

它包括描述统计和推断统计两个方面。

描述统计主要包括对数据的总结、图形展示和基本统计指标的计算，通过这些方法可以揭示数据的特征和分布。

推断统计则是基于样本数据对总体特征进行估计和推断的方法，其中包括参数估计和假设检验。

数理统计在各个领域都有广泛的应用，如市场调研、医学研究和金融风险评估等。

3. 随机过程随机过程是一种描述随机现象演变的数学模型，它涉及到时间上不确定性的变化。

随机过程可以看作是一系列随机变量的集合，这些随机变量在时间上有关联，并且它们的取值取决于某个随机事件的结果。

随机过程可以分为离散时间和连续时间两种类型。

离散时间下的随机过程通常用更简单的概率论工具进行描述，如马尔可夫链和随机游走。

而连续时间下的随机过程则需要用到更为复杂的数学方法，如随机微分方程和布朗运动。

随机过程在物理学、通信系统和金融工程等领域有着广泛的应用。

4. 数理统计与随机过程的联系数理统计和随机过程有着密切的联系，两者既有相互支持的关系，也有独立发展的特点。

数理统计可以用来对随机过程进行建模和推断。

通过收集随机过程的样本数据，可以应用数理统计中的方法来估计空间分布、预测未来变化趋势等。

而随机过程则为数理统计提供了数据来源，将现实世界的随机现象进行数学描述，为数理统计的分析提供了基础。

随机过程的理论和方法也常常被运用到数理统计中。

在时间序列分析中，随机过程的模型可以用来描述数据随时间变化的规律，从而可以对未来的观测结果进行预测和分析。

数理统计和随机过程的融合使得对数据的分析更加全面和准确。

概率统计与随机过程 苯环

概率统计与随机过程引言什么是概率统计与随机过程？概率统计与随机过程是一个重要的数学分支，它研究随机事件的规律性和不确定性。

它的应用非常广泛，包括金融风险管理、信号处理、人工智能等领域。

在本文中，我们将探讨概率统计与随机过程在化学领域中的应用，具体以苯环为例进行详细介绍。

什么是苯环？苯环是化学中常见的一种结构，由六个碳原子和六个氢原子构成，具有一定的稳定性和特殊性质。

苯环在有机化学中有着广泛的应用，例如合成药物、高分子材料等。

苯环的构成与结构苯环的基本结构苯环由六个碳原子和六个氢原子组成，可以用化学式C6H6表示。

它的结构非常稳定，形状类似于六边形，并且碳原子之间呈现交替单键和双键的结构。

苯环的共振结构苯环具有共振结构的特点，即通过单、双键的自由旋转，能够在不破坏共振框架的情况下形成多种结构。

这些结构在化学反应中起到了重要的作用，影响着苯环的性质和反应活性。

苯环的概率统计与随机过程苯环的构象研究苯环的构象研究是概率统计与随机过程在化学领域中的一个重要应用。

由于苯环具有共振结构的特点，因此它存在着多种构象。

通过概率统计的方法，可以研究苯环在不同构象下的稳定性、能量和反应性质，从而深入了解苯环分子的行为和性质。

苯环的随机过程模拟随机过程模拟是概率统计与随机过程在苯环研究中的另一个重要应用。

通过建立适当的随机过程模型，可以模拟苯环分子在不同环境条件下的运动和转变过程，从而预测苯环在实际化学反应中的行为和性质。

这对于设计新型化学反应、优化反应条件和开发新型材料具有重要意义。

苯环的应用案例苯环在药物合成中的应用苯环在药物合成中有着广泛的应用。

由于苯环分子稳定且易于修饰，可以通过在苯环上引入不同的官能团，合成出具有特定医药活性的化合物。

例如，许多抗肿瘤药物和镇痛药物的结构中都含有苯环结构。

苯环在聚合物材料中的应用苯环在聚合物材料中也扮演着重要的角色。

通过苯环的自由旋转和共振特性，可以调节聚合物的结构和性质。

例如，通过引入苯环结构，可以使聚合物更加稳定和坚硬，提高聚合物材料的力学性能和热稳定性。

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例5：研究某大城市年龄在1岁到10岁之间儿童 的身高。 显然，不管城市规模多大，这个年龄段的 儿童数量总是有限的。因此，该总体X只能是 有限总体。总体分布只能是离散型分布。 然而，为便于处理问题，我们将有限总体 近似地看成一个无限总体，并用正态分布来逼 近这个总体的分布。 当城市比较大，儿童数量比较多时，这种 逼近所带来的误差，从应用观点来看，可以忽 略不计。
例 1 ：用机器向瓶子里灌装液体洗涤剂，规定 每瓶装 μ 毫升。但实际灌装量总有一定波动。 假定灌装量的方差 σ 2=1，如果每箱装这样的 洗涤剂 25 瓶。求这 25 瓶洗净剂的平均灌装量 与标定值 μ 相差不超过0.3毫升的概率；又如果 每箱装50瓶时呢? 解：记一箱中 25 瓶洗净剂灌装量为 X1,X2,…, X25 是来自均值为μ , 方差为1的总体的随机样 本。根据抽样分布定理1，近似地有
g ( x1 , x 2 , " , x n ) =
∏
i =1
n
f ( x i ).
例7：假设某大城市居民的收入 X 服从正态分布 N(μ,σ2), 概率密度为
f (x) = 1 e 2π σ
( x− μ )2 − 2σ 2
,
x ∈ R.
现从总体 X 中随机抽取样本 X1,…,Xn , 因其独立同分布于总体 X，即： Xi ∼ N(μ,σ2), i＝1,2,…,n. 于是，样本X1,X2,…,Xn 的联合概率密度为
1 g ( x1 , x 2 , " , x n ) = e n/2 n ( 2π ) σ
−
1 2σ
2
∑ ( xi − μ ) 2
i =1
n
.
§6.3 统计量
6.3.1 统计量 由样本推断总体的某些情况时，需要对 样本进行 “ 加工 ” ，构造出若干个样本的已知 (确定)的函数，其作用是把样本中所含的某一 方面的信息集中起来。 这种不含任何未知参数的样本的函数称 为统计量。它是完全由样本所决定的量。
又如：为研究某种安眠药的药效，让 n 个病人 同时服用这种药，记录服药者各自服药后的睡 眠时间比未服药时增加睡眠的小时数 X1,X2,…,Xn， 则这些数字就是样本。 那么，什么是总体呢? 设想让某个地区(或某国家，甚至全世界) 所有患失眠症的病人都服用此药，则他们所增 加睡眠的小时数之全体就是研究问题的总体。
(2).另外，正态分布取值范围是(-∞,∞)，这 样还可以解决规定测量值取值范围上的困难。 如若不然, 就需要用一个定义在有限区间 (a,b)取值的随机变量来描述测量值X。那么, a和b到底取什么值呢？测量者事先很难确定。 再退一步，即使能够确定出a和b，却仍很 难找出一个定义在 (a,b) 上的非均匀分布用来 恰当地描述测量值。与其这样，还不如干脆就 把取值区间放大到(-∞,∞),并用正态分布来 描述测量值。这样，既简化了问题,又不致引 起较大的误差。
数理统计与随机过程 第六章
主讲教师：陈立萍 北京工业大学应用数理学院
数理统计学是一门应用性很强的学科。它 研究如何以有效的方式收集、整理和分析带有 随机性的数据，以便对所考察的问题作出正确 的推断和预测，为采取正确的决策和行动提供 依据和建议。 数理统计不同于一般的资料统计，它更侧 重于应用随机现象本身的规律性进行资料的收 集、整理和分析。
● 如果总体所包含的个体数量是有限的,
则 称该总体为有限总体。有限总体的分布显 然是离散型的，如例3。 ● 如果总体所包含的个体数量是无限的，则 称该总体为无限总体。限总体的分布可以 是连续型的，如例4；也可是离散型的。 说明：在数理统计中，研究有限总体比较 困难。因为其分布是离散型的，且分布律与总 体中所含个体数量有关系。 通常在总体所含个体数量比较大时，将其 近似地视为无限总体，并用连续型分布逼近总 体的分布，这样便于进一步地做统计分析。
例 3 (例 l 续)：在例 l中，若农户年收入以万 元计，假定 N户的收入X只取以下各值: 0.5, 0.8, l.0, 1.2和1.5。取上述值的户数分别n1, n2, n3, n4和n5 (n1+n2+n3+n4+n5=N)。则X为离散型 分布，分布律为:
X pk
0.5 n1/N
0.8 n2/N
X ～ N (μ , σ / n ).
2
定理应用
●
样本均值分布函数的近似计算
X −μ 因 近似～ N ( 0 ,1), 所以 ∀ a ∈ R , σ/ n
总有
⎧ X −μ a−μ ⎫ P{ X ≤ a} = P ⎨ − ∞ < ≤ ⎬ σ / n σ / n⎭ ⎩
⎛ a−μ ⎞ ≈ Φ⎜ ⎟. ⎝σ / n ⎠
说明：这里有一个问题，即物体长度的测 量值总是在其真值 μ 的附近，它不可能取负值。 而正态分布取值在(-∞,∞)上。那么，怎 么可以认为测量值X服从正态分布呢? 回答这个问题，有如下两方面的理由。 (1).在前面讲过，对于X∼N(μ,σ2)， P{μ-3σ<X<μ+3σ}=0.9974. 即 X 落在区间(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率不超过 0.003, 这个概率非常小。X 落在(μ-4σ,μ+4σ) 之外的概率就更小了。
1 n3/N
1.2 n4/N
1.5 n5/N
例4 ( 例2续 )：在例2中，假定物体真实长度为 μ(未知)。一般说来，测量值X就是总体，取μ 附近值的概率要大一些，而离μ 越远的值被取 到的概率就越小。 如果测量过程没有系统性误差，则X取大 于μ 和小于μ 的概率也会相等。 在这种情况下，人们往往认为X 服从均值 为μ，方差为σ2 的正态分布。σ2反映了测量的 精度。于是，总体X的分布为 N(μ,σ2)。
第六章 样本及抽样分布
§6.1 引言
由于大量随机现象必然呈现出其规律性， 因而从理论上讲，只要对随机现象进行足够多 次的观察，随机现象的规律性就一定能够清楚 地呈现出来。 但是，客观上只允许我们对随机现象进行 次数不多的观察或试验，也就是说：我们获得 的只能是局部的或有限的观察资料。
数理统计的任务就是研究 “如何有效地收 集、整理和分析所获得的有限资料，并对所研 究的问题尽可能地给出精确而可靠的推断”。 现实世界中存在着形形色色的数据，分析 这些数据需要多种多样的方法。
6.2.2 总体分布 对一个总体，如果用X表示其数量指标， 那么，X的值对不同的个体就取不同的值。因 此，如果我们随机地抽取个体，则X的值也就 随着抽取个体的不同而不同。 所以，X是一个随机变量! 既然总体是随机变量X，自然就有其概率 分布。我们把X的分布称为总体分布。 总体的特性是由总体分布来刻画的。因 此，常把总体和总体分布视为同义语。.
样本的二重性 ● 假设 X1, X2, …, Xn 是总体X中的样本，在一 次具体的观测或试验中，它们是一批测量值, 是已经取到的一组数。这就是说，样本具有 数的属性。 ● 由于在具体试验或观测中，受各种随机因素 的影响，在不同试验或观测中，样本取值可 能不同。因此，当脱离特定的具体试验或观 测时，我们并不知道样本 X1,X2,…,Xn 的具 体取值到底是多少。因此，可将样本看成随 机变量。故，样本又具有随机变量的属性。
● 样本均值与 μ 的偏差在一定范围内的概率的
近似计算 任给c >0，总有
P
{
⎧ c X −μ c ⎫ X − μ ≤ c = P ⎨− ≤ ≤ ⎬ ⎩ σ / n σ / n σ / n⎭
}
) ( = 2Φ ( n c / σ ) − 1.
≈ Φ n c /σ − Φ − n c /σ
(
)
从上式可以看出：对给定的σ2和给定的 c>0， 当样本大小 n 增大时，上面的概率也随之增 大；n 趋于无穷时，上式趋近于 1。
例如：假定物体长度μ =10厘米，测量误差为 0.01厘米，则σ2=0.012。 这时,(μ-3σ,μ+3σ)=(9.97,10.03)。于 是，测量值落在这个区间之外的概率最多只有 0.003，可忽略不计。 可见，用正态分布 N(10,0.012)去描述测 量值X是适当的。完全可认为：X 根本就不可 能取到负值；
反映总体k 阶 中心矩的信息
1 n k Ak = ∑ X i n i =1 1 k Bk = ∑ ( X i − X ) n i =1
k=1,2, …
n
6.3.2 抽样分布 统计量既然依赖于样本，而后者又是随 机变量，故统计量也是随机变量，有一定的 分布，这个分布称为统计量的抽样分布。 抽样分布定理 定理1：设 X1,X2,…,Xn是来自均值为μ , 方差为 σ2 的总体的样本，则当 n 充分大时, 近似地有 X～N μ , σ 2 / n .
§6.2 总体与样本
6.2.1 总体、个体与样本 在数理统计中，称研究问题所涉及对象的 全体为总体，总体中的每个成员为个体。 例如: 研究某工厂生产的某种产品的废品 率，则这种产品的全体就是总体，而每件产品 都是一个个体。
实际上，我们真正关心的并不一定是总体 或个体本身，而真正关心的是总体或个体的某 项数量指标。 如：某电子产品的使用寿命，某天的最高 气温，加工出来的某零件的长度等数量指标。 因此，有时也将总体理解为那些研究对象的某 项数量指标的全体。
样本X1,X2,…,Xn既被看成数值，又被看成随 机变量，这就是所谓的样本的二重性。 随机样本 例 6 (例2续)：在前面测量物体长度的例子中， 如果我们在完全相同的条件下，独立地测量了 n 次，把这 n 次测量结果，即样本记为 X1,X2,…,Xn . 那么，我们就认为：这些样本相互独立，且有 相同的分布；其分布与总体分布 N(μ, σ2)相同。
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证明：因X1,X2,…,Xn是来自均值为μ ，方差 为σ2 的总体的样本。故 X1,X2,…,Xn 独立同 分布, 且 E(X)=μ，Var(X)=σ2, i=1,2,…,n。 据中心极限定理，有