完整word版,2007-2008第一学期数理统计与随机过程(研)试题-2007

随机过程考试试题及答案详解1、（15分）设随机过程C t R t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。

（1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。

【理论基础】 （1）⎰∞-=xdt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数；（2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(bx a a b x f ，分布函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<=b x b x a ab a x a x x F ,1,,0)(，2)(ba x E +=，12)()(2a b x D -=； （3）参数为λ的指数分布，概率密度函数⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x λλ，分布函数⎩⎨⎧<≥-=-0,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21)(λ=x D ； （4）2)(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞=--x e x f x ,21)(222)(σμπσ，分布函数∞<<-∞=⎰∞---x dt ex F xt ,21)(222)(σμπσ，若1,0==σμ时，其为标准正态分布。

【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。

（1）因R 为]1,0[上的均匀分布，C 为常数，故)(t X 亦为均匀分布。

由R 的取值范围可知，)(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤=其他,0,1)(tC x C t x f ，一维分布函数⎪⎩⎪⎨⎧+>+≤≤-<=t C x t C X C tCx C x x F ,1,,0)(；（2）根据相关定义，均值函数C tt EX t m X +==2)()(； 相关函数2)(231)]()([),(C t s Cst t X s X E t s R X +++==； 协方差函数12)]}()()][()({[),(stt m t X s m s X E t s B X X X =--=（当t s =时为方差函数） 【注】)()()(22X E X E X D -=；)()(),(),(t m s m t s R t s B X X X X -=求概率密度的通解公式|)(|/)(|)(|)()(''y x y f x y y f x f t ==2、（15分）设{}∞<<∞-t t W ),(是参数为2σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量；且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。

1、设随机过程C t R t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。

（1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。

2、设{}∞<<∞-t t W ),(是参数为2σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量； 且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。

令R t W t X +=)()(，求随机过程{}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数和协方差函数。

3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；且每个 顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。

求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。

4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3.007.08.02.0007.03.0P（1）求两步转移概率矩阵)2(P及当初始分布为0}3{}2{,1}1{000======X P X P X P时，经两步转移后处于状态2的概率。

（2）求马尔可夫链的平稳分布。

5设马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{=I ，转移概率矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010007.03.0000000100004.06.0003.04.03.0P求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。

6、设{}(),0N t t ≥是参数为λ的泊松过程，计算[]()()E N t N t s +。

7、考虑一个从底层启动上升的电梯。

以i N 记在i 第层进入电梯的人数。

假定i N 相互独立，且i N 是均值为i λ的泊松变量。

在第i 层进入的各个人相互独立地以概率ij p 在第j 层离开电梯，1ijj ip>=∑。

令j O ＝在第j 层离开电梯的人数。

（1）计算()j E O （2）j O 的分布是什么（3）j O 与k O 的联合分布是什么8、一质点在1，2，3点上作随机游动。

2007 – 2008学年第一学期《概率论与数理统计A 》试卷答案一、填空题（每小题3分，满分21分，把答案填在题中横线上）1．设()()P A P B p ==，且,A B 至少有一个发生的概率为0.2，,A B 至少有一个不发生的概率为0.6，则p = 0.3 ． 解 已知()0.2,()0.6P A B P A B == ，0.2()()()()2()P A B P A P B P AB p P AB ==+-=- ，0.6()1()1()P A B P A B P AB ==-=- ，()0.4P AB =， 0.3p =2．11个人随机地围一圆桌而坐，则甲乙两人相邻而坐的概率为 0.2 ．解 设A 表示事件“甲乙相邻而坐”。

样本空间所包含的基本事件数为11！，事件A 包含的基本事件数为1129!⨯⨯11292()0.21110P A ⨯⨯===！！ 3．设随机变量~(,)X B n p ，则对任意实数x ，有limn x P →∞⎫≤=⎬⎭()x Φ或22t xdt -⎰． 4．设随机变量X Y 与的方差和相关系数分别为XY ()3,()4,0D X D Y ρ===，则(21)D X Y -+= 16 ．解 (21)(2)D X Y D X Y -+=-(2)()2cov(2,)D X D Y X Y =+- 4()()4cov(,)D X D Y X Y =+-4()()4XY D X D Y ρ=+-=165．设~(0,1)X N ，1.96是标准正态分布的上0.025分位点，则{}1.96P X =≤ 0．975 ．解 1.96是标准正态分布的上0.025分位点，即{}0.0251.96P X =≥{}1.96P X =≤{}110.0250.9751.96P X -=-=>6．设12(,,,)n X X X 是来自总体2(,)N μσ的样本，则当常数k =11n -时， 221()ni i k X X σ==-∑ 是参数2σ的无偏估计量．7．设总体2~(,)X N μσ，12(,,,)n X X X 是来自总体X 的样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，2σ未知，若检验假设0010:,:H H μμμμ=≠~ t (n-1).二、选择题（每小题3分，满分18分）X Y 与满足条件()()()D X Y D X D Y +=+， 则下面结论不成立的是（ C ）（A ）X Y 与不相关．（B ）()()()E XY E X E Y =．（C ）X Y 与相互独立． （D ）cov(,)0X Y =．2．设随机变量X 的概率密度为cos ,||,2()0,||.2k x x f x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩ 则k 等于（ B ）（A ）14． （B ）12． （C ）0． （D ）1．3．某班12名战士各有一支归自己使用的枪，枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了一支枪，则拿到是自己枪的人数的数学期望是（ D ） （A ）112． （B ）0． （C ）12． （D ）1． 解 设1,i 0,i i X ⎧=⎨⎩第个战士拿到自己的枪，第个战士没拿到自己的枪，1,2,,12i = ，则1(),12i E X = 设X 表示拿到自己枪的人数.则121i i X X ==∑1212111()()12112i i i i E X E X E X ==⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭∑∑4．设X Y 与为相互独立的随机变量，其分布函数分别为()X F x 和()Y F y ，则随机变量max(,)Z X Y =的分布函数为（ A ） （A ）()()()Z X Y F z F z F z =．（B ）[][]()1()1()Z X Y F z F z F z =--．（C ）()1()()Z X Y F z F z F z =-．（D ）()()()Z X Y F z F z F z =+．5．设1210(,,,)X X X 是来自总体2(0,)N σ的样本，则下面结论正确的是（ C ）（A ）1022211~(9)kk Xχσ=∑．（B ）1021~(9)k k X t =∑．（C ）1022211~(10)k k X χσ=∑． （D ）1021~(10)k k X t =∑．6．设总体2~(,)X N μσ，μ为未知参数，样本12,,,n X X X 的方差为2S ，对给定的显著水平α，检验假设2201:2,:2H H σσ=<的拒绝域是（ B ） （A ）221/2(1)a n χχ-≤-． （B ）221(1)a n χχ-≤-． （C ）221/2()a n χχ-≤．（D ）221()a n χχ-≤．三、计算题（每小题10分，满分50分）1．一个系统中有三个相互独立的元件，元件损坏的概率都是0.2．当一个元件损坏时，系统发生故障的概率为0.25; 当两个元件损坏时，系统发生故障的概率为0.6; 当三个元件损坏时，系统发生故障的概率为0.95; 当三个元件都不损坏时，系统不发生故障. 求系统发生故障的概率． 解 设A 表示“系统发生故障”的事件，i B 表示“有i 个元件发生故障”的事件，1,2,3i =；由全概率公式 112233()()()()()()()P A P B P A B P B P A B P B P A B =++ 由已知，1()0.25P A B =，2()0.6P A B =，3()0.95P A B =1213()0.20.80.384P B C =⨯⨯= ，2223()0.20.80.096P B C =⨯⨯= ，3333()0.20.008P B C ==所以1612.095.0008.06.0096.025.0384.0)(=⨯+⨯+⨯=A P 2．设随机变量X 的分布律为X -1 0 1 2P 0.1 2.0 a b若()1E X =，(1)求常数a , b ; (2)求Y=X 2 的分布律.解 (1)由 0.10.21a b +++=,()E X =10.100.212a b -⨯+⨯+⨯+⨯=1,解得a =0.3, b =0.4. (2) Y=X 2的可取值为0,1,4.{}0P Y =={}0P X ==0.2,{}1P Y =={}1P X =-+{}1P X ==0.1+0.3=0.4, {}4P Y =={}==2X P 0.4, 因此Y=X 2 的分布律为Y 0 1 4 P 2.0 0.4 0.43．设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度函数为,0<1,(,)0,Ax x y f x y <<⎧=⎨⎩其他.（1）求常数A ； （2）求关于,X Y 的边缘概率密度函数；（3）判断X Y 与是否相互独立；（4）求{1}P X Y +≤． 解（1）由(,)d d 1f x y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰，有 1001d d 6yAy Ax x ==⎰⎰，得6A =； （2）()X f x =(,)d f x y y +∞-∞⎰, 当0x ≤或1x ≥时，()X f x =0,当01x <<时，1()6d 6(1)X x f x x y x x ==-⎰， 所以6(1),01;()0.X x x x f x -<<⎧=⎨⎩其它同理 23,01;()0.Y y y f y ⎧<<=⎨⎩其它（3）由(,)()()X Y f x y f x f y ≠，所以X Y 与不相互独立 （4）11201(1)6d d 4xx P X Y x x y -+≤==⎰⎰.4．设随机变量X Y 与相互独立，其概率密度分别为0;e ,()0,0.xX x f x x ->⎧=⎨≤⎩ 20;1e ,()20,0.yY y f y y ->⎧⎪=⎨⎪≤⎩求Z X Y =+的概率密度．解法1 由卷积公式 ()()()d Z X Y f z f x f z x x +∞-∞=-⎰因为e >0;()00.xX x f x x -⎧=⎨≤⎩ 21e>0;()200.yY y f y y -⎧⎪=⎨⎪≤⎩所以 0()()()d e ()d xZ X Y Y f z f x f z x x f z x x -+∞+∞-∞=-=-⎰⎰e ()d t zY z t z x f t t --∞=--⎰令e()d t zzY f t t --∞=⎰当0z ≤时 ()e ()d 0t zzZ Y f z f t t --∞==⎰ 当0z >时 201()e ()d ee d 2tt zt zzzZ Y f z f t t t ----∞==⎰⎰2e (e 1),z z -=- ()()()d Z X Yf z f x f z x x +∞-∞=-⎰2e (e 1),0,0,0.zz z z -⎧⎪->=⎨⎪≤⎩解法2 先求Z 的分布函数()Z F z . 联合密度函数为21,0,0,(,)()()20,,y x X Y e e x y f x y f x f y --⎧>>⎪==⎨⎪⎩其它(){}{}(,)Z x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=⎰⎰当0z ≤时, ()(,)0,Z x y zF z f x y dxdy +≤==⎰⎰当0z >时, 21()(,)2yx Z x y zDF z f x y dxdy e e dxdy --+≤==⎰⎰⎰⎰20012yzz x x e dx e dy ---=⎰⎰221z ze e --=-+分布函数为 221,0()0,0z z Z e e z F z z --⎧⎪-+>=⎨⎪≤⎩再求导,得概率密度 2e (e 1),0,()()0,0.zz Z Z z f z F z z -⎧⎪->'==⎨⎪≤⎩5．设12(,,,)n X X X 是来自总体2(,)N μσ的样本，求μ和2σ的最大似然估计量． 解 设12,,,n x x x ，相应的样本观测值，则似然函数为2()22122221L(,)11exp ()22i x ni nni i x μσμσμπσσ--===⎛⎫⎧⎫=--⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭∑取对数，得222211ln L(,)(ln 2ln )()22n i i n x μσπσμσ==-+--∑将2ln L(,)μσ分别对μ与2σ求偏导数，并令其等于零， 得方程组2122241ln 1()0ln 1()022ni i ni i L x L n x μμσμσσσ==∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-+-=⎪∂⎩∑∑ 解此方程组，得到参数μ和2σ的最大似然估计值是12211ˆ;1().n i i ni i x x n x x n μσ==⎧==⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∑∑ 因此,μ和2σ的最大似然估计量是12211ˆ;1().n i i ni i X X n X X n μσ==⎧==⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∑∑四、证明题（共2道小题，满分11分）1．（6分）若(|)(|)P A B P A B >，试证(|)(|)P B A P B A >． 证明 因为()(|)()()()()()(|)()1()1()P AB P A B P B P AB P A AB P A P AB P A B P B P B P B =--===--由 (|)(|)P A B P A B >， 所以得()()()()1()P AB P A P AB P B P B ->- ()()()()()()()P AB P B P AB P A P B P B P AB ->- ()()()P AB P A P B ∴>从而 ()()()()()()()P AB P A P AB P A P B P A P AB ->-即()()()()P AB P A P A P BA > ()()()()P AB P BA P A P A > 所以(|)(|)P B A P B A >．2．（5分）设12(,,,)n X X X 是来自总体(0,1)N 的样本，证明{}21202ni i n P X n n=-<<≥∑． 证明 根据2221~()ni X n χχ=∑，且22(),()2E n D n χχ==，由切比雪夫不等式，有{}{}2221|()|02ni P P E nX n χχ=-<<<∑22()21D n n nχ-≥-=．。

（完整版）随机过程习题答案随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的⼀维概率密度、均值和相关函数。

解因)1,0(~N V，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的⼀维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π，),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的⼀维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。

解对于任意0>t，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的⼀维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=，0>t)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X 2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷⼀枚均匀的硬币做实验，定义随机过程=时刻抛得反⾯时刻抛得正⾯t t t t t X ,2),cos()(π试求：（1）)(t X 的⼀维分布函数),1(),21(x F x F 和；（2）)(t X 的⼆维分布函数),;1,21(21x x F ；（3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，⽅差 )1(),(22X Xt σσ。

一．填空题〔每空2分，共20分〕2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为1λ的同一指数分布。

4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从Γ分布。

5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t2t,;e,e ⎫⎬⎭。

7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为(n)j i ij i Ip (n)p p ∈=⋅∑。

8．在马氏链{}n X ,n 0≥中，记 {}(n)ij v n 0f P X j,1v n-1,X j X i ,n 1,=≠≤≤==≥(n)ij ij n=1f f ∞=∑，假设ii f1<，称状态i 为非常返的。

9．非周期的正常返状态称为遍历态。

三．计算题〔每题10分，共50分〕1.抛掷一枚硬币的试验，定义一随机过程：cos t H X(t)=t Tπ⎧⎨⎩ ,t (-,+)∈∞∞，设1p(H)=p(T)=2，求〔1〕{}X(t),t (,)∈-∞+∞的样本函数集合；〔2〕一维分布函数F(x;0),F(x;1)。

解：〔1〕样本函数集合为{}cos t,t ,t (-,+)π∈∞∞； 〔2〕当t=0时，{}{}1P X(0)=0P X(0)=12==， 故0x<01F(x;0)=0x<12x 11⎧⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩；同理0x<-11F(x;1)=1x<12x 11⎧⎪⎪-≤⎨⎪≥⎪⎩2.设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2分钟内到达的顾客不超过3人的概率。

3.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。

1．设随机变量X 服从参数为的泊松分布，则X 的特征函数为 。

λ2．设随机过程 其中为正常数，和是相互X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ωA Φ独立的随机变量，且和服从在区间上的均匀分布，则的数学期望A Φ[]0,1X(t)为 。

3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。

4．设是与泊松过程对应的一个等待时间序列，则服{}n W ,n 1≥{}X(t),t 0≥n W 从 分布。

5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量，则 这个随机⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(过程的状态空间 。

6．设马氏链的一步转移概率矩阵，步转移矩阵，二者之ij P=(p )n (n)(n)ij P (p )=间的关系为 。

7．设为马氏链，状态空间，初始概率，绝对概率{}n X ,n 0≥I i 0p P(X =i)=，步转移概率，三者之间的关系为 。

{}j n p (n)P X j ==n (n)ij p 8．设是泊松过程，且对于任意则}),({0≥t t X 012≥>t t {(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程解的一般形式为 。

()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰10．记 。

()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→一一一一一一一t +a 得 分评卷 人二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）1.设为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：A,B,C 。

P(BC A )=P(B A )P(C AB) 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。

3.设为马尔科夫链，状态空间为，则对任意整数和{}n X ,n 0≥I n 0,1<n l ≥≤，步转移概率 ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，i,j I ∈n (n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑证明并说明其意义。

2007年4月份全国自考概率论与数理统计（经管类）真题参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.A. AB. BC. CD. D答案：B解析：A,B互为对立事件,且P(A)＞0,P(B)＞0,则P(AB)=0P(A∪B)=1，P(A)=1-P(B),P(AB)=1-P(AB)=1.2.设A，B为两个随机事件，且P（A）>0，则P（A∪B｜A）=（）A. P（AB）B. P（A）C. P（B）D. 1答案：D解析：A,B为两个随机事件,且P(A)＞0,P(A∪B|A)表示在A发生的条件下,A或B发生的概率,因为A发生，则必有A∪B发生，故P(A∪B|A)=1.3.下列各函数可作为随机变量分布函数的是（）A. AB. BC. CD. D答案：B解析：分布函数须满足如下性质：（1）F(+∞)=1,F(-∞)=0,(2)F(x)右连续,(3)F(x)是不减函数,(4)0≤F(x)≤1.而题中F1(+∞)=0；F3(-∞)=-1；F4(+∞)=2.因此选项A、C、D中F(x)都不是随机变量的分布函数,由排除法知B正确,事实上B满足随机变量分布函数的所有性质.4.设随机变量X的概率密度为A. AB. BC. CD. D答案：A5.设二维随机变量（X，Y）的分布律为(如下图)则P{X+Y=0}=（）A.B.C.D.答案：C解析：因为X可取0,1,Y可取-1,0,1,故P{X+Y=0}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=-1}=+=.6.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为A. AB. BC. CD. D答案：A7.设随机变量X服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（）A. E（X）=，D（X）=B. E（X）=，D（X）=C. E（X）=2，D（X）=4D. E（X）=2，D（X）=2答案：D解析：X~P(2),故E（X）=2，D（X）=2.8.设随机变量X与Y相互独立，且X~N（1，4），Y~N（0，1），令Z=X-Y，则D（Z）=（）A. 1B. 3C. 5D. 6答案：C解析：X~N(1,4),Y~N(0,1),X与Y相互独立,故D(Z)=D(X-Y)=D(X)+D(Y)=4+1=5.9.A.B.C.D. 4答案：C10.A. AB. BC. CD. D答案：B二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

随机过程复习题一、填空题：1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有______}|{|lim =<-∞>-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。

2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ， ，则1592}6)5(,4)3(,2)1({-⨯⨯====e X X X P ,618}4)3(|6)5({-===e X X P1532623292!23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({}2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({}6)5(,4)3(,2)1({----⨯⨯=⨯⨯⨯==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P66218!26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(412141，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=43410313131043411)(P ，则167)2(12=P ，161}2,2,1{210====X X X P⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4831481348436133616367164167165)1()2(2P P 167)2(12=P161314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{}2,2,1{12010102010210=⨯⨯=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ，)]()([)(πϖδπϖδπω-++=X S6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。

华南农业大学2007第一期概率统计试卷参考答案一. 选择题（'53⨯=15分） 1. D 2.B 3. B 4. C 5.A 二. 填空题（'53⨯=15分）1．243e -或0.1804； 2．2(1)1Φ-或0.7；3/2(1)n α-； 4．2(10)n χ； 5．3.0202； 三. (10分)解 设B ＝{此人感染此病}，A 1，A 2，A 3分别表示此人选自甲、乙、丙三个地区 由已知，有1()0.2P A =，2()0.5P A =，3()0.3P A =，1()0.06P B A =，2()0.04P B A =，3()0.03P B A =（1）由全概率公式有112233()()()()()()()0.20.060.50.040.30.030.041P B P A P B A P A P B A P A P B A =++=⨯+⨯+⨯=（2）由贝叶斯公式有 112()()0.20.0612()0.2927.()0.04141P A P B A P A B P B ⨯===≈答：从三个地区任意抽取一人，感染此流行病的概率为0.041；若已知此人染病，此人来自乙地区的概率约为0.2927. ………………… 四.(12分)解 (1) 11-22p X ⎛⎫<< ⎪⎝⎭=1201212121arcsin 3x ππ-==⎰（2）当x <-1时 ()00xF X dx -∞==⎰当11x -≤<时1111()0arcsin arcsin 12xxF x dx xx ππ--∞-=+==+-⎰⎰当x 1≥时11111111()00arcsin 122xF x dx dxdx xπ--∞--=+==+=⎰⎰⎰故X 分布函数为0,111()arcsin ,1121,1x F x x x x π<-⎧⎪⎪=+-≤<⎨⎪≤⎪⎩五（16分） 解 （1）()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰当0x <时，(,)0f x y =，从而()X f x ＝0.当0x ≥时3434300()(,)0123()3x y x y x X f x f x y dy dy e dy e e e +∞+∞----+∞--∞-∞==+=-=⎰⎰⎰33,0()0,0x X e x f x x -⎧≥=⎨<⎩ 同理44,0()0,0y Y e y f y y -⎧≥=⎨<⎩（2）由（1）求出的两个边缘密度函数表达式可知，对于一切x ，y ，有(,)()()X Y f x y f x f y =则可证明X 与Y 相互独立. （3）21(01,02)(,)P X Y f x y dxdy<≤<≤=⎰⎰210()()Y X f y dy f x dx=⋅⎰⎰21430214383432.x x x x e dy e dxeee e ------=⋅=--=--⎰⎰六.（10分）解 令X 表示取到正品之前已经取出的废品的数，则X 的可能取值为0，1，2，X 的分布律为8{0}10P X ==，288{1}10945P X ==⋅=，2181{2}109845P X ==⋅⋅=，所以88120121045459EX =⨯+⨯+⨯=， 2222881401210454515EX =⨯+⨯+⨯=224488().1581405DX EX EX =-=-=七．（10分） 解 设该次考试的考生成绩为X ，则2(,)XN μσ，把从X 中抽取的容量为n =26的样本均值记为X ，样本标准差为S .本题是在显著水平0.05α=下检验假设 01:70,:70.H H μμ=≠ 由于2σ未知，用t 检验法. 当H 0为真时，统计量/2(1)T t n α=≥-，由0.02526,66.5,15,(25) 2.060n X S t ====算得 1.19 2.060T =<，所以统计量T 未落入拒绝域中，从而接受H 0，即在显著水平0.05下，可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分. 八．（12分） 解 ()101(1)2E X x x dx ββββ+=+=+⎰ 由()12X E X ββ+==+知矩估计量为1ˆ21Xβ=-- ()1(1),010,nn i i i x x L βββ=⎧+<<⎪=⎨⎪⎩∏其它 ()1ln ln(1)ln ni i L n x βββ==++∑令()1ln ln 01ni i L nx βββ=∂=+=∂+∑ 故极大似然估计量为 11ln nii nxβ=-=-∑。

北京航空航天大学BEIHANG UNIVERSITY2007－2008 学年第二学期期末考试统一用答题册班级_____________ 学号 _____________姓名______________ 成绩 _________考场教室_________ 任课教师_________A2008年6月 26 日一、单项选择题（每小题3分，满分18分）1、 设事件A 、B 为任意事件,则下列各式中成立的是( )。

(A) )()()(B P A P B A P +=+； (B) )()()(B P A P B A P -=-； (C) )()()()(A P AB P B P B A P -+=-； (D) )()()(B P A P B A P =- 。

2、 有)3(≥n n 个人随机围坐在一个圆桌的一圈, 甲、乙两人相邻的概率是（ ）。

(A)n 2； (B) 12-n ； (C) )1(2-n n ； (D) )!1(1-n . 3、 已知随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤+=其它,020,)(x bx a x f , 且41}1{=≥X P ,则有( ) 。

(A) 21,1-==b a ； (B) 1,21=-=b a ；(C) 21,1==b a ； (D) 1,21==b a 。

4、 设随机变量X 在]2,2[ππ-上服从均匀分布,则X Y cos =的概率密度为（ ）。

（A ）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它,022,1)(πππy y f Y ； （B ）⎪⎩⎪⎨⎧<≤--=其它,011,111)(2y y y f Y π； （C ）2111)(y y f Y +=π, +∞<<∞-y ； （D ）⎪⎩⎪⎨⎧<≤-=其它,010,112)(2y yy f Y π 。

5、设随机变量4321,,,X X X X 相互独立,且服从同一分布,数学期望0=i EX ,方差02≠=σi DX ,4,3,2,1=i ；令321X X X X ++=,432X X X Y ++=, 则X 与Y 的相关系数XY ρ为（ ）. （A ）32 ； （B ）49σ； （C ）292σ； （D ）22σ 。

北京工业大学2009-20010学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。

考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。

考试时允许使用计算器。

考试时间120分钟。

考试日期：2009年12月31日一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？三、某公司在为期10年内的年利润表如下：(1)求该公司年利润对年份的线性回归方程;(2)对回归方程进行显著性检验：（取05.0=α）；(3)解释回归系数的意义；（4）求第11年利润的预测区间（取050.=α）。

四、用三种不同材料的小球测定引力常数，实验结果如下：在单因素试验方差分析模型下，检验材料对引力常数的测定是否有显著影响？取显著性水平05.0=α, 计算结果保留三位小数。

五、某大型设备在任何长度为t 的时间区间内发生故障的次数{}+∞<≤t t N 0),(是强度λ的Poisson 过程，记设备无故障运行时间为T 。

（1）求})(|)({4365==N N P ； （2）求自相关函数),(t s R N ，写出推导过程；（3）求T 的概率分布函数； （4）已知设备已经无故障运行了10小时，求再无故障运行8小时的概率。

六、（15分）设{,}n X n T ∈是一个齐次马尔可夫链，其状态空间}4,3,2,1{,=I ，一步转移概率矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2/12/1004/12/14/1004/14/12/1002/12/1P （1）求}4,2,1,3,2{54321=====X X X X X P ；（2）求}1|3{2==+n n X X P ；（3）讨论此链是否具有遍历性，若是遍历的求其极限分布。

随机过程考试试题及答案详解1、（15分）设随机过程C t R t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。

（1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。

【理论基础】 （1）⎰∞-=xdt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数；（2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(bx a a b x f ，分布函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<=b x b x a ab a x a x x F ,1,,0)(，2)(ba x E +=，12)()(2a b x D -=； （3）参数为λ的指数分布，概率密度函数⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x λλ，分布函数⎩⎨⎧<≥-=-0,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21)(λ=x D ； （4）2)(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞=--x e x f x ,21)(222)(σμπσ，分布函数∞<<-∞=⎰∞---x dt ex F xt ,21)(222)(σμπσ，若1,0==σμ时，其为标准正态分布。

【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。

（1）因R 为]1,0[上的均匀分布，C 为常数，故)(t X 亦为均匀分布。

由R 的取值范围可知，)(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤=其他,0,1)(tC x C t x f ，一维分布函数⎪⎩⎪⎨⎧+>+≤≤-<=t C x t C X C tCx C x x F ,1,,0)(；（2）根据相关定义，均值函数C tt EX t m X +==2)()(； 相关函数2)(231)]()([),(C t s Cst t X s X E t s R X +++==； 协方差函数12)]}()()][()({[),(stt m t X s m s X E t s B X X X =--=（当t s =时为方差函数） 【注】)()()(22X E X E X D -=；)()(),(),(t m s m t s R t s B X X X X -=求概率密度的通解公式|)(|/)(|)(|)()(''y x y f x y y f x f t ==2、（15分）设{}∞<<∞-t t W ),(是参数为2σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量；且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。

绝密★启用前2008级概率论与数理统计考试试题（A 卷）标准答案和评分标准_____________________________________________________________________二、填 空 题（20分）1、0.2;2、21, 99 ;3、1, 24; 4、 (12.706,13.294) ; 5、14三、解：设A 表示“选出第一班”，则A 表示“选出第二班”B 表示“选出女生”………………………………………….……………2分依题意有：30/18)/(,50/10)/(,2/1)()(====A B P A B P A P A P ………….4分 由全概率公式有 5/2)/()()/()()(=+=A B P A P A B P A P B P ……………….8分四、解：解：由X 和Y 独立，得⎩⎨⎧>≤≤==-其它,10)()(),(y x e y f x f y x f yY X --------------------------------2分 ⎰⎰≤+=≤+=≤=zy x Z dxdy y x f z Y X P z Z P z F ),()()()(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-=<≤+-=<=-------⎰⎰⎰⎰1110100110000z e e dxdy e z e z dxdy e z zz x z yzz x z y --------------------------------6分⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-<==---11010)()(1z e e z ez z F z f z z zZ Z -------------------------------8分解法二：由卷积公式得⎰+∞∞--=dx x z x f z f Z ),()( ，又因为X 与Y 相互独立，所以⎰+∞∞--=dx x z f x f z f Y X Z )()()(-----------------------------------------3分当0≤z 时，;0)()()(=-=⎰+∞∞-dx x z f x f z f Y X Z --------------------―――-――---5分当10<<z 时，;1)()()(0)(z zx z Y X Z e dx e dx x z f x f z f ---+∞∞--==-=⎰⎰-------------------7分 当1≥z 时，);1()()()(1)(-==-=---+∞∞-⎰⎰e e dx e dx x zf x f z f z x z Y X Z 所以;1)1(10100)()()(⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-≤=-=--∞+∞-⎰z e e z e z dx x z f x f z f z z Y X Z -------------------------8分五、解：（1）由,1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f …………………………………………1分得⎰⎰--=422)6(1dx y x k dy ……………………………………………………2分dy x x y k⎰--=42202])6[(⎰--=42)2212(dy y k 24)10(2y y k -= k 8=，所以8/1=k ………………………………………..……….4分（2）⎰⎰--=<<1032)6(81}3,1{dx y x dy Y X p ……………………………6分 dy x x y 01]2)6[(81322⎰--=83)211(8132=-=⎰dy y ………………..……8分（3） ⎰⎰=∈=≤Gdxdy y x f G Y X P X p ),(}),{(}4Y {＋dx y x dy y)6(814240--=⎰⎰-……………………………………………………….10分 dy x x y 0y -4]2)6[(8122⎰--=４dy y y y ⎰----=４22])4(21)4)(6[(81dy y y ⎰-+-=422])4(21)4(2[81 3224])4(61)4([8132=----=y y …………………………….……………….12分六、解：⑴222017()(,)(),86E X dy xf x y dx dy x yx dx +∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰………2分 由对称性得7()(), 6E Y E X ==…………………………3分⑵2222014()(,)(),83E XY dx xyf x y dy dx x y y x dy +∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰………4分 1(,)()()().36Cov X Y E XY E X E Y -=-=………………………………6分 ⑶ 2222320015()(,)(),83E X dy x f x y dx dy x yx dx +∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰2225711()()[()]()3636,D XE X E X =-=-=……………………8分由对称性得11 D(Y)=()36D X =(,111XY Cov X ρ-==…………………………10分(4) 解法一：()(,)D X Y Cov X Y X Y +=++5()()2(,).9D X D Y Cov X Y =++=…………12分解法二：2222222200002()()[()]11()() [()()]881875().339D X YE X Y E X Y x y x y dxdy x y x y dxdy +=+-+=++-++=-=⎰⎰⎰⎰七、解：()()01;x E X xf x dx x e dx λλλ+∞+∞--∞==⋅=⎰⎰…………………………2分按矩估计法取()1,E X A X ==得1ˆXλ=…………………………………4分 设1,,n x x 为总体X 的一个样本值，则似然函数为1nii x nn nx L e e λλλλ=--∑==……………………………………………………6分 取对数 ln ln L n nx λλ=-由对数似然方程()ln 0d L nnx d λλ=-= 解得1xλ=， 故得极大似然估计为1ˆX λ= …………………………8分八、解:(1) 依题意，检验假设500:00==μμH ，（50:01=≠μμH ）…2分(2) 由于标准差σ未知，在0H 成立时，T 检验法.选择统计量：nS X T 0μ-=～()1-n t …………………………………4分 (3) 对于给定的显著性水平05.0=α，当10=n 时，查t 分布表得临界点 ：()2622.2)9(1025.02==-t n t α……………………………….5分(4) 由10=n ，，502x =， 6.5s =，计算统计值：9730.0105.65005020=-=-=n s x t μ………………………6分 (5) 由于<=9730.0t ()2622.2)9(1025.02==-t n t α，t 落在拒绝域)}1(/{2-≥-==n t ns x t W αμ之外，故接受500:00==μμH ，即认为这批罐头的平均重量合乎标准………8分。