数理统计与随机过程复习题

北京工业大学2007-2008学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试题学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请将答案写在答题本上并写明题号与详细解题过程。

考试时间120分钟。

考试日期：2008年1月10日一、（10分）已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量（克）服从正态分布),(254σN ，在某日生产的零件中抽取10 件，测得重量如下：54.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.1 55.3问：该日生产的零件的平均重量是否正常（取显著性水平050.=α）？二、 （15分）在数 14159263.=π的前800位小数中, 数字93210,,,,, 各出现的次数记录如下检验这10个数字的出现是否是等概率的?（取显著性水平050.=α）三、（15分）下表给出了在悬挂不同重量（单位：克）时弹簧的长度（单位：厘米）求y 关于x 的一元线性回归方程，并进行显著性检验. 取显著性水平050.=α， 计算结果保留三位小数.四、（15分）三个工厂生产某种型号的产品，为评比质量，分别从各厂生产的产品中随机抽取5只作为样品，测得其寿命（小时）如下：在单因素试验方差分析模型下，检验各厂生产的产品的平均寿命有无显著差异？取显著性水平050.=α, 计算结果保留三位小数.五、（15分）设}),({0≥t t N 是强度为3的泊松过程，求（1）})(,)(,)({654321===N N N P ；（2）})(|)({4365==N N P ；（3）求协方差函数),(t s C N ，写出推导过程。

六、（15分）设{,}n X n T ∈是一个齐次马尔可夫链，其状态空间{0,1,2}I =，一步转移概率矩阵为 121414201335250P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（1）求}|,,,,{202021054321======X X X X X X P ；（2）求}|{122==+n n X X P ；（3）证明此链具有遍历性（不必求其极限分布）。

1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。

2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。

3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。

4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。

5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。

6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ijP (p )=，二者之间的关系为 。

7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。

8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。

10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。

二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。

2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。

3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。

数理统计与随机过程(研) 课程试卷一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？三、某公司在为期10年内的年利润表如下：(1)求该公司年利润对年份的线性回归方程;(2)对回归方程进行显著性检验：（取05.0=α）；(3)解释回归系数的意义；（4）求第11年利润的预测区间（取050.=α）。

四、用三种不同材料的小球测定引力常数，实验结果如下：在单因素试验方差分析模型下，检验材料对引力常数的测定是否有显著影响？取显著性水平05.0=α, 计算结果保留三位小数。

五、某大型设备在任何长度为t 的时间区间内发生故障的次数{}+∞<≤t t N 0),(是强度λ的Poisson 过程，记设备无故障运行时间为T 。

（1）求})(|)({4365==N N P ； （2）求自相关函数),(t s R N ，写出推导过程；（3）求T 的概率分布函数； （4）已知设备已经无故障运行了10小时，求再无故障运行8小时的概率。

六、（15分）设{,}n X n T ∈是一个齐次马尔可夫链，其状态空间}4,3,2,1{,=I ，一步转移概率矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2/12/1004/12/14/1004/14/12/1002/12/1P （1）求}4,2,1,3,2{54321=====X X X X X P ；（2）求}1|3{2==+n n X X P ；（3）讨论此链是否具有遍历性，若是遍历的求其极限分布。

七、设X(t)是平稳随机过程，若)2cos()()(Θ+=t t X t Y π，其中Θ是在)2,0(π上服从均匀分布的随机变量且与X(t)独立，问)(t Y 是否是平稳随机过程？。

随机过程试题及答案随机过程是概率论与数理统计的重要理论基础之一。

通过研究随机过程，可以揭示随机现象的规律性，并应用于实际问题的建模与分析。

以下是一些关于随机过程的试题及答案，帮助读者更好地理解与掌握这一概念。

1. 试题：设随机过程X(t)是一个马尔可夫过程，其状态空间为S={1,2,3}，转移概率矩阵为：P =| 0.5 0.2 0.3 || 0.1 0.6 0.3 || 0.1 0.3 0.6 |(1) 计算X(t)在t=2时的转移概率矩阵。

(2) 求X(t)的平稳分布。

2. 答案：(1) 根据马尔可夫过程的性质，X(t)在t=2时的转移概率矩阵可以通过原始的转移概率矩阵P的2次幂来计算。

令Q = P^2，则X(t=2)的转移概率矩阵为：Q =| 0.37 0.26 0.37 || 0.22 0.42 0.36 || 0.19 0.36 0.45 |(2) 平稳分布是指随机过程的状态概率分布在长时间内保持不变的分布。

设平稳分布为π = (π1,π2, π3)，满足πP = π（即π为右特征向量），且所有状态的概率之和为1。

根据πP = π，可以得到如下方程组：π1 = 0.5π1 + 0.1π2 + 0.1π3π2 = 0.2π1 + 0.6π2 + 0.3π3π3 = 0.3π1 + 0.3π2 + 0.6π3解以上方程组可得到平稳分布：π = (0.25, 0.3125, 0.4375)3. 试题：设随机过程X(t)是一个泊松过程，其到达率为λ=1，即单位时间内到达的事件平均次数为1。

(1) 请计算X(t)在t=2时的累计到达次数的概率P{N(2)≤3}。

(2) 计算X(t)的平均到达速率。

4. 答案：(1) 泊松过程具有独立增量和平稳增量的性质，且在单位时间内到达次数服从参数为λ的泊松分布。

所以，P{N(2)≤3} = P{N(2)=0} + P{N(2)=1} + P{N(2)=2} +P{N(2)=3}，其中P{N(2)=k}表示在时间间隔[0,2]内到达的次数为k的概率。

随机过程综合练习题一、填空题(每空3 分)第一章1．X1,X2, X n是独立同分布的随机变量，X i 的特征函数为g(t)，则X1 X2 X n 的特征函数是。

2．E E(X Y) 。

3．X 的特征函数为g(t)，Y aX b，则Y的特征函数为。

4．条件期望E(X Y)是的函数，(是or不是)随机变量。

5．X1,X2, X n是独立同分布的随机变量，X i 的特征函数为g i(t)，则X1 X 2 X n 的特征函数是。

6．n 维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性。

第二章7．宽平稳过程是指协方差函数只与有关。

8．在独立重复试验中，若每次试验时事件 A 发生的概率为p(0 p 1)，以X(n)记进行到n次试验为止 A 发生的次数，则｛X(n),n 0,1,2, ｝是过程。

9．正交增量过程满足的条件是。

10．正交增量过程的协方差函数C X (s,t) 。

第三章11．｛X(t), t ≥0｝为具有参数0 的齐次泊松过程，其均值函数为；方差函数为。

12．设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为1， 2 ，3且均为泊松过程，它们相互独立，若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度、无延时)，相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度是，汽车之间的不同到达时刻间隔的概率密度是。

13．｛X(t), t ≥0｝为具有参数0的齐次泊松过程，( t)n e n! 14．n15．240000 16．复合；17．71 4eP X(t s) X(s) n14．设{X(t), t ≥0} 是具有参数0的泊松过程，泊松过程第n 次到达时间W n的数学期望15．在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均 2 次/月的速率的泊松过程到达保险公司．若每次赔付金额是均值为10000 元的正态分布，求一年中保险公司的平均赔付金额。

16．到达某汽车总站的客车数是一泊松过程，每辆客车内乘客数是一随机变量．设各客车内乘客数独立同分布，且各辆车乘客数与车辆数N(t) 相互独立，则在[0 ，t]内到达汽车总站的乘客总数是(复合or 非齐次)泊松过程．17．设顾客以每分钟 2 人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2min 内到达的顾客不超过 3 人的概率是．第四章18．无限制随机游动各状态的周期是。

数理统计与随机过程复习题数理统计与随机过程复习题数理统计与随机过程是数学中的一个重要分支，它研究的是随机现象的规律性。

在实际应用中，我们常常需要对一些随机变量进行统计分析，以便得出有关随机现象的结论。

本文将通过一些复习题来回顾数理统计与随机过程的基本概念和方法。

1. 随机变量的概念随机变量是指在随机试验中可能取到的不同数值，它的取值是由试验结果决定的。

随机变量可以分为离散型和连续型两种。

离散型随机变量是指只能取到有限个或可列个数值的变量，如掷骰子的点数；而连续型随机变量是指可以取到任意实数值的变量，如身高、体重等。

2. 随机变量的分布函数随机变量的分布函数是指随机变量取值小于等于某个数的概率。

对于离散型随机变量，分布函数可以表示为累积概率函数的形式；对于连续型随机变量，分布函数可以表示为概率密度函数的积分形式。

3. 随机变量的期望和方差随机变量的期望是对随机变量取值的平均值的度量，它可以表示为每个取值乘以其概率的和。

随机变量的方差是对随机变量取值偏离期望值的度量，它可以表示为每个取值与期望值的差的平方乘以其概率的和。

4. 随机变量的常见分布在数理统计与随机过程中，常见的离散型分布有伯努利分布、二项分布和泊松分布；常见的连续型分布有均匀分布、正态分布和指数分布等。

这些分布在实际应用中具有广泛的应用，熟练掌握其概率密度函数和分布函数的性质对于统计分析至关重要。

5. 随机过程的概念随机过程是指随机变量的一个序列，它的取值是随机的，并且随着时间的推移而变化。

随机过程可以分为离散型和连续型两种。

离散型随机过程是指时间只能取到有限个或可列个数值的过程，如投掷硬币的结果；而连续型随机过程是指时间可以取到任意实数值的过程，如股票价格的变动。

6. 随机过程的平稳性随机过程的平稳性是指其统计特性在时间上的不变性。

强平稳性要求随机过程的所有统计特性在时间平移下保持不变；弱平稳性要求随机过程的一阶矩和二阶矩在时间平移下保持不变。

随机过程试题及答案一、选择题1. 随机过程是研究什么的对象？A. 确定性系统B. 随机性系统C. 静态系统D. 动态系统答案：B2. 下列哪项不是随机过程的特点？A. 可预测性B. 随机性C. 连续性D. 状态的不确定性答案：A3. 随机过程的数学描述通常使用什么？A. 概率分布B. 微分方程C. 差分方程D. 以上都是答案：A4. 马尔可夫链是具有什么特性的随机过程？A. 独立性B. 无记忆性C. 均匀性D. 周期性答案：B5. 以下哪个是随机过程的数学工具？A. 傅里叶变换B. 拉普拉斯变换C. 特征函数D. 以上都是答案：D二、简答题1. 简述什么是随机过程的遍历性。

答：遍历性是随机过程的一种特性，指的是在足够长的时间内，随机过程的统计特性不随时间变化而变化，即时间平均与遍历平均相等。

2. 解释什么是泊松过程，并给出其主要特征。

答：泊松过程是一种计数过程，它描述了在固定时间或空间内随机发生的事件次数。

其主要特征包括：事件在时间或空间上独立发生，事件的发生具有均匀性，且在任意小的时间段内，事件发生的概率与该时间段的长度成正比。

三、计算题1. 假设有一个泊松过程，其平均事件发生率为λ。

计算在时间间隔[0, t]内恰好发生n次事件的概率。

答：在时间间隔[0, t]内恰好发生n次事件的概率由泊松分布给出，公式为：\[ P(N(t) = n) = \frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^n}{n!} \]2. 考虑一个具有两个状态的马尔可夫链，其状态转移概率矩阵为：\[ P = \begin{bmatrix}p_{11} & p_{12} \\p_{21} & p_{22}\end{bmatrix} \]如果初始时刻在状态1的概率为1，求在第k步时处于状态1的概率。

答：在第k步时处于状态1的概率可以通过马尔可夫链的状态转移矩阵的k次幂来计算，即：\[ P_{11}^{(k)} = p_{11}^k + p_{12} p_{21} (p_{11}^{k-1} + p_{12} p_{21}^{k-2} + \ldots) \]四、论述题1. 论述随机过程在信号处理中的应用及其重要性。

随机过程复习题二及其答案一、选择题1. 随机过程的定义是什么？A. 一系列随机变量的集合B. 一系列确定变量的集合C. 一个随机变量D. 一个确定变量2. 什么是马尔可夫链？A. 一个具有时间序列的随机过程B. 一个具有空间序列的随机过程C. 一个具有独立同分布的随机过程D. 一个具有时间依赖性的随机过程3. 随机过程的期望值定义为：A. \( E[X(t)] \)B. \( E[X] \)C. \( \int_{-\infty}^{\infty} x f(x,t) \, dx \)D. \( \sum_{i=1}^{\infty} x_i p_i \)4. 以下哪个不是随机过程的属性？A. 期望B. 方差C. 协方差D. 导数5. 什么是平稳随机过程？A. 随机过程的期望随时间变化B. 随机过程的方差随时间变化C. 随机过程的统计特性不随时间变化D. 随机过程的协方差随时间变化答案：1. A2. A3. A4. D5. C二、简答题1. 解释什么是遍历定理，并给出其在随机过程分析中的应用。

2. 描述什么是泊松过程，并解释其主要特点。

3. 简述什么是布朗运动，并解释其在金融领域中的应用。

三、计算题1. 给定一个随机过程 \( X(t) \)，其期望 \( E[X(t)] = t \)，方差 \( Var[X(t)] = t^2 \)，计算 \( E[X^2(t)] \)。

2. 假设一个马尔可夫链 \( \{X_n\} \) 有状态空间 \( S = \{1, 2, 3\} \)，转移概率矩阵 \( P \) 为：\[P = \begin{bmatrix}0.1 & 0.8 & 0.1 \\0.5 & 0.3 & 0.2 \\0.2 & 0.6 & 0.2\end{bmatrix}\]计算状态 1 在第 3 步的概率。

四、论述题1. 论述随机过程在信号处理中的应用，并举例说明。

随机过程复习题（含答案）随机过程复习题一、填空题：1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有______}|{|lim =<-∞>-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。

2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ，，则1592}6)5(,4)3(,2)1({-??====eX X X P ,618}4)3(|6)5({-===eX X P1532623292!23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({}2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({}6)5(,4)3(,2)1({----??=?==-=-=-==-=-=-====eeeeX X P X X P X X P X X X X X X P X X X P66218!26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===eeX X P X X P3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(4 12141，=43410313131043411)(P ，则167)2(12=P ，161}2,2,1{210====X X X P=4831481348436133616367164167165)1()2(2P P 167)2(12=P161314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{}2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ，)]()([)(π?δπ?δπω-++=X S6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。

随机过程试题及答案一、选择题1. 关于随机过程的描述，错误的是：A. 随机过程是一种由随机变量组成的集合B. 随机过程是一种在时间上有序排列的随机变量序列C. 随机过程可以是离散的，也可以是连续的D. 随机过程是一种确定性的数学模型答案：D2. 以下哪种过程不是随机过程？A. 白噪声过程B. 马尔可夫过程C. 布朗运动D. 正态分布答案：D3. 随机过程的一阶矩描述的是：A. 均值B. 方差C. 偏度D. 峰度答案：A4. 当随机过程的各个时间点上的随机变量是独立同分布时，该随机过程为：A. 马尔可夫过程B. 马尔可夫链C. 平稳随机过程D. 白噪声过程答案：B5. 下列关于马尔可夫过程的说法中，正确的是：A. 当前状态只与上一状态有关，与历史状态无关B. 当前状态只与历史状态有关，与上一状态无关C. 当前状态只与上一状态和历史状态有关D. 当前状态与所有历史状态均无关答案：A二、填空题1. 随机过程中，时域函数常用的表示方法是__________。

答案：概率分布函数或概率密度函数2. 马尔可夫过程的状态转移概率只与__________相关。

答案：当前状态和下一状态3. 随机过程的时间参数称为__________。

答案：时刻或时间点4. 白噪声过程的自相关函数是一个__________函数。

答案：冲激函数5. 平稳随机过程的自相关函数只与__________相关。

答案：时间差三、解答题1. 请简要解释随机过程的概念。

随机过程是一种由随机变量组成的集合，表示一个在时间上有序排列的随机变量序列。

它可以是离散的，也可以是连续的。

随机过程的描述通常包括概率分布函数或概率密度函数，以及相关的统计特征，如均值、方差等。

随机过程可以用于对随机现象进行建模和分析。

2. 请简要说明马尔可夫过程的特点及应用。

马尔可夫过程是一种具有马尔可夫性质的随机过程，即当前状态只与上一状态有关，与历史状态无关。

其状态转移概率只与当前状态和下一状态相关。

2020(春季)数理统计与随机过程试题A 卷参考答案一.1、解：样本均值为227x =；2分顺序统计量(220,220,225,225,225,225,230,230,230,240)2分中位数2252分经验分布函数为153105910022*******()2252302302401240x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩，，，4分2、解：似然函数为()θ=L 11{(,,)(,,)}n n P X X x x =L L 12345678{3,1,3,0,3,1,2,3}P X X X X X X X X =========42[{=3}][{=1}]{=0}{=2}=P X P X P X P X 6424121θθθ=--（）（）对数似然函数ln ()θL =ln46ln 4ln(12)2ln(1)θθθ++-+-5分d ln ()d θθ=L 6820121θθθ--=--，则可得1712θ=，271312θ=，由于11,2θ>222d ln ()0,d θθθ<且L ˆθ=似5分二.解：记{0=ω抛掷硬币出现正面}，{1=ω抛掷硬币出现反面}，则)(t X 的所有样本函数为t t X t t X 2);(,cos );(10==ωπω。

4分⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<====-=-2,121-,5.01-,0);1()1(,5.0}2)1({,5.0}1)1({2,1)1(x x x x F X X P X P X 的分布函数为则且可能的取值为：由于，6分三．解：由题可知原假设与备择假设为：01:1000:1000H H μμ≥<；由题设可知：2100~(,),~(0,1)X X N N n μ即检验统计量为，U X =，5分拒绝域为：1}{100020}{967.102}X W u X u X αα-=<=<-=<由样本值计算得，=950967.102X <，落在拒绝域内，因此拒绝原假设，即认为在显著性水平为0.05时，这批元件不合格。

数理统计和随机过程考试试题一、填空(1, 2小题每空3分,3, 4, 5每空4分，共21分) 1. 设X-X 2, X 5是来自总体X U ：<(0,1)的简单随机样本，统计量C(X 1 X 2)/ X 厂X ：—X ： ~t(n)，则常数 C = _____________ ，自由度 n 二 _____ .2. 设(X 1,X 2, ,X n )是来自正态总体N(,2)的简单随机样本。

记1 n— . _—— （X k —X ）2，贝U （X —・）（S * r ） 服从n — 1 k463. 已知平稳过程X(t)的功率谱密度为Sx®卜送心k 叭+ k ,则 R< (0) = ___________ 。

4 •设随机过程X(t) , r T ,若 ________________________________ ，则称X(t)为弱 平稳过程。

5.设X(t)为标准的 Wiener 过程，则其相关函数R x (「t 2)=________________________________________________________________________ 。

二、 假设总体的分布密度为2x . x 2.-f(x ；心 孕旳(一歹)，x 0[0 x 兰0其中二0是未知参数，试求参数r 的极大似然估计量.(14分)三、 设X 1,X 2,ll),X n 是来自总体X~N(・\F12)的一组样本，论丫2,川,冷是来自总 体Y ~N (»2，时)的一组样本，两组样本独立.其样本方差分别为 s *2,s *2，且设•1, ^，时八；均为未知.欲检验假设H 。

：]2乂； , H 1：时江2，显著性水平〉事先给定.试构造适当检验统计量并给出拒绝域(临界点由分位点给出) .(10分)四、 试求随机过程｛X(t)二Acos 「t,t • R ｝的一维分布函数、一维概率密度函数，X 丄 X k , S *2n k 4__________ 分布自相关函数与协方差函数，其中A服从标准正态分布N(0,1). (15分)CT 2五、(1)二阶矩过程X(t) (0乞t ：：：1)的自相关函数为 R x(t1,t2) ，其中1-t1t2Olit <1，此过程是否均放连续、均方可导，为什么？若均方可导，试求R x (t i ,t 2) 和 R xx (t l , t 2 ) ( 8 分)；(2)设X(t) = Acosit • Bsin it，:•为常数，A,B 相互独立同分布于N(0,二2)，t判断X(t)是否均方可积。

随机过程试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个是随机过程的数学定义？A. 一系列随机变量B. 一系列确定的函数C. 一系列随机函数D. 一系列确定的变量答案：C2. 随机过程的期望值函数E[X(t)]随时间t的变化特性是：A. 确定性B. 随机性C. 非线性D. 线性答案：A3. 马尔可夫链是具有以下哪个特性的随机过程？A. 无记忆性B. 有记忆性C. 独立性D. 相关性答案：A4. 泊松过程是一种：A. 连续时间随机过程B. 离散时间随机过程C. 连续空间随机过程D. 离散空间随机过程答案：A5. 布朗运动是：A. 一个确定的函数B. 一个随机过程C. 一个确定的变量D. 一个随机变量答案：B二、简答题（每题5分，共20分）1. 简述什么是平稳随机过程，并给出其数学特征。

答案：平稳随机过程是指其统计特性不随时间变化的随机过程。

数学上，如果一个随机过程的任意时刻的一维分布和任意两个时刻的二维分布都不随时间平移而改变，则称该过程为严格平稳过程。

2. 解释什么是遍历定理，并说明其在随机过程中的重要性。

答案：遍历定理是随机过程中的一个基本定理，它提供了时间平均与概率平均之间的联系。

在随机过程中，如果一个随机过程是遍历的，那么对于任意的观测时间点，其时间平均值将趋向于其期望值，这一点在统计推断和信号处理等领域具有重要应用。

3. 描述什么是随机过程的平稳增量，并给出其数学定义。

答案：随机过程的平稳增量是指在固定时间间隔内，随机过程增量的分布不随时间变化。

数学上，如果对于任意的非负整数n和任意的实数h，随机过程{X(t+h) - X(t)}与{X(h) - X(0)}具有相同的分布，则称该随机过程具有平稳增量。

4. 简述什么是马尔可夫性质，并给出一个实际应用的例子。

答案：马尔可夫性质是指一个随机过程的未来发展只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。

具有马尔可夫性质的随机过程称为马尔可夫链。

例如，在天气预报中，明天的天气可能只与今天的天气有关，而与前几天的天气无关，这就是马尔可夫性质的一个实际应用。

随机过程试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪一项是随机过程的典型特征？A. 确定性B. 可预测性C. 无记忆性D. 独立增量性答案：D2. 马尔可夫链的哪一性质表明，系统的未来状态只依赖于当前状态，而与过去状态无关？A. 独立性B. 无记忆性C. 齐次性D. 可逆性答案：B3. 布朗运动是一个连续时间的随机过程，其增量具有什么性质？A. 独立性B. 正态分布C. 独立增量性D. 所有选项都正确答案：D4. 随机过程的平稳性指的是什么？A. 过程的分布随时间不变B. 过程的均值随时间不变C. 过程的方差随时间不变D. 过程的自相关函数随时间不变答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果随机过程的任意时刻的分布函数不随时间变化，则称该随机过程是________。

答案：平稳的2. 随机过程的自相关函数R(t,s)表示在时刻t和时刻s的随机变量的________。

答案：相关性3. 随机游走过程是一类具有________性质的随机过程。

答案：独立增量4. 泊松过程是一种描述在固定时间间隔内随机事件发生次数的随机过程，其特点是事件的发生具有________。

答案：无记忆性三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述什么是马尔可夫过程，并给出其数学定义。

答案：马尔可夫过程是一种随机过程，其未来的状态只依赖于当前状态，而与过去状态无关。

数学上，如果对于任意的n，以及任意的时间序列t1, t2, ..., tn，满足P(Xt+1 = x | Xt = x_t, Xt-1 = x_t-1, ..., X1 = x_1) = P(Xt+1 = x | Xt = x_t)，则称随机过程{Xt}为马尔可夫过程。

2. 描述布朗运动的三个基本性质。

答案：布朗运动的三个基本性质包括：1) 布朗运动的增量是独立的；2) 布朗运动的增量服从正态分布；3) 布朗运动具有连续的样本路径。

3. 什么是平稳随机过程？请给出其数学定义。

随机过程复习题一、随机过程的数字特征及平稳性1、设随机过程Z (t ) =X sin t +Y cos t ，其中X 和Y 是相互独立的随机变量，它们都分别以2/3和1/3的概率取值-1和2，讨论Z(t)的平稳性。

2、设随机过程()Xt e t -=ξ （t >0），其中随机变量X 具有在区间（0，T ）中的均匀分布。

试求随机过程ξ（t ）的数学期望和自相关函数。

3、有随机过程{ξ(t )，-∞<t <∞}和{η(t )，-∞<t <∞}，设ξ(t )=A sin(ω t +Θ)，η(t )=B sin(ω t +Θ+φ), 其中A ，B ，ω，φ为实常数，Θ均匀分布于[0，2π]，试求R ξη(s ,t )4、设有随机过程{ξ(t )，-∞<t <∞}，ξ(t )=η cos t , 其中η为均匀分布于（0，1）间的随机变量，即()()112311212(a)=cos cos (b)C =cos cos 1212R t ,t t t t ,t t t ξξξξ试证：5、随机过程ξ(t )=sin(Ut )，其中U 是在[0，2π]上均匀分布的随机变量。

若t ∈T , 而T =[0，∞）, 试分析ξ（t ）的平稳性。

6、随机过程()()0=cos +t A t ξωθ；式中：A 、ω0是实常数；θ是具有均匀分布的随机变量：()2(0=20(f πθθπ⎧≤≤⎪⎨⎪⎩其他） 分析ξ(t )的平稳性。

7、随机过程ξ(t )=A cos(ωt +Φ )，-∞<t <+∞，其中A, ω,Φ 是相互统计独立的随机变量，E A =2, D A =4, ω 是在[-5, 5]上均匀分布的随机变量，Φ 是在[-π，π]上均匀分布的随机变量。

试分析ξ(t)的平稳性和各态历经性。

8、设(){}+∞<<∞-t t X ,的均值函数为m X (t )，协方差函数为C X (t )，而ϕ(t )是一个普通函数，令()()()t t X t Y ϕ+=，+∞<<∞-t ，试求(){}+∞<<∞-t t Y ,的均值函数和协方差函数。

一、(本题10分)设11,,,n n X X X + 是来自总体2(,)N μσ的简单样本，记2,n X S 为前n个样本的均值和方差，试求证：(1)T t n =-二、（本题15 分）设1,,n X X 是来自总体2(,)N μσ的样本，其中μ已知，1）试求出2σ的极大似然估计2ˆσ。

2）证明2ˆσ是2σ的无偏估计。

3）证明2ˆσ是较2211()1nii S XX n ==--∑更有效的估计。

三、(本题15分)设1216,,,X X X 是总体~(,4)X N μ的样本，1）试证：对假设01:0:0H H μμ=↔≠，其两个拒绝域1{2 1.645}W X =≤-与2{1.52 2.125}W X =≤≤有相同的显著性水平0.05.α=2）求μ的置信度为95.0的单侧置信下限。

四、（本题15 分）某研究所推出一种感冒新药，为证明其疗效，选择了200名感冒患者，将其分为两组，一组不服药，另一组服药，数天后治愈情况如下表：试在显著性水平05.0=α的水平下，检验这种感冒新药是否有明显的疗效。

五、(本题15分)考察温度x 0C 对产量y （kg ）的影响，测得 10组数据如下表：( 1010102211142.5,18.6,20125,3564.1,8365iii i i i i x y x y x y ========∑∑∑ )应用线性模型,10~110=++=i x y i i i εββ其中),,0(~2σεN i 且相互独立1）试求回归方程及回归决定系数2R 。

2）试检验回归方程的显著性(0.05α=)。

3）当自变量042x =0C 时，求预测值0y 及其95%的预测区间。

六、(本题15分)设随机相位正弦波过程()cos()X t A t ωξ=+，其中A 为常数，随机变量ξ服从[0,2]π上的均匀分布，证明：()X t 为宽平稳过程；七、(本题15分)在某城市的地价预测研究中，将每月的地价分为“上涨”、“持平”、“下跌”三个状态，用1、2、3表示，用n X 表示第n 月的地价状态，则可以认为}2,1,0,{ =n X n 为齐次马尔可夫链，转移概率矩阵为：1/21/201/31/31/31/61/21/3P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（1）试说明该马氏链是遍历链；（2）求其平稳分布，并给出实际意义的解释。

数理统计与随机过程复习题数理统计与随机过程复习资料第1章抽样与抽样分布1. 设母体，是来自母体的一个子样，若问C为何值时，CY服从t分布，并给出其自由度。

2. 设母体,是来自母体的一个容量为6的子样，设，求常数C，使CY服从分布。

3. 设是来自总体的简单样本，记为前个样本的均值和方差，试求证：。

第2章参数估计1. 设母体（二项分布），其中：N已知，p是未知参数。

求p的最大似然估计量。

并确定所得估计量的无偏性和相合性。

2. 设母体（二项分布），求参数N，p的矩估计量。

3. 设为母体的一个子样，，当为何值时，Y为的无偏估计量且方差最小。

4. 设为母体的一个子样，，当满足什么条件时，Y为的无偏估计量，并求方差。

5. 设为母体的一个子样，求常数C，使为的无偏估计。

6. 设母体X的密度函数为a与b为参数，求a与b的矩估计。

7. 设母体（正态分布），其中：和为参数。

求和的最大似然估计量。

并确定所得估计量的无偏性；若是有偏，进行修正。

8.设母体X的分布密度为，其中，求参数的最大似然估计量。

9. 设母体（均匀分布），为参数，为母体的一个子样，，求参数的置信概率的置信区间。

10. 设母体（正态分布），其中为未知参数，为母体的一个子样，求母体平均数的置信概率为的置信区间。

11. 两台机床加工同一种零件，分别抽取6个和9个零件，测量其长度计算得到.。

假定各台机床零件长度服从正态分布。

求两个母体方差比的置信区间（=0.95）。

12.设是取自总体的一个样本，总体X的密度函数为（1）求的矩估计和极大似然估计；（2）的矩估计和极大似然估计是否为无偏的。

第3章假设检验1. 设母体和，和分别是来自母体X和母体Y的独立子样。

给定显著水平，检验假设，2. 设和分别是来自母体和母体的独立子样，且。

给定显著水平，检验假设，第4章方差分析1. 下表给出某种化工过程在三种浓度、四种温度水平下的得率数据：取显著水平，在不考虑交互作用的条件下，检验浓度和温度对得率是否有显著影响？浓度（%）温度（℃）102438522101191047876651312102. 在一元方差分析中，，而，试求的无偏估计量及其方差。

随机过程试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 随机过程的数学定义中，通常需要满足哪些条件？A. 样本空间、概率测度、随机变量B. 样本空间、概率测度、随机函数C. 样本空间、随机变量、随机函数D. 概率测度、随机变量、随机函数答案：B2. 马尔可夫链的无记忆性指的是什么？A. 过程的未来状态仅依赖于当前状态B. 过程的未来状态仅依赖于过去的状态C. 过程的未来状态依赖于当前和过去的状态D. 过程的未来状态依赖于所有历史状态答案：A3. 在随机过程中，如果一个过程的任何有限维分布都是联合正态的，则称该过程为什么？A. 正态过程B. 高斯过程C. 联合正态过程D. 多元正态过程答案：B4. 以下哪个不是平稳随机过程的性质？A. 一阶矩不随时间变化B. 任意两个不同时间点的协方差仅依赖于时间差C. 过程的均值随时间变化D. 过程的自相关函数仅依赖于时间差答案：C5. 随机过程的谱密度函数与自相关函数之间的关系是什么？A. 互为傅里叶变换B. 互为拉普拉斯变换C. 互为Z变换D. 互为梅林变换答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 如果随机过程的样本路径是连续的，则称该过程为_________。

答案：连续过程2. 随机过程的样本函数是定义在时间轴上的_________。

答案：随机变量3. 对于一个平稳过程，其自相关函数R(τ)仅依赖于时间差τ，而不依赖于绝对时间t，即R(t1, t2) = R(t1 - t2) = R(τ)，其中τ = t2 - t1。

这种性质称为_________。

答案：时间平移不变性4. 随机过程的遍历性是指过程的_________等于其统计平均。

答案：时间平均5. 随机过程的遍历性分为_________遍历性和_________遍历性。

答案：强，弱三、简答题（每题10分，共20分）1. 简述什么是泊松过程，并给出其概率质量函数。

答案：泊松过程是一种描述在固定时间或空间间隔内随机事件发生次数的随机过程。