北京工业大学2009-20010学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平）？050.=α解：这是单个正态总体),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0μ-=已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ，计算得n s x T /0μ-=31.328/88580=-=查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值.052.2)27(025.0=t 由于，故拒绝0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为该班的英语
052.2>T 2622.2>成绩为85分.二、某图书馆每分钟借出的图书数有如下记录:借出图书数 k 0 1 2 3 4 5 6≥7频数 f 8 16 17 10 6 2 1 0试检验每分钟内借出的图书数是否服从泊松分布? （取显著性水平）
050.=α解：由极大似然估计得.2ˆ==x λ在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。则有估计
}{k X P ==i p ˆ ,7,0,!2}{ˆ2===-k k e k X P k =0ˆp 三、某公司在为期10年内的年利润表如下：
年份 1 2 3 4 5 6 7 8910利润 1.89 2.19 2.06 2.31 2.26 2.39 2.61 2.58 2.82 2.9
(1)求该公司年利润对年份的线性回归方程;(2)对回归方程进行显著性检验：（取）；05.0=α(3)解释回归系数的意义；（4）求第11年利润的预测区间（取）。
050.=α四、用三种不同材料的小球测定引力常数，实验结果如下： 玻璃金铂6.678 6.683 6.6616.671 6.681 6.6616.675 6.676 6.6676.672 6.678 6.6676.674 6.679 6.664在单因素试验方差分析模型下，检验材料对引力常数的测定是否有显著影响？取显著性水平, 计算结果保留三位小数。05.0=α五、某大型设备在任何长度为的时间区间内发生故障的次数是强度的t {}+∞<≤t t N 0),(λPoisson 过程，记设备无故障运行时间为。T （1）求； （2）求自相关函数，写出推导过程；})(|)({4365==N N P ),(t s R N （3）求的概率分布函数； （4）已知设备已经无故障运行了10小时，求再无故障运行8T 小时的概率。
六、（15分）设是一个齐次马尔可夫链，其状态空间，一步转移概{,}n X n T ∈}4,3,2,1{,=I 率矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2/12/1004/12/14/1004/14/12/1002/12/1P （1）求；}4,2,1,3,2{54321=====X X X X X P （2）求；}1|3{2==+n n X X P （3）讨论此链是否具有遍历性，若是遍历的求其极限分布。七、设X(t)是平稳随机过程，若，其中是在上服从均匀分)2cos()()(Θ+=t t X t Y πΘ)2,0(π布的随机变量且与X(t)独立，问是否是平稳随机过程？)(t Y 标准答案一．这是单个正态总体),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法.
解 85:0=μH ，85
:1≠μH 选统计量
n s x T /0μ-=已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ，计算得
n s x T /0μ-=31.328/88580=-=查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值.052.2)27(025.0=t 由于，故拒绝0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为该班的英语
052.2>T 2622.2>成绩为85分.七．解：设，
)(,)(τμx x R c t =)]2[cos()()]([)(Φ+∏==t E t t Y E t X Y μμ0)2cos(2120=+∏=⎰∏θθd t ττττ∏=-=-∏⋅=Θ++∏+-∏==2cos )()(2cos 21)(]}2)(2cos[21)(2cos 21{),()]()([),(X X X Y R t s s t R s t s t E s t R s Y t Y E s t R 其中所以，是平稳随机过程五 解： （=1/8。}1|3{2==+n n X X P 。中无零元，所以遍历3)3(P ⎩⎨⎧=+++=1),,,(),,,(.432143214321ππππππππππππP 的解，具体求解略平稳分布为以下方程组解得平稳分布为7/1,7/24321====ππππ
