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第九章 微分方程及其应用§9.1 微分方程及其相关概念所谓微分方程，就是含有自变量、自变量的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程。
例如，以下各式都是微分方程：⑴ 2x dxdy =. ⑵ ).(22t f kx dt dx hx dt x d m =++ ⑶)()(x Q y x P dxdy =+. ⑷0sin 22=++θθθl g dt d h dt d . ⑸0)',,()(=n y y y x F .只含一个自变量的微分方程,称为常微分方程,自变量多于一个的称为偏微分方程。
本章只研究常微分方程，因而以后各节提到微分方程时均指常微分方程。
微分方程中所含有的未知函数最高阶导数的阶数，称为该微分方程的阶。
例如，⑴、⑶为一阶方程，⑵、⑷为二阶方程，而⑸为n 阶方程。
微分方程中可以不含有自变量或未知函数，但不能不含有导数，否则就不成为微分方程。
微分方程与普通代数方程有着很大的差别，建立微分方程的目的是寻找未知函数本身。
如果P196有一个函数满足微分方程，即把它代入微分方程后，使方程变成（对自变量的）恒等式，这个函数就叫做微分方程的解。
例如331x y =显然是⑴的解，因为23)31(x dxx d =。
若方程解中含有独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数，则称此解为微分方程的通解，例如π+=331x y 就是⑴的通解。
从通解中取定任意常数的一组值所得到的解，称为微分方程的特解。
例如π+=331x y 就是⑴的一个特解。
用来确定通解中任意常数值的条件称为定解条件，当自变量取某个值时，给出未知函数及其导数的相应值的条件称为初始条件。
在本章中，我们遇到的用来确定任意常数值的条件一般为初始条件。
例如，如果⑴的初始条件为()π=0y ，则在代入到通解c x y +=331后，可以求得π=c ，从而得到特解π+=331x y 。
一般的，因为n 阶微分方程的通解中含有n 个独立的任意常数。
非线性偏微分方程及其几种解法综述姓名：柏宝红学号：BY目录1、绪论.......................................................................................... 错误!未定义书签。
1.1背景................................................................................... 错误!未定义书签。
1.2 现状.................................................................................. 错误!未定义书签。
2、非线性偏微分方程的几种解法.............................................. 错误!未定义书签。
2.1逆算符法........................................................................... 错误!未定义书签。
2.2 齐次平衡法...................................................................... 错误!未定义书签。
2.3 Jacobi椭圆函数方法 ....................................................... 错误!未定义书签。
2.4 辅助方程方法.................................................................. 错误!未定义书签。
2.5 F-展开法........................................................................... 错误!未定义书签。
