X X 0 ,( 0 x L ) (1.9)
13.05.2020
X(0)X(L)0
(1.10)
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(II) 本征值问题
X X 0 ,( 0 x L ) (1.9)
X(0)X(L)0
(1.10)
情形（A） 0 其通解为 X (x)C 1 e xC 2e x,
由(1.10)，可推出 C1C20,
sin L0.
于是有 Lk, (k1,2 ,3)., 本征值
kkL 222, (k1,2,3,).
这样就找到了一族非零解
(1.11)
X k(x)C ksikn L x,本(征k1 ,2, )
(1.12)
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函数
6
kkL 222, (k1,2,3,) 代入(1.8)可得
Ta2k22T0, (k1,2,)3,
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• 对任意一点 x 0 ,
k u k(x 0,t)N ksiL nx 0 siω n kt (k)
这表示在任意一点 x 0 处都作简谐振动。
xn
nL k
,
n0,1,2,,k
uk(xn,t)0
节点
k
ka
L
固有频率
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例 2u
t
2
a2
2u x 2
,
(k1,2,)
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(III) 特解的叠加
为了求出原定解问题的解，还需满足初始条件（1.3）。 一般来讲，前面求出的特解不一定满足初始条件。
为此，我们把所有特解 uk (x,t) 叠加起来，并使之满足 初始条件，即取
u(x,t) Xk(x)Tk(t)
