偏微分方程.ppt

泊松方程： 适用于所有物质或电荷的重力场或静电场。 波动方程式：未知函数 u(x,y,z,t):
热传导方程式： 其中 k 代表该材料的热导率。
初始条件和边界条件称为定解条件，未附加定解条件的 偏微分方程称为泛定方程。对于一个具体的问题，定解 条件与泛定方程总是同时提出。定解条件与泛定方程作 为一个整体，称为定解问题。
u t
a
2
(
2u x2
2u y 2
2u y 2
),
这里a
2
k
/
c.
当物体有内部热源的时候，方程为
u t
a
2
(
2u x2
2u y 2
2u y 2
)
f
(x,
y, z,t).
因为
c t2 udtdV t2
k(x, y, z) u dSdt
t2
c F(x, y, z,t)dtdV.
t1 t
T (x) cos T (x x) cos 0
T (x) sin T (x x) sin ma
这里α，β，a分别是两个力和水平方向的夹角，以及弦线 在竖直方向的加速度。
注意到弦仅仅在接近水平位置振动，所以α和β都是很小 的量，于是前一个方程可以近似为
T (x) T (x x) 0
(u
- u1)。
第三边界条件，表示外界温度为u1,表面 的热量和温度差成正比。
2.1 一些常见的偏微分方程
Poisson 方程
带有稳定热源或内部无热源的稳定温度场的温度分布，不 可压缩流体的稳定无旋流动及静电场的电势等均满足这类 方程。下面的方程是Poisson 方程的第一边值问题。
偏微分方程讲义 建模、数值解和Matlab工具箱

估计误差
这种误差称为“局部截断误差”，如图。
局部截断误差是以点 的精确解 而产生的误差。
为出发值，用数值方法推进到下一个点
2.整体截断误差—收敛性
整体截断误差是以点 的初始值 为出发值，用数值方法推进i+1步到点
，所得的近似值 与精确值
的偏差：
称为整体截断误差。
特例，若不计初始误差，即 则
即 3.舍入误差—稳定性
五、线性多步（Linear Multistep Method）法
1. 预备知识：插值多项式
插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况， 估算出函数在其他点处的近似值。
从几何上理解：对一维而言，已知平面上n＋1个不同点，要寻找一条n次多项式 曲线通过这些点。插值多项式一般常见的是拉格朗日插值多项式。
把
代入 中，有
经比较得到
取 为自由参数： 从而得到不同的但都是二阶的R-K方法，对应的有中点法、Heun（亨）法 以及改进的Euler法。
基于相同的过程，通过比较五次Taylor多项式，得到更加复杂的结果，给出了包含 13个未知数的11个方程。得到多组系数，其中常用的是以下四阶R-K法：
改进的Euler法、R-K法以及解析解的比较：
是待定的系数。
Euler法就是
的R-K法。
其系数的确定如下：将 展开成 的幂级数，并与微分方程的精确解
在点 的Taylor展开式相比较，使两者的前
项相同，这样确定的R-K法，
其局部截断误差为
，根据所得关于待定系数的方程组，求出它们的值后
代入公式，就成为一个 阶R-K方法。
例题 以二阶R-K法为例说明上述过程
2. Curtis F.Gerald and Patrick O., Applied Numerical Analysis, Person Education, Inc., 2004.

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常见的定解条件，可分为初始条件与边界条件。
1.3.1 初始条件
1.3.1 初始条件
1.3.1 初始条件
1.3.1 初始条件
1.3.2边界条件
1.3.2边界条件
1.3.2边界条件
1.3.2边界条件
1.3.2边界条件
1.3.2边界条件
1.3.2边界条件
1.3.2边界条件
1.3.2边界条件
5. 微小横振动，是指振动的幅度及弦在任意处切线的倾角都很 小。
1.2 三类经典方程的导出
1.2 热传导方程的导出
例 1.2.2 热传导方程
所谓热传导，就是物体内温度较高的点处的热量 向温度较低点处的流动。 热传导问题归结为求物体内部温度的分布规律。
1.2 热传导方程的导出
设物体在Ω内无热源。 在Ω中任取一封闭曲面S。 以函数u(x,y,z,t)表示物体在t时刻M=M(x,y,z)处的温度。
偏微分方程

1 )u
2Cu F ]
第21页/共28页
小结：三种方程的标准型式：
(1) a122 a11a22 0 u u Au Bu Cu D
(2) a122 a11a22 0,
u Au Bu Cu D (3) a122 a11a22 0
u u Au Bu Cu D
dx
特征线：y sin x 2x C1, y sin x - 2x C2
令： y sin x 2x, y sin x - 2x
u
32
(u
u
)
0
s , t ξ-η
第26页/共28页
第二章： 复习思考题与作业
一．写出二阶常系数线性齐次微分方程的特征方程与 特 征根。
二. 简述二阶常系数线性齐次微分方程的求解步骤。 三. 写出二阶线性偏微分方程的辨别式及其分类原则。 四. 解释何谓自变量非奇异变换。 五. 简述二阶线性偏微分方程简化的基本步骤。 六. 书习题2：1（1）（2）；2（2）（3）；7 七. 课堂练习：P41:2（1）
利用了欧拉公式
例: 求下列方程的通解
(1) y 4 y 3 y 0 (2) y 2 2 y 2 y 0 (3) y 2 y 3 y 0
解 (1)特征方程为 r2 4r 3 0 解得 r1 3, r2 1
所以方程的通解为
y C1e3x C2e x C1 ,C2为任意常数
2u t 2
a2
2u x2

x
2u x 2
a2
2u t 2
u
2u x 2
a2
u t
xu
1
u
1
2
2u
2
0
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6.2 二阶偏微分方程的求解
二 抛物线型偏微分方程
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6.2 二阶偏微分方程的求解
parabolic函数用于求解抛物型偏微分方程的解，调用格 式如下：
u1=parabolic(u0,tlist,b,p,e,t,c,a,f,d) b: 边界条件 u0: 初始条件 tlist；时间列表 u1:对应于tlist的解向量 p,e,t :网格数据
• 启动偏微分方程求解界面
– 在 MATLAB 下键入 pdetool
• 该界面分为四个部分
– 菜单系统 – 工具栏 – 集合编辑 – 求解区域
第20页/共43页
6.3 偏微分方程求解工具箱
菜单栏
工具栏
第21页/共43页
6.3 偏微分方程求解工具箱
第22页/共43页
5.3 偏微分方程求解工具箱
第9页/共43页
6.1 偏微分方程组求解
边界条件程序”c7mbc.m” function [pa, qa, pb, qb]=c7mpbc(xa, ua, xb, ub, t) pa=[0; ua(2)]; qa=[1; 0]; pb=[ub(1)-1; 0]; qb=[0; 1];
function u0=c7mpic(x) u0=[1; 0];
进入反应器，相当于总质量速率为G=2500kg.h-1.m2。反应管
外用速率为F 130kg h-1烟道气与反应混合物
逆流加热反应管，烟道气出口温度为620 C。其
它数据：催化剂的堆积密度＝1440kg / m3，操作
压力P 1.2bar，乙苯的反应热H＝140000kJ / m ol，
床层有效导热系数e 0.45w.m1.k 1,有效扩散系数

25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
计算方法 偏微分方程数值解不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯

偏微分方程
PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION (P.D.E)
演讲人：Marky
1
目录
• 1 偏微分方程的基本概念 • 2 有限差分方法 • 3 常系数扩散方程及初边值问题 • 4 复金兹堡-朗道方程的简单介绍
深圳大学材料学院
2
1 偏微分方程的基本概念
3
1.1 偏微分方程定义
深圳大学材料学院
17
4 复金兹堡-朗道方程的简单介绍
18
复Ginzburg-Landau方程(CGLE)形式如下：
t
A
A
(1
i
)
2 x
A
(1
i
)
A2
A
其中，A=(x,t)是关于时间t和空间x的复变量；μ是标度参数，通常
情况下，μ=1 ；实数α,β是系统参数。当α,β→∞,α/β=常数，
上方程转变为非线性薛定谔方程。当α,β→0,方程可以化为一个简
, tn1)
u(x j
,tn )
[
u t
]nj
O(
)
(1)
u(x j1, tn ) u(x j , tn ) h
[
u x
]nj
O(h)
(2)
u(x j1, tn )
2u(x j , tn ) h2
u(x j1,t n)
[
2u x 2
]nj
O(h2 )
(3)
深圳大学材料学院
11
利用（1）式和（2）有
1.2.1 偏微分方程的解
偏微分方程的解：如果给定一个函数，将它及它对自变量的各阶偏导 数代入原偏微分方程，能使方程成为恒等式，则称函数是偏微分方程的解。

, xn , t )的n维波动方程
19
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《偏微分方程》第一章 绪论 第20页
例1.1.2 热传导方程 在三维空间中, 考察一均匀、各向同性的物体G, 假定其内部 有热源, 并且与周围介质有热交换, 求物体内部温度的分布和变化 规律。 问题: 设函数u (x, y, z, t )为物体G在点(x, y, z)处时刻t的温度, 求u所 满足的方程。 我们可利用能量守恒定律和富里叶(Fourier)热传导定律来建 立数学模型, 导出热传导方程 (略) 。
3
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《偏微分方程》第一章 绪论
教材及参考资料
第 4页
教 材：偏微分方程(第三版) ，陈祖墀，高教出版社。 参考书目： 1. 数学物理方程(第二版),谷超豪、李大潜等,高教出版社。 2. 现代偏微分方程导论, 陈恕行, 科学出版社。 3.偏微分方程讲义(俄罗斯数学教材选译)，高教出版社。
11
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《偏微分方程》第一章 绪论 第12页
注：Lu可视为线性算子L作用在函数u上。例如
2 2 2 2 2 Lu ( 2 a 2 2 2 )u t xn x1 x2 2 2 2 2u u u u 2 2 a 2 2 2 t xn x1 x2 2 2 2 2 2 2 x1 x2 xn 2 2 2 2u 2u u ( 2 2 2 )u 2 2 x1 x2 xn x1 x2
2 2 Laplace算子 2 2 x1 x2
, xn , t ) 的n维Laplace方程，利用
2 2 写成 xn
y ( y1, y2 , , ym ) 是参数，则