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第三章 模糊逻辑3.1 模糊逻辑代数的基本知识一、布尔代数和德·摩尔根代数逻辑代数是布尔（G .Boole ）为把逻辑思维数学化而创立的一门学科，因此逻辑代数也叫布尔代数。
定义3.1.1 一个集合L ，如果在其中定义了两种运算∨和∧，具有下列性质： （P1）幂等律 对任意α∈L ，有α∨α=α α∧α=α （P2）交换律对任意α，β∈L 有α∨β=β∨α α∧β=β∧α（P3）结合律对任意α，β，γ∈L 有()=()αβγαβγ∨∨∨∨ ()=()αβγαβγ∧∧∧∧（P4）吸收律()αβββ∨∧= ()αβββ∧∨=则称L 是一个格，记作L = (,,)L ∨∧。
记普通关系≤为L 中的偏序，它定义为αβαββ≤⇔∨=(3.1)设A L ⊂，对任意A α∈，若存在L β∈，使αβ≤，则称β为A 的上界。
如果0β是A 的上界中最小的一个上界，则称0β为A 的上确界，记为}{0sup |A βαα=∈ 或 0Aαβα∈=∨ (3.2)若存在L γ∈，使γα≤，则称γ为A 的下界。
如果0γ是A 的下界中最大的一个下界，则称0γ为A 的下确界，记为{}0inf |A γαα=∈ 或0Aαγα∈=∧ (3.3)关于两个元素α和β的上确界记为α∨β，下确界记为α∧β。
定义3.1.2设(,,)L ∨∧是一个格，如果它还满足如下性质：(P5)分配律()()()αβγαγβγ∨∧=∧∨∧()()()αβγαγβγ∧∨=∨∧∨则称(,,)L ∨∧是一个分配格。
定义3.1.3设(,,)L ∨∧是分配格，在L 中存在两个元素，记为0和1，以及存在运算c，对L α∀∈，满足：(P1) 么元律11α∨= 1αα∧= 0αα∨= 00α∧=分别称0、1为最小、最大元。
(P2) 复原律()c c αα=(P3) 补余律1c αα∨=0c αα∧=则称(,,,)cL ∨∧是一个布尔代数。
({0,1},,,)c ∨∧是一个布尔代数。
举例eg 1 y=sinx, x ∈(-∞,+∞)，y ∈[-1,+1]，由于［－1,＋1］是y 轴的一个子集，故这个映射是x 到y 内的映射，是属于“非全射”。
eg 2 y=x 2, x ∈(-∞,+∞), y ∈(0,+∞)。
这是由x 到y 内的映射，也属于“非全射”。
eg 3 y=x 3, x ∈(-∞,+∞), y ∈(-∞,+∞)。
这个映射是由x 射到y 轴上的映射，属于“全射”。
并且也是“单射”，同时也是“一一映射”。
Ch 3 Fuzzy 控制理论的预备知识§3－1 Fuzzy 关系与Fuzzy 关系图一 Fuzzy 关系~R 第二章讲过，所谓关系R ，实际上是A 和B 两集合的直积A ×B 的一个子集。
现在把它扩展到Fuzzy 集合中来，可定义如下：所谓A 和B 两集合的直积A ×B ＝﹛(a ，b)|a ∈A ，b ∈B ﹜中的一个模糊关系~R ，是指以A ×B 为论域的一个Fuzzy 子集，其序偶(a ，b)的隶属度为 ~R μ (a ，b)，可见~R 是二元Fuzzy 关系。
3-1Nose ：当A=B 时，我们称之为“A 面上的Fuzzy 关系”R 。
eg ． 要求列出集合A=﹛1，5，7，9，20﹜“序偶”上的“前元比后元大得多”的关系~R 。
解：直积空间R ＝A ×A 中有25个“序偶”，其中R 1=﹛(20,1)，(20,9)，(20,7)，(20,5)，(9,7)，(9,5)，(9,1)，(7,5)，(7,1)，(5,1)﹜ 是满足“前元比后元大”的子集。
~0.50.70.810.10.30.950.10.90.85(5,1)(7,1)(9,1)(20,1)(7,5)(9,5)(20,5)(9,7)(20,7)(20,9)R =+++++++++ 上式中分子的值即是按人的判断结果给出的相应满足“前元比后元大得多”的程度，还有一种求法是利用适当的隶属函数来确定。
