方腔顶盖驱动流动

基于格子Boltzmann方法的气动声学计算司海青;石岩;王兵;吴晓军【摘要】研究了应用于气动声学计算中的格子Boltzmann方法(Lattice Boltzmann method,LBM),采用非平衡外推格式处理壁面边界条件,远场无反射边界条件采用吸收层边界条件.首先,将LBM应用于顶盖驱动的空腔流动模拟进行程序验证;然后,数值研究气动声学中的几个典型问题,特别讨论了黏性对LBM数值解的影响,并与传统的四阶精度低色散保持格式(Dispersion-relation-preserving,DRP)比较,检验了该方法模拟气动声学基本问题的能力,为进一步运用该方法模拟复杂物体产生噪声奠定基础.研究表明,尽管标准LBM方法在时间、空间上仅有二阶精度,但是,LBM方法计算得到的结果能和分析解保持一致,它是有效且可行的气动声学计算方法.【期刊名称】《南京航空航天大学学报》【年(卷),期】2013(045)005【总页数】5页(P616-620)【关键词】格子Boltzmann方法;壁面边界条件;吸收层边界条件;计算气动声学;计算流体力学【作者】司海青;石岩;王兵;吴晓军【作者单位】南京航空航天大学民航/飞行学院,南京,210016;南京航空航天大学民航/飞行学院,南京,210016;南京航空航天大学民航/飞行学院,南京,210016;中国空气动力研究与发展中心,绵阳,621000【正文语种】中文【中图分类】V211.3格子Boltzmann方法（Lattice Boltzmann method，LBM）的产生与发展，不仅在计算流体力学领域中产生了深远的影响，它所使用的处理方法和观点对其他学科也是富有启发性的。

尽管LBM方法［1］在计算流体力学领域中已得到较多应用，但它在计算气动声学领域中的研究［2－5］与应用相对较晚。

近几年，在计算动力学（Computational aeroacoustics，CAA）研究领域，LBM正逐渐受到国外研究者们的足够重视，Buick等［5］运用LBM解决无黏性的声传播问题，然后，Dellar等［6］运用该方法求解含有黏性的声传播问题。

基于MRT-LBM的方腔流动局部加密算法陈颂英;汪超;曲延鹏;王润堃【摘要】使用多参数弛豫模型的格子玻尔兹曼方法及D2Q9模型,对方腔流顶盖下方左右奇异角落处应用局部网格加密模拟方腔流动特性.在粗细网格界面上,建立了分布函数的转换公式,采用3次样条插值计算加密界面上插值点的参量,根据Chapman-Enskog分析,给出了应力计算公式.数值计算结果表明:对雷诺数1000的方腔流动,沿腔中心线的速度分布与经典文献结果对比效果良好,压力、涡量轮廓图的噪声明显降低,应力振荡明显减少,证实了所提局部加密方法的有效性.%Employing the D2Q9 model, grids at the double singular corners were locally refined to investigate the flow peculiarity of the lid driven cavity based on the multi-relaxation time of lattice Boltzmann method (MRT-LBM). The transferring formulae of the distribution functions were established between the coarse and fine grids. Parameters were interpolated with cubic spline implementation on the refined layers, and the stress expressions were given on the basis of the Chapman-Enskog. For the cavity flow with the Reynolds number 1 000,the simulation results showed that the velocity distribution along the cavity mid plane agrees with that of the classical benchmark very well,the noises on the pressure and vortex contours are significantly reduced,and the stress fluctuation obviously decreases. The computational results showed validation of the present method.【期刊名称】《东北大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(039)004【总页数】5页(P538-542)【关键词】格子Boltzmann;多参数弛豫模型;局部网格加密;方腔;D2Q9模型【作者】陈颂英;汪超;曲延鹏;王润堃【作者单位】山东大学高效洁净机械制造教育部重点实验室,山东济南 250061;山东大学高效洁净机械制造教育部重点实验室,山东济南 250061;山东大学高效洁净机械制造教育部重点实验室,山东济南 250061;山东大学高效洁净机械制造教育部重点实验室,山东济南 250061【正文语种】中文【中图分类】O35格子Boltzmann方法(LBM)[1-3]广泛应用于流体动力学计算中,采用Boltzmann 方程代替格子气自动机,并将该模型用于流体的数值计算[4-5],再引入平衡态分布函数,将碰撞算子用一个碰撞矩阵代替[6].在此基础上,单弛豫时间法(SRT)[7]进一步简化了碰撞算子.Qian等[8]提出格子BGK模型,D’humeriers[9]提出了一种广义LBE模型(GLBE),Lallemand等[10]对GLBE模型作了细致的理论分析,表明其在物理原理、参数选取和数值稳定性方面都有很大优势.Luo等[11]提出多弛豫碰撞模型在精度和数值稳定性方面都要优于单弛豫的BGK(Bhatnagar-Gross-Krok)碰撞模型,当对高雷诺数流动进行模拟时,BGK模型会产生数据波动,最终导致计算失稳[12].GLBE的碰撞过程使用多个弛豫时间,因此也称MRT(multi-relaxation-time)模型[13-16].多参数弛豫模型是目前使用最广泛的格子Boltzmann模型,其中Qian等[8]提出的D2Q9模型最具有代表性,目前已证明MRT-LBM模型不仅能提高计算稳定性,还能提高准确性,Peng等[17]提出浸入式边界LBM的多块模型,对方腔流进行分块网格处理来验证正确性,成功计算出方腔流的涡心,结果与Ghia等[18]的DNS计算结果值吻合.本文通过对物理量变化剧烈的左、右上方两角区域的网格进行局部加密处理,将流场进行分区,各区域使用不同密度的网格划分,同时通过区域间边界处的信息传递来实现计算的耦合,可显著提高计算效率.1 MRT加密算法1.1 多参数弛豫模型格子Boltzmann方法MRT-LBM方程为f(x+eiδt,t+δt)=f(x,t)-M-1S[m-meq] .(1)式中：f为节点上的分布函数;m为矩;meq为矩的平衡态;M为正交转换矩阵;S为驰豫系数矩阵.在MRT模型中,剪切黏度和体积黏度分别为(2)式中:/3;弛豫参数Sv与Se分别与剪切黏度和体积黏度有关.MRT模型的主要特征是在矩空间进行碰撞,然后在离散的速度方向进行迁移.1.2 局部加密方法图1为网格加密结构,在方腔左、右上角分别设有2个加密区,这里以左上角为例.粗网格区边界为ABC,加密区域边界为DEF,为了使两区域的信息得以互相传递,在中间分别加一过渡层.加密区过渡层为ABC,即与粗网格区边界重合;粗网格区过渡层为GHI,在粗网格区和加密区中,两节点之间的点(标记为×的叉点)为插值点,插值点上的信息可以通过相邻两点的3次样条插值[19]得到.图1 网格加密结构图Fig.1 Structure sketch of local grid refinement粗网格区c的网格尺寸为δxc,加密区f的网格尺寸为δxf,尺寸比例为n=δxc/δxf=δtc/δtf=2,由粗细网格区域内剪切黏度和体积黏度相同可得加密区和粗网格区的弛豫参数关系为(3)在区域边界上的正应力与剪应力应相等,由Chapman-Enskog分析知(4)根据粗细网格界面节点上对应应力分量连续,在这2个区域中3个非平衡态e,pxx,pxy之间的关系为(5)其他3个非平衡态矩为能量平方ε,x与y方向能量通量，由文献[19-20]得(6)由此可知,粗网格区与加密区之间的矩空间关系为.(7)加密区与粗网格区碰撞后的分布函数推导见文献[20],加密区碰撞后的分布函数为 .(8)式中:.(9)同样,粗网格区碰撞后的分布函数也可以由加密区碰撞后的函数得到:.(10)式中,2 数值计算结果与分析为了验证MRT-LBM模型进行局部加密提高计算精度的有效性,对方腔的左、右上角2个部位的局部网格加密(DCLR),如图2所示,这2个区域存在非常大的速度梯度.图2 二维方腔流局部网格加密(DCLR)布局Fig.2 Sketch of local grid refinement for two dimensional cavity流动雷诺数Re=LUw/v=1 000,其中L是方腔宽度,这里L=Nx=Ny=128.5;Uw是上端盖的驱动速度.v为剪切黏度,体积黏度ξ等于v,粗网格区内的.886 8,.8868;δtc=1;δxc=1;.54,.9,两个局部加密区的宽度Nxx=Nyy=39,dxf=0.5,由此确定的弛豫系数.641,.641,另外2个弛豫系数不变,即.54,.9.2.1 相对速度在初始是静止状态,经过一段充分长的时间后(超过200 000个粗网格时间步长),使得流动达到稳定.图3为所有速度都是方腔流达到稳定状态时的结果,将之与Ghia 等[18]的基准值和Wu等[21]的粗网格MRT-LBM模拟结果进行对比.由图3可知,沿腔内垂直几何中心线和腔内水平几何中心线的瞬时速度与Ghia的基准值非常接近,远超过Wu的模拟结果,可知加密网格处理后的数据更加精确.2.2 压力轮廓图如图4所示,左边是经过两角局部网格加密处理后的无量纲压力轮廓图,右边是Wu 所得出的无量纲压力轮廓图.通过对比,在速度不连续的方腔内左、右上角,粗网格处理后会存在非常多的噪声区域,而对两角进行局部加密后的压力图则有着非常明显的降噪效果.其次,在两角加密区和粗网格区的边界上的压力轮廓线是连续的,这说明了本文加密边界处理的正确性和可行性.2.3 涡量涡量分布如图5所示.加密后的方腔无量纲涡量图清晰地表现左、右上角两个奇异角落的漩涡强度,而粗网格所画出的无量纲涡量图在这两个角上存在较大嘈杂噪声,两角局部网格加密可以改善涡量图整体计算精度.图3 沿方腔中心线的速度Fig.3 Velocity along mid-plane2.4 应力由式(4)可以得到 xx,xy,中心截面上应力如图6所示,应力曲线始终是连续的,说明了应力分布图的正确性,加密后的应力剧烈振荡的曲线明显得以缓和.2.5 计算资源进行局部加密处理后,网格数量从16 641个加密到25 767个,增加了9 126个网格.单次循环的CPU时间由4.225 ms提高到了9.255 ms,牺牲了一定的计算时间.但是在内存占用方面,程序从4 164 kB内存提高到了6 447 kB,仅为1.55倍,却带来了显著的计算精度提升,这说明局部网格加密具有非常高的可行性.图4 方腔压力轮廓图Fig.4 Pressure contour of cavity(a)—DCLR； (b)—MRT-LBM.图5 方腔涡量图Fig.5 Vortex contour of cavity(a)—DCLR； (b)—MRT-LBM. 图6 方腔沿x=13的无量纲应力Fig.6 Normalized stress of cavity along x=13 3 结论1) 通过对顶盖驱动方腔的2个奇异角进行加密网格处理后,得到的相对速度更加精确,数值更接近Ghia的基准值,即局部加密能更好地传递数值,提高全场数据的精确性.2) 从得到的压力轮廓图和涡量轮廓图知:局部网格加密能够显著改善左、右上角的轮廓分布,噪声得到了极大改善,从而得到更清晰更精确的压力与涡量结果.3) 除了速度分布,本文还对方腔内的应力分布进行了验证.对奇异角落局部网格加密能够极大减少应力振荡,得出较为平滑的应力曲线,在以前的研究中没有报道,对今后的LBM研究具有一定的参考价值.参考文献：[1] Chen S,Doolen ttice Boltzmann method for fluid flows [J].Annual Review of Fluid Mechanics,1998,30:329-364.[2] Succi S.The lattice Boltzmann equation for fluid dynamics and beyond[M].Oxford:Clarendon Press,2001.[3] Yu D,Mei R,Luo L S,et al.Viscous flow computations with the method of lattice Boltzmann equation [J].Progress Aerospace Science,2003,39:329-367.[4] Frish U,Hasslaeher B,Porneau ttice-gas automata for the Navier-Stokes equations [J].Physical Review Letters,1986,56(14):1505-1508. [5] Menamara G R,Zanetti e of the Boltzmann equation to simulate lattice automata [J].Physical Review Letters,1988,61(20):2332-2335. [6] Higuera F J,Jimenez J.Boltzmann approach to lattice gas simulation [J].Euro-Physics Letters,1989,9(7):663-668.[7]Chen S,Chen H D.Martinez D,et ttice Boltzmann model for simulation of magneto hydrodynamics [J].Physical ReviewLetters,1991,67(27):3776-3779.[8] Qian Y H,D’Humieres D,Lallemand ttice BGK models for Navier-Stokes equation [J].Euro-Physics Letters,1992,17(6):479-484.[9] D’humieres D.Generalized lattice Boltzmann equations in AIAA rarefied gas dynamics:theory and applications[J].Progress Astronaut Aeronaut,1992,159:450-458.[10]Lallemand P,Luo L S.Theory of the lattice Boltzmannmethod:dispersion,dissipation,isotropy,Galilean invariance and stability [J].Physical Review E,2000,61:6546-6562.[11]Luo L S,Liao W,Chen X,et al.Numerics of the lattice Boltzmann method:effects of collision models on the lattice Boltzmann simulations [J].Physical Review E,2011,83(5):056710.[12]杨帆,施徐明,郭雪岩,等.多弛豫时间格子波尔兹曼方法的分块算法[J].排灌机械工程学报,2013(1):56-60.(Yang Fan,Shi Xu-ming,Guo Xue-yan,et al.Multi-block implementation of MRT-LBM [J].Journal of Drainage and Irrigation Machinery Engineering,2013(1):56-60.)[13]郭照立,郑楚光.格子Boltzmann方法的原理及应用[M].北京:科学出版社,2009:46-53.(Guo Zhao-li,Zheng Chu-guang.The principle and application of lattice Boltzmann method [M].Beijing:Science Press,2009:46-53.)[14]Shan F,Guo X S,Tu J,et al.Multi-relaxation-time lattice Boltzmann modeling of the acoustic field generated by focusedtransducer[J].International Journal of Modern Physics C,2017,28(3):38-52.[15]Humieres D,Ginzburg I,Krafczyk M,et al.Multiple relaxation-time lattice Boltzmann models in three dimensions [J].Philosophical Transaction of the Royal Society,2002,360:437-451.[16]Mei R,Luo L S,Lallemand P,et al.Consistent initial conditions for lattice Boltzmann simulation [J].Computer & Fluids,2006,35:855-862.[17]Peng Y,Shu C,Chew Y T,et al.Application of multi-block approach in the immersed boundary-lattice Boltzmann method for viscous fluid flows [J].Journal of Computational Physics,2006,218:460-478.[18]Ghia U,Ghia K N,Shin C T.High-resolutions for incompressible flow using the Navier-Stokes equations and a multi-grid method [J].Journal of Computational Physics,1982,48:387-411.[19]Farhat H,Lee J S.Fundamentals of migrating multi-block lattice Boltzmann model for immiscible mixtures in 2D geometries[J].International Journal of Multiphase Flow,2010,36:769-779.[20]Chen S Y,Peng C,Teng Y H,et al.Improving lattice Boltzmann simulation of moving particles in a viscous flow using local grid refinement[J].Computer & Fluids,2010,36(10):769-779.[21]Wu J S,Shao Y L.Simulation of lid-driven cavity flows by parallel lattice Boltzmann method using multi-relaxation-time scheme [J].International Journal of Numerical Method in Fluids,2004,46:921-937.。

《数值传热学》作业：顶盖驱动流数值模拟分析西安科技大学能源学院安全技术及工程申敬杰201112612顶盖驱动流数值模拟分析顶盖驱动流作为经典的数值计算模型，常常用来考核源程序和计算思想的正确性。

这种流动边界条件简单，而且不涉及模型的影响，便于直接评价差分格式的性能。

1.引言数值传热学，又称计算传热学，是指对描写流动与传热问题的控制方程采用数值方法，通过计算机求解的一门传热学与数值方法相结合的交叉学科。

数值传热学的基本思想是把原来在空间与时间坐标中连续的物理量的场（如速度场，温度场，浓度场等），用一系列有限个离散点上的值的集合来代替，通过一定的原则建立起这些离散点变量值之间关系的代数方程（称为离散方程）。

求解所建立起来的代数方程已获得求解变量的近似值。

由于实验方法或分析方法在处理复杂的流动与换热问题时，受到较大的限制，例如问题的复杂性，即无法做分析解，也因为费用的昂贵而无力进行实验测定，而数值计算的方法正具有成本较低和能模拟复杂或较理想的过程等优点，数值传热学得到了飞速的发展。

特别是近年来，计算机硬件工业的发展更为数值传热学提供了坚实的物质基础，使数值模拟对流动与传热过程的研究发挥了重要的作用。

目前，比较著名的数值模拟分析应用软件有FLUENT、CFX、STAR-CD、和PHOENICS等，而FLUENT是国内外比较流行的商用CFD软件包，该软件以其市场占有率高、计算准确、界面友好、使用简单、应用领域广、物理模型多而获得较高的市场占有率和用户的肯定。

2.物理模型在一个正方形的二维空腔中充满等密度的空气，方腔每边长为0.12m，取雷诺数为Re=12000，由Re=vd/υ，方腔的当量直径d ，计算知d=0.12m，又υ=15.7 ×10 ﹣6m2/s，则顶盖驱动流的速度v=1.57m/s，即其顶板以1.57m/s的速度向右移动，同时带动方腔内流体的流动，流场内的流体为紊流。

计算区域示意图如图1所示。

二维不可压缩Navier-Stokes方程的并行谱有限元法求解胡园园;谢江;张武【摘要】针对不可压缩Navier-Stokes (N-S)方程求解过程中的有限元法存在计算网格量大、收敛速度慢的缺点,提出了基于面积坐标的三角网格剖分谱有限元法(TSFEM)并进一步给出了利用OpenMP对其并行化的方法.该算法结合谱方法和有限元法思想,选取具有无限光滑特性的指数函数取代传统有限元法中的多项式函数作为基函数,能够有效减少计算网格数量,提高算法的精度和收敛速度;利用面积坐标便于三角形单元计算的特点,选取三角单元作为计算单元,增强了适用性;在顶盖方腔驱动流问题上对该算法进行验证.实验结果表明,TSFEM较传统有限元法(FEM)无论是收敛速度还是计算效率都有了显著提高.【期刊名称】《计算机应用》【年(卷),期】2017(037)001【总页数】6页(P42-47)【关键词】不可压缩N-S方程;OpenMP;方腔驱动流;高精度;无穷收敛性【作者】胡园园;谢江;张武【作者单位】上海大学计算机工程与科学学院,上海200444;上海大学计算机工程与科学学院,上海200444;上海大学高性能计算中心,上海200444【正文语种】中文【中图分类】TP301.6Navier-Stokes (N-S)方程是流体力学中最重要的方程之一。

数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过求解N-S方程来进行解释和预言，因此研究N-S方程具有广泛的应用价值。

对N-S方程的研究距今已有200多年的历史，其弱解又称为Leray-Hopf弱解。

关于N-S方程强解的局部适定性、存在性与光滑性被列为21世纪7个价值100万美元的数学难题之一。

数学家断言，如果没有新的分析工具和数学思想，这个难题将很难得到解决。

但是,到目前为止,证明弱解的唯一性和正则性,即强解的整体存在性,仍是一个极具挑战性的问题。

只有极少数非常简单的流动问题才能求得其精确解，大多数还是要用离散的方法求得数值解。

航空航天科学技术科技创新导报 Science and Technology Innovation Herald1二维顶盖驱动方舱流动,可以用于简化由某一壁面引起的空腔内部环流[1]。

从热力学角度分析，是典型的功热转化过程。

该文选用二维顶盖驱动方舱流动模型作为D N S 方法研究的载体。

N a v i e r -S t o k e s 方程具有抛物型和椭圆型两个特性，尽管控制方程具有混合特性，但采用M a c C o r m a c k 格式进行时间推进求解是适定的。

M acCor m ack格式是L a x-We nd rof f格式的一个变种，在时间和空间上都具有二阶精度的显式有限差分格式[2]。

由于M acC or m ack 格式是最容易理解和实现的格式，同时得到的结果在很多实际应用中都有令人满意的结果，所以该文选用M acCor m ack格式直接求解Nav ier-S toke s方程。

当雷诺数为6 000～8 000时，流动为转捩状态；当雷诺数达到10 000时，流动为局部湍流[3]。

为了分析流场振荡产生的原因，该文应用动力学模态分解(D M D)技术对原流场进行处理[4-7]。

1 数值模拟该文考虑二维剪切力驱动方舱流动，方舱为长宽均为=1 m m 的正方形区域，雷诺数(=ρV L /μ=9 000)，壁面为无滑移恒定壁温边界条件，理想气体初始压力为101 k Pa。

顶盖运动方向与右侧壁面交接处被称为DUE，右侧壁面与下壁面的夹角处被称为DSE，左侧壁面与下壁面的夹角处被称为USE，顶盖运动反方向与左侧壁面交接处被称为UUE，4个区域如图1所示。

求解忽略体积力和体积热的二维守恒形式N a v i e r -S t o k e s 方程：定义为单位体积动能和内能的和，正应力与剪切应力为、、、，由Fou r ie r 定律得到热交换率。

采用M acC or m ac k显示时间推进求解离控制方程，并运用预测校正两步法保证在时间和空间上都具有两阶精度。

模糊控制技术在SIMPLER算法中的应用及求解性能分析王艳宁;孙东亮;苗政;陈家庆;蔡晓君【摘要】为了提高SIMPLER算法在三维流动问题上的求解性能,引入模糊控制方法来自动调控速度亚松弛因子的大小.在数值计算过程中,将相邻两个迭代层次上的最大动量残差比值作为模糊控制输入量,速度亚松弛因子的变化量作为模糊控制输出量,基于最大动量残差的变化趋势可实现速度亚松弛因子的自动调控,从而达到加快收敛的目的.最后,通过3个经典的流动问题验证了模糊控制方法的优越性.研究表明:当初始亚松弛因子为最不利值时,模糊控制方法的收敛速度约是固定松弛因子方法的5～30倍;当初始亚松弛因子为最佳值时,模糊控制方法迭代次数与固定松弛因子方法迭代次数之比为0.7～2.0,收敛速度相差不大;采用模糊控制方法后,SIMPLER 算法在不同初始亚松弛因子下均能得到高速收敛的解,同时健壮性也显著提高.研究工作将为大幅提升SIMPLER算法在三维流动问题上的求解性能起到重要作用.【期刊名称】《西安交通大学学报》【年(卷),期】2016(050)001【总页数】7页(P78-84)【关键词】模糊控制;SIMPLER算法;三维流动问题;亚松弛因子;收敛速度;健壮性【作者】王艳宁;孙东亮;苗政;陈家庆;蔡晓君【作者单位】华北电力大学可再生能源学院,102206,北京;北京石油化工学院机械工程学院,102617,北京;华北电力大学可再生能源学院,102206,北京;北京石油化工学院机械工程学院,102617,北京;北京石油化工学院机械工程学院,102617,北京【正文语种】中文【中图分类】TK124求解流动与传热问题的压力修正算法首次由著名学者Patankar和Spalding提出,并被命名为SIMPLE算法[1]。

为了克服SIMPLE算法中初始压力和速度场单独进行设定的缺点,随后Patankar提出了改进算法SIMPLER[2]。

目前,SIMPLE系列算法已被广泛应用于求解流动与传热问题[3-7]。

一、问题描述方腔顶盖驱动流动如图1所示的一个简化两维方腔（高，宽都等于L)，内部充满水分。

上表面为移动墙，非维化速度为ｕ／ｕ0 =1。

其他三面为固定墙。

试求方腔内水分流动状态。

u=1, v=0u=0, v=0 u=0,v=0u=0, v=0图1常微分方程理论只能求解极少一类常微分方程；实际中给定的问题不一定是解析表达式，而是函数表，无法用解析解法.二、离散格式数值解法:求解所有的常微分方程 计算解函数 y(x) 在一系列节点a = x 0< x 1<…<x n = b 处的近似值),...,1()(n i x y y i i =≈节点间距为步长，通常采用等距节点，即取 hi = h (常数)。

步进式：根据已知的或已求出的节点上的函数值计算当前节点上的函数值，一步一步向前推进。

因此只需建立由已知的或已求出的节点上的函数值求当前节点函数值的递推公式即可。

欧拉方法1(,) 0,1,...n n n n y y h f x y n +=+=几何意义在假设 y n = y (x n )，即第 n 步计算是精确的前提下，考虑公式或方法本身带来的误差: R n = y (x n +1) y n +1 , 称为局部截断误差.截断误差: 实际上，y (x n ) ? y n ， y n 也有误差，它对y n +1的误差也有影响，见下图。

但这里不考虑此误差的影响，仅考虑方法或公式本身带来的误差，因此称为方法误差或截断误差。

局部截断误差的分析：由于假设y n = y (x n ) ，即y n 准确，因此分析局部截断误差时将y (x n +1) 和 y n +1都用点x n 上的信息来表示，工具：Taylor 展开。

显式欧拉公式一阶向前差商近似一阶导数推导如下：223111232()[()()()()][ (,)] ()()h n n n n n n n n n h n R y x y y x hy x y x O h y hf x y y x O h +++'''=-=+++-+''=+1()()()n n n y x y x y x h+-'≈111()()() ()()(,)n n n n nn n n n n y x y x hy x y x y y x y y h f x y +++'≈+↑≈≈=+隐式欧拉公式xn +1点向后差商近似导数 推导如下：几何意义设已知曲线上一点 P n (x n , y n ),过该点作弦线，斜率为(x n +1 , y n +1 ) 点的方向场f (x ,y )方向,若步长h 充分小，可用弦线和垂线x =x n +1的交点近似曲线与垂线的交点。

第1篇1. 方腔流动概述方腔流动是指在一个封闭的矩形腔体中，由于外部驱动力的作用，腔体内流体产生的流动现象。

常见的驱动方式有顶盖驱动、双边驱动等。

2. 流动特性分析2.1 顶盖驱动方腔流动- 雷诺数（Re）：方腔尺寸为1m×1m，顶盖以1m/s的速度向右移动，流体粘性系数为0.001m²/s，因此Re = UL/ν = 1000，属于过渡流区域。

- 网格划分：采用100×100的网格，贴壁第一层网格高度为1.3mm，保证壁面处y 足够小。

- 求解器：使用OpenFOAM中的icoFoam和pisoFoam求解器，分别对应层流和湍流模型。

- 结果分析：两种求解器获得的最终流场完全相同，说明在过渡流区域，层流和湍流模型对结果的影响不大。

2.2 双边反向驱动方腔流动- 研究目的：探究双边驱动方腔内流流场的过渡流临界特性，捕捉各种流动分岔点，分析其对流场特性带来的改变。

- 方法：基于格子玻尔兹曼方法的数值模拟，计算各流动状态发生变化时的临界雷诺数，绘制Hopf和Neimark-Sacker流动分岔点以及湍流临界点随速度比的函数图像。

- 结果分析：- 双边驱动内流流场的稳定性较强，说明第二条边的驱动条件可以有效提高流场的稳定性。

- 流场稳定性最强时，双边驱动条件相同时可以更好地提高流场稳定性。

3. 数值模拟方法3.1 OpenFOAM- OpenFOAM是一款开源的CFD（计算流体力学）软件，广泛应用于各种流体流动问题的模拟。

- icoFoam和pisoFoam是OpenFOAM中的不可压缩求解器，分别适用于层流和湍流模拟。

3.2 格子玻尔兹曼方法- 格子玻尔兹曼方法是一种基于统计物理的数值模拟方法，适用于模拟复杂流体流动问题。

- 该方法具有计算效率高、并行性好等优点。

4. 总结方腔流动是一个典型的流体力学问题，通过数值模拟方法可以研究其流动特性。

本文分析了顶盖驱动和双边反向驱动方腔流动的数值模拟结果，揭示了流场稳定性和过渡流临界特性等方面的规律。

一、二、问题描述方腔顶盖驱动流动如图1所示的一个简化两维方腔（高，宽都等于L)，内部充满水分。

上表面为移动墙，非维化速度为ｕ／ｕ0 =1。

其他三面为固定墙。

试求方腔内水分流动状态。

u=1, v=0u=0, v=0u=0,v=0u=0, v=0图1常微分方程理论只能求解极少一类常微分方程；实际中给定的问题不一定是解析表达式，而是函数表，无法用解析解法.二、离散格式数值解法:求解所有的常微分方程 计算解函数 y(x) 在一系列节点a = x 0< x 1<…<x n = b 处的近似值),...,1()(n i x y y i i =≈节点间距为步长，通常采用等距节点，即取 hi = h (常数)。

步进式：根据已知的或已求出的节点上的函数值计算当前节点上的函数值，一步一步向前推进。

因此只需建立由已知的或已求出的节点上的函数值求当前节点函数值的递推公式即可。

欧拉方法1(,) 0,1,...n n n n y y h f x y n +=+=几何意义在假设 y n = y (x n )，即第 n 步计算是精确的前提下，考虑公式或方法本身带来的误差: R n = y (x n +1)y n +1 , 称为局部截断误差.显式欧拉公式一阶向前差商近似一阶导数223111232()[()()()()][ (,)] ()()h n n n n n n n n n h n R y x y y x hy x y x O h y hf x y y x O h +++'''=-=+++-+''=+推导如下：隐式欧拉公式x n +1点向后差商近似导数 推导如下：1()()()n n n y x y x y x h+-'≈111()()() ()()(,)n n n n nn n n n n y x y x hy x y x y y x y y h f x y +++'≈+↑≈≈=+11()()()n n n y x y x y x h++-'≈11()()()()n n n n ny x y x hy x y x y ++'≈+↑≈几何意义设已知曲线上一点 P n (x n , y n ),过该点作弦线，斜率为(x n +1 , y n +1 ) 点的方向场f (x ,y )方向,若步长h 充分小，可用弦线和垂线x =x n +1的交点近似曲线与垂线的交点。

OpenFOAM顶盖驱动流详解使⽤说明材料（中⽂翻译版）引⾔这是开源场运算和操作c++库类（openfoam）的使⽤指南。

他详细描述了OpenFOAM 的基本操作。

⾸先通过第⼆章⼀系列教程练习。

然后通过对更多的独⽴组件的更详细的描述学习openfoam。

Of ⾸先主要是⼀个c++库类，主要⽤于创建可执⾏⽂件，⽐如应⽤程（application）。

应⽤程序分成两类：求解器，都是为了解决特定的连续介质⼒学问题⽽设计的；公⽤⼯程，这些是为了执⾏包括数据操作等任务⽽设计的。

Of 包括了数量众多的solver和utilities，牵涉的问题也⽐较⼴泛。

将在第三章进⾏详尽的描述。

Of 的⼀个强项是⽤户可以通过必要的预备知识(包括数学，物理和编程技术)创建新的solvers 和utilities。

Of 需要前处理和后处理环境。

前处理、后处理接⼝就是of本⾝的实⽤程序（utilities），以此确保协调的数据传输环境。

图1.1是of 总体的结构。

第4章和第五章描述了前处理和运⾏of 的案例。

既包括⽤of提供的mesh generator划分⽹格也包括第三⽅软件⽣成的⽹格数据转换。

第六章介绍后处理。

Chapter 2指导⼿册在这⼀章中我们详细描述了安装过程，模拟和后进程处理⼀些OpenFOAM测试案例，以引导⽤户运⾏OpenFOAM的基本程序。

$FOAM_TUTORIALS ⽬录包含许多案件演⽰of提供的所有求解器以及许多共⽤程序的使⽤，在试图运⾏教程之前，⽤户必须⾸先确保他们已经正确地安装了OpenFOAM。

该教程案件描述blockMesh预处理⼯具的使⽤，paraFoam案例设置和运⾏OpenFOAM 求解器及使⽤paraFoam进⾏后处理。

使⽤OpenFOAM⽀持的第三⽅后处理软件的⽤户可以选择：他们要么可以按照教程使⽤paraFoam，或当需要后处理时参阅第六章的第三⽅软件使⽤说明。

OpenFOAM安装⽬录下的tutorials⽬录中所有的指导⼿册都是可复制的。