立体几何四学生版

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是否垂直，并说明理由．
2
（不同于点），延长交
的中点，求证：直线//平面．
，试判断直线与直线能否垂直？并说明理由．
3
4 5
6
． 把沿折起到
上，如图所示．点分别为棱
四点距离相等？请说明理由．
7
，四边形是矩形. 将矩形
，为的中点，如图.
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10 11 12
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？若存在，求出的值；若不存在，说
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是否垂直？并说明理由．
18
所在平面互相垂直，，，19
20 21
22 23
24 25 26
27 28
．
中点，求多面体与多面体的体积之比．
是否存在一点，使得平面?若存在，求的长．若不存在，请说明理由．29
中，平面平面，，，，
，为的中点．
；
平面；
内是否存在，使得直线平面，请说明理由．
30
中，底面是正方形，侧面底面．。

课题：立体几何综合训练个性化教学辅导教案学生姓名年级学科数学上课时间教师姓名课题立体几何综合训练教学过程教师活动1.若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题正确的是（）A．三条交线为异面直线B．三条交线两两平行C．三条交线交于一点D．三条交线两两平行或交于一点2.回顾下直线，平面的平行判断与性质。

3.回顾下直线，平面垂直的性质和判定方法。

4.求线面所成角与二面角的一般步骤是什么？5.若已知条件中，已知三角形中两线段相等，你会想到什么？遇到中点呢？立体几何综合训练例1 如图，直三棱柱111ABC A B C - 中，90BAC ∠=，2AB AC ==，11AA =，点,M N 分别为1A B 和11B C 的中点．(1)证明：MN ∥平面11A ACC ； (2)求三棱锥1A MNC -的体积例2 如图，已知111ABC A B C -是正三棱柱，棱长均为5，E 、F 分别是AC 、11A C 的中点． （1）求证：平面1AB F ∥平面1BEC ； （2）求点A 到平面1BEC 的距离．例3 如图，在直角梯形SABC 中，∠B=∠C=π2，D 为边SC 上的点，且AD ⊥SC ，现将△SAD 沿AD 折起到达PAD 的位置（折起后点S 记为P ），并使得PA ⊥AB ． （1）求证：PD ⊥平面ABCD ；（2）已知PD=AD ，PD +AD +DC=6，G 是AD 的中点，当线段PB 取得最小值时，则在平面PBC 上是否存在点F ，使得FG ⊥平面PBC ？若存在，确定点F 的位置，若不存在，请说明理由．立体几何综合训练教学过程： 突破1： 1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.②判定定理：（线线平行线面平行）③性质定理：（线面平行线线平行）④判定或证明线面平行的依据：（i ）定义法（反证）：（用于判断）；////a b a a b ααα⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭⇒////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭⇒//l l αα=∅⇒（ii ）判定定理：“线线平行面面平行”（用于证明）；（iii ）“面面平行线面平行”（用于证明）； （4）（用于判断）；3.面面平行： ①定义：；②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行； 符号表述： 【如下图①】图① 图②推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行 符号表述：【如上图②】判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行. 符号表述：.【如右图】③判定与证明面面平行的依据：（1）定义法；（2）判定定理及推论（常用）（3）判定2 ④面面平行的性质： （1）（面面平行线面平行）； （2）；（面面平行线线平行）（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等。

立体几何专题：外接球问题中常见的8种模型1.知识梳理一、墙角模型适用范围：3组或3条棱两两垂直；可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合直接用公式(2R )2=a 2+b 2+c 2，即2R =a 2+b 2+c 2，求出R【补充】图1为阳马，图2和图4为鳖臑二、麻花模型适用范围：对棱相等相等的三棱锥对棱相等指四面体的三组对棱分别对应相等，且这三组对棱构成长方体的三组对面的对角线。

推导过程：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，(AB =CD ，AD =BC ，AC =BD )第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为a ,b ,c ，AD =BC =x ，AB =CD =y ，AC =BD =z ，列方程组，a 2+b 2=x 2b 2+c 2=y 2c 2+a 2=z 2⇒(2R )2=a 2+b 2+c 2=x 2+y 2+z 22，补充：V A −BCD =abc −16abc ×4=13abc 第三步：根据墙角模型，2R =a 2+b 2+c 2=x 2+y 2+z 22，R 2=x 2+y 2+z 28，R =x 2+y 2+z 28，求出R .三、垂面模型适用范围：有一条棱垂直于底面的棱锥。

推导过程：第一步：将ABC 画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ,连接PD ,则PD 必过球心O .第二步：O 1为ABC 的外心，所以OO 1⊥平面ABC ，算出小圆O 1的半径O 1D =r(三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理a sin A =b sin B=csin C =2r ,OO 1=12PA .第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(1)(2R )2=PA 2+(2r )2⇔2R =PA 2+(2r )2；(2)R 2=r 2+OO 21⇔R =r 2+OO 21.公式：R 2=r 2+h 24四、切瓜模型适用范围：有两个平面互相垂直的棱锥推导过程：分别在两个互相垂直的平面上取外心O 1、O 2过两个外心做两个垂面的垂线，两条垂线的交点即为球心0，取B C 的中点为E ，连接OO 1、OO 2、O 2E 、O 1E 为矩形由勾股可得|OC |2=|O 2C |2+|OO 2|2=|O 2C |2+|O 1C |2-|CE |2∴R 2=r 21+r 22-l 24公式：R 2=r 21+r 22-l 24五、斗笠模型适用于：顶点的投影在底面的外心上的棱锥推导过程：取底面的外心01，连接顶点与外心，该线为空间几何体的高h ，在h 上取一点作为球心0，根据勾股定理R 2=(h -R )2+r 2⇔R =r 2+h 22h公式：R =r 2+h 22h六、矩形模型适用范围：两个直角三角形的斜边为同一边，则该边为球的直径推导过程：图中两个直角三角形ΔPAB 和ΔQAB ，其中∠APB =∠AQB =90°，求外接圆半径取斜边AB 的中点O ，连接OP ,OQ ，则OP =12AB =OA =OB =OQ 所以O 点即为球心，然后在ΔPOQ 中解出半径R 公式：R 2=l22(l 为斜边长度)七、折叠模型适用范围：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠.推导过程：两个全等的三角形或者等腰拼在一起，或者菱形折叠，设折叠的二面角∠A EC =α,CE =A E =h .如图，作左图的二面角剖面图如右图：H 1和H 2分别为△BCD ,△A BD 外心，分别过这两个外心做这两个平面的垂线且垂线相交于球心O CH 1=r =BD 2sin ∠BCD,EH 1=h -r ,OH 1=(h -r )tanα2由勾股定理可得：R 2=OC 2=OH 21+CH 21=r 2+(h -r )2tan 2α2.公式：R 2=r 2+(h -r )2tan 2α2八、鳄鱼模型适用范围：所有二面角构成的棱锥，普通三棱锥方法：找两面外接圆圆心到交线的距离m ,n ，找二面角α，找面面交线长度l 推导过程：取二面角两平面的外心分别为O 1,O 2并过两外心作这两个面的垂线，两垂线相交于球心O ，取二面角两平面的交线中点为E ，则O ,O 1,E ,O 2四点共圆，由正弦定理得：OE =2r =O 1O 2sin α①在ΔO 1O 2E 中，由余弦定理得：O 1O 2 2=O 1E 2+O 2E 2-2O 1E O 2E cos α②由勾股定理得：OD 2=O 1O 2+O 1D 2③由①②③整理得：OD2=O 1O 2+O 1D 2=OE 2-O 1E 2+O 1D 2=O 1O 2sin α2-O 1E 2+O 1D 2=O 1E2+O 2E 2-2O 1E O 2E cos αsin 2α-O 1E 2+O 1D 2=O1E2+O2E2-2O1EO2Ecosαsin2α-O1E2+O1B2记O1E=m,O2E=n,AB=l,则R2=m2+n2-2mn cosαsin2α+l22公式：R2=m2+n2-2mn cosαsin2α+l222.常考题型3.题型精析题型一:墙角模型1(2023·高一单元测试)三棱锥A-BCD中，AD⊥平面BCD，DC⊥BD，2AD=BD=DC=2，则该三棱锥的外接球表面积为()A.3π2B.9π2C.9πD.36π1.(2022秋·陕西西安·高一统考期末)在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑A-BCD中，满足AB⊥平面BCD，且AB=BD=5，BC=3，CD=4，则此鳖臑外接球的表面积为()A.25πB.50πC.100πD.200π2.(2023·高一课时练习)《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图P-ABCD是阳马，PA⊥平面ABCD，PA=5，AB=3，BC=4．则该阳马的外接球的表面积为()A.1252π3B.50πC.100πD.500π33.(2023·广西南宁·统考二模)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A -BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥AD ，AB =BD =2，已知动点E 从C 点出发，沿外表面经过棱AD 上一点到点B 的最短距离为10，则该棱锥的外接球的体积为.4.(2023春·辽宁朝阳·高二北票市高级中学校考阶段练习)已知四棱锥P -ABCD 的外接球O 的表面积为64π，PA ⊥平面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，PA =4，设点M 在球O 的表面上运动，则四棱锥M -ABCD 体积的最大值为.题型二:麻花模型1(2023春·广东梅州·高二统考期中)已知三棱锥S -ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，且SA =BC =2，SB =AC =7，SC =AB =5，则球O 的体积是()A.83π B.3223π C.423π D.823π1.(2022春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期中)在△ABC 中，AB =AC =2，cos A =34，将△ABC 绕BC 旋转至△BCD 的位置，使得AD =2，如图所示，则三棱锥D -ABC 外接球的体积为．2.(2023秋·吉林·高一吉林一中校考阶段练习)如图，在△ABC 中，AB =25,BC =210,AC =213，D ，E ，F 分别为三边中点，将△BDE ,△ADF ,△CEF 分别沿DE ,EF ,DF 向上折起，使A ，B ，C 重合为点P ，则三棱锥P -DEF 的外接球表面积为()A.72π B.7143π C.14π D.56π3.(2023·江西·统考模拟预测)在三棱锥P -ABC 中，已知PA =BC =213,AC =BP =41,CP =AB =61，则三棱锥P -ABC 外接球的表面积为()A.77πB.64πC.108πD.72π4.(2022·全国·高三专题练习)已知四面体ABCD 的棱长满足AB =AC =BD =CD =2，BC =AD =1，现将四面体ABCD 放入一个轴截面为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD 可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为．题型三:垂面模型1(2023·高一单元测试)在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA =6，BC =3，∠CAB =π6，则三棱锥P -ABC 的外接球半径为()A.3B.23C.32D.61.(2023·全国·高一专题练习)已知A ，B ，C ，D 在球O 的表面上，△ABC 为等边三角形且边长为3，AD ⊥平面ABC ，AD =2，则球O 的表面积为()A.4πB.8πC.16πD.32π2.(2020春·天津宁河·高一校考期末)在三棱锥P -ABC 中，AP =2,AB =3,PA ⊥面ABC ，且在△ABC 中，C =60°，则该三棱锥外接球的表面积为()A.20π3B.8πC.10πD.12π3.(2023·全国·高一专题练习)已知A ，B ，C ，D 在球O 的表面上，△ABC 为等边三角形且其面积为334，AD ⊥平面ABC ，AD =2，则球O 的表面积为()A.πB.2πC.4πD.8π4.(2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习)在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，BC =2，PC 与平面PAB 所成的角为30o ，则该四棱锥外接球的体积为()A.433π B.43πC.823πD.833π题型四:切瓜模型1(2023·贵州贵阳·校联考模拟预测)在三棱锥A -BCD 中，已知AC ⊥BC ,AC =BC =2,AD =BD =6，且平面ABD ⊥平面ABC ，则三棱锥A -BCD 的外接球表面积为()A.8πB.9πC.10πD.12π1.(2023·四川达州·统考二模)三棱锥A -BCD 的所有顶点都在球O 的表面上，平面ABD ⊥平面BCD ，AB =AD =6，AB ⊥AD ，∠BDC =2∠DBC =60°，则球O 的体积为()A.43πB.32π3C.49π3D.323π2.(2023春·陕西西安·高一长安一中校考期中)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB =BC =AA 1=4，点P 为B 1C 1的中点，则四面体PABC 的外接球的体积为()A..41416π B.41413π C.41412π D.4141π3.(2022·高一单元测试)四棱锥P -ABCD 的顶点都在球O 的表面上，△PAD 是等边三角形，底面ABCD 是矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，若AB =2，BC =3，则球O 的表面积为()A.12πB.16πC.20πD.32π4.(2021·高一课时练习)在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为矩形，∠DPA =π2，AD =23，AB =2，PA =PD ，则四棱锥P -ABCD 的外接球的体积为()A.163π B.323π C.643π D.16π5.(2023春·全国·高一专题练习)在四棱锥P-ABCD中，ABCD是边长为2的正方形，AP=PD=10，平面PAD⊥平面ABCD，则四棱锥P-ABCD外接球的表面积为()A.4πB.8πC.136π9D.68π3题型五:斗笠模型1(2023·全国·高一专题练习)正四面体S-ABC内接于一个半径为R的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值为()A.64B.33C.263D.31.(2022·高一专题练习)已知正四棱锥P-ABCD(底面四边形ABCD是正方形，顶点P在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为10，若该正四棱锥的体积为50 3，则此球的体积为()A.18πB.86πC.36πD.323π2.(2022·全国·高一专题练习)某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥内有一个半径为1的球，则该四棱锥的表面积最小值是()A.16B.8C.32D.243.(2022春·安徽·高三校联考阶段练习)在三棱锥P-ABC中，侧棱PA=PB=PC=10，∠BAC=π4，BC=22，则此三棱锥外接球的表面积为．题型六:矩形模型1(2022春·全国·高一期末)已知三棱锥A-BCD中，CD=22，BC=AC=BD=AD=2，则此几何体外接球的表面积为()A.2π3B.2π C.82π3D.8π1.(2022春·广东惠州·高一校考期中)在矩形ABCD中，AB=6,BC=8，现将△ABC沿对角线AC翻折，得到四面体DABC，则该四面体外接球的体积为()A.1963π B.10003π C.4003π D.5003π2.(2022春·河北沧州·高一校考阶段练习)矩形ABCD中，AB=4,BC=3，沿AC将三角形ABC折起，得到的四面体A-BCD的体积的最大时，则此四面体外接球的表面积值为()A.25πB.30πC.36πD.100π3.(2022春·四川成都·高一统考期末)在矩形ABCD 中，AB =6，AD =8，将△ABC 沿对角线AC 折起，则三棱锥B -ACD 的外接球的表面积为()A.36πB.64πC.100πD.与二面角B -AC -D 的大小有关题型七:折叠模型1(2022春·陕西西安·高一长安一中校考期末)已知菱形ABCD 的边长为3，∠ABC =60°，沿对角线AC 折成一个四面体，使平面ACD 垂直平面ABC ，则经过这个四面体所有顶点的球的体积为()．A.5152π B.6πC.515πD.12π1.已知等边△ABC 的边长为2，将其沿边AB 旋转到如图所示的位置，且二面角C -AB -C 为60°，则三棱锥C -ABC 外接球的半径为2.(2023·广西南宁·统考二模)蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圈”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球，现已知某“鞠”的表面上有四个点A ,B ,C ,D 满足AB =BC =CD =DA =DB =433cm ，AC =23cm ，则该“鞠”的表面积为cm 2.3.(2022秋·福建泉州·高三校考开学考试)在三棱锥S -ABC 中，SA =SB =AC =BC =2,SC =1，二面角S -AB -C 的大小为60°，则三棱锥S -ABC 的外接球的表面积为.4.(2022秋·山东德州·高二统考期中)已知在三棱锥中，S -ABC 中，BA ⊥BC ，BA =BC =2，SA =SC =22，二面角B -AC -S 的大小为5π6，则三棱锥S -ABC 的外接球的表面积为()A.56π3B.58π3C.105π4D.124π9题型八:鳄鱼模型1(2022春·四川成都·高一树德中学校考期末)已知在三棱锥S-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=2，SA =SC=22，二面角B-AC-S的大小为2π3，则三棱锥S-ABC的外接球的表面积为()A.124π9B.105π4C.105π9D.104π91.(2023春·全国·高一专题练习)如图，在三棱锥P-ABC，△PAC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且CB=22，AB=AC=6，二面角P-AC-B的大小为120°，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为()A.5103π B.10π C.9π D.4+23π2.(2023·陕西榆林·统考三模)在三棱锥A-BCD中，AB⊥BC,BC⊥CD,CD=2AB=2BC= 4，二面角A-BC-D为60°，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为()A.16πB.24πC.18πD.20π3.(2023春·安徽阜阳·高三阜阳市第二中学校考阶段练习)如图1，四边形ABCD中，AB=AD =2，CB=CD=2，AB⊥AD，将△ABD沿BD翻折至△PBD，使二面角P-BD-C的正切值等于2，如图2，四面体PBCD的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为()A.4πB.6πC.8πD.9π4.(2023·江西南昌·校联考模拟预测)在平面四边形ABCD中，AD=CD=3，∠ADC=∠ACB =90°，∠ABC=60°，现将△ADC沿着AC折起，得到三棱锥D-ABC，若二面角D-AC-B的平面角为135°，则三棱锥D-ABC的外接球表面积为.5.(2023春·广东广州·高三统考阶段练习)在三棱锥P-ABC中，△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=2，△PAC为正三角形，且二面角P-AC-B的平面角为π6，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为．。

2023 立体几何大题热点50 题一．解答题（共50 小题）1．（2023•新城区校级模拟）如图，在三棱柱 ABC −A ′B ′C ′中， AB ⊥BC ，平面 ABC ⊥平面 ABB ′A ′，2AB BC BB '===，BB ' 在BA 上的投影为1．（1）证明：BC CC ⊥'．（2）求二面角B AC B '--的余弦值．2．（2023•温州模拟）已知三棱锥D ABC -中，BCD ∆是边长为3的正三角形，AB AC AD ==，AD 与平面BCD 所成角的余弦值为33．（1）求证：AD BC ⊥；（2）求二面角D AC B --的平面角的正弦值．3．（2023•抚顺模拟）如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，点P ，Q 在侧棱SD 上，E 是侧棱SC 的中点．（1）若SQ QP PD ==，证明：//BE 平面PAC ；（2P AC D --的大小．①SD ⊥平面PAC ；②P 为SD 的中点．4．（2023•九江二模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AC ⊥平面11AA B B ，13ABB π∠=，1AB =，12AC AA ==，D 为棱1BB 的中点．（1）求证：AD ⊥平面11A C D ；（2）在棱BC 上是否存在异于点B 的一点E ，使得DE 与平面11A C D 所成的角为6π？若存在，求出BE BC的值若存在，请说明理由．5．（2023•太原模拟）如图，四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，且24AB AD CD ===，2PA =，60PAB ∠=︒，直线PA 与平面ABCD 的所成角为30︒，E ，F 分别是BC 和PD 的中点．（1）证明：//EF 平面PAB ；（2）求平面PAB 与平面PAD夹角的余弦值．6．（2023•江苏模拟）在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A B BA ⊥平面ABC ，侧面11A B BA 为菱形，13ABB π∠=，1AB AC ⊥，2AB AC ==，E 是AC 的中点．（1）求证：1A B ⊥平面1AB C ；（2）点P 在线段1A E 上（异于点1A ，)E ，AP 与平面1A BE 所成角为4π，求1EP EA 的值．7．（2023•浙江模拟）如图，四面体ABCD 中，90BAD BAC CAD ∠=∠=∠=︒，AC AD =，AB 与面BCD 的所成角为45︒．（1）若四面体ABCD 的体积为223，求AC 的长；（2）设点M 在面BCD 中，45ABM ∠=︒，30ACM ∠=︒，过M 作CD 的平行线，分别交BC 、BD 于点H 、F ，求面AFH 与面ACD 所成夹角的余弦值．8．（2023•贵州模拟）如图甲，在四边形PBCD 中，//PD BC ，2PB BC CD AD PA =====，将ABP ∆沿AB 折起得图乙，点M 是PD 上的点．（1）若M 为PD 的中点，证明：PC ⊥平面ABM ；（2）若PC =，试确定M 的位置，使二面角M AB C --的正弦值等于．9．（2022秋•滨江区校级期末）如图①，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，222AB AD CD ===，将ADC ∆沿AC 折起，使得AD BC ⊥，如图②．（1）求直线BD 与平面ADC 所成的角；（2）在线段BD 上是否存在点E ，使得二面角E AC D --的平面角的大小为4π？若存在，指出点E 的位置；若不存在，请说明理由．10．（2023•桃城区校级一模）如图所示，A ，B ，C ，D 四点共面，其中90BAD ADC ∠=∠=︒，12AB AD =，点P ，Q 在平面ABCD 的同侧，且PA ⊥平面ABCD ，CQ ⊥平面ABCD ．（1）若直线l ⊂平面PAB ，求证：//l 平面CDQ ；（2）若//PQ AC ，45ABP DAC ∠=∠=︒，平面BPQ ⋂平面CDQ m =，求锐二面角B m C --的余弦值．11．（2023•榆林二模）如图，在四棱锥P ABCD -中，BD PC ⊥，60ABC ∠=︒，四边形ABCD 是菱形，PB ==，E 是棱PD 上的动点，且PE PD λ=．（1）证明：PA ⊥平面ABCD ．（2）是否存在实数λ，使得平面PAB 与平面ACE ？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．12．（2023•大英县校级模拟）在三棱锥P ABC -中，ABC ∆是边长为4的等边三角形，平面PAB ⊥平面ABC ，PA PB ==M 为棱BC 的中点，点N 在棱PC 上且满PN PC λ=，已知使得异面直线MN 与AC 所成角的余弦值为12的λ有两个不同的值1λ，212()λλλ<．（1）求1λ，2λ的值；（2）当12λλ=时，求二面角N AM C --的余弦值．13．（2023•贵州模拟）如图甲，已知四边形ABCD 是直角梯形，E ，F 分别为线段AD ，BC 上的点，且满足，AB ＝2EF ＝4CD ＝4，AB ⊥BC ，，将四边形CDEF 沿EF 翻折，使得C ，D 分别到C 1，D 1的位置，并且，如图乙（1）求证：ED 1⊥BC 1；（2）求平面AD 1E 与平面BC 1F 所成的二面角的余弦值．14．（2023•南充模拟）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，PB PD =，PA AC ⊥．（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）PA =，是否存在常数[0λ∈，1]，满足CM CP λ= ，且直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值为144？若存在，求出点M 的位置；若不存在，请说明理由．15．（2023•兰州模拟）如图所示的五边形SBADC 中ABCD 是矩形，2BC AB =，SB SC =，沿BC 折叠成四棱锥S ABCD -，点M 是BC 的中点，2SM =．（1）在四棱锥S ABCD -中，可以满足条件①SA =②5cos 5SBM ∠=；③6sin 3SAM ∠=，请从中任选两个作为补充条件，证明：侧面SBC ⊥底面ABCD ；（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．)（2）在（1）的条件下求直线SC 与平面SAD 所成角的正弦值．16．（2023•开封二模）如图1，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90BAD ∠=︒，12AD CD AB ===E 为AC 的中点，将ACD ∆沿AC 折起（如图2)，在图2所示的几何体D ABC -中：（1）若AD BC ⊥，求证：DE ⊥平面ABC ；（2）若BD 与平面ACD 所成的角为60︒，求二面角D AC B --的余弦值．17．（2022秋•天津期末）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，ND ⊥平面ABCD ，3DAB π∠=，2AD =，1AM =，E 为AB 的中点．（1）求证：//AN 平面MEC ；（2）求平面EMC 与平面BMC 夹角的余弦值．（3）在线段AM 上是否存在点P ，使直线PE 与平面MBC 所成的角为3π？若存在，求出PE 的长；若不存在，请说明理由．18．（2023•丰台区一模）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的菱形，AC 交BD 于点O ，60BAD ∠=︒，PB PD =．点E 是棱PA 的中点，连接OE ，OP ．（1）求证：//OE 平面PCD ；（2）若平面PAC 与平面PCD 的夹角的余弦值为155，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求线段OP 的长．条件①：平面PBD ⊥平面ABCD ；条件②：PB AC ⊥．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．19．（2023•包头一模）如图，已知矩形ABCD 是圆柱的轴截面，P 是CD 的中点，直线BP 与下底面所成角的正切值为13，矩形ABCD 的面积为12，MN 为圆柱的一条母线（不与AB ，CD 重合）．（1）证明：BN MP ⊥；（2）当三棱锥B MNP -的体积最大时，求二面角N BM P --的正弦值．20．（2023•兴庆区校级一模）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AD BC ，2PA AD CD ===，3BC =．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且在13PF PC =．（Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PAD ；（Ⅱ）求二面角F AE P --的余弦值；（Ⅲ）设点G 在PB 上，且23PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．21．（2023•南宁模拟）如图1，平面图形ABCD 是一个直角梯形，其中//AB CD ，90ABC ∠=︒，2BC DC ==，6AB =，E 是AB 上一点，且2AE EB =．将AED ∆沿着ED 折起使得平面AED ⊥平面DEBC ，连接AB 、AC ，M 、N 分别是AD 、AC 的中点，如图2．（1）证明：在图2中E 、M 、N 、B 四点共面，且平面ADC ⊥平面AED ；（2）在图2中，若G 是线段AE 上一个动点，当直线CG 与平面BDG 所成角的正弦值取得最大值时，求GE 的长．22．（2023•石景山区一模）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD 为等腰直角三角形，且2PAD π∠=，点F 为棱PC 上的点，平面ADF 与棱PB 交于点E ．（Ⅰ）求证：//EF AD ；（Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面PCD 与平面ADFE 所成锐二面角的大小．条件①：AE =条件②：平面PAD ⊥平面ABCD ；条件③：PB FD ⊥．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．23．（2023•安康二模）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，O 为AB 中点，1A O ⊥底面ABC ，14A O =，AC BC =，26AB OC ==，G ，E 分别在线段AC ，1BC 上，且112AG BE GC C E ==．（1）求证：//GE 面11AA B B ；（2）记面1B GE ⋂面ABC l =，求二面角1B l B --的余弦值．24．（2022秋•郴州期末）如图2，在平行四边形ABCD 中，2AB =，BC =30ABC ∠=︒．将DAC ∆沿AC 翻折，使点D 到达点P 位置（如图3)，且平面PAC ⊥平面PBC ．（1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）设Q 是线段PB 上一点，满足PQ mPB = ，试问：是否存在一个实数m ，使得平面QAC 与平面PAB 的，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．25．（2023•新疆模拟）如图，在平面四边形ABCD中，1,AB AD BC CD ====，且BC CD ⊥，以BD 为折痕把ABD ∆和CBD ∆向上折起，使点A 到达点E 的位置，点C 到达点F 的位置，且平面FBD 和平面EBD 不重合．（1）求证：EF BD ⊥；（2）若点G 为ABD ∆的重心（三条中线的交点），EG ⊥平面ABD ，求直线BD 与平面ABE 所成角的余弦值．26．（2022秋•驻马店期末）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是平行四边形，四边形ACEF 是矩形，22BC AB AF ==，60ABC ∠=︒，AF BC ⊥，H 是棱AD 的中点，P 是棱EF 上的动点．（1）证明：AB ⊥平面ACEF ；（2）求平面PBH 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值的最大值．27．（2023•烟台一模）如图，在四棱棱V ABCD -中，底面ABCD 为菱形，2AB =，60BAD ∠=︒，VBC ∆为等边三角形．（1）求证：BC VD ⊥；（2）若二面角A BC V --的大小为60︒，求直线VA 与平面VBC 所成角的正弦值．28．（2023•咸阳校级模拟）已知直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，5AB =，6AD =，2CD =，E ，H 分别是11B C ，1AA 上的点，且111113,3,,34B E BC AH AA DH AB F ===⊥为AB 上的点．（1）证明：EF DH ⊥；（2）当3AF =时，求平面DEF 与平面11AA D D 所成的二面角的正弦值．29．（2023•焦作二模）如图1，在ABC ∆中，AB AC =，23BAC π∠=，E 为BC 的中点，F 为AB 上一点，且EF AB ⊥．现将BEF ∆沿EF 翻折到△B EF '，如图2．（1）证明：EF AB '⊥．（2）已知二面角B EF A '--为3π，在棱AC 上是否存在点M ，使得直线BC 与平面B MF '所成角的正弦值M 的位置；若不存在，请说明理由．30．（2023•龙岩模拟）三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，侧面11A ACC ，为矩形，123A AB π∠=，三棱锥1C ABC -的体积为233．（1）求侧棱1AA 的长；（2）侧棱1CC 上是否存在点E ，使得直线AE 与平面1A BC 所成角的正弦值为5？若存在，求出线段1C E 的长；若不存在，请说明理由．31．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，在三棱锥P ABC -中，PA PB =，2AB BC ==，90APB ABC ∠=∠=︒，平面PAB ⊥平面ABC ，点E 是线段PA 上的动点．（1）证明：平面APC ⊥平面PBC ；（2）若点Q 在线段BC 上，23BQ =，且异面直线EQ 与PB 成30︒角，求平面EBC 和平面ABC 夹角的余弦值．32．（2023•湖北模拟）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是边长为2的正三角形，侧面11BCC B 为菱形，已知160BB C ∠=︒，1AB a =．（1）当a =时，求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）设点P 为侧棱1BB 上一动点，当3a =时，求直线1PC 与平面11ACC A 所成角的正弦值的取值范围．33．（2023•平湖市模拟）如图在三棱柱111ABC A B C -中，D 为AC 的中点，2AB BC ==，111AA B B BC ∠=∠．（1）证明：1BB AC ⊥；（2）若1BB BC ⊥，且满足：_____，（待选条件）．从下面给出的①②③中选择两个填入待选条件，求二面角11B B D C --的正弦值．①三棱柱111ABC A B C -的体积为②直线1AB 与平面11BCC B 所成的角的正弦值为；③二面角1A BB C --的大小为60︒；注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．34．（2022秋•西山区期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，23ADC π∠=，24PD DC BC ===，点E 是线段AD 的中点，点F 在线段AP 上且满足AF AP λ= ，PD ⊥面ABCD ．（Ⅰ）当13λ=时，证明：//PC 平面BFE ；（Ⅱ）当λ为何值时，平面BFE 与平面PBD所成的二面角的正弦值最小？35．（2023•宛城区校级开学）四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，1AA ⊥面ABCD ，点M ，N ，Q 分别为棱1DD ，AD ，1BB 的中点．（1）求证：平面//MNQ 平面1BC D ；（2）若12AA AB =，棱11A B 上存在点P ，使得二面角P MN Q --的余弦值为132163，求111A P A B的值．36．（2023•南开区校级模拟）如图，已知梯形ABCD 中，//AD BC ，90DAB ∠=︒，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥平面ABCD ．（1）求证：//DF 平面ABE ；（2）求平面ABE 与平面BEF 的夹角的余弦值；（3）若点P 在线段EF 上，且直线AP 与平面BEF 所成角的正弦值为1414，求线段AP 的长．37．（2023春•荔湾区月考）如图，把边长为ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，F 是BC的中点，O 是原正方形ABCD 的中心，动点E 在线段AD （包含端点A ，)D 上．（1）若E 为AD 的中点，求直线AB 到平面EOF 的距离；（2）在线段AD 上是否存在点E ，使得平面EOF 与平面ABC 的夹角的余弦值为13，若存在，求出DE EA的值；若不存在，请说明理由．38．（2023•九龙坡区校级开学）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，23BCD π∠=，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ，1AD CD BC CF ====．（1）求证：平面EFD ⊥平面BCF ；（2）点M 在线段EF 上运动，当点M 在什么位置时，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角的余弦值为34．39．（2023•石家庄模拟）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形且垂直于侧面SAB ，O 为AB 的中点，2SA SB AB ===，AD =．（Ⅰ）证明：BD ⊥平面SOC ；（Ⅱ）侧棱SD 上是否存在点E ，使得平面ABE 与平面SCD 夹角的余弦值为15，若存在，求SE SD的值；若不存在，说明理由．40．（2023•高州市一模）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为直角梯形，90DAB ADC ∠=∠=︒，1AB AD ==，2CD =，1BD CD ⊥．点M 为1CD 的中点，且12CD BM =．（1）证明：平面BDM ⊥平面1BCD ；（2）若钝二面角B DM C --的余弦值为，当1BD BD >时，求1BD 的长．41．（2023•邵阳一模）如图所示，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，侧面ABEF 为菱形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，M 为棱BE 的中点．（1）若DE 上有一点N 满足//MN 平面ABCD ，确定点N 的位置并证明；（2）若12AB BC AD ==，60EBA ∠=︒，求平面MAD 与平面EFD 所成二面角的正弦值．42．（2023•重庆二模）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧棱PD ⊥矩形ABCD ，且PD CD =，过棱PC 的中点E ，作EF PB ⊥交PB 于点F ，连接DE ，DF ，BD ，BE ．（1）证明：PB DF ⊥；（2）若1PD =，平面DEF 与平面ABCD 所成二面角的大小为3π，求P DEF V -的值．43．（2023•武威模拟）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，//AB CD ，22PB CD AB AD ===，PD =，PC DE ⊥，E 是棱PB 的中点．（1）证明：PD ⊥平面ABCD ；（2）若AF AB λ= ，求平面DEF 与平面PAD 所成的锐二面角的余弦值的最大值．44．（2023•舞钢市开学）如图所示，在四棱锥A BCDE -中，ABC ∆是等边三角形，//CD BE ，BD CD ⊥，记平面ACD 与平面ABE 的交线为l ．（1）证明：//l CD ．（2）若2AD BE ===，DE =Q 为l 上一点，求BC 与平面QBD 所成角的正弦值的最大值．45．（2023•新城区校级一模）如图，三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 是正三角形，侧面11ACC A 是菱形，平面11ACC A ⊥平面ABC ，E ，F 分别是棱11A C ，BC 的中点．（1）证明：//EF 平面11ABB A ；（2）若112,60,2AC ACC C G GC =∠=︒= ，求直线11B C 与平面EFG 所成角的正弦值．46．（2023•安徽开学）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，二面角P AB D --为直二面角，PAB PBA ∠=∠，点M 为棱AD 的中点．（1）求证：PD MC ⊥；（2）若PA AB =，点N 是线段BD 上靠近B 的三等分点，求直线PA 与平面PMN 所成角的正弦值．47．（2023•湖北模拟）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，SA ⊥平面ABCD ，22SA AB BC AD ====．（1）求C 到平面SBD 的距离；（2）求平面SAB 与平面SCD 的夹角的正弦值．48．（2023•河南模拟）如图，在四棱锥M ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝4，AD ＝2，MC ＝2，∠ADC ＝45°，点M 在底面ABCD 上的射影为CD 的中点O ，E 为线段AD 上的点（含端点）．（1）若E 为线段AD 的中点，证明：平面MOE ⊥平面MAD ；（2）若3AE ＝DE ，求二面角D ﹣ME ﹣O 的余弦值．49．（2023•梅州一模）如图，在边长为4的正三角形ABC 中，E 为边AB 的中点，过E 作ED AC ⊥于D ．把ADE ∆沿DE 翻折至△1A DE 的位置，连接1A C 、1A B ．（1）F 为边1A C 的一点，若12CF FA = ，求证：//BF 平面1A DE ；（2）当四面体1C EBA -的体积取得最大值时，求平面1A DE 与平面1A BC 的夹角的余弦值．50．（2023•新乡模拟）如图，已知圆锥P ABC -，AB 是底面圆O 的直径，且长为4，C 是圆O 上异于A ，B 的一点，PA =P AC B --与二面角P BC A --的大小分别为α与β．（1）求2211tan tan αβ+的值；（2）若tan βα=，求二面角A PC B --的余弦值．。

第五讲 几何——立体部分教学目标：对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查．知识点拨：一、长方体和正方体如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．c b aHGFED CBA①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc =长方体．③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体．二、圆柱与圆锥例题精讲：【例 1】 如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？【例 2】 右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l 厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）【巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？【例 3】 下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为12厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为14厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？【例 4】 一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？【巩固】(2008年走美六年级初赛)一个表面积为256cm 的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和是 2cm ．【例 5】 如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？25块积木【例 6】 要把12件同样的长a 、宽b 、高h 的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？⑴当b=2h时，如何打包？⑵当b<2h时，如何打包？⑶当b>2h时，如何打包？【巩固】要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？【例 7】如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积．【例 8】(2008年“希望杯”五年级第2试)如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米．【例 9】把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积．【巩固】用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?【例 10】有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色．求被涂成红色的表面积．【例 11】棱长是m厘米（m为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1厘米的小正方体．至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为13:12，此时m的最小值是多少?【例 12】有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的．现将它们拼成一个444⨯⨯的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？【例 13】三个完全一样的长方体，棱长总和是288厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面．涂色后把三个长方体都切成棱长为1厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？【例 14】把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？【例 15】把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形．用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？【例 16】一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形.现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？【例 17】有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻(有公共面)的积木颜色不同，标A的为黑色，图中共有黑色积木多少块？A【巩固】这个图形，是否能够由112⨯⨯的长方体搭构而成？【巩固】有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字(不同的立方体可以写相同的数字)先将写着2的立方体与写着1的立方体的三个面相邻，再将写着3的立方体写着2的立方体相邻(见左下图)．依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的所有数字之和是多少?33223323322323111111【例 18】 (05年武汉明心杯数学挑战赛)如图所示，一个555⨯⨯的立方体，在一个方向上开有115⨯⨯的孔，在另一个方向上开有215⨯⨯的孔，在第三个方向上开有315⨯⨯的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？【巩固】（2008年香港保良局第12届小学数学世界邀请赛）如图，原来的大正方体是由125个小正方体所构成的．其中有些小正方体已经被挖除，图中涂黑色的部分就是贯穿整个大正方体的挖除部分．请问剩下的部分共有多少个小正方体？第8题【巩固】一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小正方体，把大正方【例 19】 （2009年迎春杯高年级组复赛）右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边三角形且边长为⑴的2倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正方形．那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的 倍．⑷⑶⑵⑴ ⑾⑽⑼⑻⑺⑹⑸【例 20】 图⑴和图⑵是以正方形和等边三角形为面的立体图形的展开图，图中所有的边长都相同．请问：图⑴能围起来的立体图形的体积是图⑵能围起来的立体图形的体积的几倍？图⑴ 图⑵【例 21】 如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米？(π取3.14)1110.511.5【例 22】 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？【例 23】 (第四届希望杯2试试题)圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是________立方厘米．(结果用π表示)【例 24】 如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求这个油桶的容积．(π 3.14=)【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？(π 3.14=)【例 25】 把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？【例 26】 一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？ (π 3.14=)【例 27】 (2008年”希望杯”五年级第2试)一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推知瓶子的容积是_______ 立方厘米．(π取3.14)(单位：厘米)【巩固】一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？【巩固】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10平方厘米，(如下图所示)，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是＿＿＿＿＿＿．7cm4cm5cm【例 28】一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中．求这时容器的水深是多少厘米？【例 29】有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？【例 30】如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的13，乙容器中水的高度是锥高的23，比较甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？甲乙【例 31】(2008年仁华考题)如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为20厘米，中间有一直径为8厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为0.04厘米，则薄膜展开后的面积是平方米．20cm8cm100cm【巩固】图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为20厘米，中间有一直径为6厘米的卷轴．已知纸的厚度为0.4毫米，问：这卷纸展开后大约有多长？【例 32】如图，ABC是直角三角形，AB、AC的长分别是3和4．将ABC∆绕AC旋转一周，求ABC∆扫出的立体图形的体积．(π 3.14=)CBA43【例 33】 已知直角三角形的三条边长分别为3cm ，4cm ，5cm ，分别以这三边轴，旋转一周，所形成的立体图形中，体积最小的是多少立方厘米？(π取3.14)【巩固】如图，直角三角形如果以BC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为16π，以AC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为12π，那么如果以AB 为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？ABC【例 34】 如图，ABCD 是矩形，6cm BC =，10cm AB =，对角线AC 、BD 相交O ．E 、F 分别是AD 与BC的中点，图中的阴影部分以EF 为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？(π取3)ABAB【巩固】(2006年第十一届华杯赛决赛试题)如图，ABCD 是矩形，6cm BC =，10cm AB =，对角线AC 、BD相交O ．图中的阴影部分以CD 为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？B A【例 35】 (人大附中分班考试题目)如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积．课后练习练习1.（《小学生数学报》邀请赛）从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)练习2.一个酒瓶里面深30cm，底面内直径是10cm，瓶里酒深15cm．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深25cm．酒瓶的容积是多少？(π取3)302515练习3.如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？练习4.(2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分．已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大22008cm，则这个圆柱体木棒的侧面积是________2cm．(π取3.14)第2题练习5.如图，厚度为0.25毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱(纸卷得很紧，没有空隙)，它的外直径是180厘米，内直径是50厘米．这卷铜版纸的总长是多少米？月测备选【备选1】如右图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?【备选2】一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是12厘米．其内有一些水，正放时水面离容器顶11厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？(π3)5cm11cm【备选3】如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？【备选4】一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米．求这个圆柱体的表面积是多少？4cm【备选5】(2009年”希望杯”一试六年级)如图，圆锥形容器中装有水50升，水面高度是圆锥高度的一半，这个容器最多能装水升．。

专题综合检测四时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2013·成都石室一模)设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是( )A ．若a ⊥b ，a ⊥α，则b ∥αB ．若a ∥α，α⊥β，则a ⊥βC ．若a ⊥β，α⊥β，则a ∥αD ．若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β 2．(文)(2013·菱湖月考)若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，则此多面体的体积是( )A.12cm 3B.23cm 3 C.56cm 3 D.78cm 3(理)(2012·河北郑口中学模拟)某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为13，则该几何体的俯视图可以是( )3．(2013·湖南文，7)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )A.32 B ．1 C.2＋12 D. 24．(文)如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在平面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上 B ．直线BC 上 C ．直线AC 上D ．△ABC 的内部(理)(2012·嘉兴调研)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱AB 上的动点，则直线A 1D 与直线C 1E 所成的角等于( )A ．60°B ．90°C ．30°D ．随点E 的位置而变化5．如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD .将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′－BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是( )A ．A ′C ⊥BDB ．∠BA ′C ＝90°C ．CA ′与平面A ′BD 所成的角为30° D ．四面体A ′－BCD 的体积为136.(2012·广州模拟)过正方形ABCD 的顶点A ，引P A ⊥平面ABCD . 若P A ＝BA ，则平面ABP 和平面CDP 所成的二面角的大小是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°7．(文)已知m 、n 是两条不同直线，α、β为两个不同平面，那么使m ∥α成立的一个充分条件是( )A ．m ∥β，α∥βB ．m ⊥β，α⊥βC ．m ⊥n ，n ⊥α，m ⊄αD ．m 上有不同的两个点到α的距离相等(理)如果一条直线和一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成“正交线面对”的概率为( )A.17B.114C.328D.94908．如图，在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下列四个结论不成立的是( )A ．BC ∥平面PDFB ．DF ⊥平面P AEC ．平面PDF ⊥平面P AED ．平面PDE ⊥平面ABC9．(文)(2013·新课标Ⅱ理，4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( )A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l(理)(2013·山东理，4)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形，若P 为底面△A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( )A.5π12B.π3C.π4D.π610．(文)已知a 、b 、c 、d 是空间四条直线，如果a ⊥c ，b ⊥c ，a ⊥d ，b ⊥d ，那么( ) A ．a ∥b 且c ∥d B ．a 、b 、c 、d 中任意两条可能都不平行 C ．a ∥b 或c ∥d D ．a 、b 、c 、d 中至多有一对直线互相平行(理)已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，E 是侧棱BB 1的中点，则直线AE 与平面A 1ED 1所成角的大小为( )A ．60°B ．90°C ．45°D ．以上都不正确11．如图，在棱长为5的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF ＝2，Q 是A 1D 1的中点，点P 是棱C 1D 1上的动点，则四面体P －QEF 的体积( )A ．是变量且有最大值B ．是变量且有最小值C ．是变量且有最大值和最小值D ．是常量12．(文)已知α、β、γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α、β、γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个(理)如图，在△ABC 中，AB ⊥AC ，若AD ⊥BC ，则AB 2＝BD ·BC ；类似地有命题：在三棱锥A －BCD 中，AD ⊥平面ABC ，若A 点在平面BCD 内的射影为M ，则有S 2△ABC ＝S △BCM ·S△BCD.上述命题是( )A ．真命题B ．增加条件“AB ⊥AC ”才是真命题 C ．增加条件“M 为△BCD 的垂心”才是真命题 D ．增加条件“三棱锥A －BCD 是正三棱锥”才是真命题二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填写在题中横线上．)13．(2012·海南模拟)已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，则①棱AB 与PD 所在直线垂直； ②平面PBC 与平面ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于△P AB 的面积； ④直线AE 与平面BF 是异面直线． 以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)14.(2012·安庆市二模)如图，正方形BCDE 的边长为a ，已知AB ＝3BC ，将直角△ABE 沿BE 边折起，A 点在面BCDE 上的射影为D 点，则翻折后的几何体中有如下描述：①AB 与DE 所成角的正切值是2； ②V B－ACE 的体积是16a 2； ③AB ∥CD ； ④平面EAB ⊥平面ADE ； ⑤直线BA 与平面ADE 所成角的正弦值为33.其中正确的叙述有________(写出所有正确结论的编号)．15．(2013·济南质检)如图，在半径为R 的半球内有一内接圆柱，则这个圆柱体积的最大值是________．16．(文)三棱锥S －ABC 中，∠SBA ＝∠SCA ＝90°，△ABC 是斜边AB ＝a 的等腰直角三角形，则以下结论中：①SB ⊥AC ； ②直线SB ⊥平面ABC ； ③平面SBC ⊥平面SAC ；④点C 到平面SAB 的距离是12a .其中正确结论的序号是________． (理)在四面体ABCD 中，AB ＝1，AD ＝23，BC ＝3，CD ＝2， ∠ABC ＝∠DCB ＝π2，则二面角A －BC －D 的大小等于__________．三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(2013·江西八校联考)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱与底面垂直，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝2，点M 、N 分别为A 1B 和B 1C 1的中点．(1)证明：A 1M ⊥平面MAC ；(2)求三棱锥A －CMA 1的体积； (3)证明：MN ∥平面A 1ACC 1.18．(本小题满分12分)(2013·大兴区模拟)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC是等边三角形，D是BC的中点．(1)求证：直线A1D⊥B1C1；(2)判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论．19．(本小题满分12分)(2013·江西师大附中、鹰潭一中模拟)如图1，⊙O的直径AB＝4，点C、D为⊙O上两点，且∠CAB＝45°，F为BC的中点．沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直(如图2)．(1)求证：OF∥平面ACD；(2)在AD上是否存在点E，使得平面OCE⊥平面ACD？若存在，试指出点E的位置；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分12分)(文)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2.(1)求证：AC⊥平面BB1C1C；(2)在A1B1上是否存在一点P，使得DP和平面BCB1、平面ACB1都平行？证明你的结论．(理)(2012·山西大同学情调研)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝a ，AD ＝2a ，P A ⊥平面ABCD ，PD 与平面ABCD 成30°角．(1)若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ；(2)求平面P AB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．21．(本小题满分12分)如图，已知矩形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝6，沿对角线BD 把△ABD 折起，使A 点移到A 1点，且A 1在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上．(1)求证：BC ⊥A1D ；(2)求证：平面A 1BC ⊥平面A 1BD ； (3)求三棱锥A 1－BCD 的体积．22．(本小题满分14分)(文)(2013·福建文，18)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，BC ＝5，DC ＝3，AD ＝4，∠P AD ＝60°.(1)当正视方向与向量AD →的方向相同时，画出四棱锥P －ABCD 的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若M 为P A 的中点，求证：DM ∥平面PBC ； (3)求三棱锥D －PBC 的体积．(理)(2013·陕西理，18)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝ 2.(1)证明：A1C⊥平面BB1D1D(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．（反馈练习）一、选择题1．(文)(2012·杭州第二次质检)如图，是一个几何体的三视图，侧视图和正视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为()A．6 B．12 3C．24 D．3(理)(2013·郑州质检)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为()A．6＋ 5 B．6＋2 5C．8＋ 5 D．8＋2 52．(2013·福州质检)如图是一个空间几何体的三视图，这个几何体的体积是()A．2π B．4πC．6π D．8π3．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是() A．若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥αB．若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m⊂αC．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥βD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β4．(2013·嘉兴二测)已知α，β，γ是三个不重合的平面，m、n是不重合的直线，下列判断正确的是()A．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γB．若α⊥β，l∥β，则l∥αC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n5．在正四面体(棱长都相等的四面体)A －BCD 中，棱长为4，M 是BC 的中点，点P 在线段AM 上运动(P 不与A 、M 重合)，过点P 作直线l ⊥平面ABC ，l 与平面BCD 交于点Q ，给出下列命题：①BC ⊥平面AMD ； ②Q 点一定在直线DM 上； ③V C －AMD ＝4 2. 其中正确的是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③6.如图，正△ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知△A ′ED 是△AED 绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是( )A ．动点A ′在平面ABC 上的投影在线段AF 上B ．恒有平面A ′GF ⊥平面BCEDC ．三棱锥A ′－FED 的体积有最大值 D ．异面直线A ′E 与BD 不可能垂直7．(2013·合肥质检)在三棱锥A －BCD 中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，△ABC 、△ACD 、△ADB 的面积分别为22、32、62，则三棱锥A －BCD 的外接球的体积为( )A.6π B ．26π C ．36π D ．46π8．(文)(2013·合肥二检)用若干个棱长为1的正方体搭成一个几何体，其正视图、侧视图都是如下图形，对这个几何体，下列说法正确的是( )A ．这个几何体的体积一定是7B ．这个几何体的体积一定是10C ．这个几何体的体积的最小值是6，最大值是10D ．这个几何体的体积的最小值是5，最大值是11(理)(2013·杭州质检)如图，设平面α∩β＝EF ，AB ⊥α，CD ⊥α，垂足分别是B 、D ，如果增加一个条件，就能推出BD ⊥EF ，这个条件不可能是下面四个选项中的( )A ．AC ⊥βB ．AC ⊥EFC ．AC 与BD 在β内的射影在同一条直线上 D ．AC 与α、β所成的角相等9．已知正四面体A －BCD ，设异面直线AB 与CD 所成的角为α，侧棱AB 与底面BCD 所成的角为β，侧面ABC 与底面BCD 所成的角为γ，则( )A ．α>β>γB ．α>γ>βC ．β>α>γD ．γ>β>α10．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AB 的中点，则点C 到平面A 1DM 的距离为( )A.63aB.66aC.22aD.12a11．(文)已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可知这个几何体的侧面积是( )A.3πB.π3 C.2π3 D.5π(理)如图，鼓状的几何体是由半径为5的圆O 经过两个水平平面切割而成，上下底面都是半径为4的圆，五点O 1、O 、O 2、A 、D同在平面α上，而另五点O 1、O 、O 2、B 、C 同在平面β上，若α⊥β，则直线OB 与AC 所成角的余弦值为( )A.1785B.52C.1715D.151312.(2012·朝阳期末)已知正方形ABCD 的边长为22，将△ABC 沿对角线AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，得到如右图所示的三棱锥B －ACD .若O 为AC 边的中点，M 、N 分别为线段DC 、BO 上的动点(不包括端点)，且BN ＝CM .设BN ＝x ，则三棱锥N －AMC 的体积y ＝f (x )的函数图象大致是( )二、填空题13.(2012·临川一中模拟)如图，ABED －FC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，OA ＝1，OD ＝2，△OAB ，△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形．则棱锥F －OBED 的体积为________．14．(文)(2012·西宁一中模拟)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； (2)若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 与α平行；(3)若α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； (4)直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题．．．的序号是________．(写出所有真命题的序号) (理)(2012·廊坊模拟)过正方形ABCD 的顶点A ，引P A ⊥平面ABCD .若P A ＝BA ，则平面ABP 和平面CDP 所成的二面角的大小是________． 15．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，则三棱锥P －ABC 的正(主)视图与侧(左)视图的面积的比值为________． 16．(文)(2012·天津文)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.三、解答题17.如图，在空间四边形ABDP 中，AD ⊂α，AB ⊂α，AB ⊥AD ，PD ⊥α，且PD ＝AD ＝AB ，E 为AP 中点．(1)请在∠BAD 的平分线上找一点C ，使得PC ∥平面EDB ； (2)求证：ED ⊥平面EAB .18．下面一组图形为P －ABC 的底面与三个侧面．已知AB ⊥BC ，P A ⊥AB ，P A ⊥AC .(1)写出三棱锥P －ABC 中的所有的线面垂直关系(不要求证明)；(2)在三棱锥P －ABC 中，M 是P A 上的一点，求证：平面MBC ⊥平面P AB ；(3)在三棱锥P －ABC 中，M 是P A 的中点，且P A ＝BC ＝3，AB ＝4，求三棱锥P－MBC 的体积．19．(文)已知四棱锥P －ABCD 的直观图和三视图如图所示，E 是PB 的中点．(1)求三棱锥C －PBD 的体积；(2)若F 是BC 上任一点，求证：AE ⊥PF ；(3)边PC 上是否存在一点M ，使DM ∥平面EAC ，并说明理由．(理)(2012·合肥第二次质检)如图，PO ⊥平面ABCD ，点O 在AB 上，EA ∥PO ，四边形ABCD为直角梯形，BC ⊥AB ，BC ＝CD ＝BO ＝PO ，EA ＝AO ＝12CD .(1)求证：PE ⊥平面PBC ；(2)直线PE 上是否存在点M ，使DM ∥平面PBC ，若存在，求出点M ；若不存在，说明理由．(3)求二面角E －BD －A 的余弦值．20．(文)(2012·梅州二模)下图是一几何体的直观图、正(主)视图、侧(左)视图、俯视图．其中俯视图是边长为4的正方形，正(主)视图为直角梯形，侧(左)视图为等腰直角三角形，且CE 是中线．(1)若F 为PD 的中点，求证：AF ⊥平面PCD ；(2)证明：BD ∥平面PEC .(理)(2013·天津耀华中学月考)如图所示，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .(1)求证：BF ⊥DM ；(2)求二面角A －CD －E 的余弦值．21．(文)如图所示，在直三棱柱ABC －A1B 1C 1中，AB ＝BB 1＝BC ，AC 1⊥平面A 1BD ，D 为AC 的中点．(1)求证：B 1C ∥平面A 1BD ；(2)求证：B 1C 1⊥平面ABB 1A 1；(3)在CC 1上是否存在一点E ，使得∠BA 1E ＝45°，若存在，试确定E 的位置，并判断平面A 1BD 与平面BDE 是否垂直？若不存在，请说明理由．(理)(2012·揭阳一模)如图①，边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别为AB、BC的中点，将△BEF剪去，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点P，得一三棱锥如图②所示．(1)求证：PD⊥EF；(2)求三棱锥P－DEF的体积；(3)求DE与平面PDF所成角的正弦值．22．(文)如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱P A⊥底面ABCD，且P A＝2，E是侧棱PC上的动点．(1)求四棱锥P－ABCD的体积；(2)如果E是P A的中点，求证PC∥平面BDE；(3)是否不论点E在侧棱P A的任何位置，都有BD⊥CE？证明你的结论．(理)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝2AA1，∠ABC＝90°，D是BC的中点．B∥平面ADC1；(1)求证：A(2)求二面角C1－AD－C的余弦值；(3)试问线段A1B1上是否存在点E，使得AE与DC1成60°角？若存在，确定E点位置；若不存在，说明理由．。

大题立体几何1(2024·黑龙江·二模)如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，M是BC的中点，N是AB1的中点，P是B1C1的中点．(1)证明：MN⎳平面A1CP；(2)求点P到直线MN的距离．2(2024·安徽合肥·二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD= 60°,M是侧棱PC的中点，侧面PAD为正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD．(1)求三棱锥M-ABC的体积；(2)求AM与平面PBC所成角的正弦值．3(2023·福建福州·模拟预测)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC,AB= AC=BC=AA1=2，A1B=6．(1)设D为AC中点，证明：AC⊥平面A1DB；(2)求平面A1AB1与平面ACC1A1夹角的余弦值．4(2024·山西晋中·三模)如图，在六面体ABCDE中，BC=BD=6，EC⊥ED，且EC=ED= 2，AB平行于平面CDE，AE平行于平面BCD，AE⊥CD.(1)证明：平面ABE⊥平面CDE；(2)若点A到直线CD的距离为22，F为棱AE的中点，求平面BDF与平面BCD夹角的余弦值．5(2024·辽宁·二模)棱长均为2的斜三棱柱ABC-A1B1C1中，A1在平面ABC内的射影O在棱AC的中点处，P为棱A1B1(包含端点)上的动点．(1)求点P到平面ABC1的距离；(2)若AP⊥平面α，求直线BC1与平面α所成角的正弦值的取值范围．6(2024·重庆·模拟预测)在如图所示的四棱锥P-ABCD中，已知AB∥CD，∠BAD=90°，CD= 2AB，△PAB是正三角形，点M在侧棱PB上且使得PD⎳平面AMC．(1)证明：PM=2BM；(2)若侧面PAB⊥底面ABCD，CM与底面ABCD所成角的正切值为311，求二面角P-AC-B的余弦值．7(2024·安徽·模拟预测)2023年12月19日至20日，中央农村工作会议在北京召开，习近平主席对“三农”工作作出指示．某地区为响应习近平主席的号召，积极发展特色农业，建设蔬菜大棚．如图所示的七面体ABG-CDEHF是一个放置在地面上的蔬菜大棚钢架，四边形ABCD是矩形，AB=8m，AD=4m，ED=CF=1m，且ED，CF都垂直于平面ABCD，GA=GB=5m，HE=HF，平面ABG⊥平面ABCD．(1)求点H到平面ABCD的距离；(2)求平面BFHG与平面AGHE所成锐二面角的余弦值．8(2024·重庆·模拟预测)如图，ACDE为菱形，AC=BC=2，∠ACB=120°，平面ACDE⊥平面ABC，点F在AB上，且AF=2FB，M，N分别在直线CD，AB上．(1)求证：CF⊥平面ACDE；(2)把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若∠EAC=60°，MN为直线CD，AB的公垂线，求ANAF的值；(3)记直线BE与平面ABC所成角为α，若tanα>217，求平面BCD与平面CFD所成角余弦值的范围．9(2024·安徽·二模)将正方形ABCD 绕直线AB 逆时针旋转90°，使得CD 到EF 的位置，得到如图所示的几何体．(1)求证：平面ACF ⊥平面BDE ；(2)点M 为DF 上一点，若二面角C -AM -E 的余弦值为13，求∠MAD ．10(2024·安徽黄山·二模)如图，已知AB 为圆台下底面圆O 1的直径，C 是圆O 1上异于A ,B 的点，D 是圆台上底面圆O 2上的点，且平面DAC ⊥平面ABC ，DA =DC =AC =2，BC =4，E 是CD 的中点，BF =2FD ．(1)证明：DO 2⎳BC ；(2)求直线DB 与平面AEF 所成角的正弦值.11(2024·黑龙江哈尔滨·一模)正四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1的下底面边长为22，A 1B 1=12AB ，M 为BC 中点，已知点P 满足AP =1-λ AB +12λ⋅AD +λAA 1 ，其中λ∈0,1 ．(1)求证D 1P ⊥AC ；(2)已知平面AMC 1与平面ABCD 所成角的余弦值为37，当λ=23时，求直线DP 与平面AMC 1所成角的正弦值．12(2024·辽宁·三模)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1⊥底面ABC ,AC =AA 1=2，AB =1,BC =3，点E 为线段AC 的中点.(1)求证：AB 1∥平面BEC 1；(2)若∠A 1AC =π3，求二面角A -BE -C 1的余弦值.13(2024·广东广州·一模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，△DCP是等边三角形，∠DCB=∠PCB=π4，点M，N分别为DP和AB的中点.(1)求证：MN⎳平面PBC；(2)求证：平面PBC⊥平面ABCD；(3)求CM与平面PAD所成角的正弦值.14(2024·广东梅州·二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD 为直角梯形，△PAD为等边三角形，AD⎳BC，AD⊥AB，AD=AB=2BC=2．(1)求证：AD⊥PC；(2)点N在棱PC上运动，求△ADN面积的最小值；(3)点M为PB的中点，在棱PC上找一点Q，使得AM⎳平面BDQ，求PQQC的值．15(2024·广东广州·模拟预测)如图所示，圆台O1O2的轴截面A1ACC1为等腰梯形，AC=2AA1= 2A1C1=4,B为底面圆周上异于A,C的点，且AB=BC,P是线段BC的中点.(1)求证：C1P⎳平面A1AB.(2)求平面A1AB与平面C1CB夹角的余弦值.16(2024·广东深圳·二模)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C⊥底面ABC，且AB= AC，A1B=A1C．(1)证明：AA1⊥平面ABC；(2)若AA1=BC=2，∠BAC=90°，求平面A1BC与平面A1BC1夹角的余弦值．17(2024·河北保定·二模)如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PCD 内存在一条直线EF 与AB 平行，PA ⊥平面ABCD ，直线PC 与平面ABCD 所成的角的正切值为32，PA =BC =23，CD =2AB =4.(1)证明：四边形ABCD 是直角梯形.(2)若点E 满足PE =2ED ，求二面角P -EF -B 的正弦值.18(2024·湖南衡阳·模拟预测)如图，在圆锥PO 中，P 是圆锥的顶点，O 是圆锥底面圆的圆心，AC 是圆锥底面圆的直径，等边三角形ABD 是圆锥底面圆O 的内接三角形，E 是圆锥母线PC 的中点，PO =6,AC =4.(1)求证：平面BED ⊥平面ABD ；(2)设点M 在线段PO 上，且OM =2，求直线DM 与平面ABE 所成角的正弦值.19(2024·湖南岳阳·三模)已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为4的菱形，∠DAB =60°，PA =PC ，PB =PD =210，M 是线段PC 上的点，且PC =4MC ．(1)证明：PC ⊥平面BDM ；(2)点E 在直线DM 上，求BE 与平面ABCD 所成角的最大值．20(2024·湖南·二模)如图，直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的菱形，∠ABC =60°,BD 1⊥平面A 1C 1D .(1)求四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积；(2)设点D 1关于平面A 1C 1D 的对称点为E ，点E 和点C 1关于平面α对称(E 和α未在图中标出)，求平面A 1C 1D 与平面α所成锐二面角的大小.21(2024·山东济南·二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=∠PCB=60°,CD=1,AB=3,PC=23，平面PCB⊥平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点.(1)证明：PF⊥AD；(2)当EF为何值时，直线BE与平面PAD夹角的正弦值为74.22(2024·山东潍坊·二模)如图1，在平行四边形ABCD中，AB=2BC=4，∠ABC=60°，E为CD 的中点，将△ADE沿AE折起，连结BD，CD，且BD=4，如图2．(1)求证：图2中的平面ADE⊥平面ABCE；(2)在图2中，若点F在棱BD上，直线AF与平面ABCE所成的角的正弦值为3010，求点F到平面DEC 的距离．23(2024·福建·模拟预测)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥PB,AB⊥BC,AB=3,BC=6，已知二面角P-AB-C的大小为θ，∠PAB=θ.(1)求点P到平面ABC的距离；(2)当三棱锥P-ABC的体积取得最大值时，求：(Ⅰ)二面角P-AB-C的余弦值；(Ⅱ)直线PC与平面PAB所成角.24(2024·浙江杭州·二模)如图，在多面体ABCDPQ中，底面ABCD是平行四边形，∠DAB=60°, BC=2PQ=4AB=4,M为BC的中点，PQ∥BC,PD⊥DC,QB⊥MD．(1)证明：∠ABQ=90°；(2)若多面体ABCDPQ的体积为152，求平面PCD与平面QAB夹角的余弦值．25(2024·浙江嘉兴·二模)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD,PA∥QD，BC=2AB=2PA=2,∠ABC=60°.(1)证明：平面PCD⊥平面PAC；(2)若PQ=22，求平面PCQ与平面DCQ夹角的余弦值.26(2024·浙江绍兴·二模)如图，在三棱锥P-ABC中，AB=4，AC=2，∠CAB=60°，BC⊥AP.(1)证明：平面ACP⊥平面ABC；(2)若PA=2，PB=4，求二面角P-AB-C的平面角的正切值.27(2024·河北沧州·一模)如图，在正三棱锥A -BCD 中，BC =CD =BD =4，点P 满足AP =λAC ，λ∈(0,1)，过点P 作平面α分别与棱AB ，BD ，CD 交于Q ，S ，T 三点，且AD ⎳α，BC ⎳α.(1)证明：∀λ∈(0,1)，四边形PQST 总是矩形；(2)若AC =4，求四棱锥C -PQST 体积的最大值.28(2024·湖北·二模)如图1．在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，AB =4，AE =λAD ，AF =λAB (0<λ<1)，沿EF 将△AEF 向上折起得到棱锥P -BCDEP ．如图2所示，设二面角P -EF -B 的平面角为θ．(1)当λ为何值时，三棱锥P -BCD 和四棱锥P -BDEF 的体积之比为95(2)当θ为何值时，∀λ∈0,1 ，平面PEF 与平面PFB 的夹角φ的余弦值为5529(2024·湖北·模拟预测)空间中有一个平面α和两条直线m ，n ，其中m ，n 与α的交点分别为A ，B ，AB =1，设直线m 与n 之间的夹角为π3，(1)如图1，若直线m ，n 交于点C ，求点C 到平面α距离的最大值；(2)如图2，若直线m ，n 互为异面直线，直线m 上一点P 和直线n 上一点Q 满足PQ ⎳α，PQ ⊥n 且PQ ⊥m ，(i )求直线m ，n 与平面α的夹角之和；(ii )设PQ =d 0<d <1 ，求点P 到平面α距离的最大值关于d 的函数f d ．30(2024·浙江绍兴·模拟预测)如图所示，四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1，底面ABCD 为一个菱形，且∠BAD =120°. 底面与顶面的对角线交点分别为O ，O 1. AB =2A 1B 1=2，BB 1=DD 1=392，AA 1与底面夹角余弦值为3737.(1)证明：OO 1⊥平面ABCD ；(2)现将顶面绕OO 1旋转θ角，旋转方向为自上而下看的逆时针方向. 此时使得底面与DC 1的夹角正弦值为64343，此时求θ的值(θ<90°)；(3)求旋转后AA 1与BB 1的夹角余弦值.。

四类立体几何题型-高考数学大题秒杀技巧立体几何问题一般分为四类：类型1：线面平行问题类型2：线面垂直问题类型3：点面距离问题类型4：线面及面面夹角问题下面给大家对每一个类型进行秒杀处理.技巧：法向量的求算待定系数法：步骤如下：①设出平面的法向量为n =x ,y ,z ．②找出(求出)平面内的两个不共线的向量a =a 1,b 1,c 1 ，b =a 2,b 2,c 2 ．③根据法向量的定义建立关于x ,y ,z 的方程组n ⋅a =0n ⋅b =0④解方程组，取其中的一个解，即得法向量．注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组n ⋅a =0n ⋅b =0有无数多个解，只需给x ,y ,z 中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量．秒杀：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃(求外用外减，求内用内减)向量a =x 1,y 1,z 1 ，b =x 2,y 2,z 2 是平面α内的两个不共线向量，则向量n =y 1z 2−y 2z 1,x 2z 1−x 1z 2,x 1y 2−x 2y 1 是平面α的一个法向量.特别注意：空间点不容易表示出来时直接设空间点的坐标，然后利用距离列三个方程求解.类型1：线面平行问题方法一：中位线型：如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥P -ABCD 中，点E 是PD 的中点.求证：PB ⎳平面AEC .分析：方法二：构造平行四边形如图⑵, 平行四边形ABCD 和梯形BEFC 所在平面相交，BE ⎳CF ，求证：AE ⎳平面DCF .分析：过点E作EG⎳AD交FC于G，DG就是平面AEGD与平面DCF的交线，那么只要证明AE⎳DG即可。

方法三：作辅助面使两个平面是平行如图⑶，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD为菱形，M为OA的中点，N为BC的中点，证明：直线MN‖平面OCD分析：：取OB中点E，连接ME,NE，只需证平面MEN∥平面OCD。

立体几何（2）一、基础训练1. 一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是_________2. 已知点E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且直线EF ⋂直线GH=P ，那么P 在直线___________上. (填以A ，B ，C ，D 为起点和终点的直线)3. 在正方形1111D C B A ABCD -中，对角线D B 1与对角线AC 所成的角的大小为_______.4. 若直线a ∥直线b ，直线b ∥平面α，则a 与α的位置关系是_____________.5. 正三棱锥底面三角形的边长为3，侧棱长为2，则其体积为____________ 6．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．①若m ⊂α，m ⊥β，则α⊥β； ②若m ⊂α，α∩β＝n ，α⊥β，则m ⊥n ； ③若m ⊂α，n ⊂β，α∥β，则m ∥n ； ④若m ∥α，m ⊂β，α∩β＝n ，则m ∥n ． 上述命题中为真命题的是___________（填写所有真命题的序号）．二、例题1. 已知四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABC ，,M N 分别是,AB PC 的中点． （1）求证：MN AB ⊥；（2）若PA AD =，求证：MN ⊥平面PCD ．2．已知：正方体1111ABCD-A B C D ，边长为1，E 为棱1CC 的中点． （1）求证：AE BD ⊥；（2）求二面角E-AD-C 的正切值A BC DD 1C 1B 1A 1 3．如图，在棱长均为4的三棱柱111ABC ABC -中，D 、1D 分别是BC 和11B C 的中点． （1）求证：11A D ∥平面1AB D ；（2）若平面ABC ⊥平面11BCC B ，160O B BC ∠=，求三棱锥 1B ABC -的体积．4. 直四棱柱1111A B C D A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，222AB AD CD ===．11=BB（1）求证：AC ⊥平面BB 1C 1C ；（2）在A 1B 1上是否存一点P ，使得DP 与平面BCB 1与平面ACB 1都平行？证明你的结论．三、作业1. 已知P 为ABC ∆所在平面外一点，点O 为点P 在平面ABC 上的射影，若PA ，PB ，PC 与底面成等角，则O 是ABC ∆的________心.2. 三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O ，若点P 到三个平面的距离分别为3,4,5，则OP 的长为________.3. 已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集。

立体几何专题点到平面的距离定义：从平面外一点向平面作垂线，这个点与垂足之间的距离叫这个点到平面的距离。

作用：（1）求几何体的体积；（2）求直线与平面所成的角；（3）求二面角；方法一：直接法，根据题意得到平面α外一点P 在平面α内的射影O ，建立三角形，解出PO 的长度。

【题型一】根据已知条件直接找出点P 在平面α内的射影。

如：①正棱锥的顶点在底面内的射影是底面正多边形的中心；②侧棱长相等的棱锥的顶点在底面内的射影是底面多边形的外心；③三棱锥P ﹣ABC 的三侧棱两两垂直，则顶点在底面的射影是底面三角形的垂心；【典例】在三棱锥P ﹣ABC 中，PA=PB=PC=AC ，AB ⊥BC ，求PB 与底面ABC 所成角的大小.【题型二】利用平面与平面垂直的性质定理，找出点P 在平面α内的射影。

【典例1】（2011重庆文）如图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，AB ⊥BC ，AC=AD=2，BC=CD=1.（Ⅰ）求四面体ABCD 的体积；（Ⅱ）求二面角C ﹣AB ﹣D 的平面角的正切值。

【典例2】（2012年天津文）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥PD ，BC=1，PC=32，PD=CD=2.（I ）求异面直线PA 与BC 所成角的正切值；（II ）证明：平面PDC ⊥平面ABCD ；（III ）求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值。

ABCPABCPD ABCD【题型三】根据已知条件，证明PO ⊥α.【典例1】（2016全国Ⅱ）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE=CF ，EF 交BD 于点H ，将△DEF 沿EF 折到△D′EF 的位置.（Ⅰ）证明：AC ⊥HD′；（Ⅱ）若AB=5，AC=6，AE=45，OD′=22，求五棱锥D′﹣ABCFE 的体积【典例2】如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，AE =A 1E ，AB =3，BE ⊥EC 1．（1）求BC 1与平面EB 1C 1所成角的正弦值；（2）求四棱锥11E BB C C -的体积．方法二：平行线转移法若直线l ∥α，则直线l 上任意一点到平面α的距离相等。