立体几何4作业 - 实验

第一章：空间几何体1.1.1柱、锥、台、球的结构特征一、教学目标1．知识与技能（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。

（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。

（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。

（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。

2．过程与方法（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。

（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。

3．情感态度与价值观（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。

（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。

二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。

难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。

三、教学用具（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。

（2）实物模型、投影仪四、教学思路（一）创设情景，揭示课题1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。

教师对学生的活动及时给予评价。

2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。

根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。

（二）、研探新知1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。

2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。

在此基础上得出棱柱的主要结构特征。

（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。

概括出棱柱的概念。

4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。

5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。

第1篇一、作业背景随着高考的临近，高三数学教学进入冲刺阶段。

为了提高学生的数学应用能力和解题技巧，本作业题旨在通过实际问题的解决，帮助学生巩固基础知识，提升解题能力，为高考做好充分准备。

二、作业目的1. 巩固高三数学基础知识，提高学生对数学概念、公式、定理的理解和应用能力。

2. 培养学生分析问题和解决问题的能力，提高数学思维水平。

3. 提升学生的数学解题技巧，增强应试能力。

三、作业内容1. 选择题（共10题，每题5分，共50分）（1）若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x = 1时取得极值，则a、b、c之间的关系是（）A. a + b + c = 0B. a + b + c = 1C. 2a + b = 0D. 2a + b + c = 0（2）若等差数列{an}的公差为d，且a1 + a2 + a3 = 9，a1 + a2 + a3 + a4 = 15，则d的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4（3）已知函数f(x) = x^3 - 3x，若f(x)在x = 1处取得极大值，则f(x)的导数为（）A. f'(x) = 3x^2 - 3B. f'(x) = 3x^2 + 3C. f'(x) = 3x^2 - 6D. f'(x) = 3x^2 + 6（4）若等比数列{bn}的公比为q，且b1 + b2 + b3 = 8，b1 + b2 + b3 + b4 = 32，则q的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5（5）若函数f(x) = x^2 - 2ax + a^2在x = a处取得最小值，则a的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3（6）已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1在x = 2处取得极值，则f(x)的导数为（）A. f'(x) = 3x^2 - 12x + 9B. f'(x) = 3x^2 - 12x - 9C. f'(x) = 3x^2 + 12x + 9D. f'(x) = 3x^2 + 12x - 9（7）若等差数列{cn}的公差为d，且c1 + c2 + c3 = 9，c1 + c2 + c3 + c4 = 15，则d的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4（8）已知函数f(x) = x^3 - 3x，若f(x)在x = 1处取得极小值，则f(x)的导数为（）A. f'(x) = 3x^2 - 3B. f'(x) = 3x^2 + 3C. f'(x) = 3x^2 - 6D. f'(x) = 3x^2 + 6（9）若等比数列{dn}的公比为q，且d1 + d2 + d3 = 8，d1 + d2 + d3 + d4 = 32，则q的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5（10）若函数f(x) = x^2 - 2ax + a^2在x = a处取得最大值，则a的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 填空题（共5题，每题10分，共50分）（1）若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且f(1) = 2，f'(2) = 3，则a、b、c的值分别为__________。

高中立体几何一、课程目标知识目标：1. 理解立体几何的基本概念，掌握点、线、面的位置关系和性质；2. 掌握立体图形的体积、表面积计算方法，并能运用到实际问题的解决中；3. 学会运用立体几何知识解决空间直线、平面与立体的交线问题。

技能目标：1. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力；2. 提高学生运用立体几何知识解决实际问题的能力；3. 学会使用几何画板等工具进行立体图形的绘制和计算。

情感态度价值观目标：1. 培养学生对立体几何学科的兴趣，激发学习热情；2. 培养学生的团队合作意识，学会在小组讨论中分享观点，倾听他人意见；3. 培养学生严谨、求实的科学态度，树立正确的空间观念。

课程性质分析：本课程为高中数学学科中的立体几何部分，旨在帮助学生建立空间观念，提高解决空间问题的能力。

学生特点分析：高中阶段的学生已经具备一定的数学基础和逻辑思维能力，但空间想象能力尚需培养。

教学要求：1. 注重理论与实践相结合，让学生在实际操作中掌握立体几何知识；2. 采用启发式教学，引导学生主动探究，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力；3. 关注学生个体差异，因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高。

二、教学内容1. 立体几何基本概念：点、线、面的位置关系与性质，立体图形的分类与性质；2. 立体图形的体积与表面积计算：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球体的体积与表面积公式及应用；3. 空间直线与平面的交线问题：直线与平面、平面与平面的交线性质及判定；4. 空间角与距离：空间直线、平面之间的夹角，点到直线、平面的距离计算；5. 立体几何综合应用：运用立体几何知识解决实际问题，提高空间想象能力和逻辑思维能力。

教学大纲安排：第一课时：立体几何基本概念及立体图形的分类与性质；第二课时：立体图形的体积与表面积计算；第三课时：空间直线与平面的交线问题；第四课时：空间角与距离的计算；第五课时：立体几何综合应用，布置相关练习题进行巩固。

第六章 3.2A组·素养自测一、选择题1．异面直线是指( D )A．空间中两条不相交的直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线[解析]对于A,空间两条不相交的直线有两种可能,一是平行(共面),另一个是异面．∴A应排除．对于B,分别位于两个平面内的直线,既可能平行也可能相交也可异面,如图,就是相交的情况,∴B应排除．对于C,如图的a,b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b,显然它们是相交直线,∴C应排除．只有D符合定义．∴应选D．2．正方体ABCD－A1B1C1D1中,P,Q分别为AA1,CC1的中点,则四边形D1PBQ是( B )A．正方形B．菱形C．矩形D．空间四边形[解析]设正方体棱长为2,直接计算可知四边形D1PBQ各边均为5,又四边形D1PBQ是平行四边形,所以四边形D1PBQ是菱形．3．已知空间两个角α,β,α与β的两边对应平行,且α＝60°,则β等于( D )A．60°B．120°C．30°D．60°或120°[解析]由等角定理,知β与α相等或互补,故β＝60°或120°.4．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( D )A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面[解析]可能相交也可能异面,但一定不平行(否则与条件矛盾)．5．空间四边形的对角线互相垂直且相等,顺次连接这个四边形各边中点,所组成的四边形是( D )A ．梯形B ．矩形C ．平行四边形D ．正方形[解析] 如图,因为BD ⊥AC ,且BD ＝AC ,又因为E ,F ,G ,H 分别为对应边的中点,所以FG 綊EH 綊12BD ,HG 綊EF 綊12AC ．所以FG ⊥HG ,且FG ＝HG .所以四边形EFGH 为正方形．6．异面直线a ,b ,有a ⊂α,b ⊂β且α∩β＝c ,则直线c 与a ,b 的关系是( D ) A ．c 与a ,b 都相交 B ．c 与a ,b 都不相交 C ．c 至多与a ,b 中的一条相交 D ．c 至少与a ,b 中的一条相交[解析] 若c 与a ,b 都不相交,∵c 与a 都在α内, ∴a ∥c .又c 与b 都在β内,∴b ∥c . 由基本事实4,可知a ∥b ,与已知条件矛盾． 如图,只有以下三种情况．二、填空题7．直线a 与直线b 为两条异面直线,已知直线l ∥a ,那么直线l 与直线b 的位置关系为 异面或相交 .[解析] 假设l ∥b ,又l ∥a ,根据基本事实4,可得a ∥b ,这与a 与b 异面直线相矛盾,故假设不成立,所以l 与b 异面或相交．8．(2021·广东省肇庆市期中)如图,在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,AA 1⊥AB ,AA 1⊥AC ．若AB ＝AC ＝AA 1＝1,BC ＝2,则异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为 60° .[解析] 依题意,得BC ∥B 1C 1,故异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角即BC 与A 1C 所成的角．连接A1B,在△A1BC中,BC＝A1C＝A1B＝2,故∠A1CB＝60°,即异面直线A1C与B1C1所成的角为60°.9．一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上结论正确的为①③ .(填序号)[解析]把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确．三、解答题10．如图所示,在正方体ABCD－EFGH中,O为侧面ADHE的中心,求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角．[解析](1)因为CG∥BF,所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角,又在△BEF中,∠EBF＝45°,所以BE与CG所成的角为45°.(2)如图,连接FH,因为HD∥EA,EA∥FB,所以HD∥FB,又HD＝FB,所以四边形HFBD为平行四边形．所以HF∥BD,所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA,AF,易得FH＝HA＝AF,所以△AFH为等边三角形,又知O为AH的中点,所以∠HFO＝30°,即FO与BD所成的角为30°.B组·素养提升一、选择题1．下列说法中正确的是( B )A．若两直线无公共点,则两直线平行B．若两直线不是异面直线,则必相交或平行C．过平面外一点与平面内一点的直线,与平面内任一直线均构成异面直线D．和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线[解析]对于A,空间两直线无公共点,则两直线可能平行,可能异面,故A不正确；对于C,过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内过该点的直线是相交直线,故C不正确；对于D,和两条异面直线都相交的两条直线还可能是相交直线,如图的三棱锥A－BCD中,l1与l2为异面直线,BC与AC均与l1,l2相交,但BC与AC也相交,故D不正确．2．(多选)如图所示的是一个正方体的平面展开图,如果图示面为里面,将它还原为正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有( ABC )A．AB与CD B．AB与GHC．EF与GH D．EF与CD题图答图[解析]将平面图形还原成正方体后如图所示,其中AB与CD异面,AB与GH异面,EF与GH异面．3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,C1D的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是( A )A ．相交B ．异面C ．平行D ．垂直[解析] 如图所示,连接BD 1,CD 1,CD 1与C 1D 交于点F ,由题意可得四边形A 1BCD 1是平行四边形,在平行四边形A 1BCD 1中,E ,F 分别是线段BC ,CD 1的中点,所以EF ∥BD 1,所以直线A 1B 与直线EF 相交,故选A ．4．空间四边形ABCD 中,AD ＝BC ＝2,E ,F 分别是AB ,CD 的中点,EF ＝3,则异面直线AD ,BC 所成的角为( C )A ．45°B ．120°C ．60°D ．60°或120°[解析] 取AC 的中点G ,连接EG ,FG .由三角形中位线可知,EG 綊12BC ,FG 綊12AD ,所以∠EGF 或其补角即为异面直线AD 与BC 所成的角．在△EGF 中,cos ∠EGF ＝EG 2＋FG 2－EF 22·EG ·FG ＝12＋12－322×1×1＝－12.所以∠EGF ＝120°.由异面直线所成角的范围可知应取其补角60°.故选C ． 二、填空题5．在四棱锥P －ABCD 中E ,F ,G ,H 分别是PA ,PC ,AB ,BC 的中点,若EF ＝2,则GH ＝ 2 . [解析] 由题意知EF 綊12AC ,GH 綊12AC ,故EF 綊GH ,故GH ＝2.6．如图,若正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长为2,高为4,则异面直线BD 1与AA 1所成角的正弦值是33 ,异面直线BD 1与AD 所成角的正弦值是 306. [解析] 因为AA 1∥DD 1,所以∠DD 1B 即为异面直线BD 1与AA 1所成的角,连接BD ,在Rt △D 1DB 中,sin ∠DD 1B ＝DB BD 1＝2226＝33. 因为AD ∥BC ,所以∠D 1BC 即为异面直线BD 1与AD 所成的角(或其补角), 连接D 1C ,在△D 1BC 中,因为正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长为2,高为4,所以D 1B ＝26,BC ＝2,D 1C ＝25,D 1B 2＝BC 2＋D 1C 2,所以∠D 1CB ＝90°, 所以sin ∠D 1BC ＝D 1C D 1B ＝2526＝306, 故异面直线BD 1与AD 所成角的正弦值是306. 三、解答题7．如图所示,在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别为棱AA 1,CC 1的中点．求证：(1)D 1E ∥BF ； (2)∠B 1BF ＝∠D 1EA 1．[解析] (1)取BB 1的中点M ,连接EM ,C 1M .在矩形ABB 1A 1中,易得EM ＝A 1B 1,EM ∥A 1B 1．因为A 1B 1＝C 1D 1且A 1B 1∥C 1D 1,所以EM ＝C 1D 1且EM ∥C 1D 1． 所以四边EMC 1D 1为平行四边形． 所以D 1E ∥C 1M ,在矩形BCC 1B 1中,易知MB ＝C 1F ,且MB ∥C 1F ,所以四边形C 1FBM 为平行四边形,所以C 1M ∥BF ,所以D 1E ∥BF .所以D 1E ∥BF . (2)由(1)知,ED 1∥BF ,BB 1∥EA 1,因为∠B 1BF 与∠D 1EA 1的对应边方向相同,所以∠B 1BF ＝∠D 1EA 1．8．如图,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是棱CD ,CC 1的中点．求异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小．[解析] 如图,过点M 作ME ∥DN 交CC 1于点E .连接A 1E ,则∠A 1ME 为异面直线A 1M 与DN 所成的角(或其补角)．设正方体的棱长为a ,则A 1M ＝32a ,ME＝54a ,A 1E ＝414a ,所以A 1M 2＋ME 2＝A 1E 2,所以∠A 1ME ＝90°,即异面直线A 1M 与DN 所成的角为90°.。

软件承载思想科技推动教育数学探究实验室装备方案北京中教启星科技股份有限公司2014年1月一、数学探究实验室建设的政策背景根据国家颁布的《国家中长期教育改革和发展规划纲要》指出：“信息技术对教育发展具有革命性影响，必须予以高度重视。

”强调“强化信息技术应用，提高教师应用信息技术水平，更新教学观念，改进教学方法，提高教学效果。

鼓励学生利用信息手段主动学习、自主学习，增强运用信息技术分析解决问题能力。

”教育部颁布的《普通高中数学课程标准（实验稿）》指出：现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等产生深刻的影响．提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，尽可能使用科学型计算器、各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合．鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现．《数学课程标准》还指出：“学生的数学学习内容应当是现实的，有意义的，富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动”。

再从《数学新课程标准》内容来看，新增加了数学实习作业、“实践与综合应用”、直观几何、几何变换、概率统计等内容。

而这些内容实践性与操作性都很强。

数学实验室的设立，可以有效的落实这些新增内容，为教学提供很好的学习研究环境。

同时新教材对数学实验也提出了新的要求。

例如人教版新教材安排有“阅读与思考”、“探索与发现”、“实习作业”等内容。

这些内容的完成同样离不开实验，要实验就必须建立自己的实验室。

教育部于2010年初颁布的《高中理科教学仪器配备标准》（JY/T0406-2010）中，“高中数学教学仪器配备要求”已经把图形计算器、几何体模型作为“必修”栏目的中的“必配”项目，而图形计算器、几何模型也是“数学探究实验室”的核心教学仪器.二、数学探究实验室建设意义无论是义务教育数学课程标准还是普通高中数学课程标准，都在多次强调让学生“动手实践、自主探索、发现创新”的数学教学理念。

⽴体⼏何全部教案.第⼀章:空间⼏何体1.1.1柱、锥、台、球的结构特征⼀、教学⽬标1.知识与技能(1通过实物操作,增强学⽣的直观感知。

(2能根据⼏何结构特征对空间物体进⾏分类。

(3会⽤语⾔概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。

(4会表⽰有关于⼏何体以及柱、锥、台的分类。

2.过程与⽅法(1让学⽣通过直观感受空间物体,从实物中概括出柱、锥、台、球的⼏何结构特征。

(2让学⽣观察、讨论、归纳、概括所学的知识。

3.情感态度与价值观(1使学⽣感受空间⼏何体存在于现实⽣活周围,增强学⽣学习的积极性,同时提⾼学⽣的观察能⼒。

(2培养学⽣的空间想象能⼒和抽象括能⼒。

⼆、教学重点、难点重点:让学⽣感受⼤量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。

难点:柱、锥、台、球的结构特征的概括。

三、教学⽤具(1学法:观察、思考、交流、讨论、概括。

(2实物模型、投影仪四、教学思路(⼀创设情景,揭⽰课题1.教师提出问题:在我们⽣活周围中有不少有特⾊的建筑物,你能举出⼀些例⼦吗?这些建筑的⼏何结构特征如何?引导学⽣回忆,举例和相互交流。

教师对学⽣的活动及时给予评价。

2.所举的建筑物基本上都是由这些⼏何体组合⽽成的,(展⽰具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体,你能通过观察。

根据某种标准对这些空间物体进⾏分类吗?这是我们所要学习的内容。

(⼆、研探新知1.引导学⽣观察物体、思考、交流、讨论,对物体进⾏分类,分辩棱柱、圆柱、棱锥。

2.观察棱柱的⼏何物件以及投影出棱柱的图⽚,它们各⾃的特点是什么?它们的共同特点是什么?3.组织学⽣分组讨论,每⼩组选出⼀名同学发表本组讨论结果。

在此基础上得出棱柱的主要结构特征。

(1有两个⾯互相平⾏;(2其余各⾯都是平⾏四边形;(3每相邻两上四边形的公共边互相平⾏。

概括出棱柱的概念。

4.教师与学⽣结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表⽰。

5.提出问题:各种这样的棱柱,主要有什么不同?可不可以根据不同对棱柱分类?请列举⾝边具有已学过的⼏何结构特征的物体,并说出组成这些物体的⼏何结构特征?它们由哪些基本⼏何体组成的?6.以类似的⽅法,让学⽣思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征,并得出相关的概念,分类以及表⽰。

1 物质结构模型制作一、实验目的：掌握制作物质结构模型的基本方法。

增强设计常用教学模型的能力。

二、实验学时：3学时三、实验用品：图画纸、直尺、三角板、量角器、圆规、乒乓球、橡皮泥、竹针、胶水、丙酮、铅笔、剪刀、石蜡。

四、实验步骤：(一)硬纸模型的制作制作硬纸模型比较容易、经济，但它只适于说明物质结构的空间立体几何形状。

1．表示甲烷等四面体模型的制作正四面体模型 正四面体模型在硬纸上绘出四个等边三角形(边长根据需要自定)，并分别在三个边上留出粘接边。

然后，用剪刀剪下，按设计图叠成正四面体、最后，在粘接边上涂上胶水把接连处粘好(粘接边粘在里面)，则成正四面体模型。

2．表示食盐晶体等正方体模型的制作正方体模型的制作方法与制作正四面体模型的方法相同，其设计图如图所示。

正立方体模型的设计 正立方体(二)球状模型的制作球状模型是用不同颜色和不同大小的圆球来表示各种物质中原子在空间的排布情况。

制作圆球的材料，可以是木材、橡皮泥、黄泥和泡沫塑料等，要根据情况选取。

1.甲烷分子球状模型的制作甲烷分子球状模型的制作，要根据甲烷分子中原子间的相对的距离和大小，因此，这种模型也叫比例模型(或叫Stuart 模型)。

取二种不同颜色的橡皮泥，‘根据碳原子与氢原子的半径比例，做一个大球表示甲烷分子的球状模型碳原子；做二个小球表示氢原子。

然后，将大球切出四个面(如图2—33A所示)，将二个小球分切成四个半球体，切面中心插入一根短竹针(如图2—33B所示)。

最好认、把四个半球体分别安插在大球体的四个切面上，即得甲烷分子的球状。

2．金属晶体模型的制作金属晶体模型种类很多，这里选做两个常见的金属晶体模型。

取三个乒乓球，平放在桌面上，紧密排列后用少量丙酮将球间接连处粘合起来，如图2—34A所示。

用同样方法再做一组。

另取七个乒乓球，按上述方法做二组，如图2—34B所示。

将上述四组，按BABA顺序堆起来，就得到六方最密堆积金属晶体模型：按BAAB堆积起来，就得到面心立方最密堆积金属晶体模型。

五春第1讲立体几何（一）一、学习目标1．学习和掌握立体图形的相关概念，如棱、面、顶点．2．掌握数立体图形块数的思路与方法．3．学会画三视图，并利用三视图解决立体图形的相关问题．二、例题精选【例1】图中共有多少个面？多少条棱？【巩固1】如图，在一个正方体的面上挖掉一个小长方体。

那么剩下的立体图形，有多少个面？多少条棱？【例2】有很多个小正方体，如图这样层层重叠放置。

那么当重叠到5层时，这个立体图形需要多少个小正方体？如果到10层，那么需要几个小正方体？【巩固2】有很多个小正方体，如图这样层层重叠放置。

那么当重叠到5层时，这个立体图形需要多少个小正方体？放置至10层时，又需要多少个小正方体？【例3】如图，原来的大正方体是由125个小正方体所构成的．其中有些小正方体已经被挖除，图中涂黑色的部分就是贯穿整个大正方体的挖除部分．请问剩下的部分共有多少个小正方体？第8题【巩固3】如图所示，一个5×5×5的立方体，在一个方向上开有1×1×5的孔，在另一个方向上开有2×1×5的孔，在第三个方向上开有3×1×5的孔，剩余部分的小正方体块数是多少？【例4】右图是6×10×12块小正方体堆叠而成，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小长方体各有多少块？【巩固4】如图是4×5×6长方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？【例5】小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如下左图所示，从上面看如下右图所示。

那么，这个几何体至少用了多少个木块？三、回家作业【作业1】图中共有多少个面？多少条棱？【作业2】如图层层重叠放置小正方体，那么放置到6层时，总共需要多少个小正方体？【作业3】如图所示，一个5×5×5的立方体，在一个方向上开有1×1×5的孔，在另一个方向上开有2×1×5的孔，剩余部分的小正方体块数有多少个？【作业4】有一个5×6×7的长方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？【作业5】用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，如下图，请画出从上面和正面看到的图形前右左下上。

2017届高考数学二轮复习第一部分专题篇专题四立体几何第二讲空间点、线、面位置关系的判断课时作业理1．(2016·正定摸底)已知直线a与平面α，β，α∥β，a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线解析：设直线a和点B所确定的平面为γ，则α∩γ＝a，记β∩γ＝b，∵α∥β，∴a ∥b，故存在唯一一条直线b与a平行．答案：D2．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；②若m∥l，且m∥α，则l∥α；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m.其中正确命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：易知①正确；②错误，l与α的具体关系不能确定；③错误，以墙角为例即可说明；④正确，可以以三棱柱为例证明，故选B.答案：B3．如图所示，O为正方体ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是( )A．A1D B．AA1C．A1D1D．A1C1解析：由题意知，A1C1⊥平面DD1B1B，又OB1⊂面DD1B1B，所以A1C1⊥OB1，故选D.答案：D4．(2016·某某模拟)设m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，给出下列命题：①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n.上述命题中，所有真命题的序号是( )A．①④B．②③C．①③D．②④解析：由线面垂直的性质定理知①④正确；平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，故②错；平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能相交或异面，故③错．选A. 答案：A5.如图，在三棱锥P­ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是( )A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析：A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.答案：B6．如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是( ) A．垂直B．相交不垂直C ．平行D ．重合 解析：如图，分别取另三条棱的中点A ，B ，C 将平面LMN 延展为平面正六边形AMBNCL ，因为PQ ∥AL ，PR ∥AM ，且PQ 与PR 相交，AL与AM 相交，所以平面PQR ∥平面AMBNCL ，即平面LMN ∥平面PQR .答案：C7．一个面截空间四边形的四边得到四个交点，如果该空间四边形的两条对角线与这个截面平行，那么此四个交点围成的四边形是________．解析：如图，由题意得AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH .∵AC ⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面EFGH ＝EF ，∴AC ∥EF ，同理AC ∥GH ，所以EF ∥GH .同理，EH ∥FG ，所以四边形EFGH 为平行四边形．答案：平行四边形8．(2016·某某模拟)如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，P 为棱DC 的中点，则D 1P 与BC 1所在直线所成角的余弦值等于________．解析：连接AD 1，AP (图略)，则∠AD 1P 就是所求角，设AB ＝2，则AP ＝D 1P ＝5，AD 1＝22，∴cos ∠AD 1P ＝12AD 1D 1P ＝105. 答案：1059.如图，在棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值X 围是________．解析：取B 1C 1中点M ，则A 1M ∥AE ；取BB 1中点N ，则MN ∥EF (图略)，∴平面A 1MN ∥平面AEF .若A 1P ∥平面AEF ，只需P ∈MN ，则P 位于MN 中点时，A 1P 最短；当P 位于M 或N 时，A 1P 最长．不难求得A 1P 的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，52. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，52 10.(2016·某某模拟)如图，在四面体ABCD 中，平面BAD ⊥平面CAD ，∠BAD ＝90°.M ，N ，Q 分别为棱AD ，BD ，AC 的中点．(1)求证：CD ∥平面MNQ ；(2)求证：平面MNQ ⊥平面CAD .证明：(1)因为M ，Q 分别为棱AD ，AC 的中点，所以MQ ∥CD ，又CD ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，故CD ∥平面MNQ .(2)因为M ，N 分别为棱AD ，BD 的中点，所以MN ∥AB ，又∠BAD ＝90°，故MN ⊥AD .因为平面BAD ⊥平面CAD ，平面BAD ∩平面CAD ＝AD ，且MN ⊂平面ABD ，所以MN ⊥平面CAD ，又MN ⊂平面MNQ ，所以平面MNQ ⊥平面CAD .11．(2016·某某五校联考)如图，四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA ＝PD ，∠BAD ＝60°，E 是AD 的中点，点Q 在侧棱PC 上．(1)求证：AD ⊥平面PBE ；(2)若Q 是PC 的中点，求证：PA ∥平面BDQ ；(3)若V P ­BCDE ＝2V Q ­ABCD ，试求CP CQ的值．解析：(1)证明：由E 是AD 的中点，PA ＝PD 可得AD ⊥PE .又底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，所以AB ＝BD ，又因为E 是AD 的中点，所以AD ⊥BE ，又PE ∩BE ＝E ，所以AD ⊥平面PBE .(2)证明：连接AC (图略)，交BD 于点O ，连接OQ .因为O 是AC 的中点， Q 是PC 的中点，所以OQ ∥PA ，又PA ⊄平面BDQ ，OQ ⊂平面BDQ ，(3)设四棱锥P ­BCDE ，Q ­ABCD 的高分别为h 1，h 2.所以V P ­BCDE ＝13S 四边形BCDE h 1， V Q ­ABCD ＝13S 四边形ABCD h 2.又因为V P ­BCDE ＝2V Q ­ABCD ，且S 四边形BCDE ＝34S 四边形ABCD ，所以CP CQ ＝h 1h 2＝83. 12．(2016·某某模拟)一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N .(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)证明：直线MN ∥平面BDH ；(3)过点M ，N ，H 的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比．解析：(1)点F ，G ，H 的位置如图所示．(2)证明：连接BD ，设O 为BD 的中点，连接OM ，OH ，AC ，BH ，MN .∵M ，N 分别是BC ，GH 的中点，∴OM ∥CD ，且OM ＝12CD ，NH ∥CD ，且NH ＝12CD ， ∴OM ∥NH ，OM ＝NH ，则四边形MNHO 是平行四边形，∴MN ∥OH ，又∵MN ⊄平面BDH ，OH ⊂平面BDH ，(3)由(2)知，OM∥NH，OM＝NH，连接GM，MH，过点M，N，H的平面就是平面GMH，它将正方体分割为两个同高的棱柱，高都是GH，底面分别是四边形BMGF和三角形MGC，体积比等于底面积之比，即3∶1.。

第六章 4.1A 组·素养自测一、选择题1．若l ∥α,m ⊂α,则l 与m 的关系是( D ) A ．l ∥m B ．l 与m 异面 C ．l 与m 相交D ．l 与m 无公共点[解析] l 与α无公共点,∴l 与m 无公共点． 2．下列结论：①如果一条直线不在平面内,则这条直线就与这个平面平行； ②过直线外一点,可以作无数个平面与这条直线平行； ③如果一条直线与平面平行,则它与平面内的任何直线平行． 其中正确结论的个数为( B ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个[解析] ①中,直线可能与平面相交,故①错；②是正确的；③中,一条直线与平面平行,则它与平面内的直线平行或异面,故③错．3．如图所示,在空间四边形ABCD 中,点E ,F 分别为边AB ,AD 上的点,且AEEB ＝AFFD ＝14,又点H ,G 分别为BC ,CD 的中点,则( B )A ．BD ∥平面EFGH ,且四边形EFGH 是矩形B ．EF ∥平面BCD ,且四边形EFGH 是梯形C ．HG ∥平面ABD ,且四边形EFGH 是菱形 D ．EH ∥平面ADC ,且四边形EFGH 是平行四边形 [解析] 由AE EB ＝AF FD ＝14知,EF ∥BD ,且EF ＝15BD ,又∵EF ⊂/平面BCD ,BD ⊂平面BCD ,∴EF ∥平面BCD ,又点H ,G 分别为BC ,CD 的中点, ∴HG ∥BD 且HG ＝12BD ,∴EF∥HG且EF≠HG,故选B．4.如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,点E,F分别是棱AA1和BB1的中点,过EF的平面EFGH 分别交BC和AD于点G,H,则GH与AB的位置关系是( A )A．平行B．相交C．异面D．平行或异面[解析]由长方体性质知：EF∥平面ABCD,∵EF⊂平面EFGH,平面EFGH∩平面ABCD＝GH,∴EF∥GH.又∵EF∥AB,∴GH∥AB．5．(多选)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ平行的是( BCD )[解析]B选项中,AB∥MQ,且AB⊂/平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,则AB∥平面MNQ；C选项中,AB ∥MQ,且AB⊂/平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,则AB∥平面MNQ；D选项中,AB∥NQ,且AB⊂/平面MNQ,NQ ⊂平面MNQ,则AB∥平面MNQ.故选BCD．6.如图,已知S为四边形ABCD外一点,G、H分别为SB、BD上的点,若GH∥平面SCD,则( B )A．GH∥SAB．GH∥SDC．GH∥SCD．以上均有可能[解析]∵GH∥平面SCD,GH⊂平面SBD,平面SBD∩平面SCD＝SD,∴GH∥SD．二、填空题7．如图,在五面体FEABCD中,四边形CDEF为矩形,M、N分别是BF、BC的中点,则MN与平面ADE的位置关系是平行 .[解析]∵M、N分别是BF、BC的中点,∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形,∴CF∥DE,∴MN ∥DE.又MN⊂/平面ADE,DE⊂平面ADE,∴MN∥平面ADE.8．已知直线b,平面α,有以下条件：①b与α内一条直线平行；②b与α内所有直线都没有公共点；③b与α无公共点；④b不在α内,且与α内的一条直线平行．其中能推出b∥α的条件有②③④ .(把你认为正确的序号都填上)[解析]①中b可能在α内,不符合；②和③是直线与平面平行的定义,④是直线与平面平行的判定定理,都能推出b∥α.9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中,若过A,C,B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l,则l与A1C1的位置关系是平行 .[解析]∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1,AC⊂平面ABCD,∴AC∥平面A1B1C1D1．又平面ACB1经过直线AC与平面A1B1C1D1相交于直线l,∴AC∥l,又∵AC∥A1C1,∴l∥A1C1．三、解答题10．如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,S,E,G分别是B1D1,BC,SC的中点．求证：直线EG ∥平面BDD 1B 1．[解析] 如图所示,连接SB ． ∵E 、G 分别是BC 、SC 的中点, ∴EG ∥SB ．又∵SB ⊂平面BDD 1B 1,EG ⊂/平面BDD 1B 1, ∴直线EG ∥平面BDD 1B 1．B 组·素养提升一、选择题1．如图,在三棱锥S －ABC 中,E 、F 分别是SB 、SC 上的点,且EF ∥平面ABC ,则( B )A ．EF 与BC 相交B ．EF ∥BC C ．EF 与BC 异面D ．以上均有可能[解析] ∵EF ⊂平面SBC ,EF ∥平面ABC ,平面SBC ∩平面ABC ＝BC ,∴EF ∥BC ． 2．不同直线m 、n 和不同平面α、β,给出下列结论： ①⎭⎪⎬⎪⎫α∥βm ⊂α⇒m ∥β；②⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ∥β⇒n ∥β；③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂β⇒m ,n 异面．其中错误的结论有( C ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个[解析] ∵α∥β,∴α与β没有公共点． 又∵m ⊂α,∴m 与β没有公共点,∴m ∥β,故①正确,②③错误．3.如图,在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,AM ＝2MA 1,BN ＝2NB 1,过MN 作一平面交底面三角形ABC 的边BC ,AC 于点E ,F ,则( B )A ．MF ∥NEB ．四边形MNEF 为梯形C ．四边形MNEF 为平行四边形D ．A 1B 1∥NE[解析] ∵在□AA 1B 1B 中,AM ＝2MA 1,BN ＝2NB 1,∴AM 綊BN ,∴MN 綊AB ．又MN ⊂/平面ABC ,AB ⊂平面ABC ,∴MN ∥平面ABC ．又MN ⊂平面MNEF ,平面MNEF ∩平面ABC ＝EF ,∴MN ∥EF ,∴EF ∥AB ,显然在△ABC 中EF ≠AB ,∴EF ≠MN ,∴四边形MNEF 为梯形．故选B ．二、填空题4.如图,四边形ABCD 是空间四边形,E ,F ,G ,H 分别是四边上的点,它们共面,且AC ∥平面EFGH ,BD ∥平面EFGH ,AC ＝m ,BD ＝n ,则当四边形EFGH 是菱形时,AE EB ＝ m n .[解析] ∵AC ∥平面EFGH , ∴EF ∥AC ,HG ∥AC ,∴EF ＝HG ＝BEABm . 同理,EH ＝FG ＝AE AB n ,∴BE AB m ＝AE ABn , ∴AEEB ＝m n .5.如图所示,在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,D 为AA 1中点,点P 在侧面BCC 1B 1上运动,当点P 满足条件 P 是CC 1中点(答案不唯一) 时,A 1P ∥平面BCD ．[解析] 如图,取CC 1中点P ,连接A 1P .∵在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,D为AA1中点,点P在侧面BCC1B1上运动,∴当点P是CC1中点时,A1P∥CD．∵A1P⊂/平面BCD,CD⊂平面BCD,∴A1P∥平面BCD．三、解答题6．如图,在三棱台DEF－ABC中,由AB＝2DE,G,H分别为AC,BC的中点．求证：BD∥平面FGH.[证明]如图,连接DG,CD,设CD∩GF＝O,连接OH.在三棱台DEF－ABC中,由AB＝2DE,G为AC的中点,可得DF∥GC且DF＝GC,所以四边形DFCG为平行四边形,则O为CD的中点,又H为BC的中点,所以OH∥BD．因为OH⊂平面FGH,BD⊂/平面FGH,所以BD∥平面FGH.7．如图所示,在多面体A1B1D1DCBA中,四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,E为B1D1的中点,过A1,D,E的平面交CD1于F.证明：EF∥B1C．[解析]由正方形的性质可知A1B1∥AB∥DC,且A1B1＝AB＝DC,所以四边形A1B1CD为平行四边形,从而B1C∥A1D．又A1D⊂平面A1DFE,B1C⊂/平面A1DFE,于是B1C∥平面A1DFE.又B1C⊂平面B1CD1,平面A1DFE ∩平面B1CD1＝EF,所以EF∥B1C．。

聚焦单元整体作业设计落实减负增效教学目标——以人教版《长方体与正方体》单元作业设计为例摘要：文章主要以“小学数学单元作业设计”为切入点，从设计渐进式的作业，夯实学生数学基础；错题设计作业，疏通学生学习堵点；注重设置实操作业，强化知识应用素养三方面入手，对如何有效设计数学单元作业，提质课堂实效、减轻学生负担的教学研究展开深入探究。

关键词：减负增效；小学数学；单元作业小学阶段，教师重视设计单元整体作业，不仅能有效突破传统教学的碎片化课时模式，引导学生学会将单元内不同模块的知识统合起来，以构建系统、完整的知识框架；而且还能帮助教师以更高的站位和眼光来统筹数学作业的内容与结构，进而提升学生的作业效率、强化其核心素养，落实减负增效的目标。

对此，《义务教育数学课程标准（2022年版）》也明确倡导教师在日常教学中，需“重视单元整体教学设计”体现学科知识间的内在逻辑关联，让学生能整体理解、把握学科知识，强化其核心素养。

其教学价值不言而喻。

基于此，本文接下来将从真实案例出发，对如何有效“聚焦单元整体作业设计，落实减负增效教学目标”的研究进行阐述。

一、设计渐进式的作业，夯实学生数学基础在任何科目的学习中，唯有扎实好基础，才能行稳致远，走向学科深处。

在小学数学作业设计中，为夯实学生的学科能力，教师可以结合学生的认知特点，灵活设计由易及难、循序渐进的数学作业，来不断强化他们运用知识的熟练度，扎实数学基础。

以人教版五年级《长方体与正方体》一单元为例，教学中为有效设计单元作业，教师首先分析了该单元的整体结构，主要由长方体与正方体的认识、表面积、体积及容积等部分组成。

其中涉及到的核心知识点集中在对“长方体与正方体”不同要素的计算上。

对此，为有效落实“双减”政策“控量减负，提质增效”的理念，教师便设计了以下几个循序渐进、兼顾整体的问题，引导他们扎实推进学习进程。

具体如下：已知一长方体蛋糕长16cm，宽8cm，高9cm。

问：（1）该蛋糕的周长、体积及表面积分别是多少？（2）若在该蛋糕长的处纵切，将其平分成2个相同的长方体。

空间向量与立体几何教案一、教学目标1. 让学生掌握空间向量的基本概念，理解空间向量的几何表示和运算规则。

2. 培养学生运用空间向量解决立体几何问题的能力，提高空间想象和思维能力。

3. 通过对空间向量与立体几何的学习，激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识和实践能力。

二、教学内容1. 空间向量的基本概念及几何表示2. 空间向量的线性运算（加法、减法、数乘、共线向量、平行向量）3. 空间向量的数量积（定义、性质、运算规则、几何意义）4. 空间向量的垂直与平行（垂直的判断、平行的判断、垂直与平行的应用）5. 空间向量在立体几何中的应用（线线、线面、面面间的位置关系）三、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解空间向量与立体几何的基本概念、性质和运算规则。

2. 运用案例分析法，引导学生通过具体例子学会运用空间向量解决立体几何问题。

3. 利用多媒体技术，展示空间向量的几何形象，增强学生的空间想象力。

4. 开展小组讨论与合作交流，培养学生的团队协作能力和表达能力。

四、教学环境1. 教室环境：宽敞、明亮，教学设备齐全，包括黑板、投影仪、计算机等。

2. 学习资源：教材、辅导资料、网络资源等。

3. 实践场地：学校机房、实验室等。

五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，评估学生对知识点的掌握程度。

3. 考试成绩：定期进行测验，检验学生对空间向量与立体几何知识的掌握情况。

4. 实践能力：评估学生在实践活动中运用空间向量解决立体几何问题的能力。

5. 学生自评与互评：鼓励学生自我总结，互相交流学习经验，提高学习效果。

六、教学重点与难点教学重点：1. 空间向量的基本概念及几何表示。

2. 空间向量的线性运算规则。

3. 空间向量的数量积的定义和性质。

4. 空间向量的垂直与平行判断。

5. 空间向量在立体几何中的应用。

教学难点：1. 空间向量的数量积的运算规则。

课时作业(四)1．下列说法中，正确的是( )A ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底B ．空间的基底有且只有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{a ，b ，c }中的基向量与基底{e ，f ，g }的基向量对应相等2．设命题p ：a ，b ，c 是三个非零向量，命题q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．【多选题】设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间的一个基底的有( ) A ．{a ，b ，x } B ．{x ，y ，z } C ．{b ，c ，z } D ．{x ，y ，a ＋b ＋c }4．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，则BD 1→＝( )A ．a ＋b ＋cB ．a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a －b ＋c5.在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，E 是PD 的中点，若P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，则BE →＝( )A.12a －12b ＋12cB.12a －32b －12cC.12a －32b ＋12cD.12a －12b ＋32c 6．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且GN ＝2MG ，现用向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →，设OG →＝xOA→＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别为( )A ．x ＝13，y ＝13，z ＝13B ．x ＝13，y ＝13，z ＝16C ．x ＝13，y ＝16，z ＝16D ．x ＝16，y ＝13，z ＝137．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，用AC →，AB 1→，AD 1→作为基向量，则AC 1→＝________．8．已知{e 1，e 2，e 3}为空间一基底，p ＝x e 1＋y e 2－e 3，q ＝－y e 1＋2x e 2－e 3，若p ＝q ，则x ＝________，y ＝________．9．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E 为A 1D 1的中点，F 为BC 1与B 1C 的交点．(1)用基底{a ，b ，c }表示向量DB 1→，BE →，AF →；(2)化简DD 1→＋DB →＋CD →，并在图中标出化简结果．10．已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为PC ，PD上的点，PM ＝2MC ，N 为PD 的中点，求满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x ，y ，z 的值．11．若向量MA →，MB →，MC →的起点与终点互不重合且无三点共线，则下列关系(O 是空间任一点)中，能使向量MA →，MB →，MC →成为空间的一个基底的是( ) A.OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → B.MA →≠MB →＋MC →C.OM →＝OA →＋OB →＋OC →D.MA →＝2MB →－MC → 12．【多选题】如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为A 1C 1的中点 ，O 1为AC 的中点，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则( )A.AC 1→＝a ＋b ＋cB.AO →＝12a ＋12b ＋cC.B 1O 1→＝－12a －12b ＋cD.C 1O 1→＝12a －12b ＋c13．设{i ，j ，k }是空间向量的单位正交基底，a ＝3i ＋2j －k ，b ＝－2i ＋4j ＋2k ，则向量a 与b 的位置关系是________．14．在空间四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 的中点分别为L 和M ，则AB →＋CB →＋AD →＋CD→＝________LM →.15．【多选题】若{a ，b ，c }是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是( ) A ．a ，2b ，3c B ．a ＋b ，b ＋c ，c ＋aC ．a ＋b ＋c ，b ＋c ，cD ．a ＋2b ，2b ＋3c ，3a －9c16.如图，在三棱锥P －ABC 中，点G 为△ABC 的重心，点M 在PG 上，且PM ＝3MG ，过点M 任意作一个平面分别交线段P A ，PB ，PC 于点D ，E ，F ，若PD →＝mP A →，PE →＝nPB →，PF→＝tPC →，求证：1m ＋1n ＋1t为定值，并求出该定值．。