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第3讲复杂盈亏问题知识点一、复杂盈亏问题（三下）1. 利用倍数关系或等量关系进行分组、配对．2. 不论是有个别人的分配数量不同，还是两次分配了不同物品，解决的关键都是设法把这些问题变成基本的盈亏问题．课堂例题1、一些同学去划船，每条船坐一样多的同学，正好把全部10条船都坐满；如果每条船多坐3名同学，那么就有1条船没人坐．那么，一共有__________名同学．2、一些小朋友参加绘画兴趣小组，老师给大家发专用的图画纸用来画画．如果每个人画7张画，老师还能剩下11张纸；如果一半的小朋友每人画8张，另一半小朋友每人画10张，最后就会差13张纸．请问：一共有多少个小朋友？3、一些小朋友参加绘画兴趣小组，老师给大家发专用的图画纸．如果每个人领取3张纸，那么老师还能剩下24张．如果一半的小朋友领取4张，另一半小朋友领取10张，最后刚好分完．请问：共有多少个小朋友？4、几个朋友一起去超市采购．超市里一包牛板筋3元钱，一袋酱牛肉8元钱．如果每人买4包牛板筋、2袋酱牛肉，还能剩下8元钱．如果每人买2包牛板筋、3袋酱牛肉，就会缺少4元钱．请问：一起去超市的共有几人？5、甲和乙各带了相同数目的钱去买面包．甲买了8个小面包，剩下14元；乙买了6个大面包，剩下4元．已知大面包比小面包贵4元，那么大面包多少钱一个？6、甲和乙各带了相同数目的钱去买面包．甲买了9个小面包，剩下5元5角；乙买了12个大面包，剩下1元6角．已知每个大面包比小面包贵2角，大面包多少钱一个？7、小黑和小白各带了相同数目的钱去买萝卜，小萝卜每个6元，大萝卜每个8元．小黑买了一些小萝卜，还剩50元；小白买了一些大萝卜，还剩10元．已知小白买的萝卜个数比小黑多3个，那么小白买了__________个大萝卜．8、老师准备了很多梨和苹果，每个同学1个梨，结果还剩下4个梨．已知苹果总数是梨的2倍，那么每个同学2个苹果，还剩下__________个苹果．9、幼儿园准备了很多梨和苹果，苹果总数和梨一样多．每个小朋友分得3个苹果和2个梨后，最后还剩下10个梨．那么一共准备了多少个梨？10、幼儿园准备了很多苹果和梨，苹果的总数是梨的2倍．每个小朋友分得3个苹果和2个梨后，还剩下10个苹果和2个梨．原来一共有多少个梨？11、苹果和梨各有若干只．如果5只苹果和3只梨装一袋，苹果还多4只，梨恰好装完；如果7只苹果和3只梨装一袋，苹果恰好装完，梨还多12只．那么苹果和梨共有______________只．12、小强做一本习题集，原计划30天完成．按计划学习4天后，他每天比原计划多做2道题，这样做了10天后，他每天又多做2道题目，结果恰好提前6天做完了全部习题．这本书中共有多少道习题？随堂练习1、同学们凑了一笔钱去采购文具．已知一支铅笔6角钱，一块橡皮8角钱．如果给每人买4支铅笔、2块橡皮，还能剩下8角钱．如果给每人买2支铅笔、3块橡皮，就会剩下4元8角钱．那么共有几个同学？2、老师给6名同学分西瓜，每人分的一样多，刚好分完；如果每人多分3个西瓜就有3名同学没分到西瓜．请问有多少个西瓜？3、卡莉娅带了一些钱去买苹果，如果她买5千克小苹果，剩下32元；如果买6千克大苹果，剩下10元．已知小苹果比大苹果每千克便宜3元，请问：小苹果每千克多少钱？4、学校准备了很多笔和本子准备奖励优秀学生，本子的数量是笔的3倍．给每位同学分3支笔和8本本子后，还剩下10支笔和55本本子．请问：学校准备了多少支笔？课后作业1、同学们分巧克力，如果每人拿10块恰好分完；如果有一人只拿2块，那么其他人就可以每人拿11块，并且也恰好分完．那么共有________块巧克力．2、学校有一笔钱准备发给老师们作奖金．如果每个老师600元，那么还剩400元；如果发给杨老师1900元，其余老师每人500元，那么刚好发完．这笔钱有________元．3、一群学生在吃包子，男女生人数相同．如果每人吃4个包子，那么就会剩下17个包子没人吃；如果男生每人吃7个，女生每人吃5个，这样就还缺7个包子．那么共有________个包子．4、春游时，老师给同学们准备了许多梨和苹果，其中梨的数量是苹果的4倍．他给每个同学分了1个苹果和3个梨，最后还剩下2个苹果和36个梨．那么共有________个同学．5、甲队和乙队人数一样多，两队栽了同样多的树．甲队的队长栽5棵，队员每人栽3棵，剩下6棵树；乙队队长栽3棵，队员每人栽4棵，就少1棵树．那么两队共有________人．6、妈妈去买肉，如果买5斤瘦肉，会剩下6元钱；如果买4斤肥肉，会剩下21元2角．已知1斤瘦肉比1斤肥肉贵1元6角，那么瘦肉________钱一斤．7、大家凑了一笔钱去买水果，已知香蕉每斤3元，桔子每斤2元．如果给每人买3斤香蕉4斤桔子，那么就会多出20元；如果给每人买5斤香蕉3斤桔子，那么就会缺12元．大家一共带了________元钱．8、杨老师给阅卷老师们分配任务．老师们被平均分成两组分别批改三年级和四年级的试卷，四年级的试卷是三年级试卷的2倍．三年级组的老师每人批改150份，最后剩300份没改完；四年级组的老师每人批改250份，最后剩1000份没改完．总共有多少名阅卷老师？9、幼儿园阿姨给小朋友们分水果，大班每人分到3个桃子和1个苹果，小班每人分到2个桃子和1个苹果，大班比小班总共多分到12个桃子，分到一样多的苹果．大班共有多少位小朋友？10、幼儿园阿姨给小朋友们分水果，大班每人分到3个桃子和1个苹果，小班每人分到2个桃子和2个苹果，大班比小班总共多分到4个桃子，少分到16个苹果．大班共有多少位小朋友？。
复杂盈亏问题
(大盈-小盈)÷两次分配差=份数(大亏-小亏)÷两次分配差=份数
题例：将一些玫瑰花插入花瓶，如果每瓶插10支，还差9支；如果每瓶插8支，还差1支，你知道共有几个花瓶？几只玫瑰花吗？
1.虎子在敌人窗外听到里面在分子弹：一人说每人背45发还多260
发；另一人说每人背50发还多200发。
根据这些，虎子马上得知有多少敌人和多少子弹。
你知道吗？
2.王老师给新生分配宿舍，若每间宿舍住6人，则多出28人；若每
间宿舍住8人，则多出4人。
问新生有多少人？宿舍有多少间？
3.幼儿园老师把一袋糖分给小朋友，如果每人分12块，则差26块；
如果每人分8块，则差2块，问一共有多少个小朋友？糖一共有多少块？
4.少先队辅导站将一批铅笔奖给“优秀小记者”，每人4支多10支；
每人6支多2支，问“优秀小记者”有多少人？铅笔有多少支？
5.仙源学校将一批图书借给“文明小使者”，若每人借9本缺25本；
若只有一人借4本，其余每人借7本则恰好分完，问“文明小使者”一共有多少个人？。
完整版)盈亏问题的经典例题在盈亏问题中，有三种基本类型：盈亏型、盈盈型和亏亏型。
在盈亏型中，我们需要比较两种方案，根据两次分配数之差来计算人数或单位数。
例如，XXX四年级基础班的同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒则少6粒，那么有多少位同学分多少粒糖果呢？通过盈亏问题公式，我们可以得出人数为15位，糖果的粒数为69粒。
在盈盈型中，我们同样需要比较两种方案，根据两次分配数之差来计算人数或单位数。
例如，老猴子给小猴子分桃，每只小猴10个桃，就多出9个桃，每只小猴分11个桃则多出2个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？通过盈亏问题公式，我们可以得出小猴子有7只，老猴子有79个桃子。
在亏亏型中，我们同样需要比较两种方案，根据两次分配数之差来计算人数或单位数。
例如，学校新近一批书，将它们分给几位老师，如果每人发9本，还差9本，每人发10本，还差16本，那么一共有多少位老师，多少本书呢？通过盈亏问题公式，我们可以得出老师有7位，书有54本。
在练中，我们可以进一步熟悉盈亏问题的三种基本类型。
例如，在盈亏型问题中，某校安排学生宿舍，如果每间住5人则有14人没有床位；如果每间住7人，则多出4个床位，问宿舍几间？住宿生几人？通过盈亏问题公式，我们可以得出宿舍有6间，住宿生有30人。
在复中，我们再次强调了盈亏问题的三种基本类型和公式。
通过练，我们可以更好地掌握盈亏问题的解题方法。
1、小白兔买回的萝卜有多少个？计划吃多少天？根据题意，设小白兔买回了x个萝卜，计划吃了XXX。
根据题意列方程：每天吃4个，要多出48个萝卜：4y+48=x每天吃6个，则又少8个萝卜：6y-8=xXXX：y=16，x=112所以小白兔买回了112个萝卜，计划吃了16天。
2、儿童小提琴多少钱一把？XXX一共带了多少钱？设一把儿童小提琴的价格为x元，XXX一共带了y元。
根据题意列方程：买7把，则所带的钱差1104元：7x=y-1104买5把，则所带的钱还多30元：5x=y+30解方程得：x=174，y=1224所以一把儿童小提琴的价格为174元，XXX一共带了1224元。
（完整版）复杂盈亏问题课件+典型例题第四讲复杂盈亏问题【专题知识点概述】盈亏问题是一类生活中很常见的问题．按不同的方法分配物品时，经常发生不能均分的情况．如果有物品剩余就叫盈，如果物品不够就叫亏，这就是盈亏问题的含义．【授课批注】本节与实际生活练习较为紧密，生活中经常遇到此类问题，学生较感兴趣。
合理提炼分配的总量和份数，能够在多个条件下，统一关系，对于盈亏问题的变型，更是学生需要注意的，是对学生能力的考察，对学生来说是一个挑战。
解盈亏问题的公式：（1）一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式：（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。
（2）两次都有余（盈），可用公式：（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数。
（3）两次都不够（亏），可用公式：（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。
（4）一次不够（亏），另一次刚好分完，可用公式：亏÷（两次每人分配数的差）=人数。
（5）一次有余（盈），另一次刚好分完，可用公式：盈÷（两次每人分配数的差）=人数。
【授课批注】注意总量与份数是恒定不变的，能够将多个条件统一到统一条件关系下，利用画图表解题。
【重点难点解析】1．理解掌握并运用直接计算型盈亏问题；2．理解掌握条件转换型盈亏问题；3．理解掌握关系互换型盈亏问题．【竞赛考点挖掘】1.条件转换2.关系互换【习题精讲】【例1】（难度等级※）实验小学学生乘车去春游，如果每辆车坐60人，则有15人上不了车；如果每辆车多坐5人，恰好多出一辆车.问一共有几辆车，多少个学生？【分析与解】每辆车坐60人，则多余15人，每辆车坐60+5=65人，则多出一辆车，也就是差65人.因此车辆数目为：（65+15）÷5=80÷5=16（辆）.学生人数为：60×（16-1）+15=60×15+15=900+15=915（人）.答：一共有16辆车，915名学生.【例2】（难度等级※）小胖的爷爷买回一筐梨，分给全家人.如果小胖和小妹二人每人分4个，其余每人分2个，还多出4个，如果小胖1人分6个，其余每人分4个，又差12个.问小胖家有多少人？这筐梨子有多少个？【分析与解】第一次分法是小胖、小妹各4个，其余每人2个，多余4个.假设小胖、小妹也分2个，那么会多多少个梨呢？很容易想，那就会多出：2×2+4=8（个）.第二次分法是小胖一人得6个，其余每人4个，差12个，假如小胖也只分4个呢，那么就只差：12-2=10（个）.这样一想，就变成和前面讲的例子一样了.解小胖家的人数为：［2×2+4+（12-2）］÷2=（8+10）÷2=9（人）.梨子数为：4×2+2×（9-2）+4=8+14+4=26（个），或者6+4×（9-1）-12=6+32-12=26（个）.答：小胖家有9人，这筐梨有26个.【例3】（难度等级※）用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多5米；如果绳子3折时，差4米.求绳子长度和井深.【分析与解】井的深度为：（5×2+4×3）÷（3-2）=22÷1=22（米）.绳子长度为：（22+5）×2=27×2=54（米），或者（22-4）×3=18×3=54（米）.【例4】（难度等级※※）食堂采购员小李到集贸市场去买肉，如果买牛肉18千克，则差4元；如果买猪肉20千克，则多2元.已知牛肉、猪肉每千克差价8角.问牛肉、猪肉各多少钱一千克？【分析与解】这里有两种肉，思考起来比较困难，能否化为一种肉的问题呢？仔细分析一下已知条件，买牛肉18千克差4元，而买猪肉20千克还多2元，说明牛肉贵一些.每千克贵8角，如果18千克牛肉换成18千克猪肉，就要少花8×18=144（角）=14元4角.这样就会多出14元4角-4元=10元4角.因此问题就可变为：“小李买猪肉18千克多余10元4角，买20千克多余2元，求猪肉单价和钱数.”虽然两次都是盈余，仍属盈亏问题，不过猪肉单价=两次钱的差÷两次千克量差.解由已知条件知牛肉比猪肉贵，每千克贵8角.18千克牛肉比18千克猪肉贵8×18=144（角）=14元4角.因此小李若买18千克猪肉就会多余14元4角-4元=10元4角.由已知小李买20干克猪肉多余2元，所以猪肉每千克价格为（104-20）÷（20-18）=84÷2=42（角）=4元2角.所以牛肉每千克价格为：4元2角+8角=5元.小李带的钱为：4.2×20+2=86（元）.【例5】（难度等级※※）王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的2倍.桔子每人分3个，多4个；苹果每人分7个，少5个.问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？【分析与解】因为桔子每人分3个多4个，而苹果是桔子的2倍，因此苹果每人分6个就多8个.又已知苹果每人分7个少5个，所以应有（8+5）÷（6-5）=13（人）.苹果个数为13×7-5=86（个）.桔子数为13×3+4=43（个）.答：有13个小朋友，86个苹果和43个桔子.【例6】（难度等级※※※）甲、乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信纸，甲每封信用2 张信纸，乙每封信用3 张信纸，一段时间后，甲用完了所有的信封还剩下20 张信纸，乙用完所有信纸还剩下10 个信封，则他们每人各买了多少张信纸？【分析与解】由题意，如果乙用完所有的信封，那么缺30 张信纸．这是盈亏问题，盈亏总额为(20＋30)张信纸，两次分配的差为(3－2)张信纸，所以有信封(20＋30)÷(3－2)＝50(个)，有信纸2×50＋20＝120(张)．【例7】（难度等级※※※）幼儿园把一袋糖果分给小朋友．如果分给大班的小朋友，每人5 粒就缺6 粒．如果分给小班的小朋友，每人4 粒就余4 粒．已知大班比小班少2 个小朋友，这袋糖果共有多少粒？【分析与解】如果大班增加2 个小朋友，大、小班人数就相等了，变为“每人5 粒缺16 粒，每人4 粒多4 粒”的盈亏问题．小班有(16＋4)÷(5－4)＝20(人)．这袋糖果有4×20＋4＝84(粒)．【例8】（难度等级※※※）实验小学少先队员去植树．如果每人种5棵，还有3棵没人种；如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵，这些树苗正好种完．问有多少少先队员参加植树，一共种多少树苗？【分析与解】这是一道较难的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上：如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵，就恰好种完，这组条件中包含着两种种树的情况——2人各种4棵，其余的人各种6棵．如果我们把它统一成一种情况，让每人都种6棵，那么，就可以多种树（6－4）×2＝4（棵）．因此，原问题就转化为：如果每人各种5棵树苗，还有3棵没人种；如果每人种6棵树苗，还缺4棵．问有多少少先队员，一共种多少树苗？人数：[3＋（6－4）×2]÷（6－5）＝7（人），棵数：5×7＋3＝38（棵）或6×7－4＝38（棵）．【例9】（难度等级※※※）李明的妈妈去超市买洗衣粉，雕牌和碧浪的单价分别为8元和10元，李妈妈带的钱买雕牌洗衣粉比买碧浪洗衣粉可多买3袋，并且没有剩余的钱．问：李妈妈带了多少钱？【分析与解】（法1）“李妈妈带的钱买雕牌洗衣粉比买碧浪洗衣粉可多买3袋”，这三袋洗衣粉多花8×3＝24（元），又因为花的钱总数一样多，所以在买碧浪洗衣粉的时候要把这些钱补上，而碧浪比雕牌每袋贵2元，所以要买碧浪洗衣粉袋数24÷2＝12（件）．这样李妈妈带的钱数是10×12＝120（元）．（法2）如果买雕牌与碧浪洗衣粉数量一样多，则买雕牌洗衣粉以后还剩3×8＝24（元），根据普通的盈亏问题解法，买碧浪洗衣粉的数量是：24÷（10－8）＝24÷2＝12（件），所以李妈妈带的钱数是：12×10＝120（元）．【例10】（难度等级※※※）有若干个苹果和梨，如果按1个苹果配3个梨分一堆，那么苹果分完时，还剩2个梨；如果按半个苹果配2个梨分一堆，那么梨分完时，还剩半个苹果.问梨有多少个？【分析与解】1个苹果配3个梨，多2个梨；半个苹果配2个梨，即1个苹果配4个梨，剩半个苹果，即少2个梨.苹果有（2+2）÷（4-3）=4（个），梨有3×4+2=14（个）.【例11】（难度等级※※※）小同有一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中2分币比5分币多22个；按钱数算，5分币却比2分币多4角；另外，还有36个1分币．小同共存了多少钱?【分析与解】假设去掉22个2分币，那么按钱数算，5分币比2分币多8角4分，一个5分币比一个2分币多3分，所以5分币有：84÷(5－2)＝28(个) 2分币有：28＋22＝50(个) 5×28＋2×50＋1×36＝140＋100＋36＝276(分).【例12】（难度等级※※※※）学而思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，分给同学们，每组分乒乓球拍5副，余乒乓球拍15副，每组分羽毛球拍14副，则差30副，问：学而思学校买来羽毛球拍、乒乓球拍各多少副？【分析与解】因为羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，如果每次分羽毛球拍5×2=10（副），最后应余下15×2=30（副），因为14-5×2=4（副），分到最后还差30副，所以比每次分10副总共差30+30=60（副），所以有小组：60÷4=15（组），乒乓球拍有：5×15+15=90（副），羽毛球拍90×2=180（副）.【例13】（难度等级※※※※）体育队将一些羽毛球分给若干个人，每人5个还多余10个羽毛球，如果人数增加到3倍，那么每人分2个羽毛球还缺少8个，问有羽毛球多少个？【分析与解】考虑人数增加3倍后，相当于按原人数每人给2×3＝6（个），每人给5个与给6个，总数相差10＋8＝18 (个），所以原有人数18÷（6－5)＝18（人），乒乓球总数是5×18＋10＝100（个）．【例14】（难度等级※※※※）小白兔和小灰兔各有若干只．如果5只小白兔和3只小灰兔放到一个笼子中，小白兔还多4只，小灰兔恰好放完；如果7只小白兔和3只小灰兔放到一个笼子中，小白兔恰好放完，小灰兔还多12只．那么小白兔和小灰兔共有多少只？【分析与解】“7只小白兔和3只小灰兔装一个笼子，小白兔恰好装完，小灰兔还多12只”说明小白兔少了12÷3×7＝28（只），这样原来笼子数有：（28＋4）÷（7－5）＝16（个），所以小白兔有16×5＋4＝84（只），小灰兔有16×3＝48（只），合起来有84＋48＝132（只）．【例15】（难度等级※※※※）四(2)班在这次的班级评比中，获得了“全优班”的称号．为了奖励同学们，班主任刘老师买了一些铅笔和橡皮．刘老师把这些铅笔和橡皮分成一小堆一小堆，以便分给几位优秀学生．如果每堆有1块橡皮2支铅笔，铅笔分完时橡皮还剩5块；如果每堆有3块橡皮和5支铅笔，橡皮分完时还剩5支铅笔．那么，刘老师一共买了多少块橡皮?多少支铅笔?【分析与解】如果增加10支铅笔，则按1块橡皮、2支铅笔正好分完；而按3块橡皮、5支铅笔分，则剩下10+5=15(支)铅笔，但如果按3块橡皮、6支铅笔分，则正好分完，可以分成：15÷(6—5)=15(堆)，所以，橡皮数为：15×3=45(块)，铅笔数为：15×6—10=80(支)．【作业】1.小强由家里到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟走60米，就可以比上课时间提前2分钟到校.小强家到学校的路程是多少米？【答案】15002.少先队员参加绿化植树，他们准备栽的苹果树苗是梨树苗的2倍.如果每人栽3棵梨树苗，还余2棵；如果每人栽7棵苹果树苗，要少6棵.问有多少少先队员？他们准备栽多少棵苹果树和梨树？【答案】64，23.学校进行大扫除，分配若干人擦玻璃，其中两人各擦4块，其余各擦5块，则余12块；若每人擦6块，则正好擦完，求擦玻璃的人数及玻璃的块数？【答案】10，604. 兔子妈妈分白菜：如果其中2只小兔子每只分4棵，其余每只分2棵，则多4棵白菜；如果其中一只小兔子分6棵，其余每只分4棵，则差12棵白菜，问：一共有多少只小兔子？一共有多少棵白菜？【答案】9，265. 有48个香蕉分给两个笼子的小猩猩，已知第二个笼子比第一个笼子多5只猩猩．如果把香蕉全部分给第一个笼子的猩猩，那么每只猩猩4个，有剩余；每只猩猩5个，香蕉不够．如果把香蕉全分给第二个笼子，那么每只猩猩3个，有剩余；每只猩猩4个，香蕉不够．问第二个笼子有多少只猩猩？【答案】15挑战自己（难度等级※※※※）若干盒卡片，每盒中卡片数一样多．把这些卡片分给一些小朋友，如果只分一盒，每人均至少可得7张，但若都分8张则还缺少5张．现在把所有卡片都分完，每人都分到60张，而且还多出4张．问共有小朋友多少人？【答案】11人。
