第三章 第五节

以- β 代β cosα cosβ -sinα sinβ 两角和的余弦:cos(α +β )=______________________
以 - α 代α
sinα cosβ -cosα sinβ 两角差的正弦:sin(α -β )=______________________
2
以- β 代β 得 sinα cosβ +cosα sinβ 两角和的正弦:sin(α +β )=______________________
二倍角的正弦
二倍角的余弦
2sin α ·cos α sin 2α = ________________ cos2α -sin2α 2cos2α -1 cos 2α =_____________=_________ 1-2sin2α =_________
二倍角的正切
tan 2α = 2tan 2
1 tan
【拓展提升】三角函数求值的两种类型 (1)给角求值：关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三 角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数 的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解
2－ 1
tan 5 tan 5)
＝_______．
【思路点拨】(1)由sin θ及sin θcos θ＜0可得cos θ，再
利用倍角公式可解. (2)先切化弦,然后通分化简求解即可. (3)综合运用二倍角公式，两角和与差的正余弦公式求解 .
【规范解答】(1)选A.由 sin 4 , 得 cos .
(1)技巧：①寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；
②正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊
角的三角函数值；
③一些常规技巧：“1”的代换、和积互化等．
(2)常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同 角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互 化．
∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
3.下列各式的值为 1 的是(
4
) (B)1-2sin275°
(A) 2cos 2 1
12 22.5 (C) 2tan 2 1 tan 22.5
(D)sin 15°cos 15°
12 6 2
3 2 【解析】选D.A项： 2cos 1 cos ; 3 B项： 1 2sin 2 75 cos 150 ;
1 tan 20tan 40
tan 20°+tan 40°= 3 3tan 20tan 40, 代入所求得,
3 3tan 20tan 40 3tan 20tan 40 3.
答案： 3
考向 1
三角函数的求值
4 5
【典例1】(1)已知sin θ = , sin θ cos θ ＜0,则sin 2θ 的
2
∴cos(A+B)＜0,即cos Acos B-sin Asin B＜0. ∴sin Asin B＞cos Acos B.
(4)错误.变形可以，但不是对任意角α,β都成立.变形后 α,β,α+β≠kπ+
,k∈Z. 2
(5)正确.当α=kπ(k∈Z)时，tan 2α=2tan α.
答案：(1)√ (2)√
2 2cos 10 cos 5 sin 5 (3)原式＝ sin 10( ) 2 2sin 10cos 10 sin 5 cos 5
cos 10 cos 2 5 sin 2 5 ＝ sin 10 2sin 10 sin 5cos 5 cos 10 cos 10 cos 10 ＝ －sin 10 ＝ 2cos 10 1 2sin 10 sin 10 2sin 10 2 cos 10 2sin 20 cos 10 2sin 30 10 ＝ ＝ 2sin 10 2sin 10
5
3 5
又∵sin θcos θ＜0,∴ cos 3 .
5
∴sin 2θ=2sin θcos θ 2 ( )
4 5
3 5
24 . 25
(2)选C. 4cos 50°－tan 40°=4cos 50°－sin 40
cos 40 4cos 50cos 40－sin 40 4sin 40cos 40－sin 40 cos 40 cos 40 2sin 80－sin 40 2 cos10－sin 10 30 cos 40 cos 40 3 1 3 3 2cos 10 sin 10－ cos 10 cos 10－ sin 10 2 2 2 2 cos 40 cos 40 3 1 3( cos 10－ sin 10) 3cos 40 2 2 3. cos 40 cos 40
值为(
(A)- 24
)
(B) 12 (C) 4
5
25
25
(D) 24
25
(2)(2013·重庆高考)计算：4cos 50°－tan 40°=(
)
A
2
B
1 ＋cos 20 1 (3)(2014·三明模拟)计算： sin 10( 2sin 20
2 3 2
C
3
D 2
22.5 C项: 2tan 2 tan 45 1; 1 tan 22.5 2
2
1 1 D项： sin 15cos 15 sin 30 . 4
4.tan 20°+tan 40°+ 3 tan 20°tan 40°=______. 【解析】由 tan 60 tan 20 tan 40 3 得,
【思路点拨】(1)将cos 2利用倍角公式转化求解. (2)将10°转化为30°-20°,展开,合并同类项、约分，即可. (3)由于分子是一个平方差，分母中正切函数可转化成弦函数， 若注意到这两大特征，不难得到解题的切入点 .
【规范解答】(1)选C. 2 cos 2 sin 21 =
2cos21 1 sin 21 3cos21 3cos 1.
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、
考纲
要求
正切公式
3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、 余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切 公式,了解它们之间的内在联系
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 两角差的余弦:cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ
考向 2
三角函数式的化简 )
【典例2】(1)化简 2 cos 2 sin 21 的结果是( (A)-cos 1 (C) 3 cos 1 (B)cos 1 (D)- 3 cos 1
sin 70
(2)(2013·福州模拟) 2cos 10 sin 20 =______.
cos 2 sin 2 (3) =______. 2tan( )cos 2 ( ) 4 4
(2)原式=

2cos 30 20 sin 20
sin 70 2 cos 30cos 20 sin 30sin 20 sin 20 sin 70

3cos 20 3. cos 20
答案: 3
(3)原式=
cos 2
2tan( )cos 2 ( ) 4 4 cos 2 cos 2 cos 2 = 1. 2sin( )cos( ) sin( 2) cos2 4 4 2
答案：1
【互动探究】将本例题(2)中式子改为
又将如何求解？ 【解析】3 sin 270 3 sin 70
2 cos 10 3 cos 20 2. 3 cos 20 2 3 cos 20 2
3 sin 70 ， 2 2 cos 10
【拓展提升】三角函数化简的技巧、方法和要求
题的目的.
【提醒】解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三
角函数的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角 .
【变式备选】已知 ＜＜3 , 0＜＜ ,cos( ) 3 ,
4 4 4 4 5 3 5 ) , 则sin(α +β )=______. 4 13 3 【解析】∵ ＜＜ , ＜ ＜, 4 4 2 4 3 4 又 cos( ) , sin( ) . 4 5 4 5 sin(
1 tan tan
tanα +tanβ =tan(α +β )(1-tan α tan β ),且对任意角α ,β 都成立.( ) )
(5)存在实数α ，使taቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2α =2tan α .(
【解析】(1)正确.对于任意的实数α,β ,两角和与差的正 弦、余弦公式都成立. (2)正确.如取β=0，∵sin 0=0, ∴sin(α+0)=sin α=sin α+sin 0. (3)错误.∵ ＜A+B＜π,
sin( ) cos( )
两角和的正切: tan( ) tan tan
1 tan tan
以- β 代β 得
两角差的正切:tan(α -β )= tan tan
1 tan tan
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 公 式 名 公 式
∵ 0＜＜ , 3 ＜3 ＜,
4 4 4
又∵ sin( 3 ) 5 , cos( 3 ) 12 ,
4 13 4 13
∴sin(α+β)=-sin［π+(α+β)］ = sin［( ) ( 3 )］