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第三章 第五节 灵敏度分析

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第3章 灵敏度分析

第3章 灵敏度分析
15
管
理
运
筹
学
管 理 运 筹 学
13
使用敏感性报告进行敏感度分析
• （1）若产品A的利润系数从3（元/单位产品） 增至3.5（元/单位产品），那么，已求得的 最优解、最优目标值会变化吗？ • 由图1所示可知敏感性报告上部的表格可知， 产品A的系数在允许的变化范围[3-3，3+1]， 即[0，4]区间变化时，不会影响最优解。现 在产品A的利润系数是3.5，是在允许的变化 范围内，所以最优解不变，仍然是X=100， Y=350。 • 要注意的是，最优目标值将发生变化。原来 是3100，现在是3.5*100+8*350=3150。
管 理 运 筹 学
4
敏感性报告
• 灵敏度分析所要解决的问题可通过数学方法 进行分析，例如可用数学公式计算目标函数 的系数或约束条件右边变化对最优解与目标 值的影响。不过这种计算一般比较复杂。运 用Excel的规划求解功能可得到敏感性报告。
管
理
运
筹
学
5
• 敏感性报告由两部分组成。位于报告上部的表格（单元格 A6:H10）是关于目标函数中的系数变化对最优解产生的影 响；位于报告下部的表格（单元格A12:H17）是关于约束 条件右边变化对目标值的影响。见下图1
• 注意!!! • 这里给出的决策变量的允许变化范围是指其 他条件不变，仅在该决策变量变化时的允许 变化范围。
管
理
运
筹

学
8
• 表格中的前三列是关于约束条件左边的信息，其 中单元格是指约束条件左边所在单元格的地址， 名字是约束条件左边的名称，终值是约束条件左 边的终值。 • 在本题中，有三个约束条件，它们分别是原材料1 使用量、原材料2使用量和劳动时间使用量，它们 在电子表格上对应的地址分别是$B$19，$B$20， $B$21，其终值分别为1300，350和1600。 • 第四列是阴影价格即影子价格，后面讨论。 • 第五列为约束限制值，指约束条件右边的值，通 常是题目给定的已知条件，本题中三个约束条件 右边的值分别是原材料1，原材料2，劳动时间的 供应量，它们分别是1800，350，1600。 • 第六列与第七列是允许的增量和允许的减量，它 们表示约束条件右边在允许的增量与减量范围内 变化时，影子价格不变。

2.灵敏度分析1

2.灵敏度分析1

8
b + β1r ∆br 1 ⋮ = B−1b + βr ∆br = bi + βir ∆br ≥ 0 ⋮ bm + βm ∆br r
bi 即， + βir∆br ≥ 0
则， ir∆br ≥ −bi (i = 1,2,⋯, m) β
不 组得： ： 解 等式 组得
σ
12
解：
B−1
2 15 1 = − 15 4 − 15
T 1
1 15 8 15 13 − 15 −
0 0 1
β
2 1 4 ,− ,− ) =( 15 15 15
β
T 2
1 8 13 , ,− ) = (− 15 15 15
β
T 3
= (0,0,1)
= B−1(b + λb* ) λ = B−1b + B−1 − λ
λ 3 = 1 + − 1 − 1 − λ 2 1
= 1 + 4λ ≥ 0 2 − 2λ 1 所以， 所以， ≤ λ ≤ 1 − 4
(1) 非基变量目标函数系数 的改变 (2) 基变量目标函数系数的 改变
17
(1) 非基变量目标函数系数 的改变
系数 c 若非基变量的目标函数 c j变为 j = c j + ∆c j x σ' 则， j的检验数 j
'
σ j = c j − CBB−1Pj = c j + ∆c j − CBB−1Pj = σ j + ∆c j 若 讨论： 讨论： σ ′j > 0 ⇒ ∆c j > −σ j 原最优解改变

第三章 灵敏度分析

第三章 灵敏度分析

0
x6
cj-zj
3
0
9
0
8 。。。。。。 4/3 -1/3
2
50 0 1
1/2
19 1 0 0
0
0 2/3 -1/6
1
0 -10/3
19 +△c4 50
x4 x3 cj-zj
2 1
2 -1/2
-4-2 △c4 -2/3-4/3 -4 -2/3 △c4 0
4/3 -10/3 -13/3 -10/3 -2/3 △c4 +10/3△c4 13/3
2019/3/30 19
cj CB 19 50 0 XB x4 x3 x7 cj-zj b 2 1 8
9 x1 2 -1/2 2 -4
8 x2 1 -1/3 1 -2/3
50 x3 0 1 1 0
19 x4 1
0 x5
0 x6 -10/3 4/3 0 -10/3
0 x7 0 0 1 0
2/3 变为0 0 -1/6 2 0 0 -13/3
2019/3/30 4
cj CB 0 0 XB x5 x6 cj-zj 19 50 x4 x3 cj-zj 2 1 b 18 3
9+△c x1 3 0 9 2 -1/2 -4 +△c
8 x2 2 0 8
50 x3 10 2 50 0 1 0
19 x4 4 1/2 19 1 0 0
0 x5 1 0 0 2/3 -1/6 -13/3
19 x4 4 1/2 19 1 0 0 -3/10 2/5 -1
0 x5 1 0 0 2/3 -1/6 -13/3 -1/5 1/10 -5
0 x6 0 1 0 -10/3 4/3 -10/3 1 0 0

灵敏度分析(运筹学).ppt

灵敏度分析(运筹学).ppt

0
0
1
0
0
0
x3
1 0
0 1 1
0 2 -1
-1
0
x4
0 1
0
0
-3/2 -1 1
-1
2.5.1 单纯形法的矩阵描述
1. 约束方程系数矩阵的变化
约束方程系数矩阵
，进行初等行
变换，相当于左乘一个相应的初等阵。
即
，在A中所包含的矩阵B，左
乘 后，则得到
。
2. 约束方程右端项的变化
3. 目标函数系数的变化
1. 灵敏度分析的概念：
当某一个参数发生变化后，引起最优解如何改变的 分析。 可以改变的参数有： bi——约束右端项的变化，通常称资源的改变； cj ——目标函数系数的变化，通常称市场条件的变 化； pj ——约束条件系数的变化，通常称工艺系数的变 化； 其他的变化有：增加一种新产品、增加一道新的工 序等。
2．分析原理及步骤：
（1）借助最终单纯形表将变化后的结果按下述基
本原则反映到最终表里去。
B①-1bi△变b化：=
（b+△b）´=B-1 b´+B-1 △b
（b+△b）=
B-1
b+
②pj变化：（pj+△ pj ）´= B-1 （pj+△ pj ）= B-1 pj+ B-1 △ pj = pj ´+ B-1 △ pj
围来确定最优解是否改变。 由于系数的改变，最优值z可能发生 变化而不再是原值了。
2、约束条件右端值的变化
约束条件右端值每增加一个单位 引起的最优值的改进量称为对偶 价格。
对偶价格只适用于在右端值仅发 生了很小变动的情况
2.5.3 单纯形法灵敏度分析

3.5 灵敏度分析

3.5 灵敏度分析
问题2： c1不 变，c2减少时， 发生什么变化？ x2
8
2x1 =16
5
C
D
2x2 =10
问题1：c1不 变，c2增加时， 发生什么变化？
3
B Z=37
4 8
0
c2≧4
A
10
x1
3x1 +4 x2 =32
OR:SM
三、右端常数b的灵敏度分析
CB XB 检验数
CB XB I 0
CN XN B N CN-CBB N
b 8 5 4 37 3 x1 0 0 1 0 5 x2 0 1 0 0 0 x3 1 0 0 0 0 x4 4/3 1/2 -2/3 -1/2 0 x5 -2/3 0 1/3 -1
M axZ 3 x 1 5 x 2 16 2 x1 2 x 2 10 s .t . 3 x 1 4 x 2 32 x1 0 x 2 0
二、价值系数 C 的变化分析
1.非基变量价值系数的改变 若非基变量的价值系数cj 变为cj ’= cj +△cj ，则xj 的检验数 为：
j ' c j ' C B B 1 Pj
c j c j C B B 1 Pj (c j C B B 1 Pj ) c j j c j
方法 1 ： 比值法
M ax{

j
a kj'
| a k j 0 } c B k M in {
'

j
a kj '
| a kj ' 0 }
1 1/ 2 Max a 2 j 0 c B 2 Min a2 j 0 0 1/ 2 1 c B 2

第3章 灵敏度分析

第3章 灵敏度分析
3 灵敏度分析 灵敏度分析：灵敏度分析是研究当目标 函数中的系数发生变化、以及当约束条 件右边的发生变化时，原有的最优解、 最优目标值受到的影响。
管
理
运
筹
学
1
• 1目标函数中系数的变化对最优解与最优目标值的影响 • 当目标函数中的系数变化时，等利润直线变得陡峭或平坦， 它与可行域的交点也可能随之变化。目标函数中的系数改 变足够大时，可使最优解发生变化。见例子1的图，若等利 润线在AE和BF之间变化时，则B点仍然是既在可行域上、 又离原点最远的顶点，此时最优解保持不变；若等利润线 变得足够陡峭或平坦超出了直线AE和BF之间的范围，则 该等利润线将与可行域相交于另一顶点C点（或A点），这 时最优解将从顶点B点变为另一个顶点C点（或A点）。 • 可见当目标函数中的系数发生变化时，若变化量在某个范 围内，则最优解不变；若变化足够大，则最优解将发生变 化。而当最优解发生变化时，通常最优目标值也将随之发 生变化。
管 理 运 筹 学
3
灵敏度分析的主要内容
• 1目标函数中的系数变化时，表示目标函数 的直线族变得陡峭或平坦，它与可行域的交 点也可能随之变化。灵敏度分析是研究目标 函数中的系数变化对最优解与目标值的影响 以及目标函数中的系数改变多少，方可使最 优解发生变化。 • 2约束条件右边变化时，相应的表示约束条 件的直线将平行移动，可性域发生变化，最 优解与最优目标值也可能随之变化。灵敏度 分析是研究约束条件右边变化时对目标值或 最优解的影响状况。
管 理 运 筹 学
9
• 例如本题中，第一个约束条件右边的值 为1800，允许的增量为1E30，允许的 减量为500，因此该约束条件右边在 [1800-500,1800+1E30]即[1300,]范围内 变化时，原材料1的影子价格不变。 • 注意!!! • 这里给出的决策变量的允许变化范围是 指其他条件不变，仅在该决策变量变化 时的允许变化范围。

灵敏度分析


I
θi 300 400 250 50 75
最优解 x1 = 50 x2 = 250 x4 = 50 影子价格 y1 = 50 y2 = 0 y3 = 50 , B=(p1, p4,p2 )
B -1
单纯形表
CB c1 c2 ┇ cm -z XB x1 x2 ┇ xm b1' b2' ┇ bm' f
m
上例增加 例 上例增加 3x1+ 2x2≤15，原最优解不 ， 满足这个约束。 满足这个约束。于是
ci cB 2 0 3 0 xB x1 x5 x2 x6 σj 2 b x1 4 1 4 0 2 0 15 3 0 3 0 0 x2 x3 x4 0 0 1/4 0 -2 1/2 1 1/2 -1/8 2 0 0 0 -1.5 -1/8 0 x5 0 1 0 0 0 0 x6 0 0 0 1 0
ci cB 2 0 3 xB x1 x5 x2 B 4 4 2 2 x1 1 0 0 0
2 xB x1 x5 x2 B 4 4 2 x1 1 0 0 0
3 x2 0 0 1 0
3+Δc2 x2 0 0 1 0
0 x3 0 -2 1/2 -1.5
0 x3 0 -2 1/2
-1.5 -ΔC2/2
0 x4 1/4 1/2 -1/8 -1/8
束若是小于等于形式可引入非负松弛变量，否则引 束若是小于等于形式可引入非负松弛变量， ），填入最优单纯形表作 入非负人工变量），填入最优单纯形表作
为新的一行， 为新的一行，并通过矩阵行变换把对应 中的列向量变为单位向量。 基中的列向量变为单位向量。 • 进一步用对偶单纯形法求解。 进一步用对偶单纯形法求解。
各列分别对应 b1、b2、b3 的单一变化 因此， 因此，设 b1 增加 4，则 x1 , x5 , x2 ， 分别变为： 分别变为：4+0×4=4, 4+(-2)×4=-4<0, × × 2+0.5×4=4 × 用对偶单纯形法进一步求解，可得： 用对偶单纯形法进一步求解，可得：

第3章线性规划的灵敏度分析


又获得了10个小时的切割与印染时间，我 们可以扩展问题的可行域，如图3-3所示。可 行域变大了，现在我们考虑是否有新的解会使
目标函数值更大。运用图解法可以看出，极点 S=527.5，D=270.5是最优解点。新的目标函数 值为10×527.5 + 9×270.5=7711.75美元，比原 来利润增加了7711.75 – 7688.00=43.75美元。 因此，利润的增加率为43.75/10=4.375美元/小 时。
在式（3-2）中，我们计算出只要满足 下列条件，极点③仍然是最优点
如果CS升高到13美元，同时使CD降低到8美 元，新的目标函数斜率将变成
由于这个值要小于下限，因此当前的解 S=540,D=252不再是最优的。把CS=13，CD =8代入，可得出极点②是新的最优解。
观察最优范围，我们得出结论，无论是
（3-2） 为了计算标准袋利润最优的范围，我们 假设高级袋的利润CD＝9，代入式（3-2）， 我们得到： 从左边的不等式，我们得到
因此
从右边的不等式，我们得到
因此， 综合标准袋利润CS的极限，标准袋利润最优 范围为：
6.3≤CS≤13.5
在最初Par公司的问题中，标准袋的利润 是10美元。最优解是540个标准袋和252个高级 袋。标准袋利润CS的最优范围告诉Par公司的 管理者：在其他系数不变的情况下，只要标准 袋的利润在6.3美元与13.5美元之间，540个标 准袋和252个高级袋总是最优产量。然而值得 注意的是，即使产量不变，总的利润也可能由 于每一个标准袋利润的变化而变化。
灵敏度分析还可以用来分析模型中的系
数哪个更能左右最优解。比如，管理层认为 高级袋的利润9美元只是一个估计量。如果 通过灵敏度分析得到，当高级袋的利润在 6.67美元与14.29美元之间变化时，模型的最 优解都是540个标准袋和252个高级袋，那么 管理层就必须思考每个高级袋获利9美元这 个估计量的可信程度有多大了。管理层希望 知道如果高级袋的利润下降，最优产量会怎 样变化。

第三章 第五节 灵敏度分析


5.1 目标函数中价值系数cj的变化分析
考虑检验数 σj
1. 若ck是非基变量的系数： 设ck变化为 ck + ∆ck， 则σk’= σk+ ∆ck 只要 σk’≤ 0 ,即 ∆ck ≤ - σk ，则 最优解不变；否则，将最优单纯形表 中的检验数 σk 用 σk’取代，继续用单 纯形法的表格计算。
由上式，可得 Δb2≥-4/0.25=-16 ， Δb2≥-4/0.5=-8 ， b2≤2/0.125=16。所以Δb2 的变化范围是［-8， 16］；显然原b2 =16，加它的变化范围后， b2的 变化范围是［8，32］。
2010-10-31 20
5.3
增加一个变量xj的分析
若增加一个新变量 xn+1 则有相应的 pn+1 ,cn+1发生变化。 那么计算出B-1pn+1 , σn+1=cn+1-∑cri ari n+1 填入最优单纯形表, 若 σn+1 ≤ 0 则最优解不变； 否则，进一步用单纯形法求解即可。
例子从略54分析参数aij的变化2707202024参数aij的变化若变量x在最终单纯形表中为基变量则aij的变化将使相应的b和b1发生变化因此有可能出现原问题和对偶问题均为非可行解的情况这时需要引进人工变量将原问题的解转化为可行解再用单纯形法求解例见课本例112707202025增加一个约束之后应把最优解代入新的约束若满足则最优解不变否则填入最优单纯形表作为新的一行引入一个新的非负变量原约束若是小于等于形式可引入非负松弛变量否则引入非负人工变量并通过矩阵行变换把对应基变量的元素变为0进一步用单纯形法或对偶单纯形法求解
b 2/5 11/5
从表中看到σ3= c3+Δc3-(c2×a13+c1×a23 ) 可得到Δc3 ≤ 9/5 时，原最优解不变。

第三章第五节控制系统灵敏度分析


• 闭环系统对单位阶跃干扰输入的响应曲线w (t)和MATLAB •
程序文本closedtach.m分别示于图3-39(a) (b)。 同前，稳态误差就是w (t)的终值，稳态误差的近似值为
wc () 0.002(弧度 / 秒）
在本例中，闭环系统与开环系统对单位阶跃干扰信号的输 出响应的稳态值之比为 w c ( ) 0.003 w o ( )
考虑到C (s)
C ( s)
G( s) R( s),则输出的改变就是： 1 G( s) H ( s)
G( s) R( s ) [1 G( s) H ( s) G( s) H ( s)][1 G (s ) H (s )]
(3.75)
通常情况下，有G(s)H(s)>>ΔG(s)H(s)，于是：
R1 Rf 0
由于放大器的增益是A，并且是反相接法，所以uc = Aun ，因此 uc un (3.83) A 将(3.83)代入(3.82)，得到 u u u ur (3.84) c c c 0
R1 AR1 Rf AR f
解出输出电压uc ，有
uc A( R f / R1 ) 1 ( R f / R1 ) A ur
(3.85)
(a) 电路原理图 (b) 结构图 图3-36 反相放大器
可重写式(3.85)如下
GB ( s) U c ( s) A U r ( s) 1 R1 / R f A( R1 / R f )
当A>>1时，可忽略R1/Rf项，则
GB ( s ) A 1 Ak
(3.86)
第五节 控制系统灵敏度分析
• 控制系统在参数变化时的灵敏度是一个非常重要
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只要对所有非基变量 j’≤ 0 ，则最优解
不变；否则，将最优单纯形表中的检验数
j 用 j’取代，继续单纯形法的表格计算。 Max{j/asjasj>0}≤cs≤Min{j/asjasj<0}
02.07.2020
A
8
举例
例5.2:
Max z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4+ 0x5
s.t. x1 + 2x2 + x3 = 8 4x1 + x4 = 16 4x2 + x5 = 12 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
下面就各种情况分别按节进行讨论。
02.07.2020
A
4
5.1 目标函数中价值系数cj的变化分析
考虑检验数 j
1. 若ck是非基变量的系数： 设ck变化为 ck + ck，
则k’= k+ ck 只要 k’≤ 0 ,即 ck ≤ - k ，则
最优解不变；否则，将最优单纯形表
中的检验数 k 用 k’取代，继续用单
2的利润在什么范围内变化时，美佳公司最优生 产计划不变？
解 设家电2的利润为(1+λ)元，反映到最终的单纯形表中如 下：
cj→
2 1+λ 0
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
0
x3 15/2 0
0
1
5/4
-15/2
2
x1 7/2 1
0
0
1/4
-1/2
1+λ x2 3/2 0
1
0
-1/4
3/2
cj-zj
0 0 0 -1/4+λ/4 -1/2-3λ/2
02.07.2020
A
11
为使表中的解仍为最优，应有
110, 130
44
22
解得 1 1
3
即家电2的利润变化范围应满足
2 3 c2 2
02.07.2020
A
12
5.2 资源数量(右端常数br)变化的分析
资 源 数 量 变 化 是 指 资 源 中 某 系 数 br 发 生 变 化 ， 即 b使r′最=终br表+Δ中b原r。问并题假的设解规相划应问地题变的化其为他系数都不变。这样
(2)或者这些系数在什么范围内变化时，线性规划问题的 最优解或最优基不变。后一个问题将在第6节参数线性 规划中讨论。
02.07.2020
A
ห้องสมุดไป่ตู้
1
什么是灵敏度分析
灵敏度分析是要在求得最优解以后，解决以下几 方面的问题： 线性规划问题中的各系数在什么范围内变化，不 会影响已获得的最优基。 如果系数的变化超过以上范围，如何在原来最优 解的基础上求得新的最优解 当线性规划问题增加一个新的变量或新的约束， 如何在原来最优解的基础上获得新的最优解。
02.07.2020
A
3
表 3-10
原 问 题 对 偶 问 题结 论 或 继 续 计 算 的 步 骤 可 行 解 可 行 解 表 中 的 解 仍 为 最 优 解 可 行 解 非 可 行 解用 单 纯 形 法 继 续 迭 代 求 最 优 解 非 可 行 解 可 行 解 用 对 偶 单 纯 形 法 继 续 迭 代 求 最 优 解 非 可 行 解 非 可 行 解 引 进 人 工 变 量 ， 编 制 新 的 单 纯 形 表 ， 求 最 优 解
0
0
X5
4
0
0
-2
3+ΔC2 X2
2
0
1
1/2
1/2
1
-1/8
0
从表中看σj 到
0
0 -1.5-ΔC2/2 -1/8+ΔC2/8
0
02.07.20σ可20 得j=c到j-(-c31≤×Δa1jc+2c≤5 1×时aA，5j原+(最c2+优Δ解c2不) 变×。a2j)j=3,140
课本例7
例7 在第二章例1中，若家电1的利润不变，则家电
02.07.2020
A
2
线性规划问题中某一个或几个系数发生变化
显然，当线性规划问题中某一个或几个系数发生变化后， 原来已得结果一般会发生变化。当然可以用单纯形法从头 计算，以便得到新的最优解。这样做很麻烦，而且也没有 必要。因在单纯形法迭代时，每次运算都和基变量的系数 矩阵B有关，因此可以把发生变化的个别系数，经过一定 计算后直接填入最终计算表中，并进行检查和分析，可按 表3-10中的几种情况 进行处理。
02.07.2020
A
9
下表为最优单纯形表,考虑
基变量系数c2发生变化
Ci
2
3
CB
XB
B
X1
X2
2
X1
4
1
0
0
X5
4
0
0
3
X2
2
0
1
σj
0
0
0 X3 0 -2 1/2 -1.5
0
0
X4
X5
1/4
0
1/2
1
-1/8
0
-1/8
0
Ci
2 3+ΔC2
0
0
0
CB
XB
B
X1
X2
X3
X4
X5
2
X1
4
1
0
0
1/4
CB XB
b
X1 X2 X3 X4 X5
-3 X2 2/5 0 1 -1/5 -2/5 1/5
-2 X1 11/5 1 0 7/5 -1/5 -2/5
σj
0 0 -9/5 -8/5 -1/5
CI
-2
-3 -4+Δ c3 0
0
CB
XB
b
X1
X2
X3
X4 X5
-3
X2 2/5 0
1
-1/5 -2/5 1/5
纯形法的表格计算。
02.07.2020
A
5
例题
例5.1:
Max z = -2x1 - 3x2 - 4x3
S.t.
-x1-2x2-x3+x4 = - 3 -2x1+x2-3x3+x5 = - 4
x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ≥0
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例：最优单纯形表
CI
-2 -3 -4 0 0
第5节 灵敏度分析
以但前实讨际论上线这性些规系划数问往题往时是，估假计定值α和ij预，b测i,值cj。都如是市常场数条。
件一 而改
变变，；cbji值是就根会据变资化源；投α入ij后往的往经是济因效工果艺决条定件的的一改
变 种
决策选择。
因此提出这样两个问题：
(1)当这些系数有一个或几个发生变化时，已求得的线性 规划问题的最优解会有什么变化；
-2
X1 11/5 1
0
7/5 -1/5 -2/5
σ j
0
0 -9/5+Δ c3 -8/5 -1/5
从表中看到σ3= c3+Δc3-(c2×a13+c1×a23 )
可得到Δc3 ≤ 9/5 时，原最优解不变。
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2、若 cj 是基变量的系数：
设 cj 变化为 cj + cj ，那么
XB′=B-1(b+Δb) 这里Δb=(0,…，Δbr,0,…，0)T。只要XB′≥0，因最 终表中检验数不变，故最优基不变，但最优解的值发生了 变化，所以XB′为新的最优解。新的最优解的值可允许变 化范围用以下方法确定。
注：B-1 是最终计算表中的最优基的逆
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b列的元素变化